Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János"

Átírás

1 Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Last Revision Date: szeptember 11. Version 1.1

2 Table of Contents 1. Vektorok 7 2. Vektorok összeadása Vektorok kivonása Vektor szorzása skalárral Vektorok felbontása Vektorok lineáris függetlensége és össze-

3 Table of Contents (cont.) 3 függősége Bázis, vektorok koordinátái Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Két vektor egyenlősége Két vektor összege és különbsége Vektor szorzása skalárral Vektorok lineáris kombinációja

4 Table of Contents (cont.) 4 9. Két vektor skaláris szorzata A skaláris szorzat tulajdonságai Koordinátákkal adott vektorok skaláris szorzata Alkalmazások Vektor abszolút értéke Adott vektor irányába mutató egységvektor Két vektor hajlásszöge Egy vektornak egy másik vektorra eső merőleges vetülete

5 Table of Contents (cont.) Az egyenes paraméteres vektoregyenlete A sík egyenletei A sík vektoregyenlete A sík egyenletének általános alakja 55. A Hesse-féle normálegyenlet A sík tengelymetszetes egyenlete Két vektor vektoriális szorzata A vektoriális szorzat geometriai jelentése

6 Table of Contents (cont.) A vektoriális szorzat tulajdonságai Koordinátákkal adott vektorok vektoriális szorzata Három vektor vegyes szorzata 66

7 Section 1: Vektorok 7 1. Vektorok Definíció. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük. Egy vektort adottnak tekintünk, ha ismerjük hosszát, irányát, irányítását.

8 Section 1: Vektorok 8 Vektorok jelölése: a, r, v, AB. Definíció. A v vektor hosszát a v vektor abszolút értékének nevezzük, és így jelöljük: v. Definíció. Azt a vektort, amelynek abszolút értéke nulla, nullvektornak vagy zérusvektornak nevezzük, és 0-val jelöljük. A nullvektor iránya megállapodás szerint tetszőleges.

9 Section 1: Vektorok 9 Definíció. Bármely olyan vektort, amelynek hossza egységnyi, egységvektornak nevezünk. Egy adott v vektorral azonos irányú és irányítású egységvektort e v -vel vagy v 0 -val jelölünk. Definíció. Az AB és a DC vektorokat akkor tekintjük egyenlőnek, ha van olyan eltolás, amely az A pontot D-be, a B pontot pedig C-be viszi át.

10 Section 1: Vektorok 10 Az AB és a DC vektorok egyenlők.

11 Section 1: Vektorok 11 A sík pontjai és a síkbeli vektorok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Mindkettőre az R 2 jelölést használjuk. Hasonló okok miatt a térbeli vektorok, illetve a tér pontjainak összességét R 3 jelöli. Egy egyenesen lévő vektorokat, valamint az egyenes pontjait pedig R.

12 Section 2: Vektorok összeadása Vektorok összeadása Természeti jelenségeket másolunk:

13 Section 2: Vektorok összeadása 13 Definíció. Az a, b R 3 vektorok összegén azt az a + b-vel jelölt vektort értjük, amelyet a következő módon kapunk: toljuk el a b vektort úgy, hogy b kezdőpontja az a végpontjába kerüljön; az a kezdőpontjából a b végpontjába mutató vektor a + b.

14 Section 2: Vektorok összeadása 14 Mivel a két vektor szerepét felcserélve az a + b vektorral egyenlő vektorhoz jutunk, ezért két vektor összege a paralelogramma-szabállyal is meghatározható:

15 Section 2: Vektorok összeadása 15 Vektorok összeadásának tulajdonságai: 1. Az összeadás kommutatív: a + b = b + a tetszőleges a, b R 3 esetén. 2. Az összeadás asszociatív: tetszőleges a, b, c R 3 esetén (a + b) + c = a + (b + c). 3. Az összeadásnak létezik egységeleme: a + 0 = a minden a R 3 esetén. 4. Minden vektornak van ellentettje: tetszőleges a R 3 esetén az a a-val jelölt vektor, amelyre a + ( a) = 0.

16 Section 2: Vektorok összeadása 16 Például az asszociativitás:

17 Section 3: Vektorok kivonása Vektorok kivonása Definíció. Az a, b R 3 vektorok különbségén azt az a b-vel jelölt vektort értjük, amelyet b-hez hozzáadva az a vektort kapjuk.

18 Section 4: Vektor szorzása skalárral Vektor szorzása skalárral Definíció. Egy λ R valós szám és egy a R 3 vektor λa szorzatán azt a vektort értjük, amelynek hossza λ a, iránya megegyezik a irányával, irányítása pedig λ előjelétől függ: azonos a irányításával, ha λ 0; ellentétes a irányításával, ha λ < 0.

19 Section 4: Vektor szorzása skalárral 19 Álĺıtás. (1) Bármely a R 3 vektor előáll a = a e a alakban, ahol e a az a-val egyirányú egységvektor. (2) Az a, b R 3 vektorok akkor és csak akkor párhuzamosak, ha van olyan λ valós szám, amelyre a = λb.

20 Section 4: Vektor szorzása skalárral 20 A vektor skalárral történő szorzásának tulajsonságai: Álĺıtás. Legyen a, b R 3 és λ, µ R. Ekkor 1. λ(µa) = (λµ)a; 2. λ(a + b) = λa + λb; 3. (λ + µ)a = λa + µa.

21 Section 5: Vektorok felbontása 21 A 2. tulajdonság λ = 2 esetén: 5. Vektorok felbontása Legyen a, b R 2 és λ, µ R. Ekkor a c = λa+µb vektor könnyen megszerkeszthető.

22 Section 5: Vektorok felbontása 22 Fordított probléma: adott egy c R 2, és a nem párhuzamos a, b R 2 vektorok. Fel tudjuk-e bontani a c vektort a ás b irányú összetevőkre? Ha igen, milyen feltételek mellett?

23 Section 5: Vektorok felbontása 23 Tétel. (Vektorok felbontása síkban) Ha a, b, c R 2 és a nem párhuzamos b-vel, akkor mindig találhatók olyan α, β valós számok, amelyekkel c = αa + βb. Ez az előálĺıtás egyértelmű.

24 Section 5: Vektorok felbontása 24 Tétel. (Vektorok felbontása térben) Ha a, b, c, v R 3 és a, b, c nincsenek egy síkban, akkor mindig találhatók olyan α, β, γ valós számok, amelyekkel v = αa + βb + γc. Ez az előálĺıtás egyértelmű.

25 Section 6: Vektorok lineáris függetlensége és összefüggősége Vektorok lineáris függetlensége és összefüggősége Definíció. Az a, b R 2 vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük, ha az αa + βb = 0 egyenlőség csak akkor teljesül, ha α = 0 és β = 0. Ellenkező esetben az a, b vektorokat lineárisan összefüggőeknek hívjuk.

26 Section 6: Vektorok lineáris függetlensége és összefüggősége 26 Álĺıtás. Két síkbeli vektor pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha párhuzamosak. Az előzőekhez hasonló megállapításokat tehetünk térbeli vektorokról is. Definíció. Az a, b, c R 3 vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük, ha az αa + βb + γc = 0 egyenlőség csak akkor teljesül, ha α = β = γ = 0. Ellenkező esetben az a, bc vektorokat lineárisan összefüggőeknek hívjuk.

27 Section 6: Vektorok lineáris függetlensége és összefüggősége 27 Ellenkező eset az α, β, γ számok közül legalább az egyik nem nulla. Álĺıtás. Három térbeli vektor pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha egy síkban fekszenek. Definíció. Az a, b, c R 3 vektorok lineáris kombinációjának nevezzük az αa + βb + γc kifejezést. Itt α, β, γ valós számok.

28 Section 7: Bázis, vektorok koordinátái Bázis, vektorok koordinátái Láttuk: bármely d R 3 vektor egyértelműen felbontható a nem egy síkban fekvő a, b, c R 3 vektorok irányába eső összetevőkre. Ugyenez másképp: d egyértelműen feĺırható a lineárisan független a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként. Definíció. Térbeli vektorok egy lineárisan független vektorhármasát bázisnak nevezzük.

29 Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 29 Speciális bázisok: ortogonális bázis: az alapvektorok páronként merőlegesek egymásra; normált bázis: az alapvektorai egységvektorok; ortonormált bázis: az alapvektorok egymásra páronként merőleges egységvektorok. Tekintsünk három, egy pontból kiinduló, páronként egymásra merőleges egységvektort. Jelölje őket i, j, k, és alkossanak ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert. Válasszuk az i, j, k vektorokat bázisunk alap-

30 Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 30 vektorainak. Ez tehát egy ortonormált bázis. Illesszünk az alapvektorokra egy-egy egyenest; ezek lesznek koordináta-rendszerünk x, y, z tengelyei, metszéspontjuk az O origó.

31 Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 31 A tér bármely a vektora egyértelműen felbontható a bázis alapkvektorai irányába eső összetevőkre. Legyen a felbontás az alábbi: a = a 1 i + a 2 j + a 3 k.

32 Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 32 Definíció. Ebben a felbontásban az a 1, a 2, a 3 valós számok az a vektor koordinátái, az a 1 i, a 2 j, a 3 k vektorok az a vektor komponensei. Az a vektor koordinátáit egy rendezett számhármassal, az a(a 1 ; a 2 ; a 3 ) alakban szokás kifejezni (sorvektoros írásmód). Más jelölés: v = xi + yj + zk, v(x; y; z).

33 Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 33 Sokszor célszerű az oszlopvektoros alakot használni: a 1 a = a 2 a 3 A térbeli vektorok és a tér pontjai között fennálló kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés miatt az a vektor A végpontjának Descartes-koordinátái azonosak az a vektor i, j, k bázisra vonatkozó koordinátáival. Az a vektort az A pont helyvektorának is szokták nevezni.

34 Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Megnézzük, hogy a korábban megismert fogalmakat hogyan lehet értelmezni, illetve a műveleteket elvégezni koordinátákkal adott vektorokkal. Tekintsük az a(a 1 ; a 2 ; a 3 ) és b(b 1 ; b 2 ; b 3 ) vektorokat (a i, b i R, i = 1, 2, 3).

35 Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Két vektor egyenlősége Álĺıtás. a = b akkor és csak akkor, ha a 1 = b 1, a 2 = b 2, a 3 = b Két vektor összege és különbsége A megadott koordinátákkal a = a 1 i + a 2 j + a 3 k és b = b 1 i + b 2 j + b 3 k. Ekkor a vektor skalárral való szorzásának tulajdon-

36 Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal 36 ságaiból: a + b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) + (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = (a 1 + b 1 )i + (a 2 + b 2 )j + (a 3 + b 3 )k, és hasonlóan a b = (a 1 b 1 )i + (a 2 b 2 )j + (a 3 b 3 )k.

37 Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal 37 Álĺıtás. Két vektor összegének (különbségének) a koordinátái a két vektor megfelelő koordinátáinak az összegével (különbségével) egyenlők.

38 Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Vektor szorzása skalárral Tekintsük az a(a 1 ; a 2 ; a 3 ) vektort és a λ valós számot. Ekkor a vektor skalárral való szorzásának korábban tárgyalt tulajdonságaiból: λa = λ(a 1 i + a 2 j + a 3 k) = (λa 1 )i + (λa 2 )j + (λa 3 )k. Álĺıtás. Egy vektort úgy szorzunk meg egy valós számmal, hogy a vektor valamennyi koordinátáját megszorozzuk ezzel a számmal.

39 Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Vektorok lineáris kombinációja Tekintsük az a(a 1 ; a 2 ; a 3 ), b(b 1 ; b 2 ; b 3 ), és c(c 1 ; c 2 ; c 3 ) vektorokat, valamint az α, β, γ valós számokat. Az előző bekezdésekben leírtak alapján a v = αa + βb + γc vektor koordinátái: v(αa 1 + βb 1 + γc 1 ; αa 2 + βb 2 + γc 2 ; αa 3 + βb 3 + γc 3 ).

40 Section 9: Két vektor skaláris szorzata Két vektor skaláris szorzata Ha egy anyagi pont az állandó F erő hatására egy egyenes mentén elmozdul, akkor az F erő által végzett munka nagysága: F r cos α, ahol r az elmozdulást megadó vektor, α pedig az F és r vektorok hajlásszöge. Két vektorhoz egy számot (skaláris mennyiséget) rendeltünk hozzá.

41 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 41 Definíció. Két tetszőleges a, b R 3 vektor skaláris szorzatán (vagy skalárszorzatán) az ab = a b cos ϕ ab számot értjük, ahol ϕ ab az a és b vektorok hajlásszögét jelöli. (Két vektor hajlásszögén a két irány által bezárt szögek közül a nem nagyobbikat értjük.)

42 Section 9: Két vektor skaláris szorzata A skaláris szorzat tulajdonságai Legyen a, b, c R 3 és λ R. 1. ab = ba; 2. a(b + c) = ab + ac; 3. (λa)b = λ(ab) = a(λb); 4. Ha az a, b vektorok ϕ ab hajlásszöge hegyesszög, akkor ab > 0; tompaszög, akkor ab < 0.

43 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 43 Álĺıtás. Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor nulla, ha a két vektor merőleges egymásra Koordinátákkal adott vektorok skaláris szorzata Az i, j, k alapvektorok skaláris szorzata, mivel ortonormáltak: ii = jj = kk = 1, ij = jk = ki = 0. Legyen a = a 1 i + a 2 j + a 3 k és b = b 1 i + b 2 j + b 3 k.

44 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 44 Ekkor ab = (a 1 i + a 2 j + a 3 k)(b 1 i + b 2 j + b 3 k) = a 1 b 1 ii + a 1 b 2 ij + a 1 b 3 ik + a 2 b 1 ji + a 2 b 2 jj + a 2 b 3 jk + a 3 b 1 ki + a 3 b 2 kj + a 3 b 3 kk. Mivel csak a sorok elején álló három tag nem nulla, ezért végül: ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3.

45 Section 9: Két vektor skaláris szorzata Alkalmazások Vektor abszolút értéke Szorozzunk meg önmagával skalárisan egy a(a 1 ; a 2 ; a 3 ) vektort. Ekkor egyrészt a 2 = aa = a a cos 0 = a 2, másrészt a 2 = a a a 2 3. Tehát a 2 = a a a 2 3, amiből a abszolút értéke (hossza): a = a a2 2 + a2 3.

46 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 46 Adott vektor irányába mutató egységvektor Legyen a adott vektor. Az a irányába mutató e a egységvektort megkapjuk, ha az a vektort megszorozzuk a hosszának reciprokával: e a = a a. Az e a vektor koordinátái tehát: ( a1 e a a ; a 2 a ; a ) 3. a

47 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 47 E koordinátákat az a vektor iránykoszinuszának nevezik. (Miért?) Két vektor hajlásszöge Átrendezve az ab = a b cos ϕ ab egyenlőséget, azt kapjuk, hogy cos ϕ ab = ab a b.

48 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 48 Egy vektornak egy másik vektorra eső merőleges vetülete Legyen adott az a és b vektor; keressük a- nak b-re eső merőleges vetületének hosszát. Az a b vetületvektor hossza: a b = a cos α. Ha e b a b vektor irányába eső egységvektor, akkor ae b = a 1 cos α = a b. Vagyis az a-nak b-re eső merőleges vetületének hossza

49 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 49 a b = ae b. Az a b vetületvektort úgy kapjuk, hogy a vetület hosszával megszorozzuk az irányába mutató e b egységvektorral: a b = (ae b )e b.

50 Section 9: Két vektor skaláris szorzata Az egyenes paraméteres vektoregyenlete Adott egy r 0 = OP 0 R 3 helyvektor és egy v R 3 (v 0) vektor. Tekintsük a P 0 ponton áthaladó, v irányvektorú e egyenest. Egy r helyvektorú P pont akkor és csak akkor van rajta az e egyenesen, ha az r r 0 vektor a v irányvektorral egy egyenesen fekszik. Azaz, akkor és csak

51 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 51 akkor, ha van olyan t valós szám, amellyel r r 0 = tv. Definíció. Az r(t) = r 0 + tv egyenlőséget az egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezzük. Ebben t R a paraméter. Ha ezt az egyenletet a benne szereplő vektorok koordinátáira írjuk fel, akkor az egyenes paraméteres egyenletrendszerét kapjuk. Az r(x; y; z), r 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ), v(v 1 ; v 2 ; v 3 ) jelölést hasz-

52 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 52 nálva kapjuk: x = x 0 + v 1 t, y = y 0 + v 2 t, z = z 0 + v 3 t. Ha a v 1, v 2, v 3 egyike sem nulla, akkor az egyenletekből kiküszöbölhető t, és az egyenes így kapott egyenletrendszere: x x 0 v 1 = y y 0 v 2 = z z 0 v 3.

53 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 53 Megjegyzések: 1. Ha v valamelyik (pl. első) koordinátája 0, akkor az egyenes valamelyik (esetünkben az yz) síkkal párhuzamos. 2. Ha v két koordinátája 0, akkor az egyenes valamelyik koordinátatengellyel párhuzamos. 3. Ha v egységvektor, akkor koordinátái az iránykoszinuszok.

54 Section 9: Két vektor skaláris szorzata A sík egyenletei A sík vektoregyenlete Tekintsük azt a síkot, amely illeszkedik a rögzített O pontból kiinduló r 0 helyvektorú P 0 pontra, és merőleges az n R 3 (n 0) vektorra, a sík normálvektorára. Egy r helyvektorú P pont akkor és csak akkor van rajta a síkon, ha az r r 0 vektor merőleges az n normálvektorra, vagyis ha

55 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 55 Ez a sík vektoregyenlete. n(r r 0 ) = 0. A sík egyenletének általános alakja Az n(a; B; C), r(x; y; z), r 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) jelölésekkel az előző egyenlet az A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 alakra hozható. Elvégezve a kijelölt szorzásokat, és a D = Ax 0 By 0 Cz 0 jelöléssel a sík egyenletének

56 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 56 Ax + By + Cz + D = 0 alakú, ún. általános alakját kapjuk. A Hesse-féle normálegyenlet Ha a sík vektoregyenletében szereplő n normálvektor egységvektor, akkor koordinátái iránykoszinuszok, és az x cos α + y cos β + z cos γ + ρ = 0 alakú egyenletben, az ún. Hesse-féle normálegyenletben szereplő ρ állandó anszolút értéke a síknak az origótól mért távolságát adja meg.

57 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 57 A sík tengelymetszetes egyenlete Ha a sík a koordinátatengelyeket az origótól mérve rendre a nem nulla a, b, c távolságra metszi, akkor a sík tengelymetszetes egyenlete az alábbi: x a + y b + z c = 1.

58 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata Két vektor vektoriális szorzata Tetszőleges a, b R 3 vektorhoz egy új vektort rendelünk hozzá a vektoriális szorzás segítségével. Az új vektor jelölése: a b (olv.: kereszt b ). a

59 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 59 Definíció. Az a, b R 3 vektorok a b- vel jelölt vektoriális szorzatának azt a vektort nevezzük, amelynek 1. hossza a b = a b sin ϕ ab, 2. iránya az a és b vektorok síkjára merőleges, és 3. irányítása olyan, hogy az a, b és a b vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak.

60 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata A vektoriális szorzat geometriai jelentése Az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe a két vektor vektoriális szorzatának abszolút értékével egyenlő: t = am = a b sin α = a b. Ezért az a és b vektorok által kifeszített háromszög területe t = 1 2 a b.

61 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata A vektoriális szorzat tulajdonságai a b = (b a), A vektoriális szorzat nem kommutatív, vagyis a b b a. De az alábbi tulajdonságok következnek a definícióból: λ(a b) = (λa) b = a (λb), a (b + c) = a b + a c, (b + c) a = b a + c a,

62 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 62 i i = j j = k k = 0, i j = k, i k = j, j k = i, j i = k, k i = j, k j = i. Tétel. Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor zérusvektor, ha a két vektor párhuzamos egymással.

63 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata Koordinátákkal adott vektorok vektoriális szorzata Legyen a = a 1 i + a 2 j + a 3 k és b = b 1 i + b 2 j + b 3 k. Ekkor a b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = = a 1 b 1 (i i) + a 2 b 1 (j i) + a 3 b 1 (k i) + + a 1 b 2 (i j) + a 2 b 2 (j j) + a 3 b 2 (k j) + + a 1 b 3 (i k) + a 2 b 3 (j k) + a 3 b 3 (k k). Az előző tulajdonságokat felhasználva kapjuk, hogy a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 )i (a 1 b 3 a 3 b 1 )j + (a 1 b 2 a 2 b 1 )k.

64 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 64 Ez a kifejezés a determináns segítségével így írható (e harmadrendű determináns első sora szerinti kifejtése): a b = i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3.

65 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 65 i j k a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 = i b 1 b 2 b 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 a 3 b 2 ) j(a 1 b 3 a 3 b 1 ) + k(a 1 b 2 a 2 b 1 ).

66 Section 11: Három vektor vegyes szorzata Három vektor vegyes szorzata Definíció. Az a, b, c R 3 nem egysíkú vektorokból képzett abc = (a b)c szorzatot az a, b, c vektorok vegyes szorzatának nevezzük. Vegyes, mert vektoriális és skaláris szorzás is szerepel benne. Mi lesz az eredmény? Vektor vagy skalár?

67 Section 11: Három vektor vegyes szorzata 67 Nyilván skalár: a b c cos α, ahol α az a b és a c vektorok hajlásszöge. Mivel a b az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe, a c cos α pedig az ábrán látható paralelepipedon m magassága, ezért érvényes az alábbi álĺıtás.

68 Section 11: Három vektor vegyes szorzata 68 Álĺıtás. Az a, b, c vektorok vegyes szorzata az e vektorok által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogatát adja. Az előjel a paralelepipedon elhelyezkedését adja meg (attól függően pozitív vagy negatív, hogy a c vektor ugyanabba a térfélbe mutat-e, mint az a b), a szám pedig a térfogat mérőszámát. Az abc jelölésben nem látszik, hogy hol van a vektoriális és hol a skaláris szorzás jele. Ez nem is szükséges, mert érvényes az alábbi tétel.

69 Section 11: Három vektor vegyes szorzata 69 Tétel. (Felcserélési tétel) (a b)c = a(b c). Geometriai jelentése: egy paralelepipedon térfogatának kiszámításakor mindegy, hogy melyik oldallapjának a területét és az ehhez tartozó magasságot szorozzuk össze. Ha az a, b, c vektorok koordinátáikkal adottak, vagyis a = a 1 i + a 2 j + a 3 k, b = b 1 i + b 2 j + b 3 k és c = c 1 i + c 2 j + c 3 k, akkor a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 )i (a 1 b 3 a 3 b 1 )j+(a 1 b 2 a 2 b 1 )k, és így

70 Section 11: Három vektor vegyes szorzata 70 (a b)c = (a 2 b 3 a 3 b 2 )c 1 (a 1 b 3 a 3 b 1 )c 2 + (a 1 b 2 a 2 b 1 )c 3 = a 1 (b 2 c 3 b 3 c 2 ) a 2 (b 1 c 3 b 3 c 1 ) + a 3 (b 1 c 2 b 2 c 1 ). A jobb oldal itt is egy harmadrendű determináns értéke: a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3.

71 Section 11: Három vektor vegyes szorzata 71 Tétel. Három vektor vegyes szorzata akkor és csak akkor nulla, ha a három vektor egysíkú.

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I. Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf81 2018-09-04

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )

O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 ) 1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat 6. előadás Vektoriális szorzás Vegyesszorzat Bevezetés Definíció: Az a és b vektorok vektoriális szorzata egy olyan axb vektor, melynek hossza a vektorok abszolút értékének és hajlásszögük szinuszának

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc

Részletesebben

1. Szabadvektorok és analitikus geometria

1. Szabadvektorok és analitikus geometria 1. Szabadvektorok és analitikus geometria Ebben a fejezetben megismerkedünk a szabadvektorok fogalmával, amely a középiskolai vektorfogalom pontosítása. Előzetes ismeretként feltételezzük az euklideszi

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

Vektoralgebra. 4. fejezet. Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása. Feladatok

Vektoralgebra. 4. fejezet. Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása. Feladatok 4. fejezet Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása T 4.1 (Háromszögegyenl tlenség) Minden a, b vektorpárra a + b a + b. T 4.2 (Paralelogrammaszabály) Ha az a és b vektor különböz

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16

Egyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2012-09-20 Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2012-09-20 1 / 16 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont távolsága 2 Sík Sík

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma. Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

1. A Hilbert féle axiómarendszer

1. A Hilbert féle axiómarendszer {Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,

Részletesebben

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált

Részletesebben

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat! . Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Analitikus geometria c. gyakorlat (2018/19-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül)

Analitikus geometria c. gyakorlat (2018/19-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül) A tér egy σ síkjában vegyünk két egymásra mer leges egyenest, melyeket jelöljön x és y, a metszéspontjukat pedig jelölje O. A két

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2. Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK 217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2? Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert

Részletesebben

Fizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat

Fizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat Fizika i, 08 őszi félév,. gyakorlat Szükséges előismeretek: vektorok, műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat és vektoriális szorzat, abszolút érték), vektorok

Részletesebben

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20. 1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Mátrixok 2017 Mátrixok

Mátrixok 2017 Mátrixok 2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

n m db. szám a i R Lehet a k, vagy a α. i, α szabad index a ij két indexű mennyiség (i sor index, j oszlop index) a ib j

n m db. szám a i R Lehet a k, vagy a α. i, α szabad index a ij két indexű mennyiség (i sor index, j oszlop index) a ib j a R 1 db. szám a 1, a 2,..., a n {a i} i=1,n a i R Lehet a k, vagy a α. i, α szabad index a 11 a 12... a 1m a 21 a 22... a 2m........ a n1 a n2... a nm {a ij} i=1,n,j=1,m R a ij két indexű mennyiség (i

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek 1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.

Részletesebben

Analitikus geometria c. gyakorlat

Analitikus geometria c. gyakorlat matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges

Részletesebben

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Az M A vektor tehát a három vektori szorzat előjelhelyes összege:

Az M A vektor tehát a három vektori szorzat előjelhelyes összege: 1. feladat Határozza meg a T i támadáspontú F i erőrendszer nyomatékát az A pontra. T 1 ( 3, 0, 5 ) T 1 ( 0, 4, 5 ) T 1 ( 3, 4, 2 ) F 1 = 0 i + 300 j + 0 k F 2 = 0 i 100 j 400 k F 3 = 100 i 100 j + 500

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a

1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a 1. 1. hét 1.1. Alapfogalmak Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a (2, 3) Egyenes normál vektora egy pontban: egy olyan vektor

Részletesebben

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottnak, ha ismerjük a nagyságát és az irányát.

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottnak, ha ismerjük a nagyságát és az irányát. 1. Vektorok 1.1. Alapfogalmak, alapműveletek 1.1.1. Elméleti összefoglaló Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottnak, ha ismerjük a nagyságát és az

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér? Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális

Részletesebben

MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában)

MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) Tasnádi Tamás 1 2015. április 17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria...........................

Részletesebben