MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A"

Átírás

1 MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév

2 A kiadvány KHF/ /2008 engedélyszámon időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a sulinova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: címen. Matematika szakmai vezető: Pálfalvi Józsefné Szakmai tanácsadók: Csahóczi Erzsébet és Szeredi Éva Alkotószerkesztő: Csahóczi Erzsébet és Kozics Anikó Grafika: Király és Társa Kkt, dr. Fried Katalin Lektor: Makara Ágnes Felelős szerkesztő: Teszár Edit H-AMAT0703 Szerzők: Jakucs Erika, Mendelovics Zsuzsa, Paróczay József, Pusztai Julianna, Takácsné Tóth Ágnes, Vépy-Benyhe Judit Educatio Kht Tömeg: 430 gramm Terjedelem: 21,12 (A/5 ív) A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgypedagógiai szakértő: Györfi Lászlóné Tudományos-szakmai szakértő: Vecseiné dr. Munkácsy Katalin Technológiai szakértő: Karácsony Orsolya

3 tartalom 075. sokszögek, kör A sokszög szögeinek összege Háromszögek szerkesztése, egybevágóság Háromszögek szerkesztése, egybevágósága Speciális négyszögek és sokszögek kerület, terület Sokszögek területe A kör kerülete A kör területe Algebra Fordítás az algebra nyelvére Algebrai alapfogalmak Egyenletek, egyenlőtlenségek Azonosság, egyenlet, szöveges feladatok gyakorlása hasáb, henger Ismerkedés a hengerrel, hasábbal Hasáb és henger felszíne Hasáb és henger térfogata HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Függvények fogalma, ábrázolása; lineáris függvények Sorozatok

4

5 háromszögek, sokszögek A sokszög szögeinek összege Készítették: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

6 6 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 1. FELADATLAP 1. rajzolj egy koordinátarendszert! Adott a B (1; 4) pont. Keress az x tengelyen két olyan rácspontot, melyek a B ponttal együtt a következő tulajdonságú háromszögeket határozzák meg: a) derékszögű; y 1 1 x b) egyenlőszárú derékszögű; y 1 1 x c) egyenlőszárú hegyesszögű; y 1 1 x

7 tanunlói munkafüzet A sokszög szögeinek összege 7 d) egyenlőszárú tompaszögű. y 1 1 x rajzolj mindegyikre egy-egy példát, használj különböző színeket! e) Hány megoldás van az egyes esetekben? Keress minél több megoldást! 2. a) Vágjatok ki átlátszó lapból 2-2 darabot a következő szögtartományokból: 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135. Építs belőlük háromszögeket a síkon! Keress minél több megoldást! Mely szögekből lehet, melyekből nem lehet háromszöget építeni? b) rajzoljatok a gömbre háromszögeket, majd mérjétek meg a belső és a külső szögeit! Mekkora lehet a gömbi háromszögek belső, illetve külső szögeinek az összege? 3. Szerkessz szabályos háromszöget, amelynek oldala 6 cm! Szerkeszd meg egyik szögének szögfelezőjét! Milyen alakzatra bontotta a szabályos háromszöget a szögfelező egyenese? Mekkorák ennek az alakzatnak a szögei, illetve az oldalai? Hasonlítsd össze a háromszög szögeinek és a velük szemben lévő oldalak nagyságát! 4. Szerkeszd meg a háromszöget, és számítsd ki a hiányzó belső és külső szögeit! a) A háromszög egyik oldala 5 cm, a rajta lévő két szög 30 és 75. b) Az egyenlőszárú derékszögű háromszög átfogója 6 cm. 5. Szerkeszthető-e háromszög az alábbi adatokból? Ha az adatok alapján nem tudod eldönteni, rajzold meg a háromszöget! a) A háromszög két belső szöge 65 és 120. b) A háromszög két külső szöge 90. c) A háromszög oldalai 4 cm, 5 cm, 8 cm. d) A háromszög oldalai 3 cm, 4 cm, 7 cm. e) A háromszög oldalai 4 cm, 5 cm, 10 cm.

8 8 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 2. FELADATLAP 1. Egybevágó háromszögekből próbáljatok egyszeres sávot (az alkotó háromszögek mindegyike eléri a sávot határoló mindkét egyenest) kirakni! Jelöljétek különböző színnel a háromszög három oldalát, és szögeit, a szemközti oldalt és szöget azonos színnel! Ismételjétek meg a kísérletet más típusú háromszöggel is! Magyarázzátok meg a tapasztaltakat! 2. Figyeljétek meg az általatok kirakott sávon, milyen összefüggés van a háromszög belső és külső szögei között! Írjátok le az összefüggéseket, majd ezek segítségével határozzátok meg a háromszögek külső szögeinek az összegét! Bizonyítsátok be a megfigyelt összefüggéseket! EMLÉKEZTETŐ A háromszög belső és külső szögei A háromszög szögeit (α, β, γ)belső szögeknek nevezzük. A háromszög belső szögeinek összege 180. A háromszög külső szögének nevezzük azt a szöget, amely a háromszög belső szögét 180 -ra egészíti ki. α = 180 α β = 180 β γ = 180 γ ÁLLÍTÁS: Kapcsolat a háromszög oldalai között: háromszög-egyenlőtlenség A háromszög bármely két oldalának összege mindig nagyobb, mint a harmadik oldal. BIZONYÍTÁS: Két pont között a legrövidebb út a két pontot összekötő szakasz. Ezért C AC + CB > AB b + a > c AC + AB > BC b + c > a AB + BC > AC c + a > b b a A c B ÁLLÍTÁS: A háromszög belső szögeinek összege 180 BIZONYÍTÁS: A párhuzamos szárú szögek tulajdonságait felhasználva bizonyíthatjuk az állítást. Húzzunk a C csúcson áthaladó, az AB oldal egyenesével párhuzamos egyenest! Az α és δ fordított állású szögpárt alkot, ezért α = δ A β és az ε is fordított állású szögpár, ezért β = ε A C csúcsnál lévő három szög együtt egyenesszöget alkot, ezért δ + γ + ε = 180 Mivel α = δ és β = ε ezért α + γ + β = 180 Tehát az állítás igaz, a belső szögek összege 180.

9 tanunlói munkafüzet A sokszög szögeinek összege 9 ÁLLÍTÁS: Kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között A háromszögben bármely két szög összege egyenlő a harmadikkal szomszédos külső szöggel: α = β + γ β = α + γ γ = α + β BIZONYÍTÁS: Az γ és η fordított állású szögpárt alkot, ezért γ = η. Az α és a δ egyállású szögek, ezért α = δ. Az ábráról leolvasható, hogy: β = η + δ. Mivel η = γ és δ = α, így β = α + γ. Tehát az állítás igaz, bármely külső szög egyenlő a szöggel nem szomszédos két belső szög összegével. Hasonlóan belátható, hogy α = β + γ és γ = α + β. ÁLLÍTÁS: A háromszög külső szögeinek az összege 360. BIZONYÍTÁS: Az előző két állítást alkalmazzuk a bizonyításban. α = β + γ β = α + γ γ = α + β α + β + γ = 180 α + β + γ = (β + γ) + (α + γ) + (α + β) = (α + β + γ) + (α + β + γ) = = 360 Tehát az állítás igaz, a háromszög külső szögeinek az összege 360. ÁLLÍTÁS: Kapcsolat a háromszög szögei és oldalai között Ugyanabban a háromszögben az egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak, a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van, mint a rövidebb oldallal szemben. Ha két háromszögben két-két oldal egyenlő, akkor abban a háromszögben nagyobb a harmadik oldal, amelyikben a két oldal által bezárt szög nagyobb. BIZONYÍTÁS (szemléletesen):

10 10 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 3. FELADATLAP 1. Határozd meg a háromszög hiányzó szögeit, ha a) egy belső szöge 48 és egy külső szöge 105 ; b) van egy 36 -os és egy 126 -os szöge; 2. Mekkorák az egyenlőszárú háromszög szögei, ha az egyik külső szöge a) 55 b) 90 c) Egy háromszög belső szöge háromszorosa a hozzá tartozó külső szögnek. Hány fokos ez a szög? 4. Számítsd ki az egyenlőszárú háromszög ismeretlen külső és belső szögeit, ha egyik külső vagy belső szöge 64! 4. FELADATLAP 1. Jelöld ki az alábbi sokszögek egy csúcsát, és rajzold meg az ebből a csúcsból kiinduló átlókat! Hány átló húzható egy csúcsból az egyes esetekben? Hány háromszögre bontottad így a sokszögeket? Számítsd ki a sokszögek belső szögeinek az összegét! Egy csúcsból húzható átlók száma Háromszögek száma Belső szögek összege Külső szögek összege Összes átló száma NÉGYSZÖG ÖTSZÖG HATSZÖG HÉTSZÖG NYOLCSZÖG

