Analitikus geometria c. gyakorlat

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Analitikus geometria c. gyakorlat"

Átírás

1 matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges b-re? 2) Igazoljuk, hogy az a és b vektorok párhuzamosak egymással akkor és csak akkor, ha fennáll b a a b = 0 vagy b a + a b = 0. 3) A térben rögzítve van egy O pontot. Vegyünk egy AB szakaszt, melynek felez pontját jelölje F és az A-hoz közelebbi harmadolópontját jelölje H. Fejezzük ki az OF és OH vektorokat az OA, OB vektorokkal. 4) Legyenek m és n pozitív egész számok. Vegyük az AB szakaszon azt a P pontot, amelyre teljesül az AP : P B = m : n. Fejezzük ki az OP helyvektort az OA, OB vektorokkal. 5) Tekintsünk egy ABC háromszöget és egy O pontot. Mutassuk meg, hogy az ABC háromszög S súlypontjának helyvektorára fennáll OS = 1( OA + 3 OB + OC). 6) Legyenek a és b olyan vektorok, amelyek nem párhuzamosak egymással és egyenl hosszúságúak (vagyis a = b ). Mutassuk meg, hogy ekkor az a + b és a b vektorok mer legesek egymásra. 7) Tekinsünk egy ABC háromszöget. Legyen O az ABC háromszög köré írt kör középpontja. Vegyük az a = OA, b = OB és c = OC vektorokat, továbbá azt az M pontot, melynek helyvektorára fennáll OM = a + b + c. Bizonyítsuk be, hogy az M pont az ABC háromszög magasságpontja. (Alkalmazzuk az el z feladatban szerepl összefüggést.) 8) Adva van egy olyan n-oldalú szabályos sokszög, ahol n egy páratlan szám. Igazoljuk, hogy a szabályos sokszög O középpontjából a sokszög csúcsaiba mutató vektorok összege 0. 9) A síkban egy O pont körül végezzünk elforgatást egy adott α szöggel. Egy síkbeli a elforgatottját jelölje a F. Mutassuk meg, hogy tetsz leges a, b síkbeli vektorok esetén fennáll (a + b) F = a F + b F. 10) Egy parallelogramma oldalaira kifelé rajzoljunk egy-egy négyzetet. Vektorokat alkalmazva igazoljuk, hogy a négyzetek középpontjai egy újabb négyzet csúcspontjai. 11)* A síkban adva van egy ABCD húrnégyszög. Vegyük a húrnégyszög csúcsai által meghatározott ABC, BCD, CDA és DAB háromszögek magasságpontjait. Igazoljuk, hogy ezek a magasságpontok egy olyan négyszög csúcsai, amely egybevágó az eredeti húrnégyszöggel. Gyakorlathoz ajánlott jegyzet: (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2005). Strohmajer János: Geometriai példatár II.

