Geometria II gyakorlatok

Save this PDF as:
Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Geometria II gyakorlatok"

Átírás

1 Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: május 8.

2 Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés képernyő előtti tanuláshoz van optimalizálva. Ez elsősorban azt jelenti, hogy az olvasás során nem kell görgetni; ha a megjelenítéskor a teljes oldal opciót választjuk, akkor kényelmesen olvasható szöveget kapunk még viszonylag kis monitoron is. A szöveg belső linkeket tartalmaz. A lapok alján elhelyezett navigációs panel lehetőségeit Acrobat Reader-rel tudjuk teljes mértékben kihasználni. Ha egy link elvezet egy másik oldalra, az eredeti oldalhoz a Back gombbal tudunk visszajutni. Fontos megjegyezni, hogy R n -et gyakran beazonosítjuk R n 1 -el, azaz a pontokat, vektorokat oszlopmátrixként is felfoghatjuk, erre külön utalás általában nem történik! 2

3 1. gyakorlat 3 Tengelyes tükrözés a síkban

4 4 FELHASZNÁLT ISMERETEK tengelyes tükrözés (vektorgeometriai alak): (1) ρ l : R 2 R 2, X X 2 X P, n n, ahol P az l tengely egy tetszőleges pontja, n a tengelyre merőleges (valamelyik) egységvektor tükrözés origóra illeszkedő tengelyre (mátrix alak): (2) ρ l : R 2 R 2, X ref(α)x, ahol α a tengely irányszöge és ( cos 2α ref(α) = sin 2α ) sin 2α cos 2α tükrözés nem origóra illeszkedő egyenesre (TTT): (3) ρ l : R 2 R 2, X ref(α)(x P) + P, ahol α az egyenes irányszöge és P a tengely egy pontja. (jegyzet: 1.3)

5 AZ ALÁBBI TÍPUSFELADATOKAT KELL KÉSZSÉG SZINTEN ISMERNIE: 5 pont tükrözése egyenesre egyenes tükrözése egyenesre

6 1.1. Mintafeladat. Tükrözzük az X = (4, 5) pontot a 3x + 4y = 5 egyenletű l egyenesre! 1. Megoldás. A feladatot először egyszerű középiskolás eszközökkel oldjuk meg. l egy irányvektora v = ( 4, 3). A tükörkép legyen X = (x, y ). Az XX szakasz M = ( 4+x, 5+y ) felezőpontja illeszkedik l-re, tehát M 2 2 koordinátái kielégítik l egyenletét: (4) x y = 5 = 3x + 4y = (X X ) v azaz X X, v = 0. X X = (4 x, 5 y ), tehát (5) 4(4 x ) + 3(5 y ) = 0 = 4x 3y = 1. Az (4) és (5) egyenletekből álló egyenletrendszert (pl. a Cramer-szabály szerint) megoldva: x 42 4 = 1 3 / = y 3 42 = 4 1 / = Back Doc Doc 6

7 1.2. Mintafeladat. Tükrözzük az X = (4, 5) pontot a 3x + 4y = 5 egyenletű l egyenesre! 2. Megoldás. A feladatot most a tengelyes tükrözés vektorgeometriai alakja, azaz az (6) X = X 2 X P, n n formula alapján oldjuk meg, ld. (1). A tengelyen egy pontot úgy kaphatunk, hogy a tengely egyenletében x vagy y helyére beírunk egy számot és a másik koordinátát kifejezzük. Pl. x = 1 esetén y = 2, így P = (1, 2), X P = (3, 7) l egy normálvektora n = (3, 4). n = = 5, tehát l egyik egységnyi hosszúságú normálvektora n = (3/5, 4/5). Így X P, n = = Koordinátánként behelyettesítve (6)-ba: x = = y = = Back Doc Doc 7

8 1.3. Mintafeladat. Tükrözzük az X = (4, 5) pontot a 3x + 4y = 0 egyenesre! Megoldás. Mivel a tengely átmegy az origón, ezért a (2) mátrix alak is használható: Először meghatározzuk a tengely irányszögét: 8 Az ábra alapján sin α = 3/5, cos α = 4/5, így sin 2α = 2 sin α cos α = 24/25, cos 2α = cos 2 α sin 2 α = 7/25. Behelyettesítve (2)-be x = = y = = Back Doc Doc

9 1.4. Mintafeladat. Tükrözzük az X = (4, 5) pontot a 3x + 4y = 5 egyenletű l egyenesre! 9 3. Megoldás. Az 1.4 mintafeladatot most (3) alapján (TTT szabály) oldjuk meg. Az egyenessel párhuzamos, de az origón áthaladó egyenes egyenlete 3x + 4y = 0. Ez megegyezik az előző feladatban szereplő egyenessel, így a ref(α) mátrixot ismerjük, a tengely egy pontja P = (1, 2), X P = (3, 7). A TTT formula szerint: ( x y ) = ( 7/25 24/25 24/25 7/25 ) ( 3 7 ) + ( 1 2 ) = ( 122/25 171/25 ).

10 1.5. Mintafeladat. Tükrözzük a 4x + 3y = 2 egyenletű e egyenesre az y = 2x + 1 egyenletű f egyenest! 10 Megoldás. Az inverz leképezés elve: X ρ e (f ) ρ 1 e (X) f. Tengelyes tükrözésre ρ 1 e = ρ e, tehát X ρ e (f ) ρ e (X) f. Az előző mintafeladatok valamelyike alapján kiszámítjuk ρ e leképezés analitikus szabályát. Ez azt jelenti, hogy nem egy konkrét pont, hanem az általános X = (x, y) pont tükörképét számítjuk ki. Ha ez a lépés nem megy önállóan (de csak akkor), ugorjunk a következő oldalra. Az eredmény x 7x 24y + 16 = 25 y 24x + 7y + 12 =. 25 Az inverz leképezés elve alapján (x, y ) kielégíti f egyenletét: 24x + 7y + 12 = 2 25 rendezve kapjuk a végeredményt: 7x 24y x + 55y = ,

11 Útmutatás. A 4x + 3y = 2 egyenesre történő tükrözés analitikus szabályát mindhárom tanult módszer alapján kiszámíthatjuk. Itt a vektorgeometriai formulát követjük. Az egyenes egyik normálvektora (4, 3), ennek hossza 5, így az egyenesre merőleges egyik egységvektor n = (4/5, 3/5). Egy egyenesre illeszkedő pont pl. P = (2, 2). Az (1) vektorgeometriai alakba helyettesítünk be. X P, n = 4 5 (x 2) + 3 4x + 3y 2 (y + 2) =, 5 5 így (koordinátánként behelyettesítve): x 4x + 3y 2 = x 2 5 y = y 2 4x + 3y = 7x 24y x + 7y + 12 =

12 2. gyakorlat 12 Forgatás a síkban

13 13 FELHASZNÁLT ISMERETEK elforgatás az origó körül (mátrix alak): (7) σ α : R 2 R 2, X rot(α)x, ahol α a forgatás szöge és ( cos α rot(α) = sin α ) sin α cos α elforgatás tetszőleges pon körül (TFT): (8) σ (C,α) : R 2 R 2, X rot(α)(x C) + C, ahol C a forgatás középpontja és α a forgatás szöge (jegyzet: 1.3)

14 AZ ALÁBBI TÍPUSFELADATOKAT KELL KÉSZSÉG SZINTEN ISMERNIE: 14 pont elforgatása pont (speciálisan az origó) körül a síkban egyenes elforgatása pont körül a síkban valódi elforgatás centrumának megkeresése

15 2.1. Mintafeladat. Forgassuk el az X = ( 2, 1) pontot az origó körül α = π/3 szöggel! 15 Bizonyítás. Mivel a forgatás középpontja az origó, elegendő a (7) képletbe behelyettesíteni: ( ) ( ) ( ) x cos π sin π 2 = y 3 3 sin π cos π x = cos π 3 ( 2) sin π 3 1 = y = sin π 3 ( 2) + cos π 3 1 =

16 2.2. Mintafeladat. Forgassuk el az X = ( 2, 1) pontot a C = (1, 1) pont körül α = π/3 szöggel! 16 Megoldás. A (8) TFT szabályt alkalmazzuk. X C = ( 3, 0). ( ) ( ) ( ) ( ) x cos π sin π 3 1 = y 3 3 sin π cos π +, x = ( 3) = y = 2 ( 3) =

17 2.3. Mintafeladat. Forgassuk el a 3x + 2y = 1 egyenletű l egyenest a C = (1, 1) pont körül α = π/3 szöggel! 17 Megoldás. Az inverz leképezés elvét alkalmazzuk: X σ (C,α) (l) σ 1 (C,α) (X) l. Mivel σ 1 (C,α) = σ (C, α), így a σ 1 (C,α) leképezés analitikus szabálya: ( ) ( x cos ( ) π sin ( ) ) ( ) ( ) π = y 3 3 sin ( ) π cos ( x 1 1 ) π +, y x = (x 1) + 2 (y 1) + 1 = x + 2 y y = 2 (x 1) (y 1) + 1 = 2 2 x y (x, y ) kielégíti a 3x + 2y = 1 egyenletet: ( x + 2 y + 1 ) ( x y ) 3 = 1. 2 Hozzuk az eredményt egyszerűbb alakra!

18 2.4. Mintafeladat. Legyen F(X) = rot(α)x + b, ahol α = π/6, b = (2, 1). F egy forgatás. Határozzuk meg a centrumát! 18 Megoldás. Az F leképezés fixpontját keressük, azaz olyan X pontot, melyre F(X) = X: ( ) ( ) ( ) ( ) x cos π sin π x 2 = 6 6 y sin π cos π + y A mátrix műveleteket elvégezve az alábbi lineáris egyenletrendszert kapjuk: (2 3)x + y = 4 x + (2 3)y = 2. Az egyenletrendszer megoldása 3 x = 2, y = ( 3 Tehát a centrum C =, ).

19 3. gyakorlat 19 Affin transzformációk a síkban

20 20 FELHASZNÁLT ISMERETEK affin transzformáció mátrix alakja: A GL(2) (a transzformáció lineáris része), b R 2 (az eltoló vektor), F : R 2 R 2, X AX + b speciális affin ( transzformációk: ) A O(2): izometria a ±b A =, (det A 0): hasonlóság b a egyenes képe: A P + L(v) egyenes képe F(P) + L(Av) az affin transzformáció fixpontjai: az (9) (A I)X = b inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldás halmaza az affin transzformáció inverze: (10) X A 1 X A 1 b alaptétel: Háromszög és képe az affin transzformációt egyértelműen meghatározza.

21 AZ ALÁBBI TÍPUSFELADATOKAT KELL KÉSZSÉG SZINTEN ISMERNIE: 21 izometria, hasonlóság felismerése affin transzformáció mátrix alakjából pont képének meghatározása a transzformáció fixpontjainak meghatározása a transzformáció fixegyeneseinek meghatározása (*) a transzformáció inverzének meghatározása egyenes (alakzat) képének meghatározása affin transzformáció analitikus felírása, ha ismert egy háromszög és a képe

22 Az affin transzformáció algebrai megadására többféle, egymással ekvivalens formát alkalmazhatunk: 1. megadjuk transzformáció lineáris részét és eltoló vektorát: ( ) a b GL(2), (e, f ) R 2 ; c d 2. megadjuk a transzformáció analitikus szabályát: x = ax + by + e, y = cx + dy + f ; 3. megadjuk a transzformáció homogén reprezentációját: a b e c d f GL(3)

23 3.1. Mintafeladat. Legyen F : R 2 R 2, X F(X), ( ) ( ) F(X) = X F affin transzformáció-e? 2. F izometria-e? 3. Határozzuk meg az (4, 2) pont képét! 23 Megoldás. 1. A transzformáció lineáris része ( ) 4 1 A =. 2 1 det A = 2 0, tehát az F leképezés affin leképezés. 2. A nem ortogonális mátrix, tehát F nem izometria. (Miért? Ha önállóan nem tudja a választ, akkor a következő oldalon találja az útmutatást.) 3. ( ) ( ) ( ) ( ) =

24 Útmutatás. Egy ortogonális mátrix determinánsa szükségképpen ±1. Így azt, hogy A nem ortogonális mátrix, már onnan is látjuk, hogy determinánsa 2. Az előbbi állítás visszafele nem igaz, egy ±1 determinánsú mátrix nem feltétlenül ortogonális mátrix. Másik megoldásként kiszámíthatjuk A inverzét, A 1 = 1 2 ( ) A t. Innen ismét látjuk, hogy A nem ortogonális mátrix. 24

25 3.2. Mintafeladat. Legyen F : R 2 R 2, X F(X), ( ) ( ) F(x) = X Határozzuk meg a transzformáció fixpontjait! 25 Megoldás. Olyan (x, y) pontokat keresünk, amelyre ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 x 2 x + =. 2 1 y 1 y Azaz a fixpontok komponensei kielégítik az ( ) ( ) ( ) 3 1 x 2 = 2 0 y 1 inhomogén lineáris egyenletrendszert. (Ez nem más, mint a (9) egyenletrendszer. Jelen esetben ez az egyenletrendszer megoldható és a megoldás egyértelmű: x = 1 2, y = 7 2 azaz a transzformáció egyetlen fixpontja (1/2, 7/2).

26 3.3. Mintafeladat. Legyen x = 2x + 4y + 2 y = 3x 3y 2 Határozzuk meg a transzformáció fixpontjait! 26 Megoldás. Olyan (x, y) pontokat keresünk, amelyre Azaz x = 2x + 4y + 2 y = 3x 3y 2. 3x 4y = 2 3x + 4y = 2. A két egyenlet arányos, azaz (pl.) a második egyenlet elhagyható, így a fixpontok (és csakis azok) kielégítik a egyenletet. 3x 4y = 2

27 3.4. Mintafeladat. Legyen F : R 2 R 2, X F(X), ( ) ( ) F(x) = X Határozzuk meg a transzformáció inverzét! 27 Megoldás. A (10) képletbe helyettesítünk be: ( ) ( A 1 1/2 1/2 =, A 1 1/2 1/2 b = Tehát az inverz transzformáció: ( ) ( x 1/2 1/2 y 1 2 ) ( ) x y ) ( ) 2 1 ( ) 3/2 =. 4 ( ) 3/2 +. 4

28 3.5. Mintafeladat. Legyen F : R 2 R 2, X F(X), ( ) ( ) F(x) = X Határozzuk meg az y = 2x + 1 egyenes képét! 28 Megoldás. Az inverz leképezés elvét alkalmazzuk: X F(e) F 1 (X) e. Az előző feladat alapján X = (x, y) ősképe x = 1 2 x 1 2 y 3 2 y = x + 2y + 4. Az inverz leképezés elve szerint (x, y ) kielégíti az y = 2x+1 egyenletet, azaz ( 1 x + 2y + 4 = 2 2 x 1 2 y 3 ) Rendezve a 2x 3y = 6 egyenletet kapjuk.

29 3.6. Mintafeladat (*). Legyen F : R 2 R 2, X F(X), ( ) ( ) F(x) = X Határozzuk meg a transzformáció fixegyeneseit. 29 Megoldás. ( Az X) 0 +L(v) fixegyenes v irányvektora a lineáris rész sajátvektora. A =, A karakterisztikus egyenlete (1 λ) 2 4 = 0; a saját értékek λ 1 = 3, λ 2 = 1; a hozzájuk tartozó egy-egy sajátvektor v 1 = (1, 1), v 2 = (1, 1). (F(X 0 ) X 0 ) v. Ha X 0 = (x, y), akkor F(X 0 ) X 0 = (2y + 1, 2x 1). v 1 = (1, 1) esetén azt kapjuk, hogy 2y + 1 = 2x 1, azaz y = x 1, ez az egyik fixegyenes egyenlete. v 2 = (1, 1) esetén azt kapjuk, hogy 2y + 1 = 2x + 1, azaz y = x, ez a másik fixegyenes egyenlete. A 3.5. mintafeladat alapján ellenőrizzük, hogy ezeknek az egyeneseknek a képe valóban önmaga.

30 30 1 a Mintafeladat (*). Határozzuk meg a GL(3), a 0 homogén reprezentánsú affin transzformáció fixelemeit! (Nyírás.) Megoldás. A fixpontok a ( ) 0 a alapmátrixú homogén lineáris egyenletrendszer (azaz ay = 0) megoldásai. Innen y = 0, x R, azaz a fixpontok halmaza az x-tengely. Ez egyben azt is jelenti, hogy az x-tengely fixegyenes (ráadásul pontonként fix). A fixegyenesek irányvektorai a lineáris rész sajátvektorai. A sajátértékek a 1 λ a 0 1 λ = 0 = (1 λ)2 = 0 karakterisztikus egyenlet megoldásai, azaz λ 1 = λ 2 = 1. Az ehhez tartozó sajátalteret (1, 0) generálja. (F(X 0 ) X 0 ) v. Legyen X 0 = (x, y), ekkor F(X 0 ) X 0 = (ay, 0). Ez a vektor mindig párhuzamos az (1, 0) vektorral, azaz minden olyan egyenes, amely párhuzamos az x tengellyel, fixegyenes.

31 31 1 a Mintafeladat (*). Határozzuk meg a 0 b 0 GL(3), a 0, b 0, b 1 homogén reprezentánsú affin transzformáció fixelemeit! (Ferde affinitás.) Megoldás. A fixpontokat az ay = 0, (b 1)y = 0 egyenletrendszer megoldáshalmaza, azaz y = 0 adja. A fixpontok halmaza tehát az x-tengely. A lineáris rész karakterisztikus egyenlete (1 λ)(b λ) = 0, a sajátértékek λ 1 = 1 és λ 2 = b. A λ 1 = 1 sajátértékhez tartozó invariáns alteret (1, 0) generálja. A korábban már megismert módszer szerint ez az y = 0 egyenest adja fixegyenesnek. (Erről tudjuk, hogy pontonként fix.) A λ 2 = b sajátértékhez tartozó invariáns alteret (a, b 1) generálja. Ha a fixegyenes egy pontja X 0 = (x, y), akkor F(X 0 ) X 0 = (ay, (b 1)y) = y(a, b 1), amely tetszőleges y-ra páruzamos az (a, b 1) vektorral. Így minden (a, b 1) irányvektorú egyenes fixegyenes.

32 3.9. Mintafeladat. Határozzuk meg az x 2 + y 2 = 1 egyenletű k kör képét a b 0 GL(3), b 1 homogén reprezentánsú merőleges affinitásnál Megoldás. A transzformáció lineáris része A = 32 ( ) 1 0. Az inverz leké- 0 b pezés elvét ( alkalmazzuk: ) P k F 1 (P) = A 1 P k. A =, A 1 (x, y) t = (x, y/b), így a képalakzat egyenlete 0 1/b x 2 + y 2 /b 2 = 1. Ez egy ellipszis egyenlete, nagytengelye 1, kistengelye b.

33 3.10. Mintafeladat. Írjuk föl azt az affin transzformációt, amely az O = (0, 0), E 1 = (1, 0), E 2 = (0, 1) pontokat rendre a P, Q, R pontokba viszi, ahol (P, Q, R) nem kollineárisak! Legyen P = (3, 2), Q = (5, 8), R = (7, 3). ( a Megoldás. Legyen a keresett F transzformáció lineáris része A = c az eltoló vektor (e, f ). A feltétel szerint: P = F(0, 0) = (e, f ) = (e, f ) = P, Q = F(1, 0) = (a, c) + (e, f ) = (a, c) = Q P, R = F(0, 1) = (b, d) + (e, f ) = (b, d) = R P. A konkrét adatokkal: (e, f ) = (3, 2), (a, c) = (5, 8) (3, 2) = (2, 6), (b, d) = (7, 3) (3, 2) = (4, 1). 33 ) b, d Így a transzformáció: x = 2x + 4y + 3, y = 6x + y + 2. (A feladatba való visszahelyettesítéssel ellenőrizzünk!) Back Doc Doc

34 3.11. Mintafeladat. Írjuk föl azt az affin transzformációt, amely a P, Q, R pontokat rendre a P, Q, R pontokba viszi! 34 Megoldás. A megoldás algoritmusa: 1. F 1 : (O, E 1, E 2 ) (P, Q, R) az előző mintafeladat alapján 2. F 2 : (O, E 1, E 2 ) (P, Q, R ) az előző mintafeladat alapján 3. F 1 1 a 3.4. mintafeladat alapján 4. F 2 F 1 1 adja a keresett transzformációt. Back Doc Doc

35 3.12. Mintafeladat. Írjuk föl azt az affin transzformációt, amely a (2, 3), (1, 6), (3, 1) pontokat rendre a (1, 2), (2, 1), ( 3, 5) pontokba viszi! Megoldás. A mintafeladat algoritmusát követjük. Az algoritmus első három lépése korábban már előfordult feladatokban, itt csak végeredményt adunk meg F 1 (X) = ( ) ( ) X ( ) ( ) F 2 (X) = X ( 1 (X) = 4 3 F 1 ) ( ) 1 11 X ( ) ( ) F 2 F 1 1 (X) = X Az utolsó lépéshez útmutatást talál a következő oldalon. 35

36 Útmutatás. F = F 2 F 1 1 (( (X) = ) ( )) = F 2 X + = ( ) (( ) ( )) = X ( ) ( ) ( = X ( ) ( ) = X ( ) 1 + = 2 ) = 36

37 4. gyakorlat 37 Számolás homogén koordinátákkal

38 AZ ALÁBBI TÍPUSFELADATOKAT KELL KÉSZSÉG SZINTEN ISMERNIE: 38 A homogén koordináták módszerével az alábbi problémák megoldása: két pontra illeszkedő egyenes egyenlete két egyenes metszéspontja egyenes végtelen távoli pontjának meghatározása adott ponton keresztül adott egyenessel (affin) párhuzamos egyenes egyenlete eldönteni, hogy három pont kollineáris-e eldönteni, hogy három egyenes egy pontra illeszkedik-e

39 4.1. Mintafeladat. Írjuk fel a 1. P = (1, 3), Q = ( 1, 2) 2. P = [ 1, 2, 0], Q = ( 1, 2) 3. P = [2, 4, 2], Q = [1, 0, 1] pontokra illeszkedő egyenes egyenletét a homogén koordináták módszerével. Ahol szükséges, ott az alaphalmaz a Descartes-sík projektív lezártja. 39 Megoldás. 1. P = [1, 3, 1], Q = [ 1, 2, 1], így a keresett [u] egyenesre e 1 e 2 e 3 u = = ( 5, 2, 1) Tehát a keresett egyenes egyenlete 5x + 2y + 1 = A feladatnak csak a Descartes-sík projekív lezártján van értelme. u = (2, 1, 0), az egyenlet 2x + y = x = 1.

40 4.2. Mintafeladat. Határozzuk meg az 1. x + 2y 3 = 0, 2x + 4y 3 = 0 2. x 1 + 2x 2 3x 3 = 0, x + y + 1 = 0 3. [1, 1, 1], [0, 0, 1] egyenesek metszéspontját a homogén koordináták módszerével. Ahol szükséges, ott az alaphalmaz a Descartes-sík projektív lezártja. Megoldás. 1. A keresett metszéspont homogén koordinátáira e 1 e 2 e = (6, 3, 0), azaz a két egyenes a Descartes-sík projektív lezártján a [2, 1, 0] végtelen távoli pontban metszi egymást. (Az egyenesek a Descartes-síkon párhuzamosak.) 2. A metszéspont [5, 4, 1] = ( 5, 4). 3. [1, 1, 0] (Mivel a második egyenes a végtelen távoli egyenes, ezért azt is mondhatjuk, hogy az x + y + 1 = 0 egyenes végtelen távoli pontja [1, 1, 0]). 40

41 4.3. Mintafeladat. Határozzuk meg a P = (2, 1) pontra illeszkedő, és a x + 2y 3 = 0 egyenletű e egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét! 41 Megoldás. A P pont nem illeszkedik a megadott egyenesre. A koordinátasík projektív lezártján a feladatot úgy fogalmazhatjuk át, hogy az e egyenes végtelen távoli pontját kössük össze a megadott ponttal. e homogén koordinátái [1, 2, 3], e végtelen távoli pontjának koordinátáit jelölje [x 1, x 2, 0]. Az illeszkedési feltétel x 1 + 2x 2 = 0. Az egyenlet egy nem triviális megoldása ( 2, 1), így az e végtelen távoli pontja U = [ 2, 1, 0]. U-t a P-vel összekötő egyenest a tanult módon határozzuk meg: e 1 e 2 e = ( 1, 2, 4), azaz a keresett egyenlet x + 2y 4 = 0. Ellenőrizzük a megoldás!

42 4.4. Mintafeladat. Határozzuk meg az x+2y 3 = 0 és 2x+4y 3 = 0 egyenletű egyenesek metszéspontját az origóval összekötő egyenes egyenletét! 42 Megoldás. A megadott két egyenes párhuzamos, így a feladatot a Descartessík projektív lezártján értelmezzük. A két egyenes metszéspontja a 4.2. feladat alapján [2, 1, 0], tehát e keresett egyenes homogén koordinátái e 1 e 2 e = ( 1, 2, 0) Így az egyenes egyenlete x + 2y = 0. Ellenőrzés. A három egyenes valóban egy ponra illeszkedik, mert =

43 4.5. Mintafeladat. Határozzuk meg α értékét úgy, hogy a (2, 1), [1, 1, 0], [1, 0, α] pontok kollineárisak legyenek. 43 Megoldás. A kollinearitás feltétele homogén koordinátákkal = 0 = α = α

44 5. gyakorlat 44 Másodrendű görbék projektív geometriája

45 AZ ALÁBBI TÍPUSFELADATOKAT KELL KÉSZSÉG SZINTEN ISMERNIE: 45 másodrendű görbe projektív osztályának meghatározása másodrendű görbe végtelen távoli pontjának meghatározása érintő, speciálisan aszimptota egyenletének felírása a görbe valamely pontjában érintőpár egyenletének felírása külső pontból

46 46 FELHASZNÁLT ISMERETEK valós szimmetrikus mátrix normál formája: diag(1,..., 1, 1,..., 1, 0,..., 0). Elemi sor- és a megfelelő oszlopátalakításokkal érhető el a normál forma. érintő a görbe pontjában: Az x t Mx = 0 másodrendű görbe (amely nem egyenes vagy egyenespár) érintője a [p] pontjában p t Mx = 0. pontból húzott érintőpár: Az x t Mx = 0 másodrendű görbe (amely nem egyenes vagy egyenespár) [p] pontból húzott érintőpárjának egyenlete (p t Mx) 2 = (x t Mx) (p t Mx).

47 5.1. Mintafeladat. Határozzuk meg, melyik projektív osztályba tartozik az alábbi másodrendű görbe: 3x 2 4xy 2y 3 + 3x 12y 7 47 Megoldás. A görbe mátrixa 3 2 3/ /2 6 7 Elemi sor- és a megfelelő oszlopátalakításokkal: 3 0 3/ / / /3 0 3/ / /4 A görbe mátrixának normál formája diag(1, 1, 1), azaz a görbe valós körrel projektív ekvivalens.

48 5.2. Mintafeladat. Keressük meg a 2x 2 + xy 3 = 0 másodrendű görbe végtelen távoli pontjait! 48 Megoldás. A görbe egyenlete homogén koordinátákkal: ( ) 2 ( ) ( ) x1 x1 x = 0. x 3 x3 2 -el szorozva mindkét oldalt: A görbe végtelen távoli pontjára x 3 x 3 2x x 1 x 2 3x 2 3 = 0. x 1 (2x 1 + x 2 ) = 0, x 3 = 0 következik. Ennek az egyenletrendszernek (nem triviális) megoldásai [0, 1, 0] vagy [1, 2, 0].

49 5.3. Mintafeladat. Írjuk föl a 3x xy + 3y 2 2x 14y 13 = 0 görbe aszimptotáinak egyenletét! Megoldás. A görbe mátrixa: A görbe végtelen távoli pontjait a 3x x 1x 2 + 3x2 2 = 0 egyenlet (mely x 1 /x 2 -re másodfokú) megoldásaiként kapjuk. Az egyenlet nem triviális megoldásai 1 x x 2 = 1 és x 1 3 x 2 = 3, így a görbe végtelen távoli pontjai [ 1, 3, 0] és [ 3, 1, 0]. Az aszimptoták egyenlete: x ( 1, 3, 0) y = 0 = 6x + 2y 10 = x ( 3, 1, 0) y = 0 = 2x + 6y + 2 =

50 5.4. Mintafeladat. Írjuk föl az x 2 + 2y 2 = 1 ellipszis (1, 1) pontra illeszkedő érintőpárjának egyenletét! Megoldás. A görbe mátrixa: M = (x, y, 1)M 1 = x + 2y 1, (1, 1, 1)M 1 = 2, 1 1 Így az érintőpár egyenlete: Rendezve és faktorizálva: (x + 2y 1) 2 = (x 2 + 2y 2 1) 2. (x 1)(x 4y + 3) = 0, azaz az érintők egyenlete x = 1, x 4y + 3 = 0. 50

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

1. A Hilbert féle axiómarendszer

1. A Hilbert féle axiómarendszer {Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2. Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Számítógépes geometria

Számítógépes geometria 2011 sz A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció A grakus szállítószalag: koncepció

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Mátrixok 2017 Mátrixok

Mátrixok 2017 Mátrixok 2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Bázistranszformáció

1. Bázistranszformáció 1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n

Részletesebben

2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2

2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2 1. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó feladatok) Ha egy feladatban síkbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor azok egy derékszög koordinátarendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és ortonormált alapvektorai

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont

Részletesebben

Projektív geometria. matematika tanár szakos előadás és gyakorlat. Nagy Gábor Péter. 2016/2017-os tanév II. féléve

Projektív geometria. matematika tanár szakos előadás és gyakorlat. Nagy Gábor Péter. 2016/2017-os tanév II. féléve Projektív geometria matematika tanár szakos előadás és gyakorlat Nagy Gábor Péter Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet, Geometria Tanszék 2016/2017-os tanév II. féléve 1 / 98 Tagolás 1 Vektorok, mátrixok,

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Geometria jegyzetvázlatok levelező tagozatos kiegészítő matematika tanár szakos hallgatóknak

Geometria jegyzetvázlatok levelező tagozatos kiegészítő matematika tanár szakos hallgatóknak Geometria jegyzetvázlatok levelező tagozatos kiegészítő matematika tanár szakos hallgatóknak Nagy Gábor Péter 2006. szeptember 1. Tartalomjegyzék 1. Projektív geometria 3 1.1. Projektív pontok és egyenesek

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - 1. Analitikus mértan térben 2

KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - 1. Analitikus mértan térben 2 ANALITIKUS MÉRTANBÓL KITŰZÖTT ÁLLAMVIZSGA TÉTELEK KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - Tartalomjegyzék 1. Analitikus mértan térben 1.1. Térbeli egyenesek egyenletei Descartes-féle koordináta rendszerhez viszonyítva.........

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Haladó lineáris algebra

Haladó lineáris algebra B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

PROJEKTÍV GEOMETRIAI PÉLDATÁR

PROJEKTÍV GEOMETRIAI PÉLDATÁR Papp Ildikó PROJEKTÍV GEOMETRIAI PÉLDATÁR mobidiák könyvtár Papp Ildikó PROJEKTÍV GEOMETRIAI PÉLDATÁR mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTÖ Fazekas István Papp Ildikó PROJEKTÍV GEOMETRIAI PÉLDATÁR Első kiadás

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

7. gyakorlat megoldásai

7. gyakorlat megoldásai 7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Másodrendű görbék a projektív síkon. Matematika BSc Szakdolgozat

Másodrendű görbék a projektív síkon. Matematika BSc Szakdolgozat Másodrendű görbék a projektív síkon Matematika BSc Szakdolgozat Írta: Deli Anikó Matematika BSc, tanári szakirány Témavezető: Dr. Verhóczki László egyetemi docens Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben