Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat, 2009/10. I. félév, A. csoport, MEGOLDÁSOK

Átírás

1 Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat, 9/. I. félév, A. csoport, MEGOLDÁSOK. Feladat. Az a. választás mellett A /( a) értéke.486. Határozzuk meg mi is A értékét egy tizes számrendszerű, hatjegyű mantisszás lebegőpontos számokat használó számítógépen! Javasoljunk numerikus szempontból jobb számolást A- ra és végezzük el úgy is a számolásokat! A kiszámolt érték (mindig hatjegyű mantisszára kerekítve): 3. A hiba a kiegyszerűsödés miatt lép fel, két közeli szám kivonása miatt. Ez elkerülhető közös nevezőre hozással és egyszerűsítéssel. Így A a a, melynek eredménye Feladat. Legyen A R n n egy tetszőleges négyzetes mátrix és A (k) az A mátrix k-adrendű bal felső főminormátrixa (A( : k, : k)). Igazoljuk, hogy A (k) A! Legyen y R k egy tetszőleges nemnulla vektor. Ekkor y Ax A A A sup sup (k) y x R n x y y sup A (k) y R y R n k 3. Feladat. Az alábbi mátrix egy A R 4 4 szimmetrikus mátrix LU-felbontását tartalmazza úgy, hogy a főátló alatti rész az L mátrix megfelelő főátló alatti részét tartalmazza, a többi elem pedig az U mátrix megfelelő eleme. Létezik-e az A mátrixnak Cholesky-felbontása? Ha igen, akkor adjuk meg a G mátrixot (A GG T )! Adjuk meg azt az x R 4 vektort, melyre Ax,,, T! 3 4 3/ 3/ 3 4/3 7/3 3 9/7 /7 Olvassuk ki a mátrixból az L és U mátrixokat. Mivel U főtlójának minden eleme pozitív, így az eredeti mátrix minden főminorja pozitív, azaz a mátrix szimmetrikus (ez a szövegből derül ki) és pozitív definit. Legyen D az U mátrix főátlómátrixa. Ekkor G L D ( D-t úgy kapjuk, hogy D minden eleméből gyököt vonunk), azaz G 3/ / 6 /3 6 /3 6 3/7 /7 7 Az adott egyenletrendszert úgy oldhatjuk meg a leggyorsabban, ha először megoldjuk az Ly,,, T egyenletrendszert, amely egyszerű visszahelyettesítéssel megoldható. y 3, 3/,, /7 adódik, majd pedig az Ux y egyenlet megoldásával (szintén egyszerű visszahelyettesítéssel) adódik az x 3,, 3, T megoldás..

2 4. Feladat. Az Ax b egyenletrendszer A mátrixának és b jobb oldali vektorának elemei mért mennyiségek, melyek relatív hibája.%, adjunk felső becslést a megoldásvektor relatív hibájára maximumnormában! A , b 3 A Mivel δa ij /a ij.% 4, azaz δa ij 4 a ij, ezért δa / A 4. Hasonlóan kapjuk, hogy δb / b 4. A mátrixokról leolvasható, hogy A 4 és A.9. Ebből a megoldás relatív hibájára levezettett képlet alapján kapjuk, hogy 4.9 δx / x ( ) Feladat. Az alábbi egyenletrendszert szeretnénk megoldani a Jacobi-módszer relaxálásával. Hogyan válasszuk meg ω értékét, hogy a leggyorsabban konvergáljon az eljárás? Számítsuk ki, hogy a nullvektorról indulva a leggyorsabb módszerrel mennyit kellene iterálni, hogy a megoldást 6 -nál jobban megközelítsük maximumnormában! (A relaxált Jacobi-iteráció: x (k+) (( ω)e + ωd (L + R))x (k) + ωd b) 4 x 3 Az adott egyenletrendszerre alkalmazva a fenti képletet, azt kapjuk, hogy ω ω/4 ω/4 x (k+) x (k) +. ω/3 ω ω/3 x Az iterációs mátrix sajátértékei: ω + ω/ 6, ω ω/ 6, így a spektrálsugár akkor a legkisebb, ha ω, azaz a Jacobi-módszerről van szó. Ezzel az iteráció x (k+) /4 /4 x (k) +, /3 /3 tehát az iterációs mátrix maximumnormája /3 és x () /4, /3 T. A (/3) k (/3) 3 6 feltételt kell garantálni, ami k esetén teljesül, azaz a 36. iterációtól már 6 -nál jobban megközelíti a sorozat maxiumnormában a megoldást. 6. Feladat. Végezzünk el egy lépést a gradiens módszerrel a nullvektorról indulva az előző feladat egyenletrendszeréből származtatott normálegyenletre! Az együtthatómátrix transzponáltjával balról szorozva az egyenletet kapjuk a normálegyenletet x 8. 7 Erre alkalmazva a gradiens módszert kapjuk, hogy 45/445 x (). 79/89 x

3 7. Feladat. Adjuk meg Householder-tükrözések segítségével az alábbi mátrix QRfelbontását! Legyen A az adott mátrix. Az első oszlophoz tartozó v vektor (+ jellel számolva) v,, T. Így a H mátrix, azaz H A. A második oszlop. és 3. eleméhez, mint kételemű vektorhoz tartozó v vektor, T (+ jellel számolva), így H. Így és R H H A Q H T H T Az v vektorok másfajta számolása esetén másfajta felbontást kapunk.. Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat, 9/. I. félév, B. csoport, MEGOLDÁSOK Összesen maximum 4 pont szerezhető a feladatsorral. Sikeres zárthelyihez legalább 6 pont szükséges. Az első kettő feladat 5, a többi 6 pontos.. Feladat. Legyen A R n n egy tetszőleges négyzetes mátrix és A (k) az A mátrix k-adrendű bal felső főminormátrixa (A( : k, : k)). Igazoljuk, hogy A (k) A! Ugyanaz, mint az A. csoport második feladata.. Feladat. Az a választás mellett A /( a + a) értéke Határozzuk meg mi is A értékét egy tizes számrendszerű, hatjegyű mantisszás lebegőpontos számokat használó számítógépen! Javasoljunk numerikus szempontból jobb számolást A- ra és végezzük el úgy is a számolásokat! 63.9, a kiegyszerűsödés miatt. Szorozzunk a nevező konjugáltjával. Ebből kapjuk, hogy A a + + a, amire adódik. 3. Feladat. Az alábbi mátrix egy A R 4 4 szimmetrikus mátrix LU-felbontását tartalmazza úgy, hogy a főátló alatti rész az L mátrix megfelelő főátló alatti részét

4 tartalmazza, a többi elem pedig az U mátrix megfelelő eleme. Létezik-e az A mátrixnak Cholesky-felbontása? Ha igen, akkor adjuk meg a G mátrixot (A GG T )! Adjuk meg azt az x R 4 vektort, melyre Ax,,, T! / 3/ 3/ 7/ 3/ 4 3 3/ 7/3 3/4 / Hasonlóan az A. csoport feladatához, kapjuk, hogy 3/ / 6 G 3 / 6/ 3 / 7 6/6 3/ 3/6 x 4, 9, 9, T. 4. Feladat. Az Ax b egyenletrendszer A mátrixának és b jobb oldali vektorának elemei mért mennyiségek, melyek relatív hibája.%, adjunk felső becslést a megoldásvektor relatív hibájára maximumnormában! A , b 3 A Mivel δa ij /a ij.% 4, azaz δa ij 4 a ij, ezért δa / A 4. Hasonlóan kapjuk, hogy δb / b 4. A mátrixokról leolvasható, hogy A 6 és A.478. Ebből a megoldás relatív hibájára levezettett képlet alapján kapjuk, hogy δx / x ( ) Feladat. Az alábbi egyenletrendszert szeretnénk megoldani a Jacobi-módszer relaxálásával. Hogyan válasszuk meg ω értékét, hogy a leggyorsabban konvergáljon az eljárás? Számítsuk ki, hogy a nulvektorról indulva a leggyorsabb módszerrel mennyit kellene iterálni, hogy a megoldást 6 -nál jobban megközelítsük maximumnormában! (A relaxált Jacobi-iteráció: x (k+) (( ω)e + ωd (L + R))x (k) + ωd b) 3 x 4 x Hasonlóan az A. csoport feladatához, az iterációs mátrix sajátértékei: ω ± ω/ 6, azaz a spektrálsugár ω esetén a legkisebb. A megoldandó egyenlőtlenség: (/) k (/) 3 6, ami k.35 esetén teljesül, azaz a. iterációtól már 6 -nál jobban megközelítjük a megoldást maximumnormában.

5 6. Feladat. Végezzünk el egy lépést a gradiens módszerrel a nullvektorról indulva az előző feladat egyenletrendszeréből származtatott normálegyenletre! A normálegyenlet: 3 x x és x () 8/5, 6/5 T. 7. Feladat. Adjuk meg Householder-tükrözések segítségével az alábbi mátrix QRfelbontását! Hasonlóan eljárva, mint az A. csoportnál: R és Q / / / /.