2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia;

Átírás

1 2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia;

2 Első pillantásra hihetetlennek tűnik, hogy egy olyan tiszta és érzelmektől mentes tudomány, mint a matematika, bármi használhatót tudna mondani arról a zűrzavaros, szervezetlen és kiszámíthatatlan világról, amelyben élünk. Szerencsére azt tapasztaljuk, hogy amikor megértünk valamit, ami korábban titokzatosnak tűnt, a dolgok mögött rend, formák és józan ész húzódnak meg. B. H. P. Rivett

3 3 ember bemegy egy motelba. A recepciós mondja, hogy 30 dollár egy szoba, így mindegyik fizetett 10 dollárt és elment a szobába. Kicsit később a recepciós rájött, hogy a szoba csak 25 dollár, ezért elküldte a hordárt a 3 férfihoz az 5 dollárral. Útközben a hordár nem tudta kitalálni, hogyan ossza el egyenlően az 5 dollárt a 3 férfi közt, így mindegyiknek adott egyet és kettőt pedig megtartott. Eszerint a három férfi 9 dollárt fizetett, ami 27-et tesz ki. Ha ehhez hozzáadjuk a hordár által megtartott 2-t, az összesen 29 dollár. Hol van az egy dollár?

4 2010/2011-es tanév I. féléves tematika 1. Halmazelmélet, számhalmazok 2. Relációk és függvények 3. Egyváltozós valós függvények 4. Sorozatok 5. Pénzügyi számítások 6. Függvény határértéke és folytonossága 7. Differenciálszámítás és alkalmazása 8. Integrálszámítás és alkalmazása

5

6 1. HALMAZELMÉLET 1.1 A halmaz fogalma, jelölések 1.2 Részhalmaz, hatványhalmaz 1.3 Halmazok szemléltetése 1.4 Műveletek halmazokkal

7 Ha a halmazelméletet teljes alapjaiban ismered is, de a matematikából semmi egyebet nem tudsz, akkor senki sem veheti hasznodat. Ha viszont épp a halmazelméletnek vagy híján, de más matematikai területeket jól ismersz, akkor meg akár nagyon eredményes is lehetsz. Ám ha mindehhez akár csak egy csipetnyi halmazelméletet is tanulsz, máris sokkal mélyebbre jutottál a matematika nyelvének megismerésében. I Stewart

8 1.1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát nem definiáljuk, tulajdonságaival körülírt alapfogalomnak tekintjük. A halmazt alkotó dolgok a halmaz elmei. Halmazok megadása: a.) elemeinek felsorolásával; b.) elemeit a rájuk jellemző pontos tulajdonsággal írjuk le. Az olyan halmazokat, melynek egyetlen elemük sincs üres halmazoknak, azt a halmazt amely minden elemet tartalmaz alaphalmaznak nevezzük.

9 Példa: halmaz megadása tulajdonságával Fogyasztói elmélet: költségvetési halmaz Tegyük fel, hogy kétféle árucikket szeretnénk vásárolni: az elsőből x, a másodikból y mennyiséget, és az árak rendre p és q. Összesen m nagyságú összeg áll rendelkezésünkre az árucikkek megvásárlására.

10 Példa: halmaz megadása tulajdonságával Jószágkosár: az árucikkek mennyiségeiből álló (x,y) rendezett pár. Jószágkosár értéke: px+qy Költségvetési feltétel: px+qy m Költségvetési halmaz (B) az összes olyan (x,y) jószágkosárból áll, amely kielégíti az px+qy m és x 0, y 0 egyenlőtlenségeket. B = { (x,y) px+qy m, x 0, y 0} általános elem definiáló tulajdonság

11 Példa: halmaz megadása tulajdonságával y (0, m/q) px+qy=m Költségvetési halmaz (m/p, 0) x

12 1.1 A halmaz fogalma, jelölések Véges és végtelen halmazok Matematikai értelemben adottnak tekinthető halmaz Döntsük el, hogy az alábbiak közül melyek határoznak meg matematikai értelemben vett halmazt! H: = { x x valós szám és x 2 =-4 } K: = { a Debreceni Egyetem 50m 2 -nél nagyobb helyiségei } L: = { prímszámok } M: = { x x páratlan természetes szám és x < 10 } N: = { a világ legnagyobb kikötővárosai } O: = { x x város és lakossága január 1-jén több, mint fő } P: = { tehetséges matematikusok }

13 1.1 A halmaz fogalma, jelölések Két halmaz egyenlő, ha ugyanazokból az elemekből áll. A: = { 2, 4, 6, 8 } B: = { páros természetes számok } C: = { n 10 n természetes szám és páros } D: = { n < 10 n természetes szám és páros }

14 1.2 Részhalmaz, hatványhalmaz Részhalmaz, valódi részhalmaz Triviális részhalmaz A tartalmazás tulajdonságai (reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív) Halmazok egyenlősége

15 1.2 Részhalmaz, hatványhalmaz Hatványhalmaz: Egy adott H halmaz összes részhalmazainak halmaza. Jelölés: P(H), 2 H

16 1.3 Halmazok szemléltetése Venn diagram

17 Venn diagram szemléltetése Tegyük fel, hogy van egy dobozunk kisgolyókkal és kiskockákkal (nem-kisgolyókkal), amik lehetnek piros vagy sárgászöld színűek (nem-piros színűek), ehetőek vagy nem ehetőek.

18 Venn diagram Halmazok szemléltetése kisgolyó A Venndiagramot három kör alkotja, amelyek mindegyike belelóg a másik kettőbe. piros Ugyan (háromszor) két körön is lehet ábrázolni a három állítást, de úgy nem átlátható. Márpedig a Venndiagramot pont ez utóbbiért találták ki. Ezáltal keletkezett 7 tartomány. Mindegyik tartományra különböző állítások igazak. ehető

19 A középső tartományra mind a három állítás igaz. Tehát ez a tartomány ad otthont az ehető piros kisgolyóknak És maradt a három nagyobb tartomány, amelyre csak az igaz, amelyik alkotja. ehetetlen piros kockák ehető sárgászöld kockák kisgolyó ehetetlen sárgászöld kisgolyók ehető piros Három másik kisebb tartomány azon köröknek a tulajdonságaival bír, amelyekben van, és az ellentétével annak, amiben nincs. Ezek a tartományok adnak otthont az ehetetlen piros kisgolyóknak, az ehető piros kockáknak, az ehető sárgászöld kisgolyóknak.

20 1.4 Műveletek halmazokkal - Unióképzés A H és K halmazok egyesített halmazának (uniójának) nevezzük azt a halmazt, amelynek elemei a H és K halmazok közül legalább az egyiknek elemei. Jele: H K H K = {x x H vagy x K} Az unióképzés tulajdonságai (kommutatív, asszociatív, idempotens)

21 1.4 Műveletek halmazokkal - Metszetképzés A H és K halmazok közös részének (metszetének) nevezzük azt a halmazt, amelynek elemei a H és K halmazok mindegyikében benne vannak Jele: H K H K = {x x H és x K}. A metszetképzés tulajdonságai (kommutatív, asszociatív, idempotens) Diszjunkt halmazok

22 Az unió- és metszetképzés tulajdonságai H, K, L U Abszorbciós tulajdonság: Disztributivitás: H (H K) = H H (H K) = H (H K) L = (H L) (K L) (H K) L = (H L) (K L)

23 1.4 Műveletek halmazokkal Halmazok különbsége A H és K halmazok különbségén a H összes olyan elemének a halmazát értjük, amelyek nincsenek benne a K halmazban. Jele: H \ K H \ K = {x H x K}

24 1.4 Műveletek halmazokkal A H és K halmazok szimmetrikus differenciája a H Δ K = (H \ K) (K \ H) Komplementer halmaz: a H halmaznak az alaphalmazra vonatkozó komplementere (kiegészítő halmaza) az U \ H halmaz. Jele: H C ; H C = { x U x H } H \ K = H K C

25 Tetszőleges H, K, L U halmazra igazak 1.) U C = ; C = U 2.) (K C ) C = K 3.) K K C = U; K K C = 4.) ha H = K, akkor H C = K C 5.) ha H K, akkor H C K C 6.) De Morgan azonosságok: (H K) C = H C K C (H K) C = H C K C 7.) H \ K = akkor és csakis akkor, ha H K

26 Példák Az alaphalmazunk legyen a Szabolcs megyei almatermelő vállalkozók halmaza. A H halmaz tartalmazza azokat a vállalkozókat, akik golden almát termelnek, a K halmaz azokat, akik jonatán almát termelnek. a.) Mindkettőt termelik H K b.) Legalább az egyiket termelik H K c.) Nem termelnek jonatán almát K C d.) Nem termelnek sem jonatán, sem golden almát (H K) C e.) Legalább az egyik almát nem termelik (H K) C f.) Pontosan az egyik fajta almát termelik (H K) \ (H K)

27 Példák Bizonyítsuk be, hogy 1.) (H K) L = (H L) (K L) 2.) H \ K = H \ (H K) 3.) H \ (K L) = (H \ K) (H \ L) 4.) H \ (K L) = (H \ K) (H \ L)

28 Az ember csak azt érti meg, amire maga jön rá; amit készen kap, anélkül, hogy lélekben megdolgozna érte, az egyik fülén be, a másikon ki. Olyan ez, mint a növények öntözése: a növény nem élhet víz nélkül, de nem sokat ér azzal a vízzel, amit a leveleire öntenek, az lepereg róla; csak azt a vizet képes igazán felhasználni, amit a gyökerein keresztül maga szív fel. Rényi Alfréd

29