2 2. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Egy parallelepipedon egyik csúcsát jelölje O. Az O csúcsból az t tartalmazó lapok középpontjaiba mutató vektorok legyenek u, v és w. Fejezzük ki a parallelepipedon O kezd pontú élvektorait az u, v, w vektorokkal. 2) Legyen adott egy ABCD tetraéder. Ha vesszük az egyik csúcs és a szemközti lap súlypontjának az összeköt szakaszát, akkor azt a tetraéder egyik súlyvonalának mondjuk. Vektorok alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy a tetraéder négy súlyvonala egyazon pontra illeszkedik és ez a pont negyedeli a súlyvonalakat. 3) Mutassuk meg, hogy két centrális tükrözés szorzata egy eltolás. Igazoljuk, hogy egy centrális tükrözés és egy eltolás szorzataként egy centrális tükrözést kapunk. 4) Bizonyítsuk be, hogy amennyiben egy A (A ) alakzatnak van legalább két szimmetriacentruma, akkor az A alakzat nem lehet korlátos, továbbá Anak végtelen sok szimmetriacentruma van. 5) A síkban adva vannak egy ötszög oldalainak a felez pontjai. Szerkesszük meg ezen pontokból az ötszöget (egybevágósági transzformációk segítségével). 6) A szokásoknak megfelel en az a (a 0) vektorral egyirányú egységvektort jelölje a 0. Legyenek a és b olyan vektorok, amelyek nem párhuzamosak egymással. Mutassuk meg, hogy az a 0 + b 0 és b a + a b vektorok iránya megegyezik, továbbá ezek felezik az a, b vektorok szögét. 7) A síkban legyen adott egy olyan ABC háromszög, ahol b < c. Vegyünk egy h hosszt, amelyre fennáll h < b. A BA és CA oldalakon jelöljük ki azon M és N pontokat, melyekre igaz BM = h és CN = h. Jelöljék F és E a BC, MN szakaszok felez pontjait. Bizonyítsuk be, hogy az EF szakasz párhuzamos a háromszög A csúcsbeli szögfelez jével. 8) Legyenek i és j egymásra mer leges egységvektorok. Tekintsük az a = 2 i j, b = i+j és v = i 5j vektorokat. Fejezzük ki a v vektort a v = α a+β b alakban. Határozzuk meg az α, β együtthatók értékét. 9) Legyen adott egy ABCD parallelogramma. Ennek BC és CD oldalán vegyük azon M és N pontokat, melyekre fennáll BM = 3 BC és DN = 1 DC. Jelölje P az AM és 4 3 BN szakaszok metszéspontját. Döntsük el, hogy a P pont milyen arányban osztja az AM és BN szakaszokat (AP : P M =?, BP : P N =?). 10) Vegyünk a síkban egy tetsz leges ABC háromszöget. Ennek AC és BC oldalaira kifelé szerkesszük meg az ACP és BCQ szabályos háromszögeket. A CP szakasz felez pontját jelölje E, a CQ szakasz felez pontját F, az AB szakasz felez pontját pedig C 1. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy az EF C 1 háromszög szabályos.

3 3. feladatsor (Vektorok koordinátái. Szögfüggvények) 1) Egy erd ben a fák egy négyzetrács mintájára helyezkednek el észak-déli és keletnyugati irányban. Az erd közepén az egyik fáról elindul egy madár, amely mindig egy szomszédos fára röppen át. Azonban a nyolc szomszédos fa közül csak háromra tud átröppenni, konkrétan vagy az északnyugati, vagy az északkeleti, vagy pedig a déli irányba es szomszédos fára. Vektorokat alkalmazva döntsük el, hogy 50 (illetve 100) felröppenés után vissza tud-e jutni a madár a kiindulási fára. 2) A szabad vektorok V terében rögzítve vannak az e 1, e 2, e 3 vektorok, amelyek lineárisan függetlenek, vagyis egy bázist alkotnak. Az a, b, c vektoroknak ezen bázisra vonatkozó koordinátái a(3, 2, 0), b( 2, 1, 1), és c(2, 4, 2). Határozzuk meg a v = 5 a + 2 b 3 c vektor koordinátáit. 3) Adva van három lineárisan összefügg vektor a, b és c, melyeknek az e 1, e 2, e 3 bázisra vonatkozó koordinátái a következ k: a(1, 2, 1), b(1, 3, 2), c(1, y, 10). Határozzuk meg a c vektor hiányzó koordinátáját. 4) Adva van négy vektor, melyeknek egy V-beli bázisra vonatkozó koordinátái a következ k: a(2, 1, 1), b( 1, 3, 0), c(1, 0, 7) és d(9, 9, 10). Állítsuk el a d vektort az a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként, határozzuk meg az ebben szerepl együtthatókat. 5) A szabad vektorok V terének vegyük egy i, j, k ortonormált bázisát. Tekintsük a v = 6 i 9 j+2 k vektort. Adjuk meg a v-vel egyirányú v 0 egységvektor koordinátáit. 6) A térben adva vannak az O, A, B pontok, amelyek nem kollineárisak. Igazoljuk, hogy az OP = α OA+β OB helyvektorral meghatározott P pont rajta van az A, B pontok egyenesén akkor és csak akkor, ha az α, β számokra fennáll α + β = 1. 7) Legyenek α, β és γ olyan 0 és π közé es valós számok, amelyek különböznek π 2 t l és melyekre fennáll α + β + γ = π. Mutassuk meg, hogy ekkor teljesül a tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ összefüggés. 8) Legyen α egy tetsz leges valós szám és n egy pozitív egész szám, amelyre fennáll n 3. Bizonyítsuk be, hogy igazak a cos α + cos ( ) ( ) α + 2π n cos α + (n 1) 2π n = 0, n 1 k=0 sin( ) α + k 2π n = 0, összefüggések. Utalás: Használjuk ki, hogy egy noldalú szabályos sokszög küls szögeinek mértéke (2π)/n. 9) Tekintsünk egy ABC háromszöget, és annak az AB, BC, CA oldalain vegyünk fel egy-egy pontot. A pontok sorrendben legyenek C 1, A 1 és B 1. Bizonyítsuk be, hogy AA 1 + BB 1 + CC 1 = 0 teljesül akkor és csak akkor, ha fennáll AC 1 AB = BA 1 BC = CB 1 CA.

4 4. feladatsor (Vektorok skaláris szorzata) Amennyiben a szabad vektorok V terének vesszük egy i, j, k bázisát, akkor a továbbiakban mindig feltesszük, hogy ez a bázis ortonormált. 1) Bizonyítsuk be, hogy fennáll a 8 cos( π 18 ) cos( π 9 ) cos( 2π 9 ) = ctg ( π 18 ) összefüggés. 2) A σ síkban adva van egy derékszög koordináta-rendszer, melynek kezd pontja O, élvektorai i és j. A síkban vegyük azt a rombuszt, amelynek két átellenes csúcsa A( 1, 2) és C(7, 4), a rombusz oldalainak hossza pedig a = 5 5. Határozzuk meg 2 a másik két csúcs koordinátáit. 3) A koordináta-rendszerrel ellátott σ sík tetsz leges P (x P, y P ) pontjának feleltessük meg a z P = x p + y P i komplex számot. Ezzel egy bijektív megfeleltetést nyerünk σ pontjai és a C számtest elemei között. Vegyük a c = 1( 3 + i) komplex számot. 2 Jellemezzük azt a síkbeli transzformációt, amelyet úgy kapunk, hogy a z komplex számnak megfelel ponthoz a c z számhoz tartozó pontot rendeljük hozzá. 4) A szabad vektorok terében vegyük az a = 4 i 4 j 7 k és b = 3 i + 12 j + 3 k vektorokat. Határozzuk meg a két vektor skaláris szorzatát és hajlásszögét. 5) Adva vannak az a (1, 4, 1) és b (x, 1, 4) vektorok, amelyek hajlásszöge ϕ = 120. Határozzuk meg a b vektor hiányzó els koordinátáját. 6) Tekintsük azon a és b vektorokat, melyeknél az ortonormált bázisra vonatkozó koordináták a (6, 3, 12) és b ( 3, 5, 8). Bontsuk fel a b vektort az aval párhuzamos és az ara mer leges összetev k öszegére (b = b p + b m ). Határozzuk meg a b p, b m vektorok koordinátáit. 7) Az a, b vektorokról azt tudjuk, hogy különböznek a 0 nullvektortól és tetsz leges α, β együtthatók esetén α a + β b mer leges a β a α b vektorra. Határozzuk meg az a, b vektorok hajlásszögét és hosszaik arányát. 8) Legyenek x, y, z olyan valós számok, melyekre igaz x 2 + y 2 + z 2 4. A skaláris szorzás alkalmazásával igazoljuk, hogy fennáll 14 3x 6y + 2z 14. 9) Legyenek adva az O, A, B, C térbeli pontok. Igazoljuk, hogy a pontok által meghatározott irányított szakaszok vektoraira fennáll az OA BC + OB CA + OC AB = 0 összefüggés. 10) A térben vegyünk egy O pontot. Tekintsük az O kezd ponttal és az i, j, k alapvektorokkal meghatározott koordináta-rendszert. Tekintsük azt az ABC háromszöget, ahol a csúcspontok koordinátái: A (0, 0, 3), B (4, 4, 5), C ( 2, 4, 3). A C pontnak a g = A, B egyenesre vonatkozó tükörképét jelölje C t. Az AC vektor mer leges összetev kre való felbontásával határozzuk meg a C t pont koordinátáit.

