NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR
|
|
- Ferenc Pap
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest,
2 Tartalomjegyzék Előszó VEKTOR- ÉS MÁTRIXNORMÁK, KONDÍCIÓSZÁM Feladatok Vektornormák Mátrixnormák Kondíciószám Megoldások Vektornormák Mátrixnormák Kondíciószám LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSÁNAK ITERÁCIÓS MÓD- SZEREI Feladatok Egyszerű iteráció Jacobi-iteráció Gauss Seidel-iteráció Paraméteres iterációk: csillapított Jacobi-iteráció és a relaxációs módszer Richardson-iteráció ILU-algoritmus Megoldások Egyszerű iteráció Jacobi-iteráció Gauss Seidel-iteráció Paraméteres iterációk: csillapított Jacobi-iteráció és a relaxációs módszer Richardson-iteráció ILU-algoritmus Nemlineáris egyenletek megoldása Feladatok Polinomok gyökeinek becslése Intervallumfelezés módszere Fixpont iteráció Newton-módszer Megoldások Polinomok gyökeinek becslése Intervallumfelezés módszere Fixpont iteráció Newton-módszer
3 ELŐSZÓ Jelen példatár hiánypótló a maga nemében. A Numerikus módszerek témakörében számtalan színvonalas tankönyv és jegyzet látott már napvilágot, de a gyakorlatokon is használható példatár eddig nem volt, mely segíti az órai munkát és a zárthelyi dolgozatokra való önálló felkészülést. Igazán akkor lehet megérteni egy módszert, ha azt konkrét feladatokra alkalmazzuk. Ebben kívánunk segítséget nyújtani a példatárban összegyűjtött feladatok és azok megoldásainak segítségével. Ezt a feladat- és megoldásgyűjteményt elsősorban az ELTE IK Programtervező informatikus BSc, Informatika tanár BSc és TTK Matematika tanár BSc szakos hallgatóinak ajánljuk. Természetesen azok is haszonnal forgathatják, akik segítséget szeretnének kapni a numerikus módszerek gyakorlati alkalmazásaihoz. A példatárat ajánljuk még azok számára, akik a numerikus módszerek alapjaival feladatokon keresztül szeretnének megismerkedni. A példatárat az ELTE-n oktatott, korábban Numerikus Analízis elnevezésű tárgy tematikáját követve építettük fel. Mivel a tárgy neve és témakörei is változtak, ezért a korábbi bővebb tematika alapján dolgoztunk, arra gondolva, hogy bizonyos részekre az MSc-s hallgatóknak lehet szükségük. Minden témakör az elméleti anyag mélyebb megértése mellett hozzásegíti az olvasót a feladatok mögött meghúzódó technikák és trükkök elsajátításához is. A példatár elkészítése során a gyakorlati szempontokat is figyelembe véve törekedtünk az egyszerű példáktól az összetett és bonyolult számításokat tartalmazó példákig minél szélesebb feladatkört bemutatni. Természetesen helyet kaptak elméleti jellegű és mélyebb absztrakciót igénylő feladatok is. A feladatmegoldások elkészítése során törekedtünk a minél érthetőbb és minél részletesebb leírásokra, esetenként többféle megoldást is adtunk. A több éves sikeres oktatási gyakorlatból kikristályosodott és letisztult példák mellett számtalan új példa is belekerült az anyagba. A feladatok fejezetenként sorszámozottak. Minden fejezet két alfejezetre bomlik, egyikben a feladatok, a másikban azok megoldásai találhatóak, így a feladatok szövege után csak néhány oldalt kell lapozni a megoldásokig. Célunk ezzel az volt, hogy az egyes fejezetek önállóan is használhatóak legyenek. Ezúton szeretnénk köszönetet mondani Dr. Szili Lászlónak, a technikai problémák megoldásában nyújtott segítségéért és Dr. Hegedűs Csabának, aki ötletes és gondolkodtató példáival járult hozzá a példatárhoz. Köszönjük Dr. László Lajos lelkiismeretes lektori munkáját és értékes tanácsait. Továbbá köszönjük az ELTE Numerikus Analízis Tanszékének és az ELTE Informatikai Karának a példatár létrejöttéhez nyújtott támogatását. Ajánljuk kedves családtagjainknak, akik türelmükkel és segítségükkel hozzájárultak a példatár létrejöttéhez. Halálának. évfordulóján Dr. Sövegjártó András emlékének ajánljuk, aki halhatatlan érdemeket szerzett az általa oly kedvelt és szeretett tárgy, a Numerikus Analízis oktatása során. A példatárban található példák megoldásához kellemes és hasznos időtöltést kívánunk! Budapest,. november. Krebsz Anna, Bozsik József
4 . fejezet VEKTOR- ÉS MÁTRIXNORMÁK, KONDÍCIÓSZÁM.. Feladatok... Vektornormák. Számítsuk ki az alábbi vektor -es, -es és vektornormáját! x. Számítsuk ki az alábbi vektor -es, -es és vektornormáját! x. Mutassuk meg, hogy. és. vektornormák ekvivalens vektornormák!. Mutassuk meg, hogy. és. vektornormák ekvivalens vektornormák!. Mutassuk meg, hogy. és. vektornormák ekvivalens vektornormák! 6. Írjuk fel az. vektornorma által indukált mátrixnormát!... Mátrixnormák 7. Legyen T R nxn invertálható mátrix és. v egy vektornorma. a) Igazoljuk, hogy x T : Tx v vektornormát definiál! b) Írjuk fel a. T vektornorma által indukált mátrixnormát! Mi a kapcsolat a. v által indukált mátrixnormával?. Számoljuk ki az alábbi A mátrix, és mátrixnormáit! [ ] A
5 .. Feladatok 9. Számoljuk ki az alábbi A mátrix, és mátrixnormáit! [ ] A. Számoljuk ki az alábbi A mátrix, és mátrixnormáit! A. Igaz-e, hogy a F robenius mátrixnorma indukált mátrixnorma?. Adjunk meg egy mátrixot, melynek a F robenius mátrixnormája egyenlő az x ( ) n i Rn csak egyesekből álló vektor -es vektornormájával?. Igazoljuk, hogy bármely mátrixnormára és A K nxn mátrixra igaz, hogy a spektrálsugár kisebb egyenlő bármely normánál, azaz ρ(a) A!. Bizonyítsuk be, hogy ha A normális mátrix, akkor A ρ(a) max λ i (A)!. Igazoljuk, hogy ha Q K nxn unitér mátrix, akkor igazak a következő állítások. a) Qx x x K n. b) Q Q. c) QA AQ A A K nxn. 6. Bizonyítsuk be, hogy A F (tr(a A))! 7. Igazoljuk, hogy ha Q unitér mátrix, akkor QA F AQ F A F!. Igazoljuk, hogy ( n A F λ i (A A) i )! 9. Mutassuk meg, hogy a) a spektrálnorma és a F robenius norma ekvivalensek! b) a -es vektornorma és a F robenius norma illeszkednek!
6 6. Vektor és mátrixnormák, kondíciószám... Kondíciószám. Számítsuk ki az alábbi A mátrix kondíciószámát -es és mátrixnorma esetén! [ ] A 7. Számítsuk ki az alábbi A mátrix kondíciószámát -es és F robenius mátrixnorma esetén! [ ] A. Számítsuk ki az alábbi A mátrix kondíciószámát,, és F robenius mátrixnorma esetén! [ ] A. Számítsuk ki az alábbi A mátrix kondíciószámát,, és F robenius mátrixnorma esetén! [ ] A. Igazoljuk, hogy a QR felbontással kapott feladat érzékenysége (kondícionáltsága) nem változik!. Igazoljuk, hogy a szimmetrikus, pozitív definit A mátrixra elkészített A LL T Cholesky felbontás esetén cond (A) cond (L) cond (L T ) (cond (L))! Ez azt jelenti, hogy ha az eredeti Ax b lineáris egyenletrendszer helyett az Ly b és L T x y háromszögmátrixú egyenletrendszereket oldjuk meg, azzal a feladat érzékenysége nem változik!.. Megoldások... Vektornormák. Számítsuk ki a megadott normákat! x x x n x i i n x i + + ( ) i n max i x i max{; ; }
7 .. Megoldások 7. Számítsuk ki a megadott normákat! x x x n x i i n x i + ( ) i n max i x i max{; ; ; }. A vektornormák ekvivalensek, ha c, c > x K n : c x A x B c x A Ennek megfelelően a feladat valójában két egyenlőtlenségre bomlik. a) Először megmutatjuk, hogy Mivel c > : c x x. x n max i x i Vagyis c választással készen is vagyunk. n x i x i b) Most vizsgáljuk meg az egyenlőtlenség másik oldalát. c > : c x x n j,, n : x j max x i i n n x x j n max x i n x. i j Vagyis c n választással beláttuk a fenti egyenlőtlenséget. Vagyis ezzel megmutattuk, hogy az -es és vektornormák ekvivalensek.. Az előző feladatban alkalmazott eljárást használjuk most is. Vagyis a feladatot két részfeladatra bontjuk. a) Először megmutatjuk, hogy c > : c x x. Mivel ( ) n max x i i x n max i x i n x i i n x i x. i
8 . Vektor és mátrixnormák, kondíciószám Vagyis c választással kész is vagyunk. b) Most vizsgáljuk meg az egyenlőtlenség másik oldalát. c > : c x x Mivel n i ( x i n n max x i i x n x i n n max x i n x. i i ) Vagyis c n választással beláttuk az egyenlőtlenséget. Ezzel megmutattuk, hogy a -es és vektornormák ekvivalensek.. Az eddigieknek megfelelően most is két részre bontjuk a feladat megoldását. a) Először megmutatjuk, hogy c > : c x x. A pozitív tagú összeg négyzetre emeléséből következik, hogy ( n x i ) ( x + x x n ) i x + x x n + + x x x x x n x n n x i. i Négyzetgyököt vonva ebből már következik a bizonyítandó állítás. x n n x i x i x Vagyis c választással kész is vagyunk az egyenlőtlenség egyik oldalával. i i b) Most vizsgáljuk meg az egyenlőtlenség másik oldalát. c > : c x x A bizonyítást a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenlőtlenséggel az x ( x i ) n i, e ( ) n i vektorokra felírva kapjuk. ( n ) x i < x ; e > x e i n n x i n i i i n x i. Innen gyökvonással c n.
9 .. Megoldások 9 6. Induljunk ki a definícióból. Ax A sup x x Becsüljük felülről a tört számlálóját. Használjuk közben az abszolútértékre vonatkozó háromszögegyenlőtlenséget és cseréljük meg az összegzés sorrendjét. Ax n n n n n (Ax) i a ij x j i i j a ij x j i j n n n n x j a ij max n a ik x j k j n max k i n a ik x i x esetén x normával végigosztva az egyenlőtlenséget kapjuk, hogy Ax max n x k i n a ik. Most már csak azt kell megmutatnunk, hogy x K n, amelyre teljesül az egyenlőség. Legyen x e p, vagyis az x legyen a p. kanonikus bázis vektor, amely a p. pozícióban és a többi helyen nulla. A p legyen az a sora a mátrixnak, ahol maximális lesz az elemek abszolútérték összege. n i a ip n max k i n a ik Ebben az esetben az x és teljesül az egyenlőség. Ax n Ax a ip x i i j... Mátrixnormák 7. a) Igazolnunk kell, hogy teljesülnek a vektornorma tulajdonságai. Ehhez a. v -vel jelölt vektornorma tulajdonságait használjuk fel. ) x T Tx v Tx x ) λx T λtx v λ Tx v λ x T ) x + y T T(x + y) v Tx v + Ty v x T + y T Tehát a norma tulajdonságok teljesülnek. b) A vektornorma által indukált mátrixnorma A T max x. az y : Tx helyettesítéssel Ax T x T max x TAx v Tx v max y TAT y v y v TAT.
10 . Vektor és mátrixnormák, kondíciószám. A kért mátrixnormák: A A n max j n max i n a ij max n { + ; + }, i j n a ij max n { + ; + }, j n A max λ i(a A). i Határozzuk meg A A sajátértékeit. A A Iλ λ λ ( λ)( λ) λ 6λ + λ, 6 ± 6 6 Innen látszik, hogy λ +, λ. i ± Innen a spektrálsugár ρ(a A) max n i λ i(a A) +. Gyökvonással a -es norma A + 9. Mivel a mátrix szimmetrikus, ezért az -es és normája megegyezik. n A a ij max n { + ; + } 6 A n max j n max i i j n a ij max n { + ; + } 6 j Mivel a megadott mátrix szimmetrikus, ezért a spektrálnormát az eredeti mátrix spektrálsugarával számíthatjuk. A max n λ i(a) i A Iλ i λ λ ( λ) λ λ + λ, ± 6 ± Innen látszik, hogy λ és λ 6, így ρ(a) 6 és A 6.. Mivel a mátrix szimmetrikus, ezért az -es és normája megegyezik. n A a ij max n { + + ; + + ; + + } {; ; 6} 6 A n max j n max i i j n a ij max n { + + ; + + ; + + } {; ; 6} 6 j i
11 .. Megoldások Mivel a megadott mátrix szimmetrikus, ezért a spektrálnormát az eredeti mátrix spektrálsugarával számíthatjuk. A max n λ i(a) i λ A Iλ λ λ ( λ) λ λ + ( ) λ ( λ) (( λ) ) ( λ) ( λ) (( λ) ) ( λ) (λ λ + ) λ, ± 6 6 ± Innen látszik, hogy λ és λ +, λ, így az eredmény A +.. Legyen. m indukált mátrixnorma. Ekkor igaz, hogy I m. Ez minden indukált mátrixnormára igaz, így ha a F robenius mátrixnorma is indukált lenne, akkor rá is teljesülnie kellene ennek a tulajdonságnak. Nézzük meg n esetén. n n n n I F a ij n n i j i j Következésképpen a F robenius mátrixnorma nem indukált mátrixnorma.. A csupa egyesekből álló vektor -es vektornormája x n x i n n. i i Ha olyan mátrixot keresünk, melynek minden eleme azonos, akkor a F robenius mátrix definíciója alapján n n A F a ij n i j n i j n a n n a n a n. Tehát egy lehetséges megoldás n... n A n... n
12 . Vektor és mátrixnormák, kondíciószám. Definíció szerint ρ(a) max n i λ i(a). Induljunk ki a sajátérték egyenletből, jelöljük λ -val az A sajátértékét és x -val a hozzá tartozó sajátvektort. Az első lépésben megszorozzuk mind a két oldalt x -gal, majd vesszük a normáját. Ax λ x Axx λ xx A(xx ) λ xx A háromszög-egyenlőtlenség és a mátrix normájára vonatkozó azonosság felhasználásával és az xx -val való osztással kapjuk, hogy A xx A(xx ) λ xx λ xx A λ Mivel ez λ sajátértékre igaz, így a legnagyobbra is igaz, vagyis Ezzel igazoltuk az állítást. ρ(a). Az A mátrix normális mátrix, ha A A AA. n max i λ i(a) A Ha A mátrix normális, akkor U unitér mátrix, amelyre U AU D diag(λ i (A)), azaz diagonalizálható és átlójában a sajátértékek vannak. U unitér azt jelenti, hogy U U UU I és így U U. Induljunk ki A A-ból. Tehát A A sajátértékeire A A (UDU ) UDU }{{} U D U}{{ U} DU U I UD DU λ i (A A) λ i (D D) λ i (D) λ i (A) ρ(a A) max λ i (A A) (max λ i (A) ) ρ(a) A Ezzel bebizonyítottuk az állítást.. a) Mivel a -es norma a jól ismert euklideszi távolság fogalom interpretációja, ezért ebben a pontban azt kell megmutatnunk, hogy az unitér transzformáció távolságtartó. Qx (Qx) Qx x Q Qx x x x b) Az indukált mátrixnorma definícióját és az előző pontban bizonyított állítást felhasználva Qx Q sup x x x sup. x x
13 .. Megoldások c) Ismét az indukált mátrixnorma definícióját és az a) pontbeli állítást használjuk. QAx QA sup x x Ax sup A x x AQx AQ sup x x }{{} Qx sup x A(Qx) Qx }{{} y:qx Ay sup A y y Tehát ezzel igazoltuk az állítást. 6. Nézzük először, mit jelentenek a feladatban szereplő fogalmak. Az A mátrix F robenius normája definíció szerint n A F egy tetszőleges B mátrix nyoma (trace) i j n a ij, tr(b) n b ii. i Az A A mátrix főátlójában lévő elemek az alábbiak. n n (A A) ii a ji a ij a ij j j Ezt felhasználva, kiszámoljuk az A A mátrix nyomát(trace). tr(a A) ( n n ) a ji A F i i Ezzel készen is vagyunk a bizonyítással. 7. Induljunk ki a QA mátrix F robenius norma négyzetéből és használjuk fel az előző feladatban bebizonyított állítást. QA F tr ((QA) QA) tr(a Q Q A) tr(a A) A F }{{} I Alkalmazzuk a most és eddig megmutatott összefüggéseket! Mivel A és A F robenius normája megegyezik, így AQ F ((AQ) ) F Q A F A F A F. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
14 . Vektor és mátrixnormák, kondíciószám. Ha A A szimmetrikus, akkor Q unitér mátrix, amelyre Q A A Q D diag(λ i (A A)) (AQ) AQ D. Induljunk ki A A sajátértékeinek összegéből! n λ i (A A) tr(d) tr ((AQ) AQ) i Most felhasználjuk az előző két példában bebizonyított összefüggést. tr ((AQ) AQ) AQ F A F Ezzel be is bizonyítottuk a kívánt összefüggést. 9. Mindkét állításhoz használjuk fel az előző eredményeket. Ne felejtsük el, hogy a λ i (A A) sajátértékek nem negatívak! a) Induljunk ki az A spektrálnorma négyzetéből. A n max i λ i(a A) A F n n n λ i (A A) i max i λ i(a A) n A Tehát mind a két oldalból négyzetgyököt vonva kapjuk az alábbi összefüggést. A A F n A Ez pedig a megadott mátrixnormára az ekvivalencia definíciója. b) A. v vektornorma és a. m mátrixnorma illeszkedik, ha minden A mátrixra és x vektorra Ax v A m x v. A -es mátrixnorma illeszkedik az őt indukáló -es vektornormához. Az előző feladatbeli norma becslést felhasználva Ax A x A F x. Tehát a. vektornorma és a. F mátrixnorma illeszkednek.... Kondíciószám. Legyen. m mátrixnorma és A K nxn (n N) invertálható mátrix. A kondíciószám fogalma: cond m (A) A m A m. A feladat megoldásához első lépésként meg kell határoznunk az A mátrix inverzét. [ ] [ ] A A 7 7 Ezután a megfelelő mátrixnormákat kell meghatároznunk.
15 .. Megoldások a) Először az -es mátrixnormához tartozó kondíciószámot határozzuk meg. A max{, 9} 9 A max{, } cond (A) 9 9 b) Most a mátrixnormához tartozó kondíciószámot határozzuk meg. A max{, } A max{9, } 9 cond (A) 9 9 Vegyük észre, hogy -es esetre mindig megegyezik az -es és mátrixnormákhoz tartozó kondíciószám. Ennek a meggondolását az olvasóra bízzuk.. Az előző feladatban leírtaknak megfelelően első lépésként meghatározzuk az A mátrix inverzét. [ ] A A [ ] Most már csak a megfelelő mátrixnormákat kell meghatároznunk. a) Először a -es mátrixnormához tartozó kondíciószámot határozzuk meg. Mivel a mátrix szim metrikus, ezért egyszerűbben számolható a mátrixnorma. A ρ(a) max λ i (A) Ehhez ki kell számítanunk a mátrix sajátértékeit. A λi λ λ ( λ) λ λ λ, ± + Tehát a mátrix sajátértékei: λ és λ. ± ± A -es norma szimmetrikus mátrix esetén a maximális abszolútértékű sajátérték, A. Most már csak az inverz mátrixra kell ugyanezt megismételni. Egy egyszerűsítéssel élünk és nem a fent bemutatott módszert ismételjük meg. Mivel az A sajátértéke az A sajátértékének reciproka, így A max min λ i. Ezt felhasználva λ i cond (A) max λ i min λ i. b) A következő lépésben meghatározzuk a F robenius márixnormához tartozó kondíciószámot. A F ( ) ( ) A F (( ) ( ) ) cond F (A) ( )
16 6. Vektor és mátrixnormák, kondíciószám Mivel A szimmetrikus mátrix, ezért A a legkisebb norma és ρ(a) A. Az A -re ugyanez igaz, tehát a cond (A) a legkisebb kondíciószám.. Az előző feladatban leírtaknak megfelelően első lépésként meghatározzuk az A mátrix inverzét. [ ] A A [ ] [ ] Ezután a megfelelő mátrixnormákat kell meghatároznunk. a) Először az -es mátrixnormához tartozó kondíciószámot határozzuk meg. A max{, } { A max, } cond (A) b) Most a mátrixnormához tartozó kondíciószámot határozzuk meg. A max{, } A max{, } cond (A) c) A következőkben a -es mátrixnormához tartozó kondíciószámot határozzuk meg. Az A -t már a. feladatban meghatároztuk A +. Az A -hoz először az (A ) A mátrix sajátértékeit kell meghatároznunk. A karakterisztikus polinomja (A ) A (A ) A λi λ 6λ +. [ ] [ ] [ λ λ (( ) ( ) λ λ ) λ 6 6 λ + λ, 6 ± 6 6 Tehát a mátrix sajátértékei: λ és λ + Innen A -es kondíciószám ρ((a ) A ) + cond (A) 6 ±. A ] ± Egy kevesebb számolást igénylő megoldást is mutatunk. Az (A ) A mátrix sajátértékeit meghatározhatjuk közvetlenül az A A mátrix sajátértékeiből, ugyanis (A ) A (AA ), és AA A (AA )A A A,
17 .. Megoldások 7 vagyis A A és AA hasonló, a sajátértékeik megegyeznek. Az (AA ) sajátértékei az A A sajátértékeinek reciprokai, azaz és +. ρ((a ) A ) + A + d) Már csak a F robenius márixnormához tartozó kondíciószámot kell meghatároznunk. A F (( ) ) ( ) 6 A F (( ) ) ( ) 6 cond F (A) Az előző feladatban leírtaknak megfelelően első lépésként meghatározzuk az A mátrix inverzét. A [ ] A Már csak a megfelelő mátrixnormákat kell meghatároznunk. [ ] a) Először az -es mátrixnormához tartozó kondíciószámot határozzuk meg. A max{ 6, 6} 6 A max{ 6, 6} cond (A) 6 b) Most a mátrixnormához tartozó kondíciószámot határozzuk meg. A max{ 6, 6} 6 A max{ 6, 6} cond (A) 6 c) A következőkben a -es mátrixnormához tartozó kondíciószámot határozzuk meg. A λi λ λ + λ λ ( λ) λ, ± 6 Tehát a mátrix sajátértékei: λ és λ 6. ± Számolhatunk kondíciószámot közvetlenül a sajátértékekből cond (A) max λ i min λ i 6. ±
18 . Vektor és mátrixnormák, kondíciószám d) Most már csak a F robenius márixnormához tartozó kondíciószámot kell meghatároznunk. A F ( ) ( ) A F ( + ( ) + ( ) + ) ( ) 6 cond F (A) 6. Induljunk ki az Ax b lineáris egyenletrendszer megoldásából úgy, hogy felhasználjuk az A QR felbontást! Ax b QRx b Rx Q b Korábban láttuk, hogy az unitér mátrixok esetén az ortogonális transzformációk normatartóak, így vagyis cond (A) cond (R). A QR R A (QR) R Q R Látjuk hogy az eredeti és a felső háromszögmátrixú lineáris egyenletrendszer kondíciószáma megegyezik, ez azt jelenti, hogy a QR felbontás nem változtatja meg a lineáris egyenletrendszer érzékenységét.. A Cholesky felbontásból A LL T. Elvégezve az L mátrix-szal egy hasonlósági transzformációt azt kapjuk, hogy L AL L T L. Ez azt jelenti, hogy LL T és L T L hasonlóak, a sajátértékeik megegyeznek, így a spektrálsugaruk is. ρ (A) ρ (LL T ) ρ (L T L) A -es (spektrálnorma) definíciójából L ϱ(l T L) ϱ(ll T ) L T L L T. A fenti gondolatmenetet ismételjük meg az L -re. Mivel A (LL T ) (L T ) L (L ) T L, az L mátrix-szal elvégezve egy hasonlósági transzformációt L A L L (L ) T. Tehát (L ) T L és L (L ) T hasonlóak, a sajátértékeik megegyeznek, így a spektrálsugaruk is. ρ (A ) ρ ((L ) T L ) ρ ( L (L ) T ) A -es (spektrálnorma) definíciójából L ϱ( (L ) T L ) ϱ( L (L ) T ) (L ) T L (L ) T.
19 .. Megoldások 9 Innen látjuk, hogy cond (L) L L L T (L T ) cond (L T ). Mivel A és A is szimmetrikus mátrix, a -es mátrixnorma a spektrálsugarukból közvetlenül is számolható. A ρ(a) L, A ρ(a ) L Ezzel minden részletet bizonyítottunk a befejezéshez. A A cond (A) (cond (L))
20 . fejezet LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSÁNAK ITERÁCIÓS MÓDSZEREI.. Feladatok... Egyszerű iteráció. Adott az x k+ Bx k + c egyenlőség, ahol,,, B,,,, c,,,, Konvergens-e x R -re? Írjuk fel a hibabecslést! Hány lépés kell a pontosság eléréséhez? Melyik lineáris egyenletrendszer megoldásához konvergál?. Adott az x k+ Bx k + c egyenlőség, ahol,,,, B,,,, c,,,, Konvergens-e x R -re? Írjuk fel a hibabecslést! Hány lépés kell a pontosság eléréséhez? Melyik lineáris egyenletrendszer megoldásához konvergál?. Adott az x k+ Bx k + c egyenlőség, ahol B [,,, 7, ], c [ ],, Konvergens-e x R -re? Írjuk fel a hibabecslést! Hány lépés kell a pontosság eléréséhez? Melyik lineáris egyenletrendszer megoldásához konvergál?. Adott az x k+ Bx k + c egyenlőség, ahol,,,,, B,,,,,,,,, c,,,,,,,
21 .. Feladatok Konvergens-e x R -re? Írjuk fel a hibabecslést! Hány lépés kell a pontosság eléréséhez? Melyik lineáris egyenletrendszer megoldásához konvergál?... Jacobi-iteráció. Legyen Konvergál-e a mátrixra felírt J()? A 6. Legyen Konvergál-e a mátrixra felírt J()? 7. Legyen Konvergál-e a mátrixra felírt J()? [ A ] A. Legyen A, b 6 Megoldható-e a lineáris egyenletrendszer Jacobi-iterációval? Ha igen, akkor végezzünk lépést! 9. Legyen A, b Megoldható-e a lineáris egyenletrendszer Jacobi-iterációval? Ha igen, akkor végezzünk lépést!. Legyen A, b Megoldható-e a lineáris egyenletrendszer Jacobi-iterációval? Ha igen, akkor végezzünk lépést!... Gauss Seidel-iteráció. Legyen Konvergál-e a mátrixra felírt S()? A
22 . Lineáris egyenletrendszer megoldásának iterációs módszerei. Legyen Konvergál-e a mátrixra felírt S()? A. Legyen Konvergál-e a mátrixra felírt S()? A. Legyen Konvergál-e a mátrixra felírt S()?. Legyen Konvergál-e a mátrixra felírt S()? A A 6. Legyen A, b Megoldható-e a feladat Gauss-Seidel-iterációval? Ha igen, akkor végezzünk lépést! 7. Legyen A, b 6 Megoldható-e a feladat Gauss-Seidel-iterációval? Ha igen, akkor végezzünk lépést! Hány lépés kell a pontosság eléréséhez?. Legyen A, b Megoldható-e a feladat Gauss-Seidel-iterációval? Ha igen, akkor végezzünk lépést! Hány lépés kell a pontosság eléréséhez? 9. Legyen A, b Megoldható-e a feladat Gauss-Seidel-iterációval? Ha igen, akkor végezzünk lépést! Hány lépés kell a pontosság eléréséhez?
23 .. Feladatok. Legyen A, b Megoldható-e a feladat Gauss-Seidel-iterációval? Ha igen, akkor végezzünk lépést! Hány lépés kell a pontosság eléréséhez?... Paraméteres iterációk: csillapított Jacobi-iteráció és a relaxációs módszer. Legyen A Alkalmazzuk az A mátrixra a csillapított Jacobi-iterációt! Milyen ω-ra lesz konvergens? Melyik ω-ra lesz optimális?. Legyen A Alkalmazzuk az A mátrixra a csillapított Jacobi-iterációt! Milyen ω-ra lesz konvergens?. Legyen A Alkalmazzuk az A mátrixra a csillapított Jacobi-iterációt! Milyen ω-ra lesz konvergens? Melyik ω-ra lesz optimális?. Legyen A Alkalmazzuk az A mátrixra a csillapított Jacobi-iterációt! Milyen ω-ra lesz konvergens? Melyik ω-ra lesz optimális?. Legyen A Alkalmazzuk az A mátrixra a csillapított Jacobi-iterációt! Milyen ω-ra lesz konvergens? Melyik ω-ra lesz optimális? 6. Legyen A [ ] Vizsgáljuk meg az A-ra felírt relaxációs módszert! Adjunk olyan ω paramétert, melyre a módszer gyorsabb a Gauss Seidel-iterációnál!
24 . Lineáris egyenletrendszer megoldásának iterációs módszerei 7. Legyen A [ ] [ ], b Alkalmazzuk az Ax b lineáris egyenletrendszerre a relaxációs módszert! ω esetén számítsuk ki a relaxációs módszer két lépését az x kezdővektorral! Adjunk olyan ω paramétert, melyre a módszer gyorsabb a Gauss Seidel-iterációnál!. Legyen A, b 6 Alkalmazzuk az Ax b lineáris egyenletrendszerre a relaxációs módszert! ω paraméter esetén hajtsuk végre a relaxációs módszer két lépését! Milyen ω-ra lesz konvergens? Melyik ω-ra lesz optimális? 9. Legyen A Konvergál-e a mátrixra felírt relaxációs módszer? Milyen ω-ra lesz konvergens? Melyik ω-ra lesz optimális?... Richardson-iteráció. Tekintsük az x k+ (I c A ) x k + c b Richardson-iterációt az Ax b lineáris egyenletrendszer megoldására, ahol A szimmetrikus, pozitív definit mátrix és c R + : ρ(a) < c. Igazoljuk, hogy x -ra konvergens!. Legyen A, b. Alkalmazzuk az Ax b lineáris egyenletrendszerre a. feladatban szereplő Richardsoniterációt és bizonyítsuk a módszer konvergenciáját, ha tudjuk, hogy ρ(a) < 6 c. Az x R kezdővektorral végezzünk két lépést és adjuk meg az iteráció hibabecslését.. Tekintsük az x k+ (I 79c A ) x k + 7 9c b Richardson-iterációt az Ax b lineáris egyenletrendszer megoldására, ahol A szimmetrikus, pozitív definit mátrix és c R + : ρ(a) < c. Igazoljuk, hogy x -ra konvergens!. Tekintsük az x k+ (I c A ) x k + c b Richardson-iterációt az Ax b lineáris egyenletrendszer megoldására, ahol A szimmetrikus, pozitív definit mátrix és c R + : ρ(a) < c. Igazoljuk, hogy x -ra konvergens!
25 .. Feladatok. Legyen A, b. Alkalmazzuk az Ax b lineáris egyenletrendszerre a Richardson-iterációt! Milyen p R esetén konvergens? Mi az optimális paraméter?. Legyen A [ ], b [ ]. Alkalmazzuk az Ax b lineáris egyenletrendszerre a Richardson-iterációt! Milyen p R esetén konvergens? Mi az optimális paraméter?..6. ILU-algoritmus 6. Legyen P, Q, b Konvergál-e az ILU-algoritmus? Ha igen, akkor tegyünk meg lépést! Hány lépés kell a pontosság eléréséhez? 7. Legyen P 6 6, Q, b Konvergál-e az ILU-algoritmus? Ha igen, akkor tegyünk meg lépést! Hány lépés kell a pontosság eléréséhez?. Legyen P 6, Q, b Konvergál-e az ILU-algoritmus? Ha igen, akkor tegyünk meg lépést! Hány lépés kell a pontosság eléréséhez? 9. Legyen P 6, Q, b Konvergál-e az ILU-algoritmus? Ha igen, akkor tegyünk meg lépést! Hány lépés kell a pontosság eléréséhez?. Legyen P [ ], Q [ ], b [ ] Konvergál-e az ILU-algoritmus? Ha igen, akkor tegyünk meg lépést! Hány lépés kell a pontosság eléréséhez?
26 6. Lineáris egyenletrendszer megoldásának iterációs módszerei.. Megoldások... Egyszerű iteráció 6. Első lépésként meg kell vizsgálni a konvergenciát. Ehhez használjuk fel az elégséges feltételt. Elégséges feltétel: Ha valamely illeszkedő mátrixnormában az átmenetmátrixra B <, akkor x R n -ből indítva az iterációt, konvergens lesz az (x k ) iterációs sorozat. Tehát a konvergencia sem x -tól, sem pedig c-től nem függ. Konkrét példánkra tehát x R -re konvergens. B max j a ij, 6 <, i Hibabecslés: A k. közelítő vektorra adott hibabecslés alakja x k x ahol q B a kontrakciós együttható. qk q x x, Ahhoz, hogy a képletet alkalmazzuk, ki kell számítanunk x -et. Ehhez ki kell számolnunk az iteráció első lépését. Mivel bármely x -ból indítva az iteráció konvergens, ezért válasszunk egy kezdővektort. Legyen x [ ] T., x B x + c c,, Így már kiszámolható a hibabecslés. (q B, 6 a B mátrix -es normája.) x k x, 6k, 6, 7 Lépésszám: Meg kell határoznunk a lépésszámot a pontosság eléréséhez., 6 k, 7, 6 ( ) k 7 7 ( ) 7 lg ( ) k ( ) k lg k lg ( 7 ) lg ( ), 6
27 .. Megoldások 7 Tehát k lépés elegendő a pontosság eléréséhez. Utolsó lépésként azt kell meghatároznunk, hogy melyik lineáris egyenletrendszer megoldásához konvergál az iteráció. Az iteráció x határértékére (a fixpontra) Tehát a megoldás x Bx + c (I B) x b }{{} Ax b. A,,, 6, A,,,,, 7,, b,,,, 6, c,., 7. Első lépésként meg kell vizsgálni a konvergenciát. Ehhez használjuk fel az elégséges feltételt. B B max j max i a ij Nem alkalmas! i a ij, 9 < j Tehát x R -re konvergens. Hibabecslés: Az alábbi képletet alkalmazzuk. x k x qk q x x Ahhoz, hogy a képletet alkalmazni tudjuk, ki kell számítanunk x -et. Ehhez ki kell számolnunk az iteráció első lépését. Mivel minden x -ból indítva az iteráció konvergens, ezért válasszunk egy kezdővektort. Legyen x [ ] T., x B x + c c,, A B mátrix -normája alkalmas q-nak, így már kiszámolható a hibabecslés a normában. Lépésszám: x k x, 9k, 9,
28 . Lineáris egyenletrendszer megoldásának iterációs módszerei Meg kell határoznunk a lépésszámot a pontosság eléréséhez., 9 k,, ( ) 9 k ( ) k 9 ( ) 9 k lg ( ) lg ( ) k lg lg ( 9 Tehát k lépés elég a pontosság eléréséhez. ) 7, 99 Utolsó lépésként azt kell meghatároznunk, hogy melyik lineáris egyenletrendszer megoldásához konvergál az iteráció. Az iteráció x határértékére (a fixpontra) x Bx + c (I B) x b }{{} Ax b. A Tehát a megoldás,,,, 9,, A,,,,, 7, b,,,, 9, c,.,. A feladat megoldásához először meg kell vizsgálni a konvergencia teljesülését. Ehhez használjuk fel az elégséges feltételt. B max a ij, 9 < j i Mivel találtunk olyan illeszkedő mátrixnormát, aminek az értéke kisebb mint, ezért x R -re konvergens. Hibabecslés. Az alábbi képletet alkalmazzuk. x k x qk q x x Ahhoz, hogy a képletet alkalmazni tudjuk, ki kell számítanunk x -et. Ehhez ki kell számolnunk az iteráció első lépését. Mivel minden x -ból indítva az iteráció konvergens, ezért válasszunk egy kezdővektort. Legyen x [ ] T. x B x + c c [ ],,
29 .. Megoldások 9 Így már kiszámolható a hibabecslés. (B mátrix egyes normája alkalmas q-nak.) x k x, 9k, 9, Lépésszám: Meg kell határoznunk a lépésszámot a pontosság eléréséhez., 9 k,, ( ) 9 k ( ) k 9 ( ) 9 k lg ( ) lg ( ) k lg lg ( 9 Tehát k 7 lépés elég a pontosság eléréséhez. ) 6, 7 Utolsó lépésként azt kell meghatároznunk, hogy melyik lineáris egyenletrendszer megoldásához konvergál az iteráció. Az iteráció x határértékére (a fixpontra) Tehát a megoldás x Bx + c (I B) x b }{{} Ax b. A A [ b c ] [,, [ ],,, 7, ]. [, ],, 7, 9. Első lépésként meg kell vizsgálni a konvergenciát. Ehhez használjuk fel az elégséges feltételt: B B B F max j max i a ij Nem alkalmas! i a ij Nem alkalmas! j i j a ij, 7, < Tehát x R -re konvergens. Hibabecslés. Az alábbi képletet alkalmazzuk. x k x qk q x x
30 . Lineáris egyenletrendszer megoldásának iterációs módszerei Ahhoz, hogy a képletet alkalmazni tudjuk, ki kell számítanunk x -et. Ehhez ki kell számolnunk az iteráció első lépését. Mivel minden x -ból indítva az iteráció konvergens, ezért válasszunk egy kezdővektort. Legyen x [ ] T., x B x + c c,,, A hibabecslés így már kiszámolható. Mivel a. F norma illeszkedik a. normára, ezért a hibabecslésben használhatjuk a vektoroknál a. normát. (B mátrix. F -normája alkalmas q-nak.) x k x, k,, Lépésszám: Meg kell határoznunk a lépésszámot a pontosság eléréséhez., k,, ( ) 7 k ( ) lg ( ) k 7 k lg ( ) 7 k lg ( ) lg ( ), 7 Tehát k lépés elég a pontosság eléréséhez. Utolsó lépésként azt kell meghatároznunk, hogy melyik lineáris egyenletrendszer megoldásához konvergál az iteráció. Az iteráció x határértékére (a fixpontra) Tehát a megoldás x Bx + c (I B) x b }{{} Ax b. A,,,, A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, b,,,,, c,,.,
31 .. Megoldások... Jacobi-iteráció. A továbbiakban a Jacobi-módszerre a J() rövidítést fogjuk használni, utalva ezzel arra, hogy a csillapított Jacobi-iterációban ω paraméterrel kapjuk meg a Jacobi-iterációt. Tudjuk, hogy Ax b x D (L + U)x + b. Innen a Jacobi-iteráció x k+ D (L + U) x }{{} k + } D{{ b}. átmenetmátrix c Első lépésként meg kell határoznunk az átmenetmátrixot. B J() D (L + U) ahol Tehát A L + D + U + +. B J() Mivel megkaptuk az átmenetmátrixot, meg kell vizsgálnunk, hogy melyik konvergencia tétel feltételei teljesülnek. Először megvizsgáljuk az elégséges feltételt. B J() B J() B J() F > Mint látható mindegyik normával kapott eredmény nagyobb, mint egy, tehát az elégséges feltétel ebben az esetben nem használható. Megjegyzés. Ha a mátrixban találhatóak -nél nagyobb elemek, akkor az elégséges feltétel nem használható. Mivel az elégséges feltételt nem tudtuk használni, a szükséges és elégséges feltételt kell alkalmaznunk Szükséges és elégséges feltétel: x R n -ből indított iteráció konvergens ρ(b) <, ahol ρ(b) max n i λ i a B mátrix spektrálsugara. A spektrálsugár nagysága mutatja a konvergencia gyorsaságát.
32 . Lineáris egyenletrendszer megoldásának iterációs módszerei A sajátértékek meghatározásához írjuk fel a karakterisztikus polinomot! λ det(b J() λi) λ λ λ λ λ λ λ q λ(λ ) ( λ ) ( + λ) λ + λ + λ + λ λ λ,, A sajátértékek alapján a mátrix spektrálsugara ρ(b J() ) max{ λ, λ, λ } <, így x R -re J() konvergens lesz! Ha az átmenetmátrix spektrálsugara nulla, akkor véges iterációra számíthatunk, legfeljebb n lépésben konvergál.. Első lépésként meg kell határoznunk az átmenetmátrixot. [ ] A L + D + U + Tehát [ ] + [ ] [ ] [ ] B J() D (L + U) [ ] [ ] [ ] [ ]. Vizsgáljuk meg a konvergenciát! Először az elégséges feltételt vizsgáljuk. B J() B J() B J() F > Mint látható mindegyik normával kapott eredmény nagyobb mint egy, tehát az elégséges feltétel ebben az esetben nem használható, ezért a szükséges és elégséges feltételt kell alkalmaznunk. A sajátértékek meghatározásához írjuk fel a karakterisztikus polinomot! det(b J() λi) λ λ λ + λ, Mint látható a sajátértékek komplex számok, de ρ(b J() ) teljesül. <, így a konvergencia
33 .. Megoldások. Első lépésként meg kell határoznunk az átmenetmátrixot. B J() D (L + U), ahol A L + D + U + + Tehát B J() Az átmenetmátrixot megkapva, lehetőségünk van a konvergencia vizsgálatára. Mivel a >, ezért az elégséges feltétel biztosan nem teljesül. A szükséges és elégséges feltétel teljesülését kell megvizsgálnunk. A sajátértékek meghatározásához írjuk fel a karakterisztikus polinomot. λ det(b J() λi) λ λ ( λ (λ ) λ ) λ + λ λ λ + λ λ, λ Most már tudjuk a mátrix spektrálsugarát. ρ(b J() ) max{ λ, λ, λ }, 66 < Tehát a Jacobi-iteráció konvergens a megadott mátrixra.. Első lépésként meg kell vizsgálnunk, hogy a feladatra konvergens-e a Jacobi-iteráció.
34 . Lineáris egyenletrendszer megoldásának iterációs módszerei Először ki kell számolni az átmenetmátrixot. B J() D (L + U) Megkaptuk az átmenetmátrixot, az elégséges feltételt kell megvizsgálnunk. B J() 7, 6 < Mivel találtunk olyan illeszkedő normát, aminek az értéke egynél kisebb, így x R -ből indítva az iterációt, konvergens lesz. Ezzel tehát beláttuk, hogy a feladat megoldható Jacobiiterációval. Ahhoz, hogy kiszámoljuk az első két lépést, alkalmas x -t kell választanunk. Mivel bármilyen x jó, ezért a legegyszerűbb megoldás az x [ ] T vektor. Tudjuk, hogy Innen a Jacobi-iteráció Most. lépés:. lépés: Ax b x D (L + U)x + b. x k+ D (L + U) x }{{} k + } D{{ b}. átmenetmátrix c B J() c 6 6 x D (L + U) x + D b B J() + c c 6 x D (L + U) x + D b B J() x + c
35 .. Megoldások. Első lépésként meg kell vizsgálnunk, hogy a feladatra konvergens-e a Jacobi-iteráció. Először ki kell számolni az átmenetmátrixot. B J() D (L + U) Megkaptuk az átmenetmátrixot, az elégséges feltételt kell megvizsgálnunk. B J() < Mivel találtunk olyan illeszkedő normát, aminek az értéke kisebb, mint egy, teljesül az a feltétel, hogy x R -ből indítva az iterációt, konvergens lesz. Ezzel tehát beláttuk, hogy a feladat megoldható Jacobi-iterációval. Ahhoz, hogy kiszámoljuk az első két lépést, alkalmas x -t kell választanunk. Mivel bármilyen x jó, ezért a legkézenfekvőbb megoldás az x [ ] T vektor. Az x k+ D (L + U) x k + D b képletet felhasználva, könnyen elvégezhetjük az első két lépést.. lépés:. lépés: x D (L + U) x + D b B J() + c c x D (L + U) x + D b B J() x + c + +. Első lépésként meg kell vizsgálnunk, hogy a feladatra konvergens-e a Jacobi-iteráció. Először ki kell számolni az átmenetmátrixot. B J() D (L + U)
36 6. Lineáris egyenletrendszer megoldásának iterációs módszerei Megkaptuk az átmenetmátrixot, az elégséges feltételt kell megvizsgálnunk. Mivel a mátrix elemei kivétel nélkül egynél nagyobb számok, ezért az elégséges feltételt nem lehet alkalmazni. A szükséges és elégséges feltételt kell alkalmazni. A sajátértékek meghatározásához írjuk fel a karakterisztikus polinomot. λ det(b J() λi) λ λ λ λ λ λ λ Az átmenetmátrix spektrálsugara λ(λ ) ( λ ) ( + λ) λ + λ + λ + λ λ λ,, ρ(b J() ) max{ λ, λ, λ } <. Ezzel tehát beláttuk, hogy a Jacobi-iteráció bármely x vektorra konvergens, így a feladat megoldható Jacobi-iterációval. Ahhoz, hogy kiszámoljuk az első három lépést, alkalmas x -t kell választanunk. A legegyszerűbb megoldás az x [ ] T vektor. Az x k+ D (L + U) x k + D b képletet felhasználva, könnyen elvégezhetjük az első három lépést.. lépés:. lépés: Az iteráció. lépése: x D (L + U) x + D}{{ b} B J() + c c c x B J() x + c + + x B J() x + c
37 .. Megoldások 7... Gauss Seidel-iteráció 6. A továbbiakban a Gauss Seidel-iterációra az S() rövidítést fogjuk használni, utalva ezzel arra, hogy a relaxációs módszerben ω paraméterrel kapjuk meg a Gauss Seidel-iterációt. Tudjuk, hogy Ax b x (D + L) Ux + (D + L) b. Innen a Jacobi-iteráció x k+ (D + L) U x }{{} k + (D + L) b }{{}. c átmenetmátrix A feladatunk, hogy meghatározzuk, hogy az A mátrixra felírt Gauss-Seidel-iteráció konvergense. Ehhez első lépésként az átmenetmátrixot kell kiszámítanunk. Tudjuk, hogy ahol, B S() (L + D) U A L + D + U + + Ezt felhasználva kapjuk meg a B S() mátrixot. B S() A konvergencia vizsgálatához először megpróbáljuk használni az elégséges feltételt. Elégséges feltétel: Ha valamely illeszkedő mátrixnormában az átmenetmátrixra B <, akkor x R n -ből indítva az iterációt, konvergens lesz az (x k ) iterációs sorozat. B S(), B S() B S() F Mivel nem találtunk olyan mátrixnormát, ami kisebb lenne egynél, ezért a szükséges és elégséges feltételt használjuk. Szükséges és elégséges feltétel: x R n -ből indított iteráció konvergens ρ(b) <, ahol ρ(b) max n i λ i a B mátrix spektrálsugara.
38 . Lineáris egyenletrendszer megoldásának iterációs módszerei A sajátértékek meghatározásához írjuk fel a karakterisztikus polinomot! λ det(b S() λi) λ λ (( ) λ ( λ ) ( λ )) ( λ λ + ) λ λ,, A sajátértékek segítségével kiszámoljuk a spektrálsugarat. ρ(b J() ) max{ λ, λ, λ } < Ezzel tehát beláttuk, hogy az A mátrixra felírt S() iteráció konvergens. Ha az átmenetmátrix spektrálsugara nulla, akkor véges iterációra számíthatunk, legfeljebb n lépésben konvergál. 7. A feladatunk, hogy meghatározzuk, hogy az A mátrixra felírt Gauss-Seidel-iteráció konvergense. Ehhez első lépésként az átmenetmátrixot kell kiszámítanunk. B S() (L + D) U A konvergencia vizsgálatához először megpróbáljuk az elégséges feltételt használni. Mivel a mátrixban találhatóak egynél nagyobb elemek is, ezért az elégséges feltétel nem teljesül. A szükséges és elégséges feltétellel kell próbálkoznunk. A sajátértékek meghatározásához írjuk fel a karakterisztikus polinomot! λ det(b S() λi) λ λ ( λ ( λ) ( ) λ ( λ + λ + λ + λ ) λ λ λ, ( ) ) ( ) λ λ Mivel találtunk egynél nagyobb sajátértéket, ezért a spektrálsugár is nagyobb lesz egynél. ρ(b J() ) max{ λ, λ, λ } >
39 .. Megoldások 9 Mint látható nem teljesül a szükséges és elégséges feltétel, ezért a konvergencia nem teljesül minden kezdővektorra!. A feladatunk, hogy meghatározzuk, hogy az A mátrixra felírt Gauss-Seidel-iteráció konvergense. Ehhez első lépésként az átmenetmátrixot kell kiszámítanunk. B S() (L + D) U 6 6 Mivel a mátrixban egynél nagyobb abszolút értékű elemek vannak, ezért az elégséges feltétel nem használható. A szükséges és elégséges feltétellel kell próbálkoznunk. A sajátértékek meghatározásához írjuk fel a karakterisztikus polinomot! det(b S() λi) λ λ 6 λ λ (( λ)( 6 λ) + ) λ( λ + 6λ + λ + ) λ λ + λ λ, ± Mivel találtunk egynél nagyobb sajátértéket, ezért a spektrálsugár is nagyobb lesz egynél. ρ(b J() ) max{ λ, λ, λ } + > Mint látható nem teljesül a szükséges és elégséges feltétel, ezért a konvergencia nem teljesül minden kezdővektorra. 9. A feladatunk, hogy meghatározzuk, hogy az A mátrixra felírt Gauss-Seidel-iteráció konvergense. Ehhez első lépésként az átmenetmátrixot kell kiszámítanunk. B S() (L + D) U Mivel a mátrixban egynél nagyobb abszolút értékű elemek vannak, ezért az elégséges feltétel nem használható. A szükséges és elégséges feltétellel kell próbálkoznunk. A sajátértékek
40 . Lineáris egyenletrendszer megoldásának iterációs módszerei meghatározásához írjuk fel a karakterisztikus polinomot! λ det(b S() λi) λ λ λ (( ) ( ) ( λ λ )) ( λ + λ λ + λ + ) λ λ λ, λ λ A sajátértékek segítségével az átmenetmátrix spektrálsugara kiszámítható. ρ(b J() ) max{ λ, λ, λ } < Mivel a spektrálsugár egynél kisebb, ezért az A mátrixra felírt S() iteráció konvergens minden kezdővektorra.. A feladatunk, hogy eldöntsük, az A mátrixra felírt Gauss-Seidel-iteráció konvergens-e. Ehhez első lépésként az átmenetmátrixot kell kiszámítanunk. B S() (L + D) U Mivel a mátrixban egynél nagyobb abszolút értékű elemek vannak, ezért az elégséges feltételt nem használhatjuk. A szükséges és elégséges feltételt kell alkalmaznunk. A sajátértékek meghatározásához írjuk fel a karakterisztikus polinomot! det(b S() λi) λ λ λ λ (( λ)( λ) ( ) )) λ( 6 + λ λ + λ + 6) λ λ,, A sajátértékek segítségével az átmenetmátrix spektrálsugara kiszámítható. ρ(b J() ) max{ λ, λ, λ } < Ha az átmenetmátrix spektrálsugara nulla, akkor véges iterációra számíthatunk, legfeljebb n lépésben konvergál.
41 .. Megoldások. A feladatunk, hogy eldöntsük, az A mátrixra felírt Gauss-Seidel-iteráció konvergens-e. Ehhez első lépésként az átmenetmátrixot kell kiszámítanunk. B S() (L + D) U Mivel a mátrixban vannak egy abszolútértékű elemek, ezért az elégséges feltételt nem használhatjuk. A szükséges és elégséges feltételt kell alkalmaznunk. A sajátértékek meghatározásához írjuk fel a karakterisztikus polinomot! det(b S() λi) λ λ λ λ(λ ) λ λ,, Mivel az átmenetmátrix felsőháromszög alakú és diagonálisában nullák vannak, ezért ránézésre is látszik, hogy a nulla háromszoros sajátértéke. Az átmenetmátrix spektrálsugara így nulla. ρ(b J() ) max{ λ, λ, λ } < Ha az átmenetmátrix spektrálsugara nulla, akkor véges iterációra számíthatunk, legfeljebb n lépésben konvergál. Ahhoz, hogy kiszámoljuk az első három lépést, alkalmas x -t kell választanunk. Mivel bármilyen x -ra konvergens, ezért a legegyszerűbb megoldás az x [ ] T vektor. Tudjuk, hogy Ax b x (D + L) Ux + (D + L) b. Innen a Gauss-Seidel-iteráció x k+ (D + L) U x }{{} k + (D + L) b. }{{} átmenetmátrix c Ezt felhasználva, el tudjuk végezni az iteráció első három lépését.. lépés:. lépés: x (L + D) U x + (L + D) b B S() + c c x (L + D) U x + (L + D) b B S() x + c +
42 . Lineáris egyenletrendszer megoldásának iterációs módszerei. lépés: x (L + D) U x + (L + D) b B S() x + c + Mint látható, az iteráció a. lépéstől kezdve ugyanazt a vektort adja. Ez az x (D + L) Ux + (D + L) b fixpontegyenlet- illetve a vele ekvivalens Ax b lineáris egyenletrendszer megoldása. A továbbiakban megmutatjuk, hogy az iteráció az átmenetmátrix meghatározása nélkül is elvégezhető, vagyis nincs szükség mátrix invertálásra az iterációs lépések számításához. Ehhez az iterációt szorozzuk meg balról (D + L)-el, majd rendezzük át a következőképpen. Koordinátákkal felírva x k+ (D + L) U x k + (D + L) b (D + L) x k+ U x k + b x (k+) i a ii D x k+ L x k+ U x k + b x k+ D (L x k+ + U x k b) i j a ij x (k+) j + n ji+ a ij x (k) j b i, i,..., n. A képletből látszik, hogy a következő koordináta közelítéséhez a már kiszámított új koordinátát használjuk. -as mátrix esetén az alakja x () ( ) a x () + a x () b a x () ( ) a x () + a x () b a x () ( ) a x () + a x () b. a Alkalmazzuk ebben az alakban a konkrét iterációt!. lépés: x () ( ) x () + x () ( + ) x () ( ) x () x () ( ) x () ( ) x () + x () ( + ). lépés: ( ( x () x () x () x () + x () x () x () ( x () + x () ) ( ) ) ( ( ) ) ) ( + )
43 .. Megoldások. lépés: ( ( x () x () x () x () + x () x () x () ( x () + x () ) ( + ( ) ) ) ( ( ) ) ) ( + ) Látjuk, hogy a korábbi számolással egyező eredményt kaptunk.. Meg kell vizsgálnunk, hogy az A mátrixra felírt Gauss-Seidel-iteráció konvergens-e. Ehhez első lépésként az átmenetmátrixot kell kiszámítanunk. B S() (L + D) U A konvergencia bizonyításához az elégséges feltételt alkalmazzuk. B S() 6 < A kapott eredmény egynél kisebb, tehát a Gauss-Seidel-iterációval mindig konvergens sorozatot kapunk. Ahhoz, hogy kiszámoljuk az első lépést, alkalmas x -t kell választanunk. Mivel bármilyen x jó, ezért a legegyszerűbb megoldás az x [ ] T vektor. Az x k+ (L + D) U x k + (L + D) b sorozattal tudjuk az iteráció lépéseit kiszámolni. Ezt felhasználva végezzük el az iteráció első két lépését!. lépés:. lépés: x (L + D) U x + (L + D) b B S() + c c x (L + D) U x + (L + D) b B S() x + c
44 . Lineáris egyenletrendszer megoldásának iterációs módszerei Végezzük el a két lépést az előző feladatban ismertetett módon, az átmenetmátrix felhasználása nélkül is! A következő koordináta közelítéséhez a már kiszámított új koordinátát használjuk.. lépés: ( x () + x () x () x () ( x () x () 6 x () ( ) x () x () ) ( + ) ) ( ) 6 ( ) 9. lépés: x () ( ) x () + x () x () ( ) x () x () 6 x () ( ) x () x () ( ( 9 ) + ) 9 6 ( ) Látjuk, hogy a korábbi számolással egyező eredményt kaptunk. Ez a megoldás akkor előnyös, ha nem kell kiszámolni az átmenetmátrixot. Ha csak konvergenciát kellett volna a feladatban bizonyítani, azt megtehettük volna az átmenetmátrix nélkül is, hiszen a Gauss Seidel-iteráció konvergencia tétele szimmetrikus, pozitív definit mátrixok esetén (a konkrét A ilyen) garantálja a konvergenciát. Utolsó feladatunk, hogy kiszámoljuk a lépésszámot a pontosság eléréséhez. (q 6 a kontrakciós együttható, a B S() mátrix. normája.) x k x qk q x x ( ) k ( ) k ( ) k ( ) 6 k 6 ( ) 6 lg k lg lg ( 6 ) lg ( ) 6 6, 6 k ( ) 6 Mint látható k 7 iterációs lépés elvégzése után elérjük a pontosságot.. A feladat megoldásához először azt kell megvizsgálnunk, hogy x R -ből indítva az
45 .. Megoldások iterációt, konvergens-e. Ehhez ki kell számolnunk az átmenetmátrixot. B S() (L + D) U A konvergencia vizsgálatához az elégséges feltételt alkalmazzuk. B S() 6 < A kapott eredmény egynél kisebb, tehát teljesül a konvergencia. Az első lépés kiszámolásához, alkalmas x -t kell választanunk. Mivel bármilyen x alaklmas, ezért a legegyszerűbb megoldás az x [ ] T vektor. Az x k+ (L + D) U x k + (L + D) b sorozattal tudjuk az iteráció lépéseit kiszámolni. Végezzük el az iteráció első két lépését!. lépés:. lépés: x (L + D) U x + (L + D) b B S() + c c 6 6 x (L + D) U x + (L + D) b B S() x + c Utolsó feladatunk, hogy kiszámoljuk a lépésszámot a pontosság eléréséhez. (q 6 a kontrakciós együttható, a B S() mátrix. normája.) x k x ( ) k 6 6 ( ) k ) k 6 ( 6 ( ) lg lg ( ) lg ( ) 6, 6 k ( ) 6 k k lg ( ) 6
46 6. Lineáris egyenletrendszer megoldásának iterációs módszerei Látható, hogy k iterációs lépés elvégzése után elérjük a pontosságot.. A feladat megoldásához először azt kell megvizsgálnunk, hogy x R -ből indítva az iterációt, konvergens lesz-e. Ehhez ki kell számolnunk az átmenetmátrixot. Alkalmazhatjuk az elégséges feltételt. B S() (L + D) U B S() < Az átmenetmátrix normája egynél kisebb, tehát teljesül a konvergencia. Az első lépés kiszámolásához, alkalmas x -t választunk. Mivel bármilyen x -ra konvergens az iteráció, ezért a legegyszerűbb megoldás az x [ ] T vektor. Az x k+ (L + D) U x k + (L + D) b sorozattal tudjuk az iteráció lépéseit kiszámolni.. lépés:. lépés: x (L + D) U x + (L + D) b B S() + c c 6 6 x (L + D) U x + (L + D) b B S() x + c Utolsó feladatunk, hogy kiszámoljuk a lépésszámot a pontosság eléréséhez. (q a kontrakciós együttható, a B S() mátrix. normája.) x k x qk q x x
47 .. Megoldások 7 ( ) k ( ) k ( ) k ( ) 7 lg lg ( 7 ) lg ( ), k ( ) k k lg ( ) Tehát k iterációs lépés elvégzése után elérjük a pontosságot!. A feladat megoldásához először azt kell megvizsgálnunk, hogy x R -ből indítva az iterációt, konvergens lesz-e. Ehhez ki kell számolnunk az átmenetmátrixot. Alkalmazhatjuk az elégséges feltételt. B S() (L + D) U B S() < Az átmenetmátrix normája egynél kisebb, tehát teljesül a konvergencia. Az első lépés kiszámolásához, alkalmas x -t választunk. Mivel bármilyen x -ra konvergens az iteráció, ezért a legegyszerűbb megoldás az x [ ] T vektor. Az x k+ (L + D) U x k + (L + D) b sorozattal tudjuk az iteráció lépéseit kiszámolni.. lépés:. lépés: x (L + D) U x + (L + D) b B S() + c c 7 x (L + D) U x + (L + D) b B S() x + c
