I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

Átírás

1 Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os kamatra Meyi az évi törlesztőrészlet? (Kamatot midig csak az aktuális adósság utá kell fizeti; kezelési költséget em számítuk) b) Háy éve át kell évi foritot befizeti, ha az utolsó befizetés utái év végé millió forittal akaruk redelkezi? Az éves kamatláb% () feladat Három városba A-ba, B-be és C-be a felőtt lakosság körébe egészségügyi felmérést készítettek Tudjuk, hogy A-ba az átlagos testmagasság 68 cm, B-be 66 cm, végül C-be 65 cm Az is kiderült, hogy az A-beliekre és a B-beliekre együttese kiszámolt átlagos testmagasság 66,5 cm, az A és a C város lakóié együttese 66, míg C és B lakóit közöse vizsgálva az átlag 65,6 cm-ek mutatkozott Mekkora a három város lakóiak közöse az átlagos magassága? (Feltételezzük, hogy semelyik két városak icse közös lakója) (3 pot) 3 feladat a) Ábrázolja a derékszögű koordiáta-redszerbe az f ( x) x x 6 függvéyt a -0; 3 zárt itervallumo! b) Oldja meg az alábbi egyeletet a valós számok halmazá! (p valós paraméter) x x 6 p c) Az m valós paraméter értékétől függőe háy megoldása va a valós számok halmazá az alábbi egyeletek? x x 6 mx (3 pot) feladat Ez a feladat 893-ból származik Egy hajós egy gyorshajó éppe abba a pillaatba látja meg egy kör alakú sziget közepéből kiyúló hegy hófödte csúcsát, midő a hegy a tegerből kibukka; ettől fogva a hajósak ap és fél órára va szüksége, hogy a szigethez érje; a hajós ismeri hajójáak sebességét, amely másodpercekét,5 méter; a sziget kerülete 750 méter; a Földek félátmérője 6360 km a) Milye hosszú hajóút választja el a hajóst a sziget legközelebbi potjától, amikor megpillatja a hegycsúcsot? b) Mekkora a 750 m kerületű kör sugara? Mekkora a sziget sugara? (A sziget sugara a Föld felszíé méredő Eltér-e léyegese a körlap sugarától?) c) Milye magas a hegy? (3 pot)

2 Fazakas Tüde, 05 ovember II rész 5 feladat Az ABC hegyesszögű háromszög egy tetszőleges belső P potjá át párhuzamosokat húztuk az oldalakkal Így három kisebb háromszögre és három égyszögre botottuk az ABC háromszöget a) Adja meg az ABC háromszög kerületét a kisebb háromszögek kerületéek függvéyébe! b) A kisebb háromszögek területe t, t, t 3, az ABC háromszög területe T Igazolja, hogy t t T t 3! (6 pot) 6 feladat a) Oldja meg a six = cosx egyeletet! b) Tekitsük a 0; / itervallumo a six és a cosx függvéyek grafikoját! A két grafiko metszéspotjába midkét grafikohoz éritőt húztuk Írja fel a két éritő egyeletét! c) A 0; / itervallumo megrajzoltuk a six és a cosx függvéyek grafikoját Határozza meg a két függvéy grafikoja és az y-tegely által határolt görbe oldalú háromszög területét! (6 pot) 7 feladat A H alaphalmaz az 000-él em agyobb pozitív egész számok halmaza Az alaphalmaz három részhalmaza A, B és C, A a 3-mal, B az 5-tel, végül C a 7-tel osztható számok halmaza a) Háy eleme va az A, a B illetve a C halmazak? b) Háy elemű az A B halmaz? c) Háy olya 000-él em agyobb pozitív egész szám va, amely 3-hoz, 5-höz és 7-hez is relatív prím? (6 pot) 8 feladat A köyvkötő üzembe egy ap 000 db kötetet kötöttek be, amiből 0 db selejtes volt A miőségelleőrzésél véletleszerűe kiválasztaak darabot az 000-ből a) Háyféle kiválasztás lehetséges? b) Háy olya kiválasztás lehetséges, amikor a kiválasztottak a fele selejtes? c) Mi a valószíűsége aak, hogy a kiválasztott köyvek közül legalább egyek selejtes a kötése? d) Jelöljük p -el aak a valószíűségét, hogy a kiválasztott kötetek között db selejtes va Mely értékre lesz p maximális? (6 pot)