5 5. feladatsor (Vektorok skaláris szorzata) Amennyiben egy feladatban térbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor mindig feltesszük, hogy azok egy Descartes-féle koordináta-rendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és alapvektorai i, j, k. 1) Tekintsünk egy ABC szabályos háromszöget. Vegyük a háromszög köré írható k kört és annak egy P pontját. Vektorok skaláris szorzását alkalmazva igazoljuk, hogy a P A 2 + P B 2 + P C 2 összeg értéke nem függ a P köri pont megválasztásától. 2) A derékszög koordináta-rendszerrel ellátott térben tekintsük azt a σ síkot, amely áthalad az A(0, 3, 2) ponton és mer leges a v(2, 3, 3) vektorra. Vegyük a térben a P (7, 8, 3) pontot, melynek a σ-ra vonatkozó mer leges vetüteletét jelölje P. Az AP vektor mer leges összetev kre való felbontásával határozzuk meg a P vetületi pont koordinátáit. 3) Adva van a térben egy ABCD parallelogramma, ahol két csúcs koordinátái ismertek A(2, 4, 5) és B(3, 4, 2). Tudjuk továbbá, hogy az A csúcsnál lév szög α = 30, az AD élvektor egyirányú a v (1, y, 2) vektorral és AD = 3 6. Határozzuk meg a C, D csúcsok koordinátáit az y < 0 esetben. 4) A síkban adva van egy ABC háromszög, melynek oldalai a = BC = 6, b = CA = 4 és c = AB = 5. Tekintsük az A csúcsból kiinduló AF súlyvonalat és a C csúcsbeli CT szögfelez t. Jelölje P a súlyvonal és a szögfelez metszéspontját. Vektorok alkalmazásával határozzuk meg, hogy a P metszéspont milyen arányban osztja a súlyvonalat és a szögfelez t (AP : AF =?, CP : CT =?). (Utalás: Vegyük az AB és AC oldalakhoz tartozó élvektorokat és azok lineáris kombinációjaként fejezzük ki a többi síkbeli vektort.) 5) Adjunk választ az alábbi kérdésre. Maximum hány (0-tól különböz ) vektort lehet megadni a térben azon feltétel mellett, hogy közülük bármely két vektornak ugyanaz legyen a hajlásszöge? 6) Legyenek a és b olyan a 0tól különböz vektorok, amelyek esetében az a + 3b mer leges a 7a 5b vektorra, továbbá az a 4b, 7a 2b vektorok is mer legesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az a, b vektorok hajlásszöge 60. 7)* Tekintsünk egy tetsz leges négyszöget, melynél az oldalak hossza a, b, c, d, az átlók hossza pedig e, f. Jelölje h az átlók felez pontjainak a távolságát. Vektorok skaláris szorzatának alkalmazásával igazoljuk, hogy fennáll a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = e 2 + f h 2. (Használjuk ki, hogy három élvektor már meghatározza a négyszöget.) 8)* A síkban legyen adott egy ABC háromszög. Ennek mindhárom oldalára kifelé állítsunk egyegy szabályos háromszöget. Tekintsük azt a háromszöget, melynek csúcsai azonosak az oldalakra állított szabályos háromszögek középpontjaival. Vektorokat alkalmazva igazoljuk, hogy ez a háromszög szabályos (Napóleon-tétel).

6 6. feladatsor (Vektoriális szorzat, vegyes szorzat) Ha koordinátákat alkalmazunk, akkor feltesszük, hogy a térben adva van egy derékszög koordináta-rendszer, melyben az i, j, k ortonormált alapvektorok jobbrendszert képeznek. 1) Tekintsük az a = i 3j + 2k és b(2, 5, 1) vektorokat. Adjunk meg egy olyan c vektort, amely mer leges az a, b vektorokra, továbbá az a, b, c vektorhármas egy jobbrendszert képez. 2) A térben adva van egy ABC háromszög, amelynél a csúcsok térbeli koordinátái A(2, 1, 0), B(4, 3, 3) és C(1, 1, 6). Vektoriális szorzás alkalmazásával határozzuk meg a háromszög területét. 3) A térben adva van egy g egyenes, amely áthalad az A ponton és párhuzamos egy v (v 0) vektorral. Igazoljuk, hogy egy tetsz leges P pontnak a g egyenest l mért v AP távolságára teljesül a d(g, P ) = összefüggés. v 4) Bizonyítsuk be a kifejtési tétel alkalmazásával, hogy tetsz leges a, b, c vektorokkal fennáll az (a b) c + (b c) a + (c a) b = 0 összefüggés. (Ezt nevezik Jacobi-azonosságnak.) 5) Adva vannak a lineárisan független a(3, 2, 4), b( 1, 1, 4) és c(2, 3, 7) vektorok. Határozzuk meg a három vektor által kifeszített parallelepipedon térfogatát. Döntsük el, hogy az a, b, c vektorok ebben a sorrendben vajon jobbrendszert vagy balrendszert képeznek. 6) Adva van egy tetraéder, amelynél a négy csúcs koordinátái A(2, 3, 1), B(4, 1, 2), C(6, 3, 7) és D( 5, 4, 8). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát és a D csúcshoz tartozó magasságot. (Az AB, AC, AD vektorokkal kifeszített parallelepipedon térfogata hányszorosa a tetraéder térfogatának?) 7) Adva van három lineárisan független vektor a, b és c. Jelöljük V vel az általuk kifeszített parallelepipedon térfogatát. Tekintsük továbbá azt a parallelepipedont, melyet a 2a + 3b + 4c, a b + c és 2a + 4b c vektorok feszítenek ki, és jelölje ˆV ennek térfogatát. Határozzuk meg a ˆV /V hányados értékét. 8) Legyen adott három vektor a, b és c, melyek lineárisan függetlenek, vagyis egy bázisát képezik a szabad vektorok V terének. Alkalmazzuk most az [a, b, c] jelölést a három vektor vegyes szorzatára (a hagyományos (a b) c jelölés helyett). Tekintsünk egy tetsz leges v vektort. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az alábbi összefüggés v = [v, b, c] [a, v, c] [a, b, v] a + b + [a, b, c] [a, b, c] [a, b, c] c. 9) Adva van egy ABCD szabályos tetraéder, amelynél három csúcs koordinátái ismertek A (0, 1, 3), B (4, 2, 2) és C (1, 2, 1). Határozzuk meg a szabályos tetraéder D csúcsának a koordinátáit. (A feladatnak két megoldás van.)

7 7. feladatsor (Térbeli koordinátageometria) Az összes feladatnál feltesszük, hogy a térben adva van egy derékszög koordináta-rendszer, melyben O a kezd pont és az i, j, k ortonormált alapvektorok jobbrendszert képeznek. 1) A derékszög koordináta-rendszerrel ellátott térben vegyük az A(5, 2, 0), B(7, 1, 1), C(6, 4, 4) pontokat. Határozzuk meg a három pontra illeszked sík egyenletét. 2) Tekintsük azt a σ síkot, amelynek egyenlete x 5y + z 2 = 0. Adjuk meg azoknak a σ-val párhuzamos síkoknak az egyenleteit, amelyek a σtól d = 9 3 távolságra vannak. 3) Vegyük azt az ABCD tetraédert, amelynél a csúcsok koordinátái A (1, 3, 2), B(5, 4, 5), C(1, 1, 2) és D (4, 3, 8). Határozzuk meg annak az ABC lappal párhuzamos síknak az egyenletét, amely egy t = 4 terület háromszögben metszi el a tetraédert. 4) Vegyük a térben az A(2, 3, 1), B(6, 0, 4) pontokat és a rajtuk áthaladó g egyenest. Adjuk meg a g egyenes paraméteres egyenletrendszerét. Írjuk le a g egyenest két lineáris egyenlettel, illetve egyetlen másodfokú egyenlettel. 5) Adva van a térben a σ sík, melynek egyenlete 5x + 3y z 21 = 0. Vegyük azt az e egyenest, amelynek paraméteres egyenletrendszere x = 5 + 3t, y = 8 + 7t, z = t (t R). Határozzuk meg az e egyenes és a σ sík metszéspontjának koordinátahármasát. Ezt követ en adjuk meg az e egyenes σ-ra es mer leges mer leges vetületének az egyenletrendszerét. 6) Tekintsük a térben a 3x + y 4z + 10 = 0 egyenlet síkot és a C(8, 6, 3) pontot. Határozzuk meg azon C centrumú gömb egyenletét, amely érinti az adott síkot, illetve adjuk meg az érintési pont koordinátáit. 7) Tekintsük a 3x + y 2z 12 = 0 és 2x + 3y + z 8 = 0 egyenlet síkokat. Határozzuk meg a két sík hajlásszögét, továbbá adjuk meg a metszésvonaluk (egyik) paraméteres egyenletrendszerét. 8) A térben adva van két kitér helyzet egyenes, amelyek paraméteres egyenletrendszere x = 11 7t, y = t, z = 2, illetve x = 7 + τ, y = 8, z = τ. Határozzuk meg a két egyenes normális transzverzálisának a paraméteres egyenletrendszerét és metszéspontjait az adott egyenesekkel. Adjuk meg a két egyenes távolságát is. 9) Adva van egy ABCDM szabályos négyzetes gúla, amelynek M(9, 4, 1) csúcsa ismert. Az ABCD négyzet benne van a 2x + y + 2z + 3 = 0 egyenlet síkban és az egyik alaplapi csúcspont A(x A, 1, 8). Határozzuk meg a négyzetes gúla összes csúcspontjának a koordinátáit. 10) Adva van egy G gömb, melynek normálegyenlete x 2 +y 2 +z 2 6x 2y +8z 74 = 0. Vegyük az x 2y + 2z 11 = 0 egyenlet σ síkot. Határozzuk meg a σ sík által a G gömbb l kimetszett kör centrumát és sugarát.

8 8. feladatsor (Térbeli és síkbeli analitikus feladatok) Ha egy feladatban síkbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor azok egy derékszög koordinátarendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és ortonormált alapvektorai i, j. 1) Tekintsünk a térben egy konvex poliédert és annak egy lapját. A laphoz tartozó területvektoron azt a vektort értjük, amely mer leges a lap síkjára, a poliéderb l kifelé mutat és hossza egyenl a lap területével. Igazoljuk, hogy egy tetraéder négy lapvektorának összege azonos a 0 nullvektorral. 2) Bizonyítsuk be, hogy tetsz leges a, b, c, d térbeli vektorokra teljesül az (a b) (c d) = a c a d b c b d egyenl ség. 3) Tekintsünk egy parallelepipedont, amelynél az egyik testátló végpontjai A és G. Vegyük azt a tetraédert, amelynek csúcsai a parallelepipedon A-ból kiinduló éleinek a felez pontjai és a G pont. Döntsük el, hogy a három felez ponttal és a G-vel meghatározott tetraéder térfogata hányszorosa a parallelepipedon térfogatának. 4) Adva van egy sík és abban egy derékszög koordináta-rendszer. Tekintsük a síkban azt a téglalapot, ahol ismertek az A (4, 2), B (13, 5) csúcspontok és a téglalap AC átlója rajta van a 9x + 7y = 22 egyenlettel leírt egyenesen. Határozzuk meg a téglalap másik két csúcsának a koordinátáit. 5) Tekintsük a síkban a C (6, 7) pontot és az 5x 12y 24 = 0 egyenlettel leírt e egyenest. Határozzuk meg azon kör normálegyenletét, melynek centruma a C pont és amely érinti az e egyenest. (A megoldáshoz nem szükséges az érintési pont meghatározása.) 6) Adva van a síkban a P ( 1, 8) pont és az x 2 + y 2 8x + 4y 5 = 0 egyenlet kör. Adjuk meg P -nek a körre vonatkozó hatványát. Határozzuk meg a P pontból a körhöz húzott érint egyenesek egyenletét és az érintési pontok koordinátáit. 7) A síkban adva van két egyenes, amelyek nem párhuzamosak egymással és az y tengellyel. Az egyenesek meredekségét jelölje m 1 és m 2. Fejezzük ki az m 1, m 2 értékekb l a két egyenes hajlásszögét (cos ϕ =?). 8) A koordináta-rendszerrel ellátott síkban vegyünk egy AB szakaszt, amelynek hossza a + b (a b > 0). A szakaszon tekintsük azt a P pontot, amelyre fennáll AP = b és P B = a. Mozgassuk ezt a szakaszt a síkban oly módon, hogy az A végpont mindig az x tengelyre, a B pont pedig mindig az y tengelyre essen. Adjuk meg a mozgatás során a P pont által leírt alakzat egyik egyenletét. (Az ellipszográf m ködési elve van leírva a feladatban.) 9) A σ síkon legyen adott két pont A és B. Vegyünk egy λ (λ > 0, λ 1) pozitív számot és tekintsük az A = { P σ AP = λ BP } alakzatot. Koordinátageometriai eszközök alkalmazásával mutassuk meg, hogy az A alakzat egy kör. (Ezt mondjuk az A, B pontokhoz tartozó egyik Apollóniosz-körnek.)

9 9. feladatsor (Koordinátageometria. Gömbi geometria) 1) A σ síkban adva van két egymást metsz egyenes e és f. Vegyünk egy h pozitív számot. Tekintsük a H = { P σ d(e, P ) 2 + d(f, P ) 2 = h 2 } alakzatot. Igazoljuk, hogy a H alakzat egy ellipszis. (Vegyünk a síkban egy olyan koordináta-rendszert, melynek tengelyeire való tükrözés egymásba viszi az e, f egyeneseket.) 2) A derékszög koordináta-rendszerrel ellátott térben adva van egy szabályos oktaéder, melynek csúcspontjai az A, B, C, D, E, F pontok, továbbá szimmetriatengelyei az A, F, B, D és C, E egyenesek. Ismert a B (5, 4, 0) csúcspont és az A, F egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = 9+2t, y = 3 t, z = 10 2t (t R). Határozzuk meg a szabályos oktaéder csúcspontjainak a koordinátáit. 3) Adva van egy e egyenes, amelynek paraméteres egyenletrendszere x = 8 + 2t, y = 9 + 2t, z = 4 + 3t, továbbá egy σ sík, amely párhuzamos evel és egyenlete 3x + by + 2z + 12 = 0. Határozzuk meg a b együttható értékét és az e egyenes σ síkra vonatkozó tükörképének az egyenletrendszerét. 4) Tekintsük az 5x + 7y + z 10 = 0 egyenlettel meghatározott σ síkot és abban az A ( 4, 5, 5), B (6, 2, z B ) pontokat. Vegyük azt a σ síkra es ABC háromszöget, ahol fennáll AC = BC és a C csúcsnál lév szög γ = 120. Számítsuk ki a C csúcs koordinátáit. 5) Az O centrumú és r = 4 sugarú G(O, 4) gömbfelületen adva van egy olyan ABC G gömbháromszög, melynek szögei α = π/3, β = π/4 és γ = π/2. Határozzuk meg az a oldal hosszát. 6) A G(O, 3) gömbfelületen tekintsük az A(2, 1, 2), B(2, 2, 1), C(0, 0, 3) csúcsokkal meghatározott ABC G gömbháromszöget. Adjuk meg azt a 3 hosszúságú vektort, amely Oból az A, B, C csúcsokon átmen kör centrumának az irányába mutat. 7) A G(O, r) gömbfelületen legyen adva egy olyan ABC G gömbháromszög, amelyben γ = π ( c ) ( a ) ( b ) 2. Igazoljuk, hogy ekkor fennáll cos = cos cos = ctg α ctg β. r r r 8) A G(O, 1) gömbfelületen adva van egy olyan ABC G gömbháromszög, ahol a = π/6, b = π/4 és α = π/4. Határozzuk meg a gömbháromszögre vonatkozó másik három geometriai adatot (β =?, c =?, γ =?). 9) Igazoljuk, hogy egy ABC G gömbháromszögnek két szöge derékszög akkor és csak akkor, ha két oldalszöge derékszög. 10) Az ABC G gömbháromszögben egy csúcsot a szemközti oldal felez pontjával összeköt gömbi f körívet a gömbháromszög egyik súlyvonalának nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy a gömbháromszög súlyvonalai egyazon pontban metszik egymást.

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév) Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal,

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Elemi matematika 3 c. gyakorlat

Elemi matematika 3 c. gyakorlat 1. feladatsor (Szintetikus síkgeometriai feladatok.) 1) Adva van egy sokszög, amelynek hatszor annyi átlója van, mint oldala. Határozzuk meg a sokszög oldalszámát. ) Igazoljuk, hogy egy háromszög súlyvonalainak

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

Vektoralgebra. 4. fejezet. Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása. Feladatok

Vektoralgebra. 4. fejezet. Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása. Feladatok 4. fejezet Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása T 4.1 (Háromszögegyenl tlenség) Minden a, b vektorpárra a + b a + b. T 4.2 (Paralelogrammaszabály) Ha az a és b vektor különböz

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I. Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20. 1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2

2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2 1. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó feladatok) Ha egy feladatban síkbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor azok egy derékszög koordinátarendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és ortonormált alapvektorai

Részletesebben

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás 5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8], (megoldások) 1. Alkalmazzuk a T 5. tételt: AB = [ 1, +, 0+] = [1, 1, ], AC = [,, 6], AD = [,, 9].. A P pontnak az origótól mért távolsága az OP helyvektor hosszával egyenl. OA = 4 + ( ) + ( 4) = 6, OB

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz

Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz 1. gyakorlat (2012. február 6.), Síkizometriák 1.1. gyakorlat. Milyen síkizometria két (a) egymással párhuzamos (b) egymást α szögben metsz egyenesre vett tengelyes

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

4. Vektoralgebra (megoldások)

4. Vektoralgebra (megoldások) (megoldások).. a) m n = (a + b) (a b) = 6b b) 4m + 4n = 8a ; c) m n = a + 5 b ; d) m + n = 9+ a + 9 b.. a) a 4b= 0 m n ; b) 5a + b= 8 m n ; c) a + b= 7 m + n ; d) a b = 4+ m + n. 0 0 5 4. A szabályos hatszög

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+ 4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2? Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

2. Síkmértani szerkesztések

2. Síkmértani szerkesztések 2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria...........................

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban

Részletesebben

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

A vektor fogalma (egyszer

A vektor fogalma (egyszer Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Elméleti anyag: A vektor fogalma (egyszerű meghatározás): az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. Egy vektornak

Részletesebben

GEOMETRIA 1, alapszint

GEOMETRIA 1, alapszint GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben