Analitikus geometria c. gyakorlat

Átírás

1 matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges b-re? 2) Igazoljuk, hogy az a és b vektorok párhuzamosak egymással akkor és csak akkor, ha fennáll b a a b = 0 vagy b a + a b = 0. 3) A térben rögzítve van egy O pontot. Vegyünk egy AB szakaszt, melynek felez pontját jelölje F és az A-hoz közelebbi harmadolópontját jelölje H. Fejezzük ki az OF és OH vektorokat az OA, OB vektorokkal. 4) Legyenek m és n pozitív egész számok. Vegyük az AB szakaszon azt a P pontot, amelyre teljesül az AP : P B = m : n. Fejezzük ki az OP helyvektort az OA, OB vektorokkal. 5) Tekintsünk egy ABC háromszöget és egy O pontot. Mutassuk meg, hogy az ABC háromszög S súlypontjának helyvektorára fennáll OS = 1( OA + 3 OB + OC). 6) Legyenek a és b olyan vektorok, amelyek nem párhuzamosak egymással és egyenl hosszúságúak (vagyis a = b ). Mutassuk meg, hogy ekkor az a + b és a b vektorok mer legesek egymásra. 7) Tekinsünk egy ABC háromszöget. Legyen O az ABC háromszög köré írt kör középpontja. Vegyük az a = OA, b = OB és c = OC vektorokat, továbbá azt az M pontot, melynek helyvektorára fennáll OM = a + b + c. Bizonyítsuk be, hogy az M pont az ABC háromszög magasságpontja. (Alkalmazzuk az el z feladatban szerepl összefüggést.) 8) Adva van egy olyan n-oldalú szabályos sokszög, ahol n egy páratlan szám. Igazoljuk, hogy a szabályos sokszög O középpontjából a sokszög csúcsaiba mutató vektorok összege 0. 9) A síkban egy O pont körül végezzünk elforgatást egy adott α szöggel. Egy síkbeli a elforgatottját jelölje a F. Mutassuk meg, hogy tetsz leges a, b síkbeli vektorok esetén fennáll (a + b) F = a F + b F. 10) Egy parallelogramma oldalaira kifelé rajzoljunk egy-egy négyzetet. Vektorokat alkalmazva igazoljuk, hogy a négyzetek középpontjai egy újabb négyzet csúcspontjai. 11)* A síkban adva van egy ABCD húrnégyszög. Vegyük a húrnégyszög csúcsai által meghatározott ABC, BCD, CDA és DAB háromszögek magasságpontjait. Igazoljuk, hogy ezek a magasságpontok egy olyan négyszög csúcsai, amely egybevágó az eredeti húrnégyszöggel. Gyakorlathoz ajánlott jegyzet: (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2005). Strohmajer János: Geometriai példatár II.

2 2. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Egy parallelepipedon egyik csúcsát jelölje O. Az O csúcsból az t tartalmazó lapok középpontjaiba mutató vektorok legyenek u, v és w. Fejezzük ki a parallelepipedon O kezd pontú élvektorait az u, v, w vektorokkal. 2) Legyen adott egy ABCD tetraéder. Ha vesszük az egyik csúcs és a szemközti lap súlypontjának az összeköt szakaszát, akkor azt a tetraéder egyik súlyvonalának mondjuk. Vektorok alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy a tetraéder négy súlyvonala egyazon pontra illeszkedik és ez a pont negyedeli a súlyvonalakat. 3) Mutassuk meg, hogy két centrális tükrözés szorzata egy eltolás. Igazoljuk, hogy egy centrális tükrözés és egy eltolás szorzataként egy centrális tükrözést kapunk. 4) Bizonyítsuk be, hogy amennyiben egy A (A ) alakzatnak van legalább két szimmetriacentruma, akkor az A alakzat nem lehet korlátos, továbbá Anak végtelen sok szimmetriacentruma van. 5) A síkban adva vannak egy ötszög oldalainak a felez pontjai. Szerkesszük meg ezen pontokból az ötszöget (egybevágósági transzformációk segítségével). 6) A szokásoknak megfelel en az a (a 0) vektorral egyirányú egységvektort jelölje a 0. Legyenek a és b olyan vektorok, amelyek nem párhuzamosak egymással. Mutassuk meg, hogy az a 0 + b 0 és b a + a b vektorok iránya megegyezik, továbbá ezek felezik az a, b vektorok szögét. 7) A síkban legyen adott egy olyan ABC háromszög, ahol b < c. Vegyünk egy h hosszt, amelyre fennáll h < b. A BA és CA oldalakon jelöljük ki azon M és N pontokat, melyekre igaz BM = h és CN = h. Jelöljék F és E a BC, MN szakaszok felez pontjait. Bizonyítsuk be, hogy az EF szakasz párhuzamos a háromszög A csúcsbeli szögfelez jével. 8) Legyenek i és j egymásra mer leges egységvektorok. Tekintsük az a = 2 i j, b = i+j és v = i 5j vektorokat. Fejezzük ki a v vektort a v = α a+β b alakban. Határozzuk meg az α, β együtthatók értékét. 9) Legyen adott egy ABCD parallelogramma. Ennek BC és CD oldalán vegyük azon M és N pontokat, melyekre fennáll BM = 3 BC és DN = 1 DC. Jelölje P az AM és 4 3 BN szakaszok metszéspontját. Döntsük el, hogy a P pont milyen arányban osztja az AM és BN szakaszokat (AP : P M =?, BP : P N =?). 10) Vegyünk a síkban egy tetsz leges ABC háromszöget. Ennek AC és BC oldalaira kifelé szerkesszük meg az ACP és BCQ szabályos háromszögeket. A CP szakasz felez pontját jelölje E, a CQ szakasz felez pontját F, az AB szakasz felez pontját pedig C 1. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy az EF C 1 háromszög szabályos.

3 3. feladatsor (Vektorok koordinátái. Szögfüggvények) 1) Egy erd ben a fák egy négyzetrács mintájára helyezkednek el észak-déli és keletnyugati irányban. Az erd közepén az egyik fáról elindul egy madár, amely mindig egy szomszédos fára röppen át. Azonban a nyolc szomszédos fa közül csak háromra tud átröppenni, konkrétan vagy az északnyugati, vagy az északkeleti, vagy pedig a déli irányba es szomszédos fára. Vektorokat alkalmazva döntsük el, hogy 50 (illetve 100) felröppenés után vissza tud-e jutni a madár a kiindulási fára. 2) A szabad vektorok V terében rögzítve vannak az e 1, e 2, e 3 vektorok, amelyek lineárisan függetlenek, vagyis egy bázist alkotnak. Az a, b, c vektoroknak ezen bázisra vonatkozó koordinátái a(3, 2, 0), b( 2, 1, 1), és c(2, 4, 2). Határozzuk meg a v = 5 a + 2 b 3 c vektor koordinátáit. 3) Adva van három lineárisan összefügg vektor a, b és c, melyeknek az e 1, e 2, e 3 bázisra vonatkozó koordinátái a következ k: a(1, 2, 1), b(1, 3, 2), c(1, y, 10). Határozzuk meg a c vektor hiányzó koordinátáját. 4) Adva van négy vektor, melyeknek egy V-beli bázisra vonatkozó koordinátái a következ k: a(2, 1, 1), b( 1, 3, 0), c(1, 0, 7) és d(9, 9, 10). Állítsuk el a d vektort az a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként, határozzuk meg az ebben szerepl együtthatókat. 5) A szabad vektorok V terének vegyük egy i, j, k ortonormált bázisát. Tekintsük a v = 6 i 9 j+2 k vektort. Adjuk meg a v-vel egyirányú v 0 egységvektor koordinátáit. 6) A térben adva vannak az O, A, B pontok, amelyek nem kollineárisak. Igazoljuk, hogy az OP = α OA+β OB helyvektorral meghatározott P pont rajta van az A, B pontok egyenesén akkor és csak akkor, ha az α, β számokra fennáll α + β = 1. 7) Legyenek α, β és γ olyan 0 és π közé es valós számok, amelyek különböznek π 2 t l és melyekre fennáll α + β + γ = π. Mutassuk meg, hogy ekkor teljesül a tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ összefüggés. 8) Legyen α egy tetsz leges valós szám és n egy pozitív egész szám, amelyre fennáll n 3. Bizonyítsuk be, hogy igazak a cos α + cos ( ) ( ) α + 2π n cos α + (n 1) 2π n = 0, n 1 k=0 sin( ) α + k 2π n = 0, összefüggések. Utalás: Használjuk ki, hogy egy noldalú szabályos sokszög küls szögeinek mértéke (2π)/n. 9) Tekintsünk egy ABC háromszöget, és annak az AB, BC, CA oldalain vegyünk fel egy-egy pontot. A pontok sorrendben legyenek C 1, A 1 és B 1. Bizonyítsuk be, hogy AA 1 + BB 1 + CC 1 = 0 teljesül akkor és csak akkor, ha fennáll AC 1 AB = BA 1 BC = CB 1 CA.

4 4. feladatsor (Vektorok skaláris szorzata) Amennyiben a szabad vektorok V terének vesszük egy i, j, k bázisát, akkor a továbbiakban mindig feltesszük, hogy ez a bázis ortonormált. 1) Bizonyítsuk be, hogy fennáll a 8 cos( π 18 ) cos( π 9 ) cos( 2π 9 ) = ctg ( π 18 ) összefüggés. 2) A σ síkban adva van egy derékszög koordináta-rendszer, melynek kezd pontja O, élvektorai i és j. A síkban vegyük azt a rombuszt, amelynek két átellenes csúcsa A( 1, 2) és C(7, 4), a rombusz oldalainak hossza pedig a = 5 5. Határozzuk meg 2 a másik két csúcs koordinátáit. 3) A koordináta-rendszerrel ellátott σ sík tetsz leges P (x P, y P ) pontjának feleltessük meg a z P = x p + y P i komplex számot. Ezzel egy bijektív megfeleltetést nyerünk σ pontjai és a C számtest elemei között. Vegyük a c = 1( 3 + i) komplex számot. 2 Jellemezzük azt a síkbeli transzformációt, amelyet úgy kapunk, hogy a z komplex számnak megfelel ponthoz a c z számhoz tartozó pontot rendeljük hozzá. 4) A szabad vektorok terében vegyük az a = 4 i 4 j 7 k és b = 3 i + 12 j + 3 k vektorokat. Határozzuk meg a két vektor skaláris szorzatát és hajlásszögét. 5) Adva vannak az a (1, 4, 1) és b (x, 1, 4) vektorok, amelyek hajlásszöge ϕ = 120. Határozzuk meg a b vektor hiányzó els koordinátáját. 6) Tekintsük azon a és b vektorokat, melyeknél az ortonormált bázisra vonatkozó koordináták a (6, 3, 12) és b ( 3, 5, 8). Bontsuk fel a b vektort az aval párhuzamos és az ara mer leges összetev k öszegére (b = b p + b m ). Határozzuk meg a b p, b m vektorok koordinátáit. 7) Az a, b vektorokról azt tudjuk, hogy különböznek a 0 nullvektortól és tetsz leges α, β együtthatók esetén α a + β b mer leges a β a α b vektorra. Határozzuk meg az a, b vektorok hajlásszögét és hosszaik arányát. 8) Legyenek x, y, z olyan valós számok, melyekre igaz x 2 + y 2 + z 2 4. A skaláris szorzás alkalmazásával igazoljuk, hogy fennáll 14 3x 6y + 2z 14. 9) Legyenek adva az O, A, B, C térbeli pontok. Igazoljuk, hogy a pontok által meghatározott irányított szakaszok vektoraira fennáll az OA BC + OB CA + OC AB = 0 összefüggés. 10) A térben vegyünk egy O pontot. Tekintsük az O kezd ponttal és az i, j, k alapvektorokkal meghatározott koordináta-rendszert. Tekintsük azt az ABC háromszöget, ahol a csúcspontok koordinátái: A (0, 0, 3), B (4, 4, 5), C ( 2, 4, 3). A C pontnak a g = A, B egyenesre vonatkozó tükörképét jelölje C t. Az AC vektor mer leges összetev kre való felbontásával határozzuk meg a C t pont koordinátáit.

5 5. feladatsor (Vektorok skaláris szorzata) Amennyiben egy feladatban térbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor mindig feltesszük, hogy azok egy Descartes-féle koordináta-rendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és alapvektorai i, j, k. 1) Tekintsünk egy ABC szabályos háromszöget. Vegyük a háromszög köré írható k kört és annak egy P pontját. Vektorok skaláris szorzását alkalmazva igazoljuk, hogy a P A 2 + P B 2 + P C 2 összeg értéke nem függ a P köri pont megválasztásától. 2) A derékszög koordináta-rendszerrel ellátott térben tekintsük azt a σ síkot, amely áthalad az A(0, 3, 2) ponton és mer leges a v(2, 3, 3) vektorra. Vegyük a térben a P (7, 8, 3) pontot, melynek a σ-ra vonatkozó mer leges vetüteletét jelölje P. Az AP vektor mer leges összetev kre való felbontásával határozzuk meg a P vetületi pont koordinátáit. 3) Adva van a térben egy ABCD parallelogramma, ahol két csúcs koordinátái ismertek A(2, 4, 5) és B(3, 4, 2). Tudjuk továbbá, hogy az A csúcsnál lév szög α = 30, az AD élvektor egyirányú a v (1, y, 2) vektorral és AD = 3 6. Határozzuk meg a C, D csúcsok koordinátáit az y < 0 esetben. 4) A síkban adva van egy ABC háromszög, melynek oldalai a = BC = 6, b = CA = 4 és c = AB = 5. Tekintsük az A csúcsból kiinduló AF súlyvonalat és a C csúcsbeli CT szögfelez t. Jelölje P a súlyvonal és a szögfelez metszéspontját. Vektorok alkalmazásával határozzuk meg, hogy a P metszéspont milyen arányban osztja a súlyvonalat és a szögfelez t (AP : AF =?, CP : CT =?). (Utalás: Vegyük az AB és AC oldalakhoz tartozó élvektorokat és azok lineáris kombinációjaként fejezzük ki a többi síkbeli vektort.) 5) Adjunk választ az alábbi kérdésre. Maximum hány (0-tól különböz ) vektort lehet megadni a térben azon feltétel mellett, hogy közülük bármely két vektornak ugyanaz legyen a hajlásszöge? 6) Legyenek a és b olyan a 0tól különböz vektorok, amelyek esetében az a + 3b mer leges a 7a 5b vektorra, továbbá az a 4b, 7a 2b vektorok is mer legesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az a, b vektorok hajlásszöge 60. 7)* Tekintsünk egy tetsz leges négyszöget, melynél az oldalak hossza a, b, c, d, az átlók hossza pedig e, f. Jelölje h az átlók felez pontjainak a távolságát. Vektorok skaláris szorzatának alkalmazásával igazoljuk, hogy fennáll a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = e 2 + f h 2. (Használjuk ki, hogy három élvektor már meghatározza a négyszöget.) 8)* A síkban legyen adott egy ABC háromszög. Ennek mindhárom oldalára kifelé állítsunk egyegy szabályos háromszöget. Tekintsük azt a háromszöget, melynek csúcsai azonosak az oldalakra állított szabályos háromszögek középpontjaival. Vektorokat alkalmazva igazoljuk, hogy ez a háromszög szabályos (Napóleon-tétel).

6 6. feladatsor (Vektoriális szorzat, vegyes szorzat) Ha koordinátákat alkalmazunk, akkor feltesszük, hogy a térben adva van egy derékszög koordináta-rendszer, melyben az i, j, k ortonormált alapvektorok jobbrendszert képeznek. 1) Tekintsük az a = i 3j + 2k és b(2, 5, 1) vektorokat. Adjunk meg egy olyan c vektort, amely mer leges az a, b vektorokra, továbbá az a, b, c vektorhármas egy jobbrendszert képez. 2) A térben adva van egy ABC háromszög, amelynél a csúcsok térbeli koordinátái A(2, 1, 0), B(4, 3, 3) és C(1, 1, 6). Vektoriális szorzás alkalmazásával határozzuk meg a háromszög területét. 3) A térben adva van egy g egyenes, amely áthalad az A ponton és párhuzamos egy v (v 0) vektorral. Igazoljuk, hogy egy tetsz leges P pontnak a g egyenest l mért v AP távolságára teljesül a d(g, P ) = összefüggés. v 4) Bizonyítsuk be a kifejtési tétel alkalmazásával, hogy tetsz leges a, b, c vektorokkal fennáll az (a b) c + (b c) a + (c a) b = 0 összefüggés. (Ezt nevezik Jacobi-azonosságnak.) 5) Adva vannak a lineárisan független a(3, 2, 4), b( 1, 1, 4) és c(2, 3, 7) vektorok. Határozzuk meg a három vektor által kifeszített parallelepipedon térfogatát. Döntsük el, hogy az a, b, c vektorok ebben a sorrendben vajon jobbrendszert vagy balrendszert képeznek. 6) Adva van egy tetraéder, amelynél a négy csúcs koordinátái A(2, 3, 1), B(4, 1, 2), C(6, 3, 7) és D( 5, 4, 8). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát és a D csúcshoz tartozó magasságot. (Az AB, AC, AD vektorokkal kifeszített parallelepipedon térfogata hányszorosa a tetraéder térfogatának?) 7) Adva van három lineárisan független vektor a, b és c. Jelöljük V vel az általuk kifeszített parallelepipedon térfogatát. Tekintsük továbbá azt a parallelepipedont, melyet a 2a + 3b + 4c, a b + c és 2a + 4b c vektorok feszítenek ki, és jelölje ˆV ennek térfogatát. Határozzuk meg a ˆV /V hányados értékét. 8) Legyen adott három vektor a, b és c, melyek lineárisan függetlenek, vagyis egy bázisát képezik a szabad vektorok V terének. Alkalmazzuk most az [a, b, c] jelölést a három vektor vegyes szorzatára (a hagyományos (a b) c jelölés helyett). Tekintsünk egy tetsz leges v vektort. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az alábbi összefüggés v = [v, b, c] [a, v, c] [a, b, v] a + b + [a, b, c] [a, b, c] [a, b, c] c. 9) Adva van egy ABCD szabályos tetraéder, amelynél három csúcs koordinátái ismertek A (0, 1, 3), B (4, 2, 2) és C (1, 2, 1). Határozzuk meg a szabályos tetraéder D csúcsának a koordinátáit. (A feladatnak két megoldás van.)

7 7. feladatsor (Térbeli koordinátageometria) Az összes feladatnál feltesszük, hogy a térben adva van egy derékszög koordináta-rendszer, melyben O a kezd pont és az i, j, k ortonormált alapvektorok jobbrendszert képeznek. 1) A derékszög koordináta-rendszerrel ellátott térben vegyük az A(5, 2, 0), B(7, 1, 1), C(6, 4, 4) pontokat. Határozzuk meg a három pontra illeszked sík egyenletét. 2) Tekintsük azt a σ síkot, amelynek egyenlete x 5y + z 2 = 0. Adjuk meg azoknak a σ-val párhuzamos síkoknak az egyenleteit, amelyek a σtól d = 9 3 távolságra vannak. 3) Vegyük azt az ABCD tetraédert, amelynél a csúcsok koordinátái A (1, 3, 2), B(5, 4, 5), C(1, 1, 2) és D (4, 3, 8). Határozzuk meg annak az ABC lappal párhuzamos síknak az egyenletét, amely egy t = 4 terület háromszögben metszi el a tetraédert. 4) Vegyük a térben az A(2, 3, 1), B(6, 0, 4) pontokat és a rajtuk áthaladó g egyenest. Adjuk meg a g egyenes paraméteres egyenletrendszerét. Írjuk le a g egyenest két lineáris egyenlettel, illetve egyetlen másodfokú egyenlettel. 5) Adva van a térben a σ sík, melynek egyenlete 5x + 3y z 21 = 0. Vegyük azt az e egyenest, amelynek paraméteres egyenletrendszere x = 5 + 3t, y = 8 + 7t, z = t (t R). Határozzuk meg az e egyenes és a σ sík metszéspontjának koordinátahármasát. Ezt követ en adjuk meg az e egyenes σ-ra es mer leges mer leges vetületének az egyenletrendszerét. 6) Tekintsük a térben a 3x + y 4z + 10 = 0 egyenlet síkot és a C(8, 6, 3) pontot. Határozzuk meg azon C centrumú gömb egyenletét, amely érinti az adott síkot, illetve adjuk meg az érintési pont koordinátáit. 7) Tekintsük a 3x + y 2z 12 = 0 és 2x + 3y + z 8 = 0 egyenlet síkokat. Határozzuk meg a két sík hajlásszögét, továbbá adjuk meg a metszésvonaluk (egyik) paraméteres egyenletrendszerét. 8) A térben adva van két kitér helyzet egyenes, amelyek paraméteres egyenletrendszere x = 11 7t, y = t, z = 2, illetve x = 7 + τ, y = 8, z = τ. Határozzuk meg a két egyenes normális transzverzálisának a paraméteres egyenletrendszerét és metszéspontjait az adott egyenesekkel. Adjuk meg a két egyenes távolságát is. 9) Adva van egy ABCDM szabályos négyzetes gúla, amelynek M(9, 4, 1) csúcsa ismert. Az ABCD négyzet benne van a 2x + y + 2z + 3 = 0 egyenlet síkban és az egyik alaplapi csúcspont A(x A, 1, 8). Határozzuk meg a négyzetes gúla összes csúcspontjának a koordinátáit. 10) Adva van egy G gömb, melynek normálegyenlete x 2 +y 2 +z 2 6x 2y +8z 74 = 0. Vegyük az x 2y + 2z 11 = 0 egyenlet σ síkot. Határozzuk meg a σ sík által a G gömbb l kimetszett kör centrumát és sugarát.

8 8. feladatsor (Térbeli és síkbeli analitikus feladatok) Ha egy feladatban síkbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor azok egy derékszög koordinátarendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és ortonormált alapvektorai i, j. 1) Tekintsünk a térben egy konvex poliédert és annak egy lapját. A laphoz tartozó területvektoron azt a vektort értjük, amely mer leges a lap síkjára, a poliéderb l kifelé mutat és hossza egyenl a lap területével. Igazoljuk, hogy egy tetraéder négy lapvektorának összege azonos a 0 nullvektorral. 2) Bizonyítsuk be, hogy tetsz leges a, b, c, d térbeli vektorokra teljesül az (a b) (c d) = a c a d b c b d egyenl ség. 3) Tekintsünk egy parallelepipedont, amelynél az egyik testátló végpontjai A és G. Vegyük azt a tetraédert, amelynek csúcsai a parallelepipedon A-ból kiinduló éleinek a felez pontjai és a G pont. Döntsük el, hogy a három felez ponttal és a G-vel meghatározott tetraéder térfogata hányszorosa a parallelepipedon térfogatának. 4) Adva van egy sík és abban egy derékszög koordináta-rendszer. Tekintsük a síkban azt a téglalapot, ahol ismertek az A (4, 2), B (13, 5) csúcspontok és a téglalap AC átlója rajta van a 9x + 7y = 22 egyenlettel leírt egyenesen. Határozzuk meg a téglalap másik két csúcsának a koordinátáit. 5) Tekintsük a síkban a C (6, 7) pontot és az 5x 12y 24 = 0 egyenlettel leírt e egyenest. Határozzuk meg azon kör normálegyenletét, melynek centruma a C pont és amely érinti az e egyenest. (A megoldáshoz nem szükséges az érintési pont meghatározása.) 6) Adva van a síkban a P ( 1, 8) pont és az x 2 + y 2 8x + 4y 5 = 0 egyenlet kör. Adjuk meg P -nek a körre vonatkozó hatványát. Határozzuk meg a P pontból a körhöz húzott érint egyenesek egyenletét és az érintési pontok koordinátáit. 7) A síkban adva van két egyenes, amelyek nem párhuzamosak egymással és az y tengellyel. Az egyenesek meredekségét jelölje m 1 és m 2. Fejezzük ki az m 1, m 2 értékekb l a két egyenes hajlásszögét (cos ϕ =?). 8) A koordináta-rendszerrel ellátott síkban vegyünk egy AB szakaszt, amelynek hossza a + b (a b > 0). A szakaszon tekintsük azt a P pontot, amelyre fennáll AP = b és P B = a. Mozgassuk ezt a szakaszt a síkban oly módon, hogy az A végpont mindig az x tengelyre, a B pont pedig mindig az y tengelyre essen. Adjuk meg a mozgatás során a P pont által leírt alakzat egyik egyenletét. (Az ellipszográf m ködési elve van leírva a feladatban.) 9) A σ síkon legyen adott két pont A és B. Vegyünk egy λ (λ > 0, λ 1) pozitív számot és tekintsük az A = { P σ AP = λ BP } alakzatot. Koordinátageometriai eszközök alkalmazásával mutassuk meg, hogy az A alakzat egy kör. (Ezt mondjuk az A, B pontokhoz tartozó egyik Apollóniosz-körnek.)

9 9. feladatsor (Koordinátageometria. Gömbi geometria) 1) A σ síkban adva van két egymást metsz egyenes e és f. Vegyünk egy h pozitív számot. Tekintsük a H = { P σ d(e, P ) 2 + d(f, P ) 2 = h 2 } alakzatot. Igazoljuk, hogy a H alakzat egy ellipszis. (Vegyünk a síkban egy olyan koordináta-rendszert, melynek tengelyeire való tükrözés egymásba viszi az e, f egyeneseket.) 2) A derékszög koordináta-rendszerrel ellátott térben adva van egy szabályos oktaéder, melynek csúcspontjai az A, B, C, D, E, F pontok, továbbá szimmetriatengelyei az A, F, B, D és C, E egyenesek. Ismert a B (5, 4, 0) csúcspont és az A, F egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = 9+2t, y = 3 t, z = 10 2t (t R). Határozzuk meg a szabályos oktaéder csúcspontjainak a koordinátáit. 3) Adva van egy e egyenes, amelynek paraméteres egyenletrendszere x = 8 + 2t, y = 9 + 2t, z = 4 + 3t, továbbá egy σ sík, amely párhuzamos evel és egyenlete 3x + by + 2z + 12 = 0. Határozzuk meg a b együttható értékét és az e egyenes σ síkra vonatkozó tükörképének az egyenletrendszerét. 4) Tekintsük az 5x + 7y + z 10 = 0 egyenlettel meghatározott σ síkot és abban az A ( 4, 5, 5), B (6, 2, z B ) pontokat. Vegyük azt a σ síkra es ABC háromszöget, ahol fennáll AC = BC és a C csúcsnál lév szög γ = 120. Számítsuk ki a C csúcs koordinátáit. 5) Az O centrumú és r = 4 sugarú G(O, 4) gömbfelületen adva van egy olyan ABC G gömbháromszög, melynek szögei α = π/3, β = π/4 és γ = π/2. Határozzuk meg az a oldal hosszát. 6) A G(O, 3) gömbfelületen tekintsük az A(2, 1, 2), B(2, 2, 1), C(0, 0, 3) csúcsokkal meghatározott ABC G gömbháromszöget. Adjuk meg azt a 3 hosszúságú vektort, amely Oból az A, B, C csúcsokon átmen kör centrumának az irányába mutat. 7) A G(O, r) gömbfelületen legyen adva egy olyan ABC G gömbháromszög, amelyben γ = π ( c ) ( a ) ( b ) 2. Igazoljuk, hogy ekkor fennáll cos = cos cos = ctg α ctg β. r r r 8) A G(O, 1) gömbfelületen adva van egy olyan ABC G gömbháromszög, ahol a = π/6, b = π/4 és α = π/4. Határozzuk meg a gömbháromszögre vonatkozó másik három geometriai adatot (β =?, c =?, γ =?). 9) Igazoljuk, hogy egy ABC G gömbháromszögnek két szöge derékszög akkor és csak akkor, ha két oldalszöge derékszög. 10) Az ABC G gömbháromszögben egy csúcsot a szemközti oldal felez pontjával összeköt gömbi f körívet a gömbháromszög egyik súlyvonalának nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy a gömbháromszög súlyvonalai egyazon pontban metszik egymást.