Geometria II gyakorlatok

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Geometria II gyakorlatok"

Átírás

1 Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: május 8.

2 Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés képernyő előtti tanuláshoz van optimalizálva. Ez elsősorban azt jelenti, hogy az olvasás során nem kell görgetni; ha a megjelenítéskor a teljes oldal opciót választjuk, akkor kényelmesen olvasható szöveget kapunk még viszonylag kis monitoron is. A szöveg belső linkeket tartalmaz. A lapok alján elhelyezett navigációs panel lehetőségeit Acrobat Reader-rel tudjuk teljes mértékben kihasználni. Ha egy link elvezet egy másik oldalra, az eredeti oldalhoz a Back gombbal tudunk visszajutni. Fontos megjegyezni, hogy R n -et gyakran beazonosítjuk R n 1 -el, azaz a pontokat, vektorokat oszlopmátrixként is felfoghatjuk, erre külön utalás általában nem történik! 2

3 1. gyakorlat 3 Tengelyes tükrözés a síkban

4 4 FELHASZNÁLT ISMERETEK tengelyes tükrözés (vektorgeometriai alak): (1) ρ l : R 2 R 2, X X 2 X P, n n, ahol P az l tengely egy tetszőleges pontja, n a tengelyre merőleges (valamelyik) egységvektor tükrözés origóra illeszkedő tengelyre (mátrix alak): (2) ρ l : R 2 R 2, X ref(α)x, ahol α a tengely irányszöge és ( cos 2α ref(α) = sin 2α ) sin 2α cos 2α tükrözés nem origóra illeszkedő egyenesre (TTT): (3) ρ l : R 2 R 2, X ref(α)(x P) + P, ahol α az egyenes irányszöge és P a tengely egy pontja. (jegyzet: 1.3)

5 AZ ALÁBBI TÍPUSFELADATOKAT KELL KÉSZSÉG SZINTEN ISMERNIE: 5 pont tükrözése egyenesre egyenes tükrözése egyenesre

6 1.1. Mintafeladat. Tükrözzük az X = (4, 5) pontot a 3x + 4y = 5 egyenletű l egyenesre! 1. Megoldás. A feladatot először egyszerű középiskolás eszközökkel oldjuk meg. l egy irányvektora v = ( 4, 3). A tükörkép legyen X = (x, y ). Az XX szakasz M = ( 4+x, 5+y ) felezőpontja illeszkedik l-re, tehát M 2 2 koordinátái kielégítik l egyenletét: (4) x y = 5 = 3x + 4y = (X X ) v azaz X X, v = 0. X X = (4 x, 5 y ), tehát (5) 4(4 x ) + 3(5 y ) = 0 = 4x 3y = 1. Az (4) és (5) egyenletekből álló egyenletrendszert (pl. a Cramer-szabály szerint) megoldva: x 42 4 = 1 3 / = y 3 42 = 4 1 / = Back Doc Doc 6

7 1.2. Mintafeladat. Tükrözzük az X = (4, 5) pontot a 3x + 4y = 5 egyenletű l egyenesre! 2. Megoldás. A feladatot most a tengelyes tükrözés vektorgeometriai alakja, azaz az (6) X = X 2 X P, n n formula alapján oldjuk meg, ld. (1). A tengelyen egy pontot úgy kaphatunk, hogy a tengely egyenletében x vagy y helyére beírunk egy számot és a másik koordinátát kifejezzük. Pl. x = 1 esetén y = 2, így P = (1, 2), X P = (3, 7) l egy normálvektora n = (3, 4). n = = 5, tehát l egyik egységnyi hosszúságú normálvektora n = (3/5, 4/5). Így X P, n = = Koordinátánként behelyettesítve (6)-ba: x = = y = = Back Doc Doc 7

8 1.3. Mintafeladat. Tükrözzük az X = (4, 5) pontot a 3x + 4y = 0 egyenesre! Megoldás. Mivel a tengely átmegy az origón, ezért a (2) mátrix alak is használható: Először meghatározzuk a tengely irányszögét: 8 Az ábra alapján sin α = 3/5, cos α = 4/5, így sin 2α = 2 sin α cos α = 24/25, cos 2α = cos 2 α sin 2 α = 7/25. Behelyettesítve (2)-be x = = y = = Back Doc Doc

9 1.4. Mintafeladat. Tükrözzük az X = (4, 5) pontot a 3x + 4y = 5 egyenletű l egyenesre! 9 3. Megoldás. Az 1.4 mintafeladatot most (3) alapján (TTT szabály) oldjuk meg. Az egyenessel párhuzamos, de az origón áthaladó egyenes egyenlete 3x + 4y = 0. Ez megegyezik az előző feladatban szereplő egyenessel, így a ref(α) mátrixot ismerjük, a tengely egy pontja P = (1, 2), X P = (3, 7). A TTT formula szerint: ( x y ) = ( 7/25 24/25 24/25 7/25 ) ( 3 7 ) + ( 1 2 ) = ( 122/25 171/25 ).

10 1.5. Mintafeladat. Tükrözzük a 4x + 3y = 2 egyenletű e egyenesre az y = 2x + 1 egyenletű f egyenest! 10 Megoldás. Az inverz leképezés elve: X ρ e (f ) ρ 1 e (X) f. Tengelyes tükrözésre ρ 1 e = ρ e, tehát X ρ e (f ) ρ e (X) f. Az előző mintafeladatok valamelyike alapján kiszámítjuk ρ e leképezés analitikus szabályát. Ez azt jelenti, hogy nem egy konkrét pont, hanem az általános X = (x, y) pont tükörképét számítjuk ki. Ha ez a lépés nem megy önállóan (de csak akkor), ugorjunk a következő oldalra. Az eredmény x 7x 24y + 16 = 25 y 24x + 7y + 12 =. 25 Az inverz leképezés elve alapján (x, y ) kielégíti f egyenletét: 24x + 7y + 12 = 2 25 rendezve kapjuk a végeredményt: 7x 24y x + 55y = ,

11 Útmutatás. A 4x + 3y = 2 egyenesre történő tükrözés analitikus szabályát mindhárom tanult módszer alapján kiszámíthatjuk. Itt a vektorgeometriai formulát követjük. Az egyenes egyik normálvektora (4, 3), ennek hossza 5, így az egyenesre merőleges egyik egységvektor n = (4/5, 3/5). Egy egyenesre illeszkedő pont pl. P = (2, 2). Az (1) vektorgeometriai alakba helyettesítünk be. X P, n = 4 5 (x 2) + 3 4x + 3y 2 (y + 2) =, 5 5 így (koordinátánként behelyettesítve): x 4x + 3y 2 = x 2 5 y = y 2 4x + 3y = 7x 24y x + 7y + 12 =

12 2. gyakorlat 12 Forgatás a síkban

13 13 FELHASZNÁLT ISMERETEK elforgatás az origó körül (mátrix alak): (7) σ α : R 2 R 2, X rot(α)x, ahol α a forgatás szöge és ( cos α rot(α) = sin α ) sin α cos α elforgatás tetszőleges pon körül (TFT): (8) σ (C,α) : R 2 R 2, X rot(α)(x C) + C, ahol C a forgatás középpontja és α a forgatás szöge (jegyzet: 1.3)

14 AZ ALÁBBI TÍPUSFELADATOKAT KELL KÉSZSÉG SZINTEN ISMERNIE: 14 pont elforgatása pont (speciálisan az origó) körül a síkban egyenes elforgatása pont körül a síkban valódi elforgatás centrumának megkeresése

15 2.1. Mintafeladat. Forgassuk el az X = ( 2, 1) pontot az origó körül α = π/3 szöggel! 15 Bizonyítás. Mivel a forgatás középpontja az origó, elegendő a (7) képletbe behelyettesíteni: ( ) ( ) ( ) x cos π sin π 2 = y 3 3 sin π cos π x = cos π 3 ( 2) sin π 3 1 = y = sin π 3 ( 2) + cos π 3 1 =

16 2.2. Mintafeladat. Forgassuk el az X = ( 2, 1) pontot a C = (1, 1) pont körül α = π/3 szöggel! 16 Megoldás. A (8) TFT szabályt alkalmazzuk. X C = ( 3, 0). ( ) ( ) ( ) ( ) x cos π sin π 3 1 = y 3 3 sin π cos π +, x = ( 3) = y = 2 ( 3) =