3 Fazakas Tüde, 05 ovember 9 feladat a) Írjo a 3 és a 5 közé két számot úgy, hogy egy számtai sorozat égy szomszédos tagját kapja! b) Írjo a 5 és a 7 közé két számot úgy, hogy egy mértai sorozat égy szomszédos elemét kapja! c) Mutassa meg, hogy a 3, 5, 7 számok em lehetek egy mértai sorozat elemei! (Még úgy sem, ha em szomszédosak) d) Igazolja, hogy ics olya számtai sorozat, amelyek a 3, 5, 7 számok midegyike eleme! (Nem feltétleül szomszédosak) (6 pot) 3

4 Fazakas Tüde, 05 ovember Fazakas Tüde 05 ovemberi feladatsoráak megoldásai és potozási útmutatója feladat a) x az évete kifizetedő részlet: 0 6 Ebből,5 x,5 9, ,5 x,5 x 5976,5 forit a törlesztőrészlet b) 0 6 0,, lg 50000,, lg,,, 0,0 éve át kell fizeti, 8, x,5 0, ,,, 3 pot a) részre: 6 pot b) részre 6 pot Összese: pot feladat Az A városak a, B-ek b, C-ek c lakója va Az átlagokra voatkozó ismereteik alapjá a következő egyeletredszer írható fel: 68a 66b 66,5 a b 68a 65c 66 (*) a c 66b 65c 65,6 b c Ebből azt kapjuk, hogy b = 3a, c = a, b = 3c (**) 6 pot 3 pot

5 Fazakas Tüde, 05 ovember A legutolsó egyelet (b=3c) az előző kettő háyadosa A (**) egyeletek azt is mutatják, hogy a (*) egyeletredszerek va a pozitív egészek körébe megoldása, létezek a feladatak megfelelő lakosságadatok A három város lakóiak együttes átlagos magassága: 68a 66b 65c a b c 68a 98a 330a Behelyettesítve: 66 6a Tehát az átlagos magasság 66 cm Összese: 3 pot 3 feladat a) A függvéyt megadjuk az abszolút értékek felbotásával is: f ( x) x ( x 6) 7, ha x ; f ( x) ( x ) ( x 6) x 5, ha 6 x ; f ( x) ( x ) ( x 6) 7, ha x 6 (Eek a felbotásak az a) vagy a b) részbe szerepelie kell) b) p < -7 vagy p > 7 eseté ics megoldás; 6 p = -7 eseté x ; p = 7 eseté x 6 ; -7< p <7 eseté x p, c) m 0 eseté megoldás; 7/ 6 m 0 eseté 3 megoldás; m = -7/6 eseté megoldás; m <-7/6 eseté megoldás va Összese: 3 pot A (*) egyeletredszer bal oldalá lévő számokat köyű úgy módosítai, hogy e legye megoldás Az átszorzás utá adódó li egyeletredszerek ugyais általába csak az a=b=c=0 triviális megoldása va 5

6 km Emelt szitű matematika érettségi feladatsor Fazakas Tüde, 05 ovember feladat a) ap és fél óra = 300 másodperc A sziget legközelebbi potja 300,5 = 9700 méterre va R r km b) A kör sugara 750 /, körülbelül r = 0 méter =, km Tekitsük a Föld egy főkörét! Az 0 méter sugarú kör átmérőjéhez mit húrhoz tartozó középpoti szög 6360si =,, ebből = 0,0009 radiá A sziget R sugara a középpoti szöghöz tartozó ívhossz, R = 6360, km, alig tér el a lap sugarától 3 pot Megjegyzés: Utóbbi 3 pot akkor is jár, ha a jelölt fizikus megközelítéssel arra hivatkozik, hogy kis (pozitív) szögekre a szög sziusza jól közelíthető a szög radiába kifejezett agyságával, ezért a sziget sugara léyegébe megegyezik a kör sugarával c) A hegy magasságát m-mel jelöltük, a hajót H-val, a Föld középpotját K-val C CHK derékszögű háromszögbe ( m) cos = 6360, m ahoa m-et meg fogjuk tudi határozi, ha a szögeket s ismerjük Az középpoti szöget a hajó útja és a sziget sugara alapjá kaphatjuk meg Mivel a hajó és a sziget középpotjáak H földi távolsága s = 97, +, = 98,3 (km), így 98,3 K 6360 = 0,03 radiá Visszahelyettesítve a magasságra körülbelül 3093 méter adódik Összese c) rész: 8 pot A feladatra összese: pot km 6

7 Fazakas Tüde, 05 ovember II rész A 5 feladat a) Ábra készítése: I D A égyszögek paralelogrammák, mert va két párhuzamos oldalpárjuk A paralelogramma szemköztes oldalai egyelőek, ezért IP = AD; PF = EB, PE = BF, PH = GC, GP = CH, PD = IA Így a kis háromszögek kerületéek összege potosa az ABC háromszög kerületével egyezik meg a) rész: 6 pot b) DEP háromszög hasoló ABC-hez, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak A területük aráya megegyezik a hasolóság aráyáak égyzetével DE t AB T Ugyaígy IPH és ABC is hasoló egymáshoz Oldalaik aráya megegyezik a területük égyzetgyökéek aráyával Továbbá ADPI paralelogrammába IP = AD t T H P C E IP AB G F B AD AB Hasolóa kapjuk, hogy t 3 PF EB T AB AB A három egyeletet összeadjuk: t t t3 T T T Átszorzás utá kapjuk a bizoyítadó állítást 3 pot b) rész: 0 pot Összese: 6 pot 7

8 Fazakas Tüde, 05 ovember feladat a) x = / + k, ahol k egész b) A metszéspot: P ; Az éritő egyelete: y x A six függvéy grafikojához húzott éritő meredekségét a deriváltból kapjuk: cos Az éritő egyelete: y x A cosx grafikojához húzott éritő meredeksége a (cosx) = - six deriváltból: b) rész: 7 pot c) A területet úgy kapjuk, hogy a cosx függvéygörbéje alatti területből kivojuk a six görbéje alatti területet a megfelelő itervallumba A területet itegrálással határozzuk meg 0 0 cosx dx 0 si si A keresett terület: si 0 x dx cos cos0 c) rész: 7 pot Összese: 6 pot 8

9 Fazakas Tüde, 05 ovember 7 feladat a) Redre 333, 0, 3 pot b) A-ak és B-ek együtt 533 eleme va, de ekkor a közös elemeket kétszer számoltuk, ezért a metszet elemszámát le kell voi 5-tel osztható szám 66 va Így az uióak 67 eleme va b) rész: 3 pot c) Az A B C halmaz komplemeterébe találhatóak a 3-hoz, 5-höz és 7-hez relatív prímek Először az uió elemeiek számát határozzuk meg A b) részhez hasolóa járuk el A B C A B C A B B C C A A B C A komplemeterek = 57 eleme va 8 feladat 000 a) b) 0 jót és 0 hibásat választuk: 960 c) Aak, hogy ics selejtes a kiválasztottak között pot c) rész: 0 pot Összese: 6 pot a valószíűsége Aak a valószíűsége, hogy a kiválasztott köyvek közül legalább egyek selejtes a 960 kötése 000 9

10 Fazakas Tüde, 05 ovember d) 0 egész p 000 Belátjuk, hogy p p Mivel a evezők megegyezek, elég csak a számlálókat vizsgáli 0! 960! 0! 960!!(0 )! ( )! (90 )! ( )! ( )! ( )! (939 )! A számlálókkal egyszerűsítük, a evezőkkel keresztbe szorzuk Rögtö a faktoriálisokból is egyszerűsítük 90 3 pot Beszorzás utá a égyzetes tag kiesik Ez mide pozitív egész -re teljesül, tehát aak a legagyobb a valószíűsége, hogy em vettük ki selejtet d) rész: 0 pot Összese: 6 pot 9 feladat a) A szokásos jelölésekkel: 5 3 d A égy szám: 3,,, b) q A égy szám: 5, 7 5, 7 5, 7 c) Idirekte bizoyítuk Tegyük fel, va ilye mértai sorozat Ekkor létezek olya k és pozitív egészek, melyekre 5 7 q és q k 3 5 0

11 Fazakas Tüde, 05 ovember A két egyelőséget k-adik illetve -edik hatváyra emelve: k q 5 3 k 7 5 Redezés és égyzetre emelés utá: 5 k + = 3 k 7 Midkét oldalo egész szám áll, a bal oldalo egy 5-tel osztható, a jobb oldalo viszot egy 5-tel em osztható Elletmodás, tehát a feladat állítása igaz c) rész: 5 pot d) Idirekte bizoyítuk Tegyük fel, hogy va olya k és pozitív egész, melyekre d k Tehát a háyados egyelő lee egy r racioális számmal 7 5 Ebből r 5 3 r 7 Négyzetre emelük: 5 r 3 7r r A bal oldalo racioális, míg a jobbo irracioális szám áll, hisze r 0 és gyöke irracioális Elletmodást kaptuk, tehát a feladat állítása igaz d) rész: 7 pot Összese: 6 pot