MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

Átírás

1 MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév

2 A kiadvány KHF/ /2008 engedélyszámon időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a sulinova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: címen. Matematika szakmai vezető: Pálfalvi Józsefné Szakmai tanácsadók: Csahóczi Erzsébet és Szeredi Éva Alkotószerkesztő: Csahóczi Erzsébet és Kozics Anikó Grafika: Király és Társa Kkt, dr. Fried Katalin Lektor: Makara Ágnes Felelős szerkesztő: Teszár Edit H-AMAT0703 Szerzők: Jakucs Erika, Mendelovics Zsuzsa, Paróczay József, Pusztai Julianna, Takácsné Tóth Ágnes, Vépy-Benyhe Judit Educatio Kht Tömeg: 430 gramm Terjedelem: 21,12 (A/5 ív) A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgypedagógiai szakértő: Györfi Lászlóné Tudományos-szakmai szakértő: Vecseiné dr. Munkácsy Katalin Technológiai szakértő: Karácsony Orsolya

3 tartalom 075. sokszögek, kör A sokszög szögeinek összege Háromszögek szerkesztése, egybevágóság Háromszögek szerkesztése, egybevágósága Speciális négyszögek és sokszögek kerület, terület Sokszögek területe A kör kerülete A kör területe Algebra Fordítás az algebra nyelvére Algebrai alapfogalmak Egyenletek, egyenlőtlenségek Azonosság, egyenlet, szöveges feladatok gyakorlása hasáb, henger Ismerkedés a hengerrel, hasábbal Hasáb és henger felszíne Hasáb és henger térfogata HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Függvények fogalma, ábrázolása; lineáris függvények Sorozatok

4

5 háromszögek, sokszögek A sokszög szögeinek összege Készítették: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

6 6 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 1. FELADATLAP 1. rajzolj egy koordinátarendszert! Adott a B (1; 4) pont. Keress az x tengelyen két olyan rácspontot, melyek a B ponttal együtt a következő tulajdonságú háromszögeket határozzák meg: a) derékszögű; y 1 1 x b) egyenlőszárú derékszögű; y 1 1 x c) egyenlőszárú hegyesszögű; y 1 1 x

7 tanunlói munkafüzet A sokszög szögeinek összege 7 d) egyenlőszárú tompaszögű. y 1 1 x rajzolj mindegyikre egy-egy példát, használj különböző színeket! e) Hány megoldás van az egyes esetekben? Keress minél több megoldást! 2. a) Vágjatok ki átlátszó lapból 2-2 darabot a következő szögtartományokból: 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135. Építs belőlük háromszögeket a síkon! Keress minél több megoldást! Mely szögekből lehet, melyekből nem lehet háromszöget építeni? b) rajzoljatok a gömbre háromszögeket, majd mérjétek meg a belső és a külső szögeit! Mekkora lehet a gömbi háromszögek belső, illetve külső szögeinek az összege? 3. Szerkessz szabályos háromszöget, amelynek oldala 6 cm! Szerkeszd meg egyik szögének szögfelezőjét! Milyen alakzatra bontotta a szabályos háromszöget a szögfelező egyenese? Mekkorák ennek az alakzatnak a szögei, illetve az oldalai? Hasonlítsd össze a háromszög szögeinek és a velük szemben lévő oldalak nagyságát! 4. Szerkeszd meg a háromszöget, és számítsd ki a hiányzó belső és külső szögeit! a) A háromszög egyik oldala 5 cm, a rajta lévő két szög 30 és 75. b) Az egyenlőszárú derékszögű háromszög átfogója 6 cm. 5. Szerkeszthető-e háromszög az alábbi adatokból? Ha az adatok alapján nem tudod eldönteni, rajzold meg a háromszöget! a) A háromszög két belső szöge 65 és 120. b) A háromszög két külső szöge 90. c) A háromszög oldalai 4 cm, 5 cm, 8 cm. d) A háromszög oldalai 3 cm, 4 cm, 7 cm. e) A háromszög oldalai 4 cm, 5 cm, 10 cm.

8 8 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 2. FELADATLAP 1. Egybevágó háromszögekből próbáljatok egyszeres sávot (az alkotó háromszögek mindegyike eléri a sávot határoló mindkét egyenest) kirakni! Jelöljétek különböző színnel a háromszög három oldalát, és szögeit, a szemközti oldalt és szöget azonos színnel! Ismételjétek meg a kísérletet más típusú háromszöggel is! Magyarázzátok meg a tapasztaltakat! 2. Figyeljétek meg az általatok kirakott sávon, milyen összefüggés van a háromszög belső és külső szögei között! Írjátok le az összefüggéseket, majd ezek segítségével határozzátok meg a háromszögek külső szögeinek az összegét! Bizonyítsátok be a megfigyelt összefüggéseket! EMLÉKEZTETŐ A háromszög belső és külső szögei A háromszög szögeit (α, β, γ)belső szögeknek nevezzük. A háromszög belső szögeinek összege 180. A háromszög külső szögének nevezzük azt a szöget, amely a háromszög belső szögét 180 -ra egészíti ki. α = 180 α β = 180 β γ = 180 γ ÁLLÍTÁS: Kapcsolat a háromszög oldalai között: háromszög-egyenlőtlenség A háromszög bármely két oldalának összege mindig nagyobb, mint a harmadik oldal. BIZONYÍTÁS: Két pont között a legrövidebb út a két pontot összekötő szakasz. Ezért C AC + CB > AB b + a > c AC + AB > BC b + c > a AB + BC > AC c + a > b b a A c B ÁLLÍTÁS: A háromszög belső szögeinek összege 180 BIZONYÍTÁS: A párhuzamos szárú szögek tulajdonságait felhasználva bizonyíthatjuk az állítást. Húzzunk a C csúcson áthaladó, az AB oldal egyenesével párhuzamos egyenest! Az α és δ fordított állású szögpárt alkot, ezért α = δ A β és az ε is fordított állású szögpár, ezért β = ε A C csúcsnál lévő három szög együtt egyenesszöget alkot, ezért δ + γ + ε = 180 Mivel α = δ és β = ε ezért α + γ + β = 180 Tehát az állítás igaz, a belső szögek összege 180.

9 tanunlói munkafüzet A sokszög szögeinek összege 9 ÁLLÍTÁS: Kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között A háromszögben bármely két szög összege egyenlő a harmadikkal szomszédos külső szöggel: α = β + γ β = α + γ γ = α + β BIZONYÍTÁS: Az γ és η fordított állású szögpárt alkot, ezért γ = η. Az α és a δ egyállású szögek, ezért α = δ. Az ábráról leolvasható, hogy: β = η + δ. Mivel η = γ és δ = α, így β = α + γ. Tehát az állítás igaz, bármely külső szög egyenlő a szöggel nem szomszédos két belső szög összegével. Hasonlóan belátható, hogy α = β + γ és γ = α + β. ÁLLÍTÁS: A háromszög külső szögeinek az összege 360. BIZONYÍTÁS: Az előző két állítást alkalmazzuk a bizonyításban. α = β + γ β = α + γ γ = α + β α + β + γ = 180 α + β + γ = (β + γ) + (α + γ) + (α + β) = (α + β + γ) + (α + β + γ) = = 360 Tehát az állítás igaz, a háromszög külső szögeinek az összege 360. ÁLLÍTÁS: Kapcsolat a háromszög szögei és oldalai között Ugyanabban a háromszögben az egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak, a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van, mint a rövidebb oldallal szemben. Ha két háromszögben két-két oldal egyenlő, akkor abban a háromszögben nagyobb a harmadik oldal, amelyikben a két oldal által bezárt szög nagyobb. BIZONYÍTÁS (szemléletesen):