17 2.3. Mintafeladat. Forgassuk el a 3x + 2y = 1 egyenletű l egyenest a C = (1, 1) pont körül α = π/3 szöggel! 17 Megoldás. Az inverz leképezés elvét alkalmazzuk: X σ (C,α) (l) σ 1 (C,α) (X) l. Mivel σ 1 (C,α) = σ (C, α), így a σ 1 (C,α) leképezés analitikus szabálya: ( ) ( x cos ( ) π sin ( ) ) ( ) ( ) π = y 3 3 sin ( ) π cos ( x 1 1 ) π +, y x = (x 1) + 2 (y 1) + 1 = x + 2 y y = 2 (x 1) (y 1) + 1 = 2 2 x y (x, y ) kielégíti a 3x + 2y = 1 egyenletet: ( x + 2 y + 1 ) ( x y ) 3 = 1. 2 Hozzuk az eredményt egyszerűbb alakra!

18 2.4. Mintafeladat. Legyen F(X) = rot(α)x + b, ahol α = π/6, b = (2, 1). F egy forgatás. Határozzuk meg a centrumát! 18 Megoldás. Az F leképezés fixpontját keressük, azaz olyan X pontot, melyre F(X) = X: ( ) ( ) ( ) ( ) x cos π sin π x 2 = 6 6 y sin π cos π + y A mátrix műveleteket elvégezve az alábbi lineáris egyenletrendszert kapjuk: (2 3)x + y = 4 x + (2 3)y = 2. Az egyenletrendszer megoldása 3 x = 2, y = ( 3 Tehát a centrum C =, ).

19 3. gyakorlat 19 Affin transzformációk a síkban

20 20 FELHASZNÁLT ISMERETEK affin transzformáció mátrix alakja: A GL(2) (a transzformáció lineáris része), b R 2 (az eltoló vektor), F : R 2 R 2, X AX + b speciális affin ( transzformációk: ) A O(2): izometria a ±b A =, (det A 0): hasonlóság b a egyenes képe: A P + L(v) egyenes képe F(P) + L(Av) az affin transzformáció fixpontjai: az (9) (A I)X = b inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldás halmaza az affin transzformáció inverze: (10) X A 1 X A 1 b alaptétel: Háromszög és képe az affin transzformációt egyértelműen meghatározza.

21 AZ ALÁBBI TÍPUSFELADATOKAT KELL KÉSZSÉG SZINTEN ISMERNIE: 21 izometria, hasonlóság felismerése affin transzformáció mátrix alakjából pont képének meghatározása a transzformáció fixpontjainak meghatározása a transzformáció fixegyeneseinek meghatározása (*) a transzformáció inverzének meghatározása egyenes (alakzat) képének meghatározása affin transzformáció analitikus felírása, ha ismert egy háromszög és a képe

22 Az affin transzformáció algebrai megadására többféle, egymással ekvivalens formát alkalmazhatunk: 1. megadjuk transzformáció lineáris részét és eltoló vektorát: ( ) a b GL(2), (e, f ) R 2 ; c d 2. megadjuk a transzformáció analitikus szabályát: x = ax + by + e, y = cx + dy + f ; 3. megadjuk a transzformáció homogén reprezentációját: a b e c d f GL(3)

23 3.1. Mintafeladat. Legyen F : R 2 R 2, X F(X), ( ) ( ) F(X) = X F affin transzformáció-e? 2. F izometria-e? 3. Határozzuk meg az (4, 2) pont képét! 23 Megoldás. 1. A transzformáció lineáris része ( ) 4 1 A =. 2 1 det A = 2 0, tehát az F leképezés affin leképezés. 2. A nem ortogonális mátrix, tehát F nem izometria. (Miért? Ha önállóan nem tudja a választ, akkor a következő oldalon találja az útmutatást.) 3. ( ) ( ) ( ) ( ) =