11 tanunlói munkafüzet A sokszög szögeinek összege Válaszd ki az 1. feladat egyik sokszögét! Jelöld be a külső szögeit! Milyen összefüggés van a külső szög és a mellette lévő belső szög között? Határozd meg a külső szögek összegét! Mennyi a többi sokszög külső szögeinek az összege? 3. a) Határozd meg az alábbi szabályos sokszögek belső, illetve külső szögeinek a nagyságát! Mit gondolsz, mennyi lehet az n oldalszámú szabályos sokszög szögeinek nagysága? b) Vizsgáld meg, hogy lehet-e kört rajzolni a sokszögek köré (a körvonal áthalad a sokszög csúcsain)! Hogy nevezzük az ilyen sokszögeket? Hogyan tudnád kijelölni a kör középpontját? c) Kösd össze a kör középpontját a sokszög csúcsaival! Hogy nevezzük az így létrejött szögeket? Határozd meg ezeknek a szögeknek a nagyságát! 4. Mutasd meg, hogy bármely konvex sokszög külső szögeinek összege 360! összegzés ÁLLÍTÁS: A konvex négyszög belső szögeinek összege 360. BIZONYÍTÁS: Minden konvex négyszöget egy átlója két háromszögre bont, amely háromszögek belső szögei alkotják a négyszög belső szögeit. Ebből következik, hogy a konvex négyszög belső szögeinek összege 360.

12 12 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet ÁLLÍTÁS: Konvex négyszög külső szögeinek összege 360. BIZONYÍTÁS: a + a = 180 b + b = 180 g + g = 180 d + d = 180 A külső szög a mellette fekvő belső szög kiegészítő szöge. a = 180 a b = 180 b g = 180 g d = 180 d a + b + g + d = (a + b + g + d ) = = 360 ÁLLÍTÁS: Tetszőleges n oldalú konvex sokszög az átlóinak száma: n (n 3) 2 BIZONYÍTÁS: Tetszőleges n oldalú konvex sokszög esetén egy csúcsból n 3 átló húzható, mivel önmagába nem húzható átló, a két szomszédos csúccsal pedig nem átló, hanem oldal köti össze. Minden csúcsból n 3 átló húzható, ezeket összegezve az eredmény n (n 3). Minden átlót kétszer vettünk figyelembe, ezért az átlók száma n (n 3) 2 ÁLLÍTÁS: Az n oldalú sokszög belső szögeinek összege (n 2) 180. BIZONYÍTÁS: Az n oldalú sokszöget az egy csúcsból húzható átlói segítségével (n 2) darab háromszögre bonthatjuk. A háromszögek belső szögeinek az összege, a sokszög belső szögeinek az összegével egyenlő, ezért a sokszög belső szögeinek összege (n 2) 180 D E C A B A sokszögek konvex belső szögét 180 -ra kiegészítő szöget a négyszög külső szögének nevezzük. Külső szöget csak konvex négyszög esetében értelmezünk.

13 tanunlói munkafüzet A sokszög szögeinek összege 13 ÁLLÍTÁS: Bármely sokszög külső szögeinek az összege 360. BIZONYÍTÁS: Az állítást konvex ötszögre igazoljuk. e e d d g g a = 180 a b = 180 b g = 180 g d = 180 d e = 180 e a + b + g + d + e = = (a + b + g + d + e) = = = = 360 a a b b Több oldalú sokszögre hasonlóan bizonyítható az állítás. Szabályos sokszögek A szabályos sokszögek minden oldala és minden szöge egyenlő. A páros oldalszámú szabályos sokszögek középpontosan és tengelyesen is szimmetrikusak. Minden szabályos sokszög a középpontból egybevágó, egyenlőszárú háromszögekre bontható. A páratlan oldalszámú szabályos sokszögek tengelyesen szimmetrikusak, középpontosan nem. A szabályos sokszög minden belső szöge egyenlő, ezért a szabályos sokszög belső szögeinek a nagysága (n 2) 180 n Minden szabályos sokszög konvex síkidom. Minden külső szöge egyenlő, ezért a szabályos sokszög külső szögeinek a nagysága 360 n

14 14 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 5. FELADATLAP 1. Számítsd ki a sokszögek hiányzó belső és külső szögeit! a) A háromszög egyik belső szöge 20, a nem mellette lévő egyik külső szög 50. Milyen háromszög ez? b) A háromszögnek két külső szöge 110. Milyen háromszög ez? c) A rombusz egyik belső szöge 124. d) A paralelogramma egyik szöge e) A húrtrapéz egyik szöge 10 -kal nagyobb a másik szögnél. d) Szabályos tízszög. 2. A tengelyesen szimmetrikus ötszög 76 -os belső szögét a szimmetriatengely felezi. Mekkorák az ötszög belső szögei, ha az említett szöggel szomszédos szög nagysága 110? Mekkorák a hatszög belső szögei, ha arányuk 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6? FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Határozd meg a négyszögek és háromszögek ismeretlen külső és belső szögeit! a) rombusz b) deltoid c) húrtrapéz

15 tanunlói munkafüzet A sokszög szögeinek összege 15 d) háromszög e) derékszögű háromszög f) szimmetrikus háromszög Mekkorák annak a tükrös háromszögnek a szögei, melynek egyik szöge a) 60 b) 122 c) 36? 3. Egy derékszögű háromszög két hegyesszögének aránya 2 : 3. Mekkorák a szögei? 4. Egy derékszögű háromszög egyik szöge kétszerese egy másik szögének. Mekkorák lehetnek a háromszög szögei? 5. Mekkorák annak az egyenlő szárú háromszögnek a szögei, melynek egyik külső szöge a) 20 b) 160? 6. Számítsd ki a háromszög szögeit, ha belső szögeinek aránya 2 : 3 : 7! 7. Számítsd ki a paralelogramma szögeit, ha belső szögeinek aránya 2 : 6 : 2 : 6! 8. Számítsd ki a trapéz szögeit, ha belső szögeinek aránya 4 : 6 : 6 : 8! 9. Milyen négyszögről van szó, ha belső szögeinek aránya 6 : 9 : 6 : 9? Számítsd ki a szögeit! 10. Milyen négyszögről van szó, ha belső szögeinek aránya 1 : 4 : 2 : 3? Számítsd ki a szögeit! 11. Döntsd el, konvex vagy konkáv-e az a négyszög, amelyben a belső szögek aránya a) 4 : 5 : 6 : 9; b) 1 : 2 : 5 : 12; c) 2 : 7 : 9 : 12. Számítsd ki a belső szögeket!

16 16 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 12. Hány átlója van egy konvex sokszögnek, és mennyi a belső szögeinek összege, ha a csúcsainak száma: 7, 9, 15, 100? csúcsok száma átlók száma szögösszeg 13. Hány oldalú az a konvex sokszög, amelynek ötször annyi átlója van, mint ahány oldala? 14. Mutasd meg, hogy a szabályos sokszög külső szöge egyenlő a középponti szögével! 15. Mekkorák a szabályos sokszög szögei, ha oldalainak száma: 4, 5, 6, 7, 10, 20, 100? 16. Hány oldalú az a konvex sokszög, amelyben az egy csúcsból húzható átlók száma 5; 8; 20;100? 17. Hány oldalú az a konvex sokszög, melyben a külső szögek összege a belső szögek összegének a harmada? 18. Hány oldalú az a szabályos sokszög, melyről tudjuk, hogy a) középponti szöge 36 ; b) külső szöge 36 ; c) belső szögeinek összege 3780 ; d) annyi átlója van, ahány oldala; e) külső és belső szögeinek összege egyenlő? 19. Töltsd ki a táblázatot! A szabályos sokszög oldalainak száma középponti szöge 30 a felépítő tükrös háromszög alapon fekvő szöge 67,5 egy belső szöge 156 egy külső szöge 20 belső szögeinek összege 720 egy csúcsból húzható átlók száma 6 összes átlójának száma

17 háromszögek, sokszögek Háromszögek szerkesztése, egybevágóság Készítették: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

18 18 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet TUDNIVALÓ Az euklideszi szerkesztés lépései 1. Két pont összekötő egyenesét megrajzolhatjuk vonalzóval. A B 2. Két adott pont távolságát körzőnyílásba vehetjük. B A 3. Adott pont körül adott körzőnyílással kört rajzolhatunk. P 4. Két metsző egyenes metszéspontját megkereshetjük. e f 5. Ha egy kör és egy egyenes metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük. 6. Ha két kör metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük.

19 tanunlói munkafüzet Háromszögek szerkesztése, egybevágóság FELADATLAP A táblázat sorai egy-egy feladatot tartalmaznak, a csillag jelzi, hogy a háromszögnek melyik adatát használhatod fel a szerkesztés során. Minden esetben végezd el a szerkesztést a füzetedben, az adatok az óra elején kapott háromszögre vonatkoznak. Mérőeszközként a körződet, és a vonalzód egy élét használhatod! A megszerkesztett háromszöget másolópapír segítségével hasonlítsd össze az eredeti háromszöggel! Tapasztalatodat a táblázat utolsó oszlopában rögzítsd! adat a (>) b c a b g tapasztalat 1. * * * 2. * * * 3. * * * 4. * * * 5. * * * 6. * * * 7. * * * 8. * * * a) hegyesszögű b) derékszögű c) tompaszögű 4 cm 6 cm 3 cm 5 cm 7 cm 5 cm 5 cm 4 cm 3 cm

20 20 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet összegzés A szerkesztés menete Először készíts színes vázlatot az elemzéshez! Jelöld a vázlaton pirossal azokat az adatokat, melyeket a szöveg megadott, majd sárgával azokat, melyeket ismereteink segítségével mi kikövetkeztetünk, és a szerkesztésben fel fogunk használni! Jelöld a szerkesztés lépéseinek sorrendjét a vázlaton, és írd is le a lépéseket szavakkal! I. Adott egy oldal és a rajta fekvő két szög Adatok összefüggések a = β = γ = Vázlat A szerkesztés lépései 1. Felveszem az adott hosszúságú szakaszt. 2. A szakasz egyik végpontjához megszerkesztem a β, a másik végpontjához a γ szöget. 3. A két szögszár metszéspontja lesz a háromszög harmadik csúcsa. II. Adott egy oldal és a két szög, az egyik az oldalon fekvő szög (γ vagy β), a másik az oldallal szemközti szög (α). a) Adatok összefüggések a = a + b + g = 180 a = b = 180 (a + g) b =

21 tanunlói munkafüzet Háromszögek szerkesztése, egybevágóság 21 Vázlat A szerkesztés lépései 1. Felveszem az adott hosszúságú szakaszt. 2. A szakasz egyik végpontjához megszerkesztem a β, a másik végpontjához a γ szöget. 3. A két szögszár metszéspontja lesz a háromszög harmadik csúcsa. b) Adatok összefüggések a = a + b + g = 180 a = g = 180 (a + b) b = Vázlat A szerkesztés lépései Megegyezik az a) feladat szerkesztés lépéseivel. 2. FELADATLAP 1. Megszerkeszthető-e egyértelműen a háromszög, ha adott a) három szöge? b) három oldala? c) egyik oldala és két szöge? d) egyik oldala és egy szöge? e) két oldala és egy szöge? f) két oldala és az egyik oldalhoz tartozó magasság?

22 22 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 2. Megszerkeszthető-e egyértelműen a derékszögű háromszög, ha adott a) a két befogója; b) az egyik befogója és az átfogója; c) egy szöge és egy oldala; d) az egyik befogója és legnagyobb szögének szögfelezője; e) az egyik befogója és a hozzátartozó súlyvonala; f) az egyik befogója és a háromszög köré írható kör középpontja? 3. Megszerkeszthető-e egyértelműen a tükrös háromszög, ha adott a) az alapja és a szára? b) az alapon fekvő szöge? c) az alapja és az alapon fekvő szöge? d) az alapja 5 cm és a szárszöge? e) az alapja és az alaphoz tartozó magassága? f) a szára és a szárhoz tartozó magassága? g) a szára és a szárszög szögfelezője? ÖSSZEGZÉS A háromszög egybevágóságának alapesetei Két alakzat egybevágó, ha pontosan fedésbe hozhatók. Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként megegyeznek. Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és az általuk közbezárt szög megegyezik. Két háromszög egybevágó, ha egyik oldaluk és az azon fekvő két szög megegyezik.

23 tanunlói munkafüzet Háromszögek szerkesztése, egybevágóság 23 Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik. Háromszögek szerkeszthetősége A háromszögszerkesztés egyértelmű, ha a megadott adatokból szerkesztett minden háromszög egybevágó. Egyértelműen megszerkeszthető a háromszög, ha adott a három oldala. Egyértelműen megszerkeszthető a háromszög, ha adott két oldala és a közbezárt szög. Egyértelműen megszerkeszthető a háromszög, ha adott valamelyik oldala és az azon levő két szöge. Egyértelműen megszerkeszthető a háromszög, ha adott két oldala és a nagyobbik oldallal szemközti szög. Nem szerkeszthető meg egyértelműen a háromszög, ha csak a három szöge adott, illetve akkor, ha két oldalát és a kisebbikkel szemközti szögét ismerjük. A megadott adatok: α, β, γ a, b, α 3. FELADATLAP 1. Ismerjük az ABC háromszög szögeit és oldalait. Szerkeszthetünk-e ugyanilyen háromszöget, ha tetszőlegesen választunk ki az adatokból hármat? Végezzétek el a szerkesztéseket, ha a következő három adatot választjuk ki! a = 6 cm α = 75 a) a, b, c; b = 5,5 cm β = 60 b) a, b, α; c = 4,5 cm γ = 45 c) a, b, β; d) a, b, γ; e) a, β, γ; f) α, β, γ. A következő szerkesztési feladatokat a megadott minta szerint végezd el!

24 24 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 2. Szerkessz szimmetrikus háromszöget, ha alapja 5,5 cm, az alapon lévő szöge 45! Adatok Összefüggések a = 5,5 cm β = γ = 45 β = 45 Vázlat A szerkesztés lépései 1. Felveszem az a oldalt. 2. Az a oldalra B csúccsal megszerkesztem a β szöget. 3. Az a oldalra C csúccsal megszerkesztem a γ szöget. 4. A két szögszár metszéspontja adja az A csúcsot. 3. Szerkessz szimmetrikus háromszöget, ha alapja 5 cm, a szárszöge 60! Adatok Összefüggések a = 5 cm β = γ = (180 α) : 2 = 60 α = 60 Vázlat A szerkesztés lépései Megegyezik a 2. feladat szerkesztés lépéseivel. 4. Szerkessz háromszöget a következő adatokból! a) A háromszög oldalai: 6 cm, 8 cm és 10 cm; b) A háromszög két oldala 6 cm és 4 cm, az általuk közbezárt szög 75 ; c) A háromszög egyik oldala 5,5 cm, a rajta lévő két szög 30 és 90 ; d) A háromszög két oldala 6 cm és 4,5 cm, a nagyobbikkal szemközti szög Szerkeszd meg a háromszöget, ha oldalai 3 cm, 5 cm és 6 cm! Szerkeszd meg az oldalak felezőpontját, majd kösd össze ezeket a felezőpontokat! Hasonlítsd össze az így kapott háromszög oldalait az eredeti háromszög oldalaival! 6. Szerkessz háromszög szerkeszthető, ha a háromszög két oldala 5 cm illetve 6 cm, az 5 cm-es oldalon fekvő egyik szög 30! 7. Egy háromszög egyik oldala 8 cm, a másik oldal ennek 75 %-a, a harmadik oldal a másodiknak a kétharmad része. Szerkeszd meg a háromszöget! Melyik oldallal szemközt található a legkisebb szög?

25 tanunlói munkafüzet Háromszögek szerkesztése, egybevágóság 25 FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Megszerkeszthető-e egyértelműen a háromszög, ha a) szögei 40, 65 és 75? b) oldalai 4 cm, 6 cm és 6,5 cm? c) egyik oldala 5,3 cm és két szöge 45 és 60? d) egyik oldala 4 cm és van egy 80 -os szöge? e) két oldala 3 cm és 4,5 cm, és van 30 -os szöge? f) egyik oldala 5 cm, a rajtalevő egyik szög 75 és az 5 cm-es oldalhoz tartozó magasság 4 cm? 2. Szerkeszd meg az 1. feladatban megadott háromszögek közül azokat, amelyek egyértelműen megszerkeszthetők! 3. Megszerkeszthető-e egyértelműen a tükrös háromszög, ha a) alapja 4 cm, szára 5 cm? b) alapon fekvő szöge 60? c) alapja 6 cm és alapon fekvő szöge 45? d) alapja 5 cm és szárszöge 105? e) alapja 3,8 cm és az alaphoz tartozó magasság 5 cm? f) szára 8 cm és a szárhoz tartozó magasság 5 cm? 4. Szerkeszd meg az 5. feladatban megadott háromszögek közül azokat, amelyek egyértelműen megszerkeszthetők! A következő feladatokban (1 5.) szerkessz háromszöget a megadott oldalak és szögek ismeretében! A szerkesztéseket az itt látható vázlat jelöléseinek megfelelően végezd! Minden feladatban vizsgáld meg, hányféle háromszög szerkeszthető? VÁZLAT: 5. a) a = 6 cm, b = 7 cm, c = 8 cm b) a = 5 cm, b = 7 cm, c = 7 cm c) a = 6 cm, b = 7 cm, c = 5 cm d) a = 3 cm, b = 7 cm, c = 4 cm 6. a) két oldala 4 cm-es b) két oldala 5 cm-es, illetve 2 cm es c) egyenlőszárú és van 3 cm, illetve 5 cm-es oldala d) egyenlőszárú és van 3 cm, illetve 6 cm-es oldala

26 26 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 7. a) a = 5 cm, b = 4 cm, g = 45 b) a = 5 cm, b = 7 cm, g = 120 c) a = 5 cm, b = 7 cm, g = 135 d) a = 5 cm, b = 7 cm, g = k 22,5 (a k egész számot jelöl, keresd meg az összes megoldást, és egy ábrán végezd el a szerkesztést!) 8. a) a = 5 cm, b = 4 cm, a = 45 b) a = 5 cm, b = 4 cm, b = a) a = 5 cm, a = 45, b = 60 b) a = 5 cm, a = 45, g = 60 c) a = 5 cm, g = 45, b = a) a = 75, b = 60, g = 45 b) a = 75, b = 60, g = 120 A következő feladatokban (6 8.) el kell döntened két háromszögről, hogy egybevágóak-e, ha az itt mondott adataikban megegyeznek. Válaszaidat indokold! 11. Egybevágó-e két szabályos háromszög, ha páronként egyenlők a) szögeik; b) oldalaik? 12. Az alábbi háromszögekről döntsd el, hogy egybevágóak-e? a) b) cm 6 cm cm 5 cm 5 cm 5 cm c) d) 5 cm 4 cm 4 cm 5 cm 5 cm 62 6 cm cm 4,5 cm 4,5 cm 6 cm

27 tanunlói munkafüzet Háromszögek szerkesztése, egybevágóság Egybevágó-e két egyenlőszárú háromszög, ha páronként egyenlő a) alapjuk és száruk b) két oldaluk c) alapjuk és alapon fekvő szögük d) alapjuk és szárszögük e) alapjuk és egy szögük f) alapjuk és két szögük g) száruk és az alapon fekvő szögük? 14. rajzolj egy 5 cm-es szakaszt, jelöld a végpontjait A-val, B-vel! Szerkessz legalább 6 db olyan derékszögű háromszöget, melynek ez a szakasz az átfogója! Hol helyezkedhetnek el a háromszögek C csúcsai? a) Jelöld kékkel azokat a C csúcsokat, melyekhez tartozó háromszög egyik befogója 4 cm! b) Jelöld zölddel azokat a C csúcsokat, melyekhez tartozó háromszög egyenlőszárú! c) Jelöld pirossal azokat a C csúcsokat, melyekre a háromszögnek van 60 -os szöge! 15. rajzolj egy 3 cm-es szakaszt, jelöld a végpontjait A-val és B-vel! Szerkeszd meg az összes olyan C pontot, melyekre az ABC háromszög egyenlő szárú! a) Jelöld pirossal azokat, melyekhez tartozó háromszögben az AB oldal az alap! b) Jelöld zölddel azokat, melyekhez tartozó háromszögben az AC oldal az alap! c) Jelöld kékkel azokat, melyekhez tartozó háromszögben a BC oldal az alap!

28

29 háromszögek, sokszögek Speciális négyszögek és sokszögek Készítették: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

30 30 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet EMLÉKEZTETŐ A négyszögeknek négy oldaluk és négy szögük van. Egy négyszög lehet konvex vagy konkáv A négyszögek belső szögeinek összege 360, külső szögeinek összege szintén 360. A trapéz olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja. A párhuzamos oldalakat alapoknak, a másik két oldalt száraknak nevezzük. Az alapok távolsága, a trapéz magassága. D C d g AB DC m a + d = 180 b + g = 180 a b A B A tengelyesen szimmetrikus trapéz a húrtrapéz. A középpontosan szimmetrikus trapéz a paralelogramma. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek a szemközti oldalai párhuzamosak. A szemközti oldalak egyenlők. c a = c b = d A szemben lévő szögek egyenlők. α = γ β = δ A szomszédos szögek összege 180. α + β = γ + δ = 180 Az átlók felezik egymást. d d a b a g b A téglalap egyenlő szögű paralelogramma. A rombusz egyenlő oldalú paralelogramma. A négyzet szabályos négyszög.

31 tanunlói munkafüzet Speciális négyszögek és sokszögek 31 A deltoid olyan négyszög, amelynek van csúcson átmenő szimmetriatengelye. Két-két szomszédos oldala egyenlő. AD = DC és AB = BC Két szöge egyenlő. a = g A szimmetriaátló egyenese merőlegesen felezi a másik átlót. DB AC és AE = EC A szimmetriaátló egyenese felezi a két szöget, amelyen áthalad. Speciális négyszögek A speciális négyszögek szimmetria tulajdonságai: A speciális négyszögek minden fontos tulajdonságát kiolvashatjuk a szimmetriájukból. Deltoid: Van egy szimmetria tengelye, ami átló. Húrtrapéz: Van egy szimmetria tengelye, ami két szemközti oldal felezőmerőlegese. Paralelogramma: Van egy szimmetria középpontja, ami az átlók metszéspontja. Rombusz: Tengelyesen szimmetrikus mindkét átlójára, és középpontosan szimmetrikus ezek metszéspontjára. A rombusz egyszerre deltoid és paralelogramma. Téglalap: Tengelyesen szimmetrikus két-két szemközti oldal felezőmerőlegesére, és középpontosan szimmetrikus ezek metszéspontjára. Egyszerre húrtrapéz és paralelogramma. Négyzet: Szimmetrikus a két-két átlójára, két oldal felezőmerőlegesére, és középpontosan szimmetrikus ezek metszéspontjára. Egyszerre rombusz és téglalap. a D B t d E b g C A a D b B t d g C 1. FELADATLAP 1. Legkevesebb hány szög ismerete elegendő, hogy megadd egy négyszög összes szögét? Válaszolj minden speciális négyszög esetében! 2. Két-két db áll rendelkezésedre a következő szögtartományokból: 135, 120, 90, 60, 45. Építs belőlük speciális négyszögeket! Milyet lehet, hogyan; milyet nem lehet? 3. Az alábbi esetekben döntsétek el elegendőek-e az adatok a megadott alakzat megszerkesztéséhez! a) A négyzet oldala 6 cm. b) A téglalap egyik oldala 7 cm, egyik szöge 90. c) A szimmetrikus háromszög alapja 4 cm, szára 5 cm. d) A paralelogramma oldalai 5 cm és 3 cm, egyik szöge 100. e) A rombusz oldala 3,5 dm. Hány adat szükséges legalább, illetve legfeljebb egy háromszög valamint egy négyszög megszerkesztéséhez? 4. Hány adat szükséges legalább, illetve legfeljebb egy háromszög, valamint egy négyszög megszerkesztéséhez? Gondoljátok végig, mely adatok birtokában lehet valóban megszerkeszteni a) a téglalapot; b) a négyzetet; c) a rombuszt; d) a paralelogrammát?

32 32 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 2. FELADATLAP 1. Szerkessz húrtrapézt, melynek egyik alapja 5 cm, van 60 -os szöge, és szára 3 cm! Először készíts színes vázlatot az elemzéshez! Jelöld a vázlaton pirossal azokat az adatokat, melyeket a szöveg megadott, majd sárgával azokat, melyeket ismereteink segítségével mi kikövetkeztetünk, és a szerkesztésben fel fogunk használni! Jelöld a szerkesztés lépéseinek sorrendjét a vázlaton, és írd is le a lépéseket szavakkal. Adatok Összefüggések AB = 5 cm A húrtrapéz alapon fekvő két-két szöge egyenlő. a = 60 A trapéz egy száron fekvő szögeinek összege 180. AD = BC = 3 cm Vázlat I. A szerkesztés lépései 1. Felvesszük az AB oldalt (5 cm). 2. Megszerkesztjük a 60 -os szöget, A illetve B csúccsal. 3. A szögszárakra felmérem az AD illetve BC oldal hosszát (3 3 cm). 4. Összekötjük a CD pontokat. A szerkesztés menete II. A szerkesztés menete megegyezik a I.-ben leírtakkal, annyi különbséggel, hogy a 2. lépésben 120 -os szöget mérünk fel az AB szakasz két végpontjába.

33 tanunlói munkafüzet Speciális négyszögek és sokszögek Szerkessz paralelogrammát, melynek egyik oldala 6cm, területe 18 cm 2, és hegyesszöge 45 -os! (adatok, összefüggések, vázlat, a szerkesztés lépései, a szerkesztés végrehajtása) 3. Szerkessz trapézt, egyik alapja 5 cm, magassága 3cm, szárai 4cm hosszúak! (adatok, összefüggések, vázlat, a szerkesztés lépései, a szerkesztés végrehajtása) 3. FELADATLAP 1. Szerkessz szimmetrikus trapézt, amelynek a) egyik alapja 7 cm, szára 4 cm, az ezek által bezárt szög 60! Szerkeszd meg a körülírt körét! b) Szerkessz egy négyzetet, amelynek oldala 4 cm! Szerkeszd meg a négyzet beírt körét! c) Szerkessz egy 3 cm sugarú kör köré négyzetet! 2. Szerkessz trapézt, melynek egyik alapja 6 cm, szárai 4 cm, az általuk bezárt szög 60! a) Szerkeszd meg az egyik szárának felezőpontját, majd tükrözd erre a pontra a trapézt! Milyen alakzatot határoz meg az eredeti trapéz és a tükörképe? Mekkorák ennek az alakzatnak az oldalai? b) rajzolj a tükörközépponton átmenő, a trapéz alapjaival párhuzamos egyenest! Milyen hosszú annak a szakasznak a hossza, amelyet az eredeti trapéz metsz ki a párhuzamos egyenesből? 3. Szerkessz deltoidot, ha a) egyik oldala 5 cm, az ezen lévő két szög 120 illetve 45! b) szimmetriaátlója 8 cm, a másik átló 6 cm, egyik oldala 45 mm! 4. Szerkessz húrtrapézt, amelynek a) alapja 9 cm, szára 4 cm, átlója 8 cm b) alapjai 5 cm és 3 cm, szára 4 cm. 5. Szerkessz rombuszt, amelynek a) átlói 6 cm és 4 cm. b) oldala 55 mm, egyik szöge 70 c) rövidebbik átlója 5 cm, egyik szöge 105!

34 34 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet TUDNIVALÓ A sokszögek nevezetes körei A konvex négyszög oldalfelező merőlegesei és a négyszög köré írt köre Ha a konvex négyszög oldalfelező merőlegesei egy ponton mennek át, akkor ez a pont a négyszög köré írt körének a középpontja. Húrnégyszögeknek nevezzük azokat a négyszögeket, amelyeknek van köré írt körük. A konvex négyszög belső szögfelezői és a négyszög beírt köre Ha a konvex négyszög belső szögfelezői egy ponton mennek át, akkor ez a pont a négyszög beírt körének középpontja. Érintőnégyszögeknek nevezzük azokat a négyszögeket, amelyeknek van beírt körük. Hasonlóan beszélhetünk húrsokszögekről és érintősokszögekről. A szabályos sokszögeknek van köré írt és beírt köre is. A trapéz középvonala A trapéz két szárának felezőpontját összekötő szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük. A középvonal párhuzamos az alapokkal, hosszúsága a két alap hosszának számtani közepe. C a k F F 2 1 k F 1 k = a+c 2 a C

35 tanunlói munkafüzet Speciális négyszögek és sokszögek 35 FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Mely négyszögekre igazak a következő tulajdonságok? A: trapézok B: szimmetrikus trapézok C: paralelogrammák D: téglalapok E: rombuszok F: négyzetek G: deltoidok a) Tengelyesen szimmetrikusak b) Középpontosan szimmetrikusak. c) Van két egyenlő oldaluk. d) Van két egyenlő szögük. e) Minden oldaluk egyenlő. f) Minden szögük egyenlő. g) Van csúcson átmenő szimmetriatengelyük. h) Két szomszédos szögük egyenlő. i) Két szemközti szögük egyenlő. j) Van két párhuzamos oldal párjuk. k) Két szomszédos szögük 180 -ra egészíti ki egymást. l) Átlóik merőlegesek egymásra. m) Átlóik felezik egymást. 2. rajzold meg egy szimmetrikus trapéz, egy paralelogramma és egy nem szimmetrikus trapéz egyik átlóját! Van-e a keletkezett két-két háromszög között egybevágó? 3. Melyik fajta négyszögre igaz, hogy az egyik átlója két egybevágó háromszögre bontja? Válaszodat indokold! 4. Melyik fajta négyszögre igaz, hogy a két átlója két-két egybevágó háromszögre bontja? Válaszodat indokold! 5. Melyik fajta négyszögre igaz, hogy a két átlója négy egybevágó háromszögre bontja? Válaszodat indokold! 6. Szerkessz rombuszt az alábbi adatok felhasználásával! Készíts színes vázlatot az adatok elemzéséhez, és szerkesztési vázlatot is! Minden esetben vizsgáld meg a megoldások számát! a) Oldala 4 cm, hegyesszöge 45º; b) Oldala 5 cm, magassága 4 cm; c) Oldala 5 cm, magassága 5 cm; d) Oldala 4 cm, magassága 5 cm; e) Oldala 5 cm, egyik átlója 7 cm; f) Átlói 5, illetve 6 cm hosszúak.

36 36 matematika A 7. évfolyam 075. sokszögek, kör tanulói munkafüzet 7. Szerkessz trapézt! Tudod róla, hogy a) húrtrapéz, és alapja 8 cm, átlója 6,8 cm, magassága 4,5 cm; b) húrtrapéz, melynek három oldala 5 cm, egyik szöge 75 ; c) derékszögű trapéz, melynek alapjai 4 cm, ill. 6 cm, egyik átlója 7 cm; d) egyik szöge 60 -os, az ezt kettészelő átlója 8 cm, alapja 5 cm; e) 5 cm-es alapján fekvő két szöge 60 és 75, magassága 3 cm; f) egyik alapja 3cm, átlói 5 és 6 cm-esek, magassága 3,5 cm; g) egyik alapja 5 cm, magassága 3 cm, szárai 4 és 5 cm-esek; h) egyik alapja 5 cm, magassága 3 cm, szárai 4 és 3,5 cm-esek; i) két alapja 5 és 3 cm, két átlója 4 és 5 cm; j) két átlója 5 és 6 cm, átlóinak szöge 60, egyik alapja 5,7 cm; k) alapjai 2 és 5 cm, az egyik átlója 4 cm, az átlók szöge Szerkessz deltoidot! Tudod róla, hogy a) két oldala 2,4 cm és 3,2 cm és a szimmetriaátlója 4 cm. b) két oldala 2,4 cm és 3,2 cm és a nem szimmetriaátlója 4 cm. 9. Szerkessz trapézt a következő adatokból! a) a b) m c a m d d a és c a trapéz alapjai, b és d a szárai; m a magassága; β az a és b oldal által bezárt szög b 10. Szerkessz paralelogrammát a következő adatokból! a b e f a g a a paralelogramma egyik oldala; e a hosszabb átló, f a rövidebb átló; α a paralelogramma egyik szöge, γ az átlók által bezárt szög.

37 tanunlói munkafüzet Speciális négyszögek és sokszögek Szerkessz deltoidot a következő adatokból! a b e f a b a, b a deltoid oldalai; e és f az átlói; β a két oldal által bezárt szög 12. Rajzold meg egy nem szimmetrikus trapéz, egy szimmetrikus trapéz, egy paralelogramma és egy téglalap oldalfelező merőlegeseit! Hány pontban metszik egymást az oldalfelező merőlegesek? Próbáld megindokolni tapasztalataidat! 13. Rajzold meg egy szimmetrikus trapéz, egy paralelogramma és egy rombusz szögfelezőit! Hány pontban metszik egymást a szögfelezők? a) Van-e olyan szimmetrikus trapéz, amelynek szögfelezői egy pontban metszik egymást? b) Van-e olyan nem szimmetrikus trapéz, amelynek szögfelezői egy pontban metszik egymást? 14. Rajzolj trapézt, amelynek átlója mindkét összekötött csúcsnál lévő szögre szögfelező is! 15. Rajzolj olyan trapézt, amelynek valamelyik oldalfelező merőlegese átmegy a trapéz valamelyik csúcsán, és párhuzamos valamelyik szárral! 16. Rajzolj olyan trapézt, amely középvonalának hossza a) egyenlő az egyik alapjával! b) egyenlő mindkét alapjával! 17. Lehet-e húrnégyszög a) egy konvex deltoid;. b) egy paralelogramma; c) egy téglalap; d) egy rombusz; e) egy konkáv deltoid? 18. Lehet-e érintőnégyszög a) egy konvex deltoid; b) egy paralelogramma; c) egy téglalap; d) egy rombusz; e) egy konkáv deltoid?

38

39 kerület, terület Sokszögek területe Készítette: vépy-benyhe judit

40 40 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet 1. feladatlap 1. Rajzolj a sávra négyszögeket úgy, hogy egy-egy oldala a két egyenesre illeszkedjék! Milyen négyszögeket kaptál? Az 1. feladatlap 2. feladatában lévő négyszögek közül melyeket lehet sávba rajzolni (két oldala illeszkedjen a sávot határoló egyenesekre)? És a 3. feladatlap 1. feladatának négyszögei közül?

41 tanunlói munkafüzet Sokszögek területe Darabolás segítségével állapítsd meg a sokszögek területét és hasonlítsd a piros téglalap (1. számú) területéhez! A sokszögek az 1. tanulói mellékletben szerepelnek

42 42 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet

43 tanunlói munkafüzet Sokszögek területe

44 44 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet

45 tanunlói munkafüzet Sokszögek területe 45 összegzés A paralelogramma magassága a) A paralelogramma magassága a paralelogramma párhuzamos oldalegyeneseinek távolsága. A magasságvonal merőleges a két szembenlévő oldalra. (Megj.: A magasságvonal haladhat a paralelogrammán kívül is. A paralelogramma magasságvonalát végtelen sok helyre szerkeszthetjük. Egy paralelogrammának két különböző magassága van, ezek a két szemközti oldalpárhoz tartoznak.) b m b m a a b) emlékeztető: A paralelogramma két sáv (sáv: két, egymással párhuzamos egyenessel határolt síkidom) közös része. A paralelogramma magassága a sávokat határoló párhuzamosok távolsága. m b b m a a m b m a 2. feladatlap 1. Rajzold meg az alábbi paralelogrammák magasságait derékszögű vonalzó segítségével!

46 46 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet 2. Szerkeszd meg az alábbi paralelogrammák magasságait! (Euklideszi szerkesztéssel!) összegzés A paralelogramma területe A paralelogrammát át tudjuk darabolni egy vele egyező területű téglalappá. m a m a a a A téglalap egyik oldala a paralelogramma egyik oldalával egyezik meg, másik oldala pedig a paralelogramma említett oldalához tartozó magasságával. T paralelogramma = T téglalap = a m a Egy paralelogramma területét tehát a következő képlettel tudjuk kiszámolni: T = a m a = b m b, ahol a, illetve b a paralelogramma egy-egy oldala, m a és m b a hozzájuk tartozó magasságok.

47 tanunlói munkafüzet Sokszögek területe feladatlap Egészítsd ki a síkidomokat téglalappá! Mekkora az alábbi síkidomok területe, ha egy négyzetrács a területegység? Írd alá vagy mellé!

48 48 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet összegzés A háromszög területe A háromszöget ki tudjuk egészíteni egy nála épp kétszer nagyobb területű téglalappá. m a m b b c mc m c m a a m b A téglalap egyik oldala a háromszög egyik oldalával egyezik meg, másik oldala pedig a háromszög említett oldalához tartozó magasságával. T háromszög = T téglalap : 2 = (a m a ) : 2 = a m a 2 Egy háromszög területét tehát a következő képlettel tudjuk kiszámolni: T = a m a 2 = b m b 2 = c m c 2 a hozzájuk tartozó magasság., ahol a illetve b a paralelogramma egy-egy oldala, m a és m b emlékeztető A deltoid területe A deltoidot ki tudjuk egészíteni egy nála épp kétszer nagyobb területű téglalappá. f e f e A téglalap egyik oldala a deltoid egyik átlójával egyezik meg, másik oldala pedig a deltoid másik átlójával. T deltoid = T téglalap : 2 = (e f) : 2 = e f 2

49 tanunlói munkafüzet Sokszögek területe 49 A konkáv deltoid területe felírható két közös alapú, egyenlő szárú háromszög területének különbségeként. A konkáv deltoid ugyancsak befoglalható egy olyan téglalapba, melynek oldalai a konkáv deltoid átlóinak hosszával egyenlők és területe kétszerese a deltoid területének, illetve átdarabolható egy, a deltoid területével megegyező területű téglalappá, melynek oldalai a deltoid szimmetriaátlójával és a másik átló hosszának felével egyenlők. 4. FELADATLAP 1. Szerkessz trapézt, melynek egyik alapja 6 cm, szárai 4 cm! Az említett alap mindkét szárral 60 -os szöget zár be. a) Szerkeszd meg az egyik szárának felezőpontját, majd tükrözd erre a pontra a trapézt! Milyen alakzatot határoz meg az eredeti trapéz és a tükörképe? Mekkorák ennek az alakzatnak az oldalai? b) rajzolj a tükörközépponton átmenő, a trapéz alapjaival párhuzamos egyenest! Milyen hosszú annak a szakasznak a hossza, amelyet az eredeti trapéz metsz ki a párhuzamos egyenesből? Hogy hívjuk ezt a szakaszt?

50 50 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet összegzés A trapéz középvonala A trapéz két szárának felezőpontját összekötő szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük. A középvonal párhuzamos az alapokkal, hosszúsága a két alap hosszának számtani közepe. C a k F F 2 1 k F 1 k = a+c 2 a C A trapéz területe c a m F (a + c) m 2 A paralelogramma egyik oldala a trapéz két alapjának összegével (a + c), a másik oldala a trapéz szárának hosszával egyezik meg. A paralelogramma és a trapéz magassága megegyezik. T paralelogramma = (a + c) m. A paralelogramma két egybevágó trapézból készült, ezért: T trapéz = (a + c) m 2 a c Szabályos sokszögek területe Szabályos páros oldalú sokszögek területét akarjuk meghatározni. Minden szabályos sokszögnél eljárhatunk úgy, hogy a sokszög köré írt kör középpontját összekötjük a sokszög csúcsaival, így egybevágó egyenlőszárú háromszögeket kapunk. Ezeket a háromszögeket egymás mellé rakhatjuk az ábra szerinti elrendezésben. Így egy paralelogrammát kapunk. m a K 2 m, ahol K a nyolcszög kerülete, ma a felosztáskor kapott háromszö- T szabályos nyolcszög = T paralelogramma = K 2 gek magassága.

51 tanunlói munkafüzet Sokszögek területe 51 feladatgyűjtemény 1. Mekkora a paralelogramma területe, ha a) a = 3 cm; m a = 2 cm b) b = 6 m; m b = 3,5 m c) egyik oldala 8,5 dm, a hozzá tartozó magasság 500 mm? 2. Egy paralelogramma egyik oldalának hossza 5 cm, ehhez az oldalához tartozó magassága 3,5 cm, másik oldala 4 cm. Szerkeszd meg a paralelogrammát! Mekkora a paralelogramma kerülete, területe? 3. Egy paralelogramma területe 44 dm 2. Mekkora az oldalának hossza, ha a hozzá tartozó magasság 40 cm? Létezik-e ilyen paralelogramma? 4. Szerkessz paralelogrammát, ha két oldala 5,4 cm és 6 cm, egyik szöge pedig 30! A szükséges adatok lemérése után számold ki a területét, kerületét! 5. Derékszögű koordináta-rendszerben egy paralelogramma 3 csúcsának koordinátái: ( 1; 3), ( 1; 5), (4; 5). Mi a negyedik pont koordinátája? Hány megoldás lehetséges? Minden esetben számold ki a kapott paralelogramma területét, ha a területegység a koordináta-rendszer egy egység oldalú négyzetrácsa! 6. Egy rombusz oldala 4 egység. Hány db ilyen rombuszt tudsz elképzelni? Ezek közül melyiknek a legnagyobb a területe? 7. Egy paralelogramma egyik oldala 6 cm, hozzá tartozó magassága 40 mm. Másik oldala 4,8 cm. Mekkora magasság tartozik ehhez az oldalhoz? 8. Egy rombusz két átlója 8 cm és 60 mm. Mekkora a területe? 9. Mekkora a háromszög területe, ha a) a = 5 cm; m a = 4 cm b) c = 7,4 m; m c = 6 m c) egyik oldala 7 dm, ehhez az oldalhoz tartozó magassága 41 cm? 10. Szerkeszd meg az alábbi háromszöget, és a szükséges adatok lemérése után számold ki a területét többféleképpen! a = 60 mm; b = 8 cm; c = 1 dm

52 52 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet 11. Párosítsd össze a háromszögeket azokkal a téglalapokkal, melyeket a kiegészítésükkel kaphatsz! Mi a háromszög és a hozzá tartozó téglalap területének aránya az egyes esetekben? 12. Szerkeszd meg az alábbi háromszöget, és a szükséges adatok lemérése után számold ki a területét többféleképpen! a = 7 cm; b = 30 ; b = 5 cm 13. Három testvér egy nagy, trapéz alakú földet örökölt, melynek egyik alapja éppen kétszer akkora, mint a másik. Hogyan osszák fel igazságosan egymás között? a 2 a 14. Bizonyítsuk be, hogy a kékre festett terület egyenlő a zöldre festett területtel! (A négyszög egy trapéz, és az átlóit húztuk meg.) C D O B A

53 tanunlói munkafüzet Sokszögek területe Számold ki a deltoid területét, ha a) két átlója: e = 3 cm; f = 8 cm! Rajzolj ilyen deltoidot! b) két átlója: e = 4,3 dm; f = 25 cm! c) szimmetria átlója 3 m; másik átlója 4,5 m! Létezik-e ilyen deltoid? 16. Egy deltoid területe 66 m 2, az egyik átlója 11 m. Mekkora a másik átló? 17. Szerkeszd meg az alábbi deltoidot! Rövidebbik oldala 4 cm, hosszabb oldala 5,5 cm, a két különböző hosszúságú oldal által közbezárt szög 120. A szükséges adatok lemérése után határozd meg mekkora a deltoid területe! 18. Ákos és édesapja deltoid alakú papírsárkányt készítenek. Ehhez egy 3 m 4 m oldalhosszúságú téglalap alakú kartonlap áll rendelkezésre. A deltoidot úgy akarják kivágni, hogy a két átlója párhuzamos legyen a papír oldalaival. Hogyan vágják ki a deltoidot ebből a papírból, hogy a lehető legnagyobb területű deltoidot kapják? Mekkora lesz ennek a deltoidnak a területe? 19. Egy rombusz oldala 6 cm, egyik belső szöge 120. Szerkeszd meg a rombuszt, majd számold ki többféleképpen a területét! 20. Számítsd ki az alábbi négyszög területét! (Darabold át a négyszöget, majd szerkeszd meg, és mérd le a szükséges adatokat!) 21. Meghúztuk egy szabályos hatszög átlóit. Mekkora a csillag területe?

54 54 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet 22. Egy kert lekicsinyített ábráját látod felülnézetben. A kicsinyítés aránya 1:100. Hány kg fűmagot kell vennünk, hogy megfelelő mennyiségű fű nőjön rajta, ha egy m 2 -re kb. 30 g fűmag kell? 23. Szerkessz egy 6 cm oldalhosszúságú négyzet minden oldalára egyenlőoldalú háromszöget az ábrán látható módon! A szükséges adatok lemérése után számold ki az így kapott csillag területét!

55 kerület, terület A kör kerülete Készítette: vépy-benyhe judit

56 56 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet emlékeztető A kör: olyan pontok halmaza a síkon, melyek egy adott ponttól adott távolságra helyezkednek el. A pontot a kör középpontjának (az ábrán O pont), a távolságot a kör sugarának (r) hívjuk. A kör átmérője a körív két átellenes pontját összekötő szakasz (d), mely éppen a sugár kétszerese. d O r A kör részei: körív húr körszelet átmérő sugár körcikk érintő körvonal szelő 1. feladatlap 1. Mérd meg kör alakú tárgyak átmérőjét és kerületét, jegyezd fel a mért adatokat! Számold ki a kerület és az átmérő arányát számológéppel! A tárgy neve Átmérő (d) (cm) Kerület (K) (cm) Kerület/átmérő (K/d)

57 tanunlói munkafüzet A kör kerülete 57 összegzés Az eddig szerzett tapasztalatok alapján a kör kerületének és átmérőjének hányadosa állandó (a két menynyiség egyenesen arányos, azaz ha az átmérő kétszeresére, háromszorosára, felére változik, a kerület is éppen a kétszeresére, háromszorosára, illetve felére változik.) Ezt az állandót pi-nek nevezzük. Jele: π (görög betű). Ezért a kör kerülete a következő képlettel számolható: K kör = d π = 2 r π A π nem racionális, tehát nem állítható elő törtalakban. A π értéke körülbelül 3, feladatlap Feladatlap a gyűjtőmunkához A következő kérdésekre keressétek a válaszokat interneten, lexikonokban, matematikatörténetről szóló könyvekben! 1. Mi a π? Gyűjtsetek róla meghatározásokat! 2. Hogyan közelítették? 3. Mikori az első forrás a π ismeretéről? 4. Hány tizedesjegyig számolták ki a különböző korokban? 5. Mi a jelentése? 6. Miért hívják Ludolph-féle számnak? 7. Találtál-e egyéb érdekességet a π-vel kapcsolatban? 3. feladatlap Feladatok a kör kerületképletének gyakorlására egyszerű példák 1. Töltsd ki a hiányzó adatokat a táblázatban (használj számológépet)! r 5 cm 14 m d 8 dm K 150,72 cm 18,98 m 2. Mekkora annak a kör alakú edényalátétnek a kerülete, melynek átmérője 25 cm? 3. Egy lovaskocsihoz kerekeket készítenek fából. A kerék átmérője fél méter. A kerék talajon futó részére fémabroncsot szögelnek, melyet hajlékony fémszalagból készítenek. Milyen hosszú fémszalag kell a négy kerékhez? Ha a kerekek éppen 20 teljes fordulatot tesznek, mennyit halad előre a szekér?

58 58 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet 4. feladatlap Feladatok a kör kerületképletének gyakorlására összetett példák 1. Anna egy szabályos kör alakú virágágyást tervezett a kertbe. Az átmérője 2,5 m lesz. Kb. hány db petúniapalántát vegyen, ha 40 cm-enként szeretné a virágágyás kerülete mentén végigültetni a petúniákat? Mennyit fog fizetni, ha egy palánta 120 Ft? 2. Éva egy kör alakú terítőt akar készíteni egy asztalra. A kör alakú asztal átmérője 60 cm. Éva úgy tervezi, hogy a terítő mindenhol 40 cm-t lógjon le az asztalról, ha középre teríti. Mekkora lesz a terítő átmérője? Éva szeretné sűrű öltésekkel körbeszegni a terítő szélét. Hány m cérnára lesz szüksége, illetve elég lesz-e egy orsó cérna (50 m) a terítő körbeszegésére, ha kb. a beszegendő hossz háromszorosa fogy cérnából? 3. A szükséges adatok lemérése után döntsd el, mekkora az alábbi alakzatok kerülete? (Az alakzatokat szabályos félkörök, illetve negyedkörök határolják.) I. II. 4. Függönyt szeretnénk tenni a konyhaablakra. Úgy tervezzük, hogy a függöny 6 db szabályos félkörben fog hullámozni, amikor behúzzuk. A függöny felülnézetben: Ha az ablak szélessége 1,5 m, milyen széles függönyt vegyünk, hogy az ábrán látható módon el lehessen rendezni, és az egész ablakot eltakarja?

59 tanunlói munkafüzet A kör kerülete 59 feladatgyűjtemény 1. rajzolj egy P pontot a füzetedbe! Satírozd kékkel a tőle 3 cm-nél nem nagyobb távolságra lévő pontokat! Satírozd sárgával a tőle 2 cm-nél távolabb lévő pontokat! Az ábra melyik része lett zöld? Milyen tulajdonságú pontok ezek? 2. Nevezd meg, melyik szín, mit jelöl az ábrán: Írd le a füzetedbe!

