Numerikus Analízis. Király Balázs 2014.
|
|
- Győző Dudás
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Numerikus Analízis Király Balázs 2014.
2 2
3 Tartalomjegyzék 1. A hibaszámítás elemei A matematika modellezés folyamata és a hibaforrások megjelenése Lebegőpontos számábrázolás Hibaszámítás Lineáris egyenletrendszerek direkt megoldási módszerei Lineáris algebrából tanult tételek LER megoldása Gauss-eliminációval (GE) GE műveletigénye GE alkalmazásai GE felírása mátrix szorzásokkal LU-felbontás (Trianguláris-felbontás) L és U elemeinek meghatározása: Az LU-felbontás műveletigénye Megmaradási tételek Az LDU-felbontás Az Cholesky-felbontás A Cholesky-felbontás előállítása QR-felbontás (Ortogonális felbontás) QR-felbontás alkalmazása LER megoldására Gram-Schmidt ortogonalizáció QR-felbontás Householder transzformációval Mátrix- és vektornormák Lineáris egyenletrendszer érzékenysége (kondícionáltsága) Lineáris egyenletrendszer megoldásának iterációs módszerei Speciális iterációs módszerek Jacobi-iteráció: J (1) Csillapított Jacobi-iteráció:J (ω) Gauss-Seidel iteráció:s(1) Gauss-Seidel relaxáció: S(ω) Richardson-típusú iteráció: A kerekítési hibák hatása az iterációkra Nemlineáris egyenletek megoldása Az intervallum-felezési eljárás Egyszerű iteráció
4 4 TARTALOMJEGYZÉK 6.3. Newton-módszer Húrmódszer Szelőmódszer Polinomegyenletek megoldása Horner algoritmus Interpoláció Lagrange-interpoláció Newton-interpoláció A Csebisev polinomok Inverz interpoláció Hermite interpoláció Az Hermite-interpoláció speciális esetei Az Hermite interpolációs polinom felírása Spline függvények Spline függvények előállítás Általánosított inverz Az általánosított inverz előállítása Rang-faktorizáció Általánosított megoldás Szinguláris felbontás Legkisebb négyzetek módszere Legkisebb négyzetek módszerének bevezetése többváltozós szélsőérték feladatként Approximáció Hilbert-térben Numerikus integrálás Interpolációs kvadratúra formulák Newton-Cotes formulák Klasszikus kvadratúra-formulák Csebisev-típusú kvadratúrák Gauss-típusú kvadratúrák Gauss-típusú kvadratúrák előállítása Vizsgakérdések Definíciók, Tételek Bizonyítások, Algoritmusok, Levezetések Vizsgakérdések, Numerikus analízis Definíciók, Tételek Bizonyítások, Algoritmusok, Levezetések
5 Előszó Jelen jegyzet a Programtervező Informatikus BSc képzés Numerikus Analízis tárgyának tematikáját öleli fel. A jegyzet fejezetei megfelelnek egy-egy előadás anyagának. A tantárgy tematikája és a jegyzet is Dr. Krebsz Anna tanárnő által tartott kétféléves numerikus analízis tárgy alapján készült. Várható menetrend 1.ea A hibaszámítás elemei 1.gyak A hibaszámítás elemei 2.ea A LER-ek direkt megoldási módszerei 2.gyak A LER-ek direkt megoldási módszerei 3.ea A Vektor- és mátrix normák 3.gyak Vektor- és mátrix normák 4.ea A LER-ek iterációs megoldási módszerei I. 4.gyak LER-ek iterációs megoldási módszerei I. 5.ea A LER-ek iterációs megoldási módszerei II. 5.gyak A LER-ek iterációs megoldási módszerei II. 6.ea Nem-lineáris egyenletek 6.gyak Nem-lineáris egyenletek 7.ea Gyakorlás 7.gyak I. Zárthelyi Dolgozat 8.ea Polinom interpoláció 8.gyak Elmarad (nemzeti ünn.) 9.ea Hermite-interpoláció, Inverz-interploáció 9.gyak Interpoláció 10.ea Spline-függvények 10.gyak Spline-függvények 11.ea Legkisebb négyzetek módszere 11.gyak Spline-függvények II. 12.ea Numerikus integrálás 12.gyak Legkisebb négyzetek módszere 13.ea Csebisev-típusú kvadratúrák 13.gyak Numerikus integrálás 14.ea Gyakorlás 14.gyak II. Zárthelyi Dolgozat 5
6 6 TARTALOMJEGYZÉK
7 1. fejezet A hibaszámítás elemei 1.1. A matematika modellezés folyamata és a hibaforrások megjelenése ❶ A valóság egy részét vizsgálva igyekszünk a jelenséget matematikailag leírni, egy lehetséges matematikai modellt megalkotni. Ez általában a természettudományokban dolgozó szakember feladata a rendelkezésre álló törvények, elvek felhasználásával. modellhiba: a valóságot csak közelíteni tudjuk. ❷ A modell pontos megoldása gyakran nem állítható elő véges lépésben, közelítő módszerekre van szükségünk. képlethiba: a végtelen eljárást véges sok lépés után leállítjuk. ❸ A model bemenő paraméterei általában mérési adatok, azaz pontatlanok. mérési (vagy öröklött) hiba ❹ A közelítő módszer bemenő illetve kimenő adatait véges aritmetikában ábrázoljuk. input hiba ❺ A véges aritmetikában való számolás során kerekítés, túl- illetve alulcsordulás léphet fel műveleti (kerekítési) hiba ❻ A megvalósított közelítő módszert teszteljük, majd elvégezzük a konkrét számolást. Ha a kapott eredmény nem felel meg a valóságnak, akkor kezdjük előről a modell finomításával. 1. Definíció. A numerikus algoritmus aritmetikai és logikai műveletek véges sorozata. Definíció. A numerikus algoritmus stabil, ha a bemenő adatok kis változtatása a megoldásban is csak kis változást okoz Lebegőpontos számábrázolás 2. Definíció. Legyen m = t m i 2 i, (*) i=1 7
8 8 1. FEJEZET. A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI ahol t N, m 1 = 1 és m i {0; 1}, (i = 2,3,... ). Ekkor az a = ±m 2 k, k Z alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezzük. m: a szám mantisszája, melynek hossza t, k : a a szám karakterisztikája, k k k + korlátokkal Jelölés: M = M(t, k, k + ) = {a = ±m 2 k k k k +, k Z és m : mint (i)} Következmények: 1 1 m < M a 0-ra szimmetrikus 3 M-ben a legnagyobb szám M = +[ k + ] = (1 2 t ) 2 k+ 4 M-ben a legkisebb pozitív szám ε 0 = +[ k ] = 1 2 2k = 2 k 1 5 Az egynél nagyobb legkisebb gépi szám és az egy különbsége ε 1 = [ ] [ ] = 2 t 2 = 2 t+1 A gép relatív pontosságát mutatja, gépi epszilonnak is szokás nevezni. Definíció. Az f l: R M függvényt kerekítésnek, vagy input függvénynek nevezzük, ha Nem értelmezett, vagy, ha x M 0 fl(x) = 0, ha x ε 0 az x-hez legközelebbi gépi szám, haε 0 x M 0 Tétel. x R, x < M esetén { ε0,ha x < ε x fl(x) 0 x 2 t,ha x ε 0 a relatív hibára pedig x fl(x) x azaz csak a mantissza hosszától függ. 2 t = 1 2 ε 1, Megjegyzés: Az M-beli alapműveletek is más tulajdonságúak., A normalizált számokat a nagyobb karakterisztikájunak megfelelően átalakítjuk. Az egyező karakterisztika mellett a mantisszákat összeadjuk/kivonjuk. Átmenetileg nem normalizált számot kapunk. Normalizálunk.
9 1.3. HIBASZÁMÍTÁS 9 Furcsaságok: 1 a b = a [1100 1] [1000 3] [0000 1] [1100 1] 2 (a b) c a (b c) b = a = [1100 1] c = [1000 3] i) a b = a (a b) c = a b = a ii) b b a (b b) [1000 3] [1000 3] 1 [0000 3] = [1000 2] [1000 1] [1000 2] [0001 1] [1001 1] 3 Kivonási jegyveszteség: (Közeli számok kivonása esetén a relatív pontosság rosszabb lesz.) [ ] [ ] [ ] = [ ] Az 5 jegyből csak 2 értékes tizedes jegy, a többi csak helytöltő 0. 4 A részeredmény nem ábrázolható, de az eredmény igen. a 2 +b 2, ahol S = = max{ a, b } nagy. Ekkor ( ) 2 ( ) 2 a b S + S S alakban számolunk Hibaszámítás Definíció. Legyen A, B pontos érték; a, b a megfelelő közelítő értékek. a = A a: a közelítő érték hibája, a = A a : a közelítő érték abszolút hibája, a a : az a egy abszolút hiba korlátja, δa = a a : az a relatív hibája, A a δ a δa : az a egy relatív hiba korlátja. Tétel. Az alapműveletek abszolút és relatív hibakorlátjaira: a±b = a + b a b = b ( a + a ) b a = a a + b b b a b = b a+ a b b 2 = δ a b δ a±b = a δ a±b a + b δ a±b b δ a b = δ a +δ b = δ a +δ b
10 10 1. FEJEZET. A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI Bizonyítás. Kivonás és szorzás esetén az állításokat igazoljuk, a többi állítást az olvasóra bízzuk. Kivonás: Tegyük fel, hogy A, B azonos előjelű. (a b) = (A B) (a b) = (A a)+(b b) = a+ b (a b) = a+ b a + b a + b = a b (a b) = a a b a b + b a b = a δa a b + b δb a b (a b) a δa a b a b δ b = δ a b a b a b + b δb a b a b δ a + Ha a b kicsi, akkor a relatív hiba nagy lehet. Szorzás: Tegyük fel, hogy A, B azonos nagyságrendűek. (a b) = A B a b = A B A b+a b a b = A(B b)+b(a a) = = (a+ a) b+b a a b+b a mert a b kicsi (a b) a b + b a a b + b a = a b (a b) a b (a b) a b a b+b a a b δa + δb δ a +δ b = δ a b = b b + a a = δa+δb Tétel. Ha f C 1 (k(a)), akkor f(a) = M 1 a, ahol M 1 = max{ f (ξ) : ξ k(a)}. Bizonyítás. A Lagrange-féle középérték tétel segítségével: f(a) = f(a) f(a) = f (ξ) (A a) = f (ξ) a ξ k(a) f(a) = f (ξ) a M 1 a = f(a) Tétel. Ha f C 2 (k(a)), akkor f(a) = f (a) a + M a, ahol M 2 = max{ f (ξ) : ξ k(a)}. Bizonyítás. A Taylor-formulából f(a) = f(a)+f (a)(a a)+ f (ξ) (A a) 2 2 f(a) = f(a) f(a) = f (a) a+ f (ξ) (A a) 2 2 f(a) f (a) a + M 2 2 a 2 f (a) a + M a Következmény: A függvényérték relatív hibája mennyiséget az f függvény a pontbeli kondí- Definíció. A c(f, a) = a f (a) f(a) ciószámának nevezzük. f(a) f(a) f (a) a = a f (a) δ a = δ f(a). f(a) f(a)
11 11. fejezet Vizsgakérdések Definíciók, Tételek 1. Írja le a matematikai modellezés (kör)folyamatát és a megjelenő hibákat! 5p 2. Definiálja a numerikus algoritmus fogalmát! 1p 3. Definiálja a normalizált lebegőpontos számot! 3p 4. Definiálja az input-függvényt! 2p 5. Mondja ki a lebegőpontos szám abszolút és relatív hibájára vonatkozó tételt! 2p 6. Mondja ki az összeadás abszolút hibájára vonatkozó tételt! 1p 7. Mondja ki a kivonás abszolút hibájára vonatkozó tételt! 1p 8. Mondja ki a szorzásás abszolút hibájára vonatkozó tételt! 1p 9. Mondja ki az osztás abszolút hibájára vonatkozó tételt! 1p 10. Mondja ki az összeadás relatív hibájára vonatkozó tételt! 1p 11. Mondja ki a kivonás relatív hibájára vonatkozó tételt! 1p 12. Mondja ki a szorzásás relatív hibájára vonatkozó tételt! 1p 13. Mondja ki az osztás relatív hibájára vonatkozó tételt! 1p 14. Mondja ki az alapműveletek abszolút hibáira vonatkozó tételt! 4p 15. Mondja ki az alapműveletek relatív hibáira vonatkozó tételt! 4p 16. Mondja ki a függvényérték abszolút hibájáról szóló tételeket (2db)! 4p 17. Mondja ki a függvényérték relatív hibájáról szóló tételt (következmény)! 2p 18. Definiálja az intervallumfelezési eljárást, írja le hibabecslést is! 1p 19. Írja le Gauss-elimináció során a k-adik mátrix kiszámításának képletét! 4p 20. Írja le Gauss-elimináció során a visszahelyettesítés képletét! 2p 87
12 FEJEZET. VIZSGAKÉRDÉSEK 21. Definiálja a Részleges- és a teljes főelem kiválasztás módszerét! 2p 22. LU-felbontás során L és U mátrixok elemeinek meghatározása (képlet elég). 4p 23. LU-felbontás során választható számolási sorrendek (nem csak az elnevezés). 3p 24. Definiálja a mátrix Schur-komplementerét! 2p 25. Mondja ki a GE-ra ill. az LU-felbontásra vonatkozó megmaradási tételeket! 5p 26. Cholesky-felbontás. 1p 27. Tétel a Cholesky-felbontás létezéséről. 1p 28. Ortogonális mátrix definíciója. 1p 29. Ortogonális mátrix tulajdonságai.(4db) 2p 30. Householder-mátrix definíciója. 1p 31. Householder-mátrix tulajdonságai.(4db) 2p 32. Vektornorma definíciója. 2p 33. Példák vektornormára.(3db) 1p 34. Vektornormák ekvivalenciája. 1p 35. Mátrixnorma definíciója. 2p 36. Példák mátrixnormára.(3db) 1p 37. Indukált mátrixnorma definíciója. 1p 38. Az 1-es, 2-es és vektornorma által indukált mátrixnorma előállítása. 3p 39. Froebenius mátrixnorma definíciója. 1p 40. LER-ek érzékenységéről szóló két tétel. 4p 41. Mondja ki a fixpont tételt R n -ben! 3p 42. Kontrakció fogalma. 1p 43. LER iterációs megoldása során a konvergencia elégséges feltétele. 1p 44. LER iterációs megoldása során a konvergencia szükséges és elégséges feltétele. 1p 45. Jacobi-iteráció vektoros és koordinátás alakja. 3p 46. Tétel a Jacobi-iteráció konvergenciájáról. 1p 47. Csillapított Jacobi-iteráció vektoros és koordinátás alakja. 3p 48. Tétel a csillapított Jacobi-iteráció konvergenciájáról. 1p 49. Gauss-Seidel-iteráció vektoros és koordinátás alakja. 3p
13 11.1. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Gauss-Seidel-relaxáció vektoros és koordinátás alakja. 3p 51. Tétel a Gauss-Seidel-relaxáció és a Gauss-Seidel-iteráció konvergenciájénak kapcsolatáról. 1p 52. Tétel a Gauss-Seidel-relaxáció optimális paraméteréről. 2p 53. Richardson-iteráció vektoros alakja. 1p 54. Tétel a Richardson-iteráció konvergenciájáról. 3p 55. Mondja ki a Banach-féle fixpont tételt R-ben! 3p 56. Írja le a Newton-módszer rekurzióját! 2p 57. Mondja ki a Newton módszer monoton konvergencia tételét! 2p 58. Mondja ki a Newton módszer lokális konvergencia tételét! 2p 59. Írja le a húr-módszer rekurzióját! 2p 60. Írja le a szelő-módszer rekurzióját! 2p 61. Mondja ki a szelő-módszer konvergencia tételét! 2p 62. Mondja ki a Polinomok gyökeinek becslésére tanult tételt! 2p 63. Írja fel a Horner-algoritmust és azt is mire alkalmazható! 3p 64. Definiálja az interpoláció alapfeladatát! 3p 65. Definiálja a Lagrange-féle alappolinomokat! 2p 66. Mondja ki a Lagrange-féle alappolinomok tlajdonságairól szóló tételt! 3p 67. Mondja ki a Lagrange-interpoláció hibájáról szóló tételt! 2p 68. Definiálja az osztott differenciákat! 3p 69. Mondja ki a Newton-interpoláció hibájáról szóló tételt! 2p 70. Írja le az inverz interpoláció módszerét és azt is, mire alkalmazható! 3p 71. Definiálja az Hermite-interpoláció alapfeladatát! 3p 72. Mondja ki az Hermite-interpoláció hibájáról szóló tételt! 2p 73. Definiálja az azonos alappontokhoz tartozó osztott differenciákat! 2p 74. Definiálja az l-edfokú spline-függvényt! 2p 75. Írja fel a lineáris B-spline függvényt! 2p 76. Írja fel a kvadratikus B-spline függvényt! 2p 77. Írja fel a köbös B-spline függvényt! 2p
14 FEJEZET. VIZSGAKÉRDÉSEK 78. Mondja ki az interpolációs köbös spline hibájáról szóló tételt! 3p 79. Definiálja a Moore-Penrose-féle általánosított inverzet! 2p 80. Sorolja fel az általánosított inverz tulajdonságait! (8 db) 4p 81. Írja le, hogyan lehet kiszámítani a Moore-Penrose-féle általánosított inverzet alulhatározott teljesrangú esetben! 2p 82. Írja le, hogyan lehet kiszámítani a Moore-Penrose-féle általánosított inverzet túlhatározott teljesrangú esetben! 2p 83. Mit ért rangfaktorizáció alatt? 2p 84. Írja le, hogyan lehet kiszámítani a Moore-Penrose-féle általánosított inverzet nemteljesrangú esetben! 2p 85. Definiálja a LER általánosított megoldását! 2p 86. Mondja ki a LER általánosított megoldásának approximációs tulajdonságáról szóló tételt! 3p 87. Definiálja a legkisebb négyzetek módszerének alapfeladatát! 3p 88. Írja fel a hogyan számíthatók ki a négyzetesen legjobban közelítő polinom együtthatói! 3p 89. Írja fel, hogyan állítható elő az altérre vett merőleges vetület az altér egy ortonormált bázisának ismeretében! 2p 90. Írja fel, hogyan állítható elő az altérre vett merőleges vetület az altér egy tetszőleges bázisának ismeretében! 2p 91. Az altérre vett merőleges vetület minimum tulajdonsága! 2p 92. Mit ért kvadratúra formula alatt? 1p 93. Mit ért interpolációs típusú kvadratúra formula alatt? 2p 94. Mondja ki a Newton-Cotes együtthatók tulajdonságairól szóló tételt! 2p 95. Írja fel a téglalap formulát! 2p 96. Írja fel a trapéz formulát! 2p 97. Írja fel a Simpson formulát! 2p 98. Írja fel az összetett téglalap formulát! 2p 99. Írja fel az összetett trapéz formulát! 2p 100. Írja fel az összetett Simpson formulát! 2p 101. Mondja ki a klasszikus kvadratúra formulák hibatételeit! 3p 102. Mondja ki a klasszikus összetett formulák hibatételeit! 3p
15 11.2. BIZONYÍTÁSOK, ALGORITMUSOK, LEVEZETÉSEK Definiálja a Csebisev-típusú kvadratúra formulát! 2p 104. Definiálja a Gauss-típusú kvadratúra formulát! 2p 105. Mondja ki a Gauss-típusú kvadratúra formulhibatételét! 3p Bizonyítások, Algoritmusok, Levezetések 1. Mondja ki a lebegőpontos szám abszolút és relatív hibájára vonatkozó tételt! 6p 2. Mondja ki és bizonyítsa az összeadás abszolút hibájára vonatkozó tételt! 6p 3. Mondja ki és bizonyítsa a kivonás abszolút hibájára vonatkozó tételt! 6p 4. Mondja ki és bizonyítsa a szorzásás abszolút hibájára vonatkozó tételt! 6p 5. Mondja ki és bizonyítsa az osztás abszolút hibájára vonatkozó tételt! 6p 6. Mondja ki és bizonyítsa az összeadás relatív hibájára vonatkozó tételt! 6p 7. Mondja ki és bizonyítsa a kivonás relatív hibájára vonatkozó tételt! 6p 8. Mondja ki és bizonyítsa a szorzásás relatív hibájára vonatkozó tételt! 6p 9. Mondja ki és bizonyítsa az osztás relatív hibájára vonatkozó tételt! 6p 10. Mondja ki és bizonyítsa a GE műveletigényét! 6p 11. LU-felbontás GE segítségével (L i mátrixok használata). 8p 12. Mondja ki és bizonyítsa az LU-felbontás egyértelműségéről szóló tételt! 6p 13. Mondja ki és bizonyítsa a LU-felbontás műveletigényét! 4p 14. LDU-felbontás levezetése az LU-felbontás ismeretében. 4p 15. Cholesky-felbontás levezetése az LDU-felbontás ismeretében. 4p 16. Cholesky-felbontás mátrixainak közvetlen számolása. 3p 17. QR-felbontás mátrixainak számolása Gramm-Schmidt ortogonalizációval. 5p 18. Householder-mátrix tulajdonságainak bizonyítása.(4db) 4p 19. Householder-algoritmus. 3p 20. LER megoldása Householder-transzformációval. 2p 21. Az indukált mátrixnormáról szóló tétel bizonyítása. 3p 22. Igazolja az 1-es mátrixnorma előállítását! 5p 23. Igazolja a 2-es mátrixnorma előállítását! 8p 24. Igazolja a mátrixnorma előállítását! 5p
16 FEJEZET. VIZSGAKÉRDÉSEK 25. LER-ek érzékenységéről szóló tétel bizonyítása. 8p 26. LER iterációs megoldása során a konvergencia elégséges feltételének bizonyítása. 3p 27. Jacobi-iteráció vektoros alakjának levezetése. 5p 28. Jacobi-iteráció koordinátás alakjának levezetése. 5p 29. Csillapított Jacobi-iteráció vektoros alakjának levezetése. 5p 30. Gauss-Seidel-iteráció vektoros alakjának levezetése. 5p 31. Gauss-Seidel-iteráció koordinátás alakjának levezetése. 5p 32. Gauss-Seidel-relaxáció vektoros alakjának levezetése. 5p 33. A Richardson-iteráció konvergenciájáról szóló tétel bizonyítása. 3p 34. A kerekítési hibák hatása az iterációkra (levezetés). 4p 35. Definiálja az intervallumfelezési eljárást, írja le hibabecslést is! 4p 36. Mondja ki és bizonyítsa a tanult elégséges feltételt arra, hogy egy ϕ leképezés kontrakció! 4p 37. Mondja ki és bizonyítsa a tanult tételt arra, hogy egy egyszerű iteráció m- edrendben konvergens! 6p 38. Vezesse le a Newton-módszer rekurzióját a geometriai megközelítés alapján! 6p 39. Bizonyítsa a Newton módszer monoton konvergencia tételét! 6p 40. Vezesse le a húr-módszer rekurzióját a geometriai megközelítés alapján! 4p 41. Mondja ki és bizonyítsa a Polinomok gyökeinek becslésére tanult tételt! 6p 42. Bizonyítsa az interpolációs polinom unicitását! 3p 43. Mondja ki és bizonyítsa a Lagrange-féle alappolinomok tlajdonságairól szóló tételt! 5p 44. Írja fel a Csebisev-polinomok rekurzióját! 2p 45. Mondja ki és bizonyítsa a LER általánosított megoldásának approximációs tulajdonságáról szóló tételt! 6p 46. Mondja ki és bizonyítsa az interpolációs típusú kvadratúra formula pontosságáról szóló tételt! 5p 47. Mondja ki és bizonyítsa a tételt, amely az interpolációs típusú kvadratúra formula pontossági rendjének maximumáról szól! 5p 48. Mondja ki és bizonyítsa a Gauss-típusú kvadratúra formulák előállítási tételét! 6p
17 12. fejezet Vizsgakérdések, Numerikus analízis Definíciók, Tételek 1. Mit ért egy mátrix sajátértékén és sajátvektorán? 3p 2. Definiálja az A négyzetes mátrix spektrumát! 1p 3. Definiálja az A négyzetes karakterisztikus polinomját! 1p 4. Mi a kapcsolat a mátrix karakterisztikus polinomja és sajátértékei között? 5. Mit ért a mátrix sajátalterén? 2p 6. Definiálja a mátrix sajátértékének algebrai és geometria multiplicitását? 2p 7. Mikor mondjuk, hogy két mátrix hasonló? 2p 8. Mi a kapcsolat hasonló mátrixok sajátértékei között? 1p 9. Mikor nevezünk egy mátrixot diagonalizálhatónak? 1p 10. Mit tud a nem szinguláris mátrix inverzének sajátértékeiről és sajátvektorairól? 2p 11. Mit tud az A mátrix A k hatványának sajátértékeiről és sajátvektorairól? 2p 12. Mondja ki a Schur-tételt! 2p 13. Mikor nevezünk egy mátrixot normálisnak? 1p 14. Mondja ki a normális mátrix diagonalizálhatóságáról szóló tételt! 2p 15. Mondja ki a Gersgorin-tételt! 2p 16. Mondja ki az általánosított Gersgorin-tételt! 2p 17. A Gersgorin tétel javítása diagonális hasonlósági transzformációval. 2p 18. A sajátérték probléma érzékenysége. Becslés a reziduális hibával. 3p 93
18 FEJEZET. VIZSGAKÉRDÉSEK, NUMERIKUS ANALÍZIS Mondja ki a Bauer-Fike tételt! 2p 20. Írja fel a tridiagonális mátrix karakterisztikus polinomját előállító rekurziót! 2p 21. Definiálja a hatvány-módszert (von Mises algoritmus) és mondja ki a tételt a konvergenciáról! 3p 22. Definiálja a inverz iterációt mondja ki a tételt a konvergenciáról!3p 23. Mit mondhatunk az A pi mátrix sajátértékeiről és sajátvektorairól ha az A mátrix sajátértékeit és sajátvektorait ismerjük? 2p 24. Mondja ki a rangszámcsökkentés módszerének alapját adó tételt! 3p 25. Mondja ki a tételt, amely az affin-transzformációk felírására alkalmas! 2p 26. Írja fel az x tengelyre való tükrözés mátrixát! 2p 27. Írja fel az y tengelyre való tükrözés mátrixát! 2p 28. Írja fel az y = x egyenesre való tükrözés mátrixát! 2p 29. Írja fel az origón átmenő tetszőleges egyenesre való tükrözés mátrixát! 4p 30. Írja fel az origó körüli ϕ [0, 2π) szöggel való forgatás mátrixát! 4p 31. Írja fel a forgatva nyújtás mátrixát! 2p 32. Írja fel a nyírás mátrixát, melynek a tengely az x-tengely! 3p 33. Mit értünk egy pont homogén koordinátái alatt? 2p 34. Mit értünk egy pont normalizált homogén koordinátái alatt? 2p 35. Ismertesse a sík pontjainak homogén koordinátás alakja esetén használható affin transzformációs mátrix részeit és szerepüket! 3p 36. Írja fel a közönséges elsőrendű explicit kezdetiérték probléma általános alakját! 2p 37. Mondja ki a fokozatos közelítések módszerének alapjául szolgáló tételt! 3p 38. Mondja ki a Taylor-sor módszer alapjául szolgáló tételt! 3p 39. Írja fel az egylépéses Euler-módszer által meghatározott rekurziót! 2p 40. Írja fel a Runge-Kutta módszerek általános alakját, ismertesse a paramétereket és elnevezésüket! 4p 41. Írjon fel egy maximális pontossági rendű m=1 szintes Runge-Kutta módszert! 2p 42. Írjon fel egy maximális pontossági rendű m=2 szintes Runge-Kutta módszert! 2p
19 12.2. BIZONYÍTÁSOK, ALGORITMUSOK, LEVEZETÉSEK Írjon fel egy maximális pontossági rendű m=3 szintes Runge-Kutta módszert! 2p 44. Írjon fel egy maximális pontossági rendű m=4 szintes Runge-Kutta módszert! 2p Bizonyítások, Algoritmusok, Levezetések 1. Igazolja, hogy a mátrix adott sajátértékéhez tartozó sajátvektorok a nullvektorral kiegészítve alteret alkotnak! 6p 2. Igazolja, hogy a karakterisztikus polinom invariáns a hasonlósági transzformációra! 4p 3. Igazolja, hogy szimmetrikus mátrix sajátértékei valósak! 3p 4. Mondja ki és igazolja a Schur-tételt! 6p 5. Mondja ki és igazolja a normális mátrix diagonalizálhatóságáról szóló tételt! 6p 6. Mondja ki és igazolja a Gersgorin-tételt! 6p 7. Igazolja, hogy a Fagyejev-féle trace módszer helyes! 4p 8. Igazolja a hatvány-módszer konvergenciájáról szóló tételt! 3p 9. Igazolja a rangszámcsökkentés módszerének alapját adó tételt! 6p 10. Ismertesse a Jacobi-módszert és nevezze meg a leggyakoribb változatait! 5p 11. Igazolja, hogy a Jacobi-módszer során előállított mátrix-sorozat diagonális mátrixhoz konvergál! 4p 12. Ismertesse az LU-algoritmust és írja le azt is, mire alkalmazható! 4p 13. Ismertesse az QR-algoritmust és írja le azt is, mire alkalmazható! 4p 14. Vezesse le az egylépéses Euler-módszert! 4p 15. Ismertesse a többlépéses Euler-módszert! 4p
20 FEJEZET. VIZSGAKÉRDÉSEK, NUMERIKUS ANALÍZIS 2.
21 Irodalomjegyzék [1] Gergó L.: Numerikus módszerek, ELTE [2] Krebsz A.: Numerikus analízis jegyzet krebsz/ [3] Móricz F.: Numerikus módszerek az algebrában és analízisben, Polygon, [4] Sövegjártó A.: Numerikus Analízis, soveg/ [5] E. Suli, D. F. Mayers: An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press [6] Virágh J.: Numerikus matematika, JATEPress,
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. Tantárgy kódja: IP-08bNM1E, IP-08bNM1G (2+2) Az elsajátítandó ismeretanyag rövid leírása: A lebegıpontos számábrázolás egy modellje. A hibaszámítás elemei. Lineáris egyenletrendszerek
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenNumerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok
Numerikus matematika Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, 2007 Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek Legkisebb négyzetes
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
Részletesebbenalakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha ,, és. ( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: Gépi számhalmaz:
1. A lebegőpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegőpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl)
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
Részletesebben1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 014. január 19. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenTétel: Ha,, akkor az ábrázolt szám hibája:
1. A lebegpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl) fogalma,
Részletesebben1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba
Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
RészletesebbenTárgymutató I Címszavak jegyzéke
9. Tárgymutató I 9.1. Címszavak jegyzéke adaptív integrációs módszer, 350 Aitken-féle eljárás, 350 Aitken Neville-eljárás, 324 alappontok, 250, 334 szabálytalanul elhelyezkedő, 317 algoritmus, 17 abszolút,
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenTáblán. Numerikus módszerek 1. előadás (estis), 2017/2018 ősz. Lócsi Levente. Frissült: december 1.
Táblán Numerikus módszerek 1. előadás (estis), 2017/2018 ősz Lócsi Levente Frissült: 2017. december 1. Ebben az írásban a 2017/2018 őszi félév estis Numerikus módszerek 1. előadásának a diasorban nem szereplő,
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás
RészletesebbenA CSOPORT 4 PONTOS: 1. A
A CSOPORT 4 PONTOS:. A szám: pí= 3,459265, becslése: 3,4626 abszolút hiba: A szám és a becslés özti ülönbség abszolút értée Pl.: 0.000033 Relatív hiba: Az abszolút hiba osztva a szám abszolút értéével
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenNumerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4
Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
RészletesebbenKÖZELÍTŐ ÉS SZIMBOLIKUS SZÁMÍTÁSOK FELADATGYŰJTEMÉNY
Írta: MIHÁLYKÓ CSABA VIRÁGH JÁNOS KÖZELÍTŐ ÉS SZIMBOLIKUS SZÁMÍTÁSOK FELADATGYŰJTEMÉNY Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Dr. Mihálykó Csaba, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest, Tartalomjegyzék Előszó............................................... 6. GÉPI SZÁMÁBRÁZOLÁS
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat, 2009/10. I. félév, A. csoport, MEGOLDÁSOK
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat, 9/. I. félév, A. csoport, MEGOLDÁSOK. Feladat. Az a. választás mellett A /( a) értéke.486. Határozzuk meg mi is A értékét egy tizes számrendszerű, hatjegyű mantisszás
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
RészletesebbenNumerikus Analízis I.
Numerikus Analízis I. Sövegjártó András Jegyzet másodéves programozó és programtervező matematikus szakos hallgatóknak 2003. ,,A sikerhez és tudáshoz vezető út senki előtt sincs zárva, akiben van bátorság
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest, Tartalomjegyzék Előszó................................................ VEKTOR- ÉS MÁTRIXNORMÁK,
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenNumerikus integrálás április 20.
Numerikus integrálás 2017. április 20. Integrálás A deriválás papíron is automatikusan elvégezhető feladat. Az analitikus integrálás ezzel szemben problémás vannak szabályok, de nem minden integrálható
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenYBL - SGYMMAT2012XA Matematika II.
YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához
RészletesebbenLegkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 10. gyakorlat Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján
RészletesebbenTartalomjegyzék 1 BEVEZETÉS 2
Tartalomjegyzék BEVEZETÉS FELADATOK. Lebegőpontos számok.............................. Normák, kondíciószámok........................... 5. Lineáris egyenletredszerek megoldása, mátrixok felbontása........
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
RészletesebbenNumerikus integrálás
Közelítő és szimbolikus számítások 11. gyakorlat Numerikus integrálás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Határozatlan integrál
RészletesebbenMÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK
MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUmERIKUS módszerek 9 FÜGGVÉNYKÖZELÍTÉSEK IX. SPLINE INTERPOLÁCIÓ 1. SPLINE FÜGGVÉNYEK A Lagrange interpolációnál említettük, hogy az ún. globális interpoláció helyett gyakran célszerű
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenA TANTÁRGY ADATLAPJA
A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM 1.2 Kar FIZIKA 1.3 Intézet A MAGYAR TAGOZAT FIZIKA INTÉZETE 1.4 Szakterület FIZIKA / ALKALMAZOTT
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenNumerikus módszerek példatár
Numerikus módszerek példatár Faragó István, Fekete Imre, Horváth Róbert 2013. július 5. Tartalomjegyzék Előszó 2 Feladatok 4 1. Előismeretek 4 1.1. Képletek, összefüggések............................ 4
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenA TANTÁRGY ADATLAPJA
A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény BABEȘ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM 1.2 Kar FIZIKA 1.3 Intézet MAGYAR FIZIKA INTÉZET 1.4 Szakterület FIZIKA 1.5 Képzési szint LICENSZ
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenNumerikus integrálás április 18.
Numerikus integrálás 2016. április 18. Integrálás A deriválás papíron is automatikusan elvégezhető feladat. Az analitikus integrálás ezzel szemben problémás vannak szabályok, de nem minden integrálható
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenNormák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenTANTÁRGYFELELŐS INTÉZET: Építőmérnöki Intézet. címe:
Tantárgy rövid neve (Matematika II.) Tantárgy teljes neve (Matematika II.) Tantárgy neve angolul (Mathematics II.) Neptun kódja (SGYMMAT2012XA) Szak (Építőmérnöki szak, Menedzser szak) Tagozat (Nappali
RészletesebbenNumerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió.
YBL - SGYMMAT202XXX Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
Részletesebben1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
RészletesebbenMátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása
Mátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék & ELTE-MTA NumNet Kutatócsoport munkatárs: Szekeres Béla János Alkalmazott Analízis
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenTartalomjegyzék. Bevezetés 17. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok 29. A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23
Tartalomjegyzék Bevezetés 17 A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23 I. A lineáris algebra forrásai 25 1 Vektorok 29 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 29 Irányított szakasz,
RészletesebbenNÉVMUTATÓ. Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J.
NÉVMUTATÓ Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J., 155 157 Cauchy, A. L., 155 157 Cayley, A., 272, 327 Codenotti, B., 93 Cramer,
Részletesebben14. fejezet. Tárgymutató Címszavak jegyzéke
14. fejezet Tárgymutató 14.1. Címszavak jegyzéke A Adams Bashforth módszerek 71 Adams Moulton módszerek 71 Adams módszerek, változó lépéstávolságú 96 algebro-differenciálegyenletek 150 alulintegráció 346,
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Részletesebben1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest, Tartalomjegyzék Előszó................................................ GÉPI SZÁMÁBRÁZOLÁS
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
RészletesebbenII. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés
II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Bevezetés Szükségünk van a komplex elemű mátrixok és vektorok bevezetésére. A komplex elemű n-dimenziós oszlopvektorok halmazát C n -el jelöljük. Hasonlóképpen az m n méretű komplex elemű mátrixok halmazát
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció
Részletesebben