Az informatika logikai alapjai

Átírás

1 Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017.

2 Formulahalmaz kielégíthetősége Ezen az előadáson Γ-val egy elsőrendű logikai nyelv formuláinak egy-egy halmazát jelöljük. Egy Γ formulahalmaz kielégíthető, ha van a logikai nyelvnek olyan I interpretációja és I-ben van olyan κ változókiértékelés, hogy A I,κ = i minden A Γ-ra. Egyébként Γ kielégíthetetlen.

3 Az elsőrendű következményreláció A B elsőrendű formula következménye Γ-nak (a Γ-beli formuláknak), ha a nyelv minden olyan interpretációja és változókiértékelése, amely kielégíti Γ-t, az kielégíti B-t is. Jelölése: Γ = B.

4 Példa - 1. {P(c), x(p(x) Q(x, x))} = Q(c, c) Ugyanis ha I egy olyan interpretáció, hogy P(c) I = i és x(p(x) Q(x, x)) I = i, akkor az I interpretáció U univerzumából származó bármely elemmel, így a c I U elemmel értékelve x-et is azt kapjuk, hogy P(x) Q(x, x) I,x c I = i. De mivel P(x) I,x c I = P(c) I és Q(x, x) I,x c I = Q(c, c) I, így világos, hogy P(x) I,x c I = i miatt Q(x, x) I,x c I = i, tehát Q(c, c) I = i.

5 Példa - 2. A x yq(x, y) formulának nem következménye a xq(x, x) formula. A formulák lehetnek a {π}, {Q (π,π) },, nyelv formulái. Interpretáljuk a nyelvet a következőképpen: I Srt (π) = { 1, 0, 1} és I Pr (Q) = Q I,{ ahol Q I i, ha (u1 + u (u 1, u 2 ) = 2 ) 0, u 1, u 2 { 1, 0, 1} h, egyébként. Ebben az interpretációban a x yq(x, y) formula i, de a xq(x, x) formula h igazságértékű.

6 A tautológikus következmény Azt mondjuk, hogy B tautologikus következménye Γ-nak, ha Γ és B közös Quine-táblázatában azon sorokban, ahol minden Γ-beli formula alatt i igazságérték található, B oszlopában is csupa i igazságérték van. Ha B tautologikus következménye Γ-nak, akkor Γ = B.

7 Példa - 3. A { x yq(x, y) xp(x), xp(x)} formulahalmaznak tautologikus következménye a x yq(x, y) formula: x yq(x, y) xp(x) x yq(x, y) xp(x) xp(x) x yq(x, y) i i i h i h h h i i h h h i i i Tehát { x yq(x, y) xp(x), xp(x)} = x yq(x, y)

8 Tautologikusan helyes következtetésformák Legyenek A, B és C elsőrendű logikai formulák. Az alábbiakban felsorolt következtetésformák helyesek: modus ponens ({A B, A}, B) modus tollens ({A B, B}, A) reductio ad absurdum ({A B, A B}, A) az indirekt bizonyítás ({ A B, A B}, A) feltételes szillogizmus ({A B, B C}, A C) esetszétválasztás ({A B, A C, B C}, C) modus tollendo ponens ({A B, A}, B) ({A}, A B) és ({B}, A B) ({A, B}, A B) ({A B}, A) és ({A B}, B) ({B}, A B) ({ A}, A) és ({A}, A)

9 Elsőrendű következtetésformák Természetesen vannak olyan elsőrendű következtetésformák is, amely következtetésformákban a formulahalmaznak logikai (de nem tautologikus) következménye a formula. az univerzális kvantor elhagyása ({ xa}, [A] x y) az egzisztenciális kvantor bevezetése szillogizmusok ({ x(a B), x(b C}, x(a C)) ({ x(a B), x(b C)}, x(a C)) ({[A] x t }, xa)

10 Néhány fontos összefüggés Γ = B pontosan akkor, ha a Γ { B} formulahalmaz kielégíthetetlen. Legyenek A 1, A 2,..., A n, B (n 1) elsőrendű formulák. {A 1, A 2,..., A n } = B pontosan akkor, ha 1 az A 1 A 2... A n B formula kielégíthetetlen; 2 az A 1 A 2... A n B formula logikai törvény.

11 Az első formális logikai rendszert megalapozó két szabály Dedukciós tétel. {A 1, A 2,..., A n 1, A n } = B pontosan akkor, ha {A 1, A 2,..., A n 1 } = A n B. Az általánosítás szabálya. Legyen x olyan változó, hogy x Par(A), ha A Γ. Ha Γ = B, akkor Γ = xb.