MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Átírás

1 Matematika emelt szit 5 ÉRETTSÉGI VIZSGA 05. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

2 Matematika emelt szit Fotos tudivalók Formai előírások:. Kérjük, hogy a dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal, olvashatóa javítsa ki.. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőbe a feladatra adható maximális potszám va, a javító által adott potszám a mellette levő téglalapba kerüljö.. Kifogástala megoldás eseté kérjük, hogy a maximális potszám feltütetése mellett kipipálással jelezze, hogy az adott godolati egységet látta, és jóak miősítette. 4. Hiáyos/hibás megoldás eseté kérjük, hogy a hiba jelzése mellett az egyes részpotszámokat is írja rá a dolgozatra. Ha a dolgozat javítását jobba követhetővé teszi, akkor a vizsgázó által elvesztett részpotszámok jelzése is elfogadható. Ne maradjo olya részlet a megoldásba, amelyről a javítás utá em yilvávaló, hogy helyes, hibás vagy fölösleges. 5. A javítás sorá alkalmazza az alábbi jelöléseket. helyes lépés: kipipálás elvi hiba: kétszeres aláhúzás számolási hiba vagy más, em elvi hiba: egyszeres aláhúzás rossz kiiduló adattal végzett helyes lépés: szaggatott vagy áthúzott kipipálás hiáyos idoklás, hiáyos felsorolás vagy más hiáy: hiáyjel em érthető rész: kérdőjel és/vagy hullámvoal 6. Az ábrá kívül ceruzával írt részeket e értékelje. Tartalmi kérések:. Egyes feladatokál több megoldás potozását is megadtuk. Ameyibe azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg eze megoldásokak az útmutató egyes részleteivel egyeértékű részeit, és eek alapjá potozzo.. A potozási útmutató potjai tovább bothatók, hacsak az útmutató másképp em redelkezik. Az adható potszámok azoba csak egész potok lehetek.. Ha a megoldásba számolási hiba, potatlaság va, akkor csak arra a részre em jár pot, ahol a tauló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredméyel helyes godolatmeet alapjá tovább dolgozik, és a megoldadó probléma léyegébe em változik meg, akkor a következő részpotszámokat meg kell adi. 4. Elvi hibát követőe egy godolati egysége belül (ezeket az útmutatóba kettős voal jelzi) a formálisa helyes matematikai lépésekre sem jár pot. Ha azoba a tauló az elvi hibával kapott rossz eredméyel mit kiiduló adattal helyese számol tovább a következő godolati egységekbe vagy részkérdésekbe, akkor ezekre a részekre kapja meg a maximális potot, ha a megoldadó probléma léyegébe em változott meg. 5. Ha a megoldási útmutatóba zárójelbe szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor eek hiáya eseté is teljes értékű a megoldás. írásbeli vizsga 5 / május 5.

3 Matematika emelt szit 6. Egy feladatra adott többféle megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. A javítás sorá egyértelműe jelezze, hogy melyik változatot értékelte, és melyiket em. 7. A megoldásokért jutalompot (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális potszámot meghaladó pot) em adható. 8. Egy feladatra vagy részfeladatra adott összpotszám em lehet egatív. 9. Az olya részszámításokért, részlépésekért em jár potlevoás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó téylegese em haszál fel. 0. Az ábrák bizoyító erejű felhaszálása (például adatok leolvasása méréssel) em elfogadható.. Valószíűségek megadásáál (ha a feladat szövege másképp em redelkezik) a százalékba megadott helyes válasz is elfogadható.. Ha egy feladat szövege em ír elő kerekítési kötelezettséget, akkor az útmutatóba megadottól eltérő, ésszerű és helyes kerekítésekkel kapott rész- és végeredméy is elfogadható.. A vizsgafeladatsor II. részébe kitűzött 5 feladat közül csak 4 feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló égyzetbe feltehetőleg megjelölte aak a feladatak a sorszámát, amelyek értékelése em fog beszámítai az összpotszámába. Eek megfelelőe a megjelölt feladatra esetlegese adott megoldást em is kell javítai. Ha a vizsgázó em jelölte meg, hogy melyik feladat értékelését em kéri, és a választás téye a dolgozatból sem derül ki egyértelműe, akkor a em értékeledő feladat automatikusa a kitűzött sorred szeriti utolsó feladat lesz. írásbeli vizsga 5 / május 5.