60

61 kerület, terület A kör területe Készítette: vépy-benyhe judit

62 62 matematika A 7. évfolyam 076. kerület, terület tanulói munkafüzet 1. feladatlap 1. Készíts adott sugarú köröket milliméterpapírra, majd számold ki a területüket, végül számold ki a terület és a sugár négyzetének hányadosát, és írd a táblázat megfelelő helyére! r 1 cm 2 cm 3 cm 5 cm 7 cm T (mm 2 ) T r 2 összegzés A kör területe A táblázat kitöltése során tapasztaltuk, hogy a kör területe és a kör sugarának négyzete egyenesen arányos, hányadosuk állandó. Az arány éppen a kör kerületénél már tanult π. Tehát: T kör = r 2 π. Ezt a képletet most másképpen is belátjuk. Osszuk a kört egybevágó cikkekre, majd rakjuk ezeket a cikkeket egymás mellé az ábrán látható módon! r K 2 A keletkezett paralelogramma alapja kb. a kör kerületének fele, a magassága pedig megközelítőleg a kör sugara. (Még jobban hasonlít egy paralelogrammához a kapott síkidom, ha a kört több egybevágó cikkre osztjuk.) T = K 2 r = 2 r p 2 r = r 2 p

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 5. évfolyam eszközök diákok és csoportok részére 1. félév A kiadvány KHF/4633-13/2008. engedélyszámon 2008.12.16. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAFELVÉTELI a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA PRÓBAFELVÉTELI a 8. évfolyamosok számára MEGOLDÓKULCS MATEMATIKA PRÓBAFELVÉTELI a 8. évfolyamosok számára 2012. december 17. 10:00 óra NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tollal dolgozz! Zsebszámológépet nem asználatsz. A feladatokat tetszés szerinti

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 3. évfolyam Diák mérőlapok A kiadvány KHF/3992-8/2008. engedélyszámon 2008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

MATEMATIKA A. feladatlapok. 2. évfolyam. 2. félév

MATEMATIKA A. feladatlapok. 2. évfolyam. 2. félév MATEMATIKA A feladatlapok. évfolyam. félév A kiadvány KHF/3993-18/008. engedélyszámon 008.08.18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv A

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 2. évfolyam eszközök diákok és csoportok részére 1. félév A kiadvány KHF/4001-18/2008. engedélyszámon 2008.08.18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI eszközök 2 félév A kiadvány KHF/4003-17/2008. engedélyszámon 2008.08.18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes 0663 MODUL SÍKIDOMOK Háromszögek, nevezetes vonalak Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes Matematika A 6. évfolyam 0663. Síkidomok Háromszögek, nevezetes vonalak Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...

Részletesebben

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99 JUNIOR, 990-9. sz, els forduló. Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél. (N. Vasziljev, 4 pont) 2. Egy szabályos háromszög

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

PTE PMMK ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 1. hét. 1. heti gyakorlat. Készítette: Schmidtné Szondi Györgyi 1/1

PTE PMMK ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 1. hét. 1. heti gyakorlat. Készítette: Schmidtné Szondi Györgyi 1/1 1. heti gyakorlat Készítette: Schmidtné Szondi Györgyi 1/1 Szerkesztő-rajzolással kapcsolatos tudnivalók. Az ábrázoló geometria tanulásához feladatokat dolgozunk ki rajzban, azaz szerkesztéseket végzünk.

Részletesebben

Interaktivitás a matematika órán

Interaktivitás a matematika órán Interaktivitás a matematika órán Kiindulópontunk a kocka Szakdolgozat Készítette: Szatmári Tünde Szak: Matematika BSc tanári szakirány Témavezető: Holló-Szabó Ferenc, a Matematikai Múzeum vezetője Eötvös

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ KOMPETENCIATERÜLET B. 6. évfolyam

ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ KOMPETENCIATERÜLET B. 6. évfolyam ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS KOMPETENCIATERÜLET B MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 6. évfolyam A kiadvány az Educatio Kht. kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterve alapján készült. A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. október 15. 2013. október 15. 8:00 MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. október 15. 2013. október 15. 8:00 MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK I. rész II. rész a feladat sorszáma maximális pontszám elért pontszám maximális pontszám 1. 11 2. 12 51 3. 14 4. 14 16 16 64 16 16 8 nem választott feladat Az írásbeli vizsgarész pontszáma 115 elért pontszám

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA I. RÉSZLETES KÖVETELMÉNYEK

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA I. RÉSZLETES KÖVETELMÉNYEK GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA I. RÉSZLETES KÖVETELMÉNYEK A Gépészeti alapismeretek szakmai előkészítő tantárgy érettségi vizsga részletes vizsgakövetelményeinek kidolgozása a műszaki szakterület

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői VI.7. RÁSOÁLKOZÁS Tárgy, téma feladatsor jellemzői háromszögek, négyszögek területe rácssokszögek segítségével. Előzmények él terület fogalma. már ismert terület fogalom (főképp a háromszög és a négyszögek

Részletesebben

A próbafelvételi eredményei: (Minden feladat 5 pontos volt...)

A próbafelvételi eredményei: (Minden feladat 5 pontos volt...) A csoport: A próbafelvételi eredményei: (Minden feladat pontos volt...) Minta feladatsor (A) matematikából 014. december 1. (Feladat számolásra) Határozd meg a ; b és c értékét! a = ( 1 3 + 1 6) : 1 6

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam eszközök diákok és csoportok részére. félév A kiadvány KHF/-/009. engedélyszámon 009.0.. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0814 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat)

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) I. Pontszerű test 1. Pontszerű test modellje. Pontszerű test egyensúlya 3. Pontszerű test mozgása a) Egyenes vonalú egyenletes

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz MATEMATIKA 6. Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz Témák 1. Játékos feladatok Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban.

Részletesebben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 1. 1. Alapfogalmak 2. Nevezetes sík- és térbeli alakzatok, definícióik 3. Thalész-tétel 4. Gyakorlati alkalmazás Pont: alapfogalom, nem definiáljuk Egyenes:

Részletesebben

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 25. GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 25. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 8. évfolyam eszközök diákok és csoportok részére 2. félév A kiadvány KHF/4365-15/2008. engedélyszámon 2008.12.16. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio

Részletesebben

Matematika 8. PROGRAM. általános iskola 8. osztály nyolcosztályos gimnázium 4. osztály hatosztályos gimnázium 2. osztály. Átdolgozott kiadás

Matematika 8. PROGRAM. általános iskola 8. osztály nyolcosztályos gimnázium 4. osztály hatosztályos gimnázium 2. osztály. Átdolgozott kiadás Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Dr. Sümegi Lászlóné szaktanácsadó Zankó Istvánné tanár Matematika 8. PROGRAM

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MINISZTÉRIUMA. 2013. május 7. 8:00 EMBERI ERFORRÁSOK

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MINISZTÉRIUMA. 2013. május 7. 8:00 EMBERI ERFORRÁSOK I. rész II. rész a feladat sorszáma maximális pontszám elért pontszám maximális pontszám 1. 11 2. 13 51 3. 13 4. 14 16 16 64 16 16 8 nem választott feladat Az írásbeli vizsgarész pontszáma 115 elért pontszám

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 4. évfolyam eszközök diákok és csoportok részére 1. félév A kiadvány KHF/2568-5/2009. engedélyszámon 2009.05.13. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból

Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból - Ismertesse a kézi rajzkészítési technikát (mikor használjuk, előny-hátrány stb.)! Kézi technikák közül a gondolatrögzítés leggyorsabb, praktikus

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. október 25. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. október 25. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. október 25. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. október 25. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA 6. MUNKAFÜZET Megoldások

MATEMATIKA 6. MUNKAFÜZET Megoldások MATEMATIKA 6. MUNKAFÜZET Megoldások Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet A kiadvány megfelel az 51/01. (XII. 1.) EMMI rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv az általános iskolák 5 8. évfolyama számára..0.

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona

Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona Ítéletalkotás, döntés képességének fejlesztése Rezner-Szabó Zsuzsanna Matematikatanár, MA Eszterházy Károly Főiskola 1. feladat Építs piramist!

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2008 április 11 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe írja!

Részletesebben

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,

Részletesebben

MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK

MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Az apa, az anya és a három lányuk együtt 118 évesek. Az anya 10 évvel idősebb, mint a három lány együtt.

Részletesebben

MATEMATIKA A és B variáció

MATEMATIKA A és B variáció MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben