Analitikus geometria c. gyakorlat
|
|
- Kornél Orsós
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges b-re? 2) Igazoljuk, hogy az a és b vektorok párhuzamosak egymással akkor és csak akkor, ha fennáll b a a b = 0 vagy b a + a b = 0. 3) A térben rögzítve van egy O pontot. Vegyünk egy AB szakaszt, melynek felez pontját jelölje F és az A-hoz közelebbi harmadolópontját jelölje H. Fejezzük ki az OF és OH vektorokat az OA, OB vektorokkal. 4) Legyenek m és n pozitív egész számok. Vegyük az AB szakaszon azt a P pontot, amelyre teljesül az AP : P B = m : n. Fejezzük ki az OP helyvektort az OA, OB vektorokkal. 5) Tekintsünk egy ABC háromszöget és egy O pontot. Mutassuk meg, hogy az ABC háromszög S súlypontjának helyvektorára fennáll OS = 1( OA + 3 OB + OC). 6) Legyenek a és b olyan vektorok, amelyek nem párhuzamosak egymással és egyenl hosszúságúak (vagyis a = b ). Mutassuk meg, hogy ekkor az a + b és a b vektorok mer legesek egymásra. 7) Tekinsünk egy ABC háromszöget. Legyen O az ABC háromszög köré írt kör középpontja. Vegyük az a = OA, b = OB és c = OC vektorokat, továbbá azt az M pontot, melynek helyvektorára fennáll OM = a + b + c. Bizonyítsuk be, hogy az M pont az ABC háromszög magasságpontja. (Alkalmazzuk az el z feladatban szerepl összefüggést.) 8) Adva van egy olyan n-oldalú szabályos sokszög, ahol n egy páratlan szám. Igazoljuk, hogy a szabályos sokszög O középpontjából a sokszög csúcsaiba mutató vektorok összege 0. 9) A síkban egy O pont körül végezzünk elforgatást egy adott α szöggel. Egy síkbeli a elforgatottját jelölje a F. Mutassuk meg, hogy tetsz leges a, b síkbeli vektorok esetén fennáll (a + b) F = a F + b F. 10) Egy parallelogramma oldalaira kifelé rajzoljunk egy-egy négyzetet. Vektorokat alkalmazva igazoljuk, hogy a négyzetek középpontjai egy újabb négyzet csúcspontjai. 11)* A síkban adva van egy ABCD húrnégyszög. Vegyük a húrnégyszög csúcsai által meghatározott ABC, BCD, CDA és DAB háromszögek magasságpontjait. Igazoljuk, hogy ezek a magasságpontok egy olyan négyszög csúcsai, amely egybevágó az eredeti húrnégyszöggel. Gyakorlathoz ajánlott jegyzet: (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2005). Strohmajer János: Geometriai példatár II.
2 2. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Egy parallelepipedon egyik csúcsát jelölje O. Az O csúcsból az t tartalmazó lapok középpontjaiba mutató vektorok legyenek u, v és w. Fejezzük ki a parallelepipedon O kezd pontú élvektorait az u, v, w vektorokkal. 2) Legyen adott egy ABCD tetraéder. Ha vesszük az egyik csúcs és a szemközti lap súlypontjának az összeköt szakaszát, akkor azt a tetraéder egyik súlyvonalának mondjuk. Vektorok alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy a tetraéder négy súlyvonala egyazon pontra illeszkedik és ez a pont negyedeli a súlyvonalakat. 3) Mutassuk meg, hogy két centrális tükrözés szorzata egy eltolás. Igazoljuk, hogy egy centrális tükrözés és egy eltolás szorzataként egy centrális tükrözést kapunk. 4) Bizonyítsuk be, hogy amennyiben egy A (A ) alakzatnak van legalább két szimmetriacentruma, akkor az A alakzat nem lehet korlátos, továbbá Anak végtelen sok szimmetriacentruma van. 5) A síkban adva vannak egy ötszög oldalainak a felez pontjai. Szerkesszük meg ezen pontokból az ötszöget (egybevágósági transzformációk segítségével). 6) A szokásoknak megfelel en az a (a 0) vektorral egyirányú egységvektort jelölje a 0. Legyenek a és b olyan vektorok, amelyek nem párhuzamosak egymással. Mutassuk meg, hogy az a 0 + b 0 és b a + a b vektorok iránya megegyezik, továbbá ezek felezik az a, b vektorok szögét. 7) A síkban legyen adott egy olyan ABC háromszög, ahol b < c. Vegyünk egy h hosszt, amelyre fennáll h < b. A BA és CA oldalakon jelöljük ki azon M és N pontokat, melyekre igaz BM = h és CN = h. Jelöljék F és E a BC, MN szakaszok felez pontjait. Bizonyítsuk be, hogy az EF szakasz párhuzamos a háromszög A csúcsbeli szögfelez jével. 8) Legyenek i és j egymásra mer leges egységvektorok. Tekintsük az a = 2 i j, b = i+j és v = i 5j vektorokat. Fejezzük ki a v vektort a v = α a+β b alakban. Határozzuk meg az α, β együtthatók értékét. 9) Legyen adott egy ABCD parallelogramma. Ennek BC és CD oldalán vegyük azon M és N pontokat, melyekre fennáll BM = 3 BC és DN = 1 DC. Jelölje P az AM és 4 3 BN szakaszok metszéspontját. Döntsük el, hogy a P pont milyen arányban osztja az AM és BN szakaszokat (AP : P M =?, BP : P N =?). 10) Vegyünk a síkban egy tetsz leges ABC háromszöget. Ennek AC és BC oldalaira kifelé szerkesszük meg az ACP és BCQ szabályos háromszögeket. A CP szakasz felez pontját jelölje E, a CQ szakasz felez pontját F, az AB szakasz felez pontját pedig C 1. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy az EF C 1 háromszög szabályos.
3 3. feladatsor (Vektorok koordinátái. Szögfüggvények) 1) Egy erd ben a fák egy négyzetrács mintájára helyezkednek el észak-déli és keletnyugati irányban. Az erd közepén az egyik fáról elindul egy madár, amely mindig egy szomszédos fára röppen át. Azonban a nyolc szomszédos fa közül csak háromra tud átröppenni, konkrétan vagy az északnyugati, vagy az északkeleti, vagy pedig a déli irányba es szomszédos fára. Vektorokat alkalmazva döntsük el, hogy 50 (illetve 100) felröppenés után vissza tud-e jutni a madár a kiindulási fára. 2) A szabad vektorok V terében rögzítve vannak az e 1, e 2, e 3 vektorok, amelyek lineárisan függetlenek, vagyis egy bázist alkotnak. Az a, b, c vektoroknak ezen bázisra vonatkozó koordinátái a(3, 2, 0), b( 2, 1, 1), és c(2, 4, 2). Határozzuk meg a v = 5 a + 2 b 3 c vektor koordinátáit. 3) Adva van három lineárisan összefügg vektor a, b és c, melyeknek az e 1, e 2, e 3 bázisra vonatkozó koordinátái a következ k: a(1, 2, 1), b(1, 3, 2), c(1, y, 10). Határozzuk meg a c vektor hiányzó koordinátáját. 4) Adva van négy vektor, melyeknek egy V-beli bázisra vonatkozó koordinátái a következ k: a(2, 1, 1), b( 1, 3, 0), c(1, 0, 7) és d(9, 9, 10). Állítsuk el a d vektort az a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként, határozzuk meg az ebben szerepl együtthatókat. 5) A szabad vektorok V terének vegyük egy i, j, k ortonormált bázisát. Tekintsük a v = 6 i 9 j+2 k vektort. Adjuk meg a v-vel egyirányú v 0 egységvektor koordinátáit. 6) A térben adva vannak az O, A, B pontok, amelyek nem kollineárisak. Igazoljuk, hogy az OP = α OA+β OB helyvektorral meghatározott P pont rajta van az A, B pontok egyenesén akkor és csak akkor, ha az α, β számokra fennáll α + β = 1. 7) Legyenek α, β és γ olyan 0 és π közé es valós számok, amelyek különböznek π 2 t l és melyekre fennáll α + β + γ = π. Mutassuk meg, hogy ekkor teljesül a tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ összefüggés. 8) Legyen α egy tetsz leges valós szám és n egy pozitív egész szám, amelyre fennáll n 3. Bizonyítsuk be, hogy igazak a cos α + cos ( ) ( ) α + 2π n cos α + (n 1) 2π n = 0, n 1 k=0 sin( ) α + k 2π n = 0, összefüggések. Utalás: Használjuk ki, hogy egy noldalú szabályos sokszög küls szögeinek mértéke (2π)/n. 9) Tekintsünk egy ABC háromszöget, és annak az AB, BC, CA oldalain vegyünk fel egy-egy pontot. A pontok sorrendben legyenek C 1, A 1 és B 1. Bizonyítsuk be, hogy AA 1 + BB 1 + CC 1 = 0 teljesül akkor és csak akkor, ha fennáll AC 1 AB = BA 1 BC = CB 1 CA.
4 4. feladatsor (Vektorok skaláris szorzata) Amennyiben a szabad vektorok V terének vesszük egy i, j, k bázisát, akkor a továbbiakban mindig feltesszük, hogy ez a bázis ortonormált. 1) Bizonyítsuk be, hogy fennáll a 8 cos( π 18 ) cos( π 9 ) cos( 2π 9 ) = ctg ( π 18 ) összefüggés. 2) A σ síkban adva van egy derékszög koordináta-rendszer, melynek kezd pontja O, élvektorai i és j. A síkban vegyük azt a rombuszt, amelynek két átellenes csúcsa A( 1, 2) és C(7, 4), a rombusz oldalainak hossza pedig a = 5 5. Határozzuk meg 2 a másik két csúcs koordinátáit. 3) A koordináta-rendszerrel ellátott σ sík tetsz leges P (x P, y P ) pontjának feleltessük meg a z P = x p + y P i komplex számot. Ezzel egy bijektív megfeleltetést nyerünk σ pontjai és a C számtest elemei között. Vegyük a c = 1( 3 + i) komplex számot. 2 Jellemezzük azt a síkbeli transzformációt, amelyet úgy kapunk, hogy a z komplex számnak megfelel ponthoz a c z számhoz tartozó pontot rendeljük hozzá. 4) A szabad vektorok terében vegyük az a = 4 i 4 j 7 k és b = 3 i + 12 j + 3 k vektorokat. Határozzuk meg a két vektor skaláris szorzatát és hajlásszögét. 5) Adva vannak az a (1, 4, 1) és b (x, 1, 4) vektorok, amelyek hajlásszöge ϕ = 120. Határozzuk meg a b vektor hiányzó els koordinátáját. 6) Tekintsük azon a és b vektorokat, melyeknél az ortonormált bázisra vonatkozó koordináták a (6, 3, 12) és b ( 3, 5, 8). Bontsuk fel a b vektort az aval párhuzamos és az ara mer leges összetev k öszegére (b = b p + b m ). Határozzuk meg a b p, b m vektorok koordinátáit. 7) Az a, b vektorokról azt tudjuk, hogy különböznek a 0 nullvektortól és tetsz leges α, β együtthatók esetén α a + β b mer leges a β a α b vektorra. Határozzuk meg az a, b vektorok hajlásszögét és hosszaik arányát. 8) Legyenek x, y, z olyan valós számok, melyekre igaz x 2 + y 2 + z 2 4. A skaláris szorzás alkalmazásával igazoljuk, hogy fennáll 14 3x 6y + 2z 14. 9) Legyenek adva az O, A, B, C térbeli pontok. Igazoljuk, hogy a pontok által meghatározott irányított szakaszok vektoraira fennáll az OA BC + OB CA + OC AB = 0 összefüggés. 10) A térben vegyünk egy O pontot. Tekintsük az O kezd ponttal és az i, j, k alapvektorokkal meghatározott koordináta-rendszert. Tekintsük azt az ABC háromszöget, ahol a csúcspontok koordinátái: A (0, 0, 3), B (4, 4, 5), C ( 2, 4, 3). A C pontnak a g = A, B egyenesre vonatkozó tükörképét jelölje C t. Az AC vektor mer leges összetev kre való felbontásával határozzuk meg a C t pont koordinátáit.
5 5. feladatsor (Vektorok skaláris szorzata) Amennyiben egy feladatban térbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor mindig feltesszük, hogy azok egy Descartes-féle koordináta-rendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és alapvektorai i, j, k. 1) Tekintsünk egy ABC szabályos háromszöget. Vegyük a háromszög köré írható k kört és annak egy P pontját. Vektorok skaláris szorzását alkalmazva igazoljuk, hogy a P A 2 + P B 2 + P C 2 összeg értéke nem függ a P köri pont megválasztásától. 2) A derékszög koordináta-rendszerrel ellátott térben tekintsük azt a σ síkot, amely áthalad az A(0, 3, 2) ponton és mer leges a v(2, 3, 3) vektorra. Vegyük a térben a P (7, 8, 3) pontot, melynek a σ-ra vonatkozó mer leges vetüteletét jelölje P. Az AP vektor mer leges összetev kre való felbontásával határozzuk meg a P vetületi pont koordinátáit. 3) Adva van a térben egy ABCD parallelogramma, ahol két csúcs koordinátái ismertek A(2, 4, 5) és B(3, 4, 2). Tudjuk továbbá, hogy az A csúcsnál lév szög α = 30, az AD élvektor egyirányú a v (1, y, 2) vektorral és AD = 3 6. Határozzuk meg a C, D csúcsok koordinátáit az y < 0 esetben. 4) A síkban adva van egy ABC háromszög, melynek oldalai a = BC = 6, b = CA = 4 és c = AB = 5. Tekintsük az A csúcsból kiinduló AF súlyvonalat és a C csúcsbeli CT szögfelez t. Jelölje P a súlyvonal és a szögfelez metszéspontját. Vektorok alkalmazásával határozzuk meg, hogy a P metszéspont milyen arányban osztja a súlyvonalat és a szögfelez t (AP : AF =?, CP : CT =?). (Utalás: Vegyük az AB és AC oldalakhoz tartozó élvektorokat és azok lineáris kombinációjaként fejezzük ki a többi síkbeli vektort.) 5) Adjunk választ az alábbi kérdésre. Maximum hány (0-tól különböz ) vektort lehet megadni a térben azon feltétel mellett, hogy közülük bármely két vektornak ugyanaz legyen a hajlásszöge? 6) Legyenek a és b olyan a 0tól különböz vektorok, amelyek esetében az a + 3b mer leges a 7a 5b vektorra, továbbá az a 4b, 7a 2b vektorok is mer legesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az a, b vektorok hajlásszöge 60. 7)* Tekintsünk egy tetsz leges négyszöget, melynél az oldalak hossza a, b, c, d, az átlók hossza pedig e, f. Jelölje h az átlók felez pontjainak a távolságát. Vektorok skaláris szorzatának alkalmazásával igazoljuk, hogy fennáll a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = e 2 + f h 2. (Használjuk ki, hogy három élvektor már meghatározza a négyszöget.) 8)* A síkban legyen adott egy ABC háromszög. Ennek mindhárom oldalára kifelé állítsunk egyegy szabályos háromszöget. Tekintsük azt a háromszöget, melynek csúcsai azonosak az oldalakra állított szabályos háromszögek középpontjaival. Vektorokat alkalmazva igazoljuk, hogy ez a háromszög szabályos (Napóleon-tétel).
6 6. feladatsor (Vektoriális szorzat, vegyes szorzat) Ha koordinátákat alkalmazunk, akkor feltesszük, hogy a térben adva van egy derékszög koordináta-rendszer, melyben az i, j, k ortonormált alapvektorok jobbrendszert képeznek. 1) Tekintsük az a = i 3j + 2k és b(2, 5, 1) vektorokat. Adjunk meg egy olyan c vektort, amely mer leges az a, b vektorokra, továbbá az a, b, c vektorhármas egy jobbrendszert képez. 2) A térben adva van egy ABC háromszög, amelynél a csúcsok térbeli koordinátái A(2, 1, 0), B(4, 3, 3) és C(1, 1, 6). Vektoriális szorzás alkalmazásával határozzuk meg a háromszög területét. 3) A térben adva van egy g egyenes, amely áthalad az A ponton és párhuzamos egy v (v 0) vektorral. Igazoljuk, hogy egy tetsz leges P pontnak a g egyenest l mért v AP távolságára teljesül a d(g, P ) = összefüggés. v 4) Bizonyítsuk be a kifejtési tétel alkalmazásával, hogy tetsz leges a, b, c vektorokkal fennáll az (a b) c + (b c) a + (c a) b = 0 összefüggés. (Ezt nevezik Jacobi-azonosságnak.) 5) Adva vannak a lineárisan független a(3, 2, 4), b( 1, 1, 4) és c(2, 3, 7) vektorok. Határozzuk meg a három vektor által kifeszített parallelepipedon térfogatát. Döntsük el, hogy az a, b, c vektorok ebben a sorrendben vajon jobbrendszert vagy balrendszert képeznek. 6) Adva van egy tetraéder, amelynél a négy csúcs koordinátái A(2, 3, 1), B(4, 1, 2), C(6, 3, 7) és D( 5, 4, 8). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát és a D csúcshoz tartozó magasságot. (Az AB, AC, AD vektorokkal kifeszített parallelepipedon térfogata hányszorosa a tetraéder térfogatának?) 7) Adva van három lineárisan független vektor a, b és c. Jelöljük V vel az általuk kifeszített parallelepipedon térfogatát. Tekintsük továbbá azt a parallelepipedont, melyet a 2a + 3b + 4c, a b + c és 2a + 4b c vektorok feszítenek ki, és jelölje ˆV ennek térfogatát. Határozzuk meg a ˆV /V hányados értékét. 8) Legyen adott három vektor a, b és c, melyek lineárisan függetlenek, vagyis egy bázisát képezik a szabad vektorok V terének. Alkalmazzuk most az [a, b, c] jelölést a három vektor vegyes szorzatára (a hagyományos (a b) c jelölés helyett). Tekintsünk egy tetsz leges v vektort. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az alábbi összefüggés v = [v, b, c] [a, v, c] [a, b, v] a + b + [a, b, c] [a, b, c] [a, b, c] c. 9) Adva van egy ABCD szabályos tetraéder, amelynél három csúcs koordinátái ismertek A (0, 1, 3), B (4, 2, 2) és C (1, 2, 1). Határozzuk meg a szabályos tetraéder D csúcsának a koordinátáit. (A feladatnak két megoldás van.)
7 7. feladatsor (Térbeli koordinátageometria) Az összes feladatnál feltesszük, hogy a térben adva van egy derékszög koordináta-rendszer, melyben O a kezd pont és az i, j, k ortonormált alapvektorok jobbrendszert képeznek. 1) A derékszög koordináta-rendszerrel ellátott térben vegyük az A(5, 2, 0), B(7, 1, 1), C(6, 4, 4) pontokat. Határozzuk meg a három pontra illeszked sík egyenletét. 2) Tekintsük azt a σ síkot, amelynek egyenlete x 5y + z 2 = 0. Adjuk meg azoknak a σ-val párhuzamos síkoknak az egyenleteit, amelyek a σtól d = 9 3 távolságra vannak. 3) Vegyük azt az ABCD tetraédert, amelynél a csúcsok koordinátái A (1, 3, 2), B(5, 4, 5), C(1, 1, 2) és D (4, 3, 8). Határozzuk meg annak az ABC lappal párhuzamos síknak az egyenletét, amely egy t = 4 terület háromszögben metszi el a tetraédert. 4) Vegyük a térben az A(2, 3, 1), B(6, 0, 4) pontokat és a rajtuk áthaladó g egyenest. Adjuk meg a g egyenes paraméteres egyenletrendszerét. Írjuk le a g egyenest két lineáris egyenlettel, illetve egyetlen másodfokú egyenlettel. 5) Adva van a térben a σ sík, melynek egyenlete 5x + 3y z 21 = 0. Vegyük azt az e egyenest, amelynek paraméteres egyenletrendszere x = 5 + 3t, y = 8 + 7t, z = t (t R). Határozzuk meg az e egyenes és a σ sík metszéspontjának koordinátahármasát. Ezt követ en adjuk meg az e egyenes σ-ra es mer leges mer leges vetületének az egyenletrendszerét. 6) Tekintsük a térben a 3x + y 4z + 10 = 0 egyenlet síkot és a C(8, 6, 3) pontot. Határozzuk meg azon C centrumú gömb egyenletét, amely érinti az adott síkot, illetve adjuk meg az érintési pont koordinátáit. 7) Tekintsük a 3x + y 2z 12 = 0 és 2x + 3y + z 8 = 0 egyenlet síkokat. Határozzuk meg a két sík hajlásszögét, továbbá adjuk meg a metszésvonaluk (egyik) paraméteres egyenletrendszerét. 8) A térben adva van két kitér helyzet egyenes, amelyek paraméteres egyenletrendszere x = 11 7t, y = t, z = 2, illetve x = 7 + τ, y = 8, z = τ. Határozzuk meg a két egyenes normális transzverzálisának a paraméteres egyenletrendszerét és metszéspontjait az adott egyenesekkel. Adjuk meg a két egyenes távolságát is. 9) Adva van egy ABCDM szabályos négyzetes gúla, amelynek M(9, 4, 1) csúcsa ismert. Az ABCD négyzet benne van a 2x + y + 2z + 3 = 0 egyenlet síkban és az egyik alaplapi csúcspont A(x A, 1, 8). Határozzuk meg a négyzetes gúla összes csúcspontjának a koordinátáit. 10) Adva van egy G gömb, melynek normálegyenlete x 2 +y 2 +z 2 6x 2y +8z 74 = 0. Vegyük az x 2y + 2z 11 = 0 egyenlet σ síkot. Határozzuk meg a σ sík által a G gömbb l kimetszett kör centrumát és sugarát.
8 8. feladatsor (Térbeli és síkbeli analitikus feladatok) Ha egy feladatban síkbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor azok egy derékszög koordinátarendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és ortonormált alapvektorai i, j. 1) Tekintsünk a térben egy konvex poliédert és annak egy lapját. A laphoz tartozó területvektoron azt a vektort értjük, amely mer leges a lap síkjára, a poliéderb l kifelé mutat és hossza egyenl a lap területével. Igazoljuk, hogy egy tetraéder négy lapvektorának összege azonos a 0 nullvektorral. 2) Bizonyítsuk be, hogy tetsz leges a, b, c, d térbeli vektorokra teljesül az (a b) (c d) = a c a d b c b d egyenl ség. 3) Tekintsünk egy parallelepipedont, amelynél az egyik testátló végpontjai A és G. Vegyük azt a tetraédert, amelynek csúcsai a parallelepipedon A-ból kiinduló éleinek a felez pontjai és a G pont. Döntsük el, hogy a három felez ponttal és a G-vel meghatározott tetraéder térfogata hányszorosa a parallelepipedon térfogatának. 4) Adva van egy sík és abban egy derékszög koordináta-rendszer. Tekintsük a síkban azt a téglalapot, ahol ismertek az A (4, 2), B (13, 5) csúcspontok és a téglalap AC átlója rajta van a 9x + 7y = 22 egyenlettel leírt egyenesen. Határozzuk meg a téglalap másik két csúcsának a koordinátáit. 5) Tekintsük a síkban a C (6, 7) pontot és az 5x 12y 24 = 0 egyenlettel leírt e egyenest. Határozzuk meg azon kör normálegyenletét, melynek centruma a C pont és amely érinti az e egyenest. (A megoldáshoz nem szükséges az érintési pont meghatározása.) 6) Adva van a síkban a P ( 1, 8) pont és az x 2 + y 2 8x + 4y 5 = 0 egyenlet kör. Adjuk meg P -nek a körre vonatkozó hatványát. Határozzuk meg a P pontból a körhöz húzott érint egyenesek egyenletét és az érintési pontok koordinátáit. 7) A síkban adva van két egyenes, amelyek nem párhuzamosak egymással és az y tengellyel. Az egyenesek meredekségét jelölje m 1 és m 2. Fejezzük ki az m 1, m 2 értékekb l a két egyenes hajlásszögét (cos ϕ =?). 8) A koordináta-rendszerrel ellátott síkban vegyünk egy AB szakaszt, amelynek hossza a + b (a b > 0). A szakaszon tekintsük azt a P pontot, amelyre fennáll AP = b és P B = a. Mozgassuk ezt a szakaszt a síkban oly módon, hogy az A végpont mindig az x tengelyre, a B pont pedig mindig az y tengelyre essen. Adjuk meg a mozgatás során a P pont által leírt alakzat egyik egyenletét. (Az ellipszográf m ködési elve van leírva a feladatban.) 9) A σ síkon legyen adott két pont A és B. Vegyünk egy λ (λ > 0, λ 1) pozitív számot és tekintsük az A = { P σ AP = λ BP } alakzatot. Koordinátageometriai eszközök alkalmazásával mutassuk meg, hogy az A alakzat egy kör. (Ezt mondjuk az A, B pontokhoz tartozó egyik Apollóniosz-körnek.)
9 9. feladatsor (Koordinátageometria. Gömbi geometria) 1) A σ síkban adva van két egymást metsz egyenes e és f. Vegyünk egy h pozitív számot. Tekintsük a H = { P σ d(e, P ) 2 + d(f, P ) 2 = h 2 } alakzatot. Igazoljuk, hogy a H alakzat egy ellipszis. (Vegyünk a síkban egy olyan koordináta-rendszert, melynek tengelyeire való tükrözés egymásba viszi az e, f egyeneseket.) 2) A derékszög koordináta-rendszerrel ellátott térben adva van egy szabályos oktaéder, melynek csúcspontjai az A, B, C, D, E, F pontok, továbbá szimmetriatengelyei az A, F, B, D és C, E egyenesek. Ismert a B (5, 4, 0) csúcspont és az A, F egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = 9+2t, y = 3 t, z = 10 2t (t R). Határozzuk meg a szabályos oktaéder csúcspontjainak a koordinátáit. 3) Adva van egy e egyenes, amelynek paraméteres egyenletrendszere x = 8 + 2t, y = 9 + 2t, z = 4 + 3t, továbbá egy σ sík, amely párhuzamos evel és egyenlete 3x + by + 2z + 12 = 0. Határozzuk meg a b együttható értékét és az e egyenes σ síkra vonatkozó tükörképének az egyenletrendszerét. 4) Tekintsük az 5x + 7y + z 10 = 0 egyenlettel meghatározott σ síkot és abban az A ( 4, 5, 5), B (6, 2, z B ) pontokat. Vegyük azt a σ síkra es ABC háromszöget, ahol fennáll AC = BC és a C csúcsnál lév szög γ = 120. Számítsuk ki a C csúcs koordinátáit. 5) Az O centrumú és r = 4 sugarú G(O, 4) gömbfelületen adva van egy olyan ABC G gömbháromszög, melynek szögei α = π/3, β = π/4 és γ = π/2. Határozzuk meg az a oldal hosszát. 6) A G(O, 3) gömbfelületen tekintsük az A(2, 1, 2), B(2, 2, 1), C(0, 0, 3) csúcsokkal meghatározott ABC G gömbháromszöget. Adjuk meg azt a 3 hosszúságú vektort, amely Oból az A, B, C csúcsokon átmen kör centrumának az irányába mutat. 7) A G(O, r) gömbfelületen legyen adva egy olyan ABC G gömbháromszög, amelyben γ = π ( c ) ( a ) ( b ) 2. Igazoljuk, hogy ekkor fennáll cos = cos cos = ctg α ctg β. r r r 8) A G(O, 1) gömbfelületen adva van egy olyan ABC G gömbháromszög, ahol a = π/6, b = π/4 és α = π/4. Határozzuk meg a gömbháromszögre vonatkozó másik három geometriai adatot (β =?, c =?, γ =?). 9) Igazoljuk, hogy egy ABC G gömbháromszögnek két szöge derékszög akkor és csak akkor, ha két oldalszöge derékszög. 10) Az ABC G gömbháromszögben egy csúcsot a szemközti oldal felez pontjával összeköt gömbi f körívet a gömbháromszög egyik súlyvonalának nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy a gömbháromszög súlyvonalai egyazon pontban metszik egymást.
Analitikus geometria c. gyakorlat (2018/19-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül)
1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül) A tér egy σ síkjában vegyünk két egymásra mer leges egyenest, melyeket jelöljön x és y, a metszéspontjukat pedig jelölje O. A két
Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)
Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal,
Analitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
Elemi matematika 3 c. gyakorlat
1. feladatsor (Szintetikus síkgeometriai feladatok.) 1) Adva van egy sokszög, amelynek hatszor annyi átlója van, mint oldala. Határozzuk meg a sokszög oldalszámát. ) Igazoljuk, hogy egy háromszög súlyvonalainak
Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
Vektoralgebra. 4. fejezet. Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása. Feladatok
4. fejezet Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása T 4.1 (Háromszögegyenl tlenség) Minden a, b vektorpárra a + b a + b. T 4.2 (Paralelogrammaszabály) Ha az a és b vektor különböz
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.
Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,
Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.
1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd
9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
Koordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
Vektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2
1. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó feladatok) Ha egy feladatban síkbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor azok egy derékszög koordinátarendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és ortonormált alapvektorai
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
Koordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.
ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC
Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
Koordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],
(megoldások) 1. Alkalmazzuk a T 5. tételt: AB = [ 1, +, 0+] = [1, 1, ], AC = [,, 6], AD = [,, 9].. A P pontnak az origótól mért távolsága az OP helyvektor hosszával egyenl. OA = 4 + ( ) + ( 4) = 6, OB
Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz
Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz 1. gyakorlat (2012. február 6.), Síkizometriák 1.1. gyakorlat. Milyen síkizometria két (a) egymással párhuzamos (b) egymást α szögben metsz egyenesre vett tengelyes
= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;
98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
Koordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
Az egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató
OktatásiHivatal A 014/01. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató 1. feladat: Adja meg az összes olyan (x,
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
A kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
4. Vektoralgebra (megoldások)
(megoldások).. a) m n = (a + b) (a b) = 6b b) 4m + 4n = 8a ; c) m n = a + 5 b ; d) m + n = 9+ a + 9 b.. a) a 4b= 0 m n ; b) 5a + b= 8 m n ; c) a + b= 7 m + n ; d) a b = 4+ m + n. 0 0 5 4. A szabályos hatszög
2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
Koordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+
4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)
2. házi feladat 1.feladat a b)c d)e f) = a b)[c d) e f)] = = a b)[ecdf) fcde)] = abe)cdf) abf)cde) 2.feladat a) Legyen a két adott pontunk helyzete A = 0, 0), B = 1, 0), továbbá legyen a távolságok aránya
Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?
Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert
Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
2. Síkmértani szerkesztések
2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet
, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei
(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
Analitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2
3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára
Matematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria...........................
KOORDINÁTA-GEOMETRIA
XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal
Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás
Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike
Középpontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
Egybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.
Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely
14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:
14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban
= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,