24 Útmutatás. Egy ortogonális mátrix determinánsa szükségképpen ±1. Így azt, hogy A nem ortogonális mátrix, már onnan is látjuk, hogy determinánsa 2. Az előbbi állítás visszafele nem igaz, egy ±1 determinánsú mátrix nem feltétlenül ortogonális mátrix. Másik megoldásként kiszámíthatjuk A inverzét, A 1 = 1 2 ( ) A t. Innen ismét látjuk, hogy A nem ortogonális mátrix. 24

25 3.2. Mintafeladat. Legyen F : R 2 R 2, X F(X), ( ) ( ) F(x) = X Határozzuk meg a transzformáció fixpontjait! 25 Megoldás. Olyan (x, y) pontokat keresünk, amelyre ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 x 2 x + =. 2 1 y 1 y Azaz a fixpontok komponensei kielégítik az ( ) ( ) ( ) 3 1 x 2 = 2 0 y 1 inhomogén lineáris egyenletrendszert. (Ez nem más, mint a (9) egyenletrendszer. Jelen esetben ez az egyenletrendszer megoldható és a megoldás egyértelmű: x = 1 2, y = 7 2 azaz a transzformáció egyetlen fixpontja (1/2, 7/2).

26 3.3. Mintafeladat. Legyen x = 2x + 4y + 2 y = 3x 3y 2 Határozzuk meg a transzformáció fixpontjait! 26 Megoldás. Olyan (x, y) pontokat keresünk, amelyre Azaz x = 2x + 4y + 2 y = 3x 3y 2. 3x 4y = 2 3x + 4y = 2. A két egyenlet arányos, azaz (pl.) a második egyenlet elhagyható, így a fixpontok (és csakis azok) kielégítik a egyenletet. 3x 4y = 2

27 3.4. Mintafeladat. Legyen F : R 2 R 2, X F(X), ( ) ( ) F(x) = X Határozzuk meg a transzformáció inverzét! 27 Megoldás. A (10) képletbe helyettesítünk be: ( ) ( A 1 1/2 1/2 =, A 1 1/2 1/2 b = Tehát az inverz transzformáció: ( ) ( x 1/2 1/2 y 1 2 ) ( ) x y ) ( ) 2 1 ( ) 3/2 =. 4 ( ) 3/2 +. 4

28 3.5. Mintafeladat. Legyen F : R 2 R 2, X F(X), ( ) ( ) F(x) = X Határozzuk meg az y = 2x + 1 egyenes képét! 28 Megoldás. Az inverz leképezés elvét alkalmazzuk: X F(e) F 1 (X) e. Az előző feladat alapján X = (x, y) ősképe x = 1 2 x 1 2 y 3 2 y = x + 2y + 4. Az inverz leképezés elve szerint (x, y ) kielégíti az y = 2x+1 egyenletet, azaz ( 1 x + 2y + 4 = 2 2 x 1 2 y 3 ) Rendezve a 2x 3y = 6 egyenletet kapjuk.

29 3.6. Mintafeladat (*). Legyen F : R 2 R 2, X F(X), ( ) ( ) F(x) = X Határozzuk meg a transzformáció fixegyeneseit. 29 Megoldás. ( Az X) 0 +L(v) fixegyenes v irányvektora a lineáris rész sajátvektora. A =, A karakterisztikus egyenlete (1 λ) 2 4 = 0; a saját értékek λ 1 = 3, λ 2 = 1; a hozzájuk tartozó egy-egy sajátvektor v 1 = (1, 1), v 2 = (1, 1). (F(X 0 ) X 0 ) v. Ha X 0 = (x, y), akkor F(X 0 ) X 0 = (2y + 1, 2x 1). v 1 = (1, 1) esetén azt kapjuk, hogy 2y + 1 = 2x 1, azaz y = x 1, ez az egyik fixegyenes egyenlete. v 2 = (1, 1) esetén azt kapjuk, hogy 2y + 1 = 2x + 1, azaz y = x, ez a másik fixegyenes egyenlete. A 3.5. mintafeladat alapján ellenőrizzük, hogy ezeknek az egyeneseknek a képe valóban önmaga.

30 30 1 a Mintafeladat (*). Határozzuk meg a GL(3), a 0 homogén reprezentánsú affin transzformáció fixelemeit! (Nyírás.) Megoldás. A fixpontok a ( ) 0 a alapmátrixú homogén lineáris egyenletrendszer (azaz ay = 0) megoldásai. Innen y = 0, x R, azaz a fixpontok halmaza az x-tengely. Ez egyben azt is jelenti, hogy az x-tengely fixegyenes (ráadásul pontonként fix). A fixegyenesek irányvektorai a lineáris rész sajátvektorai. A sajátértékek a 1 λ a 0 1 λ = 0 = (1 λ)2 = 0 karakterisztikus egyenlet megoldásai, azaz λ 1 = λ 2 = 1. Az ehhez tartozó sajátalteret (1, 0) generálja. (F(X 0 ) X 0 ) v. Legyen X 0 = (x, y), ekkor F(X 0 ) X 0 = (ay, 0). Ez a vektor mindig párhuzamos az (1, 0) vektorral, azaz minden olyan egyenes, amely párhuzamos az x tengellyel, fixegyenes.

31 31 1 a Mintafeladat (*). Határozzuk meg a 0 b 0 GL(3), a 0, b 0, b 1 homogén reprezentánsú affin transzformáció fixelemeit! (Ferde affinitás.) Megoldás. A fixpontokat az ay = 0, (b 1)y = 0 egyenletrendszer megoldáshalmaza, azaz y = 0 adja. A fixpontok halmaza tehát az x-tengely. A lineáris rész karakterisztikus egyenlete (1 λ)(b λ) = 0, a sajátértékek λ 1 = 1 és λ 2 = b. A λ 1 = 1 sajátértékhez tartozó invariáns alteret (1, 0) generálja. A korábban már megismert módszer szerint ez az y = 0 egyenest adja fixegyenesnek. (Erről tudjuk, hogy pontonként fix.) A λ 2 = b sajátértékhez tartozó invariáns alteret (a, b 1) generálja. Ha a fixegyenes egy pontja X 0 = (x, y), akkor F(X 0 ) X 0 = (ay, (b 1)y) = y(a, b 1), amely tetszőleges y-ra páruzamos az (a, b 1) vektorral. Így minden (a, b 1) irányvektorú egyenes fixegyenes.

32 3.9. Mintafeladat. Határozzuk meg az x 2 + y 2 = 1 egyenletű k kör képét a b 0 GL(3), b 1 homogén reprezentánsú merőleges affinitásnál Megoldás. A transzformáció lineáris része A = 32 ( ) 1 0. Az inverz leké- 0 b pezés elvét ( alkalmazzuk: ) P k F 1 (P) = A 1 P k. A =, A 1 (x, y) t = (x, y/b), így a képalakzat egyenlete 0 1/b x 2 + y 2 /b 2 = 1. Ez egy ellipszis egyenlete, nagytengelye 1, kistengelye b.

33 3.10. Mintafeladat. Írjuk föl azt az affin transzformációt, amely az O = (0, 0), E 1 = (1, 0), E 2 = (0, 1) pontokat rendre a P, Q, R pontokba viszi, ahol (P, Q, R) nem kollineárisak! Legyen P = (3, 2), Q = (5, 8), R = (7, 3). ( a Megoldás. Legyen a keresett F transzformáció lineáris része A = c az eltoló vektor (e, f ). A feltétel szerint: P = F(0, 0) = (e, f ) = (e, f ) = P, Q = F(1, 0) = (a, c) + (e, f ) = (a, c) = Q P, R = F(0, 1) = (b, d) + (e, f ) = (b, d) = R P. A konkrét adatokkal: (e, f ) = (3, 2), (a, c) = (5, 8) (3, 2) = (2, 6), (b, d) = (7, 3) (3, 2) = (4, 1). 33 ) b, d Így a transzformáció: x = 2x + 4y + 3, y = 6x + y + 2. (A feladatba való visszahelyettesítéssel ellenőrizzünk!) Back Doc Doc

34 3.11. Mintafeladat. Írjuk föl azt az affin transzformációt, amely a P, Q, R pontokat rendre a P, Q, R pontokba viszi! 34 Megoldás. A megoldás algoritmusa: 1. F 1 : (O, E 1, E 2 ) (P, Q, R) az előző mintafeladat alapján 2. F 2 : (O, E 1, E 2 ) (P, Q, R ) az előző mintafeladat alapján 3. F 1 1 a 3.4. mintafeladat alapján 4. F 2 F 1 1 adja a keresett transzformációt. Back Doc Doc

35 3.12. Mintafeladat. Írjuk föl azt az affin transzformációt, amely a (2, 3), (1, 6), (3, 1) pontokat rendre a (1, 2), (2, 1), ( 3, 5) pontokba viszi! Megoldás. A mintafeladat algoritmusát követjük. Az algoritmus első három lépése korábban már előfordult feladatokban, itt csak végeredményt adunk meg F 1 (X) = ( ) ( ) X ( ) ( ) F 2 (X) = X ( 1 (X) = 4 3 F 1 ) ( ) 1 11 X ( ) ( ) F 2 F 1 1 (X) = X Az utolsó lépéshez útmutatást talál a következő oldalon. 35

36 Útmutatás. F = F 2 F 1 1 (( (X) = ) ( )) = F 2 X + = ( ) (( ) ( )) = X ( ) ( ) ( = X ( ) ( ) = X ( ) 1 + = 2 ) = 36

37 4. gyakorlat 37 Számolás homogén koordinátákkal

38 AZ ALÁBBI TÍPUSFELADATOKAT KELL KÉSZSÉG SZINTEN ISMERNIE: 38 A homogén koordináták módszerével az alábbi problémák megoldása: két pontra illeszkedő egyenes egyenlete két egyenes metszéspontja egyenes végtelen távoli pontjának meghatározása adott ponton keresztül adott egyenessel (affin) párhuzamos egyenes egyenlete eldönteni, hogy három pont kollineáris-e eldönteni, hogy három egyenes egy pontra illeszkedik-e

39 4.1. Mintafeladat. Írjuk fel a 1. P = (1, 3), Q = ( 1, 2) 2. P = [ 1, 2, 0], Q = ( 1, 2) 3. P = [2, 4, 2], Q = [1, 0, 1] pontokra illeszkedő egyenes egyenletét a homogén koordináták módszerével. Ahol szükséges, ott az alaphalmaz a Descartes-sík projektív lezártja. 39 Megoldás. 1. P = [1, 3, 1], Q = [ 1, 2, 1], így a keresett [u] egyenesre e 1 e 2 e 3 u = = ( 5, 2, 1) Tehát a keresett egyenes egyenlete 5x + 2y + 1 = A feladatnak csak a Descartes-sík projekív lezártján van értelme. u = (2, 1, 0), az egyenlet 2x + y = x = 1.

40 4.2. Mintafeladat. Határozzuk meg az 1. x + 2y 3 = 0, 2x + 4y 3 = 0 2. x 1 + 2x 2 3x 3 = 0, x + y + 1 = 0 3. [1, 1, 1], [0, 0, 1] egyenesek metszéspontját a homogén koordináták módszerével. Ahol szükséges, ott az alaphalmaz a Descartes-sík projektív lezártja. Megoldás. 1. A keresett metszéspont homogén koordinátáira e 1 e 2 e = (6, 3, 0), azaz a két egyenes a Descartes-sík projektív lezártján a [2, 1, 0] végtelen távoli pontban metszi egymást. (Az egyenesek a Descartes-síkon párhuzamosak.) 2. A metszéspont [5, 4, 1] = ( 5, 4). 3. [1, 1, 0] (Mivel a második egyenes a végtelen távoli egyenes, ezért azt is mondhatjuk, hogy az x + y + 1 = 0 egyenes végtelen távoli pontja [1, 1, 0]). 40

41 4.3. Mintafeladat. Határozzuk meg a P = (2, 1) pontra illeszkedő, és a x + 2y 3 = 0 egyenletű e egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét! 41 Megoldás. A P pont nem illeszkedik a megadott egyenesre. A koordinátasík projektív lezártján a feladatot úgy fogalmazhatjuk át, hogy az e egyenes végtelen távoli pontját kössük össze a megadott ponttal. e homogén koordinátái [1, 2, 3], e végtelen távoli pontjának koordinátáit jelölje [x 1, x 2, 0]. Az illeszkedési feltétel x 1 + 2x 2 = 0. Az egyenlet egy nem triviális megoldása ( 2, 1), így az e végtelen távoli pontja U = [ 2, 1, 0]. U-t a P-vel összekötő egyenest a tanult módon határozzuk meg: e 1 e 2 e = ( 1, 2, 4), azaz a keresett egyenlet x + 2y 4 = 0. Ellenőrizzük a megoldás!

42 4.4. Mintafeladat. Határozzuk meg az x+2y 3 = 0 és 2x+4y 3 = 0 egyenletű egyenesek metszéspontját az origóval összekötő egyenes egyenletét! 42 Megoldás. A megadott két egyenes párhuzamos, így a feladatot a Descartessík projektív lezártján értelmezzük. A két egyenes metszéspontja a 4.2. feladat alapján [2, 1, 0], tehát e keresett egyenes homogén koordinátái e 1 e 2 e = ( 1, 2, 0) Így az egyenes egyenlete x + 2y = 0. Ellenőrzés. A három egyenes valóban egy ponra illeszkedik, mert =

43 4.5. Mintafeladat. Határozzuk meg α értékét úgy, hogy a (2, 1), [1, 1, 0], [1, 0, α] pontok kollineárisak legyenek. 43 Megoldás. A kollinearitás feltétele homogén koordinátákkal = 0 = α = α

44 5. gyakorlat 44 Másodrendű görbék projektív geometriája

45 AZ ALÁBBI TÍPUSFELADATOKAT KELL KÉSZSÉG SZINTEN ISMERNIE: 45 másodrendű görbe projektív osztályának meghatározása másodrendű görbe végtelen távoli pontjának meghatározása érintő, speciálisan aszimptota egyenletének felírása a görbe valamely pontjában érintőpár egyenletének felírása külső pontból

46 46 FELHASZNÁLT ISMERETEK valós szimmetrikus mátrix normál formája: diag(1,..., 1, 1,..., 1, 0,..., 0). Elemi sor- és a megfelelő oszlopátalakításokkal érhető el a normál forma. érintő a görbe pontjában: Az x t Mx = 0 másodrendű görbe (amely nem egyenes vagy egyenespár) érintője a [p] pontjában p t Mx = 0. pontból húzott érintőpár: Az x t Mx = 0 másodrendű görbe (amely nem egyenes vagy egyenespár) [p] pontból húzott érintőpárjának egyenlete (p t Mx) 2 = (x t Mx) (p t Mx).

47 5.1. Mintafeladat. Határozzuk meg, melyik projektív osztályba tartozik az alábbi másodrendű görbe: 3x 2 4xy 2y 3 + 3x 12y 7 47 Megoldás. A görbe mátrixa 3 2 3/ /2 6 7 Elemi sor- és a megfelelő oszlopátalakításokkal: 3 0 3/ / / /3 0 3/ / /4 A görbe mátrixának normál formája diag(1, 1, 1), azaz a görbe valós körrel projektív ekvivalens.

48 5.2. Mintafeladat. Keressük meg a 2x 2 + xy 3 = 0 másodrendű görbe végtelen távoli pontjait! 48 Megoldás. A görbe egyenlete homogén koordinátákkal: ( ) 2 ( ) ( ) x1 x1 x = 0. x 3 x3 2 -el szorozva mindkét oldalt: A görbe végtelen távoli pontjára x 3 x 3 2x x 1 x 2 3x 2 3 = 0. x 1 (2x 1 + x 2 ) = 0, x 3 = 0 következik. Ennek az egyenletrendszernek (nem triviális) megoldásai [0, 1, 0] vagy [1, 2, 0].

49 5.3. Mintafeladat. Írjuk föl a 3x xy + 3y 2 2x 14y 13 = 0 görbe aszimptotáinak egyenletét! Megoldás. A görbe mátrixa: A görbe végtelen távoli pontjait a 3x x 1x 2 + 3x2 2 = 0 egyenlet (mely x 1 /x 2 -re másodfokú) megoldásaiként kapjuk. Az egyenlet nem triviális megoldásai 1 x x 2 = 1 és x 1 3 x 2 = 3, így a görbe végtelen távoli pontjai [ 1, 3, 0] és [ 3, 1, 0]. Az aszimptoták egyenlete: x ( 1, 3, 0) y = 0 = 6x + 2y 10 = x ( 3, 1, 0) y = 0 = 2x + 6y + 2 =

50 5.4. Mintafeladat. Írjuk föl az x 2 + 2y 2 = 1 ellipszis (1, 1) pontra illeszkedő érintőpárjának egyenletét! Megoldás. A görbe mátrixa: M = (x, y, 1)M 1 = x + 2y 1, (1, 1, 1)M 1 = 2, 1 1 Így az érintőpár egyenlete: Rendezve és faktorizálva: (x + 2y 1) 2 = (x 2 + 2y 2 1) 2. (x 1)(x 4y + 3) = 0, azaz az érintők egyenlete x = 1, x 4y + 3 = 0. 50

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Számítógépes geometria

Számítógépes geometria 2011 sz A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció A grakus szállítószalag: koncepció

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Geometria jegyzetvázlatok levelező tagozatos kiegészítő matematika tanár szakos hallgatóknak

Geometria jegyzetvázlatok levelező tagozatos kiegészítő matematika tanár szakos hallgatóknak Geometria jegyzetvázlatok levelező tagozatos kiegészítő matematika tanár szakos hallgatóknak Nagy Gábor Péter 2006. szeptember 1. Tartalomjegyzék 1. Projektív geometria 3 1.1. Projektív pontok és egyenesek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Másodrendű görbék a projektív síkon. Matematika BSc Szakdolgozat

Másodrendű görbék a projektív síkon. Matematika BSc Szakdolgozat Másodrendű görbék a projektív síkon Matematika BSc Szakdolgozat Írta: Deli Anikó Matematika BSc, tanári szakirány Témavezető: Dr. Verhóczki László egyetemi docens Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Geometria II. Vázlat Kovács Zoltán előadásaihoz. 2014. január 26.

Geometria II. Vázlat Kovács Zoltán előadásaihoz. 2014. január 26. Geometria II Vázlat Kovács Zoltán előadásaihoz 2014. január 26. 2 Tartalomjegyzék 1. Geometria R 2 -ben 7 1.1. R 2 euklideszi struktúrája..................... 8 1.2. Tükrözés hipersíkra........................

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek 16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési

Részletesebben

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics

Részletesebben

1. Lineáris transzformáció

1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij.. Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette: Nagy András Vasvár, 2010.

Részletesebben

1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei

1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei 1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei Az ábrázoló geometria sokrétű feladatköréből egyetlenegyet emelünk ki: szemléletes 1 kép készítése a síkon (képernyőn) valamely térbeli modellről. A tér síkra

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Diszkrét Matematika II.

Diszkrét Matematika II. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

Így a Bálint számára kedvező esetek száma +, hiszen duplán számoltuk azokat az eseteket, amikor a számok sem 2-vel, sem 5-tel nem oszthatók.

Így a Bálint számára kedvező esetek száma +, hiszen duplán számoltuk azokat az eseteket, amikor a számok sem 2-vel, sem 5-tel nem oszthatók. Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2006 2007-es tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Feladatok mindenhonnan

Feladatok mindenhonnan Feladatok mindenhonnan 1. Feladat. Legyenek egy S szabályos 13-szög csúcsai A 1, A 2,..., A 1 3, és N pedig az A 1, A 2, A 5, A 7 négyszög. Vizsgáljuk meg, hogy a következő struktúra az affin sík illeszkedési

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

A projektív geometria alapjai. Kovács Zoltán

A projektív geometria alapjai. Kovács Zoltán A projektív geometria alapjai Kovács Zoltán előadásvázlat, 2003 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés, homogén koordináták az euklidészi síkon 2 2. A projektív sík 5 3. Projektív transzformációk 8 4. Centrális

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

Fejezetek az euklideszi geometriából

Fejezetek az euklideszi geometriából Fejezetek az euklideszi geometriából Ebben a fejezetben euklideszi térben dolgozunk: vagyis mindvégig feltételezzük, hogy érvényes az abszolút geometria axiómarendszere és az euklideszi párhuzamossági

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

1. Geometria a komplex számsíkon

1. Geometria a komplex számsíkon 1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben