20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

Átírás

1 . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat egyenlete Egy alakzat egyenlete olyan algebrai egyenlet vagy összefüggés, melyet egy pont koordinátái akkor és csak akkor elégítenek ki, ha a pont rajta van az alakzaton. Kör Def.:Egy adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon. Az adott pont a kör középpontja, az adott távolság a kör sugara. Tétel: A kör egyenlete A kör középpontja O(u; v), sugara r. Ekkor a kör egyenlete:k: (x u) + (y v) = r. Bizonyítás: P(x; y)legyen a sík egy tetszőleges pontja. P ε kd(o; P) = r pont távolságára vonatkozó képletet használjuk (O(u; v), P(x; y)) d O; P = x u + y v = r Mindkét oldal pozitív, így a négyzetre emelés ekvivalens lépés. (x u) + (y v) = r Az ekvivalencia miatt csak a kör pontjai elégítik ki az egyenletet. Ha behelyettesítünk egy pontot a kör egyenletének bal oldalába, megtudjuk a körhöz viszonyított helyzetét: ha kisebb, mint r, akkor és csak akkor a körvonalon belül van ha egyenlő r, akkor és csak akkor a körvonalon van ha nagyobb, mint r, akkor és csak akkor a körvonalon kívül van Parabola A parabola egy adott egyenestől és egy rá nem illeszkedő ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon. Adott pont a fókuszpont, adott egyenes a vezéregyenes. A parabola tengelyesen szimmetrikus alakzat, szimmetriatengelye a fókuszpontból a vezéregyenesre állított merőleges egyenes. A szimmetriatengely és a parabola metszéspontját hívják tengelypontnak. szimmetriatengely fókuszpont tengelypont vezéregyenes paraméter A fókuszpont és a vezéregyenes távolsága a parabola paramétere. A körhöz hasonlóan itt is levezethető a definícióból a parabola egyenlete, de itt lehet a paraméter előjeles távolság.

2 Parabola egyenlete (abban az estben, ha a vezéregyenes valamelyik koordinátatengellyel párhuzamos) y x p y x u v p x y p - - x y v u p - -

3 Kétismeretlenes másodfokú egyenletről egyértelműen megállapítható, hogy kör egyenlete-e: A x + B y + C x + D y + E xy + F = Kör egyenlete lehet, ha E = szükséges feltételek A = B Ekkor teljes négyzetté kell alakítani, majd a konstansokat a másik oldalra rendezzük. A x + A y + C x + D y + F = (x u) + (y v) = α ha α >, akkor kör egyenlete ha α =, akkor egyetlen pont ha α <, akkor üres alakzat (nincs olyan pont, ami kielégítené) ( Kétismeretlenes másodfokú egyenlet a következő alakzatokat írhatja le: (üres alakzat) egyenes egyenes pont kör kúpszelet (parabola, ellipszis, hiperbola) ) Azt, hogy parabola, nem lehet egyértelműen eldönteni, mivel középiskolában a ferdeszögű parabola egyenletét nem ismerjük. Álló vagy fekvő helyzetű parabolának felismerhető az egyenlete. Kör, parabola és egyenes kölcsönös helyzete Metszéspontjaik meghatározása a megfelelő egyenletrendszer megoldását igényli. Kör és egyenes(a közös pontok száma egyértelműen meghatározza a kölcsönös helyzetet.) közös pont elkerülők nincs megoldás közös pont egyenes érintő megoldás közös pont egyenes szelő megoldás Parabola és egyenes közös pont elkerülők nincs megoldás közös pont egyenes érintő, vagy párhuzamos a szimmetriatengellyel és metsző megoldás közös pont metsző megoldás (különböző sugarú) kör Lehet, vagy közös pont. A közös pontok száma kiderül az egyenletrendszer megoldásából. Pontosabb meghatározáshoz a középpontok távolságát és a sugarakat kell vizsgálni. (különböző) parabola,,, vagy 4 közös pont lehet. Kör és parabola,,, vagy 4 közös pont lehet.

4 Alkalmazások Elsősorban fizikán belül o a centrifuga a kör tulajdonságait használja ki o az üstökösök pályája parabola és űrszondákat is így gyorsítanak bolygók mellett o vízszintesen elhajított test pályája félparabola o a csillagászatban körrel közelíthető a bolygók Nap körüli pályája valójában ellipszis o a rakétakilövő állomásokat az Egyenlítőhöz közel telepítik a centrifugális erő miatt o f(x)=x függvény ábrája parabola o parabolaantenna forgásparaboloid fókuszpont MÁSODFOKÚ EGYENLŐTLENSÉG Általános alakja (ha már -ra rendeztük) ax + bx + c (a, a, b, c R). fajta megoldása a) Ha ax + bx + c = egyenletnek vannak gyökei, akkor szorzattá alakítható a gyöktényezős alak segítségével a bal oldal. a(x x )(x x ) Tudjuk, hogy másodfokú parabola x,x zérushelyek a > felfelé fordított a < lefelé fordított A nyújtás a feladat szempontjából nem fontos. Az ábráról leolvasható a megoldás. b) Ha ax + bx + c = egyenletnek nincsenek gyökei, akkor teljes négyzetté alakítjuk és ábrázoljuk. Ekkor ha a >, akkor az egész parabola az x tengely felett van ha a <, akkor az x tengely alatt Ilyenkor vagy minden x megoldás (x R), vagy nincs megoldás.

5 . fajta megoldás Alkalmazható nem csak a másodfokú egyenlőtlenségre. a) Ha vannak gyökök a(x x )(x x ) Számegyenesen ábrázoljuk az egyes tényezők előjelét (a szorzat előjele csak a tényezők előjelétől függ) a x-x x-x x x Alkalmazható magasabbfokú egyenlőtlenség megoldására is, ha szorzattá alakítható. b) Ha nincsenek gyökök, akkor az. fajta megoldás b) részéhez hasonlóan lehet megoldani.