4 Matematika emelt szit. a) Figyelem! Az útmutató elejé olvasható Fotos tudivalók című rész léyegese megváltozott. Kérjük, hogy a javítás megkezdése előtt figyelmese taulmáyozza! cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x + si x 0. Szorzattá alakítás utá: si x (si x + ) 0. si x 0 potosa akkor, ha x k π, k Z. * π si x osa akkor, ha x + l π, l Z. * Elleőrzés behelyettesítéssel vagy ekvivales átalakításokra hivatkozással. I. A si x-be másodfokú egyelet megoldóképletéek helyes felírása. A behelyettesítés elfogadható egy π hosszúságú perióduso belül is. Összese: 6 pot Megjegyzés: Ha a vizsgázó a következő hibák közül egyet követ el, akkor a *-gal jelölt potból ot, ha egyél többet hibázik, akkor 0 potot kapjo: a periódusokat lehagyja; fokba oldja meg az egyeletet; fokba és radiába (vegyese) dolgozik; sehol em említi, hogy. b) Ha x 0, akkor Ekkor 0 x +, ahoa de ez x 0 miatt em megoldás. Ha x < 0, akkor x x. x, x x, és az egyelet: x x +. (Mivel x < 0, ezért) x x +, azaz x. 4 Elleőrzés behelyettesítéssel vagy (az x < 0 feltétel teljesüléséek említése mellett) ekvivales átalakításokra hivatkozással. Összese: 7 pot Megjegyzés: Grafikus megoldás eseté az x x x ábrázolása (x x, ha x 0 és x 0, ha x > 0) 4 pot, az x x + ábrázolása. Metszéspot leolvasása. Elleőrzés behelyettesítéssel. k Z. Ez a pot jár, ha a vizsgázó behelyettesítéssel szűri ki a hamis gyököt. írásbeli vizsga 5 4 / május 5.

5 Matematika emelt szit. a) első megoldás A képeryő oldalaiak hosszát (cm-be) jelölje 6x és 9x. 40 col 0,6 cm (A Pitagorasz-tétel szerit:) ( 6x ) + (9x) 0,6. 7 x 0,56 Ebből (mivel x > 0) x 5,55 (cm). A képeryő oldalaiak hossza tehát (6x ) 88,6 cm és (9x ) 49,8 cm. Összese: 6 pot. a) második megoldás A képeryő oldalaiak hosszát (col-ba) jelölje 6x és 9x. (A Pitagorasz-tétel szerit:) x ) + (9x) 40. ( 6 7 x 600 Ebből (mivel x > 0) x,79 (col). A képeryő oldalaiak hossza tehát (6x ) 4,86 (col) és (9x ) 9,60 (col), azaz 88,6 cm és 49,8 cm. Összese: 6 pot Megjegyzés: Más, ésszerű és helyes kerekítésekkel kapott részeredméyekből származó (egy tizedesjegyre helyese kerekített) válasz is elfogadható. Ha a vizsgázó válaszába em kerekít, vagy rosszul kerekít, akkor ezért összese ot veszítse.. b) első megoldás Az első képeryő területe a második területéek,69-szerese. A két (téglalap alakú) képeryő hasoló, ezért a területük aráya a hasolóságuk aráyáak égyzetével egyelő. A képeryők hasolóságáak (és így átlóik hosszáak) aráya, 69,. Az első képeryő átlója 0%-kal agyobb, mit a másodiké. Összese: 5 pot Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból írásbeli vizsga 5 5 / május 5.

6 Matematika emelt szit. b) második megoldás Az első képeryő oldalaiak hossza 6x, illetve 9x, a másodiké pedig 6y és 9y (x > 0 és y > 0). Az első képeryő területe 44x, a másodiké pedig 44y, tehát 44x,69 44y. Ebből x,y. Az első képeryő átlójáak hossza 56x + 8x x 7, a másodiké pedig 56 y + 8y y 7. A két képeryő hasoló, ezért az átlóik aráya megegyezik egy megfelelő oldalpárjuk aráyával, ami y x,. Mivel x,y, az első képeryő átlója 0%-kal agyobb, mit a másodiké. Összese: 5 pot Megjegyzés: Ha a vizsgázó a feladatot úgy oldja meg, hogy a két képeryő területéek kokrét értékeket ad, és em említi, hogy ez em megy az általáosság rovására, akkor legfeljebb potot kaphat.. a) A kerekített bevételek összege (millió Ft). A mediá 0 millió forit, és két 0 millió foritos árbevétel volt, ezért legfeljebb három 0 millió foritál kisebb bevétel lehet. Mivel a módusz 00 millió forit, ezért három 00 millió foritos árbevétel volt. A 60 millió Ft-os árbevétel figyelembevételével a hetedik árbevétel ( ) 40 millió foritak adódik. A (kerekített) bevételek szórása: (00 0) + (0 0) + (40 0) 7,4 millió (Ft). + (60 0) Összese: 6 pot Ha a vizsgázó (idoklás élkül) helyese felsorolja a kerekített bevételeket, akkor ezért ebből a potból jár. Ez a pot akkor is jár, ha a vizsgázó em részletezi a számolás meetét, de számológéppel számolva jó eredméyt kap.. b) első megoldás A redes eladási ár áregedméy élkül ( ) 6 millió Ft lett vola. Tehát az eladott áru beszerzési értéke 6 5 millió Ft, pot,8 az áryereség pedig (54 5 ) 9 millió Ft volt. Összese: 4 pot írásbeli vizsga 5 6 / május 5.

7 Matematika emelt szit. b) második megoldás A redes eladási ár a beszerzési érték 5 9 -szöröse, a kedvezméyes eladási ár pedig a 0 9 -szerese. Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból 5 A redes eladási árak része a beszerzési érték, 9 4 ezért a redes eladási árból befolyt összeg része 9 (ár)yereség; 0 a kedvezméyes eladási árak -szerese a kedvezméyese eladott áru beszerzési értéke, ezért a ked- 9 vezméyes eladásból befolyt összeg része 9 (ár)veszteség. Az áryereség millió Ft volt. 9 9 Összese: 4 pot. b) harmadik megoldás A em akciós időszakba eladott áru utá 45 millió forit árbevétel keletkezett, az áru beszerzési értéke 45 5 millió forit volt.,8 9 A 9 milliós árbevételhez 0 millió forit beszerzési érték tartozik. 0,9 A beszerzési érték összese 5 millió forit, az áryereség pedig (54 5 ) 9 millió forit volt. Összese: 4 pot Megjegyzés: Ha a vizsgázó csak foritos beszerzési értékű termékekkel dolgozik, és em említi, hogy ez em megy az általáosság rovására, akkor emiatt ot veszítse.. c) Megmaradt darab M-es, darab L-es és 4 darab XL-es zakó. 7! Ezek lehetséges sorredjeiek száma! 4! 05. Összese: pot írásbeli vizsga 5 7 / május 5.

8 Matematika emelt szit 4. a) első megoldás AB AC BC Kosziusztétellel: cosβ pot pot cos β 0, β 75,6 Összese: 6 pot Egy hiba eseté jár, két hiba eseté em jár pot. 4. a) második megoldás BA (8; 6), BC ( 8; ). BA 60 és BC 68. A BA BC skaláris szorzatot írjuk fel kétféleképpe: ( 8) ( ) cos β. pot 56 cos β 0, β 75,6 Összese: 6 pot 4. b) Az ABC háromszög két (tetszőlegese választott) oldalfelező merőlegeséek metszéspotját kell megkeresük (ez a háromszög körülírt köréek középpotja). F AB ( 7; 7) és AB( 8; 6). f AB Az AB szakasz felezőmerőlegeséek egyelete: x y 8. F BC (6; ) és BC( 8; ). f BC A BC szakasz felezőmerőlegeséek egyelete: 4x y. A két egyees egyeletéből alkotott egyeletredszer megoldása: x 49 és y 75. pot Tehát K(49; 75). Összese: 8 pot Ez a pot jár egy erre a godolatra utaló jó ábráért is. F AC ( ; 6) és AC (6; 8). f AC Az AC szakasz felezőmerőlegeséek egyelete: x 4y 6. írásbeli vizsga 5 8 / május 5.

9 Matematika emelt szit II. 5. a) (f + g)(x) (x + ) + x x + 4x x(x + 4) 0 A f + g függvéy zérushelyei a 0 és a 4. Összese: pot 5. b) (A kérdéses területet itegrálással számítjuk ki.) Az f(x) g(x) egyelet megoldásai adják az itegrá- lás határait. A x + x egyelet megoldásai, illetve. Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból Ez a pot jár egy megfelelő ábráért is. Mivel a [; ] zárt itervallumo f(x) g(x) (a metszéspotok első koordiátái által meghatározott itervallumo a g grafikoja egy felfelé yíló parabolaív, amely felett va az f grafikoja), ezért a kérdéses terület ( x) g( x) ) ( f ( x) g( x) ) dx ((x + ) ( x ) ) dx ( x x + x x + ) dx + x f ( dx. * ( 0,67) Összese: 7 pot ( f ( x) g( x) ) f ( x) dx dx g( x) dx [ x + ] ( x + ) dx x x ( x ) dx x 4 Megjegyzés: A *-gal jelölt pot akkor is jár, ha a vizsgázó a határozott itegrál értékét számológéppel helyese határozza meg. írásbeli vizsga 5 9 / május 5.

10 Matematika emelt szit 5. c) (A h(x) függvéy a megadott itervallumo differeciálható.) g( x) x x(x + ) ( x h ( x) f ( x) x + (x + ) x + x + 4 (x + ) ( x + 0,5) +,5 (x + ) ) pot A x + x egyelet diszkrimiása egatív ( 8), továbbá a x + x + 4 poliom főegyütthatója pozitív, ezért a poliom mide helyettesítési értéke pozitív.. A tört számlálója és evezője is pozitív (a h értelmezési tartomáyá), így a tört értéke is pozitív. Tehát a függvéy valóba szigorúa mooto övekvő. Összese: 6 pot Megjegyzés: Ha a vizsgázó függvéy helyett csak sorozatra igazolja a mooto övekedést, akkor ezért em jár pot. 6. a) A 4 hibás és 6 ép tojás a sárga tojástartóba 4 6 ( 8008)-féleképpe kerülhet. * Az összes eset száma: ( ). * 0 Aak a valószíűsége, hogy mid a 4 hibás tojás a sárga dobozba kerül: * p ( 0,04). 0 0 (Mivel a 4 hibás tojás a fehér tojástartóba is kerülhet, ezért) a kérdéses valószíűség eek kétszerese, azaz közelítőleg 0,087. Összese: 5 pot Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból írásbeli vizsga 5 0 / május 5.

11 Matematika emelt szit Megjegyzések:. A *-gal jelölt potot akkor is megkaphatja a vizsgázó, ha aak a valószíűségét, hogy (például) a sárga tojástartóba kerülő mid a 0 tojás ép (és így mid a 4 hibás tojás a fehér tartóba kerül), a... szorzattal számítja ki Ha a vizsgázó rossz modellt haszál (biomiális eloszlással számol), akkor legfeljebb potot kaphat. Ha jelzi, hogy az így kapott eredméy csak közelítő, akkor ezért további jár. 6. b) első megoldás Aak a valószíűsége, hogy egy tojás ép: 0,98. Aak a valószíűsége, hogy Csege em talál törött 0 tojást a dobozba: 0,98 ( 0,87). Aak a valószíűsége, hogy Csege egy darab törött tojást talál a dobozba: 0,98 9 0, 0 ( 0,67). Így a kérdéses valószíűség: 0 9 p 0,98 0 0,98 0,0 0,06. Összese: 5 pot 6. b) második megoldás Aak a valószíűsége, hogy egy tojás ép: 0,98. Aak a valószíűsége, hogy Csege darab törött tojást talál a dobozba: 0 8 P ( ) 0,98 0,0 ( 0,05). Aak a valószíűsége, hogy Csege darab törött tojást talál a dobozba: 0 7 P ( ) 0,98 0,0 ( 0,0008). A P(4), P(5),..., P(0) valószíűségek, és ezek öszszege is már elhayagolhatóa kicsi, így a kérdéses valószíűség megközelítőleg P() + P() 0,06. Összese: 5 pot Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból írásbeli vizsga 5 / május 5.

12 Matematika emelt szit 6. c) első megoldás Jelölje A, illetve B azt az eseméyt, hogy a kiválasztott tojás az A, illetve a B beszállítótól származik, E pedig azt az eseméyt, hogy a kiválasztott tojás első osztályú. Ezekkel a jelölésekkel meghatározadó a P(A E) valószíűség. A feltételes valószíűség defiíciója szerit P( AE) P ( A E). P( E) Aak valószíűsége, hogy az A beszállítótól választottuk tojást, és az első osztályú: P(AE) ( P( E A) P( A) ) 0,6 0, 6 ( 0,6). Aak valószíűsége, hogy a B beszállítótól választottuk tojást, és az első osztályú: P(BE) ( P( E B) P( B) ) 0, 0, 4 ( 0,). Aak valószíűsége, hogy a kiválasztott tojás első osztályú, az előző két valószíűség összege: P(E) 0,6 0,6 + 0,4 0, ( 0,48). Tehát 0,6 P ( A E) 0,75. 0,48 Összese: 6 pot Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból 6. c) második megoldás Az A beszállítótól származó első osztályú tojások száma az összesek 6%-a. a B beszállítótól származó első osztályú tojások száma az összesek %-a. Az összes beszállított tojásak a 48%-a első osztályú. 0,6 Az első osztályú tojások 00% 75%-a 0,48 pot származik az A beszállítótól. A kérdezett valószíűség tehát 0,75. Összese: 6 pot Megjegyzés: A megoldás teljes értékű akkor is, ha a vizsgázó egy kokrét eset végigszámolása útjá jut helyes eredméyre, és utal arra, hogy a kapott valószíűség csupá az eloszlástól és em az ökéyese választott darabszámtól függ. Például:000 beszállított tojás közül () 600 darab származik az A beszállítótól, és ezek között 60 darab első osztályú va (), 400 darab származik a B beszállítótól, és ezek között 0 darab első osztályú va (). Az összes tojás között tehát 480 első osztályú (), ezekek a 75%-a (azaz 60 darab) származik az A beszállítótól. A kérdezett valószíűség tehát (60: 480 ) 0,75 (). A kiszámított aráyok em függek a kokrét darabszámtól, ezért az eredméy bármely esetbe ugyaeyi (). írásbeli vizsga 5 / május 5.

13 Matematika emelt szit 7. a) A havi törlesztés összege (Ft-ba): 7 6,0 0,0 t 7,6 0 ( 4 ). 7,0 A 7 hóap alatt összese 7 t7 ( 0 856) foritot fizetük vissza, ami ezer foritra kerekítve Ft. pot Összese: 4 pot Ez a pot em jár, ha a vizsgázó em kerekít, vagy rosszul kerekít. 7. b) (Azt a legkisebb pozitív egész számot keressük, 6,0 0,0 amelyre) 0 < ,0 (Mivel,0 > 0, ezért) 0,0,0 < 0,0 (,0 ). pot <,0 Az,0 alapú logaritmusfüggvéy szigorúa mooto övekedő, ezért > log, 0. A 0-es alapú logaritmusfüggvéy szigorúa mooto övekedő, ezért lg < lg,0, vagyis lg < lg, 0. (A logaritmus azoosságát haszálva:) lg,0 > 0 miatt lg > 55,48 lg > 55,48, lg,0 lg,0 Tehát a törlesztőrészletek száma legalább 56 (azaz legalább 56 hóapos futamidőt kell választauk). Összese: 8 pot Megjegyzés: A 8 pot akkor is jár, ha a vizsgázó egyeletet ír fel egyelőtleség helyett, azt jól megoldja, és helyes következtetésre jut a törlesztőrészletek miimális számát illetőe. írásbeli vizsga 5 / május 5.

14 Matematika emelt szit 7. c) A megadott számokkal q q,0 t H ( q ) t H ( q ) q,0 q H ( q ) Egyszerűsítés utá: t q,0 Mivel q >, így Mivel lim lim 0,,0,0 lim 0. q ezért lim t lim t H( q ) Összese: 4 pot Megjegyzés: A vizsgázó potot kapjo az alábbi megoldásáért. Megállapítja (tault ismeretkét), hogy a { q } sorozat határértéke plusz végtele (). a Kijeleti, hogy az tört értéke az -hez tart, ha a számlálója a végtelehez tart (de ezt a az állítását em támasztja alá további érveléssel) (). Fetiek alapjá megállapítja, hogy a t } sorozat határértéke H(q ), ami (). { 8. a) Legye a égyszög legkisebb szöge α fok, a sorozat differeciája pedig d fok (d 0). Ekkor a égyszög szögei (valamilye sorredbe) α, α + d, α + d és α + d fok agyságúak. A égyszög belső szögeiek összege 60, ezért 4α + 6d 60, vagyis α + d 80. α + d (α + d) + (α + d), ami azt jeleti, hogy a égyszög két-két szögéek összege 80. Ha a két szög szomszédos, akkor a égyszög trapéz, ha pedig szemközti, akkor húrégyszög. Tehát az állítást igazoltuk. Összese: 6 pot 8. b) A megfordítás: Ha egy égyszög trapéz vagy húrégyszög, akkor a szögei (valamilye sorredbe) egy számtai sorozat szomszédos tagjai. A megfordítás hamis. Egy megfelelő ellepélda. Összese: pot Például: egy trapéz, amelyek szögei 50, 70, 0 és 0 agyságúak. írásbeli vizsga 5 4 / május 5.

15 Matematika emelt szit 8. c) első megoldás A égy kiválasztott pálcikából potosa akkor készíthető éritőégyszög, ha a két-két szemközti pálcika hosszáak összege egyelő. Először válasszuk ki a legrövidebb pálcikát, amelyek a hossza a cm, a (kovex égyszögbe) vele szembe elhelyezi kívát pálcika hossza pedig legye c cm. A készlet égy pálcikájából potosa akkor építhető 4 cm kerületű éritőégyszög, ha a + c (cm). A -t hatféleképpe lehet két pozitív egész szám összegére felbotai: Ha a, akkor c, a másik két pálcika hosszáak megválasztására pedig 6 külöböző lehetőség va ( és, vagy és 0, vagy és 9, vagy 4 és 8, vagy 5 és 7, vagy 6 és 6 cm). Hasolóa továbbhaladva kapjuk, hogy ha a, akkor 5, ha a, akkor 4, ha a 4, akkor, ha a 5, akkor, és végül, ha a 6, akkor lehetőség va. Az összes külöböző lehetőségek száma tehát ( ). Összese: 7 pot Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból 8. c) második megoldás A égy kiválasztott pálcikából potosa akkor készíthető éritőégyszög, ha a két-két szemközti pálcika hosszáak összege egyelő. A készlet égy pálcikájából tehát potosa akkor építhető 4 cm kerületű éritőégyszög, ha a égyszögbe egymással szembe elhelyezkedő két-két oldal (cetiméterbe mért) hossza az (; ), (; 0), (; 9), (4; 8), (5; 7), (6; 6) számpárok valamelyike. Ayiféleképpe választható ki égy megfelelő pálcika a készletből, aháyféleképpe a hat számpárból kettő sorredre való tekitet élkül kiválasztható úgy, hogy egy számpárt kétszer is választhatuk. Ez a szám 6 külöböző objektum másodosztályú ismétléses kombiációiak számával egyezik meg. pot Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból Ez a pot akkor is jár, ha ez a godolat csak a megoldásból Az összes külöböző lehetőségek száma tehát Összese: 7 pot Megjegyzés: Ha a vizsgázó szisztematikusa felsorolja a külöböző lehetőséget, akkor ezért teljes potszámot kapjo. írásbeli vizsga 5 5 / május 5.

16 Matematika emelt szit 9. a) első megoldás Ha a kocka éle a, a gömb sugara pedig r, akkor 6a 4r π. Ebből r π π a. a r 4π A gömb térfogata 8π a V kocka r. π 7 (Mivel a gömb térfogata 4π 6 r, így) azt kell beláti, hogy >. a (ahol a a kocka térfogata). π 4π 8π 7 π 6 Ezzel ekvivales >, Mivel >, π ami igaz. ezért a gömb térfogata valóba agyobb a kocka térfogatáál. Összese: 6 pot 9. a) második megoldás Ha a két test felszíe egyarát A, akkor A pot V kocka, 6 A V gömb pot 6 π Mivel 6 π < 6, ezért a gömb térfogata valóba agyobb a kocka térfogatáál. Összese: 6 pot Megjegyzések:. Ha a vizsgázó egy kokrét felszíű gömb és a vele megegyező felszíű kocka térfogatát hasolítja össze, akkor ezért legfeljebb potot kaphat.. A vizsgázó teljes potszámot kap, ha ismerteti a voatkozó izoperimetrikus problémát vagy aak egy szűkített változatát (például: adott felszíű kovex testek között a gömb térfogata a legagyobb), majd eek speciális esetekét bizoyítottak tekiti az állítást. írásbeli vizsga 5 6 / május 5.

17 Matematika emelt szit 9. b) Az összeolvasztással kapott kocka térfogata ezért éléek hossza p + q, felszíe tehát ( ) 6 ( p + q ) 9. c) 6 p + q -el egyelő., ami valóba p + q, Összese: pot A bizoyítadó állítás: 6 ( p + q ) < 6 ( p + q ) Midkét oldalt 6-tal osztva és köbre emelve (az x függvéy szigorú mootoitása miatt): ( p + q ) < ( p + q ). Elvégezve a hatváyozásokat: p + p q + q < p + p q + p q + q. Redezve és a pozitív 0 < p + q pq. p q szorzattal osztva: pot * 0 < p + q + ( p q), * 0 < ( p q) + 4 pq, ez pedig midig igaz (hisze a jobb oldalo egy ez pedig midig igaz (hisze a jobb oldalo két pozitív és egy emegatív szám összege áll). emegatív és egy pozitív * szám összege áll). Mivel mide átalakítás ekvivales volt, ezért a bizoyítadó állítás is igaz. Összese: 8 pot Megjegyzések:. Ha a vizsgázó egy kokrét (p; q) eseté elleőrzi az állítás teljesülését, akkor ezért ot kaphat.. A *-gal jelölt potot a következő godolatmeetért is megkaphatja a vizsgázó: (Redezve és a pozitív p q szorzattal osztva:) p q < + q p ez pedig midig igaz (hisze egy pozitív számak és reciprokáak az összege legalább ). pot írásbeli vizsga 5 7 / május 5.