Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Forgásfelületek származtatása és ábrázolása"

Átírás

1 Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog, a felület tengelye. A forgatásnál a görbe minden pontja kört ír le, melynek síkja a tengelyre merőleges és középpontja a tengelyen van. E körök a felület párhuzamos vagy paralel körei. A forgásfelület tengelyén keresztülmenő síkot meridiánsíknak nevezzük (mint a földgömbnél). Ez a forgásfelületet az ún. meridiángörbében metszi. A meridiánt a felület tengelye szimmetrikus részekre bontja. Az összes meridiángörbék egybevágó, mert a tengely körüli forgással bármelyik bármelyikkel fedésbe hozható. Tehát a forgásfelület, úgy is származtatható, hogy annak meridiángörbéjét a tengely körül forgatjuk. Egy egyenes, amely egy vele egy síkban fekvő tengely körül forog, egyenes körkúpot ír le; ha a tengellyel párhuzamos, egyenes körhengert. A rneridián az első esetben két egymást metsző, a második esetben egymással párhuzamos egyenes. A gömb, mint forgásfelület egy körnek átmérője körüli forgásából származik; meridiánjai tehát legnagyobb körök. Ha valamely kör a síkjában levő olyan egyenes körül forog, amely nem megy a középpontján át, tóruszt, más néven körgyűrű-felületet kapunk. Forgásfelület tetszőleges P pontjában az érintősíkot a P ponton átmenő meridián és párhuzamos kör P pontjához tartozó PS és PT érintője határozza meg. A paralel kör PT érintője merőleges a Pt meridiánsíkra, mert merőleges e sík két egyenesére; az egyik egyenes a felület t tengelye, a másik egyenes a párhuzamos kör PM sugara. Ennélfogva az érintősík mindig merőleges az érintésponton átmenő meridián síkjára. A P pontot a t tengely körül forgatva, a P ponton átmenő meridiángörbe-érintők a t tengelyt ugyanabban az S pontban metszik; ezek összességükben forgáskúpot alkotnak, mely a forgásfelületet a P pont által leírt paralelkör mentén érinti. E kúpot a paralelkörhöz tartozó érintőkúpnak nevezzük. Előfordulhat, hogy a forgásfelületet vele közös tengelyű körhengerrel érinthetjük. Ilyenkor a henger a forgásfelülettel egy párhuzamos kör mentén érintkezik. E párhuzamos kört, ha az érintkezés kívülről történik, ekvátor körnek vagy, ha belülről, akkor torokkörnek nevezzük. A forgásfelületet az ekvátor, avagy torokkör mentén érintő hengert a felület egy érintőhengerének nevezzük. Ha a forgásfelület m meridiángörbéjének van aszimptotája, és ezt a t tengely körül forgatjuk, akkor a felület egy aszimptotikus kúpját kapjuk. Az aszimptotikus kúp érintősíkja a felületet a végtelenben érinti, az érintési alkotó végtelenben fekvő pontjában. Egy meridiángörbe a t tengelyt egy vagy több pontban metszheti. A meridiángörbe és tengely közös pontjában a meridián érintője a forgásfelület tengelyére merőleges, vagy hegyesszöget alkot vele. Első esetben a forgásfelület tengelyén fekvő pont a felület közönséges pontja, második esetben a pont a felület kúpos pontja. Minthogy az érintősík a P pontban mindig merőleges a P ponton átmenő meridiánsíkra, a P ponthoz tartozó felületi normális a t tengelyt egy N pontban metszi. A P pontot a t tengely körül forgatva a P ponton átmenő felületi normálisok szintén forgáskúpot alkotnak, melynek csúcspontja N. Az N pont egy gömb középpontja, amely gömb a felületet a P pont által leírt párhuzamos kör mentén érinti; e gömb a felület egy érintőgömbje. 1

2 Algebrai görbe forgásából származtatott felület algebrai felület. Ha a tengely körül egy n-ed rendű térgörbét forgatunk, akkor a keletkező forgás felület általában 2n-edrendű. Erre példa a tórusz, amely az előbb leírt módon egy kör forgatásából származik. Másodrendű görbét forgattunk, a keletkezett felület negyedrendű lett. De lehet másodrendű is, ha a tengely a kör átmérője. Másodrendű forgás felületek A már tárgyalt gömbön, egyenes körkúpon és egyenes körhengeren kívül idetartozik minden forgásfelület, amely kúpszeletnek tengelye körüli forgásából keletkezik. Ilyen másodrendű felület öt van. Ha ellipszist nagy- vagy kistengelye körül forgatunk, ellipszoidot kapunk (a és b eset). Ha hiperbolát képzetes tengelye körül forgatunk, akkor nyerjük az egyköpenyű forgáshiperboloidot (c eset); ha hiperbolát a valós tengelye körül forgatunk, akkor nyerjük a kétköpenyű forgáshiperboloidot (d eset). Ha a hiperbola aszimptotáját is forgatjuk, akkor az így nyert kúp a hiperboloidot annak végtelenben fekvő kúpszelete mentén érinti, a kúp a hiperboloid aszimptotikus kúpja. Ha parabolát tengelye körül forgatunk, akkor nyerjük a forgásparaboloidot (e eset). A másodrendű felületek síkmetszete kúpszelet. E közös tulajdonságuk a későbbiekből fog kitűnni. A síkmetszés által keletkező kúpszeletek minősége az illető felülettől s a metszősík helyzetétől függ. 2

3 Forgás felület ábrázolása speciális helyzetben Legyen a forgásfelület t tengelye az első képsíkra merőleges. A forgásfelület jellemzésére megadjuk a meridiángörbét. Mivel a t tengely a második képsíkkal párhuzamos, van a tengelyre illeszkedő második képsíkkal párhuzamos sík. E síkban lévő meridiángörbének második képe az eredetivel egybevágó, tehát közvetlenül megrajzolható. A forgásfelület azon meridián görbéje, melynek síkja a képsíkkal párhuzamos, a felület főmeridiángörbéje. A főmeridián-görbe második képe a forgásfelület második képkörrajza, mert a főmeridián-görbe pontjain átmenő második vetítősugarak a forgásfelületet a főmeridián-görbe mentén érintik; a második képkörrajzhoz tartoznak azon párhuzamos körök képei, mely párhuzamos körök minden pontjához tartozó érintősík második vetítősík. A forgásfelület első képkörrajza az ekvátorkörök és torokkörök első képeiből tevődik össze. A forgásfelület első és második képkörrajza kiegészítendő azon görbe vonal képével, mellyel a felületet határoltuk. Az ábrázolt forgásfelületen m a főmeridián-görbe, c 1 torokkör, c 2 ekvátorkör, a c 3 és c 4 párhuzamos körök pontjaiban a felület érintősíkja második vetítősík, c 5 és c 6 határoló párhuzamos körök. Az ábrán az első képsíkra merőleges tengelyű forgásfelület látható. A párhuzamos körök segítségével fel tudunk venni a forgásfelületen fekvő pontokat. Pl. felveszünk a forgásfelület második képén egy tetszőleges P pontot, és keressük ehhez P - t úgy, hogy P a forgásfelületen feküdjék. P -n keresztül felvesszük egy párhuzamos kör második képét, c -t, ez a kör vízszintes szakasznak látszik. Ennek a t és a képkontúr közé eső darabja megadja a párhuzamos kör sugarát, amellyel t -ből mint középpontból megrajzoljuk a párhuzamos kör első képét. A P -ből húzott rendezővonal c kört két, P és P x pontban is metszi, tehát a P ponthoz két első kép tartozik. Ha fordítva, a P első kép volna adva, akkor ezen keresztül t -ből mint középpontból meghúzzuk a párhuzamos kör első képét, ennek felvesszük az x 1,2 -vel párhuzamos sugarát, és a végpontját felvetítjük a második képkontúrra. A kapott metszéspont vagy metszéspontok magasságában lehet a P. P - nek megfelelő annyi második képeket kapunk, mint ahány pontban az említett rendezővonal a második képkontúrt metszi. Szerkesszük meg ezután a P pontban a felület érintősíkját. 3

4 Ezt meghatározza a felület két érintője. Az egyiket úgy kapjuk, hogy a P ponton keresztülmenő párhuzamos körhöz a P pontban meghúzzuk az érintőt; ennek t 1 e1ső képe P - ben érinti a párhuzamos kör első képét, a t 1 második képe egybeesik a párhuzamos kör második képével. A másikat pedig úgy kapjuk, hogy a P ponton keresztülmenő meridiánhoz húzunk a P pontban érintőt. Ennek t 2 első képe, a t és P összekötése, második képét pedig a következő meggondolás adja: a P-n keresztülmenő párhuzamos kör minden pontjában a meridiángörbéhez érintőt húzva, ezek egy érintőkúpot alkotnak, amelynek csúcsa a t tengelyen van. De a főmeridiánhoz ez az érintő közvetlenül meghúzható, és így a kúp csúcsa t -n kijelölhető. Ezt P -vel összekötve, megkapjuk t 2 -t. A P ponthoz tartozó felületi normális a P pont meridián síkjában van, tehát a P pontot összekötve t -vel, megkapjuk a normális első képét, n -t. Az n -t azon az alapon kapjuk, hogy a P pont által leírt párhuzamos kör pontjaihoz tartozó felületi normálisok egy másik forgáskúpot alkotnak, ennek a csúcsa is a tengelyen van. A kúp kontúralkotói a második képen a c végpontjaiban a meridián érintőire húzott merőlegesek; ezeknek t -vel való metszéspontját P -vel összekötve, megkapjuk n -t. Ha a t tengellyel szemben kitérő g egyenest forgatjuk a t tengely körül, akkor a t és g egyenesek normális transzverzálisának g-n lévő metszéspontja által leírt kör a felület torokköre. A torokkör síkja a felület szimmetriasíkja, középpontja a felület középpontja, mert a torokkör síkjától egyenlő távolságban fekvő síkok egyenlő nagyságú párhuzamos körökben metszik a felületet. Ha a g egyenes tükörképét vesszük a felület egy meridiánsíkjára nézve, legyen ez l, akkor 1 a felületen fekvő egyenes, mert minden meridiánsík a felület szimmetriasíkja, vagyis az 1 egyenest t körül forgatva ugyanazt a felületet nyerjük, mint előbb a g egyenes forgatásával. Ebből következik, hogy a felület minden pontján átmegy a felületen fekvő két egyenes, a felület alkotói. A felületi alkotók két seregbe tartoznak, a g, ill. l forgásával nyert alkotók egy-egy seregbe tartoznak. Egy seregbe tartozó két alkotó sohasem metszi egymást, de minden alkotó metszi a másik sereg minden alkotóját (egyet a végtelenben). A forgatott egyenes két különböző helyzetének nem lehet közös pontja, mert ha feltesszük, hogy van, akkor az csak a forgástengely egy pontjában lehetne. De feltevésünk szerint a forgatott egyenesnek a tengelyen nincs pontja. Továbbá legyen g és 1 a felület két különböző sereghez tartozó alkotója. Minden egyes alkotónak minden egyes, párhuzamos körrel kell lennie egy közös pontjának. A felület tetszőlegesen 4

5 felvett párhuzamos köre a g alkotót az A pontban, az 1 alkotót a B pontban metszi. Az AB távolságot merőlegesen felező sík a felület meridiánsíkja. A g egyenes tükörképe e meridiánsíkra nézve az 1 alkotó. Tehát g és 1 metszik egymást. Legyen a felület t tengelye az első képsíkra merőleges. A forgástengellyel szemben kitérő g egyenest a második képsíkkal párhuzamos helyzetben vettük fel. A felületet határolja az első képsík és egy az e1ső képsíkkal párhuzamos sík; e sík és az első képsík az O középpontra nézve szimmetrikus. Minden egyes alkotónak van a torokkörrel közös pontja, de minthogy az első képen a torokkörön belül a felületnek nincsen pontja, az alkotók első képei érintik a torokkör első képét. A g egyenes tetszés szerint felvett P pontján átmenő párhuzamos kör a főmeridiánsíkot a főmeridián-görbe M és N pontjaiban metszi. Minthogy az M N átmérő fölé rajzolt körben a P M N derékszögű háromszögben P M P N =r 2, ahol r a torokkör sugara. De akkor a főmeridiángörbe második képe hiperbola. A főmeridiánsíkkal párhuzamos g és g l alkotók második képei a főmeridián második képének aszimptotái. Ebből következik, hogy a felület meridiángörbéje hiperbola, a valós tengely fele a torokkör sugara, amiből közvetlenül látni, hogy a tengellyel szemben kitérő helyzetű egyenes forgása által származtatott forgásfelület a már tárgyalt egyköpenyű forgáshiperboloid. A hiperboloid valamely pontjában az érintősík az illető ponton átmenő két alkotó által felfeszített sík. A g alkotó P pontjában az érintősíkot tehát, úgy határozhatjuk meg, hogy megszerkesztjük a másik alkotóseregnek ezen ponton átmenő l egyenesét. Az alkotók első nyompontjainak összekötése az érintősík első nyomvonala. Ha a g alkotó más-más pontjában szerkesztjük meg a felület érintősíkját, ezen nyomvonal pontról pontra változik. Ebből láthatjuk, hogy egy alkotó pontjaihoz tartozó érintősíkok különböző síkok. Ha a g alkotón átmenő sík első nyomvonala g -re merőleges, akkor a sík érintési pontja az alkotó végtelenben fekvő pontja, vagyis a sík az alkotó aszimptotikus síkja. Az aszimptotikus sík átmegy a felület középpontján, és hajlása a felület tengelyéhez ugyanakkora, mint az alkotók és a tengely hajlásszöge. Az aszimptotikus síkok az aszimptotikus kúpot burkolják. Az olyan kúpot, amelynek az alkotói a felület alkotóival párhuzamosak iránykúpnak nevezzük. Az aszimptotikus kúp olyan iránykúp, melynek a csúcsa a felület középpontja. A torokkör első képe a hiperboloid első képkörrajza. A második főmeridián-görbe második képe a hiperboloid második képkörrajza. A második képen az alkotók a kontúrhiperbola érintői. Az alkotó képének érintési pontja annak a pontnak képe, amelyben az alkotó a második főmeridiánsíkot metszi. 5

6 Forgásfelület képkörrajza Legyen adva egy forgásfelület, melynek tengelye, t a második képsíkkal párhuzamos, de az első képsíkhoz képest ferde, főmeridián-görbéjének második képe m". Meghatározandó a forgásfelület első képkörrajza. A felület fél főmeridiángörbéje az A-tól B-ig, B-től C-ig és C-től D-ig terjedő körívekből áll, e körívek középpontjai rendre O l, O 2, O 3. A felvett forgásfelület tehát három gyűrűfelületrészből tevődik össze, az egyes részek a B és C pont által leírt párhuzamos körök mentén csatlakoznak egymáshoz. A két első rész érintőlegesen megy át egymásba, a második és harmadik rész pedig a C pont által leírt párhuzamos körben metszi egymást, e párhuzamos kör a forgásfelület éle. A felület első kontúrgörbéje az első vetítősugárral párhuzamos körülírt henger érintési görbéje. Forgásfelület köré írt henger érintési görbéje egy szimmetriával bíró görbe. Az érintési görbe szimmetriasíkja a körülírt henger alkotóival párhuzamos meridiánsík, a jelen esetben a tengelyen átmenő második képsíkkal párhuzamos sík. Az érintési görbének a szimmetriasíkjában fekvő pontjaihoz tartozó érintők a szimmetriasíkra merőlegesek. Az első kontúrgörbe egyes pontjai párhuzamoskör-érintőgömb módszerrel szerkeszthetők meg. A kontúrgörbe valamely párhuzamos körön levő pontját úgy nyerjük, hogy megszerkesztjük azt a gömböt, amely a felületet a párhuzamos kör mentén érinti; ennek középpontja, O a forgásfelület tengelyének azon pontja, melyet a felületi normális metsz ki. A párhuzamos kör pontjaiban a forgásfelület érintősíkjai az érintőgömbnek is érintősíkjai. A párhuzamos kör pontjai közül tehát azokat kell megkeresni, amelyekhez tartozó érintősík egyúttal első vetítősík. De a gömböt érintő első vetítősíkok érintéspontjai a gömb első kontúrkörén vannak. Tehát a gömb első kontúrkörének a felvett párhuzamos körrel való metszéspontjai az első kontúrgörbe pontjai. A gömb első kontúrgörbéje legnagyobb gömbi kör, amelynek síkja az első képsíkkal párhuzamos; e sík és a párhuzamos kör síkja egy második vetítősugárban metszi egymást; ennek második képe, 1", egyúttal a keresett pont második képe, első képe levetítéssel a gömb első képkörrajzán nyerhető. A megszerkesztett 1 pontban a forgásfelület érintősíkja első vetítősík, de akkor a forgásfelület 1 pontjához tartozó 6

7 összes érintőnek, tehát annak az érintőnek is, mely a kontúrgörbét az 1 pontban érinti, az első képe az érintőgömb első képkörrajzához az 1' pontban húzott érintő. A szerkesztésből látható, hogy az 1" pont két pont második képe; ez az első kontúrgörbe második képének minden pontjáról elmondható, tehát a második kép a görbe kettős vetülete. A fenti szerkesztést a forgásfelület ekvátor- és torokkörére alkalmazva, azt kapjuk, hogy a kontúrgörbe ezen körökön fekvő 2 és 3 pontjai az ekvátor- és torokkör második képsíkra merőleges átmérőjének végpontjai, és az érintők az első képen vízszintesek. Az első kontúrgörbének a főmeridiánsíkban lévő pontjai a főmeridiángörbének azok az M l, M 2 és M 3 pontjai, melyekben a főmeridián-görbe érintője első vetítősugár, mert ezekben a pontokban a felület érintősíkja első vetítősík. E pontokban a kontúrgörbe érintői a főmeridiánsíkra merőleges egyenesek, mert e sík a görbének szimmetriasíkja. A kontúrgörbe megszerkesztett pontjait egy folytonos görbével kötjük össze. Megjegyzendő azonban, hogy a kontúrgörbének lehetnek töréspontjai, sőt szakadása is lehet. Töréspont azon a párhuzamos körön keletkezik, amelynek mentén a forgásfelület két különböző gyűrűfelülethez tartozó része érintőlegesen megy át egymásba, tehát a 3-as pontok a kontúrgörbe töréspontjai. Egy párhuzamos körön fekvő pontok a kontúrgörbe szakadási pontjai, ha a párhuzamos kör a forgásfelület éle, vagyis két rész áthatási köre. Az első gyűrűfelületrészen fekvő első kontúrgörbe két részből áll, ezek k l és k 2, a második gyűrűfelületrészen fekvő első kontúrgörbe k 3, a harmadik gyűrűfelületrészen fekvő első kontúrgörbe k 4. A kontúrgörbe minden pontján átmenő első vetítősugár a forgásfelületet az illető pontban érinti, és a kontúrgörbét általában metszi. A kontúrgörbének lehetnek olyan kivételes pontjai, amely pontokon átmenő első vetítősugár a kontúrgörbét érinti. Felvételünk mellett ilyen pontok X 1,2 és Y 1,2. E pontok első képei az első képkörrajz csúcspontjai, ezek a felületet a pontokon átmenő párhuzamos kör mentén érintő gömb első képkörrajzán vannak. Ezekben az érintőket szintén úgy kapjuk, hogy a gömb első képkörrajzához érintőket húzunk. E pontok a kontúrgörbe első képében elválasztják a görbe látható részét annak nem látható részétől. A kontúrgörbének azok a pontjai, amelyeken átmenő első vetítősugár a görbének érintője, körzővel, vonalzóval nem szerkeszthetők meg, csak közelítőleg. Ennek gyakorlati kivitele oly módon történik, hogy a második képen a gondosan megrajzolt kontúrgörbéhez a rendezővonalakkal párhuzamos érintőt rajzolunk, és ezen kijelöljük az érintési pontot. Ha szerkesztésünk helyes, a kijelölt érintési ponton keresztül húzott vízszintes és a főmeridiángörbéhez e ponton keresztül a tengelyre merőlegesen húzott egyenesen levő pontjában vont normális a tengelyben tartoznak találkozni. Ábránkon ezt a szerkesztést az X pontra nézve el is végeztük. A forgásfelület első képkörrajza kiegészítendő a c l határoló párhuzamos kör és a c 2 áthatási kör első képével. A 4-es pontok az első kontúrgörbének a határoló párhuzamos körön fekvő pontjai, e pontok első képei a határoló párhuzamos kör első képének és a forgásfelület első képkörrajzának érintési pontjai. Ha a forgásfelület tengelye a két képsíkhoz képest általános helyzetű, akkor első és második képkörrajzának szerkesztését a most tárgyalt feladatra vezetjük vissza; olyan új harmadik, ill. negyedik képsíkot vezetünk be, mely a forgásfelület tengelyével párhuzamos. Az első és harmadik képen az előbbi módon megszerkesztjük a forgásfelület első képkörrajzát, a második és negyedik képen pedig a forgásfelület második képkörrajzát. 7

8 Forgásfelületek síkmetszése és áthatása Forgásfelület síkmetszetének egyes pontjai olyan segédsíkok segítségével határozhatók meg, amelyek a felületet párhuzamos körökben metszik. A metszősík és a párhuzamos körök síkjának metszésvonala a párhuzamos kört két pontban metszi, mely pontok a metszésgörbe pontjai. Az egyes pontokban az érintőt úgy határozzuk meg, hogy megkeressük az illető ponton átmenő érintősík metszésvonalát az adott síkkal. Forgásfelület síkmetszetének mindig van szimmetriatengelye, a szimmetriatengely a metszősíknak azon egyenese, melyben a metszősíkra merőleges meridiánsík a metszősíkot metszi. A síkmetszet lényeges pontjai azok a pontok, melyek a forgásfelület első, ill. második kontúrgörbéjén vannak, e pontokban a síkmetszet képe a képkörrajzot érinti. Lényeges pontok még a síkmetszet szimmetriatengelyén fekvő pontok, e pontokban a síkmetszet érintője merőleges a szimmetriatengelyre, hacsak a pont a síkmetszetnek nem többszörös pontja. Csakis azzal a legegyszerűbb esettel fogunk foglalkozni, amikor a forgásfelület tengelye merőleges az egyik képsíkra. Ha a forgásfelület tengelye nem merőleges valamely képsíkra, akkor ezt a helyzetet új képsík bevezetésével elő kell állítani. Legyen adva egy tórusz, melynek t tengelye az első képsíkra merőleges. A felületnek a külső félkör által leírt része lényegesen különbözik a belső félkör által leírt résztől. A felület külső részének bármely pontjában az érintősík csak egy pontban érinti, de nem metszi a felületet, bármely belső ponthoz tartozó érintősík azonban a felületet metszi is. Határozzuk meg a gyűrűfelületnek egy olyan általános helyzetű síkkal való metszetét, mely a felületet egy belső pontban érinti. A gyűrűfelület felvett D pontjában az érintősíkot a D ponton átmenő párhuzamos kör D pontjához tartozó érintője és a D ponton átmenő meridiángörbe D pontjához tartozó érintője határozza meg. A párhuzamos kör érintője jelen esetben az érintősík első fővonala, e fővonallal párhuzamos és a meridiángörbe érintőjének első nyompontján átmenő egyenes az érintősík első nyomvonala: s l. 8

9 A síkmetszet egy általános helyzetű pontjának szerkesztése a k párhuzamos körön van feltüntetve. A k párhuzamos kör síkja a metszősíkot az f 1 első fővonalban metszi, a k párhuzamos kör és az f l fővonal közös pontjai, P és P x, a síkmetszetnek pontjai. A síkmetszet P pontjában az érintő a P pontban a felületi érintősík és metszősík metszésvonala; e metszésvonal meghatározására csupán egy pont szükséges, mert P a két sík közös pontja. Evégből meghatározzuk az érintősíknak az első nyomvonalát; e nyomvonal és a metszősík első nyomvonalának közös pontja az e érintő első nyompontja. Az első képkörrajzra eső síkmetszetpontok az ekvátor- és torokkörön vannak, ezek 1, 1 x, 2, 2 x, e pontokban a síkmetszet első képe érinti az ekvátor- ill. torokkör első képét. A második képkörrajzra eső síkmetszetpontok egyrészt a főmeridiánsíkban vannak, tehát a főmeridián-görbének a metszősík azon második fővonalán fekvő pontjai, melyben a főmeridiánsík a metszősíkot metszi. Ezek a 3, 4, 5, 6 pontok, másrészt a legfelső és legalsó párhuzamos körön vannak, mert a jelen esetben e két kör második képe a második képkörrajzhoz tartozik; a legfelső párhuzamos körön a síkmetszet pontjai 7 és 7 x, á legalsó párhuzamos kör nem metszi a síkot. A 7 és 7 x pontokban az első képen a síkmetszet érintői a sík első nyomvonalával párhuzamos egyenesek, mert e pontokban a felület érintősíkja az első képsíkkal párhuzamos sík. A síkmetszet szimmetriatengelye az adott felvétel mellett egy első esésvonal, melynek első képe a tengely első képén megy át. Ez esésvonalra eső síkmetszetpontokat úgy nyerjük; hogy az esésvonalat a t tengely körül beforgatjuk a főmeridiánsíkba, és azután a főmeridián-görbe és a beforgatott esésvonal közös pontjait visszaforgatjuk, ezek a 8 és 9 pontok; e pontokban a síkmetszet érintői a szimmetriasíkra merőleges egyenesek, jelen felvétel mellett tehát az első képsíkkal párhuzamos egyenesek. A D pont a síkmetszet kettős pontja, amelyben a metszésgörbe két ága egymást metszi. E pontban nem lehet az érintőket a fenti módon meghatározni, mert itt az érintősík a metszősíkkal azonos sík, tehát metszésvonalukról nem lehet beszélni. A kettős pontban a síkmetszet érintői a hiperbola indikátrix aszimptotái. A forgásfelület minden pontjának egyik főmetszete a ponton átmen6 meridián, másik főmetszete a felületi normálison megy keresztül és a meridiánsíkra merőleges, ennek görbületi sugara Meusnier tétele szerint a felületi normálison az illető ponttól a forgástengelyig terjed. Eszerint a D pontban a főgörbületi sugarakat úgy nyerjük, hogy a D pontot a t tengely körül a főmeridiánba forgatjuk, az így nyert D 1 pontot összekötjük a főmeridiánkör O l középpontjával, ez metszi a t tengelyt az O 2 pontban, ekkor O 1 D 1 =r 1 és O 2 D 2 =r 2. Az indikátrix alakja nem változik meg, ha minden érintőre a D ponttól számítva az általa meghatározott normálmetszet görbületi sugarának abszolút értékéből vont pozitív négyzetgyök helyett ennek valamely (a zérustól különböző) számmal való szorzatát mérjük fel. Legyen ez a szám r 2, akkor az így nyert konjugált hiperbolák főtengelyeinek hossza r r és r Ha a főmeridiánsíkban az O 1 O 2 átmérőjű félkör a D 1 pontban a főmeridiánhoz rajzolt érintőt az A 1 pontban metszi, akkor D 1 A 1 = r r, tehát az A pont visszaforgatásával nyerjük az egyik hiperbola csúcsát, A-t. Ebben a pontban a hiperbola érintője párhuzamos a D 9

10 ponton átmenő párhuzamos kör D pontbeli érintőjével. Ennek első képére a D pont első képétől számítva felmérjük az r 2 távolságot, az így nyert B' és C' pontok a konjugált hiperbola csúcsainak első képei, az ezeknek megfelelő második képeket felvetítéssel nyerjük az érintő második képén. A B és C pontokban a hiperbola érintői párhuzamosak a D pontban a rajta átmenő meridiánhoz húzott érintővel. A két hiperbola csúcsérintőinek metszéspontjaiban az e l és e z aszimptoták pontjait nyerjük. Érdekességként bizonyítás nélkül: A tórusz metszete a felületet két pontban érintő síkkal két körből áll. A tórusznak a tengelyével párhuzamos síkkal való metszetei. A gyakorlatban a tórusznak legtöbbször a felület tengelyével párhuzamos síkkal való metszeteit kell szerkeszteni. Legyen a gyűrűfelület tengelye, t az első képsíkra merőleges, középpontja O, egyik főmeridiánkörének középpontja O l és sugara r. A tengellyel párhuzamos metszősíkot a főmeridiánsíkkal párhuzamos helyzetben vettük fel. Az ábrán a felület négy síkmetszetét tüntettük fel. Ha a metszősík a főmeridiánsíktól d távolságban van, és az O és O l pontok távolsága m, akkor mindaddig míg d<m-r, a metszésgörbe (az ábrán az a-val jelölt) két oválisból áll. Ha d=m-r, akkor a görbe hurok alakú (b). Ha d>m-r, akkor a görbe piskóta alakú (c) vagy ovális (d) aszerint, hogy m>d, illetőleg m d. A síkmetszetek mindegyikének két szimmetria-tengelye van, az egyik a metszősík és az ekvátor síkjának metszésvonala, a másik a metszősík és a tengelyen átmenő második képsíkra merőleges sík metszésvonala, ezek közös pontja a síkmetszet szimmetria-középpontja. A síkmetszet egyes pontjait úgy szerkesztjük meg, hogy a felület tengelyére merőleges segédsíkokat veszünk föl, a segédsíkban fekvő párhuzamos kör és a metszősík közös pontjai a síkmetszetnek pontjai. A síkmetszet egy P pontjában az érintő második képe a jelen esetben a P ponthoz tartozó felületi normális második képére merőleges, mert a P ponthoz tartozó felületi normális a P ponthoz tartozó minden felületi érintővel derékszöget alkot, és a keresett érintő a második képsíkkal párhuzamos, mivel a metszősíkban fekszik. 10

11 Forgásfelületek áthatása Forgásfelületek áthatásának szerkesztésénél négy esetet különböztetünk meg aszerint, amint a forgásfelületek tengelyei 1. azonosak, 2. párhuzamosak, 3. metszik egymást, vagy 4. kitérők. 1. Közös tengelyű forgásfelületek áthatása párhuzamos körökből áll. Egy tetszőleges meridiánsík az egyik felületet az m 1, a másikat az m 2 meridiángörbében metszi, az m 1, és m 2 közös pontjain átmenő párhuzamos körök minden pontja a két felület közös pontja, a két felület ezen párhuzamos körök mentén metszi egymást. 2. Párhuzamos tengelyű forgásfelületek esetében a tengelyekre merőleges segédsíkokat választunk, minden ilyen sík az adott felületeket párhuzamos körökben metszi, e párhuzamos körök közös pontjai az áthatás pontjai. A szerkesztésnél a tengelyeket az egyik képsíkra merőlegesen választjuk, hogy a párhuzamos körök képei közvetlenül legyenek megrajzolhatók. Az ábrán egy forgáshenger és gömb áthatását szerkesztettük meg. A forgáshenger t 1 tengelye az első képsíkra merőleges; a gömb középpontját a henger második képsíkkal párhuzamos érintősíkjában választottuk, sugarát úgy vettük fel, hogy a hengert annak egy D pontjában érintse. A gömböt jelen esetben forgásfelületnek tekintjük, melynek tengelye, t 2 az első képsíkra merőleges. Minthogy a henger vetítőhenger, az áthatási görbe első képe máris megvan. A második kép szerkesztésére első képsíkkal párhuzamos segédsíkokat veszünk fel. Az áthatás tetszőleges P pontját e ponton átmenő első képsíkkal párhuzamos segédsíkkal szerkesztettük meg. E sík mindkét felületet párhuzamos körökben metszi, ezeknek metszéspontjai, P és Q az áthatás pontjai. A görbe P pontjában az érintőt úgy szerkesztettük meg, hogy meghatároztuk a hengerfelület és a gömbfelület P pontjához tartozó n l és n 2 felület normálisokat, a normálisok síkjára merőleges és a P ponton átmenő e egyenes a keresett érintő. (Eddig az érintőt a két felület P-beli érintősíkjának metszésvonalaként határoztuk meg. Most az érintősíkok nyomvonala nehezen érhető el, ezért egy másik módszert választottunk. Természetesen, mindkét módszer ugyanazt az érintőt adja.) A henger második kontúralkotóin fekvő 1 és 2 pontokat úgy szerkesztettük, hogy e pontokon átmenő párhuzamos gömbi körök első képeit vettük fel; ezek második képein felvetítéssel nyerjük a keresett pontok második képeit. E pontok az áthatásnak lényeges pontjai, mert az áthatási görbe második képében elválasztják a görbe látható részét annak nem látható részétől. 11

12 Megszerkesztettük az áthatási görbének a gömb második kontúrgörbéjén fekvő 3-as pontjait; e pontok második képe felvetítéssel a gömb második képkörrajzán nyerhető. A 3-as pontok az áthatásnak szintén lényeges pontjai, mert e pontok második képei a gömb második képkörrajzának és az áthatás második képének érintési pontjai. A tengelyek összekötő síkja mindkét felületnek s így az áthatásnak is szimmetriasíkja. E síkban fekvő 4-es pontokban az áthatási görbe érintői a közös szimmetriasíkra merőleges egyenesek, jelen felvétel mellett az első képsíkkal párhuzamos egyenesek; a 4-es pontok lényeges pontok, az áthatás legmagasabb, ill. legmélyebb pontjai. A D pontban a két felület érintősíkja közös, a D pont az áthatásnak kettős pontja. 3. Egymást metsző tengelyű forgás felületek esetében segédfelületül olyan gömbfelületet veszünk fel, amelynek középpontja a tengelyek közös pontja. Egy ilyen gömbfelület az F l és F 2 felületet párhuzamos körökben metszi, a párhuzamos körök közös pontjai az áthatás pontjai. A szerkesztésnél a forgásfelületeket úgy helyezzük el, hogy a tengelyek összekötő síkja az egyik képsíkkal párhuzamos legyen. Az ábrán két forgáshenger áthatását szerkesztettük meg. A t l és t z tengelyek összekötő síkja a rajz síkja, melyet egyúttal képsíknak is választunk. A t l és t 2 közös pontja M. Az M pont körül felvett tetszőleges gömb k kontúrja metszi a hengerek kontúralkotóit, e metszéspontok összekötései, melyek merőlegesek a forgástengelyekre, a k l, k 2 metszéskörök képei; ezek egymást a P' pontban metszik, mely az áthatás két pontjának képe. A görbe képe a rajz síkján kettős vetület. A görbe P pontjában az érintőt hasonló módon szerkeszthetjük meg, mint előzőleg. A két henger P pontjához tartozó normálisok a k l, k 2 körmetszetek O l, O 2 középpontjait P-vel összekötő egyenesek. Az O 1 O 2 egyenes a két normális összekötő síkjának nyomvonala, ennélfogva az érintő képe merőleges lesz O 1 O 2 -re. A kontúralkotók metszéspontjaiban a görbe képének érintője a görbe simulósíkjának nyomvonala. 12

13 4. Kitérő tengelyű forgásfelületek áthatásánál segédfelületnek általában az egyik tengelyre merőleges síkot választunk. Az ábrán forgáshenger és gyűrűfelület áthatását szerkesztettük meg. A hengerfelület t l tengelyét és a gyűrűfelület ekvátor- és torokkörét az első képsíknak tekintett rajz síkjában vettük fel, mégpedig úgy, hogy a henger egyik első kontúralkotója érintse a torokkört. Második képsíknak a gyűrűfelület t 2 tengelyén átmenő és a henger alkotóira merőleges síkot választottunk. A második képen megrajzoltuk a henger második nyomkörének és a gyűrűfelület egyik főmeridiánkörének felső részét. A két felület áthatásának egyes pontjait az első képsíkkal párhuzamos segédsíkokkal szerkesztjük meg. Az első képsíkkal párhuzamos tetszőleges sík a hengert alkotókban, a gyűrűfelületet párhuzamos körökben metszi, ezeknek közös pontjai, P és Q az áthatás pontjai. Az áthatási görbe P pontjában az érintő szerkesztését is feltüntettük. A henger normálisának nyompontja a henger P ponton átmenő k körmetszetének O l középpontja, a gyűrűfelület P pontjához tartozó normális nyompontja a P ponton átmenő m meridiánkör O 2 középpontja, e nyompontok összekötő egyenese a két normális összekötő síkjának s l nyomvonala, s így a P pontbeli e érintő képe erre az egyenesre merőleges. Az első és második képsík a két felület egész áthatásának szimmetriasíkja. A rajzban az áthatásnak csak egy részét tüntettük fel. E rész képének végpontjai a gyűrűfelület torok- ill. ekvátorkörének és a henger egyik kontúralkotójának közös pontjai. Az áthatási görbének lényeges pontjai azokban a segédsíkokban fekvő pontok, mely segédsíkok a gyűrűfelület érintősíkjai, mert ha a kérdéses pontokban az érintőt, mint két érintősík metszésvonalát megszerkesztjük, akkor érintőnek azt a hengeralkotót nyerjük, amelyben az érintő segédsík a hengerfelületet metszi. E feladatot még más módon is meg lehet oldani. A P ponton átmenő m meridiánkör középpontjában e kör síkjára emelt merőleges és a henger tengelyének M metszéspontja olyan gömb középpontja, mely átmegy az m meridiánkörön és a hengerfelületet egy k körben metszi. A k és m körök közös pontjai az áthatásnak pontjai. A gyűrűfelület más-más meridiánkörét véve, a fenti módon az áthatás tetszőlegesen sok pontját megszerkeszthetjük. A szerkesztéshez csak egy képre van szükség. 13

14 Adott a K 1 -en álló negyedtórusz és egy egyenes körkúp. Szerkesztendő a két felület áthatása és az egyik általános helyzetű pontban az érintő. 14

15 Szerkesztendő a negyedtórusz és henger áthatása és az egyik általános helyzetű pontban az érintő. 15

16 Adott egy tórusz és az n 1, e egyenesek síkja. Szerkesztendő a síkmetszet minden lényeges pontja, néhány általános ontja és ezek közül az egyikbe a metszet érintője. 16

17 Adott a K 1 -en álló tórusz. Szerkesszük meg a P pont első képét úgy, hogy a pont a belső felületi részen legyen. Vegyük fel ebben a pontban a felület érintősíkját, és szerkesszük meg a felülettel való metszetét! 17

18 Szerkesztendő a két felület áthatási görbéje. 18

19 Szerkesztendő a két felület áthatási görbéje. 19

20 Szerkesztendő a két felület áthatási görbéje. 20

21 Adott egy tórusz belső része és egy forgáskúp. Szerkesztendő a két felület áthatási görbéje. 21

22 Adott az első képsíkon álló tórusz és az a, b egyenesekkel egy sík. Szerkesztendő a tórusz síkmetszete. 22

23 Adott egy tórusz belső része és egy henger. Szerkesztendő a két, metsző tengelyű felület áthatási görbéje. 23

24 Szerkesztendő a két felület áthatási görbéje. 24

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva. Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani

Részletesebben

Vetülettani és térképészeti alapismeretek

Vetülettani és térképészeti alapismeretek Vetülettani és térképészeti alapismeretek A geodéziában - mint ismeretes - a földalak első megközelítője a geoid. Geoidnak nevezzük a nehézségi erőtér potenciáljának azt a szintfelületét, amelynek potenciálértéke

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból

Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból - Ismertesse a kézi rajzkészítési technikát (mikor használjuk, előny-hátrány stb.)! Kézi technikák közül a gondolatrögzítés leggyorsabb, praktikus

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Csavarvonal, csavarfelületek Összeállította: Dr. Geiger János Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM 2014 TARTALOM 1. A munkafüzet célja, területei, elsajátítható kompetenciák...

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 1. 1. Alapfogalmak 2. Nevezetes sík- és térbeli alakzatok, definícióik 3. Thalész-tétel 4. Gyakorlati alkalmazás Pont: alapfogalom, nem definiáljuk Egyenes:

Részletesebben

PTE PMMK ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 1. hét. 1. heti gyakorlat. Készítette: Schmidtné Szondi Györgyi 1/1

PTE PMMK ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 1. hét. 1. heti gyakorlat. Készítette: Schmidtné Szondi Györgyi 1/1 1. heti gyakorlat Készítette: Schmidtné Szondi Györgyi 1/1 Szerkesztő-rajzolással kapcsolatos tudnivalók. Az ábrázoló geometria tanulásához feladatokat dolgozunk ki rajzban, azaz szerkesztéseket végzünk.

Részletesebben

Dr. Hant Lá szló, Há romi Ferenc: Á brázoló geometria feladatok SZÉCHENYI ISTVÁ N EGYETEM

Dr. Hant Lá szló, Há romi Ferenc: Á brázoló geometria feladatok SZÉCHENYI ISTVÁ N EGYETEM Dr. Hant Lá szló, Há romi Ferenc: Á brázoló geometria feladatok SZÉCHENYI ISTVÁ N EGYETEM 1 Tá voktatá si tagozat 1994 Ö sszeállította: Dr. Hant Lá szló fő iskolai docens Há romi Ferenc fő iskolai adjunkus

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika

Részletesebben

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA I. RÉSZLETES KÖVETELMÉNYEK

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA I. RÉSZLETES KÖVETELMÉNYEK GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA I. RÉSZLETES KÖVETELMÉNYEK A Gépészeti alapismeretek szakmai előkészítő tantárgy érettségi vizsga részletes vizsgakövetelményeinek kidolgozása a műszaki szakterület

Részletesebben

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat)

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) I. Pontszerű test 1. Pontszerű test modellje. Pontszerű test egyensúlya 3. Pontszerű test mozgása a) Egyenes vonalú egyenletes

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 25. ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 25. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

Teodolit. Alapismeretek - leolvasások

Teodolit. Alapismeretek - leolvasások Teodolit Alapismeretek - leolvasások A teodolit elve Szögmérő műszer, amellyel egy adott pontból tetszőleges más pontok felé menő irányok egymással bezárt szögét tudjuk megmérni, ill. egy alapiránytól

Részletesebben

Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor

Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Topográfia 7. : Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Lektor : Alabér, László Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai

Részletesebben

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I.

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Tudományos Diákköri Konferencia Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Szöghézag és a beépítésből adódó szöghiba vizsgálata

Részletesebben

A felmérési egység kódja:

A felmérési egység kódja: A felmérési egység lajstromszáma: 0218 ÚMFT Programiroda A felmérési egység adatai A felmérési egység kódja: Épügépé//30/Ksz/Rok A kódrészletek jelentése: Épületgépész szakképesítés-csoportban, a célzott,

Részletesebben

Kibernetika korábbi vizsga zárthelyi dolgozatokból válogatott tesztkérdések Figyelem! Az alábbi tesztek csak mintául szolgálnak a tesztkérdések megoldásához, azaz a bemagolásuk nem jelenti a tananyag elsajátítását

Részletesebben

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást!

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást! 2006/I/I.1. * Ideális gázzal 31,4 J hőt közlünk. A gáz állandó, 1,4 10 4 Pa nyomáson tágul 0,3 liter térfogatról 0,8 liter térfogatúra. a) Mennyi munkát végzett a gáz? b) Mekkora a gáz belső energiájának

Részletesebben

IX. Az emberi szem és a látás biofizikája

IX. Az emberi szem és a látás biofizikája IX. Az emberi szem és a látás biofizikája IX.1. Az emberi szem felépítése A szem az emberi szervezet legfontosabb érzékelő szerve, mivel a szem és a központi idegrendszer közreműködésével az elektromágneses

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

Újdonságok. Release 2

Újdonságok. Release 2 ARCHLine.XP 2009 Windows Újdonságok Release 2 A dokumentációban levı anyag változásának jogát a CadLine Kft fenntartja, ennek bejelentésére kötelezettséget nem vállal. A szoftver, ami tartalmazza az ebben

Részletesebben

Háromszögcsaládok Síkbeli és térbeli alakzatok 5. feladatcsomag

Háromszögcsaládok Síkbeli és térbeli alakzatok 5. feladatcsomag Síkbeli és térbeli alakzatok 1.5 Háromszögcsaládok Síkbeli és térbeli alakzatok 5. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 11 14 elnevezések a háromszögekben háromszögek belső szögösszege háromszögek

Részletesebben

Interaktivitás a matematika órán

Interaktivitás a matematika órán Interaktivitás a matematika órán Kiindulópontunk a kocka Szakdolgozat Készítette: Szatmári Tünde Szak: Matematika BSc tanári szakirány Témavezető: Holló-Szabó Ferenc, a Matematikai Múzeum vezetője Eötvös

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői VI.7. RÁSOÁLKOZÁS Tárgy, téma feladatsor jellemzői háromszögek, négyszögek területe rácssokszögek segítségével. Előzmények él terület fogalma. már ismert terület fogalom (főképp a háromszög és a négyszögek

Részletesebben

2007.5.30. Az Európai Unió Hivatalos Lapja L 137/1 RENDELETEK

2007.5.30. Az Európai Unió Hivatalos Lapja L 137/1 RENDELETEK 2007.5.30. Az Európai Unió Hivatalos Lapja L 137/1 I (Az EK-Szerződés/Euratom-Szerződés alapján elfogadott jogi aktusok, amelyek közzététele kötelező) RENDELETEK Az Egyesült Nemzetek Szervezete Európai

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

CAD-CAM-CAE Példatár

CAD-CAM-CAE Példatár CAD-CAM-CAE Példatár A példa megnevezése: CAD-összeállítás (Csapágyazás) A példa száma: ÓE-A12 A példa szintje: alap közepes haladó A feladat rövid leírása: Az feladat lényegében azt foglalja magában,

Részletesebben

4.) Napirend: A Tó-park Szabályozási Terve

4.) Napirend: A Tó-park Szabályozási Terve 4.) Napirend: A Tó-park Szabályozási Terve Turai István tájékoztatja a Képvisel -testület tagjait, hogy a Szabályozási Tervet a TTKB és a JÜB tárgyalta. A JÜB elfogadásra, míg a TTKB elutasításra javasolta

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Hagyományos fakötések rajzai...5 2. Mérnöki fakötések rajzai... 15 3. Fedélidomok szerkesztése,

Tartalomjegyzék. 1. Hagyományos fakötések rajzai...5 2. Mérnöki fakötések rajzai... 15 3. Fedélidomok szerkesztése, Tartalomjegyzék 1. Hagyományos fakötések rajzai...5 2. Mérnöki fakötések rajzai... 15 3. Fedélidomok szerkesztése, fedélsíkok valódi méretének meghatározása... 27 3.1. Fedélidomok szerkesztése... 27 3.1.1.

Részletesebben

19. Az elektron fajlagos töltése

19. Az elektron fajlagos töltése 19. Az elektron fajlagos töltése Hegyi Ádám 2015. február Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Mérési összeállítás 4 2.1. Helmholtz-tekercsek.............................. 5 2.2. Hall-szonda..................................

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

(1. és 2. kérdéshez van vet-en egy 20 oldalas pdf a Transzformátorokról, ide azt írtam le, amit én kiválasztanék belőle a zh-kérdéshez.

(1. és 2. kérdéshez van vet-en egy 20 oldalas pdf a Transzformátorokról, ide azt írtam le, amit én kiválasztanék belőle a zh-kérdéshez. 1. A transzformátor működési elve, felépítése, helyettesítő kapcsolása (működési elv, indukált feszültség, áttétel, felépítés, vasmag, tekercsek, helyettesítő kapcsolás és származtatása) (1. és 2. kérdéshez

Részletesebben

Országos Logikai Rejtvénybajnokság 2008. szeptember 14. Instrukciós füzet

Országos Logikai Rejtvénybajnokság 2008. szeptember 14. Instrukciós füzet 1. feladatsor: 100 perc, 1000 pont Instrukciós füzet Kertek (15+30) Az ábrában kertek oldallal szomszédos négyzetekből álló fehér területek rejtőznek, amelyeket egy összefüggő érintkező oldalak mentén

Részletesebben

Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése

Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése ERDŐGAZDÁLKODÁSI HATÓSÁGI BEJELENTÉSEK/ TERVEZETT ERDŐGAZDÁLKODÁSI TEV. BEJELENTÉSE A Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése a fakitermelési

Részletesebben

15.KÚPKEREKEK MEGMUNKÁLÁSA ÉS SZERSZÁMAI

15.KÚPKEREKEK MEGMUNKÁLÁSA ÉS SZERSZÁMAI 15.KÚPKEREKEK MEGMUNKÁLÁSA ÉS SZERSZÁMAI Alapadatok Egymást szög alatt metsző tengelyeknél a hajtást kúpkerékpárral valósítjuk meg (15.1 ábra). A gördülő felületek kúpok, ezeken van kiképezve a kerék fogazata.

Részletesebben

103. számú melléklet: 104. számú Elıírás. Hatályba lépett az Egyezmény mellékleteként 1998. január 15-én

103. számú melléklet: 104. számú Elıírás. Hatályba lépett az Egyezmény mellékleteként 1998. január 15-én 1998. január 22. ENSZ - EGB 104. sz. Elıírás EGYEZMÉNY A KEREKES JÁRMŐVEKRE, VALAMINT AZ ILYEN JÁRMŐVEKRE FELSZERELHETİ ÉS/VAGY ILYENEKEN ALKALMAZHATÓ SZERELVÉNYEKRE ÉS ALKATRÉSZEKRE VONATKOZÓ EGYSÉGES

Részletesebben

Elemzések a gazdasági és társadalompolitikai döntések előkészítéséhez 27. 2001. július. Budapest, 2002. április

Elemzések a gazdasági és társadalompolitikai döntések előkészítéséhez 27. 2001. július. Budapest, 2002. április Elemzések a gazdasági és társadalompolitikai döntések előkészítéséhez 27. 2001. július Budapest, 2002. április Az elemzés a Miniszterelnöki Hivatal megrendelésére készült. Készítette: Gábos András TÁRKI

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

I. Fejezet. 1. A közszolgáltatás tartalma, a közszolgáltatással ellátott terület határai

I. Fejezet. 1. A közszolgáltatás tartalma, a közszolgáltatással ellátott terület határai PÜSPÖKLADÁNY VÁROS ÖNKORMÁNYZATA KÉPVISELŐ-TESTÜLETÉNEK 2/2014. (I. 31.) önkormányzati rendelete a nem közművel összegyűjtött háztartási szennyvíz begyűjtésére vonatkozó közszolgáltatásról Püspökladány

Részletesebben

Karibi kincsek Dokumentáció

Karibi kincsek Dokumentáció Dokumentáció 2010.03.24. Gyimesi Róbert Alapvetés Milyen célok elérését remélhetjük a programcsomagtól? Ezen oktatócsomag segítségével egy olyan (matematika)feladatot dolgozhatunk fel, oldhatunk közösen

Részletesebben

KÉRDÉSEK_GÉPELEMEKBŐL_TKK_2016.

KÉRDÉSEK_GÉPELEMEKBŐL_TKK_2016. KÉRDÉSEK_GÉPELEMEKBŐL_TKK_2016. 1.Tűréseknek nevezzük: 2 a) az anyagkiválasztás és a megmunkálási eljárások előírásait b) a gépelemek nagyságának és alakjának előírásai c) a megengedett eltéréseket az

Részletesebben

A városi úthálózat (belterületi közutak) a város jellegével és szerkezetével szoros összefüggésben alakul ki, annak alakítója és formálója.

A városi úthálózat (belterületi közutak) a város jellegével és szerkezetével szoros összefüggésben alakul ki, annak alakítója és formálója. 18. tétel Városi utak kialakítása, építése Mutassa be a forgalomtechnika követelményeit és a keresztszelvény elemeit! Ismertesse a víztelenítés és a közművek elhelyezésének megoldásait! Beszéljen a gyalogosok

Részletesebben

A 2008/2009. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2008/2009. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 8/9. tanévi FIZIKA Országos Közéiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

BME Villamos Energetika Tanszék Nagyfeszültségű Technika és Berendezések Csoport Nagyfeszültségű Laboratórium. Mérési útmutató

BME Villamos Energetika Tanszék Nagyfeszültségű Technika és Berendezések Csoport Nagyfeszültségű Laboratórium. Mérési útmutató BME Villamos Energetika Tanszék Nagyfeszültségű Technika és Berendezések Csoport Nagyfeszültségű Laboratórium Mérési útmutató Az Elektronikai alkalmazások tárgy méréséhez Nagyfeszültség előállítása 1 1.

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

Kétszemélyes négyes sor játék

Kétszemélyes négyes sor játék Kétszemélyes négyes sor játék segítségével lehetővé kell tenni, hogy két ember a kliens program egy-egy példányát használva négyes sor játékot játsszon egymással a szerveren keresztül. Játékszabályok:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

3. gyakorlat. 1/7. oldal file: T:\Gyak-ArchiCAD19\EpInf3_gyak_19_doc\Gyak3_Ar.doc Utolsó módosítás: 2015.09.17. 22:57:26

3. gyakorlat. 1/7. oldal file: T:\Gyak-ArchiCAD19\EpInf3_gyak_19_doc\Gyak3_Ar.doc Utolsó módosítás: 2015.09.17. 22:57:26 3. gyakorlat Kótázás, kitöltés (sraffozás), helyiségek használata, szintek kezelése: Olvassuk be a korábban elmentett Nyaraló nevű rajzunkat. Készítsük el az alaprajz kótáit. Ezt az alsó vízszintes kótasorral

Részletesebben

1. ÁLTALÁNOS TERVEZÉSI ELŐÍRÁSOK

1. ÁLTALÁNOS TERVEZÉSI ELŐÍRÁSOK 1. ÁLTALÁNOS TERVEZÉSI ELŐÍRÁSOK Az országos és a helyi közutak hálózatot alkotnak. A közúti fejlesztési javaslatok a különböző szintű, az ötévenként, valamint a területrendezési tervek felülvizsgálatakor

Részletesebben

A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok.

A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A legtöbb test dörzsölés, nyomás következtében elektromos töltést nyer. E töltéstől függ a test elektromos feszültsége, akárcsak a hőtartalomtól a hőmérséklete;

Részletesebben

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Egyenes Sík Háromszög Gömb 2010/2011. tavaszi félév Descartes-koordináták Geometriai értelmezés

Részletesebben

147/1992. (XI. 6.) Korm. rendelet az önkormányzatok tulajdonában lévő ingatlanvagyon nyilvántartási és adatszolgáltatási rendjéről 1

147/1992. (XI. 6.) Korm. rendelet az önkormányzatok tulajdonában lévő ingatlanvagyon nyilvántartási és adatszolgáltatási rendjéről 1 147/1992. (XI. 6.) Korm. rendelet az önkormányzatok tulajdonában lévő ingatlanvagyon nyilvántartási és adatszolgáltatási rendjéről 1 Az egyes állami tulajdonban lévő vagyontárgyak önkormányzatok tulajdonba

Részletesebben

6. évfolyam MATEMATIKA

6. évfolyam MATEMATIKA 28 6. évfolyam MATEMATIKA Országos kompetenciamérés 28 Feladatok és jellemzőik matematika 6. évfolyam Oktatási Hivatal Budapest, 29 6. ÉVFOLYAM A kompetenciamérésekről 28 májusában immár hatodik alkalommal

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

54 345 06 0000 00 00 Személyügyi gazdálkodó és fejlesztő. Személyügyi gazdálkodó és fejlesztő É 1/7

54 345 06 0000 00 00 Személyügyi gazdálkodó és fejlesztő. Személyügyi gazdálkodó és fejlesztő É 1/7 A 10/2007 (II. 27.) SzMM rendelettel módosított 1/2006 (II. 17.) OM rendelet Országos Képzési Jegyzékről és az Országos Képzési Jegyzékbe történő felvétel és törlés eljárási rendjéről alapján. Szakképesítés,

Részletesebben

PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Tengelykapcsolókl/ 5 1/12

PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Tengelykapcsolókl/ 5 1/12 PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Tengelykapcsolókl/ 5 1/12 6. TENGELYKAPCSOLÓK A tengelykapcsoló két tengelyvég összekötésére, forgatónyomaték továbbítására szolgáló, összetett gépelem. A tengelykapcsolók

Részletesebben

NeoSzámla Használati Útmutató. Verziószám: 2014/Q2 Kelt: 2014.07.15. neoszamla.hu info@neoszamla.hu 06 30 535 2181

NeoSzámla Használati Útmutató. Verziószám: 2014/Q2 Kelt: 2014.07.15. neoszamla.hu info@neoszamla.hu 06 30 535 2181 NeoSzámla Használati Útmutató Verziószám: 2014/Q2 Kelt: 2014.07.15 neoszamla.hu info@neoszamla.hu 06 30 535 2181 Tartalom Szolgáltatói adatok... 3 Kiállítható számlák... 3 Regisztráció... 3 A vállalkozás

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

HITELESÍTÉSI ELŐ ÍRÁS HIDEGVÍZMÉRŐ K KOMBINÁLT VÍZMÉRŐ K HE 6/3-2004

HITELESÍTÉSI ELŐ ÍRÁS HIDEGVÍZMÉRŐ K KOMBINÁLT VÍZMÉRŐ K HE 6/3-2004 HITELESÍTÉSI ELŐ ÍRÁS HIDEGVÍZMÉRŐ K KOMBINÁLT VÍZMÉRŐ K HE 6/3-2004 FIGYELEM! Az előírás kinyomtatott formája tájékoztató jellegű. Érvényes változata Az OMH minőségirányítási rendszerének elektronikus

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Tankönyv-választás. igazgató és tankönyvfelelős kérdőív. A válaszadás önkéntes! Ki válaszol a kérdőívre? 2000. 05... nap... óra...

Tankönyv-választás. igazgató és tankönyvfelelős kérdőív. A válaszadás önkéntes! Ki válaszol a kérdőívre? 2000. 05... nap... óra... iskola sorszáma Ki válaszol a kérdőívre? 1 igazgató, aki nem tankönyvfelelős 2 igazgató, aki tankönyvfelelős is 3 tankönyvfelelős, aki pedagógus 4 tankönyvfelelős, aki nem pedagógus Tankönyv-választás

Részletesebben

1993. évi LXXVIII. törvény. a lakások és helyiségek bérletére, valamint az elidegenítésükre vonatkozó egyes szabályokról ELSİ RÉSZ.

1993. évi LXXVIII. törvény. a lakások és helyiségek bérletére, valamint az elidegenítésükre vonatkozó egyes szabályokról ELSİ RÉSZ. 1993. évi LXXVIII. törvény a lakások és helyiségek bérletére, valamint az elidegenítésükre vonatkozó egyes szabályokról Az Országgyőlés a lakások és helyiségek bérletére vonatkozó szabályok egységesítése,

Részletesebben

Lemezgrafitos vasöntvények visszamaradó öntési feszültségének mérése és véges elemes szimulációja

Lemezgrafitos vasöntvények visszamaradó öntési feszültségének mérése és véges elemes szimulációja Lemezgrafitos vasöntvények visszamaradó öntési feszültségének mérése és véges elemes szimulációja Dr. Molnár Dániel Miskolci Egyetem, Műszaki Anyagtudományi Kar, Metallurgiai és Öntészeti Intézet daniel.molnar@uni-miskolc.hu

Részletesebben

5. Mérés Transzformátorok

5. Mérés Transzformátorok 5. Mérés Transzformátorok A transzformátor a váltakozó áramú villamos energia, feszültség, ill. áram értékeinek megváltoztatására (transzformálására) alkalmas villamos gép... Működési elv A villamos energia

Részletesebben

14. előadás JÓLÉTI TÉTELEK

14. előadás JÓLÉTI TÉTELEK 4. előadás JÓLÉTI TÉTELEK Kertesi Gábor Varian 9. fejezetének 9-3. alfejezetei átdolgozva 4. evezető Ennek az előadásnak a során az előző órán vett kéttermékes, kétszereplős, termelés nélküli általános

Részletesebben

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS TARTÁLYOK

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS TARTÁLYOK HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS TARTÁLYOK GEOMETRIAI TARTÁLYHITELESÍTÉS HE 31/4-2000 TARTALOMJEGYZÉK 1. AZ ELŐÍRÁS HATÁLYA 2. MÉRTÉKEGYSÉGEK, JELÖLÉSEK 3. ALAPFOGALMAK 3.1 Tartályhitelesítés 3.2 Folyadékos (volumetrikus)

Részletesebben

Nagyszekeres. Nagyszekeres. Ref. templom. A kapuk és a szentségfülke

Nagyszekeres. Nagyszekeres. Ref. templom. A kapuk és a szentségfülke Nagyszekeres A 4134. sz. úton, amit vasútvonal vág át, előbb Nagyszekeresre térünk. A Szatmárierdőháton, a Gőgö patak partjain fekvő hajdan egyutcás faluban, egy kis szigeten vár ránk a község messze földön

Részletesebben

4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés)

4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés) 4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés) ). A gyártás-előkészítés-irányítás funkcióit, alrendszereit egységbe foglaló (általános gyártási) modellt a 4.1. ábra szemlélteti.

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

Carcassonne - A frigyláda

Carcassonne - A frigyláda Carcassonne - A frigyláda Tervezte: Klaus-Jürgen Wrede 2-5 játékos részére, 8 éves kortól Kiadja: Inspiration Games PO Box 716 Issaquah, WA 98027 www.inspirationgames.com info@inspirationgames.com Józsué

Részletesebben

Méréssel kapcsolt 3. számpélda

Méréssel kapcsolt 3. számpélda Méréssel kapcsolt 3. számpélda Eredmények: m l m 1 m 3 m 2 l l ( 2 m1 m2 m l = 2 l2 ) l 2 m l 3 = m + m2 m1 Méréssel kapcsolt 4. számpélda Állítsuk össze az ábrán látható elrendezést. Használjuk a súlysorozat

Részletesebben

KÉRDÉSEK_TECHNOLÓGIA MUNKATERÜLET: GÉPÉSZET ÉS FÉMMEGMUNKÁLÁS OKTATÁSI PROFIL: LAKATOS

KÉRDÉSEK_TECHNOLÓGIA MUNKATERÜLET: GÉPÉSZET ÉS FÉMMEGMUNKÁLÁS OKTATÁSI PROFIL: LAKATOS KÉRDÉSEK_TECHNOLÓGIA MUNKATERÜLET: GÉPÉSZET ÉS FÉMMEGMUNKÁLÁS OKTATÁSI PROFIL: LAKATOS 1. Egy vagy több nagyság összehasonlítását egy másik azonos nagysággal, a következő képen nevezzük: 2 a) mérés b)

Részletesebben

HODÁSZ NAGYKÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELŐ-TESTÜLETÉNEK. 10 / 2016. (IV.28.) önkormányzati rendelete

HODÁSZ NAGYKÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELŐ-TESTÜLETÉNEK. 10 / 2016. (IV.28.) önkormányzati rendelete HODÁSZ NAGYKÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELŐ-TESTÜLETÉNEK 10 / 2016. (IV.28.) önkormányzati rendelete az önkormányzati címer, zászló és a településnév használatának rendjéről Hodász Nagyközségi Önkormányzat

Részletesebben

Röntgentechnikai cellulóz- és rostvizsgálatok

Röntgentechnikai cellulóz- és rostvizsgálatok Röntgentechnikai cellulóz- és rostvizsgálatok Irta: Worsehitz Frigyes, oki. erdőmérnök, erdőmérnöki doktor (Bevezetés) A növényi rostok alapanyagát egy sokkristályos test, a cellulóz alkotja, melyekben

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged A kombinatorika másfajta gondolkodást és így a tanár részéről a többi témakörtől eltérő óravezetést igényel. Sok esetben tapasztalhatjuk, hogy

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe

Részletesebben

Tevékenység: Gyűjtse ki és tanulja meg a lemezkarosszéria alakítástechnológia tervezés-előkészítésének technológiai lépéseit!

Tevékenység: Gyűjtse ki és tanulja meg a lemezkarosszéria alakítástechnológia tervezés-előkészítésének technológiai lépéseit! Gyűjtse ki és tanulja meg a lemezkarosszéria alakítástechnológia tervezés-előkészítésének technológiai lépéseit! Maga az alakítástechnológia tervezés-előkészítése alapvetően négy-, egymástól jól elkülöníthető

Részletesebben

JOGI ADATBANK CompLex.hu. Hatalmas adatbázis, hatalmas lehetőségekkel az interneten.

JOGI ADATBANK CompLex.hu. Hatalmas adatbázis, hatalmas lehetőségekkel az interneten. JOGI ADATBANK CompLex.hu Hatalmas adatbázis, hatalmas lehetőségekkel az interneten. BEVEZETŐ Tisztelt Ügyfelünk! Dr. Ződi Zsolt szerkesztőség igazgató A 21. század új kihívásokkal néz szembe. A változások

Részletesebben