Diszkrét matematika 1. középszint

Átírás

1 Diszkrét matematika 1. középszint sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék sz

2 Diszkrét matematika 1. középszint sz 2. A logikai m veletek tulajdonságai, ítéletlogikai tételek Állítás 1 (A (B C)) ((A B) C), (A (B C)) ((A B) C) (asszociativitás); 2 (A B) (B A), (A B) (B A) (kommutativitás); 3 (A (B C)) ((A B) (A C)), (A (B C)) ((A B) (A C)) (disztributivitás); 4 ( (A B)) ( A B), ( (A B)) ( A B) (De Morgan); 5 ((A B) A) B; 6 ((A B) (B C)) (A C) (szillogizmus); 7 ((A B) (B A)) (A B). 8 (A B) ( B A) (a kontrapozíció tétele);

3 Diszkrét matematika 1. középszint sz 3. A logikai m veletek tulajdonságai, ítéletlogikai tételek Bizonyítás (példa) 1 A (B C) (A B) C (a logikai vagy asszociativitása) A B C B C A (B C) A B (A B) C (A (B C)) ((A B) C) i i i i i i i i i i h i i i i i i h i i i i i i h i i i i i i i h h i i i h i i h i h i i i i i i h h h i i i i h h h h h h h i

4 Diszkrét matematika 1. középszint sz 4. Kvantorok Kvantorok egzisztenciális kvantor: létezik, van olyan. univerzális kvantor: bármely, minden. Példa V (x): x veréb. M(x): x madár. Minden veréb madár. Van olyan madár, ami veréb. Minden veréb madár, de nem minden madár veréb. ( x(v (x) M(x))) ( x(m(x) V (x))). x(v (x) M(x)). x(m(x) V (x)).

5 Diszkrét matematika 1. középszint sz 5. Formulák A formulák predikátumokból és logikai jelekb l alkotott mondatok. (Formulák) A predikátumok a legegyszer bb, ún. elemi formulák. Ha A, B két formula, akkor A, (A B), (A B), (A B), (A B) is formulák. Ha A egy formula és x egy változó, akkor ( xa) és ( xa) is formulák. Példa Minden veréb madár, de nem minden madár veréb. ( x(v (x) M(x))) ( x(m(x) V (x))). Ez egy formula. Ha nem okoz félreértést, a zárójelek elhagyhatóak.

6 Diszkrét matematika 1. középszint sz 6. Zárt/nyitott formulák Ha A egy formula és x egy változó, akkor ( xa) és ( xa) formulákban az x változó minden el fordulása az A formulában a kvantor hatáskörében van. Ha egy formulában a változó adott el fordulása egy kvantor hatáskörében van, akkor az el fordulás kötött, egyébként szabad. Ha egy formulában a változónak van szabad el fordulása, akkor a változó szabad változó, egyébként kötött változó. Ha egy formulának van szabad változója, akkor nyitott formula, egyébként zárt formula. Példa Gy(x, y): x gyereke y -nak. y Gy(x, y): x-nek létezik szül je.

7 Diszkrét matematika 1. középszint sz 7. Zárt/nyitott formulák Példa E(x): x egy egyenes. P(x): x egy pont. I (x, y): x illeszkedik y -ra. E(x), P(x), I (x, y) (elemi) nyitott formulák. A(x, y) legyen E(x) P(y) I (x, y). Az x egyenes illeszkedik az y pontra. B(x, y) legyen P(x) P(y) (x = y). Az x és y pontok különböz ek. C(x) legyen y (E(x) P(y) I (x, y)). Van olyan y pont, ami illeszkedik az x egyenesre. Itt x szabad, y kötött változó. D() legyen x (E(x) y (E(x) P(y) I (x, y))). Minden x egyenes esetén van olyan y pont, ami illeszkedik az x egyenesre. Itt x, y kötött változó.

8 Diszkrét matematika 1. középszint sz 8. Halmazok Halmazelméletben az alapvet fogalmak predikátumok, nem deniáljuk ket: A halmaz (rendszer, osztály, összesség,...) elemeinek gondolati burka. x A, ha az x eleme az A halmaznak. A halmazok alapvet tulajdonságai axiómák, nem bizonyítjuk ket. Példa: Meghatározottsági axióma Egy halmazt az elemei egyértelm en meghatároznak. Két halmaz pontosan akkor egyenl, ha ugyanazok az elemeik. Egy halmaznak egy elem csak egyszer lehet eleme.

9 Diszkrét matematika 1. középszint sz 9. Halmazok Részhalmazok Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak: A B, ha x(x A x B). Ha A B-nek, de A B, akkor A valódi részhalmaza B-nek: A B. A részhalmazok tulajdonságai: Állítás (Biz. HF) 1 A A A (reexivitás). 2 A, B, C (A B B C) A C (tranzitivitás). 3 A, B (A B B A) A = B (antiszimmetria). Halmazok egyenl sége egy további tulajdonságot is teljesít: 3'. A, B A = B B = A (szimmetria).

10 Diszkrét matematika 1. középszint sz 10. Halmazok A halmaz és F(x) formula esetén {x A : F(x)} = {x A F(x)} halmaz elemei pontosan azon elemei A-nak, melyre F(x) igaz. Példa {z C : Im(z) = 0}: valós számok halmaza. {z C n Z + : z n = 1}: komplex egységgyökök halmaza.

11 Diszkrét matematika 1. középszint sz 11. Halmazok Speciális halmazok Üres halmaz Annak a halmaznak, melynek nincs eleme a jele:. A meghatározottsági axióma alapján ez egyértelm. A A halmaz A Halmaz megadása elemei felsorolásával. Annak a halmaznak, melynek csak az a elem az eleme a jelölése: {a}. Annak a halmaznak, melynek pontosan az a és b az elemei a jelölése: {a, b},... Speciálisan = {}, illetve, ha a = b, akkor {a} = {a, b} = {b}.

12 Diszkrét matematika 1. középszint sz 12. M veletek halmazokkal Az A és B halmazok uniója: A B az a halmaz, mely pontosan az A és a B elemeit tartalmazza. Általában: Legyen A egy olyan halmaz, melynek az elemei is halmazok (halmazrendszer). Ekkor A = {A : A A} = A AA az a halmaz, mely az A összes elemének elemét tartalmazza: A = {x A A : x A}. Speciálisan: A B = {A, B}. Példa {a, b, c} {b, c, d} = {a, b, c, d} {z C : 0 < arg(z) π } 2 {z C : π 2 = {z C : Im(z) > 0} < arg(z) < π} =

13 Diszkrét matematika 1. középszint sz 13. M veletek halmazokkal(az unió tulajdonságai) Állítás 1 A = A 2 A (B C) = (A B) C (asszociativitás) 3 A B = B A (kommutativitás) 4 A A = A (idempotencia) 5 A B A B = B Bizonyítás 1. x A (x A) (x ) x A. 2. x (A (B C)) (x A) (x (B C)) (x A) ((x B) (x C)) ((x A) (x B)) (x C) (x (A B)) (x C) x ((A B) C) 3-as, 4-es hasonló. 5. : A B A B B, de B A B mindig teljesül, így A B = B. : Ha A B = B, akkor A minden eleme eleme B-nek.

14 Diszkrét matematika 1. középszint sz 14. M veletek halmazokkal Az A és B halmazok metszete: A B az a halmaz, mely pontosan az A és a B közös elemeit tartalmazza: A B = {x A : x B}. Általában: Legyen A egy olyan halmaz, melynek az elemei is halmazok (halmazrendszer). Ekkor A = {A : A A} = A AA a következ halmaz: A = {x A A : x A}. Speciálisan: A B = {A, B}. Példa {a, b, c} {b, c, d} = {b, c}. Ha E n = {z C : z n = 1} az n-edik egységgyökök halmaza, akkor E 2 E 4 = E 2 E 6 E 8 = E 2 E n E m = E (n,m) n=1e n = E 1 = {1}

15 Diszkrét matematika 1. középszint sz 15. M veletek halmazokkal Ha A B =, akkor A és B diszjunktak. Ha A egy halmazrendszer, és A =, akkor A diszjunkt, illetve A elemei diszjunktak. Ha A egy halmazrendszer, és A bármely két eleme diszjunkt, akkor A elemei páronként diszjunktak. Példa Az {1, 2} és {3, 4} halmazok diszjunktak. Az {1, 2}, {2, 3} és {1, 3} halmazok diszjunktak, de nem páronként diszjunktak. Az {1, 2}, {3, 4} és {5, 6} halmazok páronként diszjunktak.

16 Diszkrét matematika 1. középszint sz 16. M veletek halmazokkal A metszet tulajdonságai Állítás (Biz. HF) 1 A = 2 A (B C) = (A B) C (asszociativitás) 3 A B = B A (kommutativitás) 4 A A = A (idempotencia) 5 A B A B = A

17 Diszkrét matematika 1. középszint sz 17. M veletek halmazokkal Az unió és metszet disztributivitási tulajdonságai: Állítás 1 A (B C) = (A B) (A C) 2 A (B C) = (A B) (A C) Bizonyítás 1 x A (B C) x A x B C x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) (x A B) (x A C) x (A B) (A C) 2 HF. hasonló

18 Diszkrét matematika 1. középszint sz 18. Különbség, komplementer Az A és B halmazok különbsége az A \ B = {x A : x B}. Egy rögzített X alaphalmaz és A X részhalmaz esetén az A halmaz komplementere az A = A = X \ A. Állítás A \ B = A B Bizonyítás x A \ B x A x B x A x B x A B

19 Diszkrét matematika 1. középszint sz 19. Komplementer tulajdonságai Állítás (Biz. HF) Legyen X az alaphalmaz. 1 A = A; 2 = X ; 3 X = ; 4 A A = ; 5 A A = X ; 6 A B B A; 7 A B = A B; 8 A B = A B. A 7. és 8. összefüggések az ún. de Morgan szabályok.

20 Diszkrét matematika 1. középszint sz 20. Komplementer tulajdonságai Bizonyítás(Példa).. x A B (x A B) (x A x B) (x A) (x B) (x A) (x B) x A B

21 Diszkrét matematika 1. középszint sz 21. Szimmetrikus dierencia Az A és B halmazok szimmetrikus dierenciája az A B = (A \ B) (B \ A). Állítás(Biz. HF) A B = (A B) \ (A B)

22 Diszkrét matematika 1. középszint sz 22. Hatványhalmaz Ha A egy halmaz, akkor azt a halmazrendszert, melynek elemei pontosan az A halmaz részhalmazai az A hatványhalmazának mondjuk, és 2 A -val jelöljük. A =, 2 = { } A = {a}, 2 {a} = {, {a}} A = {a, b}, 2 {a,b} = {, {a}, {b}, {a, b}} Állítás (Biz. kés bb) 2 A = 2 A

23 Relációk Diszkrét matematika 1. középszint sz 23. Relációk A relációk a függvényfogalom általánosításai; hagyományos függvények pontos deniálása; többérték függvények kapcsolatot ír le =, <,, oszthatóság,...

24 Relációk Diszkrét matematika 1. középszint sz 24. Rendezett pár Adott x y és (x, y) rendezett pár esetén számít a sorrend: {x, y} = {y, x} (x, y) (y, x). Az (x, y) rendezett párt a {{x}, {x, y}} halmazzal deniáljuk. Az (x, y) rendezett pár esetén a x az els, az y a második koordináta. Az X, Y halmazok Descartes-szorzatán (direkt szorzatán) az X Y = {(x, y) : x X, y Y } rendezett párokból álló halmazt értjük.

25 Relációk Diszkrét matematika 1. középszint sz 25. Binér relációk Adott X, Y halmazok esetén az R X Y halmazokat binér (kétváltozós) relációknak nevezzük. Ha R binér reláció, akkor gyakran (x, y) R helyett xry -t írunk. Példa 1. I X = {(x, x) X X : x X } az egyenl ség reláció. 2. {(x, y) Z Z : x y} az osztója reláció. 3. F halmazrendszer esetén az {(X, Y ) F F : X Y } a tartalmazás reláció. 4. Adott f : R R függvény esetén a függvény grakonja {(x, f (x)) R R : x R}. Ha valamely X, Y halmazokra R X Y, akkor azt mondjuk, hogy R reláció X és Y között. Ha X = Y, akkor azt mondjuk, hogy R X -beli reláció (homogén binér reláció).

26 Relációk Diszkrét matematika 1. középszint sz 26. Relációk értelmezési tartománya, értékkészlete Ha R reláció X és Y között (R X Y ) és X X, Y Y, akkor R reláció X és Y között is! Az R X Y reláció értelmezési tartománya a értékkészlete Példa dmn(r) = {x X y Y : (x, y) R}, rng(r) = {y Y x X : (x, y) R}. 1. Ha R = {(x, 1/x 2 ) : x R}, akkor dmn(r) = {x R : x 0}, rng(r) = {x R : x > 0}. 2. Ha R = {(1/x 2, x) : x R}, akkor dmn(r) = {x R : x > 0}, rng(r) = {x R : x 0}.

27 Relációk Diszkrét matematika 1. középszint sz 27. Relációk kitejesztése, lesz kítése, inverze Egy R binér relációt az S binér reláció kiterjesztésének, illetve S-et az R lesz kítésének (megszorításának) nevezzük, ha S R. Ha A egy halmaz, akkor az R reláció A-ra való lesz kítése (az A-ra való megszorítása) az Példa R A = {(x, y) R : x A}. Legyen R = {(x, x 2 ) R R : x R}, S = {( x, x) R R : x R}. Ekkor R az S kiterjesztése, S az R lesz kítése, S = R R + 0 (ahol R + 0 a nemnegatív valós számok halmaza).