FONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "FONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK"

Átírás

1 FONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK. táblázat Szimbólum Jeletése, eve Olvasása Példa N N + Z Q Q * R C 0, { } +, % " $ Œ Ã, Õ» «\ +,, * :,, / = π := < > ~ Természetes számok halmaza Pozitív egész számok halmaza Egész számok halmaza Racioális számok halmaza Irracioális számok halmaza Valós számok halmaza Komplex számok halmaza Üres halmaz Pozitív szám elõjele Negatív szám elõjele, szám elletettjéek a jele Abszolútérték-jel Tizedesvesszõ Felsorolás folytatása Százalék Ezrelék Uiverzális kvator Egziszteciális kvator Végtele Eleméek lei Részhalmazkapcsolat Egyesítés Közös rész Külöbség Direkt (Descartes-féle) szorzat Összeadás Kivoás Szorzás Osztás Oszthatósági jel Gyökvoás Egyelõség Egyelõség tagadása Defiiáló egyelõség Kisebb Kisebb vagy egyelõ Nagyobb Nagyobb vagy egyelõ Közelítõleg egyelõ Egybevágóság Hasolóság plusz míusz abszolút érték és így tovább százalék ezrelék mide va olya végtele eleme -ak részhalmaza uió metszet míusz kereszt plusz, meg míusz, -ból szor per, -ba osztója -edik gyök egyelõ em egyelõ legye egyelõ kisebb mit legfeljebb agyobb mit legalább körülbelül egybevágó hasoló +5 5 x 3,75, 2, 3, 5% 7 " $ x x Œ H A à B A» B A «B A \ B A B : a a = b a π b a := 2b < 3 x 0 2 > 3 x 3 π ª 3,4 ABC PQR D ABC D ~ PQR D 5

2 ^ ÿ Ÿ fi º π! Illeszkedés Párhuzamosság Merõlegesség Negáció (tagadás) Kojukció Diszjukció Ativalecia, kizáró vagy Implikáció Ekvivalecia Háromszög Szögmértékek Ludolf-féle szám Faktoriális illeszkedik párhuzamos merõleges em és vagy vagy vagy ha akkor -bõl következik ekvivales, akkor és csak akkor fok, perc, másodperc pí faktoriális e f e f e ^ f ÿp P Ÿ Q P Q P Q P fi Q P Q ABC D 45º5 27 3! = 2 3 Ë k Σ Π Biomiális együttható Összegezés Szorzás alatt a k szumma produktum Âa i i = a i i = lim Határérték limesz lim a Æ Ú Itegrál itegrál Ú f( x ) dx A GÖRÖG ABÉCÉ BETÛI Α Β Γ Ε Ζ Η Θ α β γ δ ε ζ η œ alfa béta gamma delta epszilo zéta éta théta Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π ι κ λ µ ν ξ ο π ióta kappa lambda mû û kszi omikro pí Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω ρ σ τ υ φ χ ψ ω ró szigma tau üpszilo fi khi pszi omega 2. táblázat 6

3 ELÔTAGOK (PREFIXUMOK) 3. táblázat elôtag jele eve értéke yottazettaexapetateragigamegakilohektodeka- decicetimillimikroaopicofemtoattozeptoyocto- Y Z E P T G M k h da d c m µ p f a z y kvadrillió ezertrillió trillió ezerbillió billió milliárd millió ezer száz tíz egy tized század ezred milliomod ezermilliomod billiomod ezerbilliomod trilliomod ezertrilliomod kvadrilliomod = = = = = = = = = = 0 = 0 0 0, = 0 0,0 = 0 2 0,00 = 0 3 0, = 0 6 0, = 0 9 0, = 0 2 0, = 0 5 0, = 0 8 0, = 0 2 0, =

