Bevezetés az elméleti zikába

Átírás

1 Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011

2 TARTALOMJEGYZÉK

3 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete két változóban másodfokú, másodrend görbéknek nevezzük. Ezen görbék általános egyenlete tehát F (x, y) a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0, ahol az a 11, a 12, a 22 együtthatók nem lehetnek mindannyian nullával egyenl k. Ezeket a görbéket kúpszeletek nek is mevezzük, megkaphatjuk a teljes forgáskúpfelületnek síkkal történ metszése által (1 ábra). A fenti egyenlet által leírt görbe tipusát a a 11 a ábra. Kúpszeletek mint kúpnak síkkal való metszetéb l származó görbék. a 2 12 metrikus invariáns el jele dönti el. Ha > 0, a görbe egy ellipszis; Ha a 11 = a 22 és a 12 = 0 az egyenlet egy kör t ír le; Ha = 0, az egyenlet egy parabola görbét ír le; Ha < 0, az egyenlet egy hiperbolát ír le;.(az elnevezések Apolloniosz tól származnak); Ha a 11 + a 22 = 0 akkor derékszög hiperboláról beszélünk. Alkalmazva megfelel eltolással és elforgatással (ortogonális transzformációval) kapott koordinátarendszert, a fenti görbék kanónikus egyenletei: kör: x 2 + y 2 = a 2 ellipszis: x2 a 2 + y2 b 2 = 1 parabola: y 2 = 4ax, x 2 = 4ay hiperbola: x2 a 2 y2 b 2 = 1, x 2 a 2 y2 b 2 = 1 derékszög hiperbola: x y = c 2 Vegyük észre, hogy a kör, ellipszis és hiperbola szimmetrikus az x és y-tengelyekre nézve. A parabola csak az x vagy csak az y-tengelyre nézve szimmetrikus. A derékszög hiperbola szimmetriatengelyei y = ±x. A kezd pontot középpontnak, az ellipszist és hiperbolát középpontos(centrális) kúpszeletnek nevezzük. Ezeket a standard alakzatokat felírhatjuk parametrikus egyenletek segitségével is a következ képpen :

4 TARTALOMJEGYZÉK 7 kör : x = a cos ϑ, y = a sin ϑ; ellipszis : x = a cos ϑ, y = b sin ϑ; parabola : x = at 2, y = 2at; hiperbola : x = ±a cosh u, y = b sinh u; derékszög hiperbola : x = ct, y = c t. A fenti kúpszeleteket sokféleképpen lehet deniálni.az egyik legközvetlenebbül célravezet eljárás a következ : kúpszeletnek nevezzük azon P pontok mértani helyét, amelyeknek egy rögzített F (fókusz -)ponttól mért F P távolsága egy rögzített vezéregyenest l (direktrix t l) mért P K távolságának ε-szorosa, ahol az ε (excentricitás) pozitív állandó 1. Jelöljük p-vel az F pont távolságát a vezéregyenest l (F X szakasz)az ú.n.fokuszparaméter, legyen r az F és P pontok közötti távolság és jelöljük ϑ-val az F X és F P szakaszok irányai közötti szöget (2). 2. ábra. Kúpszeletek meghatározása síkgeometriai eszközökkel. Azon azon P pontok mértani helye, amelyeknek egy rögzített F (fókusztól ) mért F P távolsága egy rögzített vezéregyenest l (direktrixt l ) mért P K távolságának ε-szorosa (ε = F P/F X), ahol az ε (excentricitás) pozitív állandó. ε > 1: hiperbola, ε = 1: parabola, ε < 1: ellipszis Következésképpen: r = F P = ε P K = ε(l r cos ϑ) = εp εr cos ϑ, 1 Err l a denicióról valószín leg alexandriai Pappos(i.ú.negyedik század) bizonyította be, hogy ekvivalens az egyéb deniciókkal, amelyeket a kúpszeletekre Menékhmosz i.e.340 körül adott.

5 8 TARTALOMJEGYZÉK és így r = εp 1 + ε cos ϑ. Az ábrán látható F LH útvonalra alkalmazva a fenti összefüggést F L = εp ahol F L l az ú.n. semi-latus rectum. Tehát írhatjuk, hogy r = l 1 + ε cos ϑ ami megadja a kúpszeletek általános egyenletét polár koordinátákkal. A kezd pontot az F fókuszpontban választottuk. Áttérve a derékszög koordinátarendszerre azt kapjuk, hogy x 2 + y 2 = (l εx) 2 Összevonások és a koordinátarendszer eltolása után visszakapjuk a kúpszeletek fentebb már megadott kanónikus egyenleteit ha az excentricitás (ε) és a vezéregyenes fokuszponttól mért távolságának (p = l ε ) ill. a semi-latus magnus (l) értéke (ábra): kör : ε = 0, p =, l = r, ellipszis : 0 < ε a2 b 2 a < 1, p = b 2 a2 b 2, l = b2 a, parabola : ε = 1, p = 2a, l 2a, hiperbola : ε a2 + b 2 a > 1, p = b 2 a2 + b 2, l = b2 a. A fentebb tárgyalt ellipszisnek, hiperbolának és parabolának van egy-egy alepvet tulajdonsága, amely egyértelmüen meghatározza ezeket a görbéket. Két síkbeli (F 1, F 2 ) ú.n. fókuszpont esetén, azon síkbeli P pontok mértani helye amelyekre a két fókuszponttól mért távolságok összege állandó egy ellipszis. Tehát ellipszis esetén : F 1 P + F 2 P = 2a = r 1 + r 2 = 2a. Ha a két fókuszpont távolsága F 1 F 2 2c ahol c OF 1 = OF 2 lineáris excentricitás a fókuszpont távolsága az (O) középponttól (centrumtól), az (ábra) alapján belátható, hogy az ellipszis a-nagyféltengelye, (b)-kisféltengelye és a c-lineáris excentricitása között Pythagoras tétele szerint b 2 = a 2 c 2. Hasonlóan, ha két síkbeli (F 1, F 2 ) ú.n. fókuszpont esetén, azon síkbeli P pontok mértani helye amelyekre a két fókuszponttól mért távolságok különbsége állandó egy hiperbola(ábra). Tehát hiperbola esetén : F 1 P F 2 P = 2a(const.) = r 1 r 2 = 2a. Ebben az esetben (ábra) b 2 = c 2 a 2 ahol b a képzetes féltengely, a pedig a valós féltengely. Végül, azon síkbeli P pontok mértani helye amelyekre a fókuszponttól és egy egyenest l (vezéregyenes t l) mért távolságok egyenl ek (amint már el z leg láttuk) parabolának nevezzük. A fenti meghatározások egyenértéküségét a kúpszeletek által kapott görbékkel,

6 TARTALOMJEGYZÉK 9 tudniilik : a forgáskúp csúcsán át nem haladó, a kúp tengelyére nem mer leges sík a kúpfelületett ellipszisben, hiperbolában vagy parabolában metszi (1 ábra), a legegyszerübben az ú.n. Dandelin-féle gömbök segítségével igazolhatjuk 2. A kúpszeletek P (x 1, y 1 ) 3. ábra. Kúpszeletnek ellipszisként való azonosítása a Dandelin-gömbök segítségével. A keresztmetszet fölé és alá két maximális sugarú (R 2, R 1 ) érint gömböt szerkesztünk. Ezeknek a metsz síkkal való érintkezési pontjaik F 2 illetve F 1 és a kúppal való érintkezéseik kör keresztmetszetei párhuzamosak tehát P 1 P 2 = P 1 P + P P 2 =állandó. Bármely pontból egy gömbhöz húzott érint k hossza ugyanaz, ezért P F 1 = P P 1 és P F 2 = P P 2. Következésképpen F 1 P + F 2 P =állandó. pontján áthaladó érint egyeneseinek egyenlete : kör :x 2 + y 2 = r 2, xx 1 + yy 1 = r 2 ; ellipszis : x2 a 2 + y2 b 2 + 1, xx 1 a 2 + yy 1 b 2 = 1; parabola : y 2 = 4ax, yy 1 = 2a(x + x 1 ); hiperbola : x2 a 2 y2 b 2 = 1, xx 1 a 2 yy 1 b 2 = 1. Általánosabb esetben,ha a kúpszelet egyenlete : Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + F = 0, 2 G.P.Dandelin (ejtsd:dandölen), ,francia mérnök

7 10 TARTALOMJEGYZÉK akkor az érint egyenessének az egyenlete : Axx 1 + B(x 1 y + xy 1 ) + Cyy 1 + F = 0 Ha öt pont között nincs négy egy egyenesen elhelyezked, akkor csak egy olyan másodrend görbe van, amely mind az öt pontot tartalmazza. Az öt P i (x i, y i ), i {1, 2, 3, 4, 5} pontokon átmen kúpszelet egyenlete : x 2 xy y 2 x y 1 x 2 1 x 1 y 1 y1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 x 2 y 2 y2 2 x 2 y 2 1 x 2 3 x 3 y 3 y3 2 x 3 y 3 1 = 0 x 2 4 x 4 y 4 y4 2 x 4 y 4 1 x 5 x 5 y 5 y5 2 x 5 y 5 1