Bevezetés a matematikába 1. Definíciók, vizsgakérdések

Átírás

1 Bevezet a matematikába 1 Definíciók, vizsgakérdek

2 Tételek15 Mi lehet predikátumok értéke? Hogyan jelöljük?15 Mondjon legalább három példát predikátumra15 Sorolja fel a logikai jeleket15 Milyen kvantortokat ismer? Mi a jelük?15 Hogyan kapjuk a logikai formulákat?15 Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?15 Mik a nyitott mik a zárt formulák?15 Mondjon két példát nyitott formulára16 Mondjon egy példát zárt formulára16 Milyen predikátumok szerepelnek a halmazelméletben?16 Fogalmazza meg a meghatározottság elvét16 Definiálja a rzhalmaz a valódi rzhalmaz fogalmát adja meg a jelöleiket16 Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a rzhalmaz fogalom?16 Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a halmazok egyelősége?16 Írja le a rzhalmaz fogalmát Milyen jelölt használunk rzhalmazok megadására?16 Írja le az üres halmaz fogalmát17 Igaz-e, hogy csak egy üres halmaz van?17 Írja le a pár fogalmát Milyen jelöl kapcsolódik hozzá?17 Írja le két halmaz unióját a megfelelő jelöleket17 Írja le halmazrendszer únióját a megfelelő jelöleket17 Fogalmazza meg a halmazok uniójának alaptulajdonságait17 Definiálja halmazrendszer két halmaz metszetét, adja meg a jelöleiket 17 Definiálja a diszjunktság a páronként diszjunktság fogalmát17 Fogalmazza meg a halmazok metszetének alaptulajdonságait 18 Fogalmazza meg az unió a metszet disztributivitását18

3 Definiálja a halmazok különbségét, szimmetrikus differenciáját komplementerét18 Fogalmazza meg a halmazok komplementerének alaptullajdonságait18 Írja le a hatványhalmaz fogalmát Milyen jelölek kapcsolódnak hozzá?20 Definiálja a rendezett pár fogalmát koordinátáit20 Definiálja két halmaz Descartes-szorzatát20 Definiálja a binér reláció fogalmát adja meg a kapcsolódó jelöleket20 Mit jelent az, hogy reláció között? Mit jelent az, hogy egy -beli reláció?20 Definiálja a binér reláció értelmezi tartományát értékkzletét, adja meg a kapcsolódó jelöleket20 Definiálja a binér reláció kiterjesztét, leszűkítét leszűkítét egy halmazra adja meg a kapcsolódó jelöleket20 Definiálja egy binér reláció inverzét, sorolja fel az inverz három egyszerű tulajdonságát21 Definiálja halmaz képét inverz képét binér relációnál adja meg a kapcsolódó jelöleket21 Definiálja a binér relációk kompozícióját Lehet-e a kompozíció üres?21 Fogalmazzon meg három, binér relációk kompozíciójára vonatkozó állítást21 Mint jelent az, hogy egy reláció tranzitív, szimmetrikus, illetve dichotom? Ezek közül mi az, ami csak a reláción múlik?21 Mit jelent az, hogy egy reláció intranzitív, antiszimmetrikus, illetve trichotóm? Ezek közül mi az, ami csak a reláción múlik?22 Mint jelent az, hogy egy reláció szigorúan antiszimmetrikus, reflexív illetve irreflexív? Ezek közül mi az, ami csak a reláción múlik? 22 Definiálja az ekvivalenciarelációt, illetve az osztályozás fogalmát22 Mi a kapcsolat az ekvivalenciarelációk az osztályozások között?22 Definiálja a rzbenrendez a rzbenrendezett halmaz fogalmát Mit mondhatunk egy rzbenrendezett halmaz egy rzhalmazáról?22 Definiálja a rendez, a rendezett halmaz a lánc fogalmát 24 Mondjon példát rzbenrendezett de nem rendezett halmazra24 Definiálja egy relációnak megfelelő szigorú illetve gyenge reláció fogalmát 24

4 Definiálja a szigorú rzbenrendezt fogalmazza meg kapcsolatát a rzbenrendezsel24 Mi az, hogy kisebb, nagyobb, megelőzi, követi? Adja meg a kapcsolódó jelöleket24 Definiálja az intervallumokat adja meg a kapcsolódó jelöleket24 Mi az, hogy közvetlenül követi illetve közvetlenül megelőzi?25 Definiálja a kezdőszelet fogalmát, adja meg a kapcsolódó jelöleket25 Definiálja a legkisebb a legnagyobb elem fogalmát25 Definiálja a minimális maximális elem fogalmát, adja meg a kapcsolódó jelöleket25 Adjon meg olyan rzbenrendezett halmazt, amelyben több minimális elem van25 Adjon meg olyan rzbenrendezett halmazt, amelyben nincs maximális elem 25 Igaz-e, hogy rendezett halmazban a legkisebb a minimális elem fogalma egybeesik?25 Definiálja az alsó a felső korlát fogalmát26 Igaz-e, hogy ha egy rzbenrendezett halmaz egy rzhalmaza tartalmaz a rzhalmaz alsó korlátjai közül elemeket csak egyet?26 Igaz-e, hogy ha egy rzbenrendezett halmaz egy rzhalmaza tartalmazza a rzhalmaz egy alsó korlátját az a rzhalmaznak minimális eleme?26 Definiálja az infimum szuprémum fogalmát26 Definiálja a jólrendez jólrendezett halmaz fogalmát26 Adjon meg olyan rendezett halmazt, amely nem jólrendezett26 Van-e olyan jólrendezett halmaz, amely nem rendezett?26 Adjon példát jólrendezett halmazra 26 Adjon meg két rzbenrendezett halmaz Descartes-szorzatán a halmazok rzbenrendezei segítségével két rzbenrendezt27 Definiálja a függvény fogalmát Ismertesse a kapcsolódó jelöleket27 Mi a különbség a között, hogy hogy?27 Mikor nevezünk egy függvényt kölcsönösen egyértelműnek?27 Igaz-e, hogy az identikus leképez mindig szürjektív?27

5 Igaz-e, hogy két függvény összetétele függvény?27 Mikor állíthatjuk hogy két függvény összetétele injektív, szürjektív illetve bijektív?27 Mi a kapcsolat függvények ekvivalenciarelációk között?29 Mikor nevezünk egy függvényt monoton növekedőnek illetve monoton csökkenőnek?29 Mikor nevezünk egy függvényt szigorúan monoton növekedőnek illetve szigorúan monoton csökkenőnek?29 Mi a kapcsolat szigorúan monoton növekedő függvények, a kölcsönösen egyértelmű függvények az inverz függvények között?29 Mit értünk indexhalmaz, indexezett halmaz család alatt?29 Definiálja a halmazcsaládok unióját metszetét29 Fogalmazza meg a halmazcsaládokra vonatkozó De Morgan-szabályokat30 Fogalmazza meg a halmazműveletek egy függvény kapcsolatáról tanult állításokat30 Definiálja véges sok halmaz Descartes-szorzatát ismertesse a kapcsolódó jelöleket30 Definiálja a (nem feltétlenül binér) reláció fogalmát a kapcsolódó jelöleket 30 Definiálja a kiválasztási függvény fogalmát30 Definiálja tetszőleges halmazcsalád Descartes-szorzatát ismertesse a kapcsolódó jelöleket30 Definiálja a projekció fogalmát32 Definiálja a binér, unér nullér művelet fogalmát ismertesse a kapcsolódó jelöleket32 Hogyan definiálunk műveleteket függvénytereken?32 Definiálja a művelettartó leképez fogalmát32 Fogalmazza meg a Peano-axiómákat32 Mi a rákövetkező, a rákövetkez, a teljes indukció elve?34 Definiálja a számjegyeket34 Definiálja a sorozat fogalmát34 Fogalmazza meg a rekurziótételt34

6 Fogalmazza meg a termzetes számok egyértelműségére vonatkozó tételt 34 Fogalmazza meg a termzetes számok létezére vonatkozó tételt34 Definiálj a karakterisztikus függvény fogalmát ismertesse a kapcsolódó jelöleket34 Definiálja a termzetes számok összeadását35 Fogalmazza meg a termzetes számok összeadásának alaptulajdonságait kimondó tételt35 Definiálja termzetes számok szorzását35 Fogalmazza meg a termzetes számok szorzásának alaptulajdonságait kimondó tételt35 Definiálja a baloldali semleges elem, a jobboldali semleges elem a semleges elem fogalmát35 Igaz-e, hogy legfeljebb egy baloldali semleges elem van?36 Igaz-e, hogy legfeljebb egy semleges elem van?36 Definiálja a félcsoport, a balinverz, a jobbinverz az inverz fogalmát36 Igaz-e, hogy egy egységelemes félcsoportban egy elemhez legfeljebb egy inverz elem létezik?36 Igaz-e, hogy egy egységelemes multiplikatív félcsoportban ha -nak -nek van inverze -nek is, ha igen, mi?36 Definiálja a csoport az Abel-csoport fogalmát36 Igaz-e, hogy ha tetszőleges halmaz egy egységelemes félcsoport? 37 Igaz-e, hogy ha tetszőleges halmaz egy csoport?37 Igaz-e, hogy ha tetszőleges halmaz egy félcsoport?37 Igaz-e, hogy ha tetszőleges halmaz az -beli binér relációk a kompozícióval egységelemes félcsoportot alkotnak?37 Igaz-e, hogy ha tetszőleges halmaz az -et -re képező bijektív leképezek kompozícióval, mint művelettel csoportot alkotnak?37 Definiálja termzetes számokra a relációt37 Fogalmazza meg a termzetes számokra a relációt a műveletek kapcsolatát leíró tételt37 Definiálja a véges sorozatokat38 Fogalmazza meg az általános rekurziótételt38

7 Hogyan használható az általános rekurziótétel a Fibonacci-számok definiálására?38 Definiálja véges sok elem szorzatát félcsoportban egységelemes félcsoportban38 Fogalmazza meg a hatványozás két tulajdonságát félcsoportban egységelemes félcsoportban38 Fogalmazza meg a hatványozásnak azt a tulajdonságát, amely csak felcseréhető elemekre érvényes38 Hogyan értelmeztük, a jelölt?39 Fogalmazza meg a maradékos osztás tételét Definiálja a hányadost a maradékot termzetes számok osztásánál, a páros páratlan termzetes számokat39 Fogalmazza meg a számrendszerekre vonatkozó tételt39 Mikor mondjuk, hogy egy binér művelet kompatibilis egy osztályzással? Adjon ekvivalens megfogalmazást, definiálja a relációt az osztályok között 39 Mikor mondjuk, hogy egy binér reláció kompatibilis egy osztályzással? Adjon ekvivalens megfogalmazást, definiálja a relációt az osztályok között39 Definiálja az egz számokat a műveletekkel a rendezsel fogalmazza meg az egz számok tulajdonságait leíró tételt40 Adja meg -nek -be való beágyazását fogalmazza meg a beágyazás tulajdonságát40 Definiálja egy csoportban az egz kitevős hatványozást fogalmazza meg két tulajdonságát40 Definiálja egy csoportban az egz kitevős hatványozást fogalmazza meg egy olyan tulajdonságát, amely csak felcserélhető elemekre érvényes41 Definiálja a nullgyűrű a zérógyűrű fogalmát41 Definiálja a bal jobb oldali nullosztó nullosztópár fogalmát41 Fogalmazza meg az általános disztributivitás tételét41 Definiálja az integritási tartomány fogalmát42 Definiálja a rendezett integritási tartomány fogalmát42 Fogalmazzon meg szükséges elégséges feltételt arra vonatkozóan, hogy egy integritási tartomány rendezett integritási tartomány legyen42 Fogalmazza meg a rendezett integritási tartományban az egyenlőtlenségekkel való számolás szabályait leíró tételt42

8 Definiálja a racionális számok halmazát a műveletekkel a rendezsel, fogalmazza meg a racionális számok tulajdonságait leíró tételt42 Adja meg -nek -ba való beágyazását fogalmazza meg a beágyazás tulajdonságait44 Definiálja a test a ferdetest fogalmát adjon három példát testre44 Definiálja a rendezett test fogalmát adjon példát olyan testre, amely nem tehető rendezett testté44 Adja meg -nak egy rendezett testbe való beágyazását fogalmazza meg a beágyazás tulajdonságait44 Fogalmazza meg a felső határ tulajdonságot az Arkhimédeszi tulajdonságot 44 Fogalmazza meg a recionális számok felső határ tulajdonságára az Arkhimédeszi tulajdonságára vonatkozó tételt45 Fogalmazza meg a valós számok egyértelműségét leíró tételt45 Definiálja a valós szám abszolút értékét a függvényt 45 Fogalmazza meg a valós számok létezét leíró tételt 45 Definiálja a komplex számok halmazát a műveletekkel45 Adja meg beágyazását -be45 Definiálja -t, komplex szám valós képzetes rzét, konjugáltját a képzetes számok fogalmát46 Fogalmazza meg a komplex konjugálás tulajdonságait 46 Definiálja komplex szám abszolút értékét Milyen analízisbeli tételt használt?46 Fogalmazza meg komplex számok abszolút értékének tulajdonságait46 Definiálja komplex számokra a függvényt fogalmazza meg tulajdonságait46 Definiálja komplex számok trigonometrikus alakját argumentumát47 Írja fel két komplex szám szorzatát hányadosát trigonometrikus alakjuk segítségével47, írja fel a egyenlet összes megoldását47 Írja fel az -edik komplex egységgyököket Mit értünk primitív -edik egységgyök alatt?47, írja fel a egyenlet összes megoldását az -edig egységgyök segítségével47

9 Fogalmazza meg az algebra alaptételét48 Definiálja a kvaterniók halmazát a műveletekkel48 Milyen algebrai struktúrát alkotnak a kvaterniók?48 Adja meg a komplex számok beágyazását kvaterniókba48 Definiálja kvaterniókat Hogyan írhatunk fel egy kvaterniót, segítségével?48 Igaz-e, hogy bármley kvaternió bármely valós számmal felcserélhető?48 Igaz-e, hogy bármely kvaternió bármely komplex számmal felcserélhető?48 Adja meg a,, kvaterniók szorzótábláját 48 Definiálja kvaternió valós képzetes rzét konjugáltját49 Fogalmazza meg a kvaterniók konjugáltjára vonatkozó állításokat49 Definiálja a belső a külső szorzást a kvaterniók segítségével49 Definiálja kvaterniók abszolút értékét sorolja fel a tulajdonságait49 Definiálja halmazok ekvivalenciáját sorolja fel tulajdonságait49 az illetve halmazok ekvivalensek, milyen más halmazok ekvivalenciájára következtethetünk még ebből?50 Definiálja a véges a végtelen halmazok fogalmát50 Definiálja egy véges halmaz elemeinek számát Hogyan jelöljük? Mit használt fel a definícióhoz?50 Fogalmazza meg a véges halmazok elemszámuk tulajdonságait leíró tételt 50 Fogalmazza meg a skatulyaelvet50 Mit mondhatunk véges halmazban minimális maximális elem létezéről? 51 Definiálja a permutációk fogalmát Mi a szokásos művelet milyen algebrai struktúrát kapunk?51 Definiálja az ismétles variációk fogalmát Mit mondhatunk egy véges halmaz összes ismétles variációinak számáról?51 Fogalmazza meg a binomiális tételt51 Fogalmazza meg a polinomiális tételt51 Fogalmazza meg a logikai szita formulát51

10 Definiálja a termzetes számok körében az oszthatóságot adja meg jelölét52 Sorolja fel a termzetes számok körében az oszthatóság alaptulajdonságait 52 Definiálja a termzetes számok körében a prímszám a törzsszám fogalmát Mi a kapcsolat a két fogalom között?53 Definiálja egységelemes integritási tartományban az oszthatóságot adja meg jelölét53 Sorolja fel egységelemes integritási tartományban az oszthatóság alaptulajdonságait53 Definiálja az asszociáltak fogalmát sorolja fel ennek a kapcsolatnak a tulajdonságait53 Definiálja az egységek fogalmát sorolja fel az egységek halmazának tulajdonságait53 Mi a kapcsolat az egységek az asszociáltak kötött?55 Definiálja a Gauss-egzek gyűrűjét Igaz-e, hogy két egységelem van?55 Definiálja egységelemes integritási tartományban a prímelem az irreducibilis elem fogalmát Mi a kapcsolat a két fogalom között?55 Mit értünk egységelemes integritási tartományban legnagyobb közös osztó alatt?55 Mikor mondjuk egységelemes integritási tartomány elemeire, hogy relatív prímek?55 Mit értünk egységelemes integritási tartományban legkisebb közös többszörös alatt?55 Mit a kapcsolat a termzetes számok körében az egz számok körében vett oszthatóság között?56 Egyértelmű-e az egz számok körében a legnagyobb közös osztó? Ismertesse a kapcsolódó jelölt56 Egyértelmű-e az egz számok körében a legkisebb közös többszörös? Ismertesse a kapcsolódó jelölt56 Ismertesse a bővített euklidzi algoritmust56 Mely tétel alapján számolhatjuk ki véges sok egz szám legnagyobb közös osztóját prímfelbontás nélkül?56 Fogalmazza meg a számelmélet alaptételét56 Definiálja prímtényezős felbontásnál a kanonikus alakot57

11 Hogyan határozhatók meg termzetes számok esetén az osztók, a legnagyobb közös osztó a legkisebb közös többszörös a prímtényezős felbontás segítségével?57 Mi a kapcsolat két egz szám legnagyobb közös osztója legkisebb közös többszöröse között?57 Hogyan számolhatjuk ki véges sok egz szám legkisebb közös többszörösét prímfelbontás nélkül?57 Ismertesse Erathoszthenz szitáját57 Definiálja egz számok kongruenciáját adja meg a kapcsolódó jelöleket 57 Fogalmazza meg az egz számok kongruenciájának egyszerű tulajdonságait 57 Definiálja a maradékosztály, redukált maradékosztály, teljes redukált maradékrendszer fogalmát58 Definiálja -et Milyen algebrai struktúra?58 Fogalmazza meg a gyűrű tulajdonságait leíró tételt58 Definiálja az Euler-féle függvényt58 Fogalmazza meg az Euler Fermat-tételt58 Fogalmazza meg a Fermat-tételt59 Mit értünk diofantikus problémán?59 Mondjon két példát diofantikus problémára59 Fogalmazza meg a kínai maradéktételt59 Definiálja a számelméleti függvény, az additív számelméleti függvény a teljesen additív számelméleti függvény fogalmát59 Definiálja a számelméleti függvény, a multiplikatív számelméleti függvény a teljesen multiplikatív számelméleti függvény fogalmát59 Fogalmazza meg az additív, multiplikatív, teljesen additív teljesen multiplikatív számelméleti függvények kiszámítására vonatkozó tételt60 Adjon egyszerű példákat additív, multiplikatív, teljesen additív teljesen multiplikatív számelméleti függvényekre60 Definiálja számelméleti függvényeket Milyen tulajdonságúak?60 Fogalmazza meg az Euler-féle függvény kiszámítására vonatkozó tételt60 Fogalmazza meg a kiválasztási axiómát60

12 Fogalmazza meg a Zorn-lemmát61 Fogalmazza meg a jólrendezi tételt61 Mikor mondjuk, hogy egy halmaz majorál egy másikat Mikor mondjuk, hogy egy halmaz szigorúan majorál egy másikat?61 Milyen nyilvánvaló tulajdonságai vannak halmazok majorálásának?61 Fogalmazza meg a Schröder Bernstein-tételt61 Fogalmazza meg a Schröder Bernstein-tétel szigorú majorálására vonatkozó következményét61 Fogalmazza meg a halmazok összehasonlíthatóságára vonatkozó tételt61 Fogalmazza meg Cantor tételét61 Definiálja a megszámlálható végtelen a megszámlálható fogalmát61 Adjon a megszámlálható végtelen fogalma segítségével szükséges elégséges feltételt arra, hogy egy halmaz végtelen legyen62 Adjon segítségével szükséges elégséges feltételt arra, hogy egy halmaz véges, megszámlálható illetve végtelen legyen62 Mit mondhatunk megszámlálható halmaz rzhalmazáról?62 Adjon segítségével szükséges elégséges feltételt arra, hogy egy nem üres halmaz megszámlálható legyen62 Mely halmazműveletekre bizonyítottuk, hogy nem vezetnek ki a megszámlálható halmazok köréből?62 A halmazok közül melyek megszámláhatóak?62 Egy végtelen halmaz egy megszámlálható halmaz unióját képezzük Mit állíthatunk az unióról?62 Adjon valódi rzhalmazok segítségével szükséges elégséges feltételt arra, hogy egy halmaz végtelen legyen62 Definiálja a kontinuum számosságú halmaz fogalmát62 Az mely rzhalmazairól bizonyítottuk, hogy kontinuum számosságúak?63 A halmazok közül melyek kontinuum számosságúak?63 Bizonyítások63 Fogalmazza meg a halmazok uniójának kommutativitását, asszociativitását idempotenciáját, bizonyítsa be63

13 Fogalmazza meg a halmazok metszetének kommutativitását, asszociativitását idempotenciáját, bizonyítsa be63 Fogalmazza meg bizonyítsa be az unió a metszet disztributivitását64 Fogalmazza meg bizonyítsa be a De Morgan azonosságokat két halmazra 64???Mi a rendezett pár alaptulajdonsága? Bizonyítsa be, hogy rendelkezik vele 64 Bizonyítsa be, hogy a binér relációk kompozíciója asszociatív65 Fogalmazza meg a két binér reláció kompozíciójának inverzére vonatkozó állítást, bizonyítsa be65 Fogalmazza meg az ekvivalenciareláció az osztályozás kapcsolatát bizonyítsa be65 Fogalmazza meg a szigorú rzbenrendez kapcsolatát a rzbenrendezsel bizonyítsa be állítását66 Mikor állíthatjuk, hogy két függvény összetétele injektív, szürjektív, illetve bijektív? Bizonyítsa be állítását67 Fogalmazza meg a halmazcsaládokra vonatkozó De Morgan-szabályokat, bizonyítsa be őket67 Bizonyítsa be, hogy ha n N n n+ ha 0 n N van olyan m N, hogy n=m+67 Fogalmazza meg bizonyítsa be a termzetes számok egyértelműségére vonatkozó tételt68 Fogalmazza meg bizonyítsa be a termzetes számok összeadásának alaptulajdonságait kimondó tételt, a kommutativitást kivéve69 Fogalmazza meg a termzetes számok összeadásának alaptulajdonságait kimondó tételt, bizonyítsa be a kommutativitást69 Fogalmazza meg bizonyítsa be a termzetes számok szorzásának alaptulajdonságait kimondó tételt, a kommutativitást kivéve70 Fogalmazza meg a termzetes számok szorzás alaptulajdonságait kimondó tételt, bizonyítsa be a kommutativitást70 Bizonyítsa be, hogy a termzetes számok halmaza a relációval rendezett 71 Fogalmazza meg bizonyítsa be a termzetes számokra a a műveletek kapcsolatát leíró tételt72

14 Tételek Logikai alapok lmazelméleti alapfogalmak Mi lehet predikátumok értéke? Hogyan jelöljük? A predikátumok értéke változóiktól függően lehet igaz (jele: ) vagy hamis (jele: ) Mondjon legalább három példát predikátumra Péládul a síkgeometriában predikátumok: pont ), ( egyenes ), ( ( illeszkedik -ra ) Sorolja fel a logikai jeleket A logikai formulák alkotóelemei: ( nem ), ( ), ( vagy ), akkor ) ( akkor csak akkor vagy pontosan akkor ) ( ha Milyen kvantortokat ismer? Mi a jelük? A logikai formulák alkotóelemei: ( létezik vagy van olyan ) egzisztenciális kvantor a ( minden ) univerzális kvantor Hogyan kapjuk a logikai formulákat? A logikai formulák (vagy mondatok) az adott elmélet predikátumaiból épülnek fel a logikai jelek, valamint a két kvantor segítségével Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Egy formula egy vagy típusú rzformulája esetén az változó minden, a két zárójel közötti előfordulására (a kvantor után vagy -ban) azt mondjuk, hogy a kvantor hatáskörében van Mik a nyitott mik a zárt formulák? egy formulában egy változó egy adott előfordulása egy kvantor hatáskörében van azt mondjuk, hogy az adott előfordulás kötött előfordulás, egyébként az adott előfordulás szabad előfordulás egy változónak egy formulában van szabad előfordulása azt mondjuk, hogy a változó szabad változó egy formulának nincs szabad változója, akkor a formulát zárt formulának, egyébként nyitott formulának mondjuk

15 Mondjon két példát nyitott formulára A síkgeometria példájánál maradva, az formulában a szabad változók, így ezek nyitott formulák Mondjon egy példát zárt formulára A zárt formula, mert nincs szabad változója Milyen predikátumok szerepelnek a halmazelméletben? A halmazelméletben (az egyenlőségen kívül) a halmaznak lenni (nincs jele) az eleme ( azaz eleme az halmaznak) predikátum szerepel Fogalmazza meg a meghatározottság elvét Egy halmazt az elemei határoznak meg Az halmaz akkor csak akkor egyenlő, ha ugyanazok az elemeik Nincs olyasmi, hogy valami többször eleme egy halmaznak Definiálja a rzhalmaz a valódi rzhalmaz fogalmát adja meg a jelöleiket Akkor mondjuk, hogy az minden eleme a halmaz rzhalmaza a halmaznak is eleme Jele: halmaznak, ha vagy rzhalmaza -nek, de nem egyenlő vele azt mondjuk, hogy rzhalmaza -nek Jele: vagy valódi Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a rzhalmaz fogalom? Minden halmaz rzhalmaza saját magának (reflexivitás), ha (tranzitivitás), a meghatározottsági axioma szerint az is teljesül, hogy (antiszimmetria) Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a halmazok egyelősége? A halmazok egyenlősége reflexív, tranzitív, antiszimmetrikus, még az is teljesül, hogy ha (szimmetria) Írja le a rzhalmaz fogalmát Milyen jelölt használunk rzhalmazok megadására? Akkor mondjuk, hogy az minden eleme a halmaz rzhalmaza a halmaznak is eleme Jele: halmaznak, ha vagy rzhalmaza -nek, de nem egyenlő vele azt mondjuk, hogy rzhalmaza -nek Jele: vagy valódi

16 Írja le az üres halmaz fogalmát Van olyan halmaz, amelynek nincs eleme Igaz-e, hogy csak egy üres halmaz van? Igen A meghatározottság axiómája miatt csak egy üres halmaz van Írja le a pár fogalmát Milyen jelöl kapcsolódik hozzá? Bármely dologhoz van olyan halmaz, amelynek ezek csak ezek az elemei Ekkor Írja le két halmaz unióját a megfelelő jelöleket halmazok azt a halmazt, amelynek pontosan azok a dolgok az elemei, melyek elemei -nak vagy -nek (vagy mindkettőnek), -vel jelöljük, a két halmaz uniójának nevezzük Írja le halmazrendszer únióját a megfelelő jelöleket A egy halmaz, amelynek elemei mind halmazok azt a halmazt amely pontosan azokat a dolgokat tartalmazza, amelyek A valamely elemének az elemei, az A uniójának nevezzük Ennek jelöle: A A vagy A Fogalmazza meg a halmazok uniójának alaptulajdonságait halmazok: (1) ; (2) (kommutativitás); (3) (asszociativitás); (4) (idempotencia) (5) akkor csak akkor, ha Definiálja halmazrendszer két halmaz metszetét, adja meg a jelöleiket halmazok, legyen Általánosan, ha A halmazok egy nem üres rendszere a halmazrendszer metszetét a minden A-ra összefüggsel definiáljuk Definiálja a diszjunktság a páronként diszjunktság fogalmát azt mondjuk, hogy diszjunktak (vagy idegenek) Általábosabban, ha egy nem üres A halmazrendszer metszete az üres A

17 halmaz azt mondjuk, hogy a halmazrendszer diszjunkt a halmazrendszer bármely két halmazának metszete üres azt mondjuk, hogy elemei páronként diszjunktak (Más szóhasználatban a páronként diszjunkt halmazokból álló halmazrendszert nevezzük diszjunktnak) Fogalmazza meg a halmazok metszetének alaptulajdonságait halmazok: (1) ; (2) (kommutativitás); (3) (asszinciativitás); (4) (idempotencia) (5) akkor csak akkor, ha Fogalmazza meg az unió a metszet disztributivitását halmazok: (1) (a metszet disztributivitása az unióra nézve); (2) (az unió disztributivitása a metszetre nézve) Definiálja a halmazok különbségét, szimmetrikus differenciáját komplementerét Az halmazok különbségét (vagy differenciálját) az összefüggsel definiáljuk A két halmaz szimmetrikus differenciálját az akkor az halmazt néha összefüggsel definiáljuk -val jelöljük, az halmaz, -ra vonatkozó komplementerének nevezzük Ez termzetesen nem csak -tól, hanem az alaphalmaztól is függ, ami az jelölben nem jut kifejezre Fogalmazza meg a halmazok komplementerének alaptullajdonságait (1) (2) (3)

18 (4) (5) (6) (7) (8) akkor csak akkor, ha

19 Írja le a hatványhalmaz fogalmát Milyen jelölek kapcsolódnak hozzá? halmaz azt a halmazrendszert, melynek elemei az hatványhalmazának nevezzük Jele: rzhalmazai, Tehát minden halmazhoz létezik egy olyan halmazrendszer, amelynek elemei pontosan rzhalmazai Relációk Definiálja a rendezett pár fogalmát koordinátáit Bármely esetén legyen Az rendezett pár első koordinátája, a második koordinátája Definiálja két halmaz Descartes-szorzatát Az halmazok Descartes-szorzatán az halmazt értjük Definiálja a binér reláció fogalmát adja meg a kapcsolódó jelöleket Egy halmazt binér relációnak (vagy kétváltozós relációnak) nevezünk, ha minden eleme rendezett pár egy binér reláció helyett gyakran azt írjuk, hogy reláció Mit jelent az, hogy reláció? valamely reláció, azt mondjuk, hogy halmazokra között fennáll az között? Mit jelent az, hogy egy -beli azt mondjuk, hogy reláció között azt mondjuk, hogy reláció (homogén binér reláció) egy -beli binér Definiálja a binér reláció értelmezi tartományát értékkzletét, adja meg a kapcsolódó jelöleket Az binér reláció értelmezi tartományát a, értékkzletét pedig a összefüggsel értelmezzük A jelölek a domain illetve range szóra utalnak; vagy vagy, illetve (az image szóból) is szokásosak Definiálja a binér reláció kiterjesztét, leszűkítét leszűkítét egy halmazra adja meg a kapcsolódó jelöleket,

20 Az binér relációt az binér reláció kiterjesztének, illetve -et az leszűkítének (vagy megszorításának) nevezzük, ha halmaz, az reláció egy -re való leszűkítén (vagy megszorításán) az relációt értjük Definiálja egy binér reláció inverzét, sorolja fel az inverz három egyszerű tulajdonságát Egy binér reláció inverzén az (1) binér relációt értjük ; (2) ha reláció között (3) reláció között; Definiálja halmaz képét inverz képét binér relációnál adja meg a kapcsolódó jelöleket egy binér reláció egy halmaz Az halmaz képe az halmaz ha diszjunktak Az pontosan akkor üres, halmaz inverz képe az helyett relációnál -t írunk Definiálja a binér relációk kompozícióját Lehet-e a kompozíció üres? Az binér relációk összetételén (kompozícióján, szorzatán) az relációt értjük Két reláció kompozíciója lehet üres: ez a helyzet, ha ) diszjunktak Fogalmazzon meg három, binér relációk kompozíciójára vonatkozó állítást ek, binér relációk Ekkor (1) ha akkor ; (2) (asszociativitás); (3) Mint jelent az, hogy egy reláció tranzitív, szimmetrikus, illetve dichotom? Ezek közül mi az, ami csak a reláción múlik? egy -beli binér reláció Azt mondjuk, hogy (1) tranzitív, ha minden (2) szimmetrikus, ha minden -re -ra esetén esetén ; ;

21 (3) dichotom, ha minden esetén vagy mindkettő), azaz bármely két elem összehasonlítható (esetleg Ezek közül a tranzitivitás a szimmetrikusság függ csak a relációtól Mit jelent az, hogy egy reláció intranzitív, antiszimmetrikus, illetve trichotóm? Ezek közül mi az, ami csak a reláción múlik? egy -beli binér reláció Azt mondjuk, hogy (1) intranzitív, ha minden -re (2) antiszimmetrikus, ha minden (3) trichotom, ha minden pontosan egy teljesül esetén -ra ; esetén esetén vagy ; közül Ezek közül az intranzitivitás az antiszimmetrikusság függ csak a relációtól Mint jelent az, hogy egy reláció szigorúan antiszimmetrikus, reflexív illetve irreflexív? Ezek közül mi az, ami csak a reláción múlik? egy -beli binér reláció Azt mondjuk, hogy (1) reflexív, ha minden (2) irreflexív, ha minden esetén ; esetén ; (3) szigorúan antiszimmetrikus, ha minden -ra ; Ezek közül a szigorúan antiszimmetrikusság függ csak a relációtól Definiálja az ekvivalenciarelációt, illetve az osztályozás fogalmát egy halmaz Az -beli binér relációt ekvivalenciarelációnak nevezzük, ha reflexív, szimmetrikus tranzitív Az rendszerét osztályozásának nevezzük, ha halmazokból álló halmazrendszer, amelyre rzhalmazainak egy páronként diszjunkt nem üres Mi a kapcsolat az ekvivalenciarelációk az osztályozások között? Valamely halmazon értelmezett ekvivalenciareláció osztályfelbontását adja Megfordítva, az egy -nek egy halmaz minden osztályfelbontása ekvivalenciarelációt hoz létre Definiálja a rzbenrendez a rzbenrendezett halmaz fogalmát Mit mondhatunk egy rzbenrendezett halmaz egy rzhalmazáról?

22 Egy halmazbeli rzbenrendez egy tranzitív, reflexív, antiszimmetrikus -beli reláció Egy rendezett halmaz tulajdonképpen az halmaz minden rzbenrendezett halmaz, illetve pár Egy rzbenrendezett rzhalmaza is rzbenrendezett, ha a relációt csak ennek az elemei között tekintjük, azaz a relációval az rzhalmaz ezzel a relációval rendezett láncnak nevezzük

23 Definiálja a rendez, a rendezett halmaz a lánc fogalmát Egy halmazbeli rzbenrendez egy tranzitív, reflexív, antiszimmetrikus -beli reláció Egy rzbenrendezett halmaz, illetve rendezett halmaz tulajdonképpen az halmaz minden pár Egy rzbenrendezett rzhalmaza is rzbenrendezett, ha a relációt csak ennek az elemei között tekintjük, azaz a relációval az rzhalmaz ezzel a relációval rendezett láncnak nevezzük a rzbenrendezi reláció dichotom is, azaz ha összehasonlítható rendeznek nevezzük bármely két eleme Mondjon példát rzbenrendezett de nem rendezett halmazra A valós számok halmaza így a termzetes, egz racionális számok halmaza is rendezett a szokásos rendezsel A termzetes számok körében az osztja -et reláció rzbenrendez, de nem rendez Definiálja egy relációnak megfelelő szigorú illetve gyenge reláció fogalmát Egy -beli reláció relációhoz definiálhatunk egy akkor álljon fenn, ha Megfordítva, egy -beli de, ez az, ha vagy relációt úgy, hogy -nek megfelelő szigorú reláció relációhoz a megfelelő definiáljuk, hogy legyen -beli gyenge relációt úgy Definiálja a szigorú rzbenrendezt fogalmazza meg kapcsolatát a rzbenrendezsel Egy rzbenrendez esetén a megfelelő szigorú relációt -el jelöljük; ez tranzitív, irreflexív szigorúan antiszimmetrikus Megfordítva ha egy beli szigorú rzbenrendez, amin egy tranzitív szigorúan antiszimmetrikus reláció értünk a megfelelő gyenge reláció egy rzbenrendez - Mi az, hogy kisebb, nagyobb, megelőzi, követi? Adja meg a kapcsolódó jelöleket azt mondjuk, hogy kisebb, mint vagy nagyobb, mint, illetve hogy megelőzi -t vagy követi -et A gyenge reláció esetén hozzátesszük, hogy vagy egyenlő Definiálja az intervallumokat adja meg a kapcsolódó jelöleket egy rzbenrendezett halmaz mondjuk, hogy az mondjuk, hogy szigorúan halmazát, illetve közé esik, ha pedig jelöli azt azt közé esik Az összes ilyen elemek

24 Mi az, hogy közvetlenül követi illetve közvetlenül megelőzi?, de ugyanakkor nem létezik szigorúan azt mondjuk, hogy et közvetlenül megelőzi -t, vagy közé eső elem közvetlenül követi - Definiálja a kezdőszelet fogalmát, adja meg a kapcsolódó jelöleket egy rzbenrendezett halmaz Egy kezdőszeletnek a elemhez tartozó rzhalmazt nevezzük A kezdőszelet logikus, de nem elterjedt jelöle Definiálja a legkisebb a legnagyobb elem fogalmát Az rzbenrendezett halmaz legkisebb (vagy első) elemén egy olyan elemet értünk, amelyre -re Nem biztos, hogy van ilyen elem, de ha van egyértelmű sonlóan, legnagyobb (vagy utolsó) elemén egy olyan elemet értünk, amelyre biztos, hogy van ilyen elem, de ha van egyértelmű -re Nem Definiálja a minimális maximális elem fogalmát, adja meg a kapcsolódó jelöleket eleme Az x-et minimálisnak nevezzük, ha nincs nála kisebb elem, maximálisnak pedig akkor, ha nincs nála nagyobb elem Maximális minimális elem lehet több is Jelölek: Adjon meg olyan rzbenrendezett halmazt, amelyben több minimális elem van Az rzbenrendezett halmaz sse-diagramja a következő Ezen esetben két minimális elem létezik: Adjon meg olyan rzbenrendezett halmazt, amelyben nincs maximális elem A termzetes számok halmaza ilyen a szokásos rendezsel Igaz-e, hogy rendezett halmazban a legkisebb a minimális elem fogalma egybeesik? Igen Minimális maximális elem több is lehet, hogy ha rendezett a legkisebb a minimális elem fogalma, illetve a legnagyobb a maximális elem fogalma egybeesik, de egyébként nem feltétlenül

25 Definiálja az alsó a felső korlát fogalmát Egy rzbenrendezett halmaz egy korlátjának nevezzük, ha minden elemét az -ra rzhalmaz alsó minden -ra akkor az felső korlátja létezik alsó illetve felső korlát azt mondjuk, hogy Y alulról illetve felülről korlátos Igaz-e, hogy ha egy rzbenrendezett halmaz egy rzhalmaza tartalmaz a rzhalmaz alsó korlátjai közül elemeket csak egyet? Igen, ha az alsó korlátok között van olyan, mely eleme a rzhalmaznak, úgy csak egy ilyen van Igaz-e, hogy ha egy rzbenrendezett halmaz egy rzhalmaza tartalmazza a rzhalmaz egy alsó korlátját az a rzhalmaznak minimális eleme? Igen, ha az alsó korlátok között van olyan, mely eleme a rzhalmaznak, úgy csak egy ilyen van, ez a rzhalmaz legkisebb eleme (minimális eleme) Definiálja az infimum szuprémum fogalmát Az alsó korlátok halmazában van legnagyobb elem azt legnagyobb alsó korlátjának nevezzük, idegen szóval ez az infimum, -al jelöljük sonlóan, ha Y felső korlátjai halmazában van legkisebb elem azt legkisebb felső korlátjának nevezzük, idegen szóval ez a szuprémum, -al jelöljük Definiálja a jólrendez jólrendezett halmaz fogalmát Egy X rzbenrendezett halmazt jólrendezezznek, rzbenrendezét pedig jólrendeznek nevezzük, ha X bármely nem üres rzhalmazának van legkisebb eleme Jól rendezett halmaz mindig rendezett Adjon meg olyan rendezett halmazt, amely nem jólrendezett Az egz, racionális valós számok halmaza nem jólrendezett de rendezett a szokásos rendezsel Van-e olyan jólrendezett halmaz, amely nem rendezett? Nincs Jólrendezett halmaz mindig rendezett Adjon példát jólrendezett halmazra A termzetes számok halmaza jólrendezett a szokásos rendezsel

26 Adjon meg két rzbenrendezett halmaz Descartes-szorzatán a halmazok rzbenrendezei segítségével két rzbenrendezt ek rzbenrendezett halmazok Az, ha az -ben, rzbenrendezt kapunk -ban legyen az -ban Így egy, ha vagy -nak ezt a rzbenrendezét lexikografikus rendeznek nevezzük Függvények Definiálja a függvény fogalmát Ismertesse a kapcsolódó jelöleket Egy függvény egy olyan reláció, amelyre ha, másszóval minden -hez legfeljebb egy olyan létezik, amelyre Jelölek: Az elemet az függvény helyén (argumentumában) felvett értékének nevezzük Egyéb jelöl: Mi a különbség a között, hogy Annak kifejezére, hogy az hogy függvény értelmezi tartománya a teljes halmaz, értékkzlete pedig az halmaznak rzhalmaza az jelöl szolgál, amit úgy olvasunk ki, hogy Ez nem ugyanaz, mint lehetséges? az -et -ba képező függvény, mert utóbbi esetben is Mikor nevezünk egy függvényt kölcsönösen egyértelműnek? Az függvényt kölcsönösen egyértelműnek nevezzük, ha esetén Ez azzal ekvivalens, hogy az reláció függvény Másnéven injektívnek nevezzük a kölcsönösen egyértelmű függvényeket Igaz-e, hogy az identikus leképez mindig szürjektív? Igen Ezt -ként jelöljük, -nek nevezünk -re való identikus leképezének Igaz-e, hogy két függvény összetétele függvény? Igen függvények is Mikor állíthatjuk hogy két függvény összetétele injektív, szürjektív illetve bijektív?

27 függvény kölcsönösen egyértelmű függvények -et -ra képezi le, a is az függvény pedig -t -re képezi le az -et -re képezi le két függvény összetétele injektív szürjektív bijektív is

28 Mi a kapcsolat függvények ekvivalenciarelációk között? az halmazon adott egy ekvivalenciareláció az elemhez az ekvivalenciaosztályát rendelő leképezt kanonikus leképeznek nevezzük Megfordítva, ha egy függvény az reláció egy ekvivalenciareláció Mikor nevezünk egy függvényt monoton növekedőnek illetve monoton csökkenőnek? ek rzbenrendezett halmazok Az függvényt monoton növekedőnek nevezzük, ha illetve monoton csökkenőnek nevezzük, ha Mikor nevezünk egy függvényt szigorúan monoton növekedőnek illetve szigorúan monoton csökkenőnek? ek rzbenrendezett halmazok Az függvényt monoton növekedőnek nevezzük, ha illetve monoton csökkenőnek nevezzük, ha Mi a kapcsolat szigorúan monoton növekedő függvények, a kölcsönösen egyértelmű függvények az inverz függvények között?, rendezettek szigorúan monoton növekedő (illetve csökkenő) függvény nyilván kölcsönösen egyértelmű Megfordítva, ha rendezettek egy kölcsönösen egyértelmű monoton növekedő (illetve csökkenő) leképez szigorúan monoton növekedő (illetve csökkenő) is, az inverze is monoton növekedő (illetve csökkenő) -en Mit értünk indexhalmaz, indexezett halmaz család alatt? Egy függvény helyen felvett értékét neha gyakran a függvény -vel jelöljük Ilyenkor értelmezi tartományát indexhalmaznak, az elemeit indexeknek, értékkzletét indexelt halmaznak, az pedig családnak nevezzük függvényt magát Definiálja a halmazcsaládok unióját metszetét az értékkzlet elemei halmazok halmazcsaládról beszélünk Egy halmazcsalád unióját a összefüggsel értelmezzük Rövidebb jelöle: metszetét is definiáljuk a a halmazcsalád

29 Fogalmazza meg a halmazcsaládokra vonatkozó De Morgan-szabályokat halmaz rzhalmazainak egy nem üres családja (azaz akkor az -re vonatkozó komplementert vesszővel jelölve, (1) ; (2) Fogalmazza meg a halmazműveletek egy függvény kapcsolatáról tanult állításokat egy függvény, (1) ; (2) ; (3) Ekkor Definiálja véges sok halmaz Descartes-szorzatát ismertesse a kapcsolódó jelöleket az elem n-eseket az {1,2,,n} halmaz, azaz -nak az -nál nem nagyobb elemei által indexelt családokkal azonosítjuk, akkor az Descartes-szorzatot mint az összes olyan családok halmazát definiálhatjuk, amelyekre Definiálja a (nem feltétlenül binér) reláció fogalmát a kapcsolódó jelöleket az elem -eseket az halmaz, azaz -nak az -nál nem nagyobb elemei által indexelt családokkal azonosítjuk, akkor az Descartes-szorzatot mint az összes olyan családok halmazát definiálhatjuk, amelyekre, ha Ilyen szorzathalmazok rzhalmazait -változós relációknak nevezzük Definiálja a kiválasztási függvény fogalmát egy halmazcsalád A halmazcsaládhoz tartozó kiválasztási függvénynek nevezzük azokat az függvényeket, amelyekre -re Definiálja tetszőleges halmazcsalád Descartes-szorzatát ismertesse a kapcsolódó jelöleket ),

30 Az halmazcsalád Descartes-szorzata a halmazcsaládhoz tartozó összes kiválasztási függvénynek halmaza Jelőle:

31 Definiálja a projekció fogalmát az leképezt -nek -be való projekciónak nevezzük Definiálja a binér, unér nullér művelet fogalmát ismertesse a kapcsolódó jelöleket egy halmaz Egy -beli binér műveleten egy leképezt értünk akkor a művelet eredménye, pedig az operandusai Rendszerint a binér művelet jelét az operandusok közé írjuk: Egy -beli unér művelet egy Mivel leképez, egy nullér művelet egy leképez, ami tulajdonképpen egy elemének a kijelölét jelenti, operandusa nincs, csak eredménye Hogyan definiálunk műveleteket függvénytereken? tetszőleges halmaz, pedig egy halmaz a binér művelettel Ekkor az X-et Y-ba képező függvények között is értelmezünk pontonként egy binér műveletet (amit ugyanazzal a jellel szokás jelölni) az -re, ha összefüggsel sonlóan definiálunk unér, illetve nullér műveleteket függvénytereken Definiálja a művelettartó leképez fogalmát binér művelet az Egy, legyen binér művelet az halmazon leképezt művelettartónak nevetünk, ha -re sonlóan értelmezzük a művelettartást unér nullér műveletre is Peano-axiómák Fogalmazza meg a Peano-axiómákat egy halmaz egy -en értelmezett függvény Az alábbi feltételeket Peano-axiómáknak nevezzük: (1) (nulla egy nullér művelet -en); (2) ha akkor ( (3) ha akkor ( nincs a értékkzletében); akkor ( (4) ha egyértelmű); egy unér művelet -en); leképez kölcsönösen

32 (5) ha ha akkor akkor (teljes indukció elve)

33 Mi a rákövetkező, a rákövetkez, a teljes indukció elve? A Peano-axiómák 5 pontja a teljes indukció elve: legyen egy egy halmaz -en értelmezett függvény; ha A elemet nullának, a unér műveletet rákövetkeznek, az elemet az rákövetkezőjének nevezzük Definiálja a számjegyeket további számjegyekre van szükségünk így folytatjuk stb Definiálja a sorozat fogalmát Az -en értelmezett függvények rekurzióval való definiálásáról van szó Ezeket a függvényeket végtelen sorozatoknak nevezzük Az halmazon értelmezett függvényeket is szokás végtelen sorozatnak nevezni Sorozatot megadhatunk úgy, hogy megadjuk a helyen felvett értékét, megadunk egy képzi szabály, amelynek alapján megkapjuk a sorozat helyen felvett értékéből az helyen felvett értéket Erről szól a rekurziótétel Fogalmazza meg a rekurziótételt egy halmaz, egy függvény a Peano-axiómák teljesülnek egy csak egy olyan -et -be képező létezik, amelyre függvény -re Fogalmazza meg a termzetes számok egyértelműségére vonatkozó tételt Tegyük fel, hogy egy olyan is eleget tesz a Peano-axiómáknak Ekkor létezik kölcsönösen egyértelmű leképeze minden -nek -re, amelyre -re Fogalmazza meg a termzetes számok létezére vonatkozó tételt Van olyan pár, amely eleget tesz a Peano-axiómáinak Definiálj a karakterisztikus függvény fogalmát ismertesse a kapcsolódó jelöleket

34 egy halmaz, ha A függvényt az, legyen -nek az ha halmaz ( -en értelmezett) karakterisztikus függvényének nevezzük Az leképeze ha leképez kölcsönösen egyértelmű -en értelmezett karakterisztikus függvények halmazára (Emiatt szokás -et -el is jelölni) Műveletek termzetes számokkal Definiálja a termzetes számok összeadását A rekurziótétel alapján minden amelyre -re létezik olyan minden -el fogjuk jelölni az -re az függvény, Az számot összegének nevezzük Fogalmazza meg a termzetes számok összeadásának alaptulajdonságait kimondó tételt (1) (asszociativitás); (2) (a (3) nullelem); (kommutativitás); (4) (egyszerűsíti szabály, vagy törli szabály) Definiálja termzetes számok szorzását A rekurziótétel alapján minden amelyre minden -el fogjuk jelölni, az -re létezik olyan -re az függvény, A számot szorzatának nevezzük Fogalmazza meg a termzetes számok szorzásának alaptulajdonságait kimondó tételt (1) (2) (3) (4) (5) (asszociativitás); ; (az 1 egységelem); (kommutativitás); (disztributivitás)

35 Definiálja a baloldali semleges elem, a jobboldali semleges elem a semleges elem fogalmát egy binér művelet a halmazon A (azaz, ha pontosak akarunk lenne, a nevezni A egy halmazt a művelettel, párt) szokás grupoidnak is elemét bal, illetve jobb oldali semleges elemnek nevezzük, ha, illetve minden -re bal jobb oldali semleges elem is semleges elemnek nevezzük Igaz-e, hogy legfeljebb egy baloldali semleges elem van? Nem A -ben létezhet akárhány bal oldali semleges elem Például ha műveletnél minden elem bal oldali semleges elem Igaz-e, hogy legfeljebb egy semleges elem van? Igen van egy bal oldali egy jobb oldali semleges elem, így bármely bal oldali semleges elem megegyezik bármely jobb oldali semleges elemmel, azaz csak egy bal jobb oldali semleges elem van Definiálja a félcsoport, a balinverz, a jobbinverz az inverz fogalmát a binér művelet a halmazon asszociatív, azaz a -t (pontosabban a nevezzük a félcsoportban akkor azt mondjuk, hogy a a meg a párt) félcsoportnak semleges elem, balinverze, pedig a bal- jobbinverze is azt mondjuk, hogy a nyilván esetén -re, jobbinverze a inverze Ekkor inverze Igaz-e, hogy egy egységelemes félcsoportban egy elemhez legfeljebb egy inverz elem létezik? Igen Speciálisan, ha -nek van inverze az egyértelmű Igaz-e, hogy egy egységelemes multiplikatív félcsoportban ha -nak -nek van inverze Igen -nek -nek is, ha igen, mi? az inverze, -nak az inverze a Definiálja a csoport az Abel-csoport fogalmát inverze

36 a binér művelet a mondjuk, hogy felcserélhető a halmazon, felcserélhetőek azt bármely két eleme műveletet kommutatívnak nevezzük A kommutatív csoportokat Abel-csoportnak nevezzük tetszőleges halmaz Abel-csoport Igaz-e, hogy ha félcsoport? Nem tetszőleges halmaz egy egységelemes kommutatív egységelemes félcsoport Igaz-e, hogy ha Nem tetszőleges halmaz egy csoport? kommutatív egységelemes félcsoport Igaz-e, hogy ha tetszőleges halmaz egy félcsoport? Nem -ben általában nincs egységelem, a művelet nem asszociatív nem is kommutatív Igaz-e, hogy ha tetszőleges halmaz az -beli binér relációk a kompozícióval egységelemes félcsoportot alkotnak? Igaz Ez általában nem kommutatív nem is csoport, bár vannak invertálható elemei Igaz-e, hogy ha tetszőleges halmaz az -et -re képező bijektív leképezek kompozícióval, mint művelettel csoportot alkotnak? Igaz csak az összes injektív, illetve az összes szürjektív leképezeket tekintjük is egységelemes félcsoportot kapunk Az összes bijektív leképezek csoportot alkotnak Termzetes számok rendez Definiálja termzetes számokra a relációt azt mondjuk, hogy, ha van olyan termzetes szám, hogy Fogalmazza meg a termzetes számokra a kapcsolatát leíró tételt azt mondjuk, hogy szám, hogy (1) Ekkor közvetlenül követi -et; relációt a műveletek, ha van olyan termzetes

37 (2) akkor csak akkor, ha (3) esetén (4) ; akkor csak akkor, ha akkor csak akkor, ha (5) esetén ; akkor csak akkor, ha (6) akkor szabály ; ; (egyszerűsíti szabály vagy törli -ra) Definiálja a véges sorozatokat a vagy halmazon értelmezett függvényeket véges sorozatnak nevezzük Az jelöljük, hogy vagy véges sorozatot úgy is illetve vagy Fogalmazza meg az általános rekurziótételt adott egy halmaz egy függvény, amelynek értékkzlete rzhalmaza, értelmezi tartománya pedig az összes olyan függvények halmaza, amelyek értékkzlete rzhalmaza, értelmezi tartománya pedig valamely kezdőszelete Ekkor egyértelműen lézetik egy függvény, amelyre minden -re Hogyan használható az általános rekurziótétel a Fibonacci-számok definiálására?, legyen az leképeze leképez inverze, -nak bármely egy függvény legyen -re az -re, ha, ( ) Definiálja véges sok elem szorzatát félcsoportban egységelemes félcsoportban egy félcsoport, egy sorozat az általános rekurziótételt alkalmazva definiálhatjuk a hogy egységelemmel szorzatokat úgy, egységelemes félcsoport Fogalmazza meg a hatványozás két tulajdonságát félcsoportban egységelemes félcsoportban

38 A sorozatok tulajdonságaiból következik, vagy indukcióval bizonyítható, hogy minden -ra, ha G egységelemes félcsoport minden -re Fogalmazza meg a hatványozásnak azt a tulajdonságát, amely csak felcseréhető elemekre érvényes a félcsoport felcseréhető elemei indukcióval minden -ra, ha egységelemes félcsoport minden Hogyan értelmeztük, a -re jelölt? kommutatív additív írásmódot is használhatunk, ilyenkor a szorzat helyett összeget írunk nullelemmel -t írunk, minden -re az együttható Gyakran kommutatív félcsoport helyett helyett azt írjuk, hogy egy tetszőleges függvény, van olyan kölcsönösen egyértelmű leképez, amely A-ra képez a kommutativitást asszociativitást felhasználva indukcióval belátható, hogy minden ilyen leképezre ugyanaz (Ez az általános kommutativitás tétele) Ezt a közös értéket -val is jelöljük Fogalmazza meg a maradékos osztás tételét Definiálja a hányadost a maradékot termzetes számok osztásánál, a páros páratlan termzetes számokat termzetes szám Minden m termzetes szám egyértelműen felírható alakban, ahol E tétel szerint egyértelműen létező maradéknak nevezzük az számot hányadosnak, számot pedig szám -el való maradékos osztásánál az termzetes szám 2-vel való maradékos osztásánál a maradék et párosnak, egyébként páratlannak nevezzük - Fogalmazza meg a számrendszerekre vonatkozó tételt termzetes szám Minden csak egy olyan létezik, amelyre termzetes számhoz egy termzetes szám sorozat Egz számok Mikor mondjuk, hogy egy binér művelet kompatibilis egy osztályzással? Adjon ekvivalens megfogalmazást, definiálja a relációt az osztályok között egy binér művelet illetve a megfelelő -en, legyen adott egy osztályozása, ekvivalencia-reláció Azt mondjuk, hogy a művelet

39 kompatibilis az osztályozással, illetve az ekvivalenciarelációval, ha esetén Az ekvivalenciareláció tulajdonságai miatt elég azt megkövetelni, hogy teljesüljön a művelet kompatibilis az osztályozással az ekvivalenciaosztályok terén, -on bevezethetünk egy műveletet a definícióval Mikor mondjuk, hogy egy binér reláció kompatibilis egy osztályzással? Adjon ekvivalens megfogalmazást, definiálja a relációt az osztályok között egy -beli binér reláció, legyen adott illetve a megfelelő egy osztályozása, ekvivalencia-reláció Azt mondjuk, hogy a reláció kompatibilis az osztályozással, illetve az ekvivalenciarelációval, ha esetén -ból következik, hogy Az ekvivalenciareláció tulajdonságai miatt elég azt megkövetelni, hogy -ból következzen, hogy teljesül az R reláció kompatibilis az osztályozással az ekvivalenciaosztályok terén, -on bevezethetünk egy ha relációt a definícióval Definiálja az egz számokat a műveletekkel a rendezsel fogalmazza meg az egz számok tulajdonságait leíró tételt Tekintsük -en az, ha relációt az összeadást az szorzást, valamint az, ha relációt A reláció ekvivalenciareláció Az ekvivalenciaosztályok halmazát -vel fogjuk jelölni, elemeit egz számoknak nevezzük Az összeadás, a szorzás a reláció kompatibilis az ekvivalenciával, így az egz számok között értelmezve van az összeadás, a szorzás a reláció, amely rendez, továbbá (1) az összeadásra nézve Abel-csoport; (2) a szorzással kommutatív egységelemes félcsoport; (3) ha (4) ha (5) ha (6) ha egyik sem nulla szorzatuk sem nulla; (disztributivitás); (az összeadás monoton); (a szorzás monoton);

40 Adja meg -nek -be való beágyazását fogalmazza meg a beágyazás tulajdonságát A leképeze -nek -be kölcsönösen egyértelmű, összeadás- szorzástartó, monoton növekedő, valamint Így -et azonosíthatjuk minden -el Ezzel az azonosítással -re Definiálja egy csoportban az egz kitevős hatványozást fogalmazza meg két tulajdonságát egy csoport, az leképezt a, ha definícióval kiterjeszthetjük egy -n értelmezett leképezsé Erre a leképezre minden -re Definiálja egy csoportban az egz kitevős hatványozást fogalmazza meg egy olyan tulajdonságát, amely csak felcserélhető elemekre érvényes egy csoport, az leképezt a, ha definícióval kiterjeszthetjük egy -n értelmezett leképezsé felcserélhető elemek minden -re Definiálja a nullgyűrű a zérógyűrű fogalmát Egy halmazt egy binér műveletekből álló párral gyűrűnek nevezünk, ha az összeadással Abel-csoport (a nullelemet fogja jelölni), a szorzással félcsoport, teljesül mindkét oldali disztributivitás A nullgyűrű csak egy elemet tartalmaz, ez pedig a A zérógyűrű olyan Abel-csoport, melyben bármely két elem szorzatát nullának értelmezzük Definiálja a bal jobb oldali nullosztó nullosztópár fogalmát egy gyűrű nullától különböző elemei, mondjuk, hogy oldali nullosztó egy nullosztópár, azt bal oldali nullosztó, pedig jobb Fogalmazza meg az általános disztributivitás tételét Egy gyűrűben (1) ha, valamint elemei a gyűrű tetszőleges