4 GONDOLKODÁSI MÛVELETEK HALMAZELMÉLET FOGALMAK, JELÖLÉSEK A halmazok jelölésére általába az ábécé agybetûit, a halmaz elemeiek a jelölésére pedig az ábécé kisbetûit haszáljuk. a Œ H azt jelöli, hogy az a betûvel jelölt dolog eleme a H betûvel jelölt halmazak. a œ H azt jelöli, hogy az a betûvel jelölt dolog em eleme a H betûvel jelölt halmazak. {a, a 2,, a } azt a véges halmazt jelöli, melyek elemei a, a 2,, a. H := {a Œ A Ω t (a) } ez a jelölés azt fejezi ki, hogy a t tulajdosággal redelkezõ a Œ A dolgok halmazát H-val jelöljük. A = B az A és a B halmazok egyelõségét jelöli. Két halmaz akkor és csak akkor egyelõ, ha elemeik megegyezek. Ha A à B és B à A, akkor A = B. H jelöli a H véges halmaz elemeiek a számát (számosságát). { } vagy 0 az üres halmaz jelölése. Azt a halmazt, amelyek egyetle eleme sics, üres halmazak evezzük. 0 = 0 HALMAZ RÉSZHALMAZA Akkor modjuk, hogy egy A halmaz részhalmaza egy B halmazak, ha A mide eleme B-ek is eleme. Jelölés: B A à B vagy B A A 0 ÃA Az üres halmaz mide halmazak részhalmaza. A à A Mide halmaz részhalmaza ömagáak. MÛVELETEK HALMAZOKKAL Halmazok uiója (egyesítése) Az A és a B halmazok uiója (egyesítése) azokak az elemekek a halmaza, amelyek A és B közül legalább az egyikhez hozzátartozak. A B Jelölés: A» B A» B A» B := {x Ω x Œ A vagy x Œ B} 8

5 Halmazok metszete (közös része) Az A és a B halmazok metszete (közös része) azokak az elemekek a halmaza, amelyek A-hoz is és B-hez is hozzátartozak. A B Jelölés: A «B A «B A «B := {x Ω x Œ A és x Œ B} Két halmaz külöbsége Az A és B halmazok külöbséghalmazá azokak az elemekek a halmazát értjük, amelyek A-hoz hozzátartozak, de B-hez em. A B Jelölés: A \ B A \ B A \ B := {x Ω x Œ A és x œ B} Két halmaz szimmetrikus külöbsége Az A és B halmazok szimmetrikus külöbségé az (A \ B)» (B \ A) halmazt értjük. Jelölés: A B A B Részhalmaz kiegészítõ (komplemeter) halmaza Legye adott a H halmaz (alaphalmaz) és eek egy A részhalmaza. H azo elemeiek a halmazát, amelyek em elemei A-ak, az A halmaz H-ra voatkozó kiegészítõ (komplemeter) halmazáak evezzük. Jelölés: A A := {x Ω x Œ H és x œ A} H A A Két halmaz Descartes-féle (direkt-) szorzata Azokak a redezett párokak a halmazát, amelyekek az elsõ kompoese az A-ak, második kompoese pedig a B-ek eleme, az A és B halmazok Descartes-féle (direkt-) szorzatáak evezzük. Jelölés: A B A B := {(x, y) Ω x Œ A és y Œ B} Ha A = és B = m akkor A x B = m LOGIKAI SZITA FORMULA KETTÕ, ILLETVE HÁROM HALMAZ ESETÉN Ha A, B, C a H alaphalmaz részhalmazait jelöli, akkor A» B = A + B A «B H \ (A» B) = H A B + A «B A» B» C = A + B + C A «B A «C B «C + A «B «C H \ (A» B» C) = H A B C + A «B + A «C + B «C A «B «C 9

6 HALMAZMÛVELETI AZONOSSÁGOK A» B = B» A és A «B = B «A A» (B» C) = (A» B)» C és A «(B «C) = (A «B) «C A» A = A és A «A = A A» 0 = A és A «0 = 0 A» (B «C) = (A» B) «(A» C) és A «(B» C) = (A «B)» (A «C) A (B» C) = (A B)» (A C) A (B «C) = (A B) «(A C) A (B \ C) = (A B) \ (A C) A komplemeter halmazokra voatkozó azoosságok: (A ) = A De Morga azoosságok: (A» B) = A «B és (A «B) = A» B LOGIKA FOGALMAK, JELÖLÉSEK Azokat a kifejezéseket, amelyekrõl egyértelmûe megállapítható, hogy igazak vagy hamisak, kijeletések (állításak) evezzük. Egy kijeletés (állítás) logikai értéke lehet igaz vagy hamis. Jelölések: P, Q, R, kijeletések (állítások) i igaz logikai érték h hamis logikai érték LOGIKAI MÛVELETEK ÉS ÉRTÉKTÁBLÁZATAIK Negáció (em) P egáltja: ÿp P ÿp i h h i Diszjukció (vagy) P és Q diszjukciója: P Q P Q P Q i i i i h i h i i h h h 0

7 Ativalecia (kizáró vagy) P ativales Q-val: P Q P Q P Q i i h i h i h i i h h h Kojukció (és) P és Q kojukciója: P Ÿ Q P Q P Ÿ Q i i i i h h h i h h h h Implikáció (ha, akkor) P implikálja Q-t: P fi Q (Modhatjuk még: P elégséges feltétele Q-ak, vagy Q szükséges feltétele P-ek) P Q P fi Q i i i i h h h i i h h i Ekvivalecia (akkor és csak akkor) P ekvivales Q-val: P Q (Modhatjuk még: P akkor és csak akkor, ha Q; vagy Q akkor és csak akkor, ha P; vagy P potosa akkor, ha Q) P Q P Q i i i i h h h i h h h i MÛVELETI AZONOSSÁGOK ÿ(ÿp) = P P Q = Q P és P Ÿ Q = Q Ÿ P (P Q) R = P (Q R) és (P Ÿ Q) Ÿ R = P Ÿ (Q Ÿ R) P (Q Ÿ R) = (P Q) Ÿ (P R) és P Ÿ (Q R) = (P Ÿ Q) (P Ÿ R) ÿ(p Q) = ÿp Ÿ ÿq és ÿ(p Ÿ Q) = ÿp ÿq P fi Q = ÿp Q P Q = (ÿp Q) Ÿ (P ÿq) ÿ(p fi Q) = P Ÿ ÿq

8 GYAKRAN HASZNÁLT KÖVETKEZTETÉSI SÉMÁK P fi Q P fi Q P fi Q P ÿq Q fi R ; ; Q ÿp P fi R KOMBINATORIKA PERMUTÁCIÓ Ismétlés élküli permutáció külöbözõ elemet kell az összes lehetséges módo sorba redezi. A külöbözõ elredezések száma: P = ( ) 2 =! Értelmezés szerit: P 0 = 0! = Ismétléses permutáció olya elemet kell az összes lehetséges módo sorba redezi, amelyek között ismétlõdõ elemek is vaak. Ha az ismétlõdések száma k, k 2,, k r ;(k + k k r ), akkor a külöbözõ elredezések száma: k, k 2, k P, r! = k! k! k! 2 r Ciklikus permutáció külöbözõ elemet kell az összes lehetséges módo egy kör meté sorba redezi. A külöbözõ elredezések száma: P, ciklikus = ( )! KOMBINÁCIÓ Ismétlés élküli kombiáció külöbözõ elem közül k elemet kell kiválasztai. Egy elemet csak egyszer választhatuk ki, a sorred em számít, vagyis ha ugyaazokat az elemeket más sorredbe választjuk ki, az ugyaaak a kiválasztásak számít. A külöbözõ kiválasztások száma: k+ C k ( ) ( )! = = = Ê k k k Ë!! ( )! k Ismétléses kombiáció külöbözõ elem közül k elemet kell kiválasztai. Egy elemet többször is kiválaszthatuk, a sorred em számít. A külöbözõ kiválasztások száma: 2 +k C k,i = Ê Ë Á ˆ k

9 VARIÁCIÓ Ismétlés élküli variáció külöbözõ elem közül k elemet kell kiválasztai. Egy elemet csak egyszer választhatuk ki, a sorred számít, vagyis ha ugyaazokat az elemeket más sorredbe választjuk ki, az más kiválasztásak számít. A külöbözõ kiválasztások száma: V k! = ( ) ( k+ ) = ( k)! Ismétléses variáció külöbözõ elem közül k elemet kell kiválasztai. Egy elemet többször is kiválaszthatuk, a sorred számít. A külöbözõ kiválasztások száma: V ki, = k FAKTORIÁLISOK ÉRTÉKEI! értékei = 0,, 2,, 50 0! =! = 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 20!! 4. táblázat! , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

10 BINOMIÁLIS EGYÜTTHATÓK Á ˆ! = Ë k k! ( -k)! 0 k, 0! = A biomiális együtthatók éháy tulajdosága: = Ê Ë0 Ë = Á ˆ Ê ˆ = Á Ë k Ë - k + ˆ Á = Ê Ë k + Ë Á ˆ Ê ˆ + Á k Ë k + + Ê 2 Ë0 Ë + Ê Ë +º+ Ê 2 Ë = - Ê Ë0 Ë Á ˆ + Ê Ë Á ˆ +º+ (-) = 0 2 Ë BINOMIÁLIS TÉTEL ( a + b) = Ê a a b ab b Ë + Ê Ë Á ˆ - Ê ˆ +º+ - Á + Ê Ë - Ë = 0 Â k = 0 Ë k a b -k k 4

11 BINOMIÁLIS EGYÜTTHATÓK ÉRTÉKEI 5. táblázat Ë0 Ë Ë2 Ë3 Ë 4 Ë5 Ë6 Ë7 Ë8 Ë9 Ê ˆ Á Ë Ë0 Ë Ë2 Ë3 Ë 4 Ë5 Ë6 Ë7 Ë8 Ë9 Ê ˆ Á Ë0 5

12 SZÁMELMÉLET, ALGEBRA A VALÓS SZÁMOK ÁTTEKINTÉSE, SZÁMHALMAZOK TERMÉSZETES SZÁMOK N = {0,, 2,,, } Bármely természetes szám a 0-es számredszerbe = a k 0 k + a k 0 k + + a 0 + a 0 alakba írható fel, ahol 0 a 0, a,, a k 9; a k 9 egészek. EGÉSZ SZÁMOK Z = { 3, 2,, 0,, 2, 3, } RACIONÁLIS SZÁMOK Két egész szám háyadosakét felírható számokat racioális számokak evezzük. Ï p Q = Ì ŒZ π Ó q pq,, q 0 Bármely racioális szám felírható egész szám, véges tizedes tört vagy szakaszos végtele tizedes tört alakba. Megfordítva is igaz, mide véges vagy szakaszos végtele tizedes tört racioális szám. IRRACIONÁLIS SZÁMOK A em szakaszos végtele tizedes törteket és ezek elletettjeit irracioális számokak evezzük. Az irracioális számok halmazáak jele: Q *. Az irracioális számok em írhatók fel két egész szám háyadosakét. Irracioális számok például π, 2, - 3. VALÓS SZÁMOK A racioális és az irracioális számok halmazáak egyesítésekor a valós számok halmazát kapjuk. Jele: R. R = Q» Q * A SZÁMHALMAZOK KAPCSOLATA 6 N Ã Z Ã Q Ã R

13 AZ ALAPMÛVELETEK ELVÉGEZHETÕSÉGE A NEVEZETES SZÁMHALMAZOKON BELÜL N Z Q R 6. táblázat összeadás kivoás szorzás em midig végezhetõ el midig elvégezhetõ midig elvégezhetõ midig elvégezhetõ osztás em midig végezhetõ el a 0-val való osztás kivételével midig elvégezhetõ MÛVELETI TULAJDONSÁGOK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Kommutativitás (felcserélhetõség) a + b = b + a ab = ba Asszociativitás (csoportosíthatóság) (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) Disztributivitás a(b + c) = ab + ac Néháy egyéb tulajdoság Ha a < b, akkor a + c < b + c Ha a < b és c > 0, akkor ac < bc Ha a < b és c < 0, akkor ac > bc SZÁM RECIPROKA a π 0 eseté az a számot az a szám reciprokáak evezzük. ABSZOLÚT ÉRTÉK x = 23 x, ha x 0 x, ha x < 0 7

14 POZITÍV SZÁMOK NORMÁLALAKJA Bármely x > 0 szám felírható x = N 0 k alakba, ahol N < 0; k Œ Z. Az x számak ezt az alakját ormálalakak evezzük. lg N az x szám matisszája k az x szám karakterisztikája KOMPLEX SZÁMOK KOMPLEX SZÁMOK ÉS JELÖLÉSÜK A z = a + bi alakú számokat komplex számokak evezzük A komplex számok halmazát C-vel jelöljük. { } C = a + bi Ω a, b Œ R, i = - Trigoometrikus alak: a + bi = r(cosφ + isiφ) ( ) a, b Œ R, i = -. r = a 2 + b 2, tgφ = b ( a π 0 ) a Expoeciális alak: r e iφ = r(cosφ + isiφ) MÛVELETEK KOMPLEX SZÁMOKKAL z = a + b i = r (cosφ + isiφ ); z 2 = a 2 + b 2 i = r 2 (cosφ 2 + isiφ 2 ) Összeadás: z + z 2 = (a + a 2 ) + (b + b 2 )i Kivoás: z z 2 = (a a 2 ) + (b b 2 )i Szorzás: z z 2 = (a a 2 b b 2 ) + (a b 2 + a 2 b )i = r r 2 [cos(φ + φ 2 ) + i si(φ + φ 2 )] Osztás: z z 2 r = [ cos( φ - φ2) + isi( φ -φ2)], r Hatváyozás: z = r (cosφ + isiφ ) 2 Gyökvoás: Egységgyökök: z = Ê φ + 2kπ φ + 2kπ ˆ r Ácos + isi Ë k = 0,, 2,, ε k 2kπ 2kπ = = cos + isi k = 0,, 2,, 8

15 SZÁMELMÉLET OSZTHATÓSÁG A TERMÉSZETES SZÁMOK KÖRÉBEN Egy b természetes számot az a természetes szám osztójáak evezzük, ha létezik olya c természetes szám, melyre teljesül, hogy a = bc. Jelölés: bωa b osztója a-ak Fõbb oszthatósági szabályok ( Œ N) 2Ω ha utolsó számjegye: 0, 2, 4, 6 vagy 8 5Ω ha utolsó számjegye: 0 vagy 5 4Ω ha utolsó két számjegyébõl alkotott szám osztható 4-gyel 8Ω ha utolsó három számjegyébõl alkotott szám osztható 8-cal 3Ω ha számjegyeiek összege osztható 3-mal 9Ω ha számjegyeiek összege osztható 9-cel Ω ha számjegyeit váltakozó elõjellel összegezve -gyel osztható szám az eredméy Prímszámok Azokat a természetes számokat, amelyekek potosa két osztójuk va, prímszámokak evezzük. A számelmélet alaptétele Bármely > összetett egész szám egyértelmûe botható fel prímszámok szorzatára (a téyezôk sorredjétôl eltekitve). α α α 2 k = p p2 º p k az > pozitív egész szám prímtéyezõs felbotása, p, p 2,, p k az külöbözõ prímosztóit jelöli. Legagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Két vagy több pozitív egész szám legagyobb közös osztójáak a vizsgált számok közös osztói közül a legagyobbat evezzük. Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszöröséek a vizsgált számok közös többszörösei közül a legkisebbet evezzük. A k és az l pozitív egész szám legagyobb közös osztójáak a jele: (k; l), a legkisebb közös többszörösükek a jele: [k; l]. Ha két pozitív egész szám legagyobb közös osztója, akkor ezeket relatív prímszámokak modjuk. 9

16 A 2-vel, 3-mal és 5-tel em osztható számok prímtéyezõs felbotása ( 00) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = táblázat 90 = = = = = = = = = = = = =

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat! Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. ( FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

Bevezetés az algebrába komplex számok

Bevezetés az algebrába komplex számok Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.

Részletesebben

Pl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.?

Pl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.? Dr. Vicze Szilvia A kombiatorika a véges halmazokkal foglalkozik. A véges halmazokkal kapcsolatba számos olya probléma vethető fel, amely függetle a halmazok elemeitől. Pl.: háyféleképpe lehet egy elemű

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1 Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819. 3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága

Részletesebben

Matematikai logika és halmazelmélet

Matematikai logika és halmazelmélet Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje. 24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor

Részletesebben

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten KOMPLEX SZÁMOK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Történeti bevezetés

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév Diszkrét matematika I. legfotosabb tételek/defiíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév 1. Előszó A jegyzet a Diszkrét matematika I. (DE IK PTI, tárgykód: INDK101-K5, Dr. Burai Pál) tatárgy 2014/2015.

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb

Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb 2004_02/4 Tegyél * jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Biztosan Lehet hogy, de nem biztos Lehetetlen a) b) c) Négy egymást követő természetes

Részletesebben

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen, KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe

Részletesebben

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Részletesebben

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B) Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q

Részletesebben

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. 1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van. HALMAZOK Tanulási cél Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok ábrázolása Venn diagramon. Motivációs példa Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

KISLEXIKON : HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK. Tárgymutató: I.

KISLEXIKON : HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK. Tárgymutató: I. Matematika érettségi kislexikon I. 1 Huszk@ Jenő I. \ \ KISLEXIKON : HLMZOK, SZÁMHLMZOK, PONTHLMZOK Tárgymutató: I. oldal sorszám téma oldal sorszám téma 3 12 Halmazok ábrázolása 4 14 Halmazok metszete

Részletesebben

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet: Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik

Részletesebben

Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom?

Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom? Definíciók, tételkimondások Mondjon legalább három példát predikátumra. Sorolja fel a logikai jeleket. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? Hogyan kapjuk a logikai formulákat? Mikor van egy változó egy

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy 1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!! 4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe

Részletesebben

Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2.

Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI ELŐKÉSZTŐ 11. évfolyam Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, 1. Év eleji szervezési feladatok 2. A hatványozásról tanultak ismétlése, feladatok az n- edik gyök fogalmára, azonosságaira

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,

Részletesebben

Számelmélet Megoldások

Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014 A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. (x eleme az A halmaznak, x az A halmazhoz tartozik),

1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. (x eleme az A halmaznak, x az A halmazhoz tartozik), 1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben Halmazok A halmaz a matematikában nem definiált fogalom. A halmazt alapfogalomnak tekintjük, nem tudjuk egyszerűbb fogalmakkal

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Kombinatorika

Részletesebben

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek 1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. középszint

Diszkrét matematika 1. középszint Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

TANMENET. Matematika

TANMENET. Matematika Bethlen Gábor Református Gimnázium és Szathmáry Kollégium 6800 Hódmezővásárhely, Szőnyi utca 2. Telefon: +36-62-241-703 www.bgrg.hu OM: 029736 TANMENET Matematika 2016/2017 9. B tagozat Összeállította:

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN

4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN MATEMATIK A 9. évfolyam 4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN KÉSZÍTETTE: DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret

Részletesebben

illetve a n 3 illetve a 2n 5

illetve a n 3 illetve a 2n 5 BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)

Részletesebben

1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a

1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a 1. 1. hét 1.1. Alapfogalmak Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a (2, 3) Egyenes normál vektora egy pontban: egy olyan vektor

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben