Elemi matematika 3 c. gyakorlat
|
|
- Károly Tamás
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1. feladatsor (Szintetikus síkgeometriai feladatok.) 1) Adva van egy sokszög, amelynek hatszor annyi átlója van, mint oldala. Határozzuk meg a sokszög oldalszámát. ) Igazoljuk, hogy egy háromszög súlyvonalainak összege mindig nagyobb, mint a háromszög kerületének háromnegyede. 3) Vegyünk a síkon egy tetsz leges négyszöget. Tekintsük azt a négy kört a síkban, amelyeknél a négyszög egy-egy oldala képez körátmér t. Igazoljuk, hogy a négy zárt körlemez teljesen lefedi a négyszöget, azaz a négyszögtartomány bármely pontját tartalmazza (legalább) az egyik körlemez. 4) A síkon adva van két egymással párhuzamos egyenes és a két egyenes között két pont. Hogyan lehet megszerkeszteni azt a rombuszt, amelynek két oldala a párhuzamos egyeneseken van, a másik két oldala pedig áthalad az adott pontokon? 5) A síkban adva van két metsz egyenes. Vegyük azon parallelogrammákat a síkban, melyeknek két szomszédos oldala az adott egyenesekre esik és a kerületük állandó. Milyen mértani helyet alkotnak az adott egyenesekre nem illeszked parallelogramma csúcsok? 6) Egy téglalap alakú biliárdasztalon az egyik pontból elindítunk egy golyót az egyik átlóval párhuzamosan. Igazoljuk, hogy az asztal négy oldaláról visszaver dve a golyó mindig visszajut az eredeti pontba. Hogyan válasszuk meg a kezd pontot, hogy a visszatérésig ily módon megtett út minimális legyen? 7) A síkon adva van egy konvex szög és a szögtartomány belsejében egy P pont. Szerkesszük meg azt a P n átmen egyenest, amely a minimális terület háromszöget metszi le a szögtartományból. (Utalás: Hogyan lehet megkapni azt az P n átmen egyenest, amelynél a szögszárak által lemetszett szakasznak P a felez pontja?) 8) A síkon adva van egy konvex szög, annak belsejében egy P pont, és egy k hossz. Szerkesszük olyan P n átmen egyenest, amelynél a szögtartományból lemetszett háromszög kerülete éppen k. (Utalás: Keressünk kapcsolatot a háromszöghöz hozzáírt körök és a kerület között.) ok 9) Adva van a síkon egy ABC hegyesszög háromszög. Azt a P pontot keressük a háromszöglemezen, amelynél a P A + P B + P C összeg minimális. Legyen Q az a pont a háromszög síkjában, amelyb l a háromszög mindhárom oldala 10 os szögben látszik. Igazoljuk ez a Q pont adja a feladat megoldását. 10) A síkon adva van egy hegyeszög és annak belsejében egy P pont. Szerkesszük meg azt a P -n átmen egyenest, amely a minimális kerület háromszöget metszi le a szögtartományból. (A megoldás kapcsolódik a 8. feladathoz.)
2 . feladatsor (Síkbeli transzformációkkal kapcsolatos feladatok.) Soroljuk fel, hogy mely síkbeli egybevágósági és hasonlósági transzformációkról tanulnak a középiskolás diákok. Hogyan célszer ezeket deniálni a diákok számára? Melyek a könnyebben érthet síkbeli transzformációk? Miként lehet értelmezni a középiskolában az eltolást és a középpontos hasonlóságot? Célszer -e olyan feladatokat kit zmi, ahol transzformációk szorzatait kell alkalmazni? 1) Tekintsünk egy ABC háromszöget. Vegyük a B, C csúcsokban a bels és küls szögek szögfelez egyeneseit, és erre a négy egyenesre tükrözzük rá az A pontot. Igaz-e, hogy a négy tükörkép egyazon egyenesen van (azaz a négy pont kollineáris)? Az ABCD négyszögr l ismert, hogy az AC átló felezi az A csúcsnál lév szöget. Adva vannak a négyszög a = AB, b = BC, c = CD, d = DA oldalai. Szerkesszük meg a négyszöget. Mikor nem lehet megoldani a feladatot? 3) A síkban adva van két koncentrikus kör és a kisebb sugarú körön egy P pont. Húzzunk a P ponton át olyan egyenest, amelyb l a két kör három egyenl hosszúságú szakaszt metsz le. 4) A síkban adva van egy egyenes és olyan A, B pontok, amelyek az egyenes más-más oldalára esnek, és az e egyenest l mért távolságuk különböz. Jelöljük ki az egyenes azon P pontját, amelynél az AP BP távolágkülönbség a legnagyobb. (Utalás: Amennyiben a pontok az egyenes egyazon oldalán vannak, akkor egyszer a feladat megoldása.) 5) Egy parallelogramma oldalaihoz kifelé szerkesszünk négyzeteket. Transzformáció alkalmazásával igazoljuk, hogy a négyzetek középpontjai egy további négyzetnek a csúcsai. 6) A síkban adva van egy Q pont és a g, h egyenesek. Szerkesszünk olyan téglalapot, amelynek centruma Q, két szomszédos csúcsa a g, h egyenesekre esik, továbbá az egyik oldala a másiknak kétszerese. 7) T zzünk ki olyan szerkesztési feladatot, amelyet csak eltolással lehet megoldani. 8) A síkban adva van egy ABC háromszög. Szerkesszünk olyan négyzetet, melynek csúcsai a háromszög oldalaira esnek, továbbá a négyzet egyik oldala az AB szakaszon van. 9) A síkban adva van egy konvex szög és annak belsejében egy P pont. Szerkesszünk olyan a P ponton átmen kört, amely érinti a szög szárait. 10) Adva vannak egy ABCD négyszög a, b, c, d, oldalai továbbá a BC, DA oldalak felez pontjai összeköt középvonal k hossza. Szerkesszük meg a négyszöget ebb l az öt adatból.
3 3. feladatsor (A kerületi szögekkel és a háromszögek hasonlóságával kapcsolatos feladatok.) Idézzük fel a kerületi szögek tételét. Soroljuk fel a két háromszög egybevágóságára és hasonlóságára vonatkozó kritériumokat. Hogyan lehet igazolni a Pitagorasz-tételt a területfogalom és a háromszögek egybevágósága alapján? Adjunk hasonlóságon alapuló bizonyítást a befogótételre és a magasságtételre. Miként lehet értelmezni a középiskolában a pont körre vonatkozó hatványát? 1) A síkban egy k 1 kört belülr l érint a kisebb sugarú k kör egy E pontban. A k kör egy P pontjában vett érint az A, B pontokban metszi a k 1 kört. Bizonyítsuk be, hogy az AEP és BEP szögek egyenl ek. ) Az ABC háromszögben az oldalak különböz hosszúságúak. Igazoljuk, hogy a C csúcsnál lév küls szögek szögfelez egyenese és az AB oldal felez mer legese a háromszög köré írt körön metszik egymást. 3) Bizonyítsuk be, hogy egy érint négyszög húrnégyszög akkor és csak akkor, ha a szemközti oldalakra es érintési pontok összeköt szakaszai mer legesek egymásra. 4) Egy ABC háromszögben adva vannak az a = BC, b = AC oldalak és a C csúcsbeli f c szögfelez. Szerkesszük meg a háromszöget. 5) A síkban adva van egy trapéz. Vegyünk egy g szel egyenest, amely párhuzamos a trapéz alapjaival. Tekintsük azt a két szakaszt, melyeket az egyik szár és az egyik átló metsz le a g egyenesb l. Igazoljuk, hogy a két szakasz hossza egyenl. 6) Egy ABC háromszög oldalai a = 4, b = 5, c = 6. Hasonlóság alkalmazásával igazoljuk, hogy a háromszög legnagyobb szöge kétszer akkora, mint a háromszög legkisebb szöge. (Szögfüggvények alkalmazásával miként oldható meg a feladat?) 7) Egy ABC háromszög oldalai a = BC, b = CA, c = AB, a BC oldalhoz tartozó magasság pedig m. Mikor írható a háromszögbe olyan négyzet, amelynek egyik oldala a BC oldalra esik? Fejezzük ki ezen beírt négyzet oldalainak hosszát a háromszög fenti adataiból. 8) Az ABC háromszög szögfelez i a beírt kör Q centrumában metszik egymást. A C csúcsbeli szögfelez talppontját jelölje T. Igazoljuk, hogy fennáll a CQ QT = a + b c összefüggés. 9) Az ABCD négyszög oldalai a = AB, b = BC, c = CD és d = DA, átlói pedig e = AC és f = BD. Bizonyítsuk be, hogy mindig fennáll az ac + bd ef egyenl tlenség, továbbá az ac + bd = ef egyenl ség pontosan akkor teljesül, ha a négyszög egy húrnégyszög.
4 4. feladatsor (Síkgeometriai szintetikus feladatok.) Az alábbi feladatok a hasonlósággal, a körhöz húzott szel szakaszok szorzatával és a Pitagorasztétellel kapcsolatosak. 1) A síkon adva van egy k kör és egy P pont, amely a körnek egy küls pontja. A P pontból a k körhöz húzott egyik érint n az érintési pont legyen E. Húzzunk a P -n át egy szel t, amely a k kört az M 1 és M pontokban metszi. Igazoljuk, hogy fennáll P M 1 P M = P E. ) A síkban adva van egy g egyenes és két pont, melyek a g egyenes egyazon oldalára esnek. Szerkesszünk olyan kört, amely áthalad az adott pontokon és érinti a g egyenest. 3) A síkban adva van két kör, amelyek kívülr l érintik egymást az E pontban. Az E pontbeli közös érint egyenesen vegyünk egy P (P E) pontot. Húzzunk a P pontból egy-egy szel egyenest a két körhöz. Bizonyítsuk be, hogy a szel k és a körök metszéspontjai egy húrnégyszögnek a csúcsai. 4) Adva van egy parallelogramma, melynek oldalai a = 8, b = 6 és az egyik átlója e = 1. Határozzuk meg a parallelogramma másik átlójának a hosszát. (A paralellogramma oldalai és átlói között fennáll egy nevezetes összefüggés.) 5) Vegyünk a síkban egy ABCD konvex négyszöget, amelynél az átlók hossza e és f, a középvonalak hossza pedig k és l. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az e +f = (k +l ) összefüggés. (Milyen négyszög csúcsait képezik az oldalak felez pontjai?) 6) A síkban adva van egy egyenl szárú ABC háromszög (AC = AB), amelynél az alap a = 8 és a háromszög köré írt kör sugara r = 5. Határozzuk meg a háromszög szárainak hosszát. 7) Egy ABC háromszögben az oldalak hosszai a = BC = 1, b = CA = 0 és c = AB = 13. Számítsuk ki a BC oldalhoz tartozó magasságot. 8) Bizonyítsuk be, hogy amennyiben egy tengelyesen szimmetrikus trapéz egyúttal érint négyszög is, akkor a trapézba beírt kör centrumából az érintési pontokba húzott sugarak a trapézt négy egymással páronként hasonló négyszögre bontják fel. 9) Egy ABC háromszögben ismert az A csúcshoz tartozó s a súlyvonal és m a magasság, továbbá az A csúcsbeli α szög. Szerkesszük meg a háromszöget ezen adatokból. (Legyen a súlyvonal talppontja T és a magasságszakasz talppontja Q. Els ként szerkesszük meg a T QA háromszöget.) 10) Egy ABC háromszögben a C csúcsbeli szögfelez hossza f c. A szögfelez AB oldalra es talppontjának az A, B csúcsoktól mért távolsága c 1 és c. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az f c = ab c 1 c összefüggés, amelyben a = BC és b = AC.
5 5. feladatsor (Síkidomok területével kapcsolatos feladatok.) Hogyan lehet értelmezni a középiskolában a sokszögek területét? Hogyan célszer deniálni a körlemez területét a diákok számára? 1) Egy ABC háromszöglemez mely pontjaira igaz az, hogy a csúcsokkal vett összeköt szakaszai három egyenl terület részre osztják fel a háromszöget? ) A síkban adva van egy ABCD konvex négyszög. Hogyan szerkeszthet meg az A csúcson átmen azon egyenes, amely két egyenl terület részre vágja fel a négyszöget. (Vegyük észre, hogy ha a BD átló felez pontját összekötjük az A, C csúcsokkal, akkor ezek a szakaszok két egyenl terület négyszöget vágnak le.) 3) A síkban vegyünk egy ABCD négyzetet, melynél az oldalak hosszát jelölje a. Az A centrumú és a sugarú körlemezb l a négyzet egy negyedkört vág le. Az AB és AD oldalak, mint átmér k, fölé írjunk a négyzetbe egy-egy félkörlemezt. Jelölje t 1 a félkörlemezek metszetének területét, továbbá t azon síkidom területét, melyet úgy nyerünk, hogy a negyedkörb l kivágjuk a két félkörlemezt. Igazoljuk, hogy fennáll t 1 = t, azaz a síkidomok területei egyenl ek. Amennyiben az egyik félkörlemezb l elhagyjuk a másik félkörlemezbe es részt, akkor az így nyert síkidom területe hányszorosa a négyzet területének? 4) Vegyünk egy r = sugarú kört és egy szabályos háromszöget, melynek egyik oldala a körnek átmér je. Számítsuk ki a háromszög körön kívül es részének a területét. 5) A síkban adva van egy ABC háromszög, melynek területe t és kerülete k = s. Tekintsük azt a háromszöghöz hozzáírt kört, amely a BC oldalt kívülr l érinti. Bizonyítsuk be, hogy ezen hozzáírt kör ϱ a sugarára fennáll a ϱ a = t s a összefüggés. 6) Egy ABC háromszögben a beírt kör sugarát jelölje ϱ, a hozzáírt körök sugarát pedig ϱ a, ϱ b és ϱ c. Igazoljuk, hogy teljesül az 1 ϱ = 1 ϱ a + 1 ϱ b + 1 ϱ c összefüggés. 7) Vegyünk egy ABCD trapézt, melynek párhuzamos oldalai AB és CD, átlói pedig az M pontban metszik egymást. Az ABM háromszög területe legyen t 1, a CDM háromszög területe pedig t. Igazoljuk, hogy az AMD háromszög területére fennáll T (AMD ) = t 1 t. 8) Adva van egy ABC háromszög, melynek területe t és a köré írt kör sugara r. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög oldalaival fennáll az r = a b c összefüggés. 4 t 9) Szögfüggvények alkalmazása nélkül igazoljuk, hogy az ABC háromszög területére fennáll a t = s(s a)(s b)(s c) összefüggés, ahol s = 1 (a + b + c). (Ezt a formulát nevezik a területre vonatkozó Heron-képletnek.)
6 6. feladatsor (Vektorokkal és szögfüggvényekkel kapcsolatos feladatok.) Miként értelmezzük a szabad vektort a középiskolában? Hogyan deniáljuk két vektor összegét és különbségét? Miként adhatjuk meg a vektor skalárral való szorzásának a fogalmát? 1) A térben adva vannak az egymástól különböz O, A, B pontok, továbbá az α, β pozitív számok. Az AB szakaszon vegyük azt a P pontot, amelyre fennáll AP P B = α β. Fejezzük ki az OP helyvektort az a = OA, b = OB vektorokkal. ) Vegyük a nem párhuzamos a és b vektorokat. Adjunk egy szükséges és elégséges feltételt arra, hogy az a + b és a b vektorok mer legesek legyenek egymásra. 3) Egy ABC háromszögnél legyen O a köré írt kör középpontja. A háromszög csúcsainak az O-ra vonatkozó helyvektorai legyenek a, b és c. Jelölje M a háromszög magasságpontját. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az OM = a + b + c összefüggés. 4) Adva van a térben egy AB és egy CD szakasz, melyek felez pontjai legyenek E és F. Az AC szakasz felez pontját jelölje P, a BD szakasz felez pontját jelölje Q, az EF szakasz felez pontja pedig legyen S. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy a P, Q, S pontok kollineárisak. 5) Tekintsünk egy ABC háromszöget és egy λ (λ > 1) számot. A háromszög AB, BC, CA oldalait tartalmazó egyeneseken vegyük azon B, C, A pontokat, melyekre fennáll AB = λ AB, BC = λ BC és CA = λ CA Bizonyítsuk be, hogy az ABC és A B C háromszögek súlypontja egybeesik. 6) Egy tetraéderben az egyik csúcsot a szemközti lap súlypontjával összeköt szakaszt a tetraéder egyik súlyvonalának nevezzük. Vektorok felhasználásával igazoljuk, hogy a tetraéder négy súlyvonala egyazon pontban metszi egymást. (Ezt a közös pontot mondjuk a tetraéder súlypontjának.) 7) Vegyünk egy ABC háromszöget. A BC és CA oldalakhoz kifelé írjunk egy-egy négyzetet, melyek csúcspontjai sorrendben legyenek BCDE és CAF G. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy a DG szakasz és a háromszög C csúcshoz tartozó súlyvonala mer legesek egymásra. 8) Egy ABC derékszög háromszögnél (γ = 90 ) a háromszög köré írt kör sugara 13 -szerese a beírt kör sugarának. Adjuk meg a derékszög háromszög egyik hegyesszögének szinuszát és 4 koszinuszát. 9) Egy ABC háromszögben az oldalakra fennáll a b + c = a összefüggés. Bizonyítsuk be, hogy az a oldallal szemközti α szög nem lehet nagyobb, mint ) A szinusz és koszinusz függvények összegzési képleteire, azaz sin(α + β) és cos(α + β) kifejezésére, adjunk egy szintetikus bizonyítást abban az esetben, amikor α, β és α + β hegyesszögek. (Ne használjunk vektorokat és koordináta-rendszert.)
7 7. feladatsor (Szögfüggvényekkel kapcsolatos feladatok.) Miként értelmezzük a középiskolában a szögfüggvényeket? Van-e el nye annak, ha els lépésben csak a hegyesszögekre deniáljuk ket? Mely nevezetes szögeknél illik tudni egy diáknak a szögfüggvények értékét? π 1) Adjuk meg szögfüggvények értékét a 1 helyen (vagyis a 15 -os szögnél). ) Igazoljuk, hogy fennáll a cos 36 sin 18 = 1 egyenl ség. (Utalás: Ismeretes, hogy a szabályos tízszög esetében az oldalhossz és a tízszög köré írt kör sugara egy aranymetszés két szeletének felelnek meg.) 3) Bizonyítsuk be, hogy tetsz leges ABC háromszögben az oldalakra és a szögekre fennáll a b cos γ c cos β = b c összefüggés. a 4) Mutassuk meg, hogy egy ABC háromszög területére mindig fennáll a t = r sin α sin β sin γ összefüggés, ahol r a háromszög köré írt kör sugara. 5) Igazoljuk, hogy amennyiben egy ABC háromszög szögeire fennáll cos α = sin γ, akkor a háromszög egyenl szárú. sin β 6) Igazoljuk, hogy tetsz leges x, y valós számokra fennállnak az alábbi egyenl ségek: sin x + sin y = sin x + y cos x y, cos x + cos y = cos x + y cos x y. 7) Egy háromszög szögei egy számtani sorozat egymást követ elemei. Mekkorák a háromszög szögei, ha fennáll sin α + sin β + sin γ = összefüggés? 8) Adjuk meg az összes olyen valós számot, melyekkel teljesül az alábbi egyenlet: tg 3 x + tg x 3 tg x = 3. 9) A valós számok halmazán oldjuk meg az alábbi egyenletet: sin 6 x + cos 6 x = ) Egy ABCD konvex négyszögben az oldalak sorrendben a = AB, b = BC, c = CD és d = DA, az átlók pedig e = AC, f = BD. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az e f = a c + b d a b c d cos(α + γ) egyenl ség, ahol α és γ a négyszögnek az A, C csúcsbeli szögeit jelölik.
8 8. feladatsor (Koordinátageometriai feladatok.) Miként értelmezzük a középiskolában két vektor skaláris szorzatát? Miként értelmezzük a síkbeli derékszög koordináta-rendszert és abban a síkbeli pontok koordinátáit? Az alábbi feladatoknál feltesszük, hogy a síkban adva van egy derékszüg koordinátarendszer, melynek kezd pontja O, az alapvektorai pedig i és j. 1) Adva van egy sík és abban az egymásra mer leges i, j egységvektorok, melyeket bázisvektoroknak tekintünk. Az a = 7 i + j és b = 4 i + y j vektorokról tudjuk, hogy a hajlásszögük 135. Határozzuk meg az y vektorkoordináta értékét. ) A koordinátázott síkban adva van egy ABC háromszög, meylnél a csúcsok koordinátái A(5, ), B(8, 6), C( 3, 8). Határozzuk meg az A csúcsban vett szögfelez egyenes egyenletét. 3) A koordinátázott síkban adva van két egymásra nem mer leges egyenes, melyek iránytangense m 1 és m (m 1 m ). Igazoljuk, hogy a két metsz egyenes ϕ hajlásszögének tangensére fennáll a tg ϕ = m 1 m összefüggés. 1 + m 1 m 4) Tekintsük a síkban az (x 5) + (y 8) = 34 egyenlet kört. Határozzuk meg az x tengely azont pontjait, amelyekre igaz az, hogy a pontból a körhöz húzott két érint egyenes mer leges egymásra. 5) A koordináta-rendszerrel ellátott síkban mely síkbeli alakzatot írja le a 4x + 4 x y + y 4x y = 0 egyenlet? 6) Tekintsük a síkban az x + 4x + y + y 4 = 0 egyenlet kört és a P (4, ) pontot. Határozzuk meg a kör P ponton átmen érint egyeneseinek az egyenletét, továbbá az érint kön az érintési pontok koordinátáit. 7) Bizonyítsuk be, hogy nincs a síkban olyan szabályos háromszög, amelynél az csúcspontok összes koordinátája racionális szám. 8) Vegyük a síkban az y = 1 p x egyenlet parabolát, ahol p (p > 0) a parabola paramétere. Legyen a P (a, b) pont a parabola egyik pontja. Igazoljuk, hogy a p(y + b) a x = 0 egyenlet egyenes érinti a parabolát a P pontban. 9) Tekintsük a síkban az y = 1 0 x egyenlet parabolát, továbbá a P (5, ) pontot. Adjuk meg azon P -n átmen egyenes egyenletét, amlynél P felez pontja a parabola által az egyenesb l kimetszett szakasznak. 10) A síkban adva van egy háromszög, melynek egyik csúcsa a koordináta-rendszer O kezd pontja (azaz A = O), súlypontja S(6, 0) és magasságpontja M(4, ). Határozzuk meg a háromszög másik két csúcsának a koordinátáit.
9 9. feladatsor (Térfogat és felszínszámítási feladatok.) 1) Adva van egy ferde körkúp, amelynél az alapkör sugara r = 6, a leghosszabb kúpalkotó a = 5 és a legrövidebb kúpalkotó b = 17. Határozzuk meg ezen ferde körkúp térfogatát. ) Egy körhenger alakú hordó (amely felülr l nyitott) tele van vízzel. A henger alapkörének sugara r = 3 dm és magassága m = 5 dm. A hordót lassan megdöntjük oly módon, hogy végül az alaplap síkjának a vízszinttel bezárt szöge α = 30 legyen. Hány liter víz folyik ki ekkor a hordóból? 3) Igazoljuk, hogy amennyiben a 1, a és a 3 tetsz leges pozitív valós számok, akkor a számtani és mértani közepükre fennáll az 1 3( a1 + a + a 3 ) 3 a 1 a a 3 egyenl tlenség. 4) Vegyük azon körhengereket, melyek térfogata V = 64 π. Dierenciálszámítás alkalmazása nélkül döntsük el, hogy mely henger esetében lesz az alapkör területének és a palást felszínének az összege minimális. Adjuk meg ezen hengernél az alapkör r sugarát és az m magasságot. 5) A V = 64 π térfogatú hengerek közül jelöljük ki most azt, amelynek a teljes felszíne minimális. (A minimális felszínü henger alapköri sugarának és magasságának meghatározásához ezúttal se használjunk dierenciálszámítást.) 6) Egy R sugarú és O centrumú gömböt két olyan párhuzamos síkkal metszünk el, melyeknek az O középpont egyazon oldalukra esik. A két párhuzamos sík egymástól mért távolsága d = 7. Az els sík által a gömbb l kimetszett kör sugara r 1 = 5, a második sík által a gömbb l kimetszett kör sugara pedig r = 1. Határozzuk meg a gömb felszínét. 7) Adva van egy egyenes csonkakúp, amelynél az alapkör sugara R, a fed kör sugara pedig r (r < R). Írjunk ebbe olyan hengert, amelynek sugara r és magassága megegyezik a csonkakúp magasságával. Határozzuk meg a R/r hányados értékét ha ismert, hogy a csonkakúp és a henger térfogatának aránya V csk : V h = 13 : 4. Transzformációk a Gaussféle számsíkon 8) A derékszög koordinátarendszerrel ellátott σ síkon egy tetsz leges P (x, y) pontnak feleltessük meg a z = x + i y komplex számot. Ily módon a sík egy olyan ξ : σ C koordinátázásához jutunk, ahol a sík pontjaihoz nem valós számpárokat, hanem komplex számokat rendelünk. Vegyük a c = i komplex számot. Tekintsük azt az η : σ σ bijektív leképezést, amely a z C koordinátájú ponthoz a cz koordinátájú pontot rendeli. Jellemezzük az η síkbeli transzformációt. 9) Vegyük a c = i komplex számot. Tekintsük azt az η : σ σ bijektív leképezést, amely a z C koordinátájú ponthoz a c z pontot rendeli, ahol z a z komplex szám konjugáltját jelöli. Jellemezzük az η síkbeli transzformációt.
Analitikus geometria c. gyakorlat (2018/19-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül)
1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül) A tér egy σ síkjában vegyünk két egymásra mer leges egyenest, melyeket jelöljön x és y, a metszéspontjukat pedig jelölje O. A két
RészletesebbenAnalitikus geometria c. gyakorlat
matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
Részletesebben2. Síkmértani szerkesztések
2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenFeladatok Elemi matematika IV. kurzushoz
Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz 1. gyakorlat (2012. február 6.), Síkizometriák 1.1. gyakorlat. Milyen síkizometria két (a) egymással párhuzamos (b) egymást α szögben metsz egyenesre vett tengelyes
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
RészletesebbenHasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika
Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató
OktatásiHivatal A 014/01. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató 1. feladat: Adja meg az összes olyan (x,
RészletesebbenI. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenFeladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)
Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenTrigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenTémák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás
Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az
RészletesebbenI. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!
Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,
RészletesebbenFeladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
RészletesebbenGeometria 1, normálszint
Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenMATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!
MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
RészletesebbenSíkgeometria. Ponthalmazok
Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
Részletesebben2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2
1. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó feladatok) Ha egy feladatban síkbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor azok egy derékszög koordinátarendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és ortonormált alapvektorai
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenVektoralgebra feladatlap 2018 január 20.
1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Részletesebben2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat
1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenTARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK
TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenVektoralgebra. 4. fejezet. Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása. Feladatok
4. fejezet Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása T 4.1 (Háromszögegyenl tlenség) Minden a, b vektorpárra a + b a + b. T 4.2 (Paralelogrammaszabály) Ha az a és b vektor különböz
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenHasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
RészletesebbenGyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenSzélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely
Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai
RészletesebbenGeometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
Részletesebben3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
Részletesebben4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+
4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy
RészletesebbenMatematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )
Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése
Részletesebben(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)
2. házi feladat 1.feladat a b)c d)e f) = a b)[c d) e f)] = = a b)[ecdf) fcde)] = abe)cdf) abf)cde) 2.feladat a) Legyen a két adott pontunk helyzete A = 0, 0), B = 1, 0), továbbá legyen a távolságok aránya
RészletesebbenIzsák Imre Gyula természettudományos verseny
199 Jelölje m a, m b, m c egy háromszög magasságait, ρ a háromszög beírt körének a sugarát. Igazoljuk, hogy ma + mb + mc 9ρ Mikor áll fenn az egyenlség? Osszuk fel egy tetszleges ABCD konvex négyszög AB,
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenXVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.
RészletesebbenA GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria
GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenFeladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
RészletesebbenEgybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
RészletesebbenIsmételjük a geometriát egy feladaton keresztül!
Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
RészletesebbenGEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a
GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:
RészletesebbenANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.
ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenHúrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele
Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele Markó Zoltán 11C Húrnégyszögek Definíció: Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amely köré kör írható Vagyis az olyan konvex négyszögek, amelyeknek oldalai egyben
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,
RészletesebbenMatematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria...........................
RészletesebbenGyakorló feladatsor a matematika érettségire
Gyakorló feladatsor a matematika érettségire 1. Definiálja két halmaz unióját és metszetét!. Mit értünk mértani sorozaton? Adja meg egy tetszőleges mértani sorozat első öt elemét! 3. Mondja ki Pitagorasz-tételét!
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenGyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:
Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold
Részletesebben1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,
RészletesebbenGyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!
1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a
RészletesebbenMatematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)
Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.
RészletesebbenHasonlóság 10. évfolyam
Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk.
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
Részletesebben