10 10 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 3. FELADATLAP 1. Határozd meg a háromszög hiányzó szögeit, ha a) egy belső szöge 48 és egy külső szöge 105 ; b) van egy 36 -os és egy 126 -os szöge; 2. Mekkorák az egyenlőszárú háromszög szögei, ha az egyik külső szöge a) 55 b) 90 c) Egy háromszög belső szöge háromszorosa a hozzá tartozó külső szögnek. Hány fokos ez a szög? 4. Számítsd ki az egyenlőszárú háromszög ismeretlen külső és belső szögeit, ha egyik külső vagy belső szöge 64! 4. FELADATLAP 1. Jelöld ki az alábbi sokszögek egy csúcsát, és rajzold meg az ebből a csúcsból kiinduló átlókat! Hány átló húzható egy csúcsból az egyes esetekben? Hány háromszögre bontottad így a sokszögeket? Számítsd ki a sokszögek belső szögeinek az összegét! Egy csúcsból húzható átlók száma Háromszögek száma Belső szögek összege Külső szögek összege Összes átló száma NÉGYSZÖG ÖTSZÖG HATSZÖG HÉTSZÖG NYOLCSZÖG

11 tanunlói munkafüzet A sokszög szögeinek összege Válaszd ki az 1. feladat egyik sokszögét! Jelöld be a külső szögeit! Milyen összefüggés van a külső szög és a mellette lévő belső szög között? Határozd meg a külső szögek összegét! Mennyi a többi sokszög külső szögeinek az összege? 3. a) Határozd meg az alábbi szabályos sokszögek belső, illetve külső szögeinek a nagyságát! Mit gondolsz, mennyi lehet az n oldalszámú szabályos sokszög szögeinek nagysága? b) Vizsgáld meg, hogy lehet-e kört rajzolni a sokszögek köré (a körvonal áthalad a sokszög csúcsain)! Hogy nevezzük az ilyen sokszögeket? Hogyan tudnád kijelölni a kör középpontját? c) Kösd össze a kör középpontját a sokszög csúcsaival! Hogy nevezzük az így létrejött szögeket? Határozd meg ezeknek a szögeknek a nagyságát! 4. Mutasd meg, hogy bármely konvex sokszög külső szögeinek összege 360! összegzés ÁLLÍTÁS: A konvex négyszög belső szögeinek összege 360. BIZONYÍTÁS: Minden konvex négyszöget egy átlója két háromszögre bont, amely háromszögek belső szögei alkotják a négyszög belső szögeit. Ebből következik, hogy a konvex négyszög belső szögeinek összege 360.

12 12 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet ÁLLÍTÁS: Konvex négyszög külső szögeinek összege 360. BIZONYÍTÁS: a + a = 180 b + b = 180 g + g = 180 d + d = 180 A külső szög a mellette fekvő belső szög kiegészítő szöge. a = 180 a b = 180 b g = 180 g d = 180 d a + b + g + d = (a + b + g + d ) = = 360 ÁLLÍTÁS: Tetszőleges n oldalú konvex sokszög az átlóinak száma: n (n 3) 2 BIZONYÍTÁS: Tetszőleges n oldalú konvex sokszög esetén egy csúcsból n 3 átló húzható, mivel önmagába nem húzható átló, a két szomszédos csúccsal pedig nem átló, hanem oldal köti össze. Minden csúcsból n 3 átló húzható, ezeket összegezve az eredmény n (n 3). Minden átlót kétszer vettünk figyelembe, ezért az átlók száma n (n 3) 2 ÁLLÍTÁS: Az n oldalú sokszög belső szögeinek összege (n 2) 180. BIZONYÍTÁS: Az n oldalú sokszöget az egy csúcsból húzható átlói segítségével (n 2) darab háromszögre bonthatjuk. A háromszögek belső szögeinek az összege, a sokszög belső szögeinek az összegével egyenlő, ezért a sokszög belső szögeinek összege (n 2) 180 D E C A B A sokszögek konvex belső szögét 180 -ra kiegészítő szöget a négyszög külső szögének nevezzük. Külső szöget csak konvex négyszög esetében értelmezünk.

13 tanunlói munkafüzet A sokszög szögeinek összege 13 ÁLLÍTÁS: Bármely sokszög külső szögeinek az összege 360. BIZONYÍTÁS: Az állítást konvex ötszögre igazoljuk. e e d d g g a = 180 a b = 180 b g = 180 g d = 180 d e = 180 e a + b + g + d + e = = (a + b + g + d + e) = = = = 360 a a b b Több oldalú sokszögre hasonlóan bizonyítható az állítás. Szabályos sokszögek A szabályos sokszögek minden oldala és minden szöge egyenlő. A páros oldalszámú szabályos sokszögek középpontosan és tengelyesen is szimmetrikusak. Minden szabályos sokszög a középpontból egybevágó, egyenlőszárú háromszögekre bontható. A páratlan oldalszámú szabályos sokszögek tengelyesen szimmetrikusak, középpontosan nem. A szabályos sokszög minden belső szöge egyenlő, ezért a szabályos sokszög belső szögeinek a nagysága (n 2) 180 n Minden szabályos sokszög konvex síkidom. Minden külső szöge egyenlő, ezért a szabályos sokszög külső szögeinek a nagysága 360 n

14 14 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 5. FELADATLAP 1. Számítsd ki a sokszögek hiányzó belső és külső szögeit! a) A háromszög egyik belső szöge 20, a nem mellette lévő egyik külső szög 50. Milyen háromszög ez? b) A háromszögnek két külső szöge 110. Milyen háromszög ez? c) A rombusz egyik belső szöge 124. d) A paralelogramma egyik szöge e) A húrtrapéz egyik szöge 10 -kal nagyobb a másik szögnél. d) Szabályos tízszög. 2. A tengelyesen szimmetrikus ötszög 76 -os belső szögét a szimmetriatengely felezi. Mekkorák az ötszög belső szögei, ha az említett szöggel szomszédos szög nagysága 110? Mekkorák a hatszög belső szögei, ha arányuk 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6? FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Határozd meg a négyszögek és háromszögek ismeretlen külső és belső szögeit! a) rombusz b) deltoid c) húrtrapéz

15 tanunlói munkafüzet A sokszög szögeinek összege 15 d) háromszög e) derékszögű háromszög f) szimmetrikus háromszög Mekkorák annak a tükrös háromszögnek a szögei, melynek egyik szöge a) 60 b) 122 c) 36? 3. Egy derékszögű háromszög két hegyesszögének aránya 2 : 3. Mekkorák a szögei? 4. Egy derékszögű háromszög egyik szöge kétszerese egy másik szögének. Mekkorák lehetnek a háromszög szögei? 5. Mekkorák annak az egyenlő szárú háromszögnek a szögei, melynek egyik külső szöge a) 20 b) 160? 6. Számítsd ki a háromszög szögeit, ha belső szögeinek aránya 2 : 3 : 7! 7. Számítsd ki a paralelogramma szögeit, ha belső szögeinek aránya 2 : 6 : 2 : 6! 8. Számítsd ki a trapéz szögeit, ha belső szögeinek aránya 4 : 6 : 6 : 8! 9. Milyen négyszögről van szó, ha belső szögeinek aránya 6 : 9 : 6 : 9? Számítsd ki a szögeit! 10. Milyen négyszögről van szó, ha belső szögeinek aránya 1 : 4 : 2 : 3? Számítsd ki a szögeit! 11. Döntsd el, konvex vagy konkáv-e az a négyszög, amelyben a belső szögek aránya a) 4 : 5 : 6 : 9; b) 1 : 2 : 5 : 12; c) 2 : 7 : 9 : 12. Számítsd ki a belső szögeket!

16 16 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 12. Hány átlója van egy konvex sokszögnek, és mennyi a belső szögeinek összege, ha a csúcsainak száma: 7, 9, 15, 100? csúcsok száma átlók száma szögösszeg 13. Hány oldalú az a konvex sokszög, amelynek ötször annyi átlója van, mint ahány oldala? 14. Mutasd meg, hogy a szabályos sokszög külső szöge egyenlő a középponti szögével! 15. Mekkorák a szabályos sokszög szögei, ha oldalainak száma: 4, 5, 6, 7, 10, 20, 100? 16. Hány oldalú az a konvex sokszög, amelyben az egy csúcsból húzható átlók száma 5; 8; 20;100? 17. Hány oldalú az a konvex sokszög, melyben a külső szögek összege a belső szögek összegének a harmada? 18. Hány oldalú az a szabályos sokszög, melyről tudjuk, hogy a) középponti szöge 36 ; b) külső szöge 36 ; c) belső szögeinek összege 3780 ; d) annyi átlója van, ahány oldala; e) külső és belső szögeinek összege egyenlő? 19. Töltsd ki a táblázatot! A szabályos sokszög oldalainak száma középponti szöge 30 a felépítő tükrös háromszög alapon fekvő szöge 67,5 egy belső szöge 156 egy külső szöge 20 belső szögeinek összege 720 egy csúcsból húzható átlók száma 6 összes átlójának száma

17 háromszögek, sokszögek Háromszögek szerkesztése, egybevágóság Készítették: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

18 18 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet TUDNIVALÓ Az euklideszi szerkesztés lépései 1. Két pont összekötő egyenesét megrajzolhatjuk vonalzóval. A B 2. Két adott pont távolságát körzőnyílásba vehetjük. B A 3. Adott pont körül adott körzőnyílással kört rajzolhatunk. P 4. Két metsző egyenes metszéspontját megkereshetjük. e f 5. Ha egy kör és egy egyenes metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük. 6. Ha két kör metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük.

19 tanunlói munkafüzet Háromszögek szerkesztése, egybevágóság FELADATLAP A táblázat sorai egy-egy feladatot tartalmaznak, a csillag jelzi, hogy a háromszögnek melyik adatát használhatod fel a szerkesztés során. Minden esetben végezd el a szerkesztést a füzetedben, az adatok az óra elején kapott háromszögre vonatkoznak. Mérőeszközként a körződet, és a vonalzód egy élét használhatod! A megszerkesztett háromszöget másolópapír segítségével hasonlítsd össze az eredeti háromszöggel! Tapasztalatodat a táblázat utolsó oszlopában rögzítsd! adat a (>) b c a b g tapasztalat 1. * * * 2. * * * 3. * * * 4. * * * 5. * * * 6. * * * 7. * * * 8. * * * a) hegyesszögű b) derékszögű c) tompaszögű 4 cm 6 cm 3 cm 5 cm 7 cm 5 cm 5 cm 4 cm 3 cm

20 20 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet összegzés A szerkesztés menete Először készíts színes vázlatot az elemzéshez! Jelöld a vázlaton pirossal azokat az adatokat, melyeket a szöveg megadott, majd sárgával azokat, melyeket ismereteink segítségével mi kikövetkeztetünk, és a szerkesztésben fel fogunk használni! Jelöld a szerkesztés lépéseinek sorrendjét a vázlaton, és írd is le a lépéseket szavakkal! I. Adott egy oldal és a rajta fekvő két szög Adatok összefüggések a = β = γ = Vázlat A szerkesztés lépései 1. Felveszem az adott hosszúságú szakaszt. 2. A szakasz egyik végpontjához megszerkesztem a β, a másik végpontjához a γ szöget. 3. A két szögszár metszéspontja lesz a háromszög harmadik csúcsa. II. Adott egy oldal és a két szög, az egyik az oldalon fekvő szög (γ vagy β), a másik az oldallal szemközti szög (α). a) Adatok összefüggések a = a + b + g = 180 a = b = 180 (a + g) b =

21 tanunlói munkafüzet Háromszögek szerkesztése, egybevágóság 21 Vázlat A szerkesztés lépései 1. Felveszem az adott hosszúságú szakaszt. 2. A szakasz egyik végpontjához megszerkesztem a β, a másik végpontjához a γ szöget. 3. A két szögszár metszéspontja lesz a háromszög harmadik csúcsa. b) Adatok összefüggések a = a + b + g = 180 a = g = 180 (a + b) b = Vázlat A szerkesztés lépései Megegyezik az a) feladat szerkesztés lépéseivel. 2. FELADATLAP 1. Megszerkeszthető-e egyértelműen a háromszög, ha adott a) három szöge? b) három oldala? c) egyik oldala és két szöge? d) egyik oldala és egy szöge? e) két oldala és egy szöge? f) két oldala és az egyik oldalhoz tartozó magasság?

22 22 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 2. Megszerkeszthető-e egyértelműen a derékszögű háromszög, ha adott a) a két befogója; b) az egyik befogója és az átfogója; c) egy szöge és egy oldala; d) az egyik befogója és legnagyobb szögének szögfelezője; e) az egyik befogója és a hozzátartozó súlyvonala; f) az egyik befogója és a háromszög köré írható kör középpontja? 3. Megszerkeszthető-e egyértelműen a tükrös háromszög, ha adott a) az alapja és a szára? b) az alapon fekvő szöge? c) az alapja és az alapon fekvő szöge? d) az alapja 5 cm és a szárszöge? e) az alapja és az alaphoz tartozó magassága? f) a szára és a szárhoz tartozó magassága? g) a szára és a szárszög szögfelezője? ÖSSZEGZÉS A háromszög egybevágóságának alapesetei Két alakzat egybevágó, ha pontosan fedésbe hozhatók. Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként megegyeznek. Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és az általuk közbezárt szög megegyezik. Két háromszög egybevágó, ha egyik oldaluk és az azon fekvő két szög megegyezik.

23 tanunlói munkafüzet Háromszögek szerkesztése, egybevágóság 23 Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik. Háromszögek szerkeszthetősége A háromszögszerkesztés egyértelmű, ha a megadott adatokból szerkesztett minden háromszög egybevágó. Egyértelműen megszerkeszthető a háromszög, ha adott a három oldala. Egyértelműen megszerkeszthető a háromszög, ha adott két oldala és a közbezárt szög. Egyértelműen megszerkeszthető a háromszög, ha adott valamelyik oldala és az azon levő két szöge. Egyértelműen megszerkeszthető a háromszög, ha adott két oldala és a nagyobbik oldallal szemközti szög. Nem szerkeszthető meg egyértelműen a háromszög, ha csak a három szöge adott, illetve akkor, ha két oldalát és a kisebbikkel szemközti szögét ismerjük. A megadott adatok: α, β, γ a, b, α 3. FELADATLAP 1. Ismerjük az ABC háromszög szögeit és oldalait. Szerkeszthetünk-e ugyanilyen háromszöget, ha tetszőlegesen választunk ki az adatokból hármat? Végezzétek el a szerkesztéseket, ha a következő három adatot választjuk ki! a = 6 cm α = 75 a) a, b, c; b = 5,5 cm β = 60 b) a, b, α; c = 4,5 cm γ = 45 c) a, b, β; d) a, b, γ; e) a, β, γ; f) α, β, γ. A következő szerkesztési feladatokat a megadott minta szerint végezd el!

24 24 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 2. Szerkessz szimmetrikus háromszöget, ha alapja 5,5 cm, az alapon lévő szöge 45! Adatok Összefüggések a = 5,5 cm β = γ = 45 β = 45 Vázlat A szerkesztés lépései 1. Felveszem az a oldalt. 2. Az a oldalra B csúccsal megszerkesztem a β szöget. 3. Az a oldalra C csúccsal megszerkesztem a γ szöget. 4. A két szögszár metszéspontja adja az A csúcsot. 3. Szerkessz szimmetrikus háromszöget, ha alapja 5 cm, a szárszöge 60! Adatok Összefüggések a = 5 cm β = γ = (180 α) : 2 = 60 α = 60 Vázlat A szerkesztés lépései Megegyezik a 2. feladat szerkesztés lépéseivel. 4. Szerkessz háromszöget a következő adatokból! a) A háromszög oldalai: 6 cm, 8 cm és 10 cm; b) A háromszög két oldala 6 cm és 4 cm, az általuk közbezárt szög 75 ; c) A háromszög egyik oldala 5,5 cm, a rajta lévő két szög 30 és 90 ; d) A háromszög két oldala 6 cm és 4,5 cm, a nagyobbikkal szemközti szög Szerkeszd meg a háromszöget, ha oldalai 3 cm, 5 cm és 6 cm! Szerkeszd meg az oldalak felezőpontját, majd kösd össze ezeket a felezőpontokat! Hasonlítsd össze az így kapott háromszög oldalait az eredeti háromszög oldalaival! 6. Szerkessz háromszög szerkeszthető, ha a háromszög két oldala 5 cm illetve 6 cm, az 5 cm-es oldalon fekvő egyik szög 30! 7. Egy háromszög egyik oldala 8 cm, a másik oldal ennek 75 %-a, a harmadik oldal a másodiknak a kétharmad része. Szerkeszd meg a háromszöget! Melyik oldallal szemközt található a legkisebb szög?

25 tanunlói munkafüzet Háromszögek szerkesztése, egybevágóság 25 FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Megszerkeszthető-e egyértelműen a háromszög, ha a) szögei 40, 65 és 75? b) oldalai 4 cm, 6 cm és 6,5 cm? c) egyik oldala 5,3 cm és két szöge 45 és 60? d) egyik oldala 4 cm és van egy 80 -os szöge? e) két oldala 3 cm és 4,5 cm, és van 30 -os szöge? f) egyik oldala 5 cm, a rajtalevő egyik szög 75 és az 5 cm-es oldalhoz tartozó magasság 4 cm? 2. Szerkeszd meg az 1. feladatban megadott háromszögek közül azokat, amelyek egyértelműen megszerkeszthetők! 3. Megszerkeszthető-e egyértelműen a tükrös háromszög, ha a) alapja 4 cm, szára 5 cm? b) alapon fekvő szöge 60? c) alapja 6 cm és alapon fekvő szöge 45? d) alapja 5 cm és szárszöge 105? e) alapja 3,8 cm és az alaphoz tartozó magasság 5 cm? f) szára 8 cm és a szárhoz tartozó magasság 5 cm? 4. Szerkeszd meg az 5. feladatban megadott háromszögek közül azokat, amelyek egyértelműen megszerkeszthetők! A következő feladatokban (1 5.) szerkessz háromszöget a megadott oldalak és szögek ismeretében! A szerkesztéseket az itt látható vázlat jelöléseinek megfelelően végezd! Minden feladatban vizsgáld meg, hányféle háromszög szerkeszthető? VÁZLAT: 5. a) a = 6 cm, b = 7 cm, c = 8 cm b) a = 5 cm, b = 7 cm, c = 7 cm c) a = 6 cm, b = 7 cm, c = 5 cm d) a = 3 cm, b = 7 cm, c = 4 cm 6. a) két oldala 4 cm-es b) két oldala 5 cm-es, illetve 2 cm es c) egyenlőszárú és van 3 cm, illetve 5 cm-es oldala d) egyenlőszárú és van 3 cm, illetve 6 cm-es oldala

26 26 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 7. a) a = 5 cm, b = 4 cm, g = 45 b) a = 5 cm, b = 7 cm, g = 120 c) a = 5 cm, b = 7 cm, g = 135 d) a = 5 cm, b = 7 cm, g = k 22,5 (a k egész számot jelöl, keresd meg az összes megoldást, és egy ábrán végezd el a szerkesztést!) 8. a) a = 5 cm, b = 4 cm, a = 45 b) a = 5 cm, b = 4 cm, b = a) a = 5 cm, a = 45, b = 60 b) a = 5 cm, a = 45, g = 60 c) a = 5 cm, g = 45, b = a) a = 75, b = 60, g = 45 b) a = 75, b = 60, g = 120 A következő feladatokban (6 8.) el kell döntened két háromszögről, hogy egybevágóak-e, ha az itt mondott adataikban megegyeznek. Válaszaidat indokold! 11. Egybevágó-e két szabályos háromszög, ha páronként egyenlők a) szögeik; b) oldalaik? 12. Az alábbi háromszögekről döntsd el, hogy egybevágóak-e? a) b) cm 6 cm cm 5 cm 5 cm 5 cm c) d) 5 cm 4 cm 4 cm 5 cm 5 cm 62 6 cm cm 4,5 cm 4,5 cm 6 cm

27 tanunlói munkafüzet Háromszögek szerkesztése, egybevágóság Egybevágó-e két egyenlőszárú háromszög, ha páronként egyenlő a) alapjuk és száruk b) két oldaluk c) alapjuk és alapon fekvő szögük d) alapjuk és szárszögük e) alapjuk és egy szögük f) alapjuk és két szögük g) száruk és az alapon fekvő szögük? 14. rajzolj egy 5 cm-es szakaszt, jelöld a végpontjait A-val, B-vel! Szerkessz legalább 6 db olyan derékszögű háromszöget, melynek ez a szakasz az átfogója! Hol helyezkedhetnek el a háromszögek C csúcsai? a) Jelöld kékkel azokat a C csúcsokat, melyekhez tartozó háromszög egyik befogója 4 cm! b) Jelöld zölddel azokat a C csúcsokat, melyekhez tartozó háromszög egyenlőszárú! c) Jelöld pirossal azokat a C csúcsokat, melyekre a háromszögnek van 60 -os szöge! 15. rajzolj egy 3 cm-es szakaszt, jelöld a végpontjait A-val és B-vel! Szerkeszd meg az összes olyan C pontot, melyekre az ABC háromszög egyenlő szárú! a) Jelöld pirossal azokat, melyekhez tartozó háromszögben az AB oldal az alap! b) Jelöld zölddel azokat, melyekhez tartozó háromszögben az AC oldal az alap! c) Jelöld kékkel azokat, melyekhez tartozó háromszögben a BC oldal az alap!

28

29 háromszögek, sokszögek Speciális négyszögek és sokszögek Készítették: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

30 30 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet EMLÉKEZTETŐ A négyszögeknek négy oldaluk és négy szögük van. Egy négyszög lehet konvex vagy konkáv A négyszögek belső szögeinek összege 360, külső szögeinek összege szintén 360. A trapéz olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja. A párhuzamos oldalakat alapoknak, a másik két oldalt száraknak nevezzük. Az alapok távolsága, a trapéz magassága. D C d g AB DC m a + d = 180 b + g = 180 a b A B A tengelyesen szimmetrikus trapéz a húrtrapéz. A középpontosan szimmetrikus trapéz a paralelogramma. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek a szemközti oldalai párhuzamosak. A szemközti oldalak egyenlők. c a = c b = d A szemben lévő szögek egyenlők. α = γ β = δ A szomszédos szögek összege 180. α + β = γ + δ = 180 Az átlók felezik egymást. d d a b a g b A téglalap egyenlő szögű paralelogramma. A rombusz egyenlő oldalú paralelogramma. A négyzet szabályos négyszög.

31 tanunlói munkafüzet Speciális négyszögek és sokszögek 31 A deltoid olyan négyszög, amelynek van csúcson átmenő szimmetriatengelye. Két-két szomszédos oldala egyenlő. AD = DC és AB = BC Két szöge egyenlő. a = g A szimmetriaátló egyenese merőlegesen felezi a másik átlót. DB AC és AE = EC A szimmetriaátló egyenese felezi a két szöget, amelyen áthalad. Speciális négyszögek A speciális négyszögek szimmetria tulajdonságai: A speciális négyszögek minden fontos tulajdonságát kiolvashatjuk a szimmetriájukból. Deltoid: Van egy szimmetria tengelye, ami átló. Húrtrapéz: Van egy szimmetria tengelye, ami két szemközti oldal felezőmerőlegese. Paralelogramma: Van egy szimmetria középpontja, ami az átlók metszéspontja. Rombusz: Tengelyesen szimmetrikus mindkét átlójára, és középpontosan szimmetrikus ezek metszéspontjára. A rombusz egyszerre deltoid és paralelogramma. Téglalap: Tengelyesen szimmetrikus két-két szemközti oldal felezőmerőlegesére, és középpontosan szimmetrikus ezek metszéspontjára. Egyszerre húrtrapéz és paralelogramma. Négyzet: Szimmetrikus a két-két átlójára, két oldal felezőmerőlegesére, és középpontosan szimmetrikus ezek metszéspontjára. Egyszerre rombusz és téglalap. a D B t d E b g C A a D b B t d g C 1. FELADATLAP 1. Legkevesebb hány szög ismerete elegendő, hogy megadd egy négyszög összes szögét? Válaszolj minden speciális négyszög esetében! 2. Két-két db áll rendelkezésedre a következő szögtartományokból: 135, 120, 90, 60, 45. Építs belőlük speciális négyszögeket! Milyet lehet, hogyan; milyet nem lehet? 3. Az alábbi esetekben döntsétek el elegendőek-e az adatok a megadott alakzat megszerkesztéséhez! a) A négyzet oldala 6 cm. b) A téglalap egyik oldala 7 cm, egyik szöge 90. c) A szimmetrikus háromszög alapja 4 cm, szára 5 cm. d) A paralelogramma oldalai 5 cm és 3 cm, egyik szöge 100. e) A rombusz oldala 3,5 dm. Hány adat szükséges legalább, illetve legfeljebb egy háromszög valamint egy négyszög megszerkesztéséhez? 4. Hány adat szükséges legalább, illetve legfeljebb egy háromszög, valamint egy négyszög megszerkesztéséhez? Gondoljátok végig, mely adatok birtokában lehet valóban megszerkeszteni a) a téglalapot; b) a négyzetet; c) a rombuszt; d) a paralelogrammát?

32 32 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 2. FELADATLAP 1. Szerkessz húrtrapézt, melynek egyik alapja 5 cm, van 60 -os szöge, és szára 3 cm! Először készíts színes vázlatot az elemzéshez! Jelöld a vázlaton pirossal azokat az adatokat, melyeket a szöveg megadott, majd sárgával azokat, melyeket ismereteink segítségével mi kikövetkeztetünk, és a szerkesztésben fel fogunk használni! Jelöld a szerkesztés lépéseinek sorrendjét a vázlaton, és írd is le a lépéseket szavakkal. Adatok Összefüggések AB = 5 cm A húrtrapéz alapon fekvő két-két szöge egyenlő. a = 60 A trapéz egy száron fekvő szögeinek összege 180. AD = BC = 3 cm Vázlat I. A szerkesztés lépései 1. Felvesszük az AB oldalt (5 cm). 2. Megszerkesztjük a 60 -os szöget, A illetve B csúccsal. 3. A szögszárakra felmérem az AD illetve BC oldal hosszát (3 3 cm). 4. Összekötjük a CD pontokat. A szerkesztés menete II. A szerkesztés menete megegyezik a I.-ben leírtakkal, annyi különbséggel, hogy a 2. lépésben 120 -os szöget mérünk fel az AB szakasz két végpontjába.

33 tanunlói munkafüzet Speciális négyszögek és sokszögek Szerkessz paralelogrammát, melynek egyik oldala 6cm, területe 18 cm 2, és hegyesszöge 45 -os! (adatok, összefüggések, vázlat, a szerkesztés lépései, a szerkesztés végrehajtása) 3. Szerkessz trapézt, egyik alapja 5 cm, magassága 3cm, szárai 4cm hosszúak! (adatok, összefüggések, vázlat, a szerkesztés lépései, a szerkesztés végrehajtása) 3. FELADATLAP 1. Szerkessz szimmetrikus trapézt, amelynek a) egyik alapja 7 cm, szára 4 cm, az ezek által bezárt szög 60! Szerkeszd meg a körülírt körét! b) Szerkessz egy négyzetet, amelynek oldala 4 cm! Szerkeszd meg a négyzet beírt körét! c) Szerkessz egy 3 cm sugarú kör köré négyzetet! 2. Szerkessz trapézt, melynek egyik alapja 6 cm, szárai 4 cm, az általuk bezárt szög 60! a) Szerkeszd meg az egyik szárának felezőpontját, majd tükrözd erre a pontra a trapézt! Milyen alakzatot határoz meg az eredeti trapéz és a tükörképe? Mekkorák ennek az alakzatnak az oldalai? b) rajzolj a tükörközépponton átmenő, a trapéz alapjaival párhuzamos egyenest! Milyen hosszú annak a szakasznak a hossza, amelyet az eredeti trapéz metsz ki a párhuzamos egyenesből? 3. Szerkessz deltoidot, ha a) egyik oldala 5 cm, az ezen lévő két szög 120 illetve 45! b) szimmetriaátlója 8 cm, a másik átló 6 cm, egyik oldala 45 mm! 4. Szerkessz húrtrapézt, amelynek a) alapja 9 cm, szára 4 cm, átlója 8 cm b) alapjai 5 cm és 3 cm, szára 4 cm. 5. Szerkessz rombuszt, amelynek a) átlói 6 cm és 4 cm. b) oldala 55 mm, egyik szöge 70 c) rövidebbik átlója 5 cm, egyik szöge 105!

34 34 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet TUDNIVALÓ A sokszögek nevezetes körei A konvex négyszög oldalfelező merőlegesei és a négyszög köré írt köre Ha a konvex négyszög oldalfelező merőlegesei egy ponton mennek át, akkor ez a pont a négyszög köré írt körének a középpontja. Húrnégyszögeknek nevezzük azokat a négyszögeket, amelyeknek van köré írt körük. A konvex négyszög belső szögfelezői és a négyszög beírt köre Ha a konvex négyszög belső szögfelezői egy ponton mennek át, akkor ez a pont a négyszög beírt körének középpontja. Érintőnégyszögeknek nevezzük azokat a négyszögeket, amelyeknek van beírt körük. Hasonlóan beszélhetünk húrsokszögekről és érintősokszögekről. A szabályos sokszögeknek van köré írt és beírt köre is. A trapéz középvonala A trapéz két szárának felezőpontját összekötő szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük. A középvonal párhuzamos az alapokkal, hosszúsága a két alap hosszának számtani közepe. C a k F F 2 1 k F 1 k = a+c 2 a C

35 tanunlói munkafüzet Speciális négyszögek és sokszögek 35 FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Mely négyszögekre igazak a következő tulajdonságok? A: trapézok B: szimmetrikus trapézok C: paralelogrammák D: téglalapok E: rombuszok F: négyzetek G: deltoidok a) Tengelyesen szimmetrikusak b) Középpontosan szimmetrikusak. c) Van két egyenlő oldaluk. d) Van két egyenlő szögük. e) Minden oldaluk egyenlő. f) Minden szögük egyenlő. g) Van csúcson átmenő szimmetriatengelyük. h) Két szomszédos szögük egyenlő. i) Két szemközti szögük egyenlő. j) Van két párhuzamos oldal párjuk. k) Két szomszédos szögük 180 -ra egészíti ki egymást. l) Átlóik merőlegesek egymásra. m) Átlóik felezik egymást. 2. rajzold meg egy szimmetrikus trapéz, egy paralelogramma és egy nem szimmetrikus trapéz egyik átlóját! Van-e a keletkezett két-két háromszög között egybevágó? 3. Melyik fajta négyszögre igaz, hogy az egyik átlója két egybevágó háromszögre bontja? Válaszodat indokold! 4. Melyik fajta négyszögre igaz, hogy a két átlója két-két egybevágó háromszögre bontja? Válaszodat indokold! 5. Melyik fajta négyszögre igaz, hogy a két átlója négy egybevágó háromszögre bontja? Válaszodat indokold! 6. Szerkessz rombuszt az alábbi adatok felhasználásával! Készíts színes vázlatot az adatok elemzéséhez, és szerkesztési vázlatot is! Minden esetben vizsgáld meg a megoldások számát! a) Oldala 4 cm, hegyesszöge 45º; b) Oldala 5 cm, magassága 4 cm; c) Oldala 5 cm, magassága 5 cm; d) Oldala 4 cm, magassága 5 cm; e) Oldala 5 cm, egyik átlója 7 cm; f) Átlói 5, illetve 6 cm hosszúak.

36 36 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 7. Szerkessz trapézt! Tudod róla, hogy a) húrtrapéz, és alapja 8 cm, átlója 6,8 cm, magassága 4,5 cm; b) húrtrapéz, melynek három oldala 5 cm, egyik szöge 75 ; c) derékszögű trapéz, melynek alapjai 4 cm, ill. 6 cm, egyik átlója 7 cm; d) egyik szöge 60 -os, az ezt kettészelő átlója 8 cm, alapja 5 cm; e) 5 cm-es alapján fekvő két szöge 60 és 75, magassága 3 cm; f) egyik alapja 3cm, átlói 5 és 6 cm-esek, magassága 3,5 cm; g) egyik alapja 5 cm, magassága 3 cm, szárai 4 és 5 cm-esek; h) egyik alapja 5 cm, magassága 3 cm, szárai 4 és 3,5 cm-esek; i) két alapja 5 és 3 cm, két átlója 4 és 5 cm; j) két átlója 5 és 6 cm, átlóinak szöge 60, egyik alapja 5,7 cm; k) alapjai 2 és 5 cm, az egyik átlója 4 cm, az átlók szöge Szerkessz deltoidot! Tudod róla, hogy a) két oldala 2,4 cm és 3,2 cm és a szimmetriaátlója 4 cm. b) két oldala 2,4 cm és 3,2 cm és a nem szimmetriaátlója 4 cm. 9. Szerkessz trapézt a következő adatokból! a) a b) m c a m d d a és c a trapéz alapjai, b és d a szárai; m a magassága; β az a és b oldal által bezárt szög b 10. Szerkessz paralelogrammát a következő adatokból! a b e f a g a a paralelogramma egyik oldala; e a hosszabb átló, f a rövidebb átló; α a paralelogramma egyik szöge, γ az átlók által bezárt szög.

37 tanunlói munkafüzet Speciális négyszögek és sokszögek Szerkessz deltoidot a következő adatokból! a b e f a b a, b a deltoid oldalai; e és f az átlói; β a két oldal által bezárt szög 12. Rajzold meg egy nem szimmetrikus trapéz, egy szimmetrikus trapéz, egy paralelogramma és egy téglalap oldalfelező merőlegeseit! Hány pontban metszik egymást az oldalfelező merőlegesek? Próbáld megindokolni tapasztalataidat! 13. Rajzold meg egy szimmetrikus trapéz, egy paralelogramma és egy rombusz szögfelezőit! Hány pontban metszik egymást a szögfelezők? a) Van-e olyan szimmetrikus trapéz, amelynek szögfelezői egy pontban metszik egymást? b) Van-e olyan nem szimmetrikus trapéz, amelynek szögfelezői egy pontban metszik egymást? 14. Rajzolj trapézt, amelynek átlója mindkét összekötött csúcsnál lévő szögre szögfelező is! 15. Rajzolj olyan trapézt, amelynek valamelyik oldalfelező merőlegese átmegy a trapéz valamelyik csúcsán, és párhuzamos valamelyik szárral! 16. Rajzolj olyan trapézt, amely középvonalának hossza a) egyenlő az egyik alapjával! b) egyenlő mindkét alapjával! 17. Lehet-e húrnégyszög a) egy konvex deltoid;. b) egy paralelogramma; c) egy téglalap; d) egy rombusz; e) egy konkáv deltoid? 18. Lehet-e érintőnégyszög a) egy konvex deltoid; b) egy paralelogramma; c) egy téglalap; d) egy rombusz; e) egy konkáv deltoid?

38

39 kerület, terület Sokszögek területe Készítette: vépy-benyhe judit

40 40 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet 1. feladatlap 1. Rajzolj a sávra négyszögeket úgy, hogy egy-egy oldala a két egyenesre illeszkedjék! Milyen négyszögeket kaptál? Az 1. feladatlap 2. feladatában lévő négyszögek közül melyeket lehet sávba rajzolni (két oldala illeszkedjen a sávot határoló egyenesekre)? És a 3. feladatlap 1. feladatának négyszögei közül?

41 tanunlói munkafüzet Sokszögek területe Darabolás segítségével állapítsd meg a sokszögek területét és hasonlítsd a piros téglalap (1. számú) területéhez! A sokszögek az 1. tanulói mellékletben szerepelnek

42 42 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet

43 tanunlói munkafüzet Sokszögek területe

44 44 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet

45 tanunlói munkafüzet Sokszögek területe 45 összegzés A paralelogramma magassága a) A paralelogramma magassága a paralelogramma párhuzamos oldalegyeneseinek távolsága. A magasságvonal merőleges a két szembenlévő oldalra. (Megj.: A magasságvonal haladhat a paralelogrammán kívül is. A paralelogramma magasságvonalát végtelen sok helyre szerkeszthetjük. Egy paralelogrammának két különböző magassága van, ezek a két szemközti oldalpárhoz tartoznak.) b m b m a a b) emlékeztető: A paralelogramma két sáv (sáv: két, egymással párhuzamos egyenessel határolt síkidom) közös része. A paralelogramma magassága a sávokat határoló párhuzamosok távolsága. m b b m a a m b m a 2. feladatlap 1. Rajzold meg az alábbi paralelogrammák magasságait derékszögű vonalzó segítségével!

46 46 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet 2. Szerkeszd meg az alábbi paralelogrammák magasságait! (Euklideszi szerkesztéssel!) összegzés A paralelogramma területe A paralelogrammát át tudjuk darabolni egy vele egyező területű téglalappá. m a m a a a A téglalap egyik oldala a paralelogramma egyik oldalával egyezik meg, másik oldala pedig a paralelogramma említett oldalához tartozó magasságával. T paralelogramma = T téglalap = a m a Egy paralelogramma területét tehát a következő képlettel tudjuk kiszámolni: T = a m a = b m b, ahol a, illetve b a paralelogramma egy-egy oldala, m a és m b a hozzájuk tartozó magasságok.

47 tanunlói munkafüzet Sokszögek területe feladatlap Egészítsd ki a síkidomokat téglalappá! Mekkora az alábbi síkidomok területe, ha egy négyzetrács a területegység? Írd alá vagy mellé!

48 48 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet összegzés A háromszög területe A háromszöget ki tudjuk egészíteni egy nála épp kétszer nagyobb területű téglalappá. m a m b b c mc m c m a a m b A téglalap egyik oldala a háromszög egyik oldalával egyezik meg, másik oldala pedig a háromszög említett oldalához tartozó magasságával. T háromszög = T téglalap : 2 = (a m a ) : 2 = a m a 2 Egy háromszög területét tehát a következő képlettel tudjuk kiszámolni: T = a m a 2 = b m b 2 = c m c 2 a hozzájuk tartozó magasság., ahol a illetve b a paralelogramma egy-egy oldala, m a és m b emlékeztető A deltoid területe A deltoidot ki tudjuk egészíteni egy nála épp kétszer nagyobb területű téglalappá. f e f e A téglalap egyik oldala a deltoid egyik átlójával egyezik meg, másik oldala pedig a deltoid másik átlójával. T deltoid = T téglalap : 2 = (e f) : 2 = e f 2

49 tanunlói munkafüzet Sokszögek területe 49 A konkáv deltoid területe felírható két közös alapú, egyenlő szárú háromszög területének különbségeként. A konkáv deltoid ugyancsak befoglalható egy olyan téglalapba, melynek oldalai a konkáv deltoid átlóinak hosszával egyenlők és területe kétszerese a deltoid területének, illetve átdarabolható egy, a deltoid területével megegyező területű téglalappá, melynek oldalai a deltoid szimmetriaátlójával és a másik átló hosszának felével egyenlők. 4. FELADATLAP 1. Szerkessz trapézt, melynek egyik alapja 6 cm, szárai 4 cm! Az említett alap mindkét szárral 60 -os szöget zár be. a) Szerkeszd meg az egyik szárának felezőpontját, majd tükrözd erre a pontra a trapézt! Milyen alakzatot határoz meg az eredeti trapéz és a tükörképe? Mekkorák ennek az alakzatnak az oldalai? b) rajzolj a tükörközépponton átmenő, a trapéz alapjaival párhuzamos egyenest! Milyen hosszú annak a szakasznak a hossza, amelyet az eredeti trapéz metsz ki a párhuzamos egyenesből? Hogy hívjuk ezt a szakaszt?

50 50 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet összegzés A trapéz középvonala A trapéz két szárának felezőpontját összekötő szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük. A középvonal párhuzamos az alapokkal, hosszúsága a két alap hosszának számtani közepe. C a k F F 2 1 k F 1 k = a+c 2 a C A trapéz területe c a m F (a + c) m 2 A paralelogramma egyik oldala a trapéz két alapjának összegével (a + c), a másik oldala a trapéz szárának hosszával egyezik meg. A paralelogramma és a trapéz magassága megegyezik. T paralelogramma = (a + c) m. A paralelogramma két egybevágó trapézból készült, ezért: T trapéz = (a + c) m 2 a c Szabályos sokszögek területe Szabályos páros oldalú sokszögek területét akarjuk meghatározni. Minden szabályos sokszögnél eljárhatunk úgy, hogy a sokszög köré írt kör középpontját összekötjük a sokszög csúcsaival, így egybevágó egyenlőszárú háromszögeket kapunk. Ezeket a háromszögeket egymás mellé rakhatjuk az ábra szerinti elrendezésben. Így egy paralelogrammát kapunk. m a K 2 m, ahol K a nyolcszög kerülete, ma a felosztáskor kapott háromszö- T szabályos nyolcszög = T paralelogramma = K 2 gek magassága.

51 tanunlói munkafüzet Sokszögek területe 51 feladatgyűjtemény 1. Mekkora a paralelogramma területe, ha a) a = 3 cm; m a = 2 cm b) b = 6 m; m b = 3,5 m c) egyik oldala 8,5 dm, a hozzá tartozó magasság 500 mm? 2. Egy paralelogramma egyik oldalának hossza 5 cm, ehhez az oldalához tartozó magassága 3,5 cm, másik oldala 4 cm. Szerkeszd meg a paralelogrammát! Mekkora a paralelogramma kerülete, területe? 3. Egy paralelogramma területe 44 dm 2. Mekkora az oldalának hossza, ha a hozzá tartozó magasság 40 cm? Létezik-e ilyen paralelogramma? 4. Szerkessz paralelogrammát, ha két oldala 5,4 cm és 6 cm, egyik szöge pedig 30! A szükséges adatok lemérése után számold ki a területét, kerületét! 5. Derékszögű koordináta-rendszerben egy paralelogramma 3 csúcsának koordinátái: ( 1; 3), ( 1; 5), (4; 5). Mi a negyedik pont koordinátája? Hány megoldás lehetséges? Minden esetben számold ki a kapott paralelogramma területét, ha a területegység a koordináta-rendszer egy egység oldalú négyzetrácsa! 6. Egy rombusz oldala 4 egység. Hány db ilyen rombuszt tudsz elképzelni? Ezek közül melyiknek a legnagyobb a területe? 7. Egy paralelogramma egyik oldala 6 cm, hozzá tartozó magassága 40 mm. Másik oldala 4,8 cm. Mekkora magasság tartozik ehhez az oldalhoz? 8. Egy rombusz két átlója 8 cm és 60 mm. Mekkora a területe? 9. Mekkora a háromszög területe, ha a) a = 5 cm; m a = 4 cm b) c = 7,4 m; m c = 6 m c) egyik oldala 7 dm, ehhez az oldalhoz tartozó magassága 41 cm? 10. Szerkeszd meg az alábbi háromszöget, és a szükséges adatok lemérése után számold ki a területét többféleképpen! a = 60 mm; b = 8 cm; c = 1 dm

52 52 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet 11. Párosítsd össze a háromszögeket azokkal a téglalapokkal, melyeket a kiegészítésükkel kaphatsz! Mi a háromszög és a hozzá tartozó téglalap területének aránya az egyes esetekben? 12. Szerkeszd meg az alábbi háromszöget, és a szükséges adatok lemérése után számold ki a területét többféleképpen! a = 7 cm; b = 30 ; b = 5 cm 13. Három testvér egy nagy, trapéz alakú földet örökölt, melynek egyik alapja éppen kétszer akkora, mint a másik. Hogyan osszák fel igazságosan egymás között? a 2 a 14. Bizonyítsuk be, hogy a kékre festett terület egyenlő a zöldre festett területtel! (A négyszög egy trapéz, és az átlóit húztuk meg.) C D O B A

53 tanunlói munkafüzet Sokszögek területe Számold ki a deltoid területét, ha a) két átlója: e = 3 cm; f = 8 cm! Rajzolj ilyen deltoidot! b) két átlója: e = 4,3 dm; f = 25 cm! c) szimmetria átlója 3 m; másik átlója 4,5 m! Létezik-e ilyen deltoid? 16. Egy deltoid területe 66 m 2, az egyik átlója 11 m. Mekkora a másik átló? 17. Szerkeszd meg az alábbi deltoidot! Rövidebbik oldala 4 cm, hosszabb oldala 5,5 cm, a két különböző hosszúságú oldal által közbezárt szög 120. A szükséges adatok lemérése után határozd meg mekkora a deltoid területe! 18. Ákos és édesapja deltoid alakú papírsárkányt készítenek. Ehhez egy 3 m 4 m oldalhosszúságú téglalap alakú kartonlap áll rendelkezésre. A deltoidot úgy akarják kivágni, hogy a két átlója párhuzamos legyen a papír oldalaival. Hogyan vágják ki a deltoidot ebből a papírból, hogy a lehető legnagyobb területű deltoidot kapják? Mekkora lesz ennek a deltoidnak a területe? 19. Egy rombusz oldala 6 cm, egyik belső szöge 120. Szerkeszd meg a rombuszt, majd számold ki többféleképpen a területét! 20. Számítsd ki az alábbi négyszög területét! (Darabold át a négyszöget, majd szerkeszd meg, és mérd le a szükséges adatokat!) 21. Meghúztuk egy szabályos hatszög átlóit. Mekkora a csillag területe?

54 54 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet 22. Egy kert lekicsinyített ábráját látod felülnézetben. A kicsinyítés aránya 1:100. Hány kg fűmagot kell vennünk, hogy megfelelő mennyiségű fű nőjön rajta, ha egy m 2 -re kb. 30 g fűmag kell? 23. Szerkessz egy 6 cm oldalhosszúságú négyzet minden oldalára egyenlőoldalú háromszöget az ábrán látható módon! A szükséges adatok lemérése után számold ki az így kapott csillag területét!

55 kerület, terület A kör kerülete Készítette: vépy-benyhe judit

56 56 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet emlékeztető A kör: olyan pontok halmaza a síkon, melyek egy adott ponttól adott távolságra helyezkednek el. A pontot a kör középpontjának (az ábrán O pont), a távolságot a kör sugarának (r) hívjuk. A kör átmérője a körív két átellenes pontját összekötő szakasz (d), mely éppen a sugár kétszerese. d O r A kör részei: körív húr körszelet átmérő sugár körcikk érintő körvonal szelő 1. feladatlap 1. Mérd meg kör alakú tárgyak átmérőjét és kerületét, jegyezd fel a mért adatokat! Számold ki a kerület és az átmérő arányát számológéppel! A tárgy neve Átmérő (d) (cm) Kerület (K) (cm) Kerület/átmérő (K/d)

57 tanunlói munkafüzet A kör kerülete 57 összegzés Az eddig szerzett tapasztalatok alapján a kör kerületének és átmérőjének hányadosa állandó (a két menynyiség egyenesen arányos, azaz ha az átmérő kétszeresére, háromszorosára, felére változik, a kerület is éppen a kétszeresére, háromszorosára, illetve felére változik.) Ezt az állandót pi-nek nevezzük. Jele: π (görög betű). Ezért a kör kerülete a következő képlettel számolható: K kör = d π = 2 r π A π nem racionális, tehát nem állítható elő törtalakban. A π értéke körülbelül 3, feladatlap Feladatlap a gyűjtőmunkához A következő kérdésekre keressétek a válaszokat interneten, lexikonokban, matematikatörténetről szóló könyvekben! 1. Mi a π? Gyűjtsetek róla meghatározásokat! 2. Hogyan közelítették? 3. Mikori az első forrás a π ismeretéről? 4. Hány tizedesjegyig számolták ki a különböző korokban? 5. Mi a jelentése? 6. Miért hívják Ludolph-féle számnak? 7. Találtál-e egyéb érdekességet a π-vel kapcsolatban? 3. feladatlap Feladatok a kör kerületképletének gyakorlására egyszerű példák 1. Töltsd ki a hiányzó adatokat a táblázatban (használj számológépet)! r 5 cm 14 m d 8 dm K 150,72 cm 18,98 m 2. Mekkora annak a kör alakú edényalátétnek a kerülete, melynek átmérője 25 cm? 3. Egy lovaskocsihoz kerekeket készítenek fából. A kerék átmérője fél méter. A kerék talajon futó részére fémabroncsot szögelnek, melyet hajlékony fémszalagból készítenek. Milyen hosszú fémszalag kell a négy kerékhez? Ha a kerekek éppen 20 teljes fordulatot tesznek, mennyit halad előre a szekér?

58 58 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet 4. feladatlap Feladatok a kör kerületképletének gyakorlására összetett példák 1. Anna egy szabályos kör alakú virágágyást tervezett a kertbe. Az átmérője 2,5 m lesz. Kb. hány db petúniapalántát vegyen, ha 40 cm-enként szeretné a virágágyás kerülete mentén végigültetni a petúniákat? Mennyit fog fizetni, ha egy palánta 120 Ft? 2. Éva egy kör alakú terítőt akar készíteni egy asztalra. A kör alakú asztal átmérője 60 cm. Éva úgy tervezi, hogy a terítő mindenhol 40 cm-t lógjon le az asztalról, ha középre teríti. Mekkora lesz a terítő átmérője? Éva szeretné sűrű öltésekkel körbeszegni a terítő szélét. Hány m cérnára lesz szüksége, illetve elég lesz-e egy orsó cérna (50 m) a terítő körbeszegésére, ha kb. a beszegendő hossz háromszorosa fogy cérnából? 3. A szükséges adatok lemérése után döntsd el, mekkora az alábbi alakzatok kerülete? (Az alakzatokat szabályos félkörök, illetve negyedkörök határolják.) I. II. 4. Függönyt szeretnénk tenni a konyhaablakra. Úgy tervezzük, hogy a függöny 6 db szabályos félkörben fog hullámozni, amikor behúzzuk. A függöny felülnézetben: Ha az ablak szélessége 1,5 m, milyen széles függönyt vegyünk, hogy az ábrán látható módon el lehessen rendezni, és az egész ablakot eltakarja?

59 tanunlói munkafüzet A kör kerülete 59 feladatgyűjtemény 1. rajzolj egy P pontot a füzetedbe! Satírozd kékkel a tőle 3 cm-nél nem nagyobb távolságra lévő pontokat! Satírozd sárgával a tőle 2 cm-nél távolabb lévő pontokat! Az ábra melyik része lett zöld? Milyen tulajdonságú pontok ezek? 2. Nevezd meg, melyik szín, mit jelöl az ábrán: Írd le a füzetedbe!

60

61 kerület, terület A kör területe Készítette: vépy-benyhe judit

62 62 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet 1. feladatlap 1. Készíts adott sugarú köröket milliméterpapírra, majd számold ki a területüket, végül számold ki a terület és a sugár négyzetének hányadosát, és írd a táblázat megfelelő helyére! r 1 cm 2 cm 3 cm 5 cm 7 cm T (mm 2 ) T r 2 összegzés A kör területe A táblázat kitöltése során tapasztaltuk, hogy a kör területe és a kör sugarának négyzete egyenesen arányos, hányadosuk állandó. Az arány éppen a kör kerületénél már tanult π. Tehát: T kör = r 2 π. Ezt a képletet most másképpen is belátjuk. Osszuk a kört egybevágó cikkekre, majd rakjuk ezeket a cikkeket egymás mellé az ábrán látható módon! r K 2 A keletkezett paralelogramma alapja kb. a kör kerületének fele, a magassága pedig megközelítőleg a kör sugara. (Még jobban hasonlít egy paralelogrammához a kapott síkidom, ha a kört több egybevágó cikkre osztjuk.) T = K 2 r = 2 r p 2 r = r 2 p