KISLEXIKON : HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK. Tárgymutató: I.

Átírás

1 Matematika érettségi kislexikon I. 1 Huszk@ Jenő I. \ \ KISLEXIKON : HLMZOK, SZÁMHLMZOK, PONTHLMZOK Tárgymutató: I. oldal sorszám téma oldal sorszám téma 3 12 Halmazok ábrázolása 4 14 Halmazok metszete 3 11 Diszjunkt halmazok 7 26 Metsző egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok 4 17 Direkt szorzat 8 30 parabola 2 3 Egyenlő halmazok 6 25 Két párhuzamos egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok 7 27 sík három egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok 5 20 Ponthalmazok 7 28 Egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok 6 24 Három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok 8 29 Ellipszis Racionális számok halmaza 6 23 Felező merőleges egyenes és sík Racionális számok 2 1 Halmaz fogalma 4 16 Részhalmazok száma 5 22 Gömbfelület, gömbtest 2 4 Részhalmaz fogalma 9 31 hiperbola 9 33 Számhalmazok Irracionális számok 3 9 Egyenlő számosságú halmazok 2 7 Kiegészítő halmaz 3 13 Halmazok uniója 9 32 Koordináta-rendszer 2 6 Üres halmaz 5 21 Körvonal Valós számok halmaza 4 15 Halmazok különbsége Valós számok és a számegyenes 5 18 Logikai szita két halmazra 2 5 Valódi részhalmaz 5 19 Logikai szita három halmazra 2 8 Véges halmaz 2 2 Halmaz megadása 3 10 Végtelen halmaz

2 Matematika érettségi kislexikon I. 2 Huszk@ Jenő 1. halmaz fogalmá t nem definiáljuk, a matematikában alapfogalomként használjuk. halmazok elemekből állnak. kkor tekintjük adottnak, ha egyértelműen eldönthető, hogy mik az elemei, és mik nem az elemei. Jelölése (az ábécé nagy betűivel):,, C stb. pl.: halmaz: {a 2 pozitív többszörösei}; nem halmaz: {a magyar irodalom legszebb versei} 2. Egy halmazt megadhatunk: ha felsoroljuk az elemeit (feltéve, hogy van); megadhatunk egy alaphalmazzal és egy tulajdonsággal úgy, hogy a halmazba az alaphalmaznak azok az elemei tartoznak, amelyekre igaz a tulajdonság. pl.: ={2; 4; 6;8}; ={a hárommal osztható számok} 3.Két halmazt akkor mondunk egyenlő nek, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazzák. Jelölése: = vagy pl.: ={az 5-tel osztható, 20-nál kisebb pozitív egész számok} ={5; 10; 15} 4. z halmaz ré szhalmaza a halmaznak, ha az halmaz minden eleme egyben eleme a halmaznak is. Jelölése: pl.: ={4-nél kisebb pozitív egész számok}; ={1;2;3} 5. z halmaz valódi ré szhalmaza a halmaznak, ha a halmaznak van olyan eleme, amelyik nem eleme az halmaznak. Jelölése: pl.: ={4-nél kisebb pozitív egész számok}; ={1;2;3;4;5} 6. z üres halmaz az a halmaz, amelyiknek nincs eleme. Jele: pl.:={derékszögű háromszögek, amelyeknek egyik szöge 100 fok} 7. Egy halmaz kiegészít ő halmaza (komplementerhalmaz) az alaphalmaz azon elemeiből áll, amelyek az halmaznak nem elemei. komplementerképzés egyváltozós halmazművelet. Jelölése: pl.: ={1;2;3;4;5} az alaphalmaz; ={1;2;3}, az komplementere: = {4;5} alaphalmaz: 8. z olyan halmazt, amelyiknek véges sok eleme van, vé ges halmaznak nevezzük. Véges halmaz számosságá n elemeinek számát értjük. Jele. pl.: ={1;2;3;4;5} =5

3 Matematika érettségi kislexikon I. 3 Huszk@ Jenő 9. Ha két halmaz elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést lehet létesíteni, akkor a két halmaz számossága egyenl ő. pl.:={1;2;3}; {4;5;6}; = =3 10. természetes számok halmazának számosságát megszámlálhatóan vé gtelen számosságnak nevezzük. Ilyen számosságú pl. az egész számok halmaza, vagy a racionális számok halmaza is. Pl.: az irracionális számok halmazának a számosságát kontinuum számossá gnak nevezzük. 11. Két halmazt diszjunktnak (idegennek) nevezünk, ha nincs egyetlen közös elemük sem. pl.:={1;2;3}; {4;5;6}; 12. halmazokat Venn-diagrammal ábrázoljuk. {} { } {} {\} { } {\} 13. z és halmazok egyesíté se (uniója) azon elemek halmaza, amelyek az és a halmaz közül legalább az egyiknek elemei. z egyesítés kétváltozós halmazművelet. Jele: Hasonlóan definiáljuk több halmaz egyesítését is. Ez a halmazművelet kommutatív (felcserélhető) és asszociatív (csoportosítható) tulajdonságú. pl.: ={1; 4; 5;7}; ={2;4;6} ={1;2;4;5;6;7}

4 Matematika érettségi kislexikon I. 4 Huszk@ Jenő 14. z és halmazok metszete (közös része) azon elemeknek a halmaza, amelyek mindkettőnek elemei. metszetképzés kétváltozós halmazművelet. Jele: Ez a művelet kommutatív és asszociatív tulajdonságú. Hasonlóan definiáljuk több halmaz metszetét is. pl.: ={1; 4; 5;7}; ={2;4;6} ={4} C C = ( C) ( C) C C 15. z és a halmaz (ebben a sorrendben vett) különbsé ge az halmaz azon elemeinek a halmaza, amelyek nem elemei a halmaznak. Jele: \. különbségképzés kétváltozós halmazművelet, nem kommutatív és nem asszociatív tulajdonságú. pl.: ={1; 4; 5;7}; ={2;4;6} {\}={1;5,7}; {\}={2;6} \ \ 16. Egy n elemű halmaz összes különböző részhalmazainak a szá ma: pl.: ={1; 4; 5;7} részhalmazainak a száma: 2 4 = 16 n Két nem üres és halmaz Descartes-féle vagy direkt szorzatá n azokat a rendezett számpárokat pl.:(a; b) értjük, amelyeknek az első tagja az halmaznak, a második tagja a halmaznak az eleme. Jele: ( kereszt -nek olvassuk.) pl.: ={1;2;3},={4;5} = {(1;4), (1;5), (2;4), (2;5), (3;4), (3;5)}

5 Matematika érettségi kislexikon I. 5 Huszk@ Jenő 18. Logikai szita formulá ja két halmaz (tulajdonság) esetén: = + pl.: Egy osztály tanulói közül angolul tanul 12 fő, németül 14 fő, mindkét nyelven tanul 5 fő. Mindenki tanul legalább egy nyelvet. Hány tanuló jár az osztályba? = = 21 fő angolul németül = = Logikai szita formulája három halmaz (tulajdonság) eseté n: C = + + C C C + C 20. Ponthalmazoknak nevezzük azokat a halmazokat, amelyek elemeit azonos tulajdonságú pontok alkotják. Ezek közül legismertebbek a távolság segítségével megadott halmazok. 21. kö rvonal a sík azon pontjainak a halmaza (P), amelyek a sík egy adott O pontjától adott r távolságra vannak. z adott pont a kör középpontja, az adott távolság a kör sugara. Megkülönböztetjük a körvonaltól a zárt, vagy a nyílt körlapot, mert ezek síktartományok. zárt : OP r; nyilt : OP < r r r r körvonal zárt körlap nyílt körlap 22. gömbfelü let a tér azon pontjainak a halmaza, amelyek egy adott O ponttól adott r távolságra vannak. Megkülönböztetjük a gömbfelülettől a zárt, vagy nyí lt gö mbtestet, mert ezek térrészek. gömbfelület gömbtest r O

6 Matematika érettségi kislexikon I. 6 Huszk@ Jenő 23. Két adott ponttól (P; Q) egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban a PQ szakasznak az adott síkra illeszkedő felez ő merő leges egyenese. Ennek a ponthalmaznak a té rbeli megfelelője a PQ szakasz felez ő merőleges sí kja. P Q P Q 24. sík három adott pontjátó l (; ; C) egyenl ő távolsá gra lévő ponthalmaznak a síkon egyetlen eleme van (a megfelelő szakaszfelező merőlegesek közös pontja), ha a három pont nem esik egy egyenesre. Ez a pont a háromszög köré írható körének a középpontja. Ha a három pont egy egyenesre illeszkedik, akkor a keresett ponthalmaz üres. z adott tulajdonságú ponthalmaz térbeli megfelelő je (ha a három pont egy háromszöget alkot) a háromszög köré írható kör középpontján átmenő, a háromszög síkjára merőleges egyenes. O C 25. Két párhuzamos egyenestő l egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon olyan egyenes, amelyik a két adott egyenessel párhuzamos, és távolságukat felezi. Ezt az egyenest középpárhuzamosnak nevezzük. F középpárhu zamos

7 Matematika érettségi kislexikon I. 7 Huszk@ Jenő 26. Két metsz ő egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon, az általuk bezárt szögek szögfelező egyenesei. Két ilyen egyenes van, ezek merőlegesek egymásra. 27. sík három egyenesétő l egyenlő távolságra lévő pontok halmaza üres halmaz, ha a három egyenes párhuzamos (1). Ha a három egyenes közül kettő párhuzamos és a harmadik egyenes metszi őket, akkor a keresett ponthalmazt a középpárhuzamosnak és a szögfelezőknek a metszéspontjai alkotják (2). Ha a három egyenes három különböző metszéspontban metszi egymást, akkor négy olyan pont van, amelyik a feltételeket kielégíti (3). Ezek közöl egy a háromszög belsejében (a beírható kör középpontja), három a megfelelő külső szögfelezők metszéspontja (a hozzáírt körök középpontja). Ha a három egyenes egy pontban metszi egymást, akkor egyetlen pont elégíti ki a feltételeket, a három egyenes metszéspontja (4). (1) (2) (3) (4) 28. Egy adott egyenestől egyenl ő távolságra lév ő pontok halmaza a té rben egy végtelenbe nyúló hengernek a palástja, amelyiknek a tengelye az adott egyenes. síkban az adott egyenessel párhuzamos két egyenes, amelyeknek a középvonala az adott egyenes.

8 Matematika érettségi kislexikon I. 8 Huszk@ Jenő 29. z ellipszis azoknak a síkbeli pontoknak (P) a halmaza, amelyeknek a sík két adott pontjától F ; F 1 2 mért távolságösszege állandó, és ez nagyobb, mint a két adott pont távolsága. z adott pontok az ellipszis fókuszpontjai. z adott távolság az ellipszis nagytengelye (). fókuszpontok távolságának a felezőmerőlegese két pontban metszi az ellipszist. E két pont által meghatározott szakasz az ellipszis kistengelye (CD). z ellipszis középpontosan és tengelyesen is szimmetrikus. 30. parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy, a síkban adott ponttól (F) és egy az adott pontra nem illeszkedő- egyenestől (d) egyenlő távolságra vannak. z adott pont a parabola fókuszpontja, az adott egyenes a parabola vezéregyenese (direktrixe). vezéregyenes és a fókuszpont távolsága a parabola paramétere (p). parabolát a paramétere egyértelműen meghatározza, ezért a parabolák hasonlók egymáshoz.

9 Matematika érettségi kislexikon I. 9 Huszk@ Jenő 31. hiperbola azoknak a síkbeli pontoknak (P) a halmaza, amelyeknek a sík két adott pontjától F ; F 1 2 mért távolságkülönbségének abszolút értéke állandó, és ez az állandó kisebb, mint a két adott pont távolsága. z adott pontok a hiperbola fókuszpontjai, az adott távolság () a hiperbola valós tengelye. 32. ponthalmazokat koordináta-rendszerben is ábrá zolhatjuk. Egy pontot koordinátáival megadhatunk egy egyenesen, egy síkban vagy térben. koordináta olyan szám, rendezett számpár, vagy rendezett számhármas, amellyel megadhatjuk, hol helyezkedik el egy pont az egyenesen, egy síkban vagy térben az adott koordinátarendszerhez viszonyítva. pl.: egy síkbeli pont: P(-1;3), egy térbeli pont: Q(1;3;-1) 33. zokat a halmazokat, amelyeknek elemei számok, szá mhalmazoknak nevezzük. középiskolai tanulmányok során megismert legbővebb számhalmaz a valós szá mok halmaza. Jele: R. racionális (jele: Q) és az irracionális (jele: Q*) számok halmazának az uniója alkotja a valós számok halmazát. Q Z Q R N

10 Matematika érettségi kislexikon I. 10 Jenő 34. racionális számok halmazá t azok a számok alkotják, amelyek fölírhatók két egész szám hányadosaként. Racionális számok: a természetes számok (jele: N), az egész számok (jele: Z), a véges tizedes törtek és a végtelen szakaszos tizedes törtek. természetes számok halmaza zárt az összeadásra és a szorzásra, mert két tetszőleges természetes szám összege és szorzata is természetes szám. Nem zárt az osztásra és a kivonásra. racionális számok halmaza zárt a négy alapműveletre (kivéve a nullával való osztást), de nem zárt a gyökvonásra. pl.: a=7 (racionális, természetes, pozitív egész); b=2,5 (racionális, véges tizedes tört) c= (racionális, végtelen szakaszos tizedes tört) 4 4,3 35. z irracionális számok halmazá t azok a számok alkotják, amelyek nem írhatók föl két egész szám hányadosaként. Ezek tizedes tört alakja végtelen és nem szakaszos. pl.: 3; π ; e 36. racionális számok halmaza önmagában sűrű. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges két racionális szám között végtelen sok (megszámlálhatóan végtelen sok) racionális szám van. racionális számok halmaza a számegyenes pontjait nem fedi le. 37. valós számok halmaza zárt a négy alapműveletre (a művelet eredménye is valós szám) és a gyökvonásra, kivéve a negatív számból vont páros kisevőjű gyökvonást. Ez indokolja a valós számok halmazának a bővítését, amellyel eljutunk a komplex számok halmazához. 38. valós számok halmaza és a számegyenes pontjai közö tt kölcsönösen egyértelmű leképezés létesíthető. Ez azt jelenti, hogy minden valós számhoz pontosan egy pont tartozik a számegyenesen, és minden ponthoz pontosan egy valós szám.