3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló"

Átírás

1 . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV 01/01; I. kategória, 1. forduló 0 0. Tudjuk, hogy =. Háy olya pozitív osztója va az számak, amely kisebb -él és em osztója -ek? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/01; kezdők, I-II. kategória,. forduló. Melyek azok az N pozitív egész számok, amelyekek prímtéyezős felbotásába csak a és a hatváyai szerepelek, és N összes osztójáak a száma harmadrésze N osztói számáak? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/01; haladók, I. kategória, 1. forduló 5. Melyek azok a pozitív egész számok, amelyekek darab pozitív osztójuk va? KöMaL, április, C Va-e olya égyzetszám, amelyek ugyaayi k + 1 alakú pozitív osztója va, mit k + alakú? KöMaL, 000. március, B Tekitsük azokat a természetes számokat, amelyek osztóiak számát megkapjuk úgy, hogy a prímtéyezős felbotásukba szereplő prímszámok szorzatából kivojuk a hatváykitevők szorzatát. Ilye például a 5 és a 600 is. Bizoyítsuk be, hogy végtele sok ilye szám va. KöMaL, 000. február, B.. 8. Az pozitív egész számot egzotikusak evezzük, ha osztható a pozitív osztóiak számával. Bizoyítsuk be a következő állításokat: a) Ha egy egzotikus szám páratla, akkor ez a szám égyzetszám. b) Végtele sok egzotikus szám va. KöMaL, 01. október, B A pozitív egész szám osztóit agyság szerit övekedve felírtuk, az első volt az 1. A sorredbe a hatodik lett a 5. Keressük meg azt a legkisebb értéket, amire ezek teljesülek. OKTV 011/01; II. kategória,. forduló 10. Egy egész számak két prímosztója va. Osztóiak száma 6, osztóiak összege 8. Melyik ez a szám? KöMaL, 009. október, C Melyek azok a pozitív egészek, amelyekek potosa égy pozitív osztójuk va, és ezek összege 8? OKTV 006/007; II. kategória, 1. forduló 1

2 1. Egy téglatest mide éléek mérőszáma egész. A téglatest térfogatáak, fél felszíéek és az egyik csúcsba befutó élek hosszáak mérőszámait összeadva 000-et kapuk. Mekkorák a téglatest élei? KöMaL, 000. jauár, C Egy téglatest éleiek mérőszámai egészek. A téglatest térfogatáak, fél felszíéek, és az egy csúcsból kiiduló élek hosszáak mérőszámait összeadva 01-et kapuk. Mekkorák a téglatest élei? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/015; haladók, I. kategória,. forduló 1. Melyek azok az a, b, c egész számok, amelyekre teljesül az alábbi egyelőség? ab + bc+ ca= b+ c+ abc OKTV 005/006; I. kategória, 1. forduló Melyek azok az természetes számok, amelyekre + 1 prímszám? OKTV 01/01; I. kategória, 1. forduló 16. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a p+ q, p+ q, p+ q, p+ q számok midegyike prím? OKTV 01/01; II. kategória, 1. forduló 17. Bizoyítsa be, hogy 9 darab egymást követő egész szám égyzetéek összege a) em lehet prímszám, b) em lehet égyzetszám. Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 009/010; haladók, II. kategória, 1. forduló 18. Bizoyítsa be, hogy!+ 007 egyetle pozitív egész szám eseté sem prímszám, és em is égyzetszám. Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 007/008; haladók, II. kategória, 1. forduló 19. Bizoyítsa be, hogy összetett szám. 0. Mutassa meg, hogy összetett szám. KöMaL, 009. március, C.98. KöMaL, 010. február, B.. 1. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyek fele egy egész szám égyzete, ötöde pedig egy egész szám harmadik hatváya? Kalmár László Matematikaversey országos dötője 1998; 6. osztályosok verseye. Háy N pozitív egészre teljesül, hogy N 5 egy egész szám hetedik, N 7 pedig egy egész szám ötödik hatváya? OKTV 01/01; III. kategória, 1. forduló. Adjuk meg azokat az egymást követő egész számokat, amelyekek az összege 100. KöMaL, 005. május, C Háyféle módo állítható elő a 008 éháy (egyél több) egymást követő pozitív egész szám összegekét? OKTV 008/009; I. kategória, 1. forduló

3 5. Háyféleképpe kaphatuk összegül 000-et, ha éháy darab (legalább kettő) közvetleül egymást követő pozitív egész számot aduk össze? OKTV /000; I. kategória,. forduló 6. Háyféleképpe írható fel egymás utá következő pozitív egész számok összegekét? KöMaL,. december, B.. 7. Háyféleképpe bothatjuk fel az 1995-öt egymás utá következő pozitív páratla számok összegére? KöMaL, 199. október, Gy Ha A = és B =111111, akkor meyi A és B legagyobb közös osztója? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/01; haladók, I. kategória, 1. forduló 9. Meyi a 187 és a 1111 számok legagyobb közös osztója? 0. Meyi a legagyobb közös osztója a 1 1 és a számokak? 1. Melyik az a legagyobb egész, amelyre + 10 osztója az számak?. Háy olya természetes szám va, amelyre osztható ( +1) -gyel?. Mely 1-él agyobb egész számok lehetek két egymást követő + alakú szám közös osztói? OKTV 01/015; III. kategória, 1. forduló. Va-e olya 199-mal osztható szám, amelyek utolsó égy számjegye 199? Varga Tamás Matematikaversey 199/199; 7. osztályosok verseye [átfogalmazott feladat] 5. Adja meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amellyel az -et megszorozva a kapott szám utolsó égy jegye 001. KöMaL, 000. március, C Egy hatjegyű számot úgy lehet hárommal szorozi, hogy az első jegyét hárommal csökketjük, és a végére íruk egy hármast. Melyik ez a szám? KöMaL, 007. jauár, C Godoltam egy hatjegyű számot. Az első számjegyét letöröltem és átírtam a végére, így az eredeti szám háromszorosát kaptam. Melyik számra godoltam? KöMaL, 006. szeptember, B Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyek utolsó számjegye 6, és ha az utolsó helyről a 6-os számjegyet az első helyre tesszük miközbe a többi számjegy változatla marad, akkor a szám -szeresét kapjuk? Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója 1991; 5. osztályosok verseye Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, 196

4 II. Megoldások 1. Háy égyzetszám osztója va a számak? Megoldás: A égyzetszám osztókba a prímkitevők párosak. A kitevője 0,, vagy 6 lehet; a kitevője 0, vagy ; az 5 kitevője 0 vagy ; a 7 kitevője 0 vagy. Így a égyzetszám osztókba a kitevők megválasztására = 8 lehetőség va.. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV 01/01; I. kategória, 1. forduló Megoldás: A p prímszámokak va potosa két pozitív osztójuk: 1 és p. A p prímek égyzetéek, Ezek miatt = p és 1= q p -ek va potosa három pozitív osztójuk: 1, p és +, ahol p és q prímszámok. Az és + 1 számok egyike páros, azaz p és páros prím va, ez a. Ha p =, akkor = és + 1=, ám ics olya q prímszám, amelyre p. q, és így p és q egyike páros. Egyetle = q. Ha q =, akkor q = = + 1, így =, azaz p =. Ez megoldás, és ez az egyetle megoldás. + 01= + 01= 015= Az + 01= 015-ek = 8 osztója va Tudjuk, hogy =. Háy olya pozitív osztója va az számak, amely kisebb -él és em osztója -ek? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/01; kezdők, I-II. kategória,. forduló 60 0 Megoldás: = osztóiak száma 61 1= 501. Az szám egyik osztója az. A többi 500 osztó úgy sorolható osztópárokba ( ab= ), hogy a és b közül az egyik kisebb 500 mit. Így az számak = 150 -él kisebb pozitív osztója va. Eze 150 osztó közül el kell hagyuk azokat, amelyek osztói -ek is, azaz az szám összes osztóját, kivéve magát az számot. Ezek száma: 1 1 1= 650. A keresett osztók száma: = Melyek azok az N pozitív egész számok, amelyekek prímtéyezős felbotásába csak a és a hatváyai szerepelek, és N összes osztójáak a száma harmadrésze N osztói számáak? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/01; haladók, I. kategória, 1. forduló a b Megoldás: Az N szám prímtéyezős alakja N =. Az osztók számára feálló feltétel szerit ( )( ) ( 1)( b+ 1) a + 1 b+ 1 =. Ie a ab + b+ = ab+ b+ 1 egyelethez jutuk, azaz ab a b = 0.

5 Keressük az egyelet megoldásait a pozitív egészek körébe. Ha lehet, érdemes az összeget szorzattá alakítai. ab a b+ 1=, azaz ( a 1 )( b 1) =. Ha a 1, b 1, akkor két lehetőség va: 1 = és 1=, így a megoldások a =, b= és a =, b=. Két olya N szám va, amely megoldása a feladatak: N = = és N = = Melyek azok a pozitív egész számok, amelyekek darab pozitív osztójuk va? KöMaL, április, C.9. Megoldás: Egy pozitív szám osztóit párokba tudjuk állítai úgy, hogy egy-egy pár szorzata magát a számot adja. Például 1 eseté az osztópárok: ( 1, 1), (, 6), (, ). (Négyzetszá-, párba.) mok eseté az egyik osztópárba a két osztó ugyaaz, pl. 16 eseté a ( ) A szorzat téyezői közül az egyik értéke legfeljebb, külöbe midkét téyező agyobb lee -él, és a szorzatuk agyobb lee -él. Ezek szerit d( ), ahol ( ) d jelöli az szám osztóiak számát. A feladat szerit most d ( ) =, és mit tudjuk,. Ebből az egyelőtleségből, azaz 16 adódik. egész szám, azaz páros, és 16, ezért elegedő az =,, 6, 8, 10, 1, 1 és 16 számokat elleőrizi. Csak a 8 és a 1 megoldása a feladatak. 6. Va-e olya égyzetszám, amelyek ugyaayi k + 1 alakú pozitív osztója va, mit k + alakú? KöMaL, 000. március, B.57. Megoldás: Egy szám osztóiak száma potosa akkor páratla, ha a szám égyzetszám. Ez például következik az osztók párokba állításából. Az osztópárokba az osztó és a társosztó szorzata magát a számot adja. Ha a szám égyzetszám, akkor az osztók párba állításáál egyetle osztóak, a szám égyzetgyökéek em jut (tőle külöböző) pár, így az osztók száma valóba páratla. Legye a keresett égyzetszám N. Eek páratla számú osztója va, és ha ezek az osztók csak k + 1 és k + alakúak leéek, akkor em lehete ugyaayi midegyikből. Legye N = a alakú, ahol a pozitív egész szám, pedig -mal em osztható pozitív egész. Ekkor N a =, és N k + 1 alakú és k + alakú osztói együttese éppe az osztóit adják. Ezek száma páratla lévé, a k + 1 és k + alakú osztók száma szükségképpe külöböző. 7. Tekitsük azokat a természetes számokat, amelyek osztóiak számát megkapjuk úgy, hogy a prímtéyezős felbotásukba szereplő prímszámok szorzatából kivojuk a hatváykitevők szorzatát. Ilye például a 5 és a 600 is. Bizoyítsuk be, hogy végtele sok ilye szám va. KöMaL, 000. február, B.. 5

6 Megoldás: Mely számokál legegyszerűbb kiszámoli a prímtéyezős felbotásukba szereplő prímszámok szorzatáak és a hatváykitevők szorzatáak külöbségét? Akkor, ha ez a szám egy prímek a hatváya. Tekitsük egy páratla prímszámot, legye ez p = k+ 1, és vizsgáljuk a p számot. A p szám osztóiak száma + 1. A p szám prímtéyezős felbotásába egyetle prím szerepel, ez p = k+ 1, és ha ebből kivojuk a hatváykitevők szorzatát, azaz -et, akkor ( k+ 1) = k+ 1-et, az osztók számát kapjuk, tehát = k. k Azt kaptuk, ha p = k+ 1 prímszám, akkor a p számra kiszámolva a prímtéyezős felbotásába szereplő prímszámok szorzatáak és a hatváykitevők szorzatáak külöbségét, k megkapjuk a p szám osztóiak számát. Mivel végtele sok páratla prímszám va, ezért végtele sok, a feladat feltételéek eleget tevő természetes szám va. 8. Az pozitív egész számot egzotikusak evezzük, ha osztható a pozitív osztóiak számával. Bizoyítsuk be a következő állításokat: a) Ha egy egzotikus szám páratla, akkor ez a szám égyzetszám. b) Végtele sok egzotikus szám va. KöMaL, 01. október, B.651. d ( ) miatt ( ) Megoldás: a) Ha egy egzotikus szám páratla, akkor d páratla, tehát égyzetszám. [Jól ismert és korábba láttuk, hogy egy szám osztóiak száma potosa akkor páratla, ha a szám égyzetszám.] b) Sokféle kostrukcióval igazolható az állítás. Néháy ezekből: 1 Az = számok egzotikusak, és ezek száma végtele. Az = p p 1 számok egzotikusak, ahol p prímszám, hisze az osztók száma p. A prímszámok száma végtele, így az egzotikus számok száma is végtele. Az = 8p számok egzotikusak, ahol p prímszám, hisze az osztók száma 8. A prímszámok száma végtele, így az egzotikus számok száma is végtele. Az = 9 p számok egzotikusak, ahol p prímszám, hisze az osztók száma 9. A prímszámok száma végtele, így az egzotikus számok száma is végtele. Az = 6 pq számok egzotikusak, ahol p és q külöböző, -ál agyobb prímszámok. d ( ) = 6, tehát egzotikus, és végtele sok ilye szám va. 9. A pozitív egész szám osztóit agyság szerit övekedve felírtuk, az első volt az 1. A sorredbe a hatodik lett a 5. Keressük meg azt a legkisebb értéket, amire ezek teljesülek. OKTV 011/01; II. kategória,. forduló Megoldás: Legye az első hat osztó 1= d 1 < d < d < d < d5 < d6 = 5. Ezek között szerepel az 5 és a 7 is. (Hisze 5= 5 7, 5, és az 5 és a 7 prímek, tehát 5 és 7 is osztója - ek.) Az első hat osztó között ott lehet-e a? Ha, akkor az 5-él kisebb osztói között ott va a 10 és a 1 is. Ekkor az 1,, 5, 7, 10, 1 mid osztók, ez pedig hat darab 5-él kisebb osztó. Ami em lehet, hisze csak öt darab 5-él kisebb osztó va. Tehát a em osztója - 6

7 ek. Ugyaígy, ha az osztók között va a, akkor az 1,, 5, 7, 15, 1 is osztók, tehát a sem osztója -ek. Ezek szerit d =, d 7. d és 5 5 = d vagy 7-él agyobb és 5-él kisebb prím, vagy olya összetett szám, melyek midegyik prímtéyezője 5. Ez utóbbi csak a 5 lehet. A legkisebb számot keressük. Ha a két legkisebb prím lesz a hiáyzó két osztó, akkor az 5, 7, 11, 1 számok legkisebb közös többszöröse, ami az Ha a két hiáyzó osztó közül az egyik a 5, a másik a 11, akkor a 5, 7, 11 számok legkisebb közös többszöröse, ami az 195. A keresett szám az Egy egész számak két prímosztója va. Osztóiak száma 6, osztóiak összege 8. Melyik ez a szám? KöMaL, 009. október, C Megoldás: A keresett szám prímtéyezős alakja: ( + 1 )( b+ 1) = 6 a, így az a és b kitevők 1 és, = p q. osztói 1, p, p, q, pq, p q ; összegük: ( 1+ p + p )( 1+ q) = 8. 1 p+ p + értéke = em lehet osztója 8-ak. Csak = A keresett szám: = = 1. a b = p q. Az osztók száma 6, tehát p eseté 7; p= -ra 1; és p= 5 -re már 1, ez agyobb 8-ál, így p lehet megoldás, ekkor ( 1 + )( 1+ ) = 8 + q, q =. 11. Melyek azok a pozitív egészek, amelyekek potosa égy pozitív osztójuk va, és ezek összege 8? OKTV 006/007; II. kategória, 1. forduló Megoldás: Legye a keresett szám. A égy osztó között va az 1 és az, és a másik két osztó a és b, 1 < a < b<, ahol a= p, b= p, és p prímszám, vagy a és b külöböző prímek. Ha a= p és b = p (p prímszám), akkor 1+ p + p + p = 8. Elleőrzés mutatja, hogy eek az egyeletek ics megoldása a prímek körébe. p = vagy eseté a bal oldali összeg kisebb 8-él, míg p= 5 -re és agyobb prímekre az összeg agyobb 8-él. Ha a és b külöböző prímek, akkor 1 + a + b+ = 1+ b+ ab= ( 1+ a)( 1+ b) = 8. (Felhaszáltuk, hogy ab=.) Ezek szerit a 8-et kell két egész szám szorzatakét felíri. A lehetséges szorzatok (az osztópárok alapjá): 8= = 8= 1= 6 1= 7 1, és az ie adódó a és b értékek csak egy esetbe leszek prímek, ezek a = 5 és b = 1. Tehát egy ilye szám va, az = 5 1= Egy téglatest mide éléek mérőszáma egész. A téglatest térfogatáak, fél felszíéek és az egyik csúcsba befutó élek hosszáak mérőszámait összeadva 000-et kapuk. Mekkorák a téglatest élei? KöMaL, 000. jauár, C.567. Megoldás: A téglatest élei a, b, c. A feltétel szerit abc + ab+ bc+ c b+ c=

8 Keressük az egyelet megoldásait a pozitív egészek körébe. Ha lehet, érdemes az összeget szorzattá alakítai. Növeljük meg midkét oldalt 1-gyel: abc + ab+ bc+ c b+ c+ 1= 001. Ekkor a bal oldal szorzattá alakítható: ( a + 1 )( b+ 1)( c+ 1) = = 9, és midhárom téyező prímszám. Ezért az élek hosszai, azaz a, b, c értékei csak,, 8 lehetek (valamilye sorredbe). 1. Egy téglatest éleiek mérőszámai egészek. A téglatest térfogatáak, fél felszíéek, és az egy csúcsból kiiduló élek hosszáak mérőszámait összeadva 01-et kapuk. Mekkorák a téglatest élei? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/015; haladók, I. kategória,. forduló Megoldás: A feladat megoldása azoos az előzővel, csak 000 helyett 01-gyel számoluk. Ha a téglatest élei a, b, c, akkor az előző megoldás alapjá ( a + 1 )( b+ 1)( c+ 1) = 015. Mivel 015= 5 1 1, és midhárom téyező prímszám, így az élek hosszai csak, 1, 0 lehetek (valamilye sorredbe). 1. Melyek azok az a, b, c egész számok, amelyekre teljesül az alábbi egyelőség? ab + bc+ ca= b+ c+ abc OKTV 005/006; I. kategória, 1. forduló Megoldás: Az ab + bc+ ca= b+ c+ abc egyelet megoldásait keressük az egészek körébe. Ha lehet, érdemes az összeget szorzattá alakítai: abc ( ab+ bc+ ca) + ( b+ c) = 0, abc ( ab+ bc+ ca) + ( b+ c) 1= 1, és itt a bal oldal szorzattá alakítható: ( a 1)( b 1)( c 1) = 1. A bal oldalo álló szorzat téyezői 1, 1, 1 vagy 1, 1, 1 (ezek tetszőleges sorredbe). Így az egyelet a, b, c megoldásai: a = 0, b= 0, c= 0; a =, b=, c= 0 ; a =, b= 0, c= és a = 0, b=, c= Melyek azok az természetes számok, amelyekre + 1 prímszám? OKTV 01/01; I. kategória, 1. forduló Megoldás: + + 1= + 1= 6 + 1, és a 6 mide pozitív egész kitevős hatváya 6-ra végződik, ezért utolsó számjegye 5, ha > 0. Az 5-re végződő számok oszthatók 5-tel, és pozitív egész -ekre agyobb 5-él, tehát ez a szám össze- tett szám. Ha = 0, akkor 6 + 1= 5, és ez prímszám. + Tehát egy olya természetes szám va, amelyre + 1 értéke prímszám, és ez a 0. 8

9 16. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a p+ q, p+ q, p+ q, p+ q számok midegyike prím? OKTV 01/01; II. kategória, 1. forduló Megoldás: Ha p és q midegyike páratla prím, akkor p+ q páros összetett szám, ezért ilye esetbe em találuk megoldást. p és q midegyike em lehet páros prím, azaz, mert ekkor p + q=, és ez sem prím. Ezek miatt p és q egyike páros (azaz ), és a másik páratla. Nézzük azt az esetet, ha p =. Ha q =, akkor a p+ q, p+ q, p+ q, p+ q számok midegyike prím, ezek a számok 5, 11, 9, 8. Ha q >, akkor két lehetőség va: q = k+ 1 vagy q = k+, ahol k természetes szám. Az első esetbe p+ q osztható -mal és agyobb -ál, így összetett szám. A második esetbe p+ q lesz -mal osztható összetett szám. Nézzük azt az esetet, ha q =. Ha p =, akkor a p+ q, p+ q, p+ q, p+ q számok midegyike prím, ezek a számok 5, 7, 11, 19. Ha p >, akkor most is két lehetőség va: p = k+ 1 vagy p = k+, ahol k természetes szám. Az első esetbe p+ q osztható -mal és agyobb -ál, így összetett szám. A második esetbe szám. q p+ q lesz -mal osztható összetett Azt kaptuk, hogy a feladat feltételeiek két ( p, ) számpár felel meg, a (, ) és a (, ). 17. Bizoyítsa be, hogy 9 darab egymást követő egész szám égyzetéek összege a) em lehet prímszám, b) em lehet égyzetszám. Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 009/010; haladók, II. kategória, 1. forduló Megoldás: a) Ha páratla sok egymást követő egész számot vizsgáluk, akkor érdemes a középső számot választai sarokkőek. Jelölje a 9 darab egymást követő egész szám közül a középsőt. Ekkor az ( ), ( ), ( ), ( 1) ( + ) számok összege ( + 0),, ( + 1), ( + ), ( + ), =, és ez em lehet prímszám, mert két 1-él agyobb egész szám szorzata. b) Tegyük fel, hogy N = értéke valamely -re égyzetszám. N osztható -mal, és feltevésük szerit égyzetszám, ezért 9-cel is oszthatóak kell leie, ami em teljesül. Ugyais a összeg első tagja osztható 9-cel, míg a második tag em, így az összeg sem osztható 9-cel. Ez az elletmodás bizoyítja a feladat állítását. 18. Bizoyítsa be, hogy!+ 007 egyetle pozitív egész szám eseté sem prímszám, és em is égyzetszám. Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 007/008; haladók, II. kategória, 1. forduló Megoldás: 007 osztható -mal, és! is osztható -mal, ha, így ezekre az -ekre!+ 007 egy -mal osztható, -ál agyobb szám, tehát összetett szám. = 1 eseté!+ 007 értéke 008, = eseté 009, és midkettő összetett ( 008= 100, 009= 7 87 ). Beláttuk, hogy!+ 007 értéke egyetle pozitív egész szám eseté sem lesz prímszám. 9

10 Ha 5, akkor az! szám osztható 10-zel, így 0-ra végződik. Emiatt ekkor az!+ 007 szám utolsó számjegye 7, így ez em lehet égyzetszám, mivel a égyzetszámok csak 0, 1,, 5, 6 és 9 számjegyekre végződhetek. = 1,,, eseté!+ 007 értéke redre 008, 009, 01, 01, ám ezek egyike sem égyzetszám, mert = 196, 5 = 05 és 6 = 116. Vizsgálataik azt mutatják, hogy!+ 007 egyetle pozitív egész szám eseté sem lesz égyzetszám. 19. Bizoyítsa be, hogy összetett szám. KöMaL, 009. március, C.98. Megoldás: Az állítást igazolhatjuk úgy, hogy belátjuk: az szám osztható valamely em túl agy m számmal (például -mal), de em láti ilye osztót. Egy másik lehetőség a bizoyításra, hogy az számot szorzattá alakítjuk. Ez a szám a + alakú, és a + = ( a + ) a = ( a + ) ( a) = ( a + )( a ) a = 5, így 5 = ( )( ) Most +, és itt midkét téyező 1-él agyobb, ezzel beláttuk az állítást. Megjegyzés: Az a + = ( a + )( a ) a b = ( a + ab+ b )( a ab+ b ), illetve az + azoosság Sophie Germai ( ) evéhez kötődik (Sophie Germai-azoosság).. 0. Mutassa meg, hogy összetett szám. KöMaL, 010. február, B.. Megoldás: A feladat hasoló az előzőhöz. A szám a + 6 alakú. a + 6= ( a + 8) 16a = ( a + 8) ( a) = ( a + 8)( a 8) Ezért 65 6= ( )( ) + két 1-él agyobb szám szorzata, azaz összetett szám. Megjegyzés: Gyakorlásul lássuk be, hogy az , számok összetett számok.. 1. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyek fele egy egész szám égyzete, ötöde pedig egy egész szám harmadik hatváya? Kalmár László Matematikaversey országos dötője 1998; 6. osztályosok verseye Megoldás: Ha bízuk abba, hogy a keresett szám em olya agy, akkor kereshetjük így is a megoldást: A keresett szám páros (hisze a fele égyzetszám), és 5-szöröse egy köbszámak. Ezért a köbszám páros. A köbszám 5-szöröséek a fele égyzetszám, így ha a prímtéyezőkre figyelük, akkor látjuk, hogy a köbszám osztható 5-tel. A páros köbszámok közül az 10

11 első 5-tel osztható a 10 = Eek 5-szöröséek a fele 500, és ez 50-ek a égyzete. Ezek alapjá a keresett szám az Oldjuk meg úgy is, hogy a szokásos eszköztárat haszáljuk. A keresett szám N. A feltételek szerit N = m, N = 5, ahol, m pozitív egész szám. a b Ezek miatt N osztható -vel is, 5-tel is: N = 5 M, ahol M relatív prím -höz, 5-höz és a b a, b 1. A szám fele N = 1 5 M égyzetszám, ezért a 1 és b páros és M égyzet- a b 1 szám. A szám ötöde N = 5 M köbszám, ezért a és b 1 osztható -mal és M köbszám. A legkisebb a szám, amely osztható -mal és a 1 páros, az a =. A legkisebb b szám, amely páros és b 1 osztható -mal, a b =. M -re az a megszorító feltétel, hogy égyzetszám és köbszám is, és azt várjuk, legye a lehető legkisebb. Szerecsére a legkisebb pozitív egész ilye: M = 1. Ezek miatt a keresett szám N = 5 = Háy N pozitív egészre teljesül, hogy N 5 egy egész szám hetedik, N 7 pedig egy egész szám ötödik hatváya? OKTV 01/01; III. kategória, 1. forduló 7 5 Megoldás: A keresett szám N. A feltételek szerit N = 5, N = 7k, ahol és k pozitív a b egészek. Ezek miatt N osztható 5-tel is, 7-tel is: N = 5 7 M, ahol M relatív prím 5-höz a b és 7-hez, és a, b 1. A szám ötöde N = M hetedik hatváy, ezért a 1 és b is a b 1 osztható 7-tel, és M hetedik hatváy. A szám hetede N = 5 7 M ötödik hatváy, ezért a és b 1 is osztható 5-tel, és M ötödik hatváy. Az a kitevő osztható 5-tel és a 1 osztható 7-tel, ilye szám például az a = 15. A b kitevő osztható 7-tel és b 1 osztható 5-tel, ilye szám például a b = 1. 5 Az M számról tudjuk, hogy ötödik hatváy és hetedik hatváy is, tehát M = m, ahol m pozitív egész. Így végtele sok olya számot találtuk (és vaak még ezektől külöböző számok is), amely teljesíti a feladat feltételeit, ezek N = 5 7 m, ahol ( m, 5) = 1, hisze végtele sok olya m természetes szám va, amelyre ( m, 5) = 1 teljesül. (Az ( m, 5) = 1 feltétel elhagyható.). Adjuk meg azokat az egymást követő egész számokat, amelyekek az összege 100. KöMaL, 005. május, C.811. Megoldás: Legye a vizsgált darab egymás utái szám: a + 1,, K,. Ekkor ( 1 ) ( ) ( ) ( + 1 ) + + K + = 100, = 100, ( + 1) = 00. Ha páros, akkor ( a + + 1) páratla; páratla, akkor ( a + + 1) páros. és ( a + + 1) külöböző párosságú, ezért az osztó-társosztó párokba az egyik osztó páratla (a másik osztó páros lesz, hisze a szorzatuk 00). A 00 páratla osztói 1, 5 és 5; ezek társosztói 00, 0 és 8. A lehetséges megoldások: = 1, 5, 8, 5, 0, 00. Az ezekhez a + 1 értékek: 100, 18, 9, 8, 17, 99. tartozó ( ) 11

12 A feladat megoldásai: Az db egymást követő egész szám összege , 19, 0, 1, 8 9, 10, 11, 1, 1, 1, 15, , 7, 6,, 6, 7, 8, 9, 10,, , 16,, 16, 17, 18, 19, 0, 1, 00 99, 98,, 98, 99, 100. Háyféle módo állítható elő a 008 éháy (egyél több) egymást követő pozitív egész szám összegekét? OKTV 008/009; I. kategória, 1. forduló Megoldás: Legyeek az egymást követő pozitív egész számok: a + 1,, K,, a 0,. Ekkor ( 1 ) + ( ) + K + ( ) = 008, ( + 1 ) = 008, ( + 1) = 016. A két téyező külöbsége ( a + + 1) = 1 páratla, ezért a két téyező egyike páros, a másik páratla. A 016 prímtéyezős felbotása: 016= 51. Így az ( + 1) = 016 bal oldala kétféleképpe lehet egy páros és egy páratla (1-él agyobb) szám szorzata: és 51 16, tehát két esetet kell vizsgáli. Ha = 16, akkor a + + 1= 51, a + 17= 51, a = 117. Megtaláltuk a 008 egyik előállítását: K + 1= 008. Ha = 51, akkor a + + 1= 16, a + 5= 16, a = 118. Most is találtuk olya egymást követő számokat, melyek összege 008: ( 117 ) + ( 116) + ( 115) + K + 1= 008, csak most em teljesül, hogy az összeadadók midegyike pozitív szám. Tehát a 008 számot csak egyféleképpe tudjuk egyél több egymás utái pozitív egész összegekét előállítai. 5. Háyféleképpe kaphatuk összegül 000-et, ha éháy darab (legalább kettő) közvetleül egymást követő pozitív egész számot aduk össze? OKTV /000; I. kategória,. forduló Megoldás: A feladat hasoló az előzőhöz. Legyeek az egymást követő pozitív egész számok: a + 1,, K,, a 0,. Ekkor ( 1 ) + ( ) + K + ( ) = 000, ( + 1) = 000, és mit tudjuk, a két téyező egyike páros, a másik páratla. 5 A 000 prímtéyezős felbotása: 000= 5. A 000 páratla osztói 1, 5, 5 és 15. Ezek miatt az ( + 1) = 000 egyelőség bal oldalá álló lehetséges szorzatok: 1 000, 5 800, 5 160, 15, 000 1, 800 5, 160 5, 15. 1

13 Mid a yolc szorzat alapjá találuk éháy egymást követő egész számot, melyek összege 000. Ezekbe az esetekbe az egymást követő egész számok száma: = 1, 5, 5, 15, 000, 800, 160, illetve ; és az egymást követő egész számok közül az első: 000, 98, 68, 6,, 97, 67, 7. Eze megoldások közül éháyat kizáruk a feladat feltételei miatt. = 1 eseté egyetle számból áll az összeg, így ez a feladatak em megoldása. Kizárjuk az előzőek közül azokat, amikor em csak pozitív számokat aduk össze. Három megoldás maradt: = 5 eseté = 000, = 5 eseté K + 9= 000, és az = esethez tartozó K + 78= Háyféleképpe írható fel egymás utá következő pozitív egész számok összegekét? KöMaL,. december, B.. Megoldás: A szám agy szám, ézzük meg helyette kisebb számra, hogy az háyféleképpe áll elő egymást követő pozitív egész számok összegekét. Vizsgáljuk meg, háyféleképpe áll elő az 5 egymást követő egész számok összegekét. A pozitív számok körébe két megoldás va: 5= 5 és + = 5. Midegyikek va még egy párja. 5= 5 párja: (( ) + ( ) + ( ) + ( 1) ) + 5= 5, + = 5 párja: (( 1 ) ) + + = 5. Az 5 egymást követő egész számok összegekét -féle módo állítható elő. Azt látjuk, hogy ha az számot előállítjuk egymást követő egész számok összegekét az összes lehetséges módo, akkor az előállítások párokba redezhetők. Egy pozitív összeadadókból álló előállításhoz tartozik egy olya összeg, amelybe va emegatív összeadadó is. (Ugyais, ha a pozitív összeadadókból álló összegbe a legkisebb összeadadó a, akkor az összeget egészítsük ki az ( a 1), ( a ), K, ( a 1) számokkal.) Ha az összegbe va empozitív összeadadó, akkor a agyság szerit egymás utá következő számokból elhagyható az első éháy úgy, hogy az elhagyottak összege ulla, és a megmaradó összeadadók pozitívak.) Tehát az egész számok körébe törtéő előállításokak a fele olya, amely összegekbe csak pozitív egészek vaak. Háyféleképpe írható fel egymás utá következő egész számok összegekét? Legyeek az egymást követő egész számok: a + 1,, K,. Ekkor ( 1 ) + ( ) + K + ( ) =, ( + 1) =. Mivel prímszám, így -ek 000 osztója va, és bármely osztó-társosztó párba az egyik osztó páros, a másik páratla, így mide osztóhoz tartozik egy megoldás, azaz éháy egymást követő egész szám, amelyek összege. Ezért 000-féle módo lehet megadi éháy egymást követő egész számot, amelyek összege. Ahogya láttuk, az esetek fele olya, amikor az összeadadók pozitív számok. Tehát 000 = 000 olya összeg va, melybe az összeadadók egymást követő pozitív egészek, és az összeg értéke. 1

14 7. Háyféleképpe bothatjuk fel az 1995-öt egymás utá következő pozitív páratla számok összegére? KöMaL, 199. október, Gy.95. Megoldás: Legyeek az egymás utá következő pozitív páratla számok: a +, a +,,, ahol a 1 páratla szám. Ekkor ( ) + ( ) + K + ( ) = 1995, ( + 1 ) = 1995, ( + 1 ) = Ayiféle felbotás va, aháyféleképpe az 1995-öt két egész szám szorzatára bothatjuk. Az a kérdés, háy olya pozitív egész va, amely osztója 1995-ek. 1995= , így 1995 osztóiak száma = 16. Ezért az 1995-öt 16-féleképpe bothatjuk fel egymás utá következő páratla számok öszszegére. Eze összegek között ics olya, melyek a legkisebb tagja az 1, hisze az 1,, 5,..., k 1 számok összege égyzetszám ( = k ), és az 1995 em égyzetszám: = 196, ( ) 5 = 05. Így az előző feladat megoldásába tapasztaltak szerit mide pozitív összeadadókból álló összeg kiegészíthető egatív tagokkal (pl. a, 5, 7 számok összege ugyaayi, mit a 1, 1,, 5, 7 számok összege). Ugyaakkor a egatív számokat tartalmazó összegből elhagyható éháy tag úgy, hogy az elhagyottak összege ulla, és a megmaradó összeadadók pozitív számok. Ezek szerit a 16-féle felbotás felébe, azaz 8 esetbe teljesül az, hogy az összegek tagjai pozitív számok. Azt kaptuk, hogy az 1995-öt 8-féleképpe bothatjuk fel egymás utá következő pozitív páratla számok összegére. (Ezek között va egy 1-tagú összeg is.) 8. Ha A = és B =111111, akkor meyi A és B legagyobb közös osztója? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 01/01; haladók, I. kategória, 1. forduló Megoldás: Ha d osztója mid a két számak, akkor osztója a két szám külöbségéek is. A B= , tehát d A d osztó páratla, em osztható 5-tel és osztója ak, így d Mivel d és d 1111, ezért d osztója a két szám külöbségéek is = , így d A d osztó páratla, em osztható 5-tel és osztója ek, így d 11. Így a d közös osztó osztója a 11-ek, ezért d = 1 vagy d = 11. A 11-es oszthatósági szabály miatt 11 osztója A -ak és osztója B -ek is. Az A és B számok legagyobb közös osztója Meyi a 187 és a 1111 számok legagyobb közös osztója? Megoldás: Ha d osztója mid a két számak, akkor osztója a két szám külöbségéek is = 7. A keresett közös osztó páratla és osztója 7-ek. 7= 17, ezért a keresett legagyobb közös osztó osztója a 17-ek: vagy 1, vagy 17. Elleőrzés mutatja, hogy a 17 osztója midkét számak, így az előzőek szerit ez a legagyobb közös osztó. Megjegyzés: A két szám prímtéyezős felbotása: 187= = = 17 és 1111= ( ) 101 1

15 0. Meyi a legagyobb közös osztója a 1 1 és a számokak? Megoldás: Az a a kifejezést szorzattá alakítjuk: a a= a a 1 = a a 1 1 = a 1 a 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Így 1 1= és 11 11= , 1 =, ezért a és számok legagyobb közös osztója 11 1= 1. ( ) 1 1. Melyik az a legagyobb egész, amelyre + 10 osztója az számak? Megoldás: + 10 osztója az + 10 = ( + 10) ( + 10 ) ( + 100) = Osztója 10( 10) = ak is. + -ek is, ezért osztója ( ) ( ) = ek, így -ak. Osztója 100 ( + 10) = ek, emiatt ( ) ( ) = 900 -ak is. +10 osztója 900-ak, tehát , 890, és az = 890 teljesíti is az oszthatóságot: = 900 ( ) + 100= = 900A és = ( ) , továbbá A, azaz Háy olya természetes szám va, amelyre + Megoldás: = k( + 1) 016 osztható ( +1) -gyel?, > = k = k 1 + 1, és A 015= számak = 8 pozitív osztója va, így + 1-ek összese 8 külöböző értéke lehet, emiatt 8 olya természetes szám va, amelyre oszt- +1 -gyel. ható ( ) k egész, emiatt ( ) ( ) ( )( ). Mely 1-él agyobb egész számok lehetek két egymást követő + alakú szám közös osztói? OKTV 01/015; III. kategória, 1. forduló Megoldás: Legye d > 1 olya szám, amely osztója valamely -re az + és az számokak. Ekkor d osztója a külöbségükek is, osztója + 1-ek. ( + 1) + Ezért d osztója ( + ) ( + 1)( 1) = 1 -ak is, tehát d csak 1 lehet, ha találuk erre példát. A = 9 és = 5 oszthatóságok mutatják, hogy va két olya szomszédos + alakú szám, amelyek osztója a 1. A keresett 1-él agyobb közös osztó egyedül a 1 lehet. 15

16 . Va-e olya 199-mal osztható szám, amelyek utolsó égy számjegye 199? Varga Tamás Matematikaversey 199/199; 7. osztályosok verseye [átfogalmazott feladat] Megoldás: 199-mal osztható számot keresük, azaz 199 egyik többszörösét. Így ézve a feladatot, az a kérdés, mivel szorozzuk meg az 199-at, hogy a szorzat 199-re végződjö. Írjuk fel a várható szorzást! A szorzó utolsó jegye 8 lesz, mert a szorzat csak így végződhet -re. A második részletszorzatak 5-re kell végződie, mert így lehet a tízesek helyé az eredméybe 9 és így tovább. Ezutá a szorzó utolsó előtti jegyét tudjuk meghatározi, majd az azelőttit és így tovább. Az így kapott szorzat: = Tehát va olya 199-mal osztható szám, amelyek utolsó égy számjegye 199, a legkisebb ilye szám a Adja meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amellyel az -et megszorozva a kapott szám utolsó égy jegye 001. KöMaL, 000. március, C.576. Megoldás: A feladat hasoló az előzőhöz. Kezdjük el az írásbeli szorzást! Ismerjük a szorzadót és a szorzat utolsó számjegyeit. A szorzat utolsó jegye 1, és ezt csak úgy kaphatjuk, ha a szorzó utolsó számjegye 9. Ezutá a szorzó utolsó előtti jegyét tudjuk meghatározi, majd az azelőttit és így tovább. Az így kapott szorzat: 5999= Tehát az 5999 a legkisebb pozitív egész, amelylyel az -et szorozva a kapott szám utolsó jegye Egy hatjegyű számot úgy lehet hárommal szorozi, hogy az első jegyét hárommal csökketjük, és a végére íruk egy hármast. Melyik ez a szám? KöMaL, 007. jauár, C.880. Megoldás: A keresett hatjegyű számot írjuk b alakba, ahol a 9, a b pedig ötjegyű egész szám. A szöveg szerit: 16

17 ( a + b) = ( a ) + 10b +, ie a b= = a. 7 Csak a = eseté kapuk b -re ötjegyű pozitív egész számot: b = Így a keresett hatjegyű szám 8571, és valóba 8571= Másképp is megoldhatjuk. Kövessük az írásbeli szorzás lépéseit. Egy most még ismeretle hatjegyű számot -mal szorozva a szorzat -ra végződik. Ezért a szorzadó csak 1-re végződhet, így lesz a szorzat utolsó jegye. Tudjuk, hogy a szorzat utolsó jegye (a -as) előtt a szorzadó számjegyei sorakozak (kivéve a szorzadó első számjegyét), így a szorzadó 1-es számjegyét a szorzat -as számjegye elé írjuk. A szorzat utolsó előtti jegye úgy lesz 1-es, ha a szorzadó utolsó előtti jegye 7. Ezt a 7-est beírjuk a szorzatba is. A szorzás lépéseit így folytatva sorra felgögyölítjük a számjegyeket. (Eek lépéseit látjuk az ábráko.) 7. Godoltam egy hatjegyű számot. Az első számjegyét letöröltem és átírtam a végére, így az eredeti szám háromszorosát kaptam. Melyik számra godoltam? KöMaL, 006. szeptember, B.9. Megoldás: A feltételek szerit: abcdef = bcdefa. Legye A= bcdef, ekkor ( a + A) = 10A+ a, azaz a = 7A, A= 857a. A legfeljebb ötjegyű szám. Így az a (emulla) értéke 1 vagy lehet (-ál már hatjegyű számot kapák). Ha a = 1, akkor a godolt szám 1857, ha pedig a =, akkor A = 857 = 8571, ekkor a godolt szám Köye elleőrizhetjük, hogy ezek a számok megfelelek a követelméyekek. 17

18 8. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyek utolsó számjegye 6, és ha az utolsó helyről a 6-os számjegyet az első helyre tesszük miközbe a többi számjegy változatla marad, akkor a szám -szeresét kapjuk? Kalmár László Matematikaversey megyei fordulója 1991; 5. osztályosok verseye Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, 196 Megoldás: A feltételek szeriti írásbeli szorzást az ábra mutatja. A befestett keretbe midkét helye ugyaaz a szám áll. Kezdjük el az írásbeli szorzást. A szorzat utolsó jegye, és mit tudjuk, a szorzadóba is ugyaazok a számjegyek állak, tehát ezt a -est a szorzadóba a 6-os elé írjuk. Ezt a két lépést ismételjük: kiszámoljuk a szorzat következő számjegyét, majd ezt a számjegyet leírjuk a szorzadóba is. Ezeket a lépéseket látjuk az ábráko. Addig folytatjuk az eljárást, amíg a szorzadóba fel em bukka a 6-os számjegy úgy, hogy az akkori szorzásál em keletkezik átvitel. Megtaláltuk a keresett számot: Oldjuk meg a feladatot egyelet segítségével is. A feltételek szerit: abck pq6 = 6abcK pq. Legye A= abck pq, ekkor ( 10 A+ 6) = A, ahol az A számjegyeiek száma. ( 10 ) A, 9A = 6 10, vagyis 1 = 10 8 A =. Eek a törtek az értéke 1 egész szám. Keressük a legkisebb olya pozitív egész számot, amelyre Kezdjük el vizsgáli a 6, 96, 996, 9996, 99996, számokat, keressük az első 1-mal osztható számot. 5 ( 10 ) 99996= 1 769, így A = = 769= A keresett legkisebb szám 10 A + 6= Ha em a legkisebb számot keressük, akkor megkapjuk a további megoldásokat a 1586 szám többszöri egymás utá írásával: , , 18

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N} 2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

IV. A matematikai logika elemei

IV. A matematikai logika elemei 4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ;

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HATODIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HATODIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HATODIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Ismerkedj a 100 tulajdonságaival! I.) Állítsd elő a 100-at a,, b, 3, c, 4, d, 5 négyzetszám összegeként!

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

SZÁMELMÉLET FELADATSOR

SZÁMELMÉLET FELADATSOR SZÁMELMÉLET FELADATSOR Oszthatóság 1. Az 123x4 számban milyen számjegy állhat x helyén, ha a szám osztható a) 3-mal; e) 6-tal; b) 9-cel; f) 24-gyel; c) 4-gyel; g) 36-tal; d) 8-cal; h) 72-vel? 2. Határozd

Részletesebben

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

Minden feladat teljes megoldása 7 pont

Minden feladat teljes megoldása 7 pont Telefon: 7-8900 Fax: 7-8901 4. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. nap HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Minden feladat teljes megoldása 7 pont 1. 9 kg mogyorót vásároltunk,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

Kombinatorika feladatok

Kombinatorika feladatok Kombiatorika feladatok 1. Tüdérországba csak 2 magáhagzót és 2 mássalhagzót haszálak. A szavakba legalább 1 mássalhagzó és legalább 1 magáhagzó va. Háy külöböző hárombetűs szó létezik Tüdérországba, ha

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12. XXIV. NEMZETKÖZI MGYR MTEMTIKVERSENY Szabadka, 05. április 8-. IX. évfolyam. Egy -as négyzetháló négyzeteibe a bal felső mezőből indulva soronként sorra beirjuk az,,3,,400 pozitív egész számokat. Ezután

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április 11.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április 11. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HETEDIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Ki lehet-e tölteni a következő táblázat mezőit pozitív egész számokkal úgy, hogy

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a b pozitív egészek és tudjuk hogy a 2

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek Kombiatorika! = 1 3 1 ejtsd: faktoriális 0! = 1 1! = 1! = 1 = 5! = 1 3 4 5 = 10 stb! 3! = 1 3 4 1 3 4 1 Vigyázat! Pl: 3! 3! = 1 1 Ismétlés élküli permutáció Elemek egy lehetséges sorbaredezése az elemek

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 1. A 2014-et felírtuk három természetes szám összegeként úgy, hogy ha az első számot elosztjuk

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A 23-as szám című misztikus filmben

Részletesebben

Versenyfeladatok. Bács-Kiskun Megyei Matematikaverseny és KÖMAL feladatok megoldása, elemzése. Készítette: Perity Dóra Témavezető: Somfai Zsuzsa

Versenyfeladatok. Bács-Kiskun Megyei Matematikaverseny és KÖMAL feladatok megoldása, elemzése. Készítette: Perity Dóra Témavezető: Somfai Zsuzsa Versenyfeladatok Bács-Kiskun Megyei Matematikaverseny és KÖMAL feladatok megoldása, elemzése Készítette: Perity Dóra Témavezető: Somfai Zsuzsa 2013. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Részletesebben

IV. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI

IV. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI 8 A matematikai logika elemei IV A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI IV Kijeletések, logikai értékek Értelmezés Állításak evezük mide yelvtai értelembe vett kijelető modatot Például a következő modatok állítások:

Részletesebben

4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 =

4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 = 4. Sorozatok Megjegyzés: A szakirodalomban használt a sorozat tagjáról, máskor eleméről beszélni. Az alábbiakban mindkét kifejezést használtuk megtartva a feladatok eredeti fogalmazását. I. Feladatok.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet.

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet. 2.5. A lieáris kogruecia egyelet. Defiíció: Kogruecia Az a és b egész számokat kogruesek modjuk az modulus szerit, ha az szeriti osztás utái maradékaik megegyezek, vagy ami ugyaaz: ha. Jelölésbe: a bmod.

Részletesebben

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl.

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl. 2. tétel Számhalmazo (a valós számo halmaza és részhalmazai), oszthatósággal apcsolatos problémá, számredszere. SZÁMHALMAZOK Halmazábrá ábrázolom a valós számo halmazát és részhalmazait (éháy példával).

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY IV. forduló MEGOLDÁSOK

BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY IV. forduló MEGOLDÁSOK IV. forduló 1. Hány olyan legfeljebb 5 jegyű, 5-tel nem osztható természetes szám van, amelynek minden jegye prím? Mivel a feladatban számjegyekről van szó, akkor az egyjegyű prímszámokról lehet szó: 2;

Részletesebben

Algebra évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Kiss Géza, Pataki János, Szoldatics József január 23.

Algebra évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Kiss Géza, Pataki János, Szoldatics József január 23. Algebra 11 1. évfolyam Szerkesztette: Hraskó Adrás, Kiss Géza, Pataki Jáos, Szoldatics József 017. jauár 3. Techikai mukák (MatKöyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dées Balázs,

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben