Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János

Átírás

1 Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: szeptember 11. Version 1.1

2 Table of Contents 1. Vektorok 7 2. Vektorok összeadása Vektorok kivonása Vektor szorzása skalárral Vektorok felbontása Vektorok lineáris függetlensége és össze-

3 Table of Contents (cont.) 3 függősége Bázis, vektorok koordinátái Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Két vektor egyenlősége Két vektor összege és különbsége Vektor szorzása skalárral Vektorok lineáris kombinációja

4 Table of Contents (cont.) 4 9. Két vektor skaláris szorzata A skaláris szorzat tulajdonságai Koordinátákkal adott vektorok skaláris szorzata Alkalmazások Vektor abszolút értéke Adott vektor irányába mutató egységvektor Két vektor hajlásszöge Egy vektornak egy másik vektorra eső merőleges vetülete

5 Table of Contents (cont.) Az egyenes paraméteres vektoregyenlete A sík egyenletei A sík vektoregyenlete A sík egyenletének általános alakja 55. A Hesse-féle normálegyenlet A sík tengelymetszetes egyenlete Két vektor vektoriális szorzata A vektoriális szorzat geometriai jelentése

6 Table of Contents (cont.) A vektoriális szorzat tulajdonságai Koordinátákkal adott vektorok vektoriális szorzata Három vektor vegyes szorzata 66

7 Section 1: Vektorok 7 1. Vektorok Definíció. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük. Egy vektort adottnak tekintünk, ha ismerjük hosszát, irányát, irányítását.

8 Section 1: Vektorok 8 Vektorok jelölése: a, r, v, AB. Definíció. A v vektor hosszát a v vektor abszolút értékének nevezzük, és így jelöljük: v. Definíció. Azt a vektort, amelynek abszolút értéke nulla, nullvektornak vagy zérusvektornak nevezzük, és 0-val jelöljük. A nullvektor iránya megállapodás szerint tetszőleges.

9 Section 1: Vektorok 9 Definíció. Bármely olyan vektort, amelynek hossza egységnyi, egységvektornak nevezünk. Egy adott v vektorral azonos irányú és irányítású egységvektort e v -vel vagy v 0 -val jelölünk. Definíció. Az AB és a DC vektorokat akkor tekintjük egyenlőnek, ha van olyan eltolás, amely az A pontot D-be, a B pontot pedig C-be viszi át.

10 Section 1: Vektorok 10 Az AB és a DC vektorok egyenlők.

11 Section 1: Vektorok 11 A sík pontjai és a síkbeli vektorok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Mindkettőre az R 2 jelölést használjuk. Hasonló okok miatt a térbeli vektorok, illetve a tér pontjainak összességét R 3 jelöli. Egy egyenesen lévő vektorokat, valamint az egyenes pontjait pedig R.

12 Section 2: Vektorok összeadása Vektorok összeadása Természeti jelenségeket másolunk:

13 Section 2: Vektorok összeadása 13 Definíció. Az a, b R 3 vektorok összegén azt az a + b-vel jelölt vektort értjük, amelyet a következő módon kapunk: toljuk el a b vektort úgy, hogy b kezdőpontja az a végpontjába kerüljön; az a kezdőpontjából a b végpontjába mutató vektor a + b.

14 Section 2: Vektorok összeadása 14 Mivel a két vektor szerepét felcserélve az a + b vektorral egyenlő vektorhoz jutunk, ezért két vektor összege a paralelogramma-szabállyal is meghatározható:

15 Section 2: Vektorok összeadása 15 Vektorok összeadásának tulajdonságai: 1. Az összeadás kommutatív: a + b = b + a tetszőleges a, b R 3 esetén. 2. Az összeadás asszociatív: tetszőleges a, b, c R 3 esetén (a + b) + c = a + (b + c). 3. Az összeadásnak létezik egységeleme: a + 0 = a minden a R 3 esetén. 4. Minden vektornak van ellentettje: tetszőleges a R 3 esetén az a a-val jelölt vektor, amelyre a + ( a) = 0.

16 Section 2: Vektorok összeadása 16 Például az asszociativitás:

17 Section 3: Vektorok kivonása Vektorok kivonása Definíció. Az a, b R 3 vektorok különbségén azt az a b-vel jelölt vektort értjük, amelyet b-hez hozzáadva az a vektort kapjuk.

18 Section 4: Vektor szorzása skalárral Vektor szorzása skalárral Definíció. Egy λ R valós szám és egy a R 3 vektor λa szorzatán azt a vektort értjük, amelynek hossza λ a, iránya megegyezik a irányával, irányítása pedig λ előjelétől függ: azonos a irányításával, ha λ 0; ellentétes a irányításával, ha λ < 0.

19 Section 4: Vektor szorzása skalárral 19 Álĺıtás. (1) Bármely a R 3 vektor előáll a = a e a alakban, ahol e a az a-val egyirányú egységvektor. (2) Az a, b R 3 vektorok akkor és csak akkor párhuzamosak, ha van olyan λ valós szám, amelyre a = λb.

20 Section 4: Vektor szorzása skalárral 20 A vektor skalárral történő szorzásának tulajsonságai: Álĺıtás. Legyen a, b R 3 és λ, µ R. Ekkor 1. λ(µa) = (λµ)a; 2. λ(a + b) = λa + λb; 3. (λ + µ)a = λa + µa.

21 Section 5: Vektorok felbontása 21 A 2. tulajdonság λ = 2 esetén: 5. Vektorok felbontása Legyen a, b R 2 és λ, µ R. Ekkor a c = λa+µb vektor könnyen megszerkeszthető.

22 Section 5: Vektorok felbontása 22 Fordított probléma: adott egy c R 2, és a nem párhuzamos a, b R 2 vektorok. Fel tudjuk-e bontani a c vektort a ás b irányú összetevőkre? Ha igen, milyen feltételek mellett?

23 Section 5: Vektorok felbontása 23 Tétel. (Vektorok felbontása síkban) Ha a, b, c R 2 és a nem párhuzamos b-vel, akkor mindig találhatók olyan α, β valós számok, amelyekkel c = αa + βb. Ez az előálĺıtás egyértelmű.

24 Section 5: Vektorok felbontása 24 Tétel. (Vektorok felbontása térben) Ha a, b, c, v R 3 és a, b, c nincsenek egy síkban, akkor mindig találhatók olyan α, β, γ valós számok, amelyekkel v = αa + βb + γc. Ez az előálĺıtás egyértelmű.

25 Section 6: Vektorok lineáris függetlensége és összefüggősége Vektorok lineáris függetlensége és összefüggősége Definíció. Az a, b R 2 vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük, ha az αa + βb = 0 egyenlőség csak akkor teljesül, ha α = 0 és β = 0. Ellenkező esetben az a, b vektorokat lineárisan összefüggőeknek hívjuk.

26 Section 6: Vektorok lineáris függetlensége és összefüggősége 26 Álĺıtás. Két síkbeli vektor pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha párhuzamosak. Az előzőekhez hasonló megállapításokat tehetünk térbeli vektorokról is. Definíció. Az a, b, c R 3 vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük, ha az αa + βb + γc = 0 egyenlőség csak akkor teljesül, ha α = β = γ = 0. Ellenkező esetben az a, bc vektorokat lineárisan összefüggőeknek hívjuk.

27 Section 6: Vektorok lineáris függetlensége és összefüggősége 27 Ellenkező eset az α, β, γ számok közül legalább az egyik nem nulla. Álĺıtás. Három térbeli vektor pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha egy síkban fekszenek. Definíció. Az a, b, c R 3 vektorok lineáris kombinációjának nevezzük az αa + βb + γc kifejezést. Itt α, β, γ valós számok.

28 Section 7: Bázis, vektorok koordinátái Bázis, vektorok koordinátái Láttuk: bármely d R 3 vektor egyértelműen felbontható a nem egy síkban fekvő a, b, c R 3 vektorok irányába eső összetevőkre. Ugyenez másképp: d egyértelműen feĺırható a lineárisan független a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként. Definíció. Térbeli vektorok egy lineárisan független vektorhármasát bázisnak nevezzük.

29 Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 29 Speciális bázisok: ortogonális bázis: az alapvektorok páronként merőlegesek egymásra; normált bázis: az alapvektorai egységvektorok; ortonormált bázis: az alapvektorok egymásra páronként merőleges egységvektorok. Tekintsünk három, egy pontból kiinduló, páronként egymásra merőleges egységvektort. Jelölje őket i, j, k, és alkossanak ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert. Válasszuk az i, j, k vektorokat bázisunk alap-

30 Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 30 vektorainak. Ez tehát egy ortonormált bázis. Illesszünk az alapvektorokra egy-egy egyenest; ezek lesznek koordináta-rendszerünk x, y, z tengelyei, metszéspontjuk az O origó.

31 Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 31 A tér bármely a vektora egyértelműen felbontható a bázis alapkvektorai irányába eső összetevőkre. Legyen a felbontás az alábbi: a = a 1 i + a 2 j + a 3 k.

32 Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 32 Definíció. Ebben a felbontásban az a 1, a 2, a 3 valós számok az a vektor koordinátái, az a 1 i, a 2 j, a 3 k vektorok az a vektor komponensei. Az a vektor koordinátáit egy rendezett számhármassal, az a(a 1 ; a 2 ; a 3 ) alakban szokás kifejezni (sorvektoros írásmód). Más jelölés: v = xi + yj + zk, v(x; y; z).

33 Section 7: Bázis, vektorok koordinátái 33 Sokszor célszerű az oszlopvektoros alakot használni: a 1 a = a 2 a 3 A térbeli vektorok és a tér pontjai között fennálló kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés miatt az a vektor A végpontjának Descartes-koordinátái azonosak az a vektor i, j, k bázisra vonatkozó koordinátáival. Az a vektort az A pont helyvektorának is szokták nevezni.

34 Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Megnézzük, hogy a korábban megismert fogalmakat hogyan lehet értelmezni, illetve a műveleteket elvégezni koordinátákkal adott vektorokkal. Tekintsük az a(a 1 ; a 2 ; a 3 ) és b(b 1 ; b 2 ; b 3 ) vektorokat (a i, b i R, i = 1, 2, 3).

35 Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Két vektor egyenlősége Álĺıtás. a = b akkor és csak akkor, ha a 1 = b 1, a 2 = b 2, a 3 = b Két vektor összege és különbsége A megadott koordinátákkal a = a 1 i + a 2 j + a 3 k és b = b 1 i + b 2 j + b 3 k. Ekkor a vektor skalárral való szorzásának tulajdon-

36 Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal 36 ságaiból: a + b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) + (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = (a 1 + b 1 )i + (a 2 + b 2 )j + (a 3 + b 3 )k, és hasonlóan a b = (a 1 b 1 )i + (a 2 b 2 )j + (a 3 b 3 )k.

37 Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal 37 Álĺıtás. Két vektor összegének (különbségének) a koordinátái a két vektor megfelelő koordinátáinak az összegével (különbségével) egyenlők.

38 Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Vektor szorzása skalárral Tekintsük az a(a 1 ; a 2 ; a 3 ) vektort és a λ valós számot. Ekkor a vektor skalárral való szorzásának korábban tárgyalt tulajdonságaiból: λa = λ(a 1 i + a 2 j + a 3 k) = (λa 1 )i + (λa 2 )j + (λa 3 )k. Álĺıtás. Egy vektort úgy szorzunk meg egy valós számmal, hogy a vektor valamennyi koordinátáját megszorozzuk ezzel a számmal.

39 Section 8: Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Vektorok lineáris kombinációja Tekintsük az a(a 1 ; a 2 ; a 3 ), b(b 1 ; b 2 ; b 3 ), és c(c 1 ; c 2 ; c 3 ) vektorokat, valamint az α, β, γ valós számokat. Az előző bekezdésekben leírtak alapján a v = αa + βb + γc vektor koordinátái: v(αa 1 + βb 1 + γc 1 ; αa 2 + βb 2 + γc 2 ; αa 3 + βb 3 + γc 3 ).

40 Section 9: Két vektor skaláris szorzata Két vektor skaláris szorzata Ha egy anyagi pont az állandó F erő hatására egy egyenes mentén elmozdul, akkor az F erő által végzett munka nagysága: F r cos α, ahol r az elmozdulást megadó vektor, α pedig az F és r vektorok hajlásszöge. Két vektorhoz egy számot (skaláris mennyiséget) rendeltünk hozzá.

41 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 41 Definíció. Két tetszőleges a, b R 3 vektor skaláris szorzatán (vagy skalárszorzatán) az ab = a b cos ϕ ab számot értjük, ahol ϕ ab az a és b vektorok hajlásszögét jelöli. (Két vektor hajlásszögén a két irány által bezárt szögek közül a nem nagyobbikat értjük.)

42 Section 9: Két vektor skaláris szorzata A skaláris szorzat tulajdonságai Legyen a, b, c R 3 és λ R. 1. ab = ba; 2. a(b + c) = ab + ac; 3. (λa)b = λ(ab) = a(λb); 4. Ha az a, b vektorok ϕ ab hajlásszöge hegyesszög, akkor ab > 0; tompaszög, akkor ab < 0.

43 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 43 Álĺıtás. Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor nulla, ha a két vektor merőleges egymásra Koordinátákkal adott vektorok skaláris szorzata Az i, j, k alapvektorok skaláris szorzata, mivel ortonormáltak: ii = jj = kk = 1, ij = jk = ki = 0. Legyen a = a 1 i + a 2 j + a 3 k és b = b 1 i + b 2 j + b 3 k.

44 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 44 Ekkor ab = (a 1 i + a 2 j + a 3 k)(b 1 i + b 2 j + b 3 k) = a 1 b 1 ii + a 1 b 2 ij + a 1 b 3 ik + a 2 b 1 ji + a 2 b 2 jj + a 2 b 3 jk + a 3 b 1 ki + a 3 b 2 kj + a 3 b 3 kk. Mivel csak a sorok elején álló három tag nem nulla, ezért végül: ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3.

45 Section 9: Két vektor skaláris szorzata Alkalmazások Vektor abszolút értéke Szorozzunk meg önmagával skalárisan egy a(a 1 ; a 2 ; a 3 ) vektort. Ekkor egyrészt a 2 = aa = a a cos 0 = a 2, másrészt a 2 = a a a 2 3. Tehát a 2 = a a a 2 3, amiből a abszolút értéke (hossza): a = a a2 2 + a2 3.

46 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 46 Adott vektor irányába mutató egységvektor Legyen a adott vektor. Az a irányába mutató e a egységvektort megkapjuk, ha az a vektort megszorozzuk a hosszának reciprokával: e a = a a. Az e a vektor koordinátái tehát: ( a1 e a a ; a 2 a ; a ) 3. a

47 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 47 E koordinátákat az a vektor iránykoszinuszának nevezik. (Miért?) Két vektor hajlásszöge Átrendezve az ab = a b cos ϕ ab egyenlőséget, azt kapjuk, hogy cos ϕ ab = ab a b.

48 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 48 Egy vektornak egy másik vektorra eső merőleges vetülete Legyen adott az a és b vektor; keressük a- nak b-re eső merőleges vetületének hosszát. Az a b vetületvektor hossza: a b = a cos α. Ha e b a b vektor irányába eső egységvektor, akkor ae b = a 1 cos α = a b. Vagyis az a-nak b-re eső merőleges vetületének hossza

49 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 49 a b = ae b. Az a b vetületvektort úgy kapjuk, hogy a vetület hosszával megszorozzuk az irányába mutató e b egységvektorral: a b = (ae b )e b.

50 Section 9: Két vektor skaláris szorzata Az egyenes paraméteres vektoregyenlete Adott egy r 0 = OP 0 R 3 helyvektor és egy v R 3 (v 0) vektor. Tekintsük a P 0 ponton áthaladó, v irányvektorú e egyenest. Egy r helyvektorú P pont akkor és csak akkor van rajta az e egyenesen, ha az r r 0 vektor a v irányvektorral egy egyenesen fekszik. Azaz, akkor és csak

51 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 51 akkor, ha van olyan t valós szám, amellyel r r 0 = tv. Definíció. Az r(t) = r 0 + tv egyenlőséget az egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezzük. Ebben t R a paraméter. Ha ezt az egyenletet a benne szereplő vektorok koordinátáira írjuk fel, akkor az egyenes paraméteres egyenletrendszerét kapjuk. Az r(x; y; z), r 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ), v(v 1 ; v 2 ; v 3 ) jelölést hasz-

52 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 52 nálva kapjuk: x = x 0 + v 1 t, y = y 0 + v 2 t, z = z 0 + v 3 t. Ha a v 1, v 2, v 3 egyike sem nulla, akkor az egyenletekből kiküszöbölhető t, és az egyenes így kapott egyenletrendszere: x x 0 v 1 = y y 0 v 2 = z z 0 v 3.

53 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 53 Megjegyzések: 1. Ha v valamelyik (pl. első) koordinátája 0, akkor az egyenes valamelyik (esetünkben az yz) síkkal párhuzamos. 2. Ha v két koordinátája 0, akkor az egyenes valamelyik koordinátatengellyel párhuzamos. 3. Ha v egységvektor, akkor koordinátái az iránykoszinuszok.

54 Section 9: Két vektor skaláris szorzata A sík egyenletei A sík vektoregyenlete Tekintsük azt a síkot, amely illeszkedik a rögzített O pontból kiinduló r 0 helyvektorú P 0 pontra, és merőleges az n R 3 (n 0) vektorra, a sík normálvektorára. Egy r helyvektorú P pont akkor és csak akkor van rajta a síkon, ha az r r 0 vektor merőleges az n normálvektorra, vagyis ha

55 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 55 Ez a sík vektoregyenlete. n(r r 0 ) = 0. A sík egyenletének általános alakja Az n(a; B; C), r(x; y; z), r 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) jelölésekkel az előző egyenlet az A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 alakra hozható. Elvégezve a kijelölt szorzásokat, és a D = Ax 0 By 0 Cz 0 jelöléssel a sík egyenletének

56 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 56 Ax + By + Cz + D = 0 alakú, ún. általános alakját kapjuk. A Hesse-féle normálegyenlet Ha a sík vektoregyenletében szereplő n normálvektor egységvektor, akkor koordinátái iránykoszinuszok, és az x cos α + y cos β + z cos γ + ρ = 0 alakú egyenletben, az ún. Hesse-féle normálegyenletben szereplő ρ állandó anszolút értéke a síknak az origótól mért távolságát adja meg.

57 Section 9: Két vektor skaláris szorzata 57 A sík tengelymetszetes egyenlete Ha a sík a koordinátatengelyeket az origótól mérve rendre a nem nulla a, b, c távolságra metszi, akkor a sík tengelymetszetes egyenlete az alábbi: x a + y b + z c = 1.

58 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata Két vektor vektoriális szorzata Tetszőleges a, b R 3 vektorhoz egy új vektort rendelünk hozzá a vektoriális szorzás segítségével. Az új vektor jelölése: a b (olv.: kereszt b ). a

59 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 59 Definíció. Az a, b R 3 vektorok a b- vel jelölt vektoriális szorzatának azt a vektort nevezzük, amelynek 1. hossza a b = a b sin ϕ ab, 2. iránya az a és b vektorok síkjára merőleges, és 3. irányítása olyan, hogy az a, b és a b vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak.

60 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata A vektoriális szorzat geometriai jelentése Az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe a két vektor vektoriális szorzatának abszolút értékével egyenlő: t = am = a b sin α = a b. Ezért az a és b vektorok által kifeszített háromszög területe t = 1 2 a b.

61 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata A vektoriális szorzat tulajdonságai a b = (b a), A vektoriális szorzat nem kommutatív, vagyis a b b a. De az alábbi tulajdonságok következnek a definícióból: λ(a b) = (λa) b = a (λb), a (b + c) = a b + a c, (b + c) a = b a + c a,

62 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 62 i i = j j = k k = 0, i j = k, i k = j, j k = i, j i = k, k i = j, k j = i. Tétel. Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor zérusvektor, ha a két vektor párhuzamos egymással.

63 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata Koordinátákkal adott vektorok vektoriális szorzata Legyen a = a 1 i + a 2 j + a 3 k és b = b 1 i + b 2 j + b 3 k. Ekkor a b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = = a 1 b 1 (i i) + a 2 b 1 (j i) + a 3 b 1 (k i) + + a 1 b 2 (i j) + a 2 b 2 (j j) + a 3 b 2 (k j) + + a 1 b 3 (i k) + a 2 b 3 (j k) + a 3 b 3 (k k). Az előző tulajdonságokat felhasználva kapjuk, hogy a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 )i (a 1 b 3 a 3 b 1 )j + (a 1 b 2 a 2 b 1 )k.

64 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 64 Ez a kifejezés a determináns segítségével így írható (e harmadrendű determináns első sora szerinti kifejtése): a b = i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3.

65 Section 10: Két vektor vektoriális szorzata 65 i j k a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 = i b 1 b 2 b 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 a 3 b 2 ) j(a 1 b 3 a 3 b 1 ) + k(a 1 b 2 a 2 b 1 ).

66 Section 11: Három vektor vegyes szorzata Három vektor vegyes szorzata Definíció. Az a, b, c R 3 nem egysíkú vektorokból képzett abc = (a b)c szorzatot az a, b, c vektorok vegyes szorzatának nevezzük. Vegyes, mert vektoriális és skaláris szorzás is szerepel benne. Mi lesz az eredmény? Vektor vagy skalár?

67 Section 11: Három vektor vegyes szorzata 67 Nyilván skalár: a b c cos α, ahol α az a b és a c vektorok hajlásszöge. Mivel a b az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe, a c cos α pedig az ábrán látható paralelepipedon m magassága, ezért érvényes az alábbi álĺıtás.

68 Section 11: Három vektor vegyes szorzata 68 Álĺıtás. Az a, b, c vektorok vegyes szorzata az e vektorok által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogatát adja. Az előjel a paralelepipedon elhelyezkedését adja meg (attól függően pozitív vagy negatív, hogy a c vektor ugyanabba a térfélbe mutat-e, mint az a b), a szám pedig a térfogat mérőszámát. Az abc jelölésben nem látszik, hogy hol van a vektoriális és hol a skaláris szorzás jele. Ez nem is szükséges, mert érvényes az alábbi tétel.

69 Section 11: Három vektor vegyes szorzata 69 Tétel. (Felcserélési tétel) (a b)c = a(b c). Geometriai jelentése: egy paralelepipedon térfogatának kiszámításakor mindegy, hogy melyik oldallapjának a területét és az ehhez tartozó magasságot szorozzuk össze. Ha az a, b, c vektorok koordinátáikkal adottak, vagyis a = a 1 i + a 2 j + a 3 k, b = b 1 i + b 2 j + b 3 k és c = c 1 i + c 2 j + c 3 k, akkor a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 )i (a 1 b 3 a 3 b 1 )j+(a 1 b 2 a 2 b 1 )k, és így

70 Section 11: Három vektor vegyes szorzata 70 (a b)c = (a 2 b 3 a 3 b 2 )c 1 (a 1 b 3 a 3 b 1 )c 2 + (a 1 b 2 a 2 b 1 )c 3 = a 1 (b 2 c 3 b 3 c 2 ) a 2 (b 1 c 3 b 3 c 1 ) + a 3 (b 1 c 2 b 2 c 1 ). A jobb oldal itt is egy harmadrendű determináns értéke: a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3.

71 Section 11: Három vektor vegyes szorzata 71 Tétel. Három vektor vegyes szorzata akkor és csak akkor nulla, ha a három vektor egysíkú.