Geometriai alapfogalmak

Átírás

1 Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú. Jelölése: mint az egyenesnél. Szakasz: egy egyenes két pontja közé eső része. Két végpontja van. Véges hosszú. Jelölése: kisbetővel, vagy a két végpontjával. Félsík: a síkot egy egyenes két részre osztja, ezek a félsíkok. Féltér: a teret egy sík két féltérre osztja. Térelemek kölcsönös helyzete: 1) pont és egyenes kölcsönös helyzete: a) ha a pont rajta van az egyenesen, akkor illeszkedik az egyenesre. b) Ha a pont nincs rajta az egyenesen, akkor nem illeszkedik az egyenesre. 2) Pont és sík kölcsönös helyzete: a) A pont illeszkedik a síkra b) A pont nem illeszkedik a síkra 3) Két egyenes kölcsönös helyzete: a) Párhuzamos két egyenes, ha nincs közös pontjuk, és egy síkban vannak. Jele: a b b) Metszi egymást a két egyenes, ha egy közös pontjuk van. (metszéspont) c) Kitérő két egyenes, ha nincs közös pontjuk, és nem egy síkban vannak. d) Egybeesik két egyenes, ha végtelen sok közös pontjuk van. 4) Egyenes és sík kölcsönös helyzete: a) Ha az egyenes minden pontja rajta van a síkon, akkor az egyenes illeszkedik a síkra b) Ha az egyenesnek és a síknak pontosan egy közös pontja van, akkor metszik egymást (az egyenes döfi a síkot), a közös pont a döféspont. c) Ha nincs közös pontjuk, akkor párhuzamosak egymással. 5) Két sík kölcsönös helyzete: a) Párhuzamosak, ha nincs közös pontjuk. b) Metszik egymást, ha van közös pontjuk. Metsző síkok egy egyenesben metszik egymást, végtelen sok közös pontjuk van. Térelemek távolsága: Távolság alatt a két alakzat között húzható szakaszok hosszának legnagyobb alsó korlátját

2 értjük. Jele: d H a két alakzatnak van közös pontja, akkor a távolságuk 0. 1) Két pont távolsága az őket összekötő szakasz hossza. 2) Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza. Szög: egy közös végpontból kiinduló két félegyenes a síkot két szögtartományra (szögre) bontja. Szög részei: - szög csúcsa a közös végpont - szögszár a két félegyenes - szögtartomány a félegyenesek által határolt síkrész. Szög jelölése görög betőkkel. Szögmérés: Mértékegysége a fok, az egyenes szög 180-ad része. 1 fok = 60 perc, 1 perc=60 másodperc. 180 fok =π Szögfajták: - nullszög 0 - hegyesszög 0 <ß<90 - derékszög tompaszög - 90 <ß<180 - egyenesszög homorúszög <ß<360 - teljesszög - 360

3 Nevezetes szögpárok: 1) Párhuzamos szárú szögek: Azok a szögek, amelyek szárai páronként párhuzamosak, vagy egy egyenesre esnek. a) Egyállású szögek: azok a párhuzamos szárú szögek, amelyek szárai iránya páronként megegyezik. Nagyságuk egyenlő. b) Váltószögek: azok a párhuzamos szárú szögek, amelyek szárai iránya páronként ellentétes. Nagyságuk egyenlő. c) Csúcsszögek: Olyan váltószögek, amelyek csúcsa közös. Nagyságuk egyenlő. d) Társszögek: azok a párhuzamos szárú szögek, amelyek egyik szárának iránya megegyezik, másik száruk iránya ellentétes ra egészítik ki egymást. e) Mellékszögek: azok a társszögek, amelyeknek közös az egyik száruk ra egészítik ki egymást. 2) Merőleges szárú szögek: azok a szögek, melyek szárai páronként merőlegesek egymásra. A két szög egyenlő nagyságú, vagy 180 -ra egészítik ki egymást.

4 Adott tulajdonságú pontok halmaza Körvonal: Adott ponttól adott távolságra (nem nulla) lévő pontok halmaza a síkban. (a pont a kör középpontja, a távolság a kör sugara. Körlemez (körlap): A síkban megadott ponttól adott távolságnál nem nagyobb távolságra lévő pontok halmaza. Gömb: Adott ponttól adott távolságra (nem nulla) lévő pontok halmaza a térben. (a pont a gömb középpontja, a távolság a gömb sugara. Párhuzamos egyenespár: Azoknak a pontoknak a halmaza a síkban, amelyek a sík egy egyenesétől adott távolságra vannak. Hengerfelület: Azoknak a pontoknak a halmaza a térben, amelyek egy egyenestől adott távolságra (nem nulla) vannak. Szakaszfelező merőleges egyenes: a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. Szögfelező: a szög két szárától egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. Koncentrikus körök (közös középpontú körök): Egy körvonaltól adott (0<d<r) távolságra lévő pontok halmaza a síkban. Háromszögek Háromszög: A síknak három egyenes szakasszal határolt része. Másképp: A síknak három szakaszból álló záródó töröttvonal által határolt része. Három oldalú sokszög. Átlója nincs. Minden oldallal szemben vele azonos jelő csúcs és szög helyezkedik el. Háromszögek csoportosítása: A háromszögek oldalai szerint lehetnek: Egyenlő oldalúak (szabályos), ha mindhárom oldala egyenlő Minden oldala egyenlő. Minden szöge szimmetria tengelye van. egyenlőszárúak, ha két oldaluk egyenlő Az egyenlő oldalakat szárnak, a harmadik oldalt alapnak nevezzük. Alapon fekvő szögei egyenlők Egy szimmetria tengelye van: alap felezőmerőlegese általános, ha mindhárom oldala különböző Szögei szerint lehetnek: hegyesszögőek, ha mind három szögük hegyes derékszögőek, ha az egyik szög derékszög (a derékszöget bezáró oldalak a befogók, a derékszöggel szemben fekvő oldal az átfogó) (csak az egyik szög lehet derékszögő) tompaszögűek, ha az egyik szög tompaszög. (csak az egyik szög lehet tompaszögő) Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között:

5 A belsőszögek összege minden háromszögben 180 fok. Külső szögek összege mindig 360. Bármely külső szög egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével. Bármely belső szög és a mellette fekvő külső szög összege 180 Nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak. Bármely két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál (háromszög egyenlőtlenség) Négyszögek Négyszög: 4 oldalú sokszög. Négy szakaszból álló záródó töröttvonal által határolt sokszög. 4 csúcsa, 4 oldala, 4 belső szöge, 4 külső szöge és 2 átlója van. Belső és külső szögeinek összege egyaránt 360. Négyszögek csoportosítása: 1. Trapéz: Olyan négyszögek, amelyeknek van párhuzamos oldalpárjuk. A párhuzamos oldalpár az alap, a másik két oldal a szár. Az alapok távolsága a magasság. A szárak felezőpontjait összekötő szakasz a középvonal. A középvonal párhuzamos az alapokkal, és hossza az alapok hosszának számtani közepe. A trapéz egy szárán fekvő két szögének összege Szimmetrikus trapéz: van szimmetria tengelye, ami az alapok felezőmerőlegese. Szárai egyenlő hosszúak. Egy alapon fekvő szögei egyenlőek. Átlói egyenlő hosszúak, és a tengelyen metszik egymást. Köré kör írható (húrtrapéz). 3. Derékszögő trapéz: Van derékszöge. Ha van derékszöge, akkor legalább két derékszöge van, mivel egy száron fekvő szögeinek összege Paralelogramma: Olyan négyszög, amelynek két pár párhuzamos oldalpárja van. Két szemközti oldala egyenlő hosszú. Két magassága van. Átlói felezik egymást. Középpontosan szimmetrikus, középpontja az átlók metszéspontja. Szemközti szögei egyenlők (váltószögek). Szomszédos szögei 180 -ra egészítik ki egymást (társszögek). 5. Deltoid: Olyan négyszög, amelynek 2-2 szomszédos oldala egyenlő. Egy szimmetriatengelye van, amely az egyenlő oldalak által meghatározott csúcsokon halad keresztül. A szimmetriatengely felezi a másik átlót és a szögeket. Van két egyenlő szöge. Átlói merőlegesek egymásra. Létezik konkáv deltoid is.

6 6. Rombusz: Egyenlő oldalú négyszög. Speciális trapéz, paralelogramma, deltoid, azaz rendelkezik ezek tulajdonságaival. Tengelyesen szimmetrikus, tengelye a két átlója. Átlói merőlegesen felezik egymást. Középpontosan szimmetrikus, középpontja az átlók metszéspontja. Szemközti szögei egyenlőek. Szomszédos szögei egymást 180 -ra egészítik ki. Szemközti oldalai egyenlőek és párhuzamosak. 7. Téglalap: Egyenlő szögő négyszög. Minden szöge derékszög. Tengelyesen szimmetrikus, tengelye az oldalak felezőmerőlegese. Középpontosan szimmetrikus, Középpont az átlók felezéspontja. Szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlők. Az átlói egyenlőek és felezik egymást. Van köré írható köre. 8. Négyzet: Szabályos négyszög. Minden szöge és minden oldala egyenlő. Az átlói merőlegesen felezik egymást, és egyenlő hosszúak, és felezik a szögeket. Szemközti oldalai párhuzamosak. Tengelyesen szimmetrikus, tengelyei az átlói és az oldalfelező merőlegesei. Középpontosan szimmetrikus, középpont az átlók metszéspontja. Forgásszimmetrikus. 9. Húrnégyszög: Olyan négyszög, amely köré kör írható (pl.: négyzet, téglalap). 10. Érintő négyszög: Olyan négyszög, amelybe kör írható, azaz az oldalai egy kör érintői (pl.: négyzet).