Alkalmazott algebra - SVD
|
|
- Géza Veres
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Alkalmazott algebra - SVD Ivanyos Gábor 20 sz
2 Poz. szemidenit mátrixok spektrálfelbontásának általánosítása nem feltétlenül négyzetes mátrixokra
3 LSI - mögöttes szemantikájú indexelés "Közelít " webkeresés egy modellje dokumentumok (weblapok) vektorok, a koordináták a (lényeges) szavaknak felelnek meg: A koordináták kiszámítására példák: egyszer incidencia: 0 vagy fontosság szerinti súlyok Pl. relatív említési gyakoriságból kalkulált Számíthat az említés módja is: címben, hivatkozásban, szövegben keres kérdés dokumentum-vektor Feladat: a kérdés vektorához minél jobban illeszked : "hasonló", "közeli" dokumentum-vektor keresése Nem pontos illeszkedés: lehet, hogy a legjobb találat nem is tartalmazza a kérdés egy szavát se, inkább A kérdés "jelentéséhez" van köze
4 LSI - mögöttes szemantikájú indexelés LSI - mögöttes szemantikájú indexelés Latent Semantic Indexing m dokumentum (pl. weblap), n szó A = (α ij ) m n-es, α ij j. szó az i. dok-ban A sorai dokumentumok A oszlopai: szavak "prolja" Feltevés: a háttérben (általunk nem ismert) fogalmak, jelentések állnak a szavak jól közelíthet k fontosabb jelentések elegyével a jelentéseket a dokumentumokból "tanulhatjuk" meg a közelítés hibája: "zaj", "lényegtelen", "esetleges" dolgok
5 LSI - mögöttes szemantikájú indexelés LSI A = (α ij ) m n-es, α ij j. szó az i. dok-ban Formálisan: léteznek f = f f 2. f m,..., f k = f k f 2k. f mk Rm oszlopvektorok (a jelentések proljai), hogy A oszlopai jól közelíthet k f,..., f k lineáris kombinációival, azaz létezik olyan B m k-as mátrix, hogy A FB, ahol F = (f ij ). B i-edik sora az A-nak az i-edik oszlopát közelít kombináció együtthatóiból áll
6 LSI - mögöttes szemantikájú indexelés Alacsony rangú közelítés Áll.: Legyen A egy m n-es mátrix. Ekkor A rangja k léteznek olyan B k n-es és F m k-as mátrixok, amelyekre A = FB. Biz.: A rangja k létezik olyan F m k-as, hogy A oszlopai megkaphatók F oszlopainak lineáris kombinációiként Emellett B i-edik sora az A i-edik oszlopát el állító kombináció együtthatóiból áll. Tehát: a "lényeg" A alacsony rangú közelítése
7 Eredet: f komponensanalízis Eredet: f komponensanalízis K. Pearson 90 A = (α ij ) m n-es, α ij j. adat értéke az i. mérés során Pl. kérd ív kérdéseire adott válaszok, skálázva Oszlopok: val. változók mért adatai a j B 0 α j. α mj Sorok: egy-egy mérésre az adatok sora a i = `α i... α in m Feltesszük: i= α ij = 0 0-ra normált empirikus átlagok a j 2 = m i= α2 ij : empirikus szórásnégyzet a legfontosabb "rejtett összetev ": abban az irányban vett adatok, amerre a leginkább szórnak. C A
8 Eredet: f komponensanalízis F komponensanalízis u irányú adatok: Legyen u = 0 µ. µ n C A egységvektor (u T u = ). Az i-edik mérés u irányú adata ai T vektor u irányú (u-val párhuzamos) komponensének az együtthatója, azaz a i u = n j= α ijµ j. Az m darab u irányú adat együtt: Au. f irány: az az u, amelyre Au 2 = m i= (a i u) 2 maximális a megfelel "rejtett változó" az Au oszlopvektor a következ f irány: az u-ra mer legesek közül a legnagyobb vetületet adó irány, stb...
9 Eredet: f komponensanalízis F komponensanalízis és szinguláris értékek A = (α ij ) tetsz leges m n-es mátrix ( m i= α ij = 0 nem kell.) u R n olyan egységvektor, amelyre Au 2 a lehet legnagyobb Ha u,..., u s már megvan, u s+ egy olyan egységvektor {u,..., u s } -b l, amelyre Au s+ 2 a lehet legnagyobb Mi lehet u,..., u n?
10 Eredet: f komponensanalízis F komponensanalízis és szinguláris értékek Észrevétel: Au 2 = u T A T Au, és A T A poz. szemidenit utóbbi biz.: (A T A) T = A T A, tehát A T A szimm. v T (A T A)v = (Av) T (Av) 0. (Egyenl ség v ker A-ra). Köv.: M ortog., hogy M T A T AM = diag(σ 2, σ2 2,..., σ2 n). Feltehet, hogy σ σ 2... σ n 0. (Elnevezés: szinguláris értékek) Áll.: u = esetén Au σ és ha Au = σ, akkor u sajátvektora A T A-nak σ 2 sajátértékkel. (zh09030, 5. fa.) 0 ν Biz.: Legyen M mit fent és v := M T B u ν n C A. Ekkor u = Mv és Au 2 = AMv 2 = v T M T A T AMv = P n i= ν2 i σ2 P n i i= ν2 i σ2 = σ2, és ha ν i 0 olyan i-re, amelyre σ i < σ, akkor < áll. Különben u = Mv az M olyan oszlopainak lineáris kombinációja, amelyek sajátvektorok σ 2 sajátértékkel.
11 Eredet: f komponensanalízis F komponensanalízis és szinguláris értékek Áll.: Tfh. u = és u M els k oszlopára. Ekkor Au σ k+ és ha Au = σ k, akkor u sajátvektora A T A-nak σ 2 k sajátértékkel. 0 ν Biz.: Legyen v = M T B u ν n ν =... = ν k = 0, Ekkor Au = AMv és Au 2 = P n i=k+ ν2 i σ2 i hasonló a k = esethez. C A. A mer legességi feltétel miatt P n i=k+ ν2 i σ2 k+ = σ2. Az egyenl ség vizsgálata is k+ Köv.: A f irányok A T A sajátvektorai, azaz (lényegében) M oszlopai.
12 Szinguláris értékek Szinguláris értékek A m n-es valós mátrix Megj: (a komplex eset hasonlóan m ködik) Def.: A szinguláris értékei A T A (nem nulla) sajátértékeinek -e Áll.: A T A rangja = A rangja Biz.: Észrevétel: ker A T AR n = 0. Észrv. biz.:tfh. v ker A T AR n : A T v = 0 és v = Au. Ekkor u T A T Au = u T A T v = 0, így Au = 0. Dimenziótétel A T -nek AR n -re való megszorítására+észrv.: dim A T AR n = dim AR n 0 = dim AR n, azaz A T A rangja = A rangja. Köv.: (poz.) szinguláris értékek száma = rang
13 Szinguláris értékek A és A T szing. értékei Áll.: Ha σ (poz.) szing. értéke A-nak, akkor A T -nak is (és viszont). Részletesebben: Ha v sajátvektora A T A-nak σ 2 0 sajátértékkel, akkor Av sajátvektora AA T -nak szintén σ 2 sajátértékkel. Biz.: Tfh. 0 v és A T Av = σ 2 v. Ekkor (AA T )(Av) = A(A T A)v = Aσ 2 v = σ 2 Av. v = σ 2 A T Av, így Av 0. Megj. A (poz.) szing. értékek multiplicitásai is ugyanazok. Biz.: A σ A az AT A σ 2 -sajátalterét az AA T σ 2 -sajátalterébe viszi. A σ AT pedig fordítva. A két leképezés megszorítása a σ 2 -sajátalterekre inverzei egymásnak.
14 SVD SVD - A f lemma Lemma: Tetsz. A m n-es valós mátrixhoz léteznek M n n-es és M m m-es ortogonális mátrixok, hogy: 0 σ σ 2 M T AM = Σ = σ n C A illetve 0 σ σ 2 σ n C A Az els az m > n esetet, a második az m < n esetet ábrázolja σ... σ n: A T A sajátértékeinek nemnegatív -e
15 SVD SVD - a f lemma bizonyítása Legyen M olyan ortog., amelyre M T A T AM = diag(σ 2,..., σ 2 n) Megj: f komponensanalízisnél M oszlopai: a f irányok, AM oszlopai: a f irányok mentén vett értékek vektorai Legyenek AM oszlopai w,..., w n. (AM) T (AM) = diag(σ 2,..., σ2 n) miatt { σ wi T 2 w j = i, ha i = j 0 ha i j
16 SVD SVD - a f lemma bizonyítása II j σ w T 2 w i j = i, ha i = j 0 ha i j Tfh. σ... σ r > 0, de σ r+ =... = σ n = 0. Megj.: i > r-re w i = 0 (mert w T i w i = σ 2 i = 0) Legyenek i r -re v i = σ i w i Ha m > r, egészítsük ki v r+,..., v m -mel R m ortonormált bázisává. j v T σi, ha i = j < r w i j = 0 egyébként Legyenek M oszlopai: v,..., v m. Ekkor M ortog. és M T AM = Σ
17 SVD Teljes SVD Tétel: Tetsz. A m n-es valós mátrixhoz léteznek M n n-es és M m m-es ortogonális mátrixok, hogy A = M Σ M T, ahol 0 σ σ 2 Σ = σ n C A illetve 0 σ σ 2 σ n C A Biz.: a f lemma egyenl ségét M -vel ill. M T -vel szorozzuk balról-jobbról.
18 SVD Redukált SVD Tétel: Tetsz. A m n-es valós, r rangú mátrixhoz vannak U m r -es, U n r -es mátrixok, hogy U T U = U T U = I r, azaz U, ill. U oszlopai ortonormált rendszerek A = U ΣU T, ahol 0 σ σ 2 Σ = σ r C A σ >... > σ r > 0 A (poz.) szing. értékei. Megj. (a komplex eset): U U = U U = I r, A = U ΣU. (Ekkor A A lesz poz. szemidef. önadj.)
19 SVD Redukált SVD - bizonyítás Teljes SVD: A = M Σ M T Legyenek M = (U T ), M = (U T ). U ill. U az M ill. M els r oszlopa. Nyilván U T U = U T U = I r. «Σ Σ 0 = 0 0 «««Σ A = (U T 0 U T ) 0 0 T T = (U U T Σ 0) T T = U ΣU T.
20 SVD SVD: "Egyértelm ség" kérdése Tfh. A = U ΣU T, ahol Σ = diag(σ,..., σ r ), σ... σ r > 0, U m r -es U n r -es, U T U = I r, U T U = I r. Ekkor A T A = UΣU T U ΣU T = UΣ 2 U T, így Σ 2 = U T A T AU. Innen: U oszlopai az A T A mátrix nem 0 sajátértékeihez tartozó sajátaltereinek ortonormált bázisait adják. Egészítsük ki U-t egy n n-es M ortog. mátrixszá ker A T A-ból vett oszlopvektorokkal. Erre M T A T AM = Σ 2. U : fenti érvelés, A A T cserével. Köv: ha A pozitív szinguláris értékei páronként kül, akkor U és U az oszlopok egységszerese (±) erejéig egyértelm.
21 SVD SVD - példa 0 A A «3 3 A T A =, M T A T AM = Σ 2 = 3 3 M = + +! 2 2 +, AM 2 0 A c 2 c 3 3 M B c 22 c C 23 3 A c 32 c 33 3 Σ = 6, U = 2 2 0!, U B «6 0, Σ = 0 0 «6 0, C B A, tehát A C 3 A
22 SVD SVD szimmetrikus mátrixokra A T = A a szinguláris értékek A sajátértékeinek abszolút értékei (multiplicitással). 0 λ λ 2 Tfh. A = U B A UT,... λ n ahol U n n-es ortogonális; λ λ 2... λ n. Ekkor A egy lehetséges teljes SVD-je 0 λ A = U λ 2... λ n C A UT, ahol U i-edik oszlopa U i-edik oszlopának ±-szerese, aszerint, hogy λ i 0 vagy λ i < 0.
23 Alacsony rangú közelítések A Frobenius-norma A m n-es valós Def. (Frobenius-norma-négyzet): (= eukl. hossznégyzet) A 2 = m n i= j= a 2 ij. Ugyanaz, mint: sorok v. oszlopok hossznégyzet-összege Elegáns alak: A 2 = tr A T A = tr AA T, ahol Emlék. (nyom, trace): B = (b ij ) n n-esre tr B = n i= b ii Megj. (komplex mátrixokra): A 2 = a ij 2 = tr A A = tr AA Nyom tulajdonsága: A m n-es, B n m-esre: tr AB = tr BA.
24 Alacsony rangú közelítések Normatartó szorzások: Áll.: Tfh. A m n-es, B olyan m m-es amelynek az oszlopai ortonormált rendszert alkotnak (azaz B T B = I m ), C olyan n n -es, amelynek a sorai ortonormált rendszert alkotnak (azaz CC T = I n ). Ekkor BA 2 = A 2 = AC 2. Biz.: A oszlopai a,..., a n, BA oszlopai Ba,..., Ba n. B az R m standard bázisát B képterének egy ortonormált bázisába viszi, tehát B egy izometria R m és B képtere között. Így Ba j 2 = a j 2 és BA 2 = P Ba j 2 = P a j 2 = A. A másik =-ség innen A A T, B C T helyettesítéssel. Másik biz.: BA 2 = tr A T B T BA = tr A T I ma = tr A T A = A 2.
25 Alacsony rangú közelítések Az EckartYoung-tétel EckartYoung 936 (Psychometrika) Korábban: Schmidt approximációs tétele 907 (függvények kontextusában) Redukált SVD: A = U ΣU T. k r -re legyenek U (k) : U els k oszlopa U (k) : U els k oszlopa Σ (k) = diag(σ,..., σ k ): Σ bal fels k k-as része A (k) := U (k) Σ (k) U (k)t Tétel: A-nal A (k) az (egyik) legjobb k rangú közelítése a Frobenius-normában (A hiba: A A (k) 2 = P r i=k+ σ2 i ) Megj.: Mirsky 960: és még sok más fontos normában is ez a legjobb
26 Alacsony rangú közelítések EckartYoung teljes SVD-vel Teljes SVD: A = M Σ M T, ahol Σ m n-es diagonális, σ,..., σ r nemnulla átlós elemekkel Σ (k) : írjunk Σ -ben σ k+,..., σ r helyébe 0-t A (k) = M Σ (k) M T
27 Alacsony rangú közelítések EckartYoung bizonyítása Az U T -vel való balról, U-val jobbról szorzás tartja a Frobenius-normát: A A (k) 2 = U T (A A (k) )U 2 = σ 2 k σ2 r, ahol g Σ (k) = diag(σ,..., σ k, 0,..., 0) r r-es Legyen A egy k rangú m n-es Σ Σ (k) 2 = A A 2 = U T (A A )U 2 = U T AU U T A U 2 = Σ C 2, ahol C := U T A U k rangú r r-es Elég tehát a következ spec. esetet igazolni: Spec. eset: tetsz. C k rangú r r -esre: diag(σ,..., σ r ) C 2 σ 2 k σ2 r.
28 Alacsony rangú közelítések EckartYoung spec. eset bizonyítása Spec. eset: tetsz. C k rangú r r -esre: diag(σ,..., σ r ) C 2 σ 2 k σ2 r. Legyen W = ker C egy r k dimenziós altere U r (r k)-as oszlopai: W egy ortonormált bázisa U 2 r k-as oszlopai: W egy ortonormált bázisa (U U 2 ) r r -es ortogonális D := diag(σ,..., σ r )
29 Alacsony rangú közelítések EckartYoung spec eset bizonyítása II D C 2 = = «(U U 2 ) T (D C)(U U 2 ) 2 = U T 2 U2 T (D C)(U U 2 ) «U T (D C) 2 U2 T (U (D C) U 2 ) = U T (D C)U U T (D C)U «2 2 U2 T (D C)U U2 T (D C)UT 2 U T (D C)U 2 = U T DU U T CU 2 = U T DU 2 : a mátrix normája a mátrix bal fels blokkjának a normája utolsó =: U T CU = 0 mert CU = 0 (U oszlopai C magjából) Elég tehát: D = diag(σ,..., σ r )-re és tetsz olyan U r (r k)-asra, amelyre U T U = I r k, teljesül U T DU 2 σk σ2 r
30 Alacsony rangú közelítések EckartYoung spec eset bizonyítása III Utolsó lépés D = diag(σ,..., σ r ), U r (r k)-as, amelyre U T U = I r k. U T DU 2 = tr (U T DU ) T U T DU = tr U T DT DU = tr U U T DT D = tr U U T D2 = ahol U U T = (β ij ). rx β ii σ 2 i, i= Áll.: U U T egy r k rangú mer leges vetítés (U U T )T = U U T és (U U T )2 = U U T U U T = U I n k U T = U U T Innen: 0 β ii r és i= β ii = r k. r Fenti feltételek mellett: i= β iiσi 2 min, ha a legkisebb -eket vesszük a lehet legnagyobb súllyal: σ 2 i U T DU 2 = r i= β iiσi 2 σ 2 k σ2 r, épp ez kellett.
31 Alacsony rangú közelítések LSI - keresés záró megj. Észrevétel: Ha w A egy sora, az A (k) mátrixnak a megfelel sora éppen w vetülete az A (k) sorai által generált altérre. Biz.: Ha nem az lenne, kicserélve a sort w vetületével jobb közelítést kapnánk Keres kérdés dokumentum-vektor A sorai. Eljárás: A keres kérdés vektorát levetítjük A (k) sorai által gen. altérre.
32 Az SVD további alkalmazásai Az SVD kiszámításáról Naiv módszer: A T A sajátértékei a kar. pol.-ból, majd a sajátalterek homogén lin. egyenletrendszerekkel Gauss-elimináció Gond: a Gauss-elimináció numerikus hibákra instabil Hatékony numerikus módszerek vannak (kés bb tárgyaljuk)
33 Az SVD további alkalmazásai Poláris felbontás Négyzetgyök Áll.: Ha A n n-es valós poz. szemidef., akkor! olyan B n n-es poz. szemidef., hogy A = B 2 (jel.: B = A). Biz.: Legyen U ortog., hogy D = U T AU diag. ( 0 elemekkel), B = D (elemenként). B valós, poz. szemidef. és B 2 = D. B = UB U T is poz. szemidef, továbbá B 2 = UB U T UB U T = UB 2 U T = UDU T = A. Egyértelm ség: Tfh A = B 2. Legyen U olyan ortog., hogy U T BU = B diag. Ekkor U T AU = U T B 2 U = B 2 diag. Innen: U T AU és B sajátalterei ugyanazok: U T AUv = λv B v = λv Innen: (v = Uu): Au = λu UB U T u = λu Bu = λu. Így B nem lehet más, mint fenti konstrukció.
34 Az SVD további alkalmazásai Poláris felbontás Poláris felbontás Tétel: Tetsz. A n n-es valós mátrixra A = PM, ahol M n n-es ortog. P n n-es poz. szemidef. P egyértelm, és ha A nemszing., akkor M is. Biz. Létezés: A teljes SVD-je: A = U Σ U T, ahol U és U n n-es ortog., Σ pedig egy n n-es diag. nemneg. Legyen P = U ΣU T és M = U U T. P egyért.: AA T = PMM T P = P 2, így P = AA T. Ha A invertálható, akkor P is az és M = P A. Megj.: hasonlóan, A = M P, ahol M unitér és P poz. szemidef. P = P akkor és csak akkor, ha A T A = AA T, azaz ha A normális. Megj: Komplex A = PM, ahol M unitér, P poz. szemidef önadj. -dim. komplex eset: komplex számok felbontása re iφ alakban.
35 Az SVD további alkalmazásai Poláris felbontás (teljes) SVD a poláris felbontásból Négyzetes mátrixokra A = PM M ortog. P poz. szemidef: M T PM = Σ diag, A = U ΣU T, ahol U = M T, U = M T M T.
36 Az SVD további alkalmazásai Homogén lineáris egyenletrendszerek megoldása Homogén lineáris egyenletrendszerek megoldása SVD-vel A feladat: Ax = 0 megoldása, azaz ker A számítása. Emlékeztet : A T A rangja = A rangja, így (pl. a dimenziótételb l) Teljes SVD: A = M Σ M T ker A T A = ker A. Σ = M T AM, innen Σ 2 = Σ T Σ = M T A T M M T AM = M T A T AM Σ 2 = M T A T AM, azaz M oszlopai A T A sajátvektoraiból álló ortonormált bázis Köv.: M utolsó n r oszlopa: ker A T A = ker A egy ortonormált bázisa
37 Az SVD további alkalmazásai Homogén lineáris egyenletrendszerek megoldása Homogén lin. egyenletrendszerek megoldása legkisebb négyzetes hibával Elnevezés: "total least squares" Ax = 0 közelít megoldása a legkisebb négyzetes hibával x = mellett: Ax 2 min, feltéve x =. Feltehet : ker A = 0, így n poz. szing. érték van. SVD: A = U ΣU T így Σ 2 = U T A T AU. legyenek v,..., v n U oszlopai. Ortonormált bázis, A T Av i = σ 2 i v i. Legyen x = α i v i, ahol x 2 = α i 2 =. Ekkor Ax 2 = (Ax, Ax) = (x, A T Ax) = ( X α i v i, X α i σ 2 i v i ) = X σ 2 i α i 2 X α i 2 σ 2 n = σ2 n, (ez, a másik irányban volt a f komp-nél) az optimum σ 2 n, x = v n-nel el is érhet σ n > σ n esetén az optimális x ±-szeres erejéig egyértelm.
38 Az SVD további alkalmazásai A MoorePrenrose-féle pszeudoinverz Inhomogén egyenletrendszerek megoldása legkisebb négyzetes hibával Ax = b lineáris egyenletrendszer. A m n-es valós, b R n nem mindig van pontos megoldás: olyan x R n, amelyre Ax b = 0 Közelít megoldás: olyan x, amelyre Ax b 2 min Ilyen x-re Ax éppen b-nek AR n -re való vetülete Tudjuk: altér legközelebbi pontja a vetület Fogjuk látni: létezik A + n m-es, amelyre AA + éppen az AR n -re való vetítés (az egyik) legkisebb négyzetes hibájú magoldás: x = A + b. (mert Ax = AA + b=a vetület) az összes mo.: a ker A + A + b eltolt altér
39 Az SVD további alkalmazásai A MoorePrenrose-féle pszeudoinverz A MoorePenrose-féle pszeudoinverz Def.: A m n-es valós mátrixnak egy pszeudoinverze egy olyan A + n m-es valós mátrix, amelyre AA + A = A, A + AA + = A +, AA + szimmetrikus, A + A szimmetrikus. (Megj.: komplex A-ra szimm. helyett önadj.) Pszeudoinverz az SVD-b l: Ha A red. SVD-je A = U ΣU T, akkor A = UΣ U T (egy) pszeudoinverze A-nak. Biz.: U T U = U T U = I r -ból AA = U ΣU T UΣ U T = U U T és A A = UΣ U T U ΣU T = UU T. Az AA = U U T és A A = UU T a segítségével: AA A = U U T A = U U T U ΣU T = U ΣU T = A. A AA = A U U T = UΣ U T U U T = UΣ U T = A (AA ) T = (U U T ) T = U U T = AA. (A A) T = (UU T ) T = UU T = A A.
40 Az SVD további alkalmazásai A MoorePrenrose-féle pszeudoinverz Pszeudoinverz és vetítés Lemma: Tfh. A + egy pszeudoinverze A-nak. Ekkor AA + az R m tér mer leges vetítése A képterére, A + A pedig az R n tér mer leges vetítése A T képterére. Biz.: AA + szimm. és (AA + ) 2 = AA +, azaz egy mer leges vetítés. AA + képtere nyilván A képtere. A = (AA + )A képtere nyilván AA + képtere. Tehát AA + mer leges vetítés A képterére. A + A is mer leges vetítés (hasonló biz.). A + A szimm., így A + A = A T A + T, ezért A + A képtere A T képtere. A = AA + A miatt A + A rangja A rangja, ami egyben A T rangja. Ezért a két képtér megegyezik. Tehát A + A mer leges vetítés A T képterére.
41 Az SVD további alkalmazásai A MoorePrenrose-féle pszeudoinverz Pszeudoinverz - egyértelm ség Áll.: A + és A két pszeudoinverze A-nak A = A +. Biz.: A lemma miatt AA + is és AA az ortogonális projekció A képterére, így AA = AA +. Hasonlóan, A A = A + A. Ezekb l A = A AA = A AA + = A + AA + = A +. Köv.: Ha A = U ΣU T az A mátrix red. SVD-je, akkor A pszeudoinverze A + = UΣ U T.
42 Az SVD további alkalmazásai A MoorePrenrose-féle pszeudoinverz Pszeudoinverz - példa I. 0 A A. 0 3 B SVD: A C 3 A A + =! = 6 AT
43 Az SVD további alkalmazásai A MoorePrenrose-féle pszeudoinverz Pszeudoinverz - példa II. «0 A =. 0 0 «0 0 A T A =, 0 «SVD: A = 0 A + = `0, «0 ` 0 = 0 «0 0 = A T.
44 Az SVD további alkalmazásai A MoorePrenrose-féle pszeudoinverz Pszeudoinverz - feladatok (A + ) + = A. (A T ) + = (A + ) T. A + rangja = A rangja. Ha A invertálható négyzetes mátrix, akkor A + = A. Ha A egy mer leges vetítés (négyzetes) mátrixa, akkor A + = A.
45 Az SVD további alkalmazásai A MoorePrenrose-féle pszeudoinverz Pszeudoinverz - példa III. ««Legyen A = 2 2 0, B = «0 «AB = 2, BA = A és B mer leges vetítések, így A + = A, B + = B. «(AB)(BA) = 4 = 2 A (AB)(BA) nem vetítés, de (AB)(AB) + az kell legyen, így (AB) + BA = B + A +. AB SVD-je AB = (AB) + =! 2 ` «2 2 2 = 2BA. 0
46 Az SVD további alkalmazásai A MoorePrenrose-féle pszeudoinverz A pszeudoinverz és a magtér A m n-es valós Áll.: A T képtere = (ker A) Biz.: : Ha x ker A és y R m, akkor (A T y) T x = y T Ax = 0, azaz x Ay. Tehát A T R m (ker A). dimenziók =: dim A T = A T rangja = A rangja = dim AR n = n dim ker A = dim(ker A). Köv.: I A + A mer leges vetítés A magterére Biz.: A + A mer leges vetítés A T R m -re I A + A mer leges vetítés (A T R m ) -re (A T R m ) = (ker A) = ker A
47 Az SVD további alkalmazásai A MoorePrenrose-féle pszeudoinverz SVD - feladatok számpéldák önálló gyakorlásra zh0029, 3. és 4. feladatok; pzh008, 3. és 4. feladatok; pzh feladat (zh09030, 6. feladat) Legyen A egy m n-es valós. Legyen B a következ 0 0 A B =. A T C A 0 Milyen összefüggés van A szinguláris értékei és B sajátértékei között?
Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenAlkalmazott algebra - skalárszorzat
Alkalmazott algebra - skalárszorzat Ivanyos Gábor 2011 sz Skalárszorzat Skalárszorzat Ebben a részben: a standard skalárszorzat: u T v = n µ i ν i i=1 és a kapcsolódó lineáris algebra absztrakt tárgyalással
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenSzinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition
Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Borbély Gábor 7. április... Tétel (teljes SVD. Legyen A C m n mátrix (valósra is jó, ekkor léteznek U C m m és V C n n unitér mátrixok (valósban
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
RészletesebbenMer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40
Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenSkalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.
1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenPrincipal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenMat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0
Részletesebben1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
Részletesebbenrank(a) == rank([a b])
Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a Matlabban Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Matlabban igen egyszer en oldhatók meg. Legyen A az egyenletrendszer m-szer n-es együtthatómátrixa, és
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenRang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15
Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó
RészletesebbenLINEÁRIS MODELLBEN május. 1. Lineáris modell, legkisebb négyzetek elve
BECSLÉS ÉS HIPOTÉZISVIZSGÁLAT LINEÁRIS MODELLBEN Móri Tamás ELTE TTK Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék 2008 május Lineáris modell, legkisebb négyzetek elve Tegyük fel, hogy egy bizonyos pl fizikai)
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. Tantárgy kódja: IP-08bNM1E, IP-08bNM1G (2+2) Az elsajátítandó ismeretanyag rövid leírása: A lebegıpontos számábrázolás egy modellje. A hibaszámítás elemei. Lineáris egyenletrendszerek
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
Részletesebben1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
Részletesebben1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenLineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenA gyakorlati jegy
. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Részletesebben1 p, c = p 1 és d = 4. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a c és d paraméterek minden értékére. x + 2z = 5 2x y = 8 3x + 6y + cz = d
Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok 013. október 4. 1. Írjuk fel a háromdimenziós tér P = (1, 1, 1) és Q = (3, 1, 5) pontjait összeköt szakasz felez mer leges síkjának egyenletét. Hol
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
RészletesebbenSzalai Eszter. Mátrix felbontások és alkalmazásaik
Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematika Intézet Szalai Eszter Mátrix felbontások és alkalmazásaik BSc szakdolgozat Témavezet : Dr. Gergó Lajos ELTE Numerikus Analízis Tanszék Budapest 2016. Köszönetnyilvánítás
RészletesebbenSzemidenit optimalizálás és az S-lemma
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenAlkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK )
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Alkalmazott algebra BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) Lineáris leképezések
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenShor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra
Ivanyos Gábor MTA SZTAKI Debrecen, 20 január 2. Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b szuperpozíció
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
Részletesebbeni=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i
Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenMátrixfelbontások BSc szakdolgozat
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Radnai Georgina Mátrixfelbontások BSc szakdolgozat Témavezető: Ágoston István Algebra és Számelmélet tanszék Budapest, 6 Tartalomjegyzék Bevezetés 4.
RészletesebbenA szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 22.
Sajátérték-problémák 2016. február 22. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre az egyenlet
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
Részletesebben1. A Hilbert féle axiómarendszer
{Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
Részletesebbenazonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i
A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenNÉVMUTATÓ. Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J.
NÉVMUTATÓ Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J., 155 157 Cauchy, A. L., 155 157 Cayley, A., 272, 327 Codenotti, B., 93 Cramer,
RészletesebbenTotális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó
Részletesebben1. Sajátérték és sajátvektor
1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
Részletesebben1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenLegkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 10. gyakorlat Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján
RészletesebbenAlkalmazott algebra. 1. Alapok. Ivanyos Gábor szeptember Testek
Alkalmazott algebra Ivanyos Gábor 2 szeptember 5 Alapok Testek Deníció Informálisan: Egy test egy négy alapm velettel (+,,, /) ellátott halmaz, amelyen a racionális számokon megszokott azonosságok teljesülnek
RészletesebbenA lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok
A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 1 / 75 Tartalom 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér
Részletesebben