Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Átírás

1 Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék ősz

2 Halmazok Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 2. Műveletek halmazokkal Az unió és metszet disztributivitási tulajdonságai: Álĺıtás 1 A (B C) = (A B) (A C) 2 A (B C) = (A B) (A C) Bizonyítás 1 x A (B C) x A x B C x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) (x A B) (x A C) x (A B) (A C) 2 HF. hasonló

3 Halmazok Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 3. Különbség, komplementer Az A és B halmazok különbsége az A \ B = {x A : x B}. Egy rögzített X alaphalmaz és A X részhalmaz esetén az A halmaz komplementere az A = A = X \ A.

4 Halmazok Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 3. Különbség, komplementer Az A és B halmazok különbsége az A \ B = {x A : x B}. Egy rögzített X alaphalmaz és A X részhalmaz esetén az A halmaz komplementere az A = A = X \ A. Álĺıtás A \ B = A B Bizonyítás x A \ B x A x B x A x B x A B

5 Halmazok Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 4. Komplementer tulajdonságai Álĺıtás (Biz. HF) Legyen X az alaphalmaz. 1 A = A; 2 = X ; 3 X = ; 4 A A = ; 5 A A = X ; 6 A B B A; 7 A B = A B; 8 A B = A B. A 7. és 8. összefüggések az ún. de Morgan szabályok.

6 Halmazok Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 5. Komplementer tulajdonságai Bizonyítás(). x A B (x A B) (x A x B) (x A) (x B) (x A) (x B) x A B.

7 Halmazok Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 6. Szimmetrikus differencia Az A és B halmazok szimmetrikus differenciája az A B = (A \ B) (B \ A). Álĺıtás(Biz. HF) A B = (A B) \ (A B)

8 Halmazok Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 7. Hatványhalmaz Ha A egy halmaz, akkor azt a halmazrendszert, melynek elemei pontosan az A halmaz részhalmazai az A hatványhalmazának mondjuk, és 2 A -val jelöljük. A =, 2 = { } A = {a}, 2 {a} = {, {a}} A = {a, b}, 2 {a,b} = {, {a}, {b}, {a, b}} Álĺıtás (Biz. volt kombinatorikánál) 2 A = 2 A

9 Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 8. Relációk A relációk a függvényfogalom általánosításai;,,hagyományos függvények pontos definiálása;,,többértékű függvények kapcsolatot ír le =, <,, oszthatóság,...

10 Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 9. Rendezett pár Adott x y és (x, y) rendezett pár esetén számít a sorrend: {x, y} = {y, x} (x, y) (y, x). Az (x, y) rendezett párt a {{x}, {x, y}} halmazzal definiáljuk. Az (x, y) rendezett pár esetén a x az első, az y a második koordináta. Az X, Y halmazok Descartes-szorzatán (direkt szorzatán) az X Y = {(x, y) : x X, y Y } rendezett párokból álló halmazt értjük.

11 Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 10. Binér relációk Adott X, Y halmazok esetén az R X Y halmazokat binér (kétváltozós) relációknak nevezzük. Ha R binér reláció, akkor gyakran (x, y) R helyett xry-t írunk. 1. I X = {(x, x) X X : x X } az egyenlőség reláció. 2. {(x, y) Z Z : x y} az osztója reláció. 3. F halmazrendszer esetén az {(X, Y ) F F : X Y } a tartalmazás reláció. 4. Adott f : R R függvény esetén a függvény grafikonja {(x, f (x)) R R : x R}. Ha valamely X, Y halmazokra R X Y, akkor azt mondjuk, hogy R reláció X és Y között. Ha X = Y, akkor azt mondjuk, hogy R X -beli reláció (homogén binér reláció).

12 Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 11. Relációk értelmezési tartománya, értékkészlete Ha R reláció X és Y között (R X Y ) és X X, Y Y, akkor R reláció X és Y között is! Az R X Y reláció értelmezési tartománya a értékkészlete dmn(r) = {x X y Y : (x, y) R}, rng(r) = {y Y x X : (x, y) R}. 1. Ha R = {(x, 1/x 2 ) : x R}, akkor dmn(r) = {x R : x 0}, rng(r) = {x R : x > 0}. 2. Ha R = {(1/x 2, x) : x R}, akkor dmn(r) = {x R : x > 0}, rng(r) = {x R : x 0}.

13 Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 12. Relációk kitejesztése, leszűkítése, inverze Egy R binér relációt az S binér reláció kiterjesztésének, illetve S-et az R leszűkítésének (megszorításának) nevezzük, ha S R. Ha A egy halmaz, akkor az R reláció A-ra való leszűkítése (az A-ra való megszorítása) az R A = {(x, y) R : x A}. Legyen R = {(x, x 2 ) R R : x R}, S = {( x, x) R R : x R}. Ekkor R az S kiterjesztése, S az R leszűkítése, S = R R + 0 (ahol R + 0 a nemnegatív valós számok halmaza). Egy R binér reláció inverze az R 1 = {(y, x) : (x, y) R}. R 1 = {(x 2, x) R R : x R}, S 1 = {(x, x) R R : x R}

14 Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 13. Halmaz képe, teljes inverz képe Legyen R X Y egy binér reláció, A egy halmaz. Az A halmaz képe az R(A) = {y Y x A : (x, y) R}. Adott B halmaz inverz képe, vagy teljes ősképe az R 1 (B), vagyis a B halmaz képe az R 1 reláció esetén. Legyen R = {(x 2, x) R R : x R}, S = {(x, x) R R : x R}. R({9}) = { 3, +3} (vagy röviden R(9) = { 3, +3}), S(9) = {+3}.

15 Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 14. Legyen R reláció az X = {A, B, C,..., P} halmazon, és jelöljük T T -vel, ha (T, T ) R. A dmn(r) = {A, B, C, D, F, G, H, I, K}. M rng(r) = {A, B, C, E, F, G, H, I, J, L}. R {A,B,C,D} = {(A, B), (B, C), (C, A), (D, E), (D, F )}. C D G I B E F H J N O K L P

16 Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 14. Legyen R reláció az X = {A, B, C,..., P} halmazon, és jelöljük T T -vel, ha (T, T ) R. A dmn(r) = {A, B, C, D, F, G, H, I, K}. M rng(r) = {A, B, C, E, F, G, H, I, J, L}. R {A,B,C,D} = {(A, B), (B, C), (C, A), (D, E), (D, F )}. C D G I B E F H J N O K L P

17 Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 14. Legyen R reláció az X = {A, B, C,..., P} halmazon, és jelöljük T T -vel, ha (T, T ) R. A dmn(r) = {A, B, C, D, F, G, H, I, K}. M rng(r) = {A, B, C, E, F, G, H, I, J, L}. R {A,B,C,D} = {(A, B), (B, C), (C, A), (D, E), (D, F )}. C D G I B E F H J N O K L P

18 Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 14. Legyen R reláció az X = {A, B, C,..., P} halmazon, és jelöljük T T -vel, ha (T, T ) R. A dmn(r) = {A, B, C, D, F, G, H, I, K}. M rng(r) = {A, B, C, E, F, G, H, I, J, L}. R {A,B,C,D} = {(A, B), (B, C), (C, A), (D, E), (D, F )}. C D G I B E F H J N O K L P

19 Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés ősz 15. Kompozíció Legyenek R és S binér relációk. Ekkor az R S kompozíció (összetétel, szorzat) reláció: R S = {(x, y) z : (x, z) S, (z, y) R}. Kompozíció esetén a relációkat,,jobbról-balra írjuk : Legyen R sin = {(x, y) R R : sin x = y}, Legyen S log = {(x, y) R R : log x = y}. Ekkor R sin S log = {(x, y) z : log x = z, sin z = y} R sin S log = {(x, y) R R : sin log x = y}.