Numerikus módszerek 1.

Átírás

1 Numerikus módszerek előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK október 14.

2 Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák további tulajdonságai válogatás

3 Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák további tulajdonságai válogatás

4 Emlékeztető: Vektorok hossza Definíció: vektorok hossza Az x R n vektor hagyományos értelemben vett hosszát, avagy kettes normáját jelölje. 2. A következőképpen számolható: x 2 := x, x = ( n x x = k=1 x 2 i ) 1 2. A (vektor)norma a hossz, nagyság általánosítása.

5 Vektornormák Definíció: vektornorma Legyen n N rögzített. Az. : R n R leképezést vektornormának nevezzük, ha: 1 x 0 ( x R n ), 2 x = 0 x = 0, 3 λ x = λ x ( λ R, x R n ), 4 x + y x + y ( x, y R n ). Azaz a leképezés pozitív, pozitív homogén és szubadditív (háromszög-egyenlőtlenség). Ezek a vektornormák axiómái.

6 Vektornormák Állítás: skaláris szorzat által generált vektornorma Ha adott az.,. : R n R n R skaláris szorzat, akkor az f(x) := x, x függvény norma. Jele: x 2. Biz.: Nem kell. Hamarosan ismét kimondjuk. Ez a hagyományos hossz.

7 Vektornormák Állítás: Cauchy Bunyakovszki Schwarz-egyenlőtlenség (CBS) x, y x 2 y 2 (x, y R n ) Biz.: Bármely α R esetén x αy x αy 2 2 = x αy, x αy = = x, x 2α x, y +α 2 y, y ( α R). }{{}}{{} x 2 2 y 2 2 Diszkrimináns nempozitív: 4α 2 x, y 2 4α 2 x 2 2 y 2 2 0, így x, y 2 x 2 2 y 2 2.

8 Vektornormák Állítás: Gyakori vektornormák (1, 2, ) A következő formulák vektornormákat definiálnak R n felett: x 1 := n x i (Manhattan-norma), x 2 := i=1 ( n i=1 x i 2 ) 1/2 (Euklideszi-norma), x := n max i=1 x i (Csebisev-norma). Biz.: Be kell látni, hogy teljesítik a vektornormák 4 axiómáját.. 1 : mindjárt, táblán;. : hasonlóan, házi feladat;. 2 : nem sokkal bonyolultabb, CBS alapján, nem kell.

9 Vektornormák Példa: vektornormák Számítsuk ki a következő vektorok 1, 2, normáját: ( ) 4 3 x =, x = Szemléletesen?

10 Vektornormák Állítás: normák közötti egyenlőtlenségek x x 1 n x, x x 2 n x, x 2 x 1 n x 2, sőt ezek alapján x x 2 x 1. Biz.: Nem kell. (Az elsőbe könnyű belegondolni, a negyedikre láttunk példát.)

11 Vektornormák Definíció: ekvivalens normák Az. a és. b vektornormák ekvivalensek, ha c 1, c 2 R +, hogy c 1 x b x a c 2 x b ( x R n ). Állítás: végesdimenziós normák ekvivalenciája Tetszőleges R n -en értelmezett vektornorma ekvivalens az Euklideszi-vektornormával. (Azaz adott végesdimenziós térben minden norma ekvivalens.)

12 Vektornormák Állítás: p-normák A következő R n R függvények is vektornormákat definiálnak: ( n ) 1/p x p := x i p (p R, 1 p < ). i=1 Biz.: Nem kell, Minkovszki-egyenlőtlenség. Megjegyzések: 0 p < 1 esetén nem norma, p 1 p 2 = x p1 x p2, Speciális esetek: p = 1 x 1, p = 2 x 2, Sőt: lim p x p = x.

13 Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák további tulajdonságai válogatás

14 Mátrixnormák Definíció: mátrixnorma Legyen n N rögzített. Az. : R n n R leképezést mátrixnormának nevezzük, ha: 1 A 0 ( A R n n ), 2 A = 0 A = 0, 3 λ A = λ A ( λ R, A R n n ), 4 A+B A + B ( A, B R n n ), 5 A B A B ( A, B R n n ). Ugyanaz, mint a vektornormáknál, plusz: szubmultiplikativitás. Ezek a mátrixnormák axiómái. Megj.: x, x, x, x, x, A, A, A.

15 Mátrixnormák Definíció: Frobenius-norma A következő függvényt Frobenius-normának nevezzük: 1/2 n n. F : R n n R, A F = a ij 2. i=1 j=1 Állítás: Frobenius-norma A. F függvény valóban norma. Biz.: 1 4. következik a. 2 vektornorma tulajdonságaiból. Kell. Az 5. belátható CBS segítségével. Nem kell.

16 Mátrixnormák Példa: egyszerű mátrixnormák (a) Számítsuk ki a következő mátrixok Frobenius-normáját. A = ( ) 1 4, B = 2 2 ( ) (b) Mutassuk meg, hogy M := max m ij nem mátrixnorma, i,j viszont M := n max m ij már igen. (Házi feladat.) i,j (c) Számítsuk ki a fenti mátrixok. normáját.

17 Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák további tulajdonságai válogatás

18 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák Definíció: indukált norma, természetes mátrixnormák Legyen. v : R n R tetszőleges vektornorma. Ekkor a. : R n n R, Ax A := sup v x 0 x v függvényt a. v vektornorma által indukált mátrixnormának hívjuk. Egy mátrixnormát természetesnek nevezünk, ha van olyan vektornorma, ami indukálja. Tétel: indukált normák Az indukált mátrixnormák valóban mátrixnormák. Biz.: Táblán. Meggondoltuk.

19 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák Megjegyzések: Átfogalmazás: Ax A = sup v x 0 x v = sup Ay v. y =1 A sup helyett max is írható. Átfogalmazás: Ax A = sup v x 0 x v = Ax v x v A = Ax v A x v.

20 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák Definíció: illeszkedő normák Ha egy mátrix- és egy vektornormára Ax v A x v ( x R n, A R n n ) teljesül, akkor illeszkedőknek nevezzük őket. Állítás: természetes mátrixnormák illeszkedéséről A természetes mátrixnormák illeszkednek az őket indukáló vektornormákhoz. Biz.: Láttuk. Az x = 0 eset meggondolandó.

21 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák Milyen mátrixnormákat indukálnak az elterjedt vektornormák? Tétel: Nevezetes mátrixnormák (1, 2, ) A. p (p = 1, 2, ) vektornormák által indukált mátrixnormák: A 1 = max n n a ij (oszlopnorma), j=1 A = max n A 2 = i=1 i=1 n j=1 ( n max i=1 λ i(a A) a ij (sornorma), ) 1/2 (spektrálnorma). Jel.: λ i (M): az M mátrix i-edik sajátértéke (Mv = λv, v 0).

22 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák A bizonyítás dallama : Az adott f(a) értékre: Ax v f(a) x v. Van olyan x vektor, hogy Ax v = f(a) x v. Ekkor az f(a) érték, tényleg a. v vektornorma által indukált mátrixnorma, ezért jelölhetjük így: A v. n Bizonyítás. 1 esetén: Állítás: A 1 = max n a ij. j=1 i=1 n n n n n Ax 1 = (Ax) i = a ij x j a ij x j = i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 ( ) n n n n = x j a ij max a ij x j=1 1. j=1 i=1 i=1 }{{}}{{} Legyen x = e k, ahol a k-adik oszlopösszeg maximális. Ekkor Ae k 1 = }{{}... e k }{{ 1. } 1

23 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák Bizonyítás. esetén: n Állítás: A = max n a ij. i=1 j=1 A becslés ugyanolyan stílusú, mint. 1 esetén. Házi feladat. Válasszuk az x = ±1. ±1 vektort az egyenlőséghez, megfelelően választott előjelekkel... ( Bizonyítás. 2 esetén: Táblán. n Állítás: A 2 = max i=1 Előbb belátjuk, hogy a sajátértékek nemnegatívak. A becslés a diagonalizálás alapján adódik. λ i (A A)) 1/2. Válasszuk a legnagyobb sajátértékhez tartozó sajátvektort az egyenlőséghez.

24 Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák további tulajdonságai válogatás

25 Mátrixnormák további tulajdonságai Állítás A Frobenius-norma nem természetes mátrixnorma. Biz.: Tekintsük az I R n n egységmátrix normáját. Ix Indukált normák esetén I = sup v = 1. x 0 x v Másrészt I F = n. Tehát nincs olyan vektornorma, ami a Frobenius-normát indukálná (ha n > 1).

26 Mátrixnormák további tulajdonságai Állítás A Frobenius-norma illeszkedik a kettes vektornormához. Biz.: CBS segítségével: 2 n n n n n Ax 2 2 = a ij x j a ij 2 x j 2 = A 2 F x 2 2. i=1 j=1 i=1 j=1 j=1

27 Definíció: spektrálsugár Mátrixnormák további tulajdonságai Egy A R n n mátrix spektrálsugara (A) := n max i=1 λ i(a). Állítás: spektrálsugár és norma (A) A Biz.: Belátjuk, hogy λ A. (Lejjebb v 0.) Av = λv Avv = λvv A vv Avv λvv = vv = λ

28 Mátrixnormák további tulajdonságai Feladatok Igazoljuk a következő állításokat. (a) Ha A A = AA (normális), akkor A = (A). (Spec.: ha A szimmetrikus, akkor normális.) (b) Ha Q ortogonális, akkor Qx 2 = x 2, Q 2 = 1, QA 2 = AQ 2 = A. (c) A 2 F = tr(a A), ahol tr(b) := n b kk a mátrix nyoma. k=1 (d) Ha Q ortogonális, akkor QA F = AQ F = A F. (e) A 2 F = n λ i (A A). i=1 (f). F és. 2 ekvivalens mátrixnormák.

29 Példák Matlab-ban 1 Példák p-normákra, egységgömbökre (p = 1, 2,,... ). 2 Indukált mátrixnorma szemléltetése R 2, p = 2 esetén. 3 Indukált mátrixnormák közelítő számítása tetszőleges R n és p esetén (m = 100,..., 1000 vektor próbájával).