1. feladatsor Komplex számok

Átírás

1 . feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4 7i)( i)... Feladat. Az alábbi kanonikus alakban adott komplex számokat írjuk át trigonometrikus alakba, és ábrázoljuk azokat a Gauss-féle számsíkon. (a) 4; (b) i; (c) 8i; (d) i; (e) 3 3i; (f) 3i..3. Feladat. Az alábbi trigonometrikus alakban adott komplex számokat írjuk át kanonikus alakba, és ábrázoljuk azokat a Gauss-féle számsíkon. (a) 3(cos π + i sin π); (b) (cos 3π 4 + i sin 3π 4 ); (c) cos 7π 6 + i sin 7π Feladat. Trigonometrikus alakkal számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) ( 3 i)( + 3i); (b) ( i) 8i ; (c) ( i) ; (d) ( 3 i) 67 ; (e) ( + 3i) 8 ; (f) ( + i)..5. Feladat. Adjuk meg trigonometrikus és kanonikus alakban a következő gyökvonások eredményét. (a) 3 8i; (b) 4 6; (c) 3 8; (d) 4 3i..6. Feladat. Az alábbi z, w, m és n számok esetén számoljuk ki a z w a és w m számok kanonikus alakját, valamint határozzuk meg z n-ik gyökeit trigonometrikus alakban. (a) z = i 3, w = + i, m = 4, n = 6;

2 (b) z = + i 3, w = 3 3i, m = 4, n = 6; (c) z = 3 + i, w = + i, m = 6, n = 5; (d) z = + i 3, w = + i, m = 5, n = Feladat. Ábrázoljuk Gauss-számsíkon a (a) harmadik; (b) negyedik; (c) hatodik; (d) nyolcadik egységgyököket, és állapítsuk meg, melyek közülük rendre a primitív harmadik, negyedik, hatodik, nyolcadik egységgyökök..8. Feladat. Döntsük el a megadott n pozitív egész és z komplex szám esetén, hogy n-edik egységgyök-e z, és ha igen, akkor primitív n-edik egységgyöke. Ha az utóbbi kérdésre igenlő a válasz, akkor állítsuk elő az összes n-edik egységgyököt z kis nemnegatív egész kitevős hatványaként (pl. z = 3 i primitív harmadik egységgyök, és = z 0, + 3 i = z, 3 i = z). (a) n = 8, z = i; (b) n = 8, z = i; 3 (c) n = 6, z = i; (d) n = 0, z = cos 3π 3π + i sin 0 0 ; (e) n = 7, z = cos 8π 7 + i sin 8π 7.

3 . feladatsor Komplex számok MEGOLDÁSOK.. Feladat. A műveletek eredménye: (a) ; ; (b) 4i; (c) 3 7i; (d) i; (e) 0; (f) i. 3 + i.. Feladat. Trigonometrikus alakok: (a) 4(cos π + i sin π); (b) (cos π + i sin π ); (c) 8(cos 3π + i sin 3π ); (d) (cos 7π 4 + i sin 7π 4 ); (e) (cos 7π 6 + i sin 7π 6 ); (f) 4(cos 5π 3 + i sin 5π 3 ). Im i (b) (a) Re (e) (d) (f) (c).3. Feladat. Kanonikus alakok: (a) 3; (b) + i; (c) 3 i.

4 Im (a) (b) (c) i Re.4. Feladat. A műveletek eredménye: (a) 8(cos π 6 + i sin π 6 ); (b) 8 (cos π 4 + i sin π 4 ); (c) ( ) (cos 7π 4 + i sin 7π 4 ); (d) 67 (cos 5π 6 + i sin 5π 6 ); (e) 56 (cos π 3 + i sin π 3 ); (f) 6 (cos 3π + i sin 3π )..5. Feladat. A gyökök trigonometrikus alakja: (a) z k = (cos α k + i sin α k ), α k = π + k π 3, k = 0,, z 0 = (cos π + i sin π ) = i z = (cos 7π 6 + i sin 7π 6 ) = 3 i z = (cos π π 6 + i sin 6 ) = 3 i (b) z k = (cos β k + i sin β k ), β k = π 4 + k π, k = 0,,, 3 z 0 = (cos π 4 + i sin π 4 ) = + i z = (cos 3π 4 + i sin 3π 4 ) = + i z = (cos 5π 4 + i sin 5π 4 ) = i z 3 = (cos 7π 4 + i sin 7π 4 ) = i; ; (c) z k = (cos γ k + i sin γ k ), γ k = π 3 + k π 3, k = 0,, z 0 = (cos π 3 + i sin π 3 ) = + 3i z = (cos π + i sin π) = z = (cos 5π 3 + i sin 5π 3 ) = 3i; (d) z k = 4 (cos ε k + i sin ε k ), ε k = π 3 + k π z 0 = 4 (cos π 3 + i sin π 3 ) = i z = 4 (cos 5π 6 + i sin 5π 6 ) = i z = 4 (cos 4π 3 + i sin 4π 3 ) = z 3 = 4 (cos π 6.6. Feladat. Megoldások: i + i sin π 6 ) = i., k = 0,,, 3 (a) z w = i w 4 = 64 6 z : 6 (cos α k + i sin α k ), α k = 5π 8 + k π 3, k = 0,,, 3, 4, 5;

5 (b) z w = i w 4 = 34 6 z : 6 (cos β k + i sin β k ), (c) z w = i w 6 = 5i 5 z : 5 (cos γ k + i sin γ k ), (d) z w = + 3 ( + 3)i w 5 = 4 4i 6 z : 3 (cos δ k + i sin δ k ), β k = π 9 + k π 3, k = 0,,, 3, 4, 5; γ k = π 30 + k π 5, k = 0,,, 3, 4; δ k = π 8 + k π 3, k = 0,,, 3, 4, 5;.7. Feladat. Primitív egységgyököket pirossal jelöltük. Az n-edik egységgyökök esetén: ε k = cos (k π n ) + i sin (k π n ), ahol k = 0,,..., n. (a) harmadik egységgyökök: Im 3 ε i ε 0 Re ε (b) negyedik egységgyökök: Im ε i ε ε 0 Re ε 3 (c) hatodik egységgyökök: Im ε i ε ε 3 ε 0 Re ε 4 ε 5 (d) nyolcadik egységgyökök:

6 4 Im ε 3 ε i ε ε 4 ε 0 Re ε 5 ε 6 ε 7.8. Feladat. Megoldások: (a) nem egységgyök; (b) egységgyök, de nem primitív; (c) egységgyök, de nem primitív; (d) nem egységgyök; (e) primitív egységgyök: z 0 = z = cos π 7 + i sin π 7 z 3 = cos 0π 0π 7 + i sin 7 z 4 = cos 4π 7 + i sin 4π 7 z 5 = cos π π 7 + i sin 7 z 6 = cos 6π 7 + i sin 6π 7

7 . feladatsor Permutációk.. Feladat. Írjuk fel az alábbi S 7 -beli permutációkat páronként idegen ciklusok szorzataként: (a) α = ; (b) β = ; (c) γ = Feladat. Adjuk meg a következő S 7 -beli, páronként idegen ciklusok szorzataként előállított permutációkat kétsoros írásmódban: (a) δ = ( 3 6)( 7 5 4); (b) ε = ( 7)( 6)(3 4 5); (c) η = ( )..3. Feladat. Az előző két feladatban bevezetett jelöléseket felhasználva adjuk meg az alábbi S 7 -beli permutációkat páronként idegen ciklusok szorzataként: (a) αβ; (b) βα; (c) (βα) ; (d) β ; (e) β 03 ; (f) α 8 ; (g) εη βγδ..4. Feladat. Adjuk meg a következő S 9 -beli permutációkat páronként idegen ciklusok szorzataként: (a) ( ( 4) 5 ( 3 4) ) 4 ; (b) ( ( 4 3) 6 ( 5 4) 3) 4 ; ( 09; (c) (( 3 4 6)( )) (( 7 6)( 8 4)(3 9)) ( 3 4 6)( )) (. (d) ( ) 9 (( 9 3)(4 5 7)) 0 (4 8 )).5. Feladat. Keressük meg azokat a σ S 8 permutációkat, amelyekre teljesülnek a következő összefüggések: (a) ( 5 3)σ(6 )(4 3) = (3 5); (b) (( 3 4)(7 3 8)) σ(3 4) = (c) ( 4 3 6) 4 σ( 3 5) 9 = ( 4 3)..6. Feladat. Döntsük el, hogy az első két feladatban bevezetett α,..., η S 7 permutációk, valamint a segítségükkel megadott alábbi permutációk párosak vagy páratlanok: (a) ( η δ ) ; (b) (εγα) ( β δη 9)..7. Feladat. Hány olyan σ S 6 permutáció van, amelyre (a) M σ = ; (b) M σ = ; (c) M σ = 3; (d) M σ = 4; (e) M σ = 5; (f) M σ = 6.

8 . feladatsor Permutációk MEGOLDÁSOK.. Feladat. Felbontás páronként idegen ciklusok szorzatára: (a) α = ( 7)( 4 3)(5 6); (b) β = ( ); (c) γ = ( 4)( 5)(3 7)... Feladat. A permutációk kétsoros alakja: (a) δ = ; (b) ε = ; (c) η = Feladat. A műveletek eredménye: (a) αβ = ( 7)( ); (b) βα = ( 7)( 5 3 6); (c) (βα) = ( 7)(6 3 5 ). (d) β = ( ). (e) β 03 = ( ). (f) α 8 = ( 3 4). (g) εη βγδ = ( )..4. Feladat. A műveletek eredménye: (a) ( 4 3) (b) id S9 (c) (6 5)( 9 3) (d) (8 4 3 )(5 7).5. Feladat. Permutációegyenletek megoldása: (a) σ = ( 4 3 6) (b) σ = ( )( 5) (c) σ = ( 5)(4 6).6. Feladat. A megadott permutációk paritása: páros: α, β, ε páratlan: γ, δ, η,(a),(b).7. Feladat. Összeszámlálás: (a) M σ = : 0 darab; (b) M σ = : 5 darab; (c) M σ = 3: 40 darab; (d) M σ = 4: 35 darab; (e) M σ = 5: 64 darab; (f) M σ = 6: 65 darab.

9 3. feladatsor Bázis, Rang 3.. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss eliminációval: x + x + 5x 3 = 9 (a) x x + 3x 3 = ; 3x 6x x 3 = 5 (b) (c) 4x + 4x + 5x 3 = 6 x + x + x 3 = 3 7x + 7x + 8x 3 = 0 x x + x 3 + x 4 = x 4x + x 3 x 4 = x + x x 3 5x 4 = 5 ; ; (d) x + 3x 4x 3 + x 4 = x + 6x 7x 3 + x 4 = 6 3x 9x + 0x 3 x 4 = 3.. Feladat. Döntsük el, hogy lineárisan független vektorrendszert alkotnake az alábbi vektorok a V vektortérben. Határozzuk meg a vektorrendszerek rangját. (a) V = R 3 ; v = (,, ), v = (,, ), v 3 = (,, 0); (b) V = R 3 ; v = (,, 4), v = (, 3, ), v 3 = ( 4, 5, 5); (c) V = R 4 ; v = (,, 3, 4), v = (0, 3,, ), v 3 = ( 4, 5, 9); (d) V = Z 4 3 ; v = (, 0,, ), v = (,, 0, ), v 3 = (,, 0, ); (e) V = Z 4 5 ; v = (4,,, 3), v = (4, 0,, ), v 3 = (3, 0,, ), v 4 = (4, 4, 3, 0) Feladat. Határozzuk meg a következő valós mátrixok rangját, valamint adjunk meg a mátrixokban maximális méretű nemelfajuló (nem nulla) aldeterminánst. (a) ; (b) ; (c) Feladat. Számítsuk ki az alábbi, Z 5 feletti mátrix rangját Feladat. Tekintsük az alábbi V vektortereket. Soroljuk fel az U alterek elemeit. (a) V = Z 3 ; U = [(, 0, 0), (0,, 0)]; (b) V = Z 3 3 ; U = [(,, ), (, 0, )]; (c) V = Z 3 3 ; U = {(x, x, x 3 ): x + x 3 = 0, x + x = 0};

10 (d) V = Z 4 3 ; U = {(x, x, x 3, x 4 ): x + x 4 = 0, x + x 3 + x 4 = 0} Feladat. Adjuk meg az alábbi v vektorok koordinátasorát a Z 3 vektortér bázisában. (a) v = (, 0, 0); (b) v = (, 0, ). (,, ), (0,, 0), (,, 0) 3.7. Feladat. Határozzuk meg a V vektortér U alterének dimenzióját és bázisát. (a) V = R 4 ; U = [(0,,, 4), (,,, ), (,,, )]; (b) V = R 4 ; U = [(,, 4, ), (, 4, 5, 3), (,, 7, 0), (,,, 3)]; (c) V = Z 4 5 ; U = [(, 4,, 3), (, 3, 4, )]; (d) V = R 4 ; U = {(x, x, x 3, x 4 ): x = x, x 3 = x + x }; (e) V = R 4 ; U = {(x, x, x 3, x 4 ): x = 3x + x 3, x 4 = 0}; (f) V = Z 4 3 ; U = {(x, x, x 3, x 4 ): x + x 4 = 0, x + x 3 + x 4 = 0} Feladat. Határozzuk meg a V vektorterek alábbi U és U alterei esetén az U + U és az U U alterek dimenzióját, bázisát. (a) V = R 4 ; U = [(,,, 0), (,,, )], U = [(,, 0, ), (,, 3, 7)]; (b) V = R 4 ; U = [(,,, 3), (0,, 3, )], U = [(0,, 3, ), (0,, 4, 4), (0, 6,, 9)]; (c) V = R 4 ; U = {(x, x, x 3, x 4 ): x + x 3 + x 4 = 0}, U = {(x, x, x 3, x 4 ): x + x = 0, x 3 = x 4 }; (d) V = R 4 ; U = {(x, x, x 3, x 4 ): x + x + x 3 = 0, x x 3 = 0}, U = {(x, x, x 3, x 4 ): x 4x 3 = 0, 3x 3 + x 4 = 0}; (e) V = Z 4 3 ; U = {(x, x, x 3, x 4 ): x + x 4 = 0, x + x 3 = 0}, U = {(x, x, x 3, x 4 ): x + x 4 = 0}; (f) V = Z 5 3 ; U = {(x, x, x 3, x 4, x 5 ): x + x 3 = 0, x + x + x 4 = 0, x + x + x 5 = 0}, U = [(,, 0,, ), (,, 0, 0, 0), (0, 0,,, 0)]; (g) V = Z 4 5 ; U = {(x, x, x 3, x 4 ) : x + x + x 3 = 0, x + 4x = 0, x + x 3 = 0}, U = [(,,, ), (, 3, 4, 3), (4, 3,, 3)] Feladat. A V vektortér és U, U altereinek megadott dimenziói esetén határozzuk meg az U +U és az U U alterek dimenziójának összes lehetséges értékét. (a) dim V = 6, dim U = 5, dim U = 3; (b) dim V = 5, dim U = 4, dim U = 3; (c) dim V = 0, dim U = 5, dim U =.

11 3. feladatsor Bázis, Rang MEGOLDÁSOK 3.. Feladat. Megoldások: (a) x =, x = 3, x 3 = ; (b) nincs megoldás; (c) x 4 =, x = x x 3, x, x 3 R; (d) x = 6 3x + 3x 4, x 3 = 4 + x 4, x, x 4 R. 3.. Feladat. Rang, lineáris függetlenség (a) r = 3, lineárisan független; (b) r =, lineárisan függő; (c) r = 3, lineárisan független; (d) r =, lineárisan függő; (e) r =, lineárisan függő Feladat. Rang, maximális nemeltűnő aldetermináns: (a) r =, 0 ; 3 9 (b) r = 3, ; (c) r =, tetszőleges nem nulla elemből álló -es mátrix determinánsa megfelelő Feladat. r = Feladat. Az U alterek elemei: (a) U = { (0, 0, 0), (, 0, 0), (0,, 0), (,, 0) } ; (b) U = { (0, 0, 0), (,, ), (,, ), (, 0, ), (0,, ), (,, 0), (, 0, ), (,, 0), (0,, ) } ; (c) U = { (0, 0, 0), (,, ), (,, ) } ; (d) U = { (0, 0, 0, 0), (0,, 0, 0), (0,, 0, 0), (, 0, 0, ), (,, 0, ), (,, 0, ), (, 0, 0, ), (,, 0, ), (,, 0, ) } Feladat. Előállítások és koordinátasorok: (a) (, 0, 0) = (0,, 0) + (,, 0), koordinátasora: (0,, ); (b) (, 0, ) = (,, ) + (0,, 0), koordinátasora: (,, 0) Feladat. Dimenziók és bázisok: (a) dim U = 3, bázis: (0,,, 4), (,,, ), (,,, ); (b) dim U =, bázis: (,, 4, ), (0, 0, 3, ); (c) dim U =, bázis: (, 4,, 3), (, 3, 4, ); (d) dim U =, bázis: (,, 3, 0), (0, 0, 0, ); (e) dim U =, bázis: (3,, 0, 0), (, 0,, 0); (f) dim U =, bázis: (0,, 0, 0), (, 0, 0, ).

12 3.8. Feladat. Az U + U és U U alterek dimenziói, bázisai: (a) dim(u + U ) = 3, bázis: (,,, 0), (0, 3,, ), (0, 0,, ) dim(u U ) =, bázis: (,, 0, ); (b) dim(u + U ) = 3, bázis: (,,, 3), (0,, 3, ), (0, 0,, 3) dim(u U ) =, bázis: (0,, 3, ); (c) dim(u + U ) = 4, bázis: (, 0, 0, 0), (0,, 0, 0), (0, 0,, 0), (0, 0, 0, ) dim(u U ) =, bázis: (3, 3,, ); (d) dim(u + U ) = 3, bázis: (, 0, 0, 0), (0, 0, 0, ), (0,,, 0) dim(u U ) =, bázis: ( 3,,, 3); (e) dim(u + U ) = 4, bázis: (, 0, 0, 0), (0,, 0, 0), (0, 0,, 0), (0, 0, 0, ) dim(u U ) =, bázis: (,,, ); (f) dim(u + U ) = 5, bázis: (, 0, 0, 0, 0), (0,, 0, 0, 0), (0, 0,, 0, 0), (0, 0, 0,, 0), (0, 0, 0, 0, ) dim(u U ) = 0; (g) dim(u + U ) = 3, bázis: (, 0,, 0), (0,,, 0), (0, 0, 0, ) dim(u U ) =, bázis: (,,, ) Feladat. A V vektortér és U, U altereinek megadott dimenziói esetén határozzuk meg az U +U és az U U alterek dimenziójának összes lehetséges értékét. (a) dim(u + U ) = 6, dim(u U ) =, dim(u + U ) = 5, dim(u U ) = 3; (b) dim(u + U ) = 5, dim(u U ) =, dim(u + U ) = 4, dim(u U ) = 3; (c) dim(u + U ) = 7, dim(u U ) = 0, dim(u + U ) = 6, dim(u U ) =, dim(u + U ) = 5, dim(u U ) =.

13 4. feladatsor Lineáris leképezések 4.. Feladat. Melyek lineárisak az alábbi leképezések közül? Amelyik lineáris, annak határozzuk meg a standard bázisban megadott mátrixát. (a) ϕ: R R, (x, y) (x + y, xy); (b) ϕ: R 3 R, (x, y, z) (x y, x + y); (c) ϕ: Z 3 Z3 3, (x, y) (x + y, x + y, x); (d) ϕ: R 3 R 3, (x, y, z) (x y, y +, x + z). 4.. Feladat. Határozzuk meg a következő ϕ lineáris transzformációk mátrixát a megadott E bázisban. Számítsuk ki a v vektor ϕ melletti képének koordinátáit ebben a bázisban. (a) ϕ: R R, (x, y) (x, y), E : (, ), (, 0), v = (, ); (b) ϕ: Z 3 Z 3, (x, y) (x + y, x), E : (, ), (, ), v = (, 0); (c) ϕ: R 3 R 3, (x, y, z) (x y, x + y, 3x y z), E : (, 0, 0), (0,, ), (0,, ), v = (,, 0); (d) ϕ: Z 3 3 Z3 3, (x, y, z) (x + y, x + y, y + z), E : (,, ), (0,, ), (,, ), v = (,, ) Feladat. A sík R vektorterében tekintsük a következő transzformációkat. Döntsük el, hogy lineáris transzformációk-e. Ha igen, akkor adjuk meg a magjukat, képterüket és azok dimenzióját, bázisát. (a) eltolás az (, ) vektorral; (b) tükrözés az x tengelyre; (c) tükrözés az x = egyenesre; (d) merőleges vetítés az y tengelyre; (e) origó középpontú paraméterű nyújtás; (f) π/ szögű forgatás az origó körül; (g) tükrözés az y = x egyenesre; (h) 5π/3 szögű forgatás az origó körül Feladat. Tekintsük a sík R vektorterén értelmezett alábbi ϕ és ψ lineáris transzformációkat. Határozzuk meg a ϕ + ψ, a ϕψ és a ψϕ 3ψ lineáris transzformációkat. (a) ϕ az x-tengelyre, ψ az y-tengelyre vonatkozó tükrözés; (b) ϕ az x-tengelyre, ψ az y-tengelyre vonatkozó merőleges vetítés; (c) ϕ az identikus transzformáció, ψ az origó körüli π/ szögű forgatás; (d) ϕ az origó körüli π/3 szögű, ψ az origó körüli π/3 szögű forgatás Feladat. Legyen a V vektortérben értelmezett lineáris transzformáció mátrixa a standard bázisban A. Határozzuk meg a lineáris transzformációk karakterisztikus polinomját, sajátértékeit, valamint adjunk meg bázist a sajátalterekben. (a) V = R ; A = ;

14 (b) V = Z 3 ; A = ; 0 (c) V = R 3 ; A = (d) V = Z 3 3 ; A = ; 4.6. Feladat. Határozzuk meg a sík R vektorterében értelmezett következő lineáris transzformációk sajátértékeit, valamint a sajátalterek egy bázisát. (a) identikus transzformáció; (b) zérus transzformáció; (c) tükrözés az x tengelyre; (d) merőleges vetítés az y tengelyre; (e) π/ szögű forgatás az origó körül.

15 4. feladatsor Lineáris leképezések MEGOLDÁSOK 4.. Feladat. Melyek lineárisak az alábbi leképezések közül? Amelyik lineáris, annak határozzuk meg a standard bázisban megadott mátrixát. (a) Nem lineáris (b) 0 0 (c) 0 (d) Nem lineáris 4.. Feladat. Határozzuk meg a következő ϕ lineáris transzformációk mátrixát a megadott E bázisban. Számítsuk ki a v vektor ϕ melletti képének koordinátáit ebben a bázisban. ( 4 (a) 0 0 (b), (, 0) (c) 4 / / 0 (d) ), (, ), (0,, ), (, 3, ) 4.3. Feladat. A sík R vektorterében tekintsük a következő transzformációkat. Döntsük el, hogy lineáris transzformációk-e. Ha igen, akkor adjuk meg a magjukat, képterüket és azok dimenzióját, bázisát. (a) nem lineáris (b) Ker ϕ = {(0, 0)}, dim(ker ϕ) = 0, bázisa az üreshalmaz. Im ϕ = R, dim(im ϕ) =, egy bázisa: (0, ), (, 0). (c) nem lineáris (d) Ker ϕ = {(a, 0) : a R}, dim(ker ϕ) =, egy bázisa: (, 0). Im ϕ = {(0, b) : b R}, dim(im ϕ) =, egy bázisa: (0, ). (e) Ker ϕ = {(0, 0)}, dim(ker ϕ) = 0, bázisa az üreshalmaz. Im ϕ = R, dim(im ϕ) =, egy bázisa: (0, ), (, 3). (f) Ker ϕ = {(0, 0)}, dim(ker ϕ) = 0, bázisa az üreshalmaz. Im ϕ = R, dim(im ϕ) =, egy bázisa: (, ), (π, 0). (g) Ker ϕ = {(0, 0)}, dim(ker ϕ) = 0, bázisa az üreshalmaz. Im ϕ = R, dim(im ϕ) =, egy bázisa: (, /), (, ). (h) Ker ϕ = {(0, 0)}, dim(ker ϕ) = 0, bázisa az üreshalmaz. Im ϕ = R, dim(im ϕ) =, egy bázisa: (, ), (3, 3) Feladat. Tekintsük a sík R vektorterén értelmezett alábbi ϕ és ψ lineáris transzformációkat. Határozzuk meg a ϕ + ψ, a ϕψ és a ψϕ 3ψ lineáris transzformációkat.

16 (a) ϕ + ψ a zérus transzformáció (azaz bármely vektor képe az origó), ϕψ az origóra vonatkozó középpontos tükrözés, ψϕ 3ψ a következő (standard ( bázisban ) értendő) mátrix által meghatározott transzformáció: (b) ϕ + ψ az identikus transzformáció, ϕψ a zérus transzformáció, ψϕ 3ψ a következő (standard ( bázisban ) értendő) mátrix által meghatározott 3 0 transzformáció:. 0 0 (c) ϕ + ψ π/4-gyel való forgatás és -szörös nyújtás, ϕψ az origó körüli π/ szögű forgatás, ψϕ 3ψ a következő (standard ( bázisban ) értendő) 3 mátrix által meghatározott transzformáció:. 3 (d) ϕ+ψ az origóra vonatkozó középpontos tükrözés, ϕψ az identikus transzformáció, ψϕ 3ψ a következő (standard bázisban) értendő) mátrix által meghatározott transzformáció: ( Feladat. Legyen a V vektortérben értelmezett lineáris transzformáció mátrixa a standard bázisban A. Határozzuk meg a lineáris transzformációk karakterisztikus polinomját, sajátértékeit, valamint adjunk meg bázist a sajátalterekben. (a) A karakterisztikus polinom x 3x, a sajátértékek és a hozzá tartozó sajátalterek egy bázisa: 0, (, ); 3, (, ). (b) A karakterisztikus polinom x +x, a sajátértékek és a hozzá tartozó sajátalterek egy bázisa:, (, ). (c) A karakterisztikus polinom (x 3) (x + ), a sajátértékek és a hozzá tartozó sajátalterek egy bázisa: 3, (,, 0), (, 0, );, (0,, 5). (d) A karakterisztikus polinom ( x)(x +x+), a sajátértékek és a hozzá tartozó sajátalterek egy bázisa:, (,, );, (0,, ) Feladat. Határozzuk meg a sík R vektorterében értelmezett következő lineáris transzformációk sajátértékeit, valamint a sajátalterek egy bázisát. (a) Sajátértéke az, bázis a sajátaltérben: (, 0), (0, ). (b) Sajátértéke a 0, bázis a sajátaltérben: (, 0), (0, ) (c) Sajátértékek és bázisok:, (, 0),, (0, ). (d) Sajátértékek és bázisok:, (0, ), 0, (, 0). (e) Nincs (valós) sajátérték..

17 5. feladatsor Kvadratikus alakok, Euklideszi terek 5.. Feladat. Melyek bilineárisak az alábbi leképezések közül? Ha leképezés bilineáris, akkor adjuk meg a mátrixát a standard bázisban. Ha a leképezés szimmetrikus bilineáris leképezés, akkor adjuk meg a hozzá tartozó kvadratikus alakot is. (a) l : R R R, l((x, x ), (y, y )) = x y ; (b) l : R R R, l((x, x ), (y, y )) = 3; (c) l : R R R, l((x, x ), (y, y )) = x y x y ; (d) l : R R R, l((x, x ), (y, y )) = x x ; (e) l : R R R, l((x, x ), (y, y )) = x y + x y. 5.. Feladat. Hozzuk kanonikus alakra a következő valós kvadratikus alakokat, és határozzuk meg az osztályukat (pozitív/negatív (szemi)definit, stb.) (a) x x x + x ; (b) 4x + 4x x 4x ; (c) 8x + x + x 3 4x x 4x x 3 ; (d) x + 6x + 4x 3 + 4x x 4x x 3 ; (e) x x 3 x x x x Feladat. Keressünk az alábbi A szimmetrikus mátrixokhoz olyan S nemelfajuló mátrixot, amelyre SAS T diagonális. (a) A = Z 0 3 ; (b) A = Z Feladat. Hajtsuk végre a Gram-Schmidt-ortogonalizációt az alábbi lineárisan független R n -beli vektorrendszereken! (a) (4, 4), (0, 4); (b) (, 0, 0), (, 3, 0), (, 6, ); (c) (, 6, ), (, 0, 0), (, 3, 0); (d) (, 0, ), (0,, 0), (0, 4, ) Feladat. Legyen a ϕ: R 3 R 3 lineáris transzformáció mátrixa a standard bázisban A. Adjunk meg az R 3 euklideszi térnek egy, a ϕ sajátvektoraiból álló ortonormált bázisát. (a) A = 0 0 ; 0 0 (b) A =

18 5. feladatsor Kvadratikus alakok, Euklideszi terek MEGOLDÁSOK 5.. Feladat. Bilineáris-e l? Ha igen, adjuk meg mátrixát. Ha szimmetrikus, a hozzá tartozó q kvadratikus alakot is adjuk meg. 0 0 (a) bilineáris, mátrixa:, szimmetrikus, q = x 0 ; (b) nem bilineáris; (c) bilineáris, mátrixa: (d) nem bilineáris; (e) bilineáris, mátrixa: ( 0 0 ( 0 0 ), nem szimmetrikus; ), szimmetrikus, q = x + x. 5.. Feladat. Hozzuk kanonikus alakra, határozzuk meg az osztályát. (a) y, pozitív szemidefinit; (b) 4y 3y, negatív definit; (c) 8y + y, pozitív szemidefinit; (d) y + y + y 3, pozitív definit; (e) y y y 3, indefinit Feladat. Keressünk olyan S-t, amire SAS T diagonális. 0 (a) S = ; (b) Pl.: S = a a 4a 0. (Minden b b + 4b, a, b, c Z 3 4 c c 4c alakú mátrix jó.) 5.4. Feladat. Hajtsuk végre a megadott vektorrendszeren a Gram-Schmidt algoritmust. (Ezek a vektorrendszerek már normáltak is.) (a) ( /, /), ( /, /); (b) (, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ); (c) ( 6 38, 38, 38 ), ( 37 38, 3 703, 406 ), (0, (d) (, 0, ), (0,, 0), (, 0, ). 37, 6 37 ); 5.5. Feladat. Adjuk meg R 3 egy sajátvektorokból álló bázisát. (a) (0, 0, ), (,, 0), (,, 0) (a transzformáció sajátértékei:,, 3); (b) (0, 0, ), (,, 0), (,, ) (a transzformáció sajátértékei: 3, 3, ).

19 6. feladatsor Polinomok 6.. Feladat. Határozzuk meg a f és a g polinomok legnagyobb közös osztóját euklideszi algoritmus segítségével a megadott polinomgyűrűkben. (a) f = x 4 3x 3 x + x, g = x 3 x 4x, Q[x]; (b) f = x 4 4x x + 76x 05, g = x 4 + 6x 3 6x + 6x 7, Q[x]; (c) f = x 8 3x +, g = x 7 + 4x 6 + x 5 + 3x 4 9x 3 5x + 5, Q[x]; (d) f = x 8, g = x 6, Z 3 [x]; (e) f = 4x 4 + x 3 + x + x +, g = x 4 + 3x +, Z 5 [x]. 6.. Feladat. Határozzuk meg az f = x 4 + x 3 7x 8x + és a g = x 4 + x 3 x 4x racionális együtthatós polinomok közös gyökeit, majd ennek felhasználásával az f és g összes gyökét Feladat. Oldjuk meg az u, v ismeretlen polinomokra az alábbi egyenleteket a megadott polinomgyűrűben. (a) (x 5 + x 4 + x 3 + )u + (x 4 + )v = x +, Z [x]; (b) (x 5 + x + )u + (x 4 + x + x + )v = x 3 + x +, Z 3 [x]; (c) (x 4 + x 3 + x + )u + (x 3 + x + x + )v = x + x, Z 5 [x] Feladat. Határozzuk meg, hogy hányszoros gyöke az f polinomnak a c szám a megadott polinomgyűrűben, majd ennek segítségével alakítsuk szorzattá az f polinomot. (a) f = x 5 6x 4 + x 3 x + x + 9, c = 3, Q[x]; (b) f = x 5 8x 4 + 6x 3 + 8x 8x + 54, c = 3, R[x]; (c) f = x 5 3ix 4 5x 3 + 7ix + 6x i, c = i, C[x]; (d) f = x 4 + x 3 + x +, c =, Z 3 [x] Feladat. Adjuk meg a következő polinomok irreducibilis felbontását a Q, R és C testek felett. (a) x 5 + x 3 6x; (b) x 5 + 8x ; (c) x 4 5; (d) x 6 7; (e) x 6 x 4 8x Feladat. Határozzuk meg az alábbi f Q[x] polinomok racionális gyökeit és irreducibilis felbontásukat Q[x]-ben. (a) f = x 3 x x ; (b) f = x 5 x 4 x 3 + x 4x + ; (c) f = 4x 4 + 6x 3 + x 8x Feladat. Igazoljuk, hogy az alábbi f Q[x] polinomok irreducibilisek. (a) f = x 00 3x x ; (b) f = 4x 4 30x x 0 0; (c) f = 5x 4 + x.

20 6. feladatsor Polinomok MEGOLDÁSOK 6.. Feladat. Az f és a g polinomok legnagyobb közös osztója a megadott polinomgyűrűkben. (a) x + ; (b) x + 6x 7; (c) x 4 x 3 + x x + ; (d) x ; (e) x Feladat. Az f = x 4 + x 3 7x 8x + és a g = x 4 + x 3 x 4x racionális együtthatós polinomok közös gyökei, majd ennek felhasználásával az f és g összes gyöke. lnko(f, g) = x 4, közös gyökök:,, f = (x )(x + )(x )(x + 3), (x )(x + )(x + x + 3) Feladat. Az egyenletek megoldása. (a) Egy megoldás: u 0 = x, v 0 = x + x +, általános: u = x + (x + )t, v = x + x + + (x 3 + x + )t; (b) Egy megoldás: u 0 =, v 0 = x, általános: u = + (x + )t, v = x + (x + x + )t; (c) Egy megoldás: u 0 = 3x, v 0 = x + 3x, általános: u = 3x + (3x + 3x + 3)t, v = x + 3x + (x 3 + )t Feladat. Hányszoros gyöke az f polinomnak a c szám, majd ennek segítségével az f polinom szorzattá alakítása. (a) kétszeres; (x 3) (x 3 + x + ); (b) háromszoros; (x 3) 3 (x + x ); (c) háromszoros; (x i) 3 (x ); (d) háromszoros; (x ) 3 (x + ) Feladat. A polinomok irreducibilis felbontása a Q, R és C testek felett. (a) x(x + 3)(x ) (Q felett), x(x + 3)(x )(x + ) (R felett), x(x i 3)(x + i 3)(x )(x + ) (C felett); (b) x (x+)(x x+4) (Q és R felett), x (x+)(x +i 3)(x i 3); (c) (x + 5)(x 5) (Q felett), (x + 5)(x 5)(x + 5) (R felett), (x 5)(x + 5)(x i 5)(x + i 5) (C felett); (d) (x 3)(x 4 + 3x + 9) (Q felett), (x 3)(x + 3)(x 3x + 3)(x + 3x + 3) (R felett), 3 3i 3+3i 3 3i 3+3i ); (x 3)(x + 3)(x )(x )(x + )(x + (e) x (x+)(x )(x +) (Q és R felett), x (x+)(x )(x i )(x+i ) Feladat. A polinomok racionális gyökei és irreducibilis felbontásuk Q[x]- ben. (a) Rac. gyök:, (x )(x + x + ); (b) Rac. gyök: /, (x + )(x )(x ); (c) Rac. gyök:, /, (x )(x + )(x + x + ).

21 6.7. Feladat. Az f Q[x] polinomok irreducibilisek. (a) Schönemann-Eisenstein tétel, p = 3; (b) Schönemann-Eisenstein tétel, p = vagy p = 5; (c) Schönemann-Eisenstein tétel, p =.

22 7. feladatsor Véges testek 7.. Feladat. Döntsük el, hogy a megadott T test, és ezen test feletti f polinom esetén T [x]/ f testet alkot-e. Ha igen, határozzuk meg az így kapott test elemszámát, karakterisztikáját, prímtestét. (a) T = Z, f = x + x + ; (b) T = Z, f = x + ; (c) T = Z 3, f = x + ; (d) T = Z 3, f = x 3 + x + ; (e) T = Z 3, f = x 3 + x + ; (f) T = Z, f = x 4 + x 3 + ; (g) T = Z, f = x 4 + x Feladat. Adjuk meg a Z 3 [x]/ x 3 + x + test alábbi elemeit: (a) x + + x + x + ; (b) x + x + x + ; (c) x + x + x + ; (d) x Feladat. Végezzük el a műveleteket a megadott K véges testekben. (a) K = Z [x]/ x 4 + x 3 + ; x 3 + x + x +, x 3 + x ; (b) K = Z 3 [x]/ x 3 + x + x + ; x + x + x +, x + x + ; (c) K = Z 3 [x]/ x 3 + x + x + ; x + x + x + x, x + x Feladat. Határozzuk meg a K testben az α elem rendjét. Döntsük el, hogy primitív-e az adott elem a K testben. (a) K = Z [x]/ x + x +, α = x + ; (b) K = Z [x]/ x 3 + x +, α = x + ; (c) K = Z 3 [x]/ x + x +, α = x + ; (d) K = Z 3 [x]/ x + x +, α = x Feladat. Határozzuk meg az α K elem minimálpolinomját. (a) K = Z 3 [x]/ x + x +, α = x + ; (b) K = Z [x]/ x 3 + x +, α = x + ; (c) K = Z [x]/ x 4 + x 3 +, α = x +.

23 7. feladatsor Véges testek MEGOLDÁSOK 7.. Feladat. T [x]/ f testet alkot-e. Ha igen, akkor a test elemszáma, karakterisztikája, prímteste. (a) igen (4 elem, char =, Z ); (b) nem ( gyöke f-nek); (c) igen (9 elem, char = 3, Z 3 ); (d) nem ( gyöke f-nek); (e) igen (7 elem, char = 3, Z 3 ); (f) igen (6 elem, char =, Z ); (g) nem (x + x + négyzete f). 7.. Feladat. A Z 3 [x]/ x 3 + x + test keresett elemei: (a) x ; (b) x; (c) x + x; (d) x + x Feladat. A műveletek eredménye. (a) Szorzat: x 3 + x, inverz: x; (b) Szorzat: x +, inverz: x; (c) Szorzat: x +, inverz: x Feladat. Az α elem rendje. Primitív-e az adott elem a K testben. (a) Primitív elem (rend: 3); (b) Primitív elem (rend: 7); (c) Nem primitív elem (rend: 4); (d) Primitív elem (rend: 8) Feladat. Határozzuk meg az α K elem minimálpolinomját. (a) y + ; (b) y 3 + y + ; (c) y 4 + y 3 + y + y +.

24 8. feladatsor Kódolás 8.. Feladat. Határozzuk meg a C K n blokk-kód minimális távolságát, továbbá azt, hogy hány hibajelző, illetve hibajavító. Döntsük el, hogy a C kód lineáris-e. (a) C = {000, 0, 0, 0} Z 3 ; (b) C = {00, 00, 00, 00} Z 4 3 ; (c) C = {0000, 00, 00, 00} Z Feladat. Igazoljuk, hogy C lineáris kód. Határozzuk meg C információs rátáját. Adjunk meg egy C-vel ekvivalens D szisztematikus lineáris kódót. Adjuk meg D generátor- és ellenőrző mátrixát is. (a) C = {0000, 00, 0, 0} Z 4 ; (b) C = {00000, 0, 0, 000} Z 5 ; (c) C = {0000, 0, 0, 0, 0, 00,,, 00} Z Feladat. G egy szisztematikus lineáris kód generátormátrixa. Döntsük el, hogy v kódszó-e, ha nem, akkor adjuk meg a v-hez legközelebbi kódszót. 0 0 (a) G = Z 5 0 0, v = ; 0 0 (b) G = Z , v = ; (c) G = Z 3 6 3, v = Feladat. Adjuk meg a K test feletti n-hosszú Hamming-kód egy lehetséges P ellenőrző mátrixát, G generátormátrixát, valamint információs rátáját. (a) K = Z, n = 3; (b) K = Z, n = 5; (c) K = Z, n = 7; (d) K = Z 3, n = Feladat. Határozzuk meg az összes nemtriviális K test feletti n-hosszú ciklikus lineáris kódot. (a) K = Z 3, n = 3; (b) K = Z, n = Feladat. Tervezzünk a K test α eleme segítségével n-hosszú t-hibajelző BCH-kódot. Adjuk meg a kód generátormátrixát. (a) K = Z [x]/ x 3 + x +, α = x +, n = 6, t = ; (b) K = Z [x]/ x 4 + x +, α = x +, n =, t = 3; (c) K = Z 3 [x]/ x 3 + x +, α = x, n = 8, t =.

25 8. feladatsor Kódolás MEGOLDÁSOK 8.. Feladat. Meghatározzuk a C minimális távolságát, hány hibajelző ill. - javító. Lineáris-e? (a) a minimális távolság, vagyis -hibajelző és 0-hibajavító. Lineáris; (b) 3 a minimális távolság, vagyis -hibajelző és -hibajavító. Nem lineáris (nincs benne a nullvektor); (c) a minimális távolság, vagyis -hibajelző és 0-hibajavító. Lineáris. 8.. Feladat. Igazoljuk, hogy lineáris. Megadjuk az információs rátáját, a hozzá tartozó szisztematikus kódot és annak ellenőrző- és generátormátrixát. (a) A linearitás igazolása: zárt az összeadásra (bármely két vektor összege eleme C-nek); Z felett a skalárral szorzást nem kell ellenőrizni; Információs ráta: 4 log 4 =. D = {0000, 0, 00, 0}, 0 G =, P = (b) Információs ráta: G = log 4 5 = 5 ( 0 0. D = {00000, 0, 0, 000}, ), P = log (c) Információs ráta: =. D = {0000, 0, 0, 00, 00,,, 0, 0}, 0 G =, P = Feladat. Kódszó-e v, ha nem, megadjuk a legközelebbi kódszót. (a) Nem, mert vp = 00, ahol P az ellenőrzőmátrix. Legközelebbi szó: 0. (b) Nem, mert vp = 000 lesz a P ellenőrzőmátrix. Legközelebbi szó:. (c) Nem, mert vp = 0 lesz a P ellenőrzőmátrix. Legközelebbi szó: Feladat. Hamming-kód ellenőrző- és generátormátrixa, információs rátája. (a) n = 3 és K = miatt r =, információs ráta 3. P = 0, G = ( ). 0 (b) n = 5 és K = -höz r nem egész, így ilyen Hamming-kód NINCS.

26 (c) n = 7 és K = miatt r = 3, információs ráta P = 0, G = (d) n = 4 és K = 3 miatt r =, információs ráta. P = 0 0, G = ( Feladat. Meghatározzuk az összes n-hosszú ciklikus lineáris kódot. (a) x 3 = (x )(x + x + ) = (x + )(x + x + ), vagyis három ilyen kód van. 0 g = x + -re a kód generátormátrixa: G =, 0 g = x + x + -re a kód generátormátrixa: G = ( ), g 3 = -re a kód generátormátrixa: G 3 = (C 3 = Z 3 3.) 0 0 (b) x 4 + = (x + ) 4 miatt négy ilyen kód van. g = -re a kód generátormátrixa: G = E 4 (C = Z 4 ). g = x + -re a kód generátormátrixa: G = , g 3 = x + -re a kód generátormátrixa: G 3 =, 0 0 g 4 = x 3 +x +x+-re a kód generátormátrixa: G 4 = ( ) Feladat. Megadjuk a BCH-kód generátormátrixát. (a) α (és α ) minimálpolinomja x 3 + x +, így G = ; (b) α (és α ) minimálpolinomja g = g = x 4 + x +, α 3 minimálpolinomja g 3 = x 4 + x 3 + x + x + (lnko(g, g 3 ) = ), így lkkt(g, g 3 ) = g g 3 = x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + G = ; (c) α minimálpolinomja g = x 3 + x +, α miniálpolinomja pedig g = x 3 + x + x + (lnko(g, g ) = ), így lkkt(g,( g ) = g g = x 6 + x 4 + x + ) G = ).