Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens"

Márton Illés
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens R n vektortér/1

2 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,, a n : az a vektor komponensei R n vektortér: rendezett szám n-esek, vagy más szóval n- dimenziós vektorok (n-vektorok) halmaza Két n-vektor egyenlő, ha a megfelelő komponenseik megegyeznek. R n vektortér/2

3 Vektorműveletek Két n-vektor összege: Ha a = (a 1, a 2,, a n ) és = ( 1, 2,, n ), akkor a + = (a 1 + 1, a 2 + 2,, a n + n ). Egy n-vektor λ-szorosa: Ha a = (a 1, a 2,, a n ) és λ R, akkor λ a = (λ a 1, λ a 2,, λ a n ). Két n-vektor különsége: (származtatott művelet) a = a + (-1) = (a 1 1, a 2 2,, a n n ). Minden a n-vektorra: a a = (0,,0) nullvektor, jelölése: o R n vektortér/3

4 A vektorműveletek tulajdonságai A vektorösszeadás és skalárral való szorzás tulajdonságai: 1. (a + ) + c = a + ( + c ) asszociativitás 2. a + = + a kommutativitás 3. a + o = a 4. a + ( a) = o, ahol a =(-1) a, az a vektor ellentettje 5. (λ+µ) a = λ a + µ a 6. λ (a + ) = λ a + λ 7. λ (µ a) = (λ µ) a 8. 1 a = a R n vektortér/4

5 Lineáris komináció Vektorok lineáris kominációja Legyenek a 1, a 2,,a k n-vektorok és λ 1,λ 2,,λ k skalárok. Ekkor a λ 1 a 1 +λ 2 a λ k a k n-vektort az a 1,, a k vektorok λ 1,,λ k skalárokkal vett lineáris kominációjának nevezzük. Triviális lineáris komináció Ha a lineáris kominációan az összes skalár nulla, akkor triviális lineáris kominációról eszélünk. Triviális lineáris komináció eredménye (ármilyen a 1,, a k vektorok esetén) mindig nullvektor. R n vektortér/5

6 Lineáris komináció geometriai szemléltetése 1. z a v = 2a v = 0a y v = -1a x A v =λ a alakú vektorok egy origón átmenő a irányvektorú egyenesre esnek. R n vektortér/6

7 Lineáris komináció geometriai szemléltetése 2. z v = 1a + 1 a v = 2a + 0 v = 2a + 1 v = 0a + (-1) y x A v = λ 1 a + λ 2 alakú vektorok egy origón átmenő a és által kifeszített síkra esnek. R n vektortér/7

8 Lineáris komináció geometriai szemléltetése 3. v = 2a + 1 z v = 1a + 1 v = 2a + 0 a v = 0a + (-1) y x A v = λ 1 a + λ 2 alakú vektorok egy origón átmenő egyenesre esnek, amelynek az irányvektora az a vagy a vektor. R n vektortér/8

9 Lineáris komináció geometriai szemléltetése 4. z v = 1a c c a v = 1a + 0,5 v = 2a c y x A v = λ 1 a + λ 2 + λ 3 c alakú vektorok kitöltik a teljes teret. R n vektortér/9

10 Lineáris komináció geometriai szemléltetése 5. z c a v = 1a c v = 1a + 0,5 v = 2a c y x A v = λ 1 a + λ 2 + λ 3 c alakú vektorok az origón átmenő a és által kifeszített síkra esnek. R n vektortér/10

11 Lineáris függetlenség és összefüggőség Lineárisan független vektorok: Az a 1,, a k n-vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük, ha előlük csak triviális lineáris kominációval (csupa nulla együtthatóval) állítható elő a nullvektor. Lineárisan összefüggő vektorok: Az a 1,, a k n-vektorokat lineárisan összefüggőeknek hívjuk, ha előlük nem triviális lineáris kominációval is előállítható a nullvektor. R n vektortér/11

12 Lin. függetlenség és összefüggőség geometriai szemléltetése az R 3 téren 1 vektor esetén z z v y y x v o x v = o lineárisan független lineárisan összefüggő R n vektortér/12

13 Lin. függetlenség és összefüggőség geometriai szemléltetése az R 3 téren 2 vektor esetén z z a a y y x a x a lineárisan független lineárisan összefüggő R n vektortér/13

14 Lin. függetlenség és összefüggőség geometriai szemléltetése az R 3 téren 3 vektor esetén z z c c a a y y x a, és c nem esnek egy síkra lineárisan független x a, és c egy síkra esnek lineárisan összefüggő R n vektortér/14

15 Lin. függetlenség és összefüggőség geometriai szemléltetése az R 3 téren 4 vagy tö vektor esetén Az R 3 téren 4 vagy tö vektor mindig lineárisan összefüggő. R n vektortér/15

16 Lin. függetlenség ill. összefüggőség: állítások Az a 1,, a k n-vektorok pontosan akkor lineárisan összefüggőek, ha valamelyikük előáll a töi vektor lineáris kominációjaként. Az a 1,, a k n-vektorok pontosan akkor lineárisan függetlenek, ha egyikük sem áll elő a töi vektor lineáris kominációjaként. Ha egy vektorhalmazan szerepel a nullvektor, akkor az lineárisan összefüggő. Lin. független vektorhalmaz részhalmaza is lin. független. Lin. összefüggő vektorhalmazt ővítve az összefüggőség megőrződik. Az R n vektortéren n +1 d vektor mindig lin. összefüggő. R n vektortér/16

17 Vektorhalmaz rangja Vektorhalmaz rangja: Az a szám, amely megmutatja, hogy az adott vektorok közül maximálisan hány dara lin. független vektort tudunk kiválasztani. Megjegyzések: Az R n vektortéren ármely vektorhalmaz rangja kise vagy egyenlő, mint n. Lineárisan független vektorhalmaz rangja megegyezik a vektorhalmazan lévő vektorok számával. R n vektortér/17

18 R n vektortér/18 Bázis Bázis: Legyen B R n egy vektorhalmaz, amely lineárisan független, elemeiől lineáris kominációval az R n vektortér ármely vektora előállítható. Ekkor a B vektorhalmazt az R n vektortér egy ázisának hívjuk. Példa ázisra: kanonikus (standard ázis) = = = ,..., , n e e e

19 Bázis, koordináták R n -en minden ázis n dara vektoról áll. R n -en ármely n dara lineárisan független vektor ázist alkot. Legyen B ={ 1,, n } ázis R n -en. Ekkor ármely x R n vektor egyértelműen előállítható a ázisvektorok lineáris kominációjával: x = λ 1 1 +λ λ n n Ekkor a λ 1, λ 2,, λ n számokat az x vektor B ázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük. R n vektortér/19

20 Elemi ázistranszformáció Elemi ázistranszformáció Legyen B ={ 1,, n } egy ázis R n -en, c R n, c o. Ekkor a B ázis vektorai között van olyan, amely kicserélhető a c vektorral úgy, hogy a vektorcsere után is ázist kapjunk. Az új ázisra vonatkozó koordináták számolásának algoritmusát elemi ázistranszformációnak nevezzük. R n vektortér/20

21 Az új koordináták számolása Legyen az x vektor B ázisra vonatkozó előállítása: x = λ λ λ n n Legyen a c vektor B ázisra vonatkozó előállítása: c = γ 1 1 +γ γ n n Tegyük fel, hogy γ i 0. Cseréljük ki a B ázisan a i vektort a c vektorral. Ekkor az x vektor új ázisra vonatkozó koordinátái: ˆ λi λ j = λ j γ j γ ˆ λ λ = i i = δ γ i i j i R n vektortér/21

22 R n vektortér/22 Bázistranszformációs tálázat A régi és az új koordináták tálázatos elrendezése: A γ i számot generálóelemnek hívjuk. n n n n n n i i i c x c x c γ δ λ δ γ δ λ γ δ λ λ γ λ γ λ γ λ γ M M M M M M M M M M M M

23 Vektorok skaláris szorzata Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és = ( 1, 2,, n ) két n- vektor. Ekkor az a és n-vektorok skaláris szorzatán (skalárszorzatán) az alái számot értjük: a = a a a n n A skaláris szorzat tulajdonságai: 1. a = a 2. a ( +c ) = a + a c 3. (λ a) = a (λ ) = λ (a ) 4. a a 0, és a a = 0 a = o R n vektortér/23

24 Vektorok hossza, két vektor távolsága Az a = (a 1,a 2,,a n ) n-vektor hosszán (normáján) az alái számot értjük: azaz a = a a, an a = a K+ Az a = (a 1,a 2,,a n ) és = ( 1, 2,, n ) n-vektorok távolságán az alái számot értjük: a = ( a ) 2 + K+ ( a ) 2 n 1 1 n R n vektortér/24

25 A Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség, ortogonalitás Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség: Legyen a és két tetszőleges n-vektor. Ekkor: a a Ortogonalitás: Az a és n-vektorokat ortogonálisaknak (merőlegeseknek) nevezzük, ha a = 0. Jelölés: a R n vektortér/25

26 Két n-vektor szöge Két n-vektor szöge Legyen a és két, nullvektortól különöző n-vektor. Ekkor azt a ϕ [0,π] szöget, melyre cosϕ = a a teljesül, az a és vektorok szögének nevezzük. Speciális esetek: Legyen a, R n, a, o. Ha a = 0, akkor ϕ = π/2, a és ortogonális. Ha a =λ, akkor λ>0 esetén ϕ = 0, ilyenkor a és egyirányú, λ<0 esetén ϕ = π, ilyenkor a és ellentétes. R n vektortér/26

27 Alterek az R n vektortéren Altér A H R n vektorhalmazt altérnek hívjuk az R n vektortéren, ha ármely a, H vektorok és λ R esetén a+ H és λ a H is teljesül. Triviális alterek A H = {o} és H = R n eseteken teljesül a fenti definíció, ezeket az altereket az R n vektortér triviális (nem valódi) altereinek hívjuk. Megjegyzések: R n minden altere tartalmazza a nullvektort. Alterek metszete is mindig altér. R n vektortér/27

28 Alterek az R 3 téren H = {o}: 0-dimenziós, triviális altér. Legyen v R 3, v o rögzített. H = {λ v λ R}: origón átmenő, v irányvektorú egyenesre eső vektorok összessége. 1-dimenziós altér. Legyen a, R 3 két lineárisan független vektor. H = {λ 1 a+ λ 2 λ 1, λ 2 R}: origón átmenő, az a és vektorok által kifeszített síkra eső vektorok összessége. 2-dimenziós altér. H = R 3 : 3-dimenziós, triviális altér. R n vektortér/28

29 Egyenes Egyenesek R n -en R n -en az 1 dimenziós altereket vagy azoknak egy rögzített vektorral való eltoltját egyeneseknek hívjuk. Az a=(a 1,,a n ) és =( 1,, n ) pontokon átmenő egyenes egyenlete: x = (1-t ) a +t, ahol t R. Az a=(a 1,,a n ) ponton átmenő, v=(v 1,,v n ) irányvektorú egyenes egyenlete: x = a + t v, ahol t R. R n vektortér/29

30 Hipersík Hipersíkok R n -en R n -en az n-1 dimenziós altereket vagy azoknak egy rögzített vektorral való eltoltját hipersíkoknak hívjuk. Hipersík egyenlete Az a=(a 1,,a n ) ponton átmenő, a p=(p 1,,p n ) o vektorra merőleges hipersík egyenlete: p (x a ) = 0 A p vektort a hipersík normálvektorának nevezzük. R n vektortér/30

Hasonló dokumentumok

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b