1 Lebegőpontos számábrázolás

Átírás

1 Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás Vektornormák Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik A lineáris rendszer jobboldala hibás A kondíciószám és tulajdonságai Perturbációs lemma, avagy a lineáris rendszer mátrixa hibás Legkisebb négyzetek módszere Gauss-féle normál-egyenlet Gersgorin körök Hatvány módszer Az eltolás Inverz iteráció Lagrange interpoláció Hermite interpoláció Néhány, a vizsgán előforduló kérdésre próbáltam a megfelelő választ összeírni. Tehát ez nem jegyzet. Az anyag jobb megértéséhez ajánlott az órák látogatása vagy Stoyan Gisbert Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, ISBN c. könyv tanulmányozása. Ha a kidolgozott kérdésekben hibát találsz, akkor kérlek írj (lehetőleg a megoldással) az x3cut0r@mailbox.hu címre, és megpróbálom kijavítani! 1

2 1 Lebegőpontos számábrázolás A nem nulla lebegőpontos számok alakja: ahol egész a számábrázolás alapja, t >1 a mantissza hossza, a kitevő. Az számjegy normalizált: A többi számjegyre igaz: A legkisebb ábrázolható szám: A legnagyobb ábrázolható szám: Az 1 mindig lebegőpontos szám: Az 1 jobboldali szomszédja: Az -t szokták gépi epszilonnak is nevezni. Adott pozitív lebegőpontos szám jobboldali szomszédja 2

3 tehát a távolság a két szám között Mivel a jelenlegi karakterisztikához a legkisebb -érték a, ezért 3

4 2 Vektornormák Az vektortéren értelmezett függvény norma, ha 1. minden -re; 2. ; 3. minden és skalár esetén; 4. minden esetén. Jelölés:. Fontos normák kiszámítási módja: vagy ( ) Az oktaéder norma: Az euklideszi norma: ( ) A maximum norma: 4

5 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik Legyen. Legyen vektornorma -en. Ekkor a vektornorma által indukált mátrixnorma. Jelölés:. Ez lehet nem kell. Ellenőrizzük, hogy valóban normát definiál-e -en. 1., mert már a vektornorma is nemnegatív. 2. Ha Ha Az indukált mátrixnormák tulajdonságai: 1. A mátrixnorma függ az indukáló vektornormától. 2. Ha az egységmátrix, akkor, mert 3. Mivel az összes vektorra vonatkozó maximum definiálja a mátrix normáját ( ), vektorra Ha olyan nemnegatív szám, hogy érték az 4., mivel normája lesz. ( ) Fontos normák kiszámítási módja: ahol az mátrix legnagyobb sajátértéke 5

6 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás Az lineáris egyenletrendszer megoldását keressük, ahol reguláris és Becsüljük a megoldás hibáját, ha helyett adott a hibás vektor. Ekkor korlátozza felülről az megoldás abszolút hibáját. A relatív hiba becslése: 6

7 5 A kondíciószám és tulajdonságai Egy reguláris mátrix kondíciószáma ahol a norma valamilyen indukált mátrixnorma. A kondíciószám tulajdonságai: 1. Függ az indukált mátrixnormától , ahol ortogonális mátrix 4. Az mátrix abszolút értékben minimális, ill. maximális sajátértékét -val ill. -val jelölve alkalmazhatjuk a érvelést az inverz mátrixra is: Kondíciószám kapcsolata a sajátértékkel: Egy mátrix pontosan akkor szinguláris (azaz nem invertálható), ha 0 a sajátértéke. Ha a reguláris mátrix sajátértékei, akkor sajátértékei. Megj.: A becslés éles (minden mátrix esetén létezik olyan és vektor, hogy az egyenlőtlenségben egyenlőség áll fenn). (Ez az előzőhöz jobban illett volna. Lehet nem is fontos.) 7

8 6 Perturbációs lemma, avagy a lineáris rendszer mátrixa hibás Az lineáris egyenletrendszer megoldását keressük, ahol reguláris és Becsüljük az Ekkor megoldás relatív hibáját ( ), ha helyett adott a hibás mátrix. Kérdés, hogy invertálható-e, vagyis reguláris, amikor a hibátlan mátrix reguláris? Ennek megválaszolásában segít a perturbációs lemma. Perturbációs lemma: Legyen, ahol (valamilyen indukált mátrixnormában). Ekkor invertálható (reguláris) és Bizonyítás. Legyen alapján. Ekkor, a fordított háromszög-egyenlőtlenség. Ha akkor, így, azaz invertálható. invertálható, tehát akkor lesz invertálható, ha is invertálható. A perturbációs lemma szerint, ha, akkor invertálható és. 8

9 Az megoldás relatív hibája kifejezhető a kondíciószám segítségével, valamint az adatok (itt ) relatív hibájával 9

10 7 Legkisebb négyzetek módszere Megfigyelünk egy folyamatot a időpillanatokban és ott az értékeket mérjük. Olyan modellt keresünk, melyre Ha (azaz lineáris), akkor lineáris regresszióról beszélünk. Azt az paraméterű egyenest keressük, amelyre ( ) minimális. Részletesen kiírva A minimum hely csak ott kereshető, ahol igaz Átrendezve Mátrix formában ( ) ( ) Ezen mátrix determinánsa nemnegatív: ( ) a Cauchy-egyenlőtlenség szerint: 10

11 ( ) ( ) ( ) Egyenlőség pontosan akkor lehet, ha a két vektor egymás konstans szorosa. 0 pontosan akkor lehet, ha. Ekkor az egyenletrendszer ( ) -re egyszerűsödik és szinguláris, de a rendszer megoldható, mert 2. sora az elsőnek a - szorosa, vagyis elhagyható Ha, akkor a modell konstans függvény. 11

12 8 Gauss-féle normál-egyenlet 12

13 9 Gersgorin körök Gersgorin tétel: Tetszőleges mátrix sajátértékei a komplex síkon az középpontú, sugarú körök uniójában helyezkednek el. Egy mátrix pontosan akkor szinguláris, ha 0 a sajátértéke. Más szóval, ha valamelyik körben benne van a 0, akkor a mátrix szinguláris és nem invertálható. Bizonyítás. Legyen az mátrix valamelyik sajátértékéhez tartozó sajátvektora és a -nek olyan komponense, amelyre Ekkor -edik sorát rendezve kapjuk, hogy mindkét oldal abszolút értékét véve Mivel ezért érvényes ami -re egyszerűsödik. Gersgorin tétel erősebb változata: Ha a Gersgorin körök közül akkor ezen kör uniójában pontosan darab sajátérték van. darab diszjunkt a többitől, 13

14 10 Hatvány módszer A hatvány módszer abból áll, hogy egy alkalmas vektorból kiindulva egy { } vektorsorozatot készítünk: Ez az { } sorozat konvergál a abszolút értékben legnagyobb sajátértékhez tartozó sajátvektorhoz, ha a következő elégséges konvergencia feltételek teljesülnek: 1. az mátrix diagonizálható, pl. normális; 2. ; 3. igaz. Rayleigh hányados: Adott mátrix és közelítő sajátvektor esetén meg kellene határozni a sajátérték egy közelítését. Adott mátrix és vektor esetén a függvény minimum helye Bizonyítás. Hatvány módszer algoritmusa: Adott egy kezdővektor. ( Minden ) -hez felírjuk a Rayleigh hányadost: Ha a konvergencia feltételei teljesülnek, akkor Ha az normált, azaz, akkor. Akkor fejezzük be az iterációt, ha ( ), ahol adott. Ha, ahol normált, akkor az iteráció sikeres volt. 14

