rank(a) == rank([a b])

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "rank(a) == rank([a b])"

Ervin Kocsis
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a Matlabban Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Matlabban igen egyszer en oldhatók meg. Legyen A az egyenletrendszer m-szer n-es együtthatómátrixa, és b a szabad tagok m dimenziós oszlopvektora. Megoldandó: Ax = b. El ször foglalkozzunk azzal a kérdéssel: hogyan dönthet el, hogy létezik-e megoldása az egyenletrendszernek? Ismeretes, hogy a KroneckerCapelli-tétel szerint egy lineáris algebrai egyenletrendszernek pontosan akkor létezik megoldása, ha az együtthatómátrixnak és a kib vített mátrixnak egyenl a rangja. A kib vített mátrixot könny el állítani az A mátrix egy oszloppal való kib vítésével: [A b]. A mátrixrang a rank függvénnyel számítható ki. Egy sorban is elvégezhet a létezés vizsgálata: rank(a) == rank([a b]) Ha a válasz 1, azaz igaz az állítás, akkor létezik megoldás, ha pedig 0, akkor nem létezik. Ennek a módszernek az a hátulüt je, hogy a két rang összehasonlításakor meghatározott hibahatárral dolgozik a Matlab, így ha eltérnek a rangok, akkor is egyenl séget kaphatunk. Annak eldöntésére, hogy létezik-e megoldás, és egyben egy megoldás kiszámítására a legegyszer bb módszer a Matlab backslash (bal osztás) operátorának a használata: A\b. Ennek m ködése nem is olyan egyszer. Els lépésben megpróbálja a MATLAB el állítani a Cholesky-felbontást (chol), ha ez nem sikerül (hamar kiderül, hogy nem szimmetrikus, pozitív denit a mátrix, így ez nem vesz el sok id t), akkor az LU-felbontással határozza meg a megoldást (Gauss-módszer). Ha az egyenlet túlhatározott, akkor el ször meghatározza a QR-felbontást (Householder-tükrözésekkel), majd ebb l a legkisebb négyzetes értelemben legjobban közelít megoldást. A parancsról részletes angol nyelv leírás található a oldalon. Általános szabályként megjegyezhetjük, hogy ha az egyenletrendszernek van megoldása, akkor ezzel egy megoldást mindenképpen megkapunk. De, ahogy látni fogjuk, akkor is kaphatunk eredményt, ha nincs megoldás. Ha ad valamit megoldásul a Matlab, akkor is mindenképpen ellen rizzük. Ezt megtehetjük Ax és b összehasonlításával, vagyis az r = Ax-b maradékvektor kiértékelésével. Lehet ezt normában is nézni. Ha nem nagyon kicsi a maradékvektor normája, akkor, amit kaptunk, nem fogadható el megoldásnak. Rendszerint 10 5 b használatos hibaküszöbként. 1

2 Nézzünk néhány példát! 1. eset: m = n és létezik egyetlen megoldás Ebben az esetben a Matlab a rendszer pontos megoldását számítja ki (eltekintve a kerekítési hibától). Legyen A = [1 2 3;4 5 6;7 8 10] A= és b = ones(3,1); Ekkor x = A\b x = Annak ellen rzéseképpen, hogy jó a számított megoldás, számíttassuk ki a maradékvektort: r = b - A*x r = 1.0e-015 * Ha pontosan számolt a gép, akkor r minden elemére nullát kellene kapnunk. példában nem kaptunk pontosan nullát, ami a kerekítési hiba hatását mutatja. Ebben a 2. eset: m > n (túlhatározott az egyenletrendszer) Ekkor a Matlab azon x vektort határozza meg, amelyre az r maradékvektor elemeinek a négyzetösszege minimiális, vagyis az r, r skaláris szorzat a lehet legkisebb. r, r = Ax b, Ax b = min. 2

3 A minimum ott lesz, ahol ennek a skalárfüggvénynek az x szerinti deriváltja nulla, vagyis: 2A T (Ax b) = 0 A T, r = 0. Másképpen, azt az x vektort kapjuk, amelyre az teljesül, hogy a maradékvektor az A mátrix minden egyes oszlopára mer leges. Legyen A = [2-1; 1 10; 1 2]; és b maradjon a korábbi (csupa 1-es elemekkel). x = A\b x = Számítsuk ki a maradékvektort: r = b - A*x r = Ezután ellen rizzük a mer legességi tulajdonság teljesülését: r'*a ans = 1.0e-014 * eset: m < n Ekkor a Matlab egy partikuláris megoldást ad a backslash operátor beírására, amennyiben létezik ilyen. Pl. A = [1 2 3; 4 5 6]; b = ones(2,1); Ekkor 3

4 x = A\b x = Ismeretes, hogy ebb l az egy darab megoldásból a megfelel Ax = 0 homogén egyenletrendszer összes megoldása segítségével megkaphatjuk az Ax = b rendszer összes megoldását. Az Ax = 0 rendszer megoldásai az A mátrix magterét alkotó vektorok. A Matlab null függvénye az A mátrix magterének ortonormált bázisát adja: z = null(a) z = A homogén rendszer összes megoldása el áll a magtér bázisát alkotó vektorok (most egy darab) összes lineáris kombinációjaként. Alább megadunk egy függvényt, amelynek a segítségével tetsz leges méret és számú vektor vagy mátrix lineáris kombinációját kiszámíthatjuk. Ehhez el ször ismerkedjünk meg egy korábban nem tanult adattípussal, a cellával. Ez a vektorhoz ill. a mátrixhoz hasonló adattípus, de eltér típusú és hosszúságú adatok is tárolhatók benne. Írjuk be a parancsablakba: A=eye(2); B='valami'; c={a,b} Az utóbbi sorral deniáltunk egy cellát: olyan tömb, amelynek els eleme a 2-szer 2- es identitásmátrix, második eleme pedig egy karaktersor: a "valami". A cella i- edik elemére a c{i} paranccsal kérdezhetünk rá. Pl. c{1} ans = [1 0; 0 1] c{2} 4

5 ans = valami A lineáris kombinációt számító függvényt úgy érdemes elkészíteni, hogy tetsz leges, azonos méret tömböket (vektor vagy mátrix) szorozhassunk ugyanannyi valós számmal. A tömbök megadására a vektor adattípus nem alkalmas, mert vektor elemei nem lehetnek tömbök. A megoldás az, hogy a tömbök egy cella elemei lesznek. Az alábbi függvényben két bemen adat van: a lineáris kombinációban szerepl együtthatók vektora, amit most szintén cellaként oldottunk meg (de ez lehetne vektor is), valamint azon tömbök egy cellába rendezve, amelyeknek a lineáris kombinációját meg szeretnénk kapni. function M = lincomb(v,a) % Azonos meretu tombok linearis kombinacioja. % A v = {v1,v2,...,vm} a lin. komb. egyutthatoit tartalmazza (cella) % A pedig a matrixokat A = {A1,A2,...,Am} (cella) m = length(v); [k, l] = size(a{1}); M = zeros(k, l); for i = 1:m M = M + v{i}*a{i}; end A függvény hívásakor cellaként adjuk meg az együtthatókat és vektorokat vagy mátrixokat. Például, visszatérve a megoldandó feladatra, az el bbi x és z lineáris kombinációjának kiszámítása pl. 1 és -1 együtthatókkal (ez egy megoldása lesz az Ax = b egyenletrendszernek) ezen függvény segítségével a következ képpen néz ki: w = lincomb({1,-1},{x,z}) w = Ellen rzésül számíttassuk ki a maradékvektort: r = b - A*w 5

6 r = 1.0e-015 *

Hasonló dokumentumok

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása