Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
|
|
- Elvira Fülöp
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37
2 Az el adás vázlata Determináns Determináns Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 2 / 37
3 A A négyzetes mátrix determinánsa egy szám, amit det A vagy A -val jelölünk Fontos Csak a négyzetes mátrixoknak van determinánsa 1 1 eset Legyen A = (a 1,1 ), ekkor det A = a 1,1 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 3 / 37
4 2 2 eset ( Legyen A = a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 ) ekkor det A = a 1,1 a 2,2 a 1,2 a 2,1 vagyis a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 = a 1,1a 2,2 a 1,2 a 2,1 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 4 / 37
5 3 3 eset (Sarrus-szabály ) a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,1 a 2,2 = a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,1 a 3,2 =a 1,1 a 2,2 a 3,3 + a 2,1 a 3,2 a 1,3 + a 3,1 a 1,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 1,3 a 3,2 a 2,3 a 1,1 a 3,3 a 2,1 a 1,2 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 5 / 37
6 n n eset, ahol n 2 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a 31 a 32 a 3n a n1 a n2 a nn = a i1 A i1 + a i2 A i2 + a in A in ahol A ij az a ij elemhez tartozó el jeles aldetermináns, aminek az értékét úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrix i-edik sorát és j-edik oszlopát elhagyjuk és a kapott (n 1) (n 1)-es mátrix determinánsának értékét szorozzuk ( 1) i+j -vel Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 6 / 37
7 n n eset, ahol n 2 Az a ij elemhez tartozó A ij el jeles aldetermináns el jelenek megjegyzését megkönnyíti a séma Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 7 / 37
8 Determináns tulajdonságai: Legyen A egy n n-es mátrix Az A determináns tetsz leges sora, vagy oszlopa szerint kifejthet Az A mátrix determinánsa egyenl az A transzponáltjának determinánsával: A = A T Megjegyzés: A determinánsra vonatkozó tulajdonságok mindegyike érvényes akkor is, ha azok megfogalmazásában a "sor " és "oszlop" szavakat helyettesítjük egymással Ha az A mátrix valamely sorának (oszlopának) minden eleme 0, akkor A = 0 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 8 / 37
9 Determináns tulajdonságai: Ha az A mátrixban a f átló felett (vagy alatt) minden elem 0, akkor a A egyenl a f átlón lév elemek szorzatával a a a 33 = a 11a 22 a 33 Ha a determinánsban két sort (oszlopot) felcserélünk, akkor az el jele megváltozik Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 9 / 37
10 Determináns tulajdonságai: Ha a determináns valamely sorának (oszlopának) minden elemét szorozzuk c 0 számmal, akkor a determináns értéke c-szeresére változik a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = 1 c ca 11 ca 12 ca 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Ha a determinánsban van két egyforma sor (oszlop), akkor A = 0 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 10 / 37
11 Determináns tulajdonságai: A determináns tetsz leges sorának (oszlopának) többszörösét hozzáadva a determináns tetsz leges másik sorához (oszlopához), a determináns értéke nem változik a 11 a 12 a 13 a a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = 11 + ca 31 a 12 + ca 32 a 13 + ca 33 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Ha a determinánsban valamely sor (oszlop) többszöröse egy másik sornak (oszlopnak), akkor A = 0 A B = A B Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 11 / 37
12 Deníció: Az A négyzetes mátrix inverzének azt az A 1 mátrixot nevezzük, melyre AA 1 = I Amennyiben ilyen A 1 mátrix létezik, akkor az A mátrixot regulárisnak, ellenkez esetben szingulárisnak nevezzük Tétel: Az A négyzetes mátrix akkor és csakis akkor reguláris, ha A 0 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 12 / 37
13 meghatározása Adjungált mátrix Egy négyzetes mátrix adjungáltjának nevezzük a mátrix el jeles aldeterminánsaiból alkotott mátrix transzponáltját Tehát adj A = A 1,1 A 1,2 A 1,n A 2,1 A 2,2 A 2,n A 3,1 A 3,2 A 3,n T = A 1,1 A 2,1 A n,1 A 1,2 A 2,2 A n,2 A 1,3 A 2,3 A n,3 A n,1 A n,2 A n,n A 1,n A 2,n A n,n Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 13 / 37
14 meghatározása Könnyen belátható, hogy A adj A = adj A A = Innét A A A A A 1 = 1 A adj A Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 14 / 37
15 Az a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b n egyenletrendszert m egyenletb l álló n ismeretlenes lineáris egyenletrendszernek nevezzük Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 15 / 37
16 Az a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 egyenletrendszert homogén lineáris egyenletrendszernek nevezzük, ha a jobboldalon szerepl konstansok közül csak egy is különbözik 0-tól, akkor inhomogén lineáris egyenletrendszerr l beszelünk nevezzük Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 16 / 37
17 Konkrét megoldás A lineáris egyenletrendszer egy konkrét megoldásán egy olyan x = (x 1, x 2,, x n ) szám n-est értünk, amelyet behelyettesítve az egyenletrendszerbe, minden egyenl ség teljesül A homogén egyenletrendszereknek mindig van legalább egy konkrét megoldása, mégpedig a x = (0, 0,, 0) szám n-es Általános megoldás A lineáris egyenletrendszer általános megoldásán az összes konkrét megoldás megadását értjük (ha van egyáltalán megoldás) Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 17 / 37
18 Együtthatómátrix A = a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n a m,1 a m,2 a m,n Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 18 / 37
19 Kib vített mátrix [A, b] = a 1,1 a 1,2 a 1,n b 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n b 2 a m,1 a m,2 a m,n b m Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 19 / 37
20 Egyenletrendszer mátrix szorzásos alakja a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n x 1 x 2 = b 1 b 2 a m,1 a m,2 a m,n x n b m Tömör írásmódban illetve homogén esetben Ax = b Ax = 0 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 20 / 37
21 Megoldás inverz mátrix segítségével Ekkor az egyenletrendszer ugyanannyi ismeretlent tartalmaz mint ahány egyenletet (n = m), Az együttható mátrix reguláris Ax = b A 1 Ax = A 1 b I x = A 1 b x = A 1 b Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 21 / 37
22 Cramer-szabály az egyenletrendszer ugyanannyi ismeretlent tartalmaz mint ahány egyenletet (n = m), Az együttható mátrix reguláris Jelöljük B i -vel jelöljük azokat az A-ból képzett mátrixokat, melyek i-edik oszlopa helyén a b vektor áll, azaz a 1,1 a 1,i 1 b 1 a 1,i+1 a 1,n a 2,1 a 2,i 1 b 2 a 2,i+1 a 2,n B i = Ekkor a n,1 a n,i 1 b n a n,i+1 a n,n x i = B i A i = 1, 2,, n Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 22 / 37
23 Cramer-szabály az egyenletrendszer ugyanannyi ismeretlent tartalmaz mint ahány egyenletet (n = m), Az együttható mátrix reguláris Jelöljük B i -vel jelöljük azokat az A-ból képzett mátrixokat, melyek i-edik oszlopa helyén a b vektor áll, azaz a 1,1 a 1,i 1 b 1 a 1,i+1 a 1,n a 2,1 a 2,i 1 b 2 a 2,i+1 a 2,n B i = Ekkor a n,1 a n,i 1 b n a n,i+1 a n,n x i = B i A i = 1, 2,, n Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 23 / 37
24 Ekvivalens egyenletrendszerek Két lineáris egyenletrendszert ekvivalensnek mondunk, ha megoldáshalmazaik megegyeznek Az alábbi átalakítások egy lineáris egyenletrendszert vele ekvivalens lineáris egyenletrendszerbe visznek át: egyenlet szorzása nullától különböz konstanssal egy egyenlethez egy másik egyenlet konstans szorosának hozzáadása, egyenletek sorrendjének felcserélése Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 24 / 37
25 B vített mátrix elemei átalakításai A lineáris egyenletrendszer elemi átalakításainak a b vített mátrixa alábbi átalakításai felelnek meg: mátrix bármely sorának szorzása 0-tól különböz valós számmal, mátrix egyik sorához másik sora tetsz leges többszörösének hozzáadása, mátrix két sorának felcserélése Cél az egyenletrendszert ekvivalens átalakításokkal egyszer bb alakra hozni Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 25 / 37
26 Lépcs s alak Determináns B vített mátrix elemei átalakításai Egy mátrixot lépcs s alakúnak nevezünk, ha fentr l lefele haladva a sorok els nem-0 elemei egyre kés bb jelennek meg Példa: Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 26 / 37
27 Lépcs s alak Determináns B vített mátrix elemei átalakításai Egy mátrixot lépcs s alakúnak nevezünk, ha fentr l lefele haladva a sorok els nem-0 elemei egyre kés bb jelennek meg Példa: lépcs s nem lépcs s Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 27 / 37
28 Mátrix rangja Determináns Tétel: Elemi átalakításokkal bármely mátrix lépcs s alakra hozható Deníció: Egy mátrix rangja megegyezik egy vele ekvivalens lépcs s mátrix nem nulla sorainak a számával Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 28 / 37
29 Gauss elimináció Determináns A egyenletrendszer b vített mátrixát ekvivalens átalakításokkal lépcs s mátrixá alakítjuk Megoldjuk az így kapott lépcs s mátrixhoz tartozó egyenletrendszert Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 29 / 37
30 Az együttható mátrix rangja kisebb mint a b vített mátrix rangja Ebben az esetben az egyenletrendszernek nincs megoldása Példa: A mátrix utolsó sorához tartozó egyenlet ekkor 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 5 melyet semmilyen szám négyes sem elégit ki Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 30 / 37
31 Az együttható mátrix rangja megegyezik a b vített mátrix rangjával, és a rang megegyezik az ismeretlenek számával Ebben az esetben az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van Példa: Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 31 / 37
32 Az együttható mátrix rangja megegyezik a b vített mátrix rangjával, és a rang kisebb az ismeretlenek számánál Ebben az esetben az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van Az ismeretlenek számának és a rangnak a különbsége megadja, hogy hány ismeretlent választhatunk meg szabadon Példa: Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 32 / 37
33 GaussJordan-elimináció Hasonló a Gauss eliminációhoz, de itt az együttható mátrix f átló fölötti tagjait is kinullázzuk Példa: Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 33 / 37
34 Homogen linearis egyenletrenszer A homogén egyenletrendszereknek mindig van legalább egy konkrét megoldása, mégpedig a x = (0, 0,, 0) szám n-es (triviális megoldás) Tehát az együttható mátrix rangja ebben az esetben mindig megegyezik a b vített mátrix rangjával Egy homogén egyenletrendszereknek akkor és csakis akkor van pontosan egy megoldása, ha együtthatómátrixának a rangja megegyezik az ismeretlenek számával Egy homogén egyenletrendszereknek akkor és csakis akkor van a triviálistól különböz megoldása is, ha együtthatómátrixának a rangja kisebb az ismeretlenek számánál Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 34 / 37
35 Sajátvektor és sajátérték Legyen adott egy A négyzetes mátrix Azt mondjuk, hogy a λ szám az A mátrix sajátértéke, ha létezik olyan nem nulla x vektor, melyre Ax = λx Az ilyen x vektorokat az A mátrix λ sajátértékhez tartozó sajátvektorainak nevezzük Példa: ( ) 2 2 Mutassuk meg, hogy a mátrixnak a 1 sajátértéke es 2 3 ( ) 2 a az egyik hozzátartozó sajátvektora 1 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 35 / 37
36 A sajátérték meghatározása Az egységmátrix felhasználásával Ax = λx Ax = λi x Ax λi x = 0 (A λi ) x = 0 egyenletrendszerhez jutunk Ennek csak akkor lesz a triviálistól különböz megoldása, ha det(a λi ) = 0 (1) Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 36 / 37
37 A sajátérték meghatározása Ez tehát azt jelenti, hogyλ pontosan akkor sajátérték, ha kielégíti az (1) egyenletet Ezt az egyenletet az A mátrix karakterisztikus egyenletének nevezzük Ha A egy n n-es mátrix, akkor az egyenlet bal oldala a determináns kifejtése után egy n-edfokú polinom, melyet karakterisztikus polinomnak nevezünk Példa: Határozzuk meg a ( ) mátrix sajátértékeit és sajátvektorait! Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 37 / 37
Lineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenRang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15
Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai
RészletesebbenLINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
Részletesebbenösszeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)
Részletesebben1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek
1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenA lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok
A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 1 / 75 Tartalom 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
Részletesebben11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal
11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
Részletesebben8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer
8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
Részletesebben5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39
5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Részletesebbenés n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n
RészletesebbenMatematikai statisztika 1.
Matematikai statisztika 1 segédanyag Daróczi Gergely Szociológia Intézet 2010 Matematikai statisztika 1 01 Mátrixok A mátrix vízszintes vonalban elhelyezked elemei sorokat, függ leges vonalban elhelyezked
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenLineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák
Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................
RészletesebbenFejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
Részletesebben1. A kétszer kettes determináns
1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebbenvektor, hiszen ez nem skalárszorosa
Általános alaelvek. Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok, MÁSODIK ótzh ontozási útmutató 7. december. A ontozási útmutató célja, hogy a javítók a dolgozatokat egységesen értékeljék. Ezért
Részletesebben9. AZ R k VEKTORTÉR. 9.1 Az R k vektortér fogalma
9 AZ R k VEKTORTÉR 91 Az R k vektortér fogalma Definíció A k-dimenziós vektortér nek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x 2,, x k ) sorozatok halmazát, azaz 1 R k
Részletesebben9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz
9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz. Mindkét eliminációs módszer műveletigénye sokkal kisebb, mint a Cramer-szabályé:
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe I. 2. zárthelyi november 24.
Bevezetés a számításelméletbe I. 1. zárthelyi 016. október 0. 1. Az e egyenesr l tudjuk, hogy mer legesen dö az x + y + 3z = 6 egyenlet síkot az (1, 1, 1) pontban, az f egyenesr l pedig hogy átmegy az
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
RészletesebbenXI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot
Részletesebben12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása
Részletesebben1 p, c = p 1 és d = 4. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a c és d paraméterek minden értékére. x + 2z = 5 2x y = 8 3x + 6y + cz = d
Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok 013. október 4. 1. Írjuk fel a háromdimenziós tér P = (1, 1, 1) és Q = (3, 1, 5) pontjait összeköt szakasz felez mer leges síkjának egyenletét. Hol
RészletesebbenSztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
RészletesebbenElső zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
RészletesebbenLineáris algebra. Wettl Ferenc, BME , 0.2 változat. Tartalomjegyzék. Geometriai szemléltetés. (tömör bevezetés) Az egyenletek szemléltetése
Lineáris algebra (tömör bevezetés) Wettl Ferenc, BME 2007-03-24, 02 változat Tartalomjegyzék Geometriai szemléltetés 1 Az egyenletek szemléltetése 1 Az egyenletrendszer vektoregyenlet alakja 2 Egyenletrendszerek
Részletesebben5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség
5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2007/8 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2007/8 tanév, II. félév 1 / 186 Félévközi
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai
Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar 2014. február 16. Losonczi László, Pap Gyula (DE, KTK) Gazdasági matematika II. 2014. február
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
RészletesebbenLineáris algebra. Közgazdász szakos hallgatóknak a Matematika A2a Vektorfüggvények tantárgyhoz tavaszi félév
Lineáris algebra Közgazdász szakos hallgatóknak a Matematika Aa Vektorfüggvények tantárgyhoz 9. tavaszi félév Tartalomjegyzék. Komplex számok és polinomok.................... 4.. A komplex számok bevezetése,
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
Részletesebben7. gyakorlat megoldásai
7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
Részletesebben1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
Részletesebbenrank(a) == rank([a b])
Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a Matlabban Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Matlabban igen egyszer en oldhatók meg. Legyen A az egyenletrendszer m-szer n-es együtthatómátrixa, és
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenAlkalmazott algebra - SVD
Alkalmazott algebra - SVD Ivanyos Gábor 20 sz Poz. szemidenit mátrixok spektrálfelbontásának általánosítása nem feltétlenül négyzetes mátrixokra LSI - mögöttes szemantikájú indexelés "Közelít " webkeresés
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/10 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/10 tanév, II. félév 1 / 187 Félévközi
Részletesebben