Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek"

Átírás

1 Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37

2 Az el adás vázlata Determináns Determináns Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 2 / 37

3 A A négyzetes mátrix determinánsa egy szám, amit det A vagy A -val jelölünk Fontos Csak a négyzetes mátrixoknak van determinánsa 1 1 eset Legyen A = (a 1,1 ), ekkor det A = a 1,1 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 3 / 37

4 2 2 eset ( Legyen A = a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 ) ekkor det A = a 1,1 a 2,2 a 1,2 a 2,1 vagyis a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 = a 1,1a 2,2 a 1,2 a 2,1 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 4 / 37

5 3 3 eset (Sarrus-szabály ) a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,1 a 2,2 = a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,1 a 3,2 =a 1,1 a 2,2 a 3,3 + a 2,1 a 3,2 a 1,3 + a 3,1 a 1,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 1,3 a 3,2 a 2,3 a 1,1 a 3,3 a 2,1 a 1,2 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 5 / 37

6 n n eset, ahol n 2 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a 31 a 32 a 3n a n1 a n2 a nn = a i1 A i1 + a i2 A i2 + a in A in ahol A ij az a ij elemhez tartozó el jeles aldetermináns, aminek az értékét úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrix i-edik sorát és j-edik oszlopát elhagyjuk és a kapott (n 1) (n 1)-es mátrix determinánsának értékét szorozzuk ( 1) i+j -vel Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 6 / 37

7 n n eset, ahol n 2 Az a ij elemhez tartozó A ij el jeles aldetermináns el jelenek megjegyzését megkönnyíti a séma Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 7 / 37

8 Determináns tulajdonságai: Legyen A egy n n-es mátrix Az A determináns tetsz leges sora, vagy oszlopa szerint kifejthet Az A mátrix determinánsa egyenl az A transzponáltjának determinánsával: A = A T Megjegyzés: A determinánsra vonatkozó tulajdonságok mindegyike érvényes akkor is, ha azok megfogalmazásában a "sor " és "oszlop" szavakat helyettesítjük egymással Ha az A mátrix valamely sorának (oszlopának) minden eleme 0, akkor A = 0 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 8 / 37

9 Determináns tulajdonságai: Ha az A mátrixban a f átló felett (vagy alatt) minden elem 0, akkor a A egyenl a f átlón lév elemek szorzatával a a a 33 = a 11a 22 a 33 Ha a determinánsban két sort (oszlopot) felcserélünk, akkor az el jele megváltozik Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 9 / 37

10 Determináns tulajdonságai: Ha a determináns valamely sorának (oszlopának) minden elemét szorozzuk c 0 számmal, akkor a determináns értéke c-szeresére változik a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = 1 c ca 11 ca 12 ca 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Ha a determinánsban van két egyforma sor (oszlop), akkor A = 0 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 10 / 37

11 Determináns tulajdonságai: A determináns tetsz leges sorának (oszlopának) többszörösét hozzáadva a determináns tetsz leges másik sorához (oszlopához), a determináns értéke nem változik a 11 a 12 a 13 a a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = 11 + ca 31 a 12 + ca 32 a 13 + ca 33 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Ha a determinánsban valamely sor (oszlop) többszöröse egy másik sornak (oszlopnak), akkor A = 0 A B = A B Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 11 / 37

12 Deníció: Az A négyzetes mátrix inverzének azt az A 1 mátrixot nevezzük, melyre AA 1 = I Amennyiben ilyen A 1 mátrix létezik, akkor az A mátrixot regulárisnak, ellenkez esetben szingulárisnak nevezzük Tétel: Az A négyzetes mátrix akkor és csakis akkor reguláris, ha A 0 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 12 / 37

13 meghatározása Adjungált mátrix Egy négyzetes mátrix adjungáltjának nevezzük a mátrix el jeles aldeterminánsaiból alkotott mátrix transzponáltját Tehát adj A = A 1,1 A 1,2 A 1,n A 2,1 A 2,2 A 2,n A 3,1 A 3,2 A 3,n T = A 1,1 A 2,1 A n,1 A 1,2 A 2,2 A n,2 A 1,3 A 2,3 A n,3 A n,1 A n,2 A n,n A 1,n A 2,n A n,n Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 13 / 37

14 meghatározása Könnyen belátható, hogy A adj A = adj A A = Innét A A A A A 1 = 1 A adj A Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 14 / 37

15 Az a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b n egyenletrendszert m egyenletb l álló n ismeretlenes lineáris egyenletrendszernek nevezzük Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 15 / 37

16 Az a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 egyenletrendszert homogén lineáris egyenletrendszernek nevezzük, ha a jobboldalon szerepl konstansok közül csak egy is különbözik 0-tól, akkor inhomogén lineáris egyenletrendszerr l beszelünk nevezzük Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 16 / 37

17 Konkrét megoldás A lineáris egyenletrendszer egy konkrét megoldásán egy olyan x = (x 1, x 2,, x n ) szám n-est értünk, amelyet behelyettesítve az egyenletrendszerbe, minden egyenl ség teljesül A homogén egyenletrendszereknek mindig van legalább egy konkrét megoldása, mégpedig a x = (0, 0,, 0) szám n-es Általános megoldás A lineáris egyenletrendszer általános megoldásán az összes konkrét megoldás megadását értjük (ha van egyáltalán megoldás) Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 17 / 37

18 Együtthatómátrix A = a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n a m,1 a m,2 a m,n Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 18 / 37

19 Kib vített mátrix [A, b] = a 1,1 a 1,2 a 1,n b 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n b 2 a m,1 a m,2 a m,n b m Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 19 / 37

20 Egyenletrendszer mátrix szorzásos alakja a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n x 1 x 2 = b 1 b 2 a m,1 a m,2 a m,n x n b m Tömör írásmódban illetve homogén esetben Ax = b Ax = 0 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 20 / 37

21 Megoldás inverz mátrix segítségével Ekkor az egyenletrendszer ugyanannyi ismeretlent tartalmaz mint ahány egyenletet (n = m), Az együttható mátrix reguláris Ax = b A 1 Ax = A 1 b I x = A 1 b x = A 1 b Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 21 / 37

22 Cramer-szabály az egyenletrendszer ugyanannyi ismeretlent tartalmaz mint ahány egyenletet (n = m), Az együttható mátrix reguláris Jelöljük B i -vel jelöljük azokat az A-ból képzett mátrixokat, melyek i-edik oszlopa helyén a b vektor áll, azaz a 1,1 a 1,i 1 b 1 a 1,i+1 a 1,n a 2,1 a 2,i 1 b 2 a 2,i+1 a 2,n B i = Ekkor a n,1 a n,i 1 b n a n,i+1 a n,n x i = B i A i = 1, 2,, n Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 22 / 37

23 Cramer-szabály az egyenletrendszer ugyanannyi ismeretlent tartalmaz mint ahány egyenletet (n = m), Az együttható mátrix reguláris Jelöljük B i -vel jelöljük azokat az A-ból képzett mátrixokat, melyek i-edik oszlopa helyén a b vektor áll, azaz a 1,1 a 1,i 1 b 1 a 1,i+1 a 1,n a 2,1 a 2,i 1 b 2 a 2,i+1 a 2,n B i = Ekkor a n,1 a n,i 1 b n a n,i+1 a n,n x i = B i A i = 1, 2,, n Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 23 / 37

24 Ekvivalens egyenletrendszerek Két lineáris egyenletrendszert ekvivalensnek mondunk, ha megoldáshalmazaik megegyeznek Az alábbi átalakítások egy lineáris egyenletrendszert vele ekvivalens lineáris egyenletrendszerbe visznek át: egyenlet szorzása nullától különböz konstanssal egy egyenlethez egy másik egyenlet konstans szorosának hozzáadása, egyenletek sorrendjének felcserélése Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 24 / 37

25 B vített mátrix elemei átalakításai A lineáris egyenletrendszer elemi átalakításainak a b vített mátrixa alábbi átalakításai felelnek meg: mátrix bármely sorának szorzása 0-tól különböz valós számmal, mátrix egyik sorához másik sora tetsz leges többszörösének hozzáadása, mátrix két sorának felcserélése Cél az egyenletrendszert ekvivalens átalakításokkal egyszer bb alakra hozni Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 25 / 37

26 Lépcs s alak Determináns B vített mátrix elemei átalakításai Egy mátrixot lépcs s alakúnak nevezünk, ha fentr l lefele haladva a sorok els nem-0 elemei egyre kés bb jelennek meg Példa: Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 26 / 37

27 Lépcs s alak Determináns B vített mátrix elemei átalakításai Egy mátrixot lépcs s alakúnak nevezünk, ha fentr l lefele haladva a sorok els nem-0 elemei egyre kés bb jelennek meg Példa: lépcs s nem lépcs s Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 27 / 37

28 Mátrix rangja Determináns Tétel: Elemi átalakításokkal bármely mátrix lépcs s alakra hozható Deníció: Egy mátrix rangja megegyezik egy vele ekvivalens lépcs s mátrix nem nulla sorainak a számával Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 28 / 37

29 Gauss elimináció Determináns A egyenletrendszer b vített mátrixát ekvivalens átalakításokkal lépcs s mátrixá alakítjuk Megoldjuk az így kapott lépcs s mátrixhoz tartozó egyenletrendszert Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 29 / 37

30 Az együttható mátrix rangja kisebb mint a b vített mátrix rangja Ebben az esetben az egyenletrendszernek nincs megoldása Példa: A mátrix utolsó sorához tartozó egyenlet ekkor 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 5 melyet semmilyen szám négyes sem elégit ki Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 30 / 37

31 Az együttható mátrix rangja megegyezik a b vített mátrix rangjával, és a rang megegyezik az ismeretlenek számával Ebben az esetben az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van Példa: Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 31 / 37

32 Az együttható mátrix rangja megegyezik a b vített mátrix rangjával, és a rang kisebb az ismeretlenek számánál Ebben az esetben az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van Az ismeretlenek számának és a rangnak a különbsége megadja, hogy hány ismeretlent választhatunk meg szabadon Példa: Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 32 / 37

33 GaussJordan-elimináció Hasonló a Gauss eliminációhoz, de itt az együttható mátrix f átló fölötti tagjait is kinullázzuk Példa: Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 33 / 37

34 Homogen linearis egyenletrenszer A homogén egyenletrendszereknek mindig van legalább egy konkrét megoldása, mégpedig a x = (0, 0,, 0) szám n-es (triviális megoldás) Tehát az együttható mátrix rangja ebben az esetben mindig megegyezik a b vített mátrix rangjával Egy homogén egyenletrendszereknek akkor és csakis akkor van pontosan egy megoldása, ha együtthatómátrixának a rangja megegyezik az ismeretlenek számával Egy homogén egyenletrendszereknek akkor és csakis akkor van a triviálistól különböz megoldása is, ha együtthatómátrixának a rangja kisebb az ismeretlenek számánál Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 34 / 37

35 Sajátvektor és sajátérték Legyen adott egy A négyzetes mátrix Azt mondjuk, hogy a λ szám az A mátrix sajátértéke, ha létezik olyan nem nulla x vektor, melyre Ax = λx Az ilyen x vektorokat az A mátrix λ sajátértékhez tartozó sajátvektorainak nevezzük Példa: ( ) 2 2 Mutassuk meg, hogy a mátrixnak a 1 sajátértéke es 2 3 ( ) 2 a az egyik hozzátartozó sajátvektora 1 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 35 / 37

36 A sajátérték meghatározása Az egységmátrix felhasználásával Ax = λx Ax = λi x Ax λi x = 0 (A λi ) x = 0 egyenletrendszerhez jutunk Ennek csak akkor lesz a triviálistól különböz megoldása, ha det(a λi ) = 0 (1) Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 36 / 37

37 A sajátérték meghatározása Ez tehát azt jelenti, hogyλ pontosan akkor sajátérték, ha kielégíti az (1) egyenletet Ezt az egyenletet az A mátrix karakterisztikus egyenletének nevezzük Ha A egy n n-es mátrix, akkor az egyenlet bal oldala a determináns kifejtése után egy n-edfokú polinom, melyet karakterisztikus polinomnak nevezünk Példa: Határozzuk meg a ( ) mátrix sajátértékeit és sajátvektorait! Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 37 / 37

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Mátrixok 2017 Mátrixok

Mátrixok 2017 Mátrixok 2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4

Részletesebben

3. el adás: Determinánsok

3. el adás: Determinánsok 3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns

Részletesebben

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek 10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach/ február 15 Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév

LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

Lineáris algebra. (közgazdászoknak)

Lineáris algebra. (közgazdászoknak) Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak 10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)

Részletesebben

1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:

1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: 1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet

Részletesebben

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35 9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen

Részletesebben

Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás

Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok

A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 1 / 75 Tartalom 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér

Részletesebben

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n} Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz 2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

Matematika elméleti összefoglaló

Matematika elméleti összefoglaló 1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...

Részletesebben

8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer

8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer 8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39

5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39 5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es

Részletesebben

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és

Részletesebben

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij.. Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n

Részletesebben

Matematikai statisztika 1.

Matematikai statisztika 1. Matematikai statisztika 1 segédanyag Daróczi Gergely Szociológia Intézet 2010 Matematikai statisztika 1 01 Mátrixok A mátrix vízszintes vonalban elhelyezked elemei sorokat, függ leges vonalban elhelyezked

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

1. Bázistranszformáció

1. Bázistranszformáció 1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben

1. A kétszer kettes determináns

1. A kétszer kettes determináns 1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc

Részletesebben

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

vektor, hiszen ez nem skalárszorosa

vektor, hiszen ez nem skalárszorosa Általános alaelvek. Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok, MÁSODIK ótzh ontozási útmutató 7. december. A ontozási útmutató célja, hogy a javítók a dolgozatokat egységesen értékeljék. Ezért

Részletesebben

9. AZ R k VEKTORTÉR. 9.1 Az R k vektortér fogalma

9. AZ R k VEKTORTÉR. 9.1 Az R k vektortér fogalma 9 AZ R k VEKTORTÉR 91 Az R k vektortér fogalma Definíció A k-dimenziós vektortér nek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x 2,, x k ) sorozatok halmazát, azaz 1 R k

Részletesebben

9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz

9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz 9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz. Mindkét eliminációs módszer műveletigénye sokkal kisebb, mint a Cramer-szabályé:

Részletesebben

Mátrixok, mátrixműveletek

Mátrixok, mátrixműveletek Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap

Részletesebben

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK 217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. 2. zárthelyi november 24.

Bevezetés a számításelméletbe I. 2. zárthelyi november 24. Bevezetés a számításelméletbe I. 1. zárthelyi 016. október 0. 1. Az e egyenesr l tudjuk, hogy mer legesen dö az x + y + 3z = 6 egyenlet síkot az (1, 1, 1) pontban, az f egyenesr l pedig hogy átmegy az

Részletesebben

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22 Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény

Részletesebben

XI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot

Részletesebben

12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor

12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása

Részletesebben

1 p, c = p 1 és d = 4. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a c és d paraméterek minden értékére. x + 2z = 5 2x y = 8 3x + 6y + cz = d

1 p, c = p 1 és d = 4. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a c és d paraméterek minden értékére. x + 2z = 5 2x y = 8 3x + 6y + cz = d Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok 013. október 4. 1. Írjuk fel a háromdimenziós tér P = (1, 1, 1) és Q = (3, 1, 5) pontjait összeköt szakasz felez mer leges síkjának egyenletét. Hol

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei

Részletesebben

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér? Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2

Bevezetés az algebrába 2 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc

Részletesebben

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2. Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Lineáris algebra. Wettl Ferenc, BME , 0.2 változat. Tartalomjegyzék. Geometriai szemléltetés. (tömör bevezetés) Az egyenletek szemléltetése

Lineáris algebra. Wettl Ferenc, BME , 0.2 változat. Tartalomjegyzék. Geometriai szemléltetés. (tömör bevezetés) Az egyenletek szemléltetése Lineáris algebra (tömör bevezetés) Wettl Ferenc, BME 2007-03-24, 02 változat Tartalomjegyzék Geometriai szemléltetés 1 Az egyenletek szemléltetése 1 Az egyenletrendszer vektoregyenlet alakja 2 Egyenletrendszerek

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

Gazdasági matematika II.

Gazdasági matematika II. Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2007/8 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2007/8 tanév, II. félév 1 / 186 Félévközi

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai

Bázistranszformáció és alkalmazásai Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26. Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre

Részletesebben

Gazdasági matematika II.

Gazdasági matematika II. Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar 2014. február 16. Losonczi László, Pap Gyula (DE, KTK) Gazdasági matematika II. 2014. február

Részletesebben

MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós

MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak

Részletesebben

Lineáris algebra. Közgazdász szakos hallgatóknak a Matematika A2a Vektorfüggvények tantárgyhoz tavaszi félév

Lineáris algebra. Közgazdász szakos hallgatóknak a Matematika A2a Vektorfüggvények tantárgyhoz tavaszi félév Lineáris algebra Közgazdász szakos hallgatóknak a Matematika Aa Vektorfüggvények tantárgyhoz 9. tavaszi félév Tartalomjegyzék. Komplex számok és polinomok.................... 4.. A komplex számok bevezetése,

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

Gazdasági matematika II. tanmenet

Gazdasági matematika II. tanmenet Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):

Részletesebben

7. gyakorlat megoldásai

7. gyakorlat megoldásai 7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

1. Geometria a komplex számsíkon

1. Geometria a komplex számsíkon 1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz

Részletesebben

rank(a) == rank([a b])

rank(a) == rank([a b]) Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a Matlabban Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Matlabban igen egyszer en oldhatók meg. Legyen A az egyenletrendszer m-szer n-es együtthatómátrixa, és

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Alkalmazott algebra - SVD

Alkalmazott algebra - SVD Alkalmazott algebra - SVD Ivanyos Gábor 20 sz Poz. szemidenit mátrixok spektrálfelbontásának általánosítása nem feltétlenül négyzetes mátrixokra LSI - mögöttes szemantikájú indexelés "Közelít " webkeresés

Részletesebben

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41 Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét

Részletesebben

Gazdasági matematika II.

Gazdasági matematika II. Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/10 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/10 tanév, II. félév 1 / 187 Félévközi

Részletesebben