15 11 Az eltolás Ha az mátrix sajátértékei, akkor az mátrix sajátértékei. A sajátvektorok nem változnak. (Hatvány módszerrel az abszolút értékben legnagyobb sajátértéket közelíthetjük. A hatvány módszert az mátrixra alkalmazva lehetőség van egy másik sajátérték közelítésére.) 12 Inverz iteráció Az inverz iteráció abból áll, hogy egy alkalmas vektorból kiindulva egy { } vektorsorozatot készítünk: Ez az { } sorozat konvergál a abszolút értékben legkisebb sajátértékhez tartozó (egy töbszörösé)hez, ha a következő elégséges konvergencia feltételek teljesülnek: 1. az mátrix diagonizálható, pl. normális; 2. ; 3. igaz. Ha a reguláris mátrix sajátértékei, akkor az mátrix sajátértékei. A sajátvektorok nem változnak. A hatvány módszert az közelítésére. mátrixra alkalmazva lehetőség van akár az összes sajátérték Inverz iteráció algoritmusa: A. verzió Adott az mátrix, az kezdővektor, az pontosság, a maximális iterációszám, valamint eltolás. PLU-felbontás. Ha szinguláris, akkor sajátértéke -nak. Ha nem szinguláris, akkor ha nullvektor leállás egyébként és Az iteráció: for-ciklus Elvégezzük a visszahelyettesítéseket x-re alkalmazzuk a permutációs mátrixot. megkapjuk -t -t normáljuk: (Rayleigh) Ha ( ) teljesül, akkor kilépés a for-ciklusból. Ha elértük -et hibaüzenet. 15

16 Ha akkor a leállás sikeres egyébként sikertelen. B. verzió Adott egy kezdővektor. Elkészítjük az mátrix LU-felbontását: A = LU. Az algoritmus -edik lépésében: 1. meghatározzuk -t. 2. ( meghatározzuk ) -t. -hez felírjuk a Rayleigh hányadost: Ha a konvergencia feltételei teljesülnek, akkor Ha az normált, azaz, akkor. Akkor fejezzük be az iterációt, ha ( ), ahol adott. Ha, ahol normált, akkor az iteráció sikeres volt. 16

17 13 Lagrange interpoláció Lagrange-féle interpolációs feladat: Adottak az alappontok és értékek. Keresünk egy olyan minimáis fokszámú polinomot, melyre teljesül. A Lagrange-interpoláció feladata egyértelműen megoldható a legfeljebb -edfokú polinomok terében. (Vagyis egyetlen polinom van, ami eleget tesz a feltételnek.) Bizonyítás. Az -edfokú polinom kielégíti az { relációkat. Ezen polinomok segítségével a feladat megoldása polinom, ami -edfokú és. Más indoklással is megerősíthetjük a feladat egyértelmű megoldhatóságát. Tegyük fel hogy, és is megoldja a Lagrange feladatot és legfeljebb -edfokúak Ekkor legfeljebb -edfokú Egy másik lehetőség a polinom előállítására: Az illeszkedési feltételek Azaz egy lineáris egyenletrendszert kaptunk a polinom együtthatóira. 17

18 Lagrange polinom Newton alakja: Legyen az adatokra illeszkedő Lagrange polinom. A esetben, amikor csak az adat ismert Ezután keressük azt a maximálisan elsőfokú polinomot, amely az adatokat interpolálja a következő alakban: Ekkor érvényes. -et úgy határozzuk meg, hogy is teljesüljön: Ezután keressük azt a maximálisan másodfokú polinomot, amely az, adatokat interpolálja a következő alakban: Ekkor érvényes és. -et úgy határozzuk meg, hogy is teljesüljön: meghatározása: Ekkor az pontokban már teljesíti az illeszkedési feltételeket. -t úgy határozzuk meg, hogy követeljük. 18

19 Osztott differenciák: Adottak az értékek. Legyen. Az függvény pontokra támaszkodó elsőrendű osztott differenciája: [ ] Az függvény pontokra támaszkodó -adrendű osztott differenciája: [ ] [ ] [ ] A függvény -beli 0-adrendű osztott differenciája. [ ] [ ] [ ] Ezek alapján az adatokra illeszkedő Lagrange polinom: [ ] [ ] [ ] Horner algoritmus: Adja az behelyettesítési értékét az x helyén. Lagrange interpoláció hibája: Ha -szer folytonosan differenciálható, akkor ahol pedig az alappontok és az x pont által felfeszített [ ] intervallum valamely pontja. Ha [ ] A hibaképlet osztott differenciák segítségével is felírható: [ ] Emiatt az is igaz, hogy ha -szer folytonosan differenciálható, akkor : [ ] 19

20 14 Hermite interpoláció 20