48 . Lineáris egyenletrendszer megoldásának iterációs módszerei Utolsó feladatunk, hogy kiszámoljuk a lépésszámot a pontosság eléréséhez. (q a kontrakciós együttható, a B S() mátrix. normája.) x k x qk q x x ( ) k 7 ( ) k ( ) k ( ) lg lg ( ) lg ( ), 9 k ( ) k k lg ( ) Tehát k iterációs lépés elvégzése után elérjük a pontosságot!... Paraméteres iterációk: csillapított Jacobi-iteráció és a relaxációs módszer 6. A feladatunk, hogy megállapítsuk, hogy a csillapított Jacobi-iteráció milyen ω esetén lesz konvergens. A módszer képletét a következőképpen származtathatjuk. Ax b ωx ωd (L + U)x + D b ( ω)x + ωx ( ω)x ωd (L + U)x + D b x ( ( ω)i ωd (L + U) ) x + D b A kapott fixpontegyenletből felírhatjuk az iteráció képletét. B J(ω) {}}{ x k+ (( ω)i ω D (L + U) ) x }{{} k + ωd b B J() Mint látható a képletben megtalálható a B J() mátrix is, mely a Jacobi-iteráció átmenetmátrixa. Azt is észrevehetjük, hogy a képletben az ω választással visszakapjuk az egyszerű Jacobi-iteráció képletét. Ahhoz, hogy megállapítsuk, pontosan melyek azok az ω-k, melyekre konvergens a módszer, a szükséges és elégséges feltételt kell alkalmaznunk. Szükséges és elégséges feltétel: x R n -ből indítva az iterációt konvergens lesz pontosan akkor, ha ρ(b) <, ahol ρ(b) max n i λ i a B mátrix spektrálsugara. A feltétel alkalmazásához ki kell számítanunk a B J(ω) mátrixot. Először azonban érdemes
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. Tantárgy kódja: IP-08bNM1E, IP-08bNM1G (2+2) Az elsajátítandó ismeretanyag rövid leírása: A lebegıpontos számábrázolás egy modellje. A hibaszámítás elemei. Lineáris egyenletrendszerek
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
RészletesebbenTáblán. Numerikus módszerek 1. előadás (estis), 2017/2018 ősz. Lócsi Levente. Frissült: december 1.
Táblán Numerikus módszerek 1. előadás (estis), 2017/2018 ősz Lócsi Levente Frissült: 2017. december 1. Ebben az írásban a 2017/2018 őszi félév estis Numerikus módszerek 1. előadásának a diasorban nem szereplő,
Részletesebben1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenNumerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok
Numerikus matematika Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, 2007 Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek Legkisebb négyzetes
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
RészletesebbenTétel: Ha,, akkor az ábrázolt szám hibája:
1. A lebegpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl) fogalma,
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat, 2009/10. I. félév, A. csoport, MEGOLDÁSOK
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat, 9/. I. félév, A. csoport, MEGOLDÁSOK. Feladat. Az a. választás mellett A /( a) értéke.486. Határozzuk meg mi is A értékét egy tizes számrendszerű, hatjegyű mantisszás
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Alapvető iterációs eljárások lineáris egyenletrendszerek megoldására Szakdolgozat Ruzsics László Matematika B.Sc., elemző szakirány Témavezető: Kurics
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
Részletesebben1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
RészletesebbenNumerikus Analízis. Király Balázs 2014.
Numerikus Analízis Király Balázs 2014. 2 Tartalomjegyzék 1. A hibaszámítás elemei 7 1.1. A matematika modellezés folyamata és a hibaforrások megjelenése.. 7 1.2. Lebegőpontos számábrázolás.......................
RészletesebbenNumerikus módszerek példatár
Numerikus módszerek példatár Faragó István, Fekete Imre, Horváth Róbert 2013. július 5. Tartalomjegyzék Előszó 2 Feladatok 4 1. Előismeretek 4 1.1. Képletek, összefüggések............................ 4
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Részletesebbenalakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha ,, és. ( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: Gépi számhalmaz:
1. A lebegőpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegőpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl)
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
RészletesebbenLineáris algebra és mátrixok alkalmazásai
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Lineáris algebra és mátrixok alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Ruzsányi Orsolya Matematika BSc, matematikai elemző szakirány Témavezető: Fialowski
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenTartalomjegyzék 1 BEVEZETÉS 2
Tartalomjegyzék BEVEZETÉS FELADATOK. Lebegőpontos számok.............................. Normák, kondíciószámok........................... 5. Lineáris egyenletredszerek megoldása, mátrixok felbontása........
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK 2013. szeptember 23. Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval
RészletesebbenNormák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
Részletesebben9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz
9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz. Mindkét eliminációs módszer műveletigénye sokkal kisebb, mint a Cramer-szabályé:
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenLineáris algebrai egyenletrendszerek direkt és iterációs megoldási módszerei
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Lineáris algebrai egyenletrendszerek direkt és iterációs megoldási módszerei BSc Szakdolgozat Készítette: Laki Annamária Matematika BSc Matematikai
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
Részletesebben1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenLegkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 10. gyakorlat Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenKÖZELÍTŐ ÉS SZIMBOLIKUS SZÁMÍTÁSOK FELADATGYŰJTEMÉNY
Írta: MIHÁLYKÓ CSABA VIRÁGH JÁNOS KÖZELÍTŐ ÉS SZIMBOLIKUS SZÁMÍTÁSOK FELADATGYŰJTEMÉNY Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Dr. Mihálykó Csaba, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika
Részletesebbeni=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i
Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
RészletesebbenLineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 014. január 19. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Bevezetés Szükségünk van a komplex elemű mátrixok és vektorok bevezetésére. A komplex elemű n-dimenziós oszlopvektorok halmazát C n -el jelöljük. Hasonlóképpen az m n méretű komplex elemű mátrixok halmazát
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenII. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés
II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
Részletesebbenegyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenNumerikus módszerek példatár
Numerikus módszerek példatár Faragó István, Fekete Imre, Horváth Róbert 2013. június Tartalomjegyzék El szó 5 Feladatok 9 1. El ismeretek 9 1.1. Képletek, összefüggések............................ 9 1.2.
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRAI EGYENLETRENDSZEREK
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR LINEÁRIS ALGEBRAI EGYENLETRENDSZEREK DIREKT ÉS ITERATÍV MEGOLDÁSI MÓDSZEREI BSc szakdolgozat Készítette: Várhegyi Bence Matematika BSc Matematikai elemző
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
Részletesebbenazonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i
A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben