Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)"

Átírás

1 Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal, vegyünk egy olyan sugarú k 3 kört, amelyre fennáll < r. A k 3 körnek a k 1, k 2 körökkel vett metszéspontjai közül válasszunk két pontot A t és B t oly módon, hogy ezek az M N egyenes egyazon oldalára essenek. Bizonyítsuk be, hogy az N, A, B pontok kollineárisak. 2) A síkon legyen adott egy ABC derékszögű háromszög (γ = 90 ). Vegyük azt a négyzetet, amelynek az egyik oldala az AB átfogó és amelyik nem tartalmazza az ABC háromszöget. Jelölje Q ezen négyzet középpontját. Bizonyítsuk be, hogy a CQ félegyenes felezi a γ szöget. 3) A síkon legyen adva van két kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Az M, N pontokon át húzzunk egy egy szelőegyenest. Ezen szelőknek a k 1 körrel vett további metszéspontjai legyenek A 1 és B 1, a k 2 körrel vett további metszéspontjai pedig legyenek A 2 és B 2. Igazoljuk, hogy az A 1 B 1 és A 2 B 2 egyenesek párhuzamosak. 4) A síkon vegyünk olyan k 1, k 2, k 3 és k 4 köröket, melyek bármelyike a másik három közül két két körrel érintkezik kívülről. A k 1 és k 2 körök érintési pontját jelölje A, k 2 és k 3 érintkezési pontját jelölje B, k 3 és k 4 érintési pontját jelölje C, végül a k 4 és k 1 körök érintési pontját jelölje D. Igazoljuk, hogy van olyan kör, amely áthalad az A, B, C, D pontokon. 5) Egy négyszög esetében középvonalon két szemközti oldal felezőpontját összekötő szakaszt értünk. Igazoljuk, hogy egy négyszög középvonalai a felezőpontjukban metszik egymást. 6) Adva van a síkban egy ABCD négyszög. A BC oldal felezőpontja legyen E, az AD oldal felezőpontja pedig legyen F. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az EF 1 2( AB + CD ) egyenlőtlenség. 7) A síkon legyen adott két pont O 1 és O 2. Vegyük a síkban azon centrális tükrözéseket, amelyek középpontjai ezen O 1 és O 2 pontok. Igazoljuk, hogy a két tükrözés szorzataként (vagyis azok egymás után való végrehajtásával) egy eltolást kapunk. 8) Mutassuk meg, hogy egy háromszöget egyértelműen meghatározza a három oldalfelező pont, vagyis azok ismeretében a háromszög megszerkeszthető. Igazoljuk, hogy a négy oldalfelező pont viszont nem határozza meg egyértelműen a négyszöget. 9) A síkban adva vannak egy ötszög oldalainak a felezőpontjai. Szerkesszük meg ezen pontokból az ötszöget. 10) A síkban adva van egy A csúcsú konvex szög és annak belsejében egy P pont. Szerkesszünk egy a P ponton áthaladó olyan egyenest, amely a szögből megadott kerületű háromszöget metsz le.

2 Feladatok a 2. Geometria gyakorlathoz 1) Bizonyítsuk be, hogy amennyiben egy A (A = ) alakzatnak van legalább két szimmetriacentruma, akkor az A alakzat nem lehet korlátos, továbbá A nak végtelen sok szimmetriacentruma van. 2) A térben vegyünk két egyenest, melyeket jelöljön g és h. Vegyük az összes olyan szakaszt, amelyek egyik végpontja a g egyenesre, a másik végpontja pedig h ra esik. Mi lesz ezen szakaszok felezőpontjainak mértani helye akkor, ha a két egyenes párhuzamos, metsző, illetve kitérő. 3) Mutassuk meg, hogy két síkbeli tengelyes tükrözés szorzata vagy egy eltolás, vagy pedig egy elforgatás. 4) Egy síkon legyen adva egy ABC hegyesszögű háromszög, továbbá a BC oldalon egy D pont. Ha a CA oldalon veszünk egy E pontot és az AB oldalon egy F pontot, akkor azt mondjuk, hogy DEF az egyik beírt háromszöge az ABC háromszögnek. Rögzített D pont mellett miként kell megválasztani az E, F pontokat ahhoz, hogy a DEF háromszög kerülete minimális legyen? 5)* Egy síkon legyen adva egy ABC hegyesszögű háromszög. Legyenek ezen háromszög magasságvonalainak a talppontjai A 1, B 1 és C 1. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben vesszük az ABC beírt háromszögeit, akkor azok között A 1 B 1 C 1 adja a minimális kerületű háromszöget. (Ezt nevezik Fagnano féle feladatnak.) 6) A síkon adva egy DCE szög, továbbá adott egy h (h > 0) távolság. Vegyünk a CD száron egy A pontot és a CE száron egy B pontot azon feltétellel, hogy a C től mért távolságaikkal fennáll CA + CB = h. Bizonyítsuk be, hogy van a síkban egy olyan P pont, amelyen az összes így nyert AB szakasz felezőmerőlegese áthalad. 7) Vegyünk egy ABC háromszöget, ahol az oldalakra igaz a < b. A C csúcsnál lévő külső szög szögfelezője messe el az AB egyenest az M pontban. Mutassuk meg, hogy fennáll az AM : BM = b : a összefüggés. 8) Ha egy síkban adva van két kör, akkor egy H pontot a körök hasonlósági pontjának mondunk, ha van olyan H centrumú középpontos hasonlóság, amely az első kört a másodikba viszi. Vegyünk olyan k 1 és k 2 köröket, ahol O 1 O 2 = 9 és a körsugarak értéke r 1 = 5, r 2 = 2. Határozzuk meg a hasonlósági pontok O 1 től mért távolságát. 9) Egy körön adva van egy körív, melynek végpontjai A és B. Tekintsük a körív egy P pontját és abban a kör e érintőjét. Az A, B pontokból az e hez húzott merőleges szakaszok talppontja legyen A 1 és B 1, a P pontból az AB húrhoz húzott merőleges szakasz talppontja legyen P 1. Igazoljuk, hogy teljesül (PP 1 ) 2 = AA 1 BB 1. 10) Tekintsünk egy ABCD húrnégyszöget. Vezessük be az a = AB, b = BC, c = CD, d = DA és e = AC, f = BD jelöléseket. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az ac + bd = ef egyenlőség (Ptolemaiosz tétele a húrnégyszögre). 2

3 Feladatok a 3. Geometria gyakorlathoz 1) A síkban adva van egy O centrumú, r sugarú kör. Vegyünk egy síkbeli P pontot és ezen át egy olyan egyenest, amely az M 1, M 2 pontokban metszi a kört. Hasonló háromszögek alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy fennáll a PM 1 PM 2 = OP 2 r 2 összefüggés. 2) Adva van egy ABC háromszög. A háromszög köré írható kör centrumát jelölje O, a magasságpontot M, a súlypontot pedig S. Hasonlósági transzformációval igazoljuk, hogy az S súlypont harmadolja az OM szakaszt. (Az O, S, M pontokra illeszkedő egyenest mondjuk az ABC háromszög Euler egyenesének.) 3) Legyen adva a térben egy σ sík és egy ABC derékszögű háromszög (γ = 90 ), amelynek AC oldala párhuzamos a σ síkkal. Vegyük az A, B, C pontoknak a σ síkra eső A, B, C vetületi pontjait. Igazoljuk, hogy az A B C vetületi háromszög is derékszögű. 4) Az euklideszi térben adva van egy ABCDM szabályos négyoldalú gúla, melynek ABCD alaplapja egy négyzet és az alapélek hossza a = 4 3. Az M csúcs rajta van az alapnégyzet O középpontján át az alaplap síkjára állított merőlegesen. Ismert továbbá, hogy az ABM és BCM oldallapok hajlásszöge 120. Határozzuk meg a gúla M csúcsba befutó éleinek hosszát (b =?). 5) Tekintsünk egy ABCD parallelogrammát, amelynél az oldalak hossza a és b, az átlók hossza pedig e és f. Igazoljuk, hogy fennáll a 2a 2 + 2b 2 = e 2 + f 2 összefüggés. 6) Tekintsünk egy ABC háromszöget. A háromszög oldalainak hossza legyen a, b és c, a súlyvonalak hossza pedig legyen s a, s b és s c. Bizonyítsuk be, hogy teljesül s 2 a + s 2 b + s 2 c = 3 ) (a 2 + b 2 + c ) Az euklideszi síkon legyen adott két kör k 1 és k 2, melyek kívülről érintik egymást. A körök sugarának értéke ismert r 1 = 9 és r 2 = 4. Tekintsük a két kör közös külső érintőinek egyikét és azon az E 1, E 2 érintési pontokat. Határozzuk meg az érintési pontok távolságát. Számítsuk ki annak a körnek a sugarát, amely érinti a k 1, k 2 köröket és a közös külső érintőt is. 8) Egy ABC derékszögű háromszögben (ahol γ = 90 ) ismert az átfogó hossza c = 4 6 és a C csúcshoz tartozó szögfelező f c = 2 2. Határozzuk meg az a, b befogók hosszát. 9) Tekintsünk egy olyan ABC háromszöget, amely szögeire teljesül α = 2β. Bizonyítsuk be, hogy ezen háromszög oldalaira fennáll az a 2 = b 2 +bc összefüggés. 10) Egy ABC háromszögnél ismerjük az m a, m b, m c magasságokat. Szerkesszük meg a háromszöget. 3

4 Feladatok a 4. Geometria gyakorlathoz 1) Legyenek a és b olyan vektorok, amelyek nem párhuzamosak egymással és egyenlő hosszúságúak (vagyis a = b ). Mutassuk meg, hogy ekkor az a + b és a b vektorok merőlegesek egymásra. 2) Rögzítsünk a térben egy O pontot. Tekintsünk egy AB szakaszt és valamely m, n pozitív egész számokat. Vegyük az AB szakaszon azt a P pontot, amelyre teljesül az AP : PB = m : n összefüggés. Fejezzük ki az OP helyvektort az OA, OB vektorok lineáris kombinációjaként. 3) Tekintsünk az euklideszi térben egy ABC háromszöget és egy O pontot. Mutassuk meg, hogy az ABC háromszög S súlypontjának helyvektorára fennáll OS = 1( OA + 3 OB + OC). 4) Legyen adott egy ABCD tetraéder. Ha vesszük az egyik csúcs és a szemközti lap súlypontjának az összekötő szakaszát, akkor azt a tetraéder egyik súlyvonalának mondjuk. Helyvektorok alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy a tetraéder négy súlyvonala egyazon pontra illeszkedik és ez a pont negyedeli a súlyvonalakat. 5) Vegyünk a síkban egy tetszőleges ABC háromszöget. Ennek AC és BC oldalaira kifelé szerkesszük meg az ACP és BCQ szabályos háromszögeket. A CP szakasz felezőpontját jelölje E, a CQ szakasz felezőpontját F, az AB szakasz felezőpontját pedig C 1. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy az EFC 1 háromszög szabályos. 6) A síkban legyen adott egy ABC háromszög. Ennek mindhárom oldalára kifelé állítsunk egy egy szabályos háromszöget. Tekintsük azt a háromszöget, melynek csúcsai azonosak az oldalakra állított szabályos háromszögek középpontjaival. Igazoljuk, hogy ez a háromszög szabályos (Napóleon tétele). 7) A térben adva van három lineárisan összefüggő vektor, melyeknek egy e 1, e 2, e 3 bázisra vonatkozó koordinátái a következők: a(1, 2, 1), b(1, 3, 2), c(1, y, 10). Határozzuk meg a c vektor hiányzó koordinátáját. 8) A térben van négy vektor, melyek koordinátái a következők: a(2, 1, 1), b( 1, 3, 0), c(1, 0, 7) és d(9, 9, 10). Állítsuk elő a d vektort az a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként. Határozzuk meg az ebben szereplő együtthatókat. 9) Legyen adott egy ABCD parallelogramma. Ennek BC és CD oldalán vegyük azon M és N pontokat, melyekre fennáll BM = 1 BC és DN = 1 DC. Jelölje P az AM 2 3 és BN szakaszok metszéspontját. Vektorokat alkalmazva döntsük el, hogy a P pont milyen arányban osztja az AM és BN szakaszokat (AP : P M =?, BP : P N =?). 10) A síkban legyen adott egy olyan ABC háromszög, ahol b < c. Vegyünk egy h hosszt, amelyre fennáll h < b. A BA és CA oldalakon jelöljük ki azon M és N pontokat, melyekre igaz BM = h és CN = h. Jelöljék F és E a BC, MN szakaszok felezőpontjait. Bizonyítsuk be, hogy az EF szakasz párhuzamos a háromszög A csúcsbeli szögfelezőjével. 4

5 Feladatok az 5. Geometria gyakorlathoz Amennyiben a szabad vektorok V terének vesszük egy i, j, k bázisát, akkor a továbbiakban mindig feltesszük, hogy ez a bázis ortonormált. 1) Legyenek α, β és γ olyan 0 és π közé eső valós számok, amelyek különböznek π 2 től és melyekre fennáll α + β + γ = π. Mutassuk meg, hogy ekkor teljesül a tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ összefüggés. 2) Legyen α egy tetszőleges valós szám és n egy pozitív egész szám, amelyre fennáll n 2. Bizonyítsuk be, hogy igazak a cos α + cos ( ) ( ) α + 2π n cos α + (n 1) 2π n = 0, n 1 k=0 sin( ) α + k 2π n = 0, összefüggések. Utalás: Használjuk ki, hogy egy n oldalú szabályos sokszög külső szögeinek mértéke (2π)/n. 3) Tekintsük azon a és b vektorokat, melyeknél az i, j, k ortonormált bázisra vonatkozó koordináták a (2, 1, 2) és b (6, 2, 3). Adjunk meg egy olyan vektort, amely az a, b vektorokkal azonos szöget zár be és előáll a két vektor lineáris kombinációjaként. 4) A szabad vektorok terében vegyük az a = 4i 4j 7k és b = 3i + 12j + 3k vektorokat. Határozzuk meg a két vektor hajlásszögét. 5) Tekintsük azon a és b vektorokat, melyeknél az ortonormált bázisra vonatkozó koordináták a (6, 3, 12) és b ( 3, 5, 8). Bontsuk fel a b vektort az a val párhuzamos és az a ra merőleges összetevők öszegére (b = b p + b m ). Határozzuk meg a b p, b m vektorok koordinátáit. 6) Legyenek x, y, z olyan valós számok, melyekre igaz x 2 +y 2 +z 2 2. Igazoljuk, hogy ezekkel teljesül 2 7 2x 3y + z ) Legyenek adva az O, A, B, C térbeli pontok. Igazoljuk, hogy a pontok által meghatározott irányított szakaszok vektoraira fennáll az OA BC + OB CA + OC AB = 0 összefüggés. 8) Tekintsünk egy ABC szabályos háromszöget. Vegyük a háromszög köré írható k kört és annak egy P pontját. Vektorok skaláris szorzását alkalmazva igazoljuk, hogy a PA 2 + PB 2 + PC 2 összeg értéke nem függ a P köri pont megválasztásától. 9) Legyenek a és b olyan a 0 tól különböző vektorok, amelyek esetében az a + 3b merőleges a 7a 5b vektorra, továbbá az a 4b, 7a 2b vektorok is merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az a, b vektorok hajlásszöge ) Tekintsünk egy tetszőleges négyszöget, melynél az oldalak hossza a, b, c, d, az átlók hossza pedig e, f. Jelölje h az átlók felezőpontjainak a távolságát. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy fennáll a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = e 2 +f 2 +4h 2. (Használjuk ki, hogy három élvektor már meghatározza a négyszöget.) 5

6 Feladatok a Geometria gyakorlathoz, 6. feladatsor A koordinátageometriai feladatok során feltesszük, hogy az euklideszi térben rögzítve van egy (O, i, j, k) Descartes féle koordináta rendszer. 1) Adva van egy ABC háromszög, amelynél a csúcsok térbeli koordinátái A(2, 1, 0), B(4, 3, 3) és C(1, 1, 6). Határozzuk meg a háromszög területét. 2) Az euklideszi térben adva van egy g egyenes, amely áthalad egy A ponton és párhuzamos egy v (v 0) vektorral. Tekintsünk egy tetszőleges P pontot. Mutassuk meg, hogy a P pont g egyenestől mért távolságára teljesül d(g,p) =. v AP v 3) Tekintsünk egy konvex poliédert és annak egy lapját. A laphoz tartozó területvektoron azt a vektort értjük, amely merőleges a lap síkjára, a poliéderből kifelé mutat és hossza egyenlő a lap területével. Igazoljuk, hogy egy tetraéder négy lapvektorának összege azonos a 0 nullvektorral. 4) Adva van egy tetraéder, amelynél a négy csúcs koordinátái A(2, 3, 1), B(4, 1, 2), C(6, 3, 7) és D( 5, 4, 8). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát és a D csúcshoz tartozó magasságot. Utalás: A tetraéder térfogata egyhatoda az AB, AC és AD élek által kifeszített parallelepipedon térfogatának. 5) Adva van három lineárisan független vektor a, b és c. Jelöljük V vel az általuk kifeszített parallelepipedon térfogatát. Tekintsük továbbá azt a parallelepipedont, melyet a 2a + 3b + 4c, a b + c és 2a + 4b c vektorok feszítenek ki, és jelölje ˆV ennek térfogatát. Határozzuk meg a ˆV /V hányados értékét. 6) Legyen adott három vektor a, b és c, melyek lineárisan függetlenek, vagyis egy bázisát képezik a szabad vektorok V terének. Alkalmazzuk az [a, b, c] jelölést a három vektor vegyes szorzatára a szokványos (a b) c jelölés helyett. Tekintsünk egy tetszőleges v vektort. Bizonyítsuk be, hogy fennáll v = [v,b,c] [a,b,c] a + [a,v,c] [a,b,c] b + [a,b,v] [a,b,c] c. 7) Adva van négy vektor a, b, c és d. Bizonyítsuk be, hogy teljesül az (a b) (c d) = a c a d b c b d egyenlőség. (Az összefüggés jobb oldalán egy 2 2 es mátrix determinánsa szerepel.) 8) Adva van egy ABCD parallelogramma, ahol két csúcs koordinátái ismertek A(2, 4, 5) és B(3, 4, 2). Tudjuk továbbá, hogy az A csúcsnál lévő szög α=30, az AD élvektor egyirányú a v (1,y, 2) vektorral és AD = 3 6. Határozzuk meg a C, D csúcsok koordinátáit az y < 0 esetben. 9) Vegyük azt az ABCD szabályos tetraédert, amelynél az egyik lapon lévő csúcsok koordinátái ismertek A (0, 1, 3), B (4, 2, 2) és C (1, 2, 1). Határozzuk meg a szabályos tetraéder D csúcsának a koordinátáit. 6

7 Feladatok a Geometria gyakorlathoz, 7. feladatsor A kitűzött feladatoknál feltesszük, hogy a tekintett síkon, illetve a térben rögzítve van egy derékszögű koordináta rendszer. 1) A koordináta rendszerrel ellátott síkban adva van egy ABCD rombusz, melynél ismert két szomszédos csúcs A(3, 1) és B(4, 7). A rombusz AC átlója párhuzamos a 2x + y = 0 egyenletű egyenessel. Határozzuk meg a C, D csúcsok koordinátáit. 2) Tekintsük a síkban a C (6, 7) pontot és az 5x 12y 24 = 0 egyenlettel leírt e egyenest. Határozzuk meg azon kör normálegyenletét, melynek centruma a C pont és amely érinti az e egyenest. (A megoldáshoz nem szükséges az érintési pont meghatározása.) 3) Adott a síkban egy kör, amelynek az egyenlete x 2 +y 2 8x+4y 5 = 0. Határozzuk meg a P( 1, 8) pontból a körhöz húzott érintőegyenesek egyenletét és az érintési pontok koordinátáit. 4) A síkban adva van két egyenes, amelyek nem párhuzamosak egymással és az y tengellyel. Az egyenesek meredekségét jelölje m 1 és m 2. Fejezzük ki az m 1, m 2 értékekből a két egyenes hajlásszögét (cosϕ =?). 5) Tekintsük a térben a 3x + y 4z + 10 = 0 egyenletű síkot és a C(8, 6, 3) pontot. Határozzuk meg azon C centrumú gömb egyenletét, amely érinti az adott síkot, továbbá adjuk meg az érintési pont koordinátáit. 6) A térben tekintsük azt az ABCD tetraédert, amelynél a csúcspontok koordinátái A (1, 3, 2), B(5, 4, 5), C(1, 1, 2) és D (4, 3, 8). Határozzuk meg annak az ABC lappal párhuzamos síknak az egyenletét, amely egy t = 4 területű háromszögben metszi el a tetraédert. 7) A térben adva van két kitérő helyzetű egyenes, amelyek paraméteres egyenletrendszere x = 6 + 2t, y = 10 3t, z = 1 + t, illetve x = 3 3τ, y = 9 + 6τ, z = 3 τ. Határozzuk meg a két egyenes normális transzverzálisának a paraméteres egyenletrendszerét. 8) Adva van a térben egy σ sík, melynek egyenlete 5x + 3y z 21 = 0. Vegyük azt az e egyenest, amelynek paraméteres egyenletrendszere x = 5 + 3t, y = 8 + 7t, z = t (t R). Határozzuk meg az e egyenes σ síkra eső merőleges vetületének az egyenletét. 9) Adva van egy ABCDM szabályos négyzetes gúla, amelynek M(9, 4, 1) csúcsa ismert. Az ABCD négyzet benne van a 2x + y + 2z + 3 = 0 egyenletű síkban és az egyik alaplapi csúcspont A(x A, 1, 8). Határozzuk meg a négyzetes gúla összes csúcspontjának a koordinátáit. 7

8 Feladatok a Geometria gyakorlathoz, 8. feladatsor Feltesszük, hogy a tekintett síkon adva van egy derékszögű koordináta rendszer. 1) A síkban vegyünk egy AB szakaszt, amelynek hossza a + b (a b > 0). A szakaszon tekintsük azt a P pontot, amelyre fennáll AP = b és PB = a. Mozgassuk ezt a szakaszt a síkban oly módon, hogy az A végpont mindig az x tengelyre, a B pont pedig mindig az y tengelyre essen. Bizonyítsuk be, hogy a mozgatás során a P pont egy ellipszist ír le. 2) Tekintsünk két egymást metsző síkot σ t és π t, melyek hajlásszöge α. Vegyünk a σ síkban egy k kört, melynek sugara a. Koordinátageometriai eszközökkel igazoljuk, hogy α 90 esetén a k körnek a π síkra eső merőleges vetülete egy ellipszis, amelynél a nagytengelyhossz 2a és a kis féltengely hossza b = a cos α. 3) A síkban legyen adva egy C középpontú k kör és egy g egyenes, amelynek a körrel nincs közös pontja. Tekintsük a sík összes olyan körét, amely kívülről érinti a k kört, továbbá érinti a g egyenest is. Milyen alakzatot (vagy más szóval mértani helyet) képeznek ezen körök centrumai? 4) A síkban legyen adva egy C középpontú k kör és annak belsejében egy D pont. Tekintsük a sík összes olyan körét, amely áthalad D n és érinti a k kört. Milyen alakzatot alkotnak ezen körök centrumai? 5) A síkban adva van egy C centrumú k kör és azon kívül egy D pont. Tekintsük a síkban az összes olyan kört, amely áthalad D n és érinti a k kört. Milyen alakzatot képeznek ezen körök középpontjai? 6) Legyen q egy rögzített pozitív valós szám. Igazoljuk, hogy az y q x = 0 egyenlettel leírt alakzat egy hiperbola. (Vegyünk egy megfelelő koordináta rendszert a síkon.) 7) A síkban adva van két parabola, melyek vezéregyenesei v 1, v 2, továbbá fókuszpontjai F 1 és F 2. Igazoljuk, hogy van olyan hasonlósági transzformáció, amely az első parabolát a másodikba viszi. 8) A σ síkban adva van egy derékszögű koordináta rendszer. Tekintsük azon k 1, k 2 köröket, amelyek egyenlete x 2 +y 2 16 = 0 és x 2 4x+y 2 = 0. Mi lesz azon σ beli pontok mértani helye, melyek köré írható olyan kör, amely belülről érinti a k 1 kört és kívülről érinti k 2 t? 9) A síkban adva van egy hiperbola, amelynek fókuszpontjai F 1 és F 2, a tengelypontjai pedig A 1 és A 2. Legyen P a hiperbola egy olyan pontja, amely nincs rajta az F 1,F 2 egyenesen. Tekintsük az F 1 F 2 P háromszöget. Bizonyítsuk be, hogy az F 1 F 2 P beírt köre áthalad az A 1, A 2 tengelypontok egyikén. 10) A σ síkban legyen adott egy v egyenes és egy arra nem illeszkedő F pont. Vegyünk egy ε pozitív számot, és tekintsük az A = {P σ FP = ε d(v,p) } alakzatot. Koordinátageometriai módszerekkel bizonyítsuk be, hogy az A alakzat ε < 1 esetén egy ellipszis, ε > 1 esetén pedig egy hiperbola. 8

9 Feladatok a Geometria gyakorlathoz, 9. feladatsor A koordinátageometriai feladatnál feltesszük, hogy a térben adva van egy O kezdőpontú derékszögű koordináta rendszer. 1) Az O centrumú r sugarú G(O,r) gömbfelületen legyen adott két pont A és B. Milyen alakzatot alkotnak azon gömbi pontok, melyeknek az A, B pontoktól mért gömbi távolsága egyenlő? Ha A és B nem átellenesek, akkor melyek azok a gömbi főkörök, amelyek derékszögben metszik az A, B pontokon átmenő főkört? 2) Igazoljuk, hogy egy ABC G gömbi háromszögben a nagyobb oldallal szemközti szög a nagyobb (vagyis ha fennáll a > b, akkor α > β teljesül). 3) A G(O, 4) gömbfelületen adva van egy olyan ABC G gömbháromszög, melynek szögei α = π/3, β = π/4 és γ = π/2. Határozzuk meg az a oldal hosszát. 4) A G(O,r) gömbfelületen legyen adva egy olyan ABC G gömbháromszög, amelyben γ = π ( c ) ( a ( b 2. Igazoljuk, hogy ekkor fennáll cos = cos cos = ctg α ctg β. r r) r) 5) A G(O, 1) gömbfelületen adva van egy olyan ABC G gömbháromszög, ahol a = π/6, b = π/4 és α = π/4. Határozzuk meg a gömbháromszögre vonatkozó másik három geometriai adatot (β =?, c =?, γ =?). 6) Az ABC G gömbháromszögben egy csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő gömbi főkörívet a gömbháromszög egyik súlyvonalának nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy a gömbháromszög súlyvonalai egyazon pontban metszik egymást. 7) Igazoljuk, hogy egy ABC G gömbháromszögnek két szöge derékszög akkor és csak akkor, ha két oldalszöge derékszög. 8) A G(O, 3) gömbfelületen tekintsük az A(2, 1, 2), B(2, 2, 1),C(0, 0, 3) csúcsokkal meghatározott ABC G gömbháromszöget. Adjuk meg azt a 3 hosszúságú vektort, amely O ból az A, B, C csúcsokon átmenő kör centrumának az irányába mutat. 9) A G(O, r) gömbfelület és egy O csúcsú négyélű konvex szöglettartomány metszetét gömbi négyszögnek mondjuk. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben van olyan kör, amely áthalad az ABCD gömbi négyszög csúcsain, akkor a gömbi szögekre fennáll α + γ = β + δ. 10) Ismeretes, hogy az r sugarú gömb felszíne 4r 2 π, és ebből már adódik, hogy az r sugarú gömbön vett α szögű gömbkétszög felszíne 2r 2 α. Ennek ismeretében igazoljuk, hogy a G(O,r) gömbfelületen vett ABC G gömbháromszög felszínére igaz az F = r 2 (α + β + γ π) formula. 9

10 I. Zh. dolgozat március 19. 1) Az euklideszi térben adva van egy ABCD tetraéder (más szóval egy háromoldalú gúla), melynek ABC alaplapja egy szabályos háromszög és az alapélek hossza a = 15. A D csúcsba befutó élek hossza megegyezik, továbbá ezen élek egyenesei az ABC alaplap síkjával 30 os szöget zárnak be. Határozzuk meg a tetraéder D csúcsba befutó éleinek hosszát (b =?). 2) A síkon vegyünk egy O centrumú, r sugarú kört és abban egy körcikket, amely kisebb egy félkörnél. A körcikket határoló körív végpontjai legyenek A és B. Tekintsük a körcikkbe írt kört, amely érinti az OA, OB szakaszokat és a körívet. Jelölje a beírt kör sugarát és legyen a az AB húrhossz fele (tehát 2a = AB). Bizonyítsuk be, hogy igaz az 1 = 1 a + 1 r összefüggés. 3) Egy síkban adva van két egymást nem metsző kör k 1 és k 2, ahol a középpontok távolsága O 1 O 2 = 13. Azon közös érintőnél, melynek a két kör egyazon oldalára esik, az érintési pontok távolsága E 1 E 2 = 12. Egy olyan közös érintőnél, amely elválasztja a két kört, az érintési pontok távolsága F 1 F 2 = Határozzuk meg a körök sugarait (r 1 =?, r 2 =?). 4) Az euklideszi síkon tekintsünk egy ABC háromszöget. Jelölje r a háromszög köré írható kör sugarát és m a az a = BC oldalhoz tartozó magasságot. Bizonyítsuk be, hogy fennáll a 2r m a = bc egyenlőség. 5) Adva van a síkban egy ABCDEF általános hatszög. A hatszög oldalainak felezőpontjai sorrendben legyenek P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6. Igazoljuk, hogy a P 1 P 3 P 5 és P 2 P 4 P 6 háromszögek súlypontja megegyezik. 6) Egy ABC háromszög oldalai ismertek a = BC = 6, b = CA = 4, c = AB = 5. Vegyük az A csúcsból kiinduló AF súlyvonalat és a C csúcsbeli CT szögfelezőt. Jelölje P a súlyvonal és a szögfelező metszéspontját. Határozzuk meg, hogy a P metszéspont milyen arányban osztja a szakaszokat (AP : AF =?, CP : CT =?). A feladatok pontértéke sorrendben: 8p + 8p + 8p + 9p + 8p + 9p. A két Zárthelyi dolgozaton egyaránt pontot lehet maximálisan szerezni. A két dolgozaton elért összpontszám alapján fogjuk majd meghatározni a gyakorlati jegyet. A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell. 10

11 I. Zh. dolgozat március 21. 1) A térben adva van egy ABCDM szabályos négyoldalú gúla, melynek ABCD alaplapja egy négyzet. Az M csúcsba befutó élek hossza b = 3 5, továbbá az oldallapok síkjainak az alaplap síkjával bezárt szöge ϕ = 60. Határozzuk meg az alaplapi élek hosszát (a =?). 2) Tekintsünk egy ABC háromszöget és a köré írt k kört. Az A csúcsból kiinduló szögfelező félegyenes a BC oldalt messe a T pontban, a k kört pedig az M pontban. Bizonyítsuk be, hogy fennáll a BM 2 = AM TM összefüggés. 3) Adva van a síkban egy olyan ABC derékszögű háromszög (γ = 90 ), amelynél a köré írt kör sugara r = 8, 5 és a háromszögbe írt kör sugara = 3. Határozzuk meg a derékszögű háromszög befogóinak hosszát (a =?, b =?). 4) Tekintsünk egy ABC hegyesszögű háromszöget, melynek magasságvonalai legyenek az AA 1, BB 1 és CC 1 szakaszok. Bizonyítsuk be, hogy az A 1 A félegyenes felezi a C 1 A 1 B 1 szöget. 5) Adva van a síkban egy ABCDEF általános hatszög. A hatszög oldalainak felezőpontjai sorrendben legyenek P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6. Igazoljuk, hogy fennáll P 1 P 2 + P 3 P 4 + P 5 P 6 = 0. 6) A térben adva vannak az O, A, B, C pontok, amelyek nincsenek egy síkon. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben a tér egy P pontja rajta van az A, B, C pontok síkján, akkor az OP = α OA+β OB +γ OC lineáris kombinációban szereplő együtthatókra teljesül α + β + γ = 1. A feladatok pontértéke sorrendben: 8p + 8p + 8p + 9p + 8p + 9p. A két Zárthelyi dolgozaton egyaránt pontot lehet maximálisan szerezni. A két dolgozaton elért összpontszám alapján fogjuk majd meghatározni a gyakorlati jegyet. A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell. 11

12 I. Zh. dolgozat március 21. 1) Vegyünk egy síkot és abban egy r = 5 2 sugarú kört. Irjunk a körbe egy ABCD négyzetet. Ezt követően az AB húrral lemetszett körszeletbe írjunk egy olyan A 1 B 1 C 1 D 1 négyzetet, melynek A 1 B 1 oldala az AB szakaszon van, a C 1, D 1 csúcsok pedig a köríven vannak. Számítsuk ki a kis négyzet oldalainak hosszát (A 1 B 1 =?). 2) Adva van a síkban egy ABC egyenlő szárú háromszög, ahol AB = AC. Vegyük az AB oldal felező merőlegesét, amely a P pontban metszi el a BC oldal egyenesét. Bizonyítsuk be, hogy az AB oldal mértani közepe a BC és BP hosszaknak (azaz fennáll AB 2 = BC BP). 3) Vegyünk egy ABCD trapézt, amelynél az AB és CD oldalegyenesek párhuzamosak egymással, továbbá a B, C csúcsoknál lévő szög derékszög. Az oldalak hosszai legyenek a = AB, b = BC, c = CD, d = DA. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben a trapézba lehet kört írni, akkor fennáll az 1 b = 1 (1 2 a + 1 ) egyenlőség. c 4) Egy síkban adva van két kör k 1 és k 2, melyek az M, N pontokban metszik egymást. Az M ponton át vegyünk olyan a, b szelőegyeneseket, melyek tengelyesen szimmetrikusak az M,N egyenesre. Az M pont mellett az a szelő messe a k 1, k 2 köröket az A 1, A 2 pontokban, a b egyenes pedig a B 1, B 2 pontokban. Bizonyítsuk be, hogy fennáll A 1 A 2 = B 1 B 2. 5) Vegyünk egy parallelepipedont, ahol az egyik lap csúcsai sorrendben A, B, C és D, továbbá a szemköztes lap csúcsai E, F, G és H. A B, D, E pontokon átmenő sík és az AG testátló metszéspontját jelölje P. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy ez a P pont az AG szakasz egyik harmadolópontja. 6) A síkban adva van egy ABC háromszög. Vegyük a síkban a BCLM és ACPQ négyzeteket, melyek a háromszögön kívül vannak. A négyzetek középpontjai legyenek O 1, O 2, az AB oldal felezőpontja legyen C 1, az LP szakasz felezőpontja pedig F. Bizonyítsuk be, hogy a C 1 O 1 FO 2 négyszög egy négyzet. A feladatok pontértéke sorrendben: 8p + 8p + 8p + 9p + 8p + 9p. A két Zárthelyi dolgozaton egyaránt pontot lehet maximálisan szerezni. A két dolgozaton elért összpontszám alapján fogjuk majd meghatározni a gyakorlati jegyet. A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell. 12

13 II. Zh. dolgozat május 9. A dolgozat koordinátageometriai feladatainál feltesszük, hogy a térben rögzítve van egy (O, i, j, k) Descartes féle koordináta rendszer. 1) Adva van egy ABCD tetraéder, ahol a csúcspontok Descartes féle koordinátái A (1, 3, 0), B (4, 5, 2), C (1, 1, 4) és D (9, 4, 6). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát és a tetraéder D csúcshoz tartozó magasságát (V =?, m =?), továbbá adjuk meg az ABC háromszöget tartalmazó sík egyenletét. 2) A térben adva van két kitérő helyzetű egyenes, amelyek paraméteres egyenletrendszere x = 7 2t, y = 5+t, z = 7+3t, illetve x = 7 4τ, y = 10+τ, z = τ. Határozzuk meg a két egyenes normális transzverzálisának a paraméteres egyenletrendszerét. 3) Tekintsük a térben azt az ABCD rombuszt, amelynél ismertek az A ( 2, 1, 1), B (4, 1, 7) csúcspont koordináták és az A csúcsbeli szög α = 60. Az AD élvektor azonos irányú a v( 1, 1,z) vektorral. Határozzuk meg z értékét és a C, D pontok koordinátáit. 4) A szabad vektorok terében legyenek adva az a, b, c és u, v, w tetszőleges vektorok. Jelölje [a,b,c] az első három vektor vegyes szorzatát és au az a, u vektorok skaláris szorzatát. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az au av aw [a,b,c] [u,v,w] = bu bv bw cu cv cw egyenlőség. (Az összefüggés jobb oldalán egy 3 3 as mátrix determinánsa szerepel.) 5) A síkban adva van egy AB szakasz és egy azzal párhuzamos e egyenes. A C pont haladjon végig az e egyenesen, és vegyük az így nyert ABC háromszögek magasságpontjait. Bizonyítsuk be, hogy a háromszögek magasságpontjai egy kúpszeletet írnak le, és adjuk meg ezen görbe típusát. A feladatok pontértéke sorrendben: 8p + 10p + 10p + 10p + 12p. A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell elérni a két dolgozatból. Az összpontszám alapján az alábbiak szerint határozzuk meg a gyakorlati jegyet pont elégséges(2), pont közepes(3), pont jó(4), pont jeles(5) 13

14 II. Zh. dolgozat május 9. A dolgozat koordinátageometriai feladatainál feltesszük, hogy a térben rögzítve van egy (O, i, j, k) Descartes féle koordináta rendszer. 1) Adva van egy ABCD tetraéder, ahol a csúcspontok Descartes féle koordinátái A ( 2, 1, 3), B (2, 3, 0), C (1, 5, 2) és D (3, 1, 11). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát és a tetraéder D csúcshoz tartozó magasságát (V =?, m =?), továbbá adjuk meg az ABC háromszöget tartalmazó sík egyenletét. 2) A térben adva van egy g egyenes, amelynek paraméteres előállítása x = 9 + t, y = 12 4t, z = 6 + t, továbbá egy sík, amelynek egyenlete x + by 2z = 0. Az egyenes és a sík hajlásszöge 45. Határozzuk meg a b (b > 0) együttható értékét, továbbá a g egyenes síkra eső vetületének az egyenletrendszerét. 3) Adva van egy ABCDM szabályos négyoldalú gúla, ahol két átellenes csúcspont A( 3, 1, 2) és C(4,y C, 2) ismert. Az ABCD alapnégyzet benne van a 4x 8y z + 22 = 0 egyenletű síkban és a gúla magasságára fennáll m = 2 2AB. Határozzuk meg a gúla másik három csúcsának a koordinátáit. 4) Egy síkban adva van három nem kollineáris pont A, B és C. Vegyük a sík egy tetszőleges P pontját és az AP 2 + BP 2 + CP 2 összeget. Döntsük el, hogy a sík mely P pontja esetében lesz minimális ez az összeg. (A megoldást indokolni kell.) 5) A síkban legyen adva egy ellipszis, amelynek fókuszpontjai F 1 és F 2, a tengelypontjai pedig A 1 és A 2. Legyen P az ellipszis egy olyan pontja, amely nincs rajta az F 1,F 2 egyenesen. Tekintsük az F 1 F 2 P háromszöget. Bizonyítsuk be, hogy az F 1 F 2 P háromszögnek az F 1 P oldalhoz hozzáírt köre áthalad az A 1 tengelyponton. A feladatok pontértéke sorrendben: 8p + 10p + 10p + 12p + 10p. A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell elérni a két dolgozatból. Az összpontszám alapján az alábbiak szerint határozzuk meg a gyakorlati jegyet pont elégséges(2), pont közepes(3), pont jó(4), pont jeles(5)

15 II. Zh. dolgozat május 14. A dolgozat koordinátageometriai feladatainál feltesszük, hogy a térben rögzítve van egy (O, i, j, k) Descartes féle koordináta rendszer. 1) Adva van egy ABCD tetraéder, ahol a csúcspontok koordinátái A (0, 3, 1), B (4, 4, 0), C ( 4, 6, 6) és D (8, 5, 5). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát, továbbá azon sík egyenletét, amely párhuzamos az ABC lap síkjával és a tetraédert egy t = 3 területű háromszögben metszi. 2) A térben adva van két kitérő helyzetű egyenes, amelyek paraméteres egyenletrendszere x = 6 + 5t, y = 7 + 3t, z = 4 t, illetve x = 1 + 2τ, y = 2 + 3τ, z = τ. Határozzuk meg a két egyenes normális transzverzálisának a paraméteres egyenletrendszerét. 3) Adva van egy egyenlő szárú ABC háromszög (AC = BC), amelyet tartalmaz az 5x+7y+z 10 = 0 egyenletű sík. Két csúcspont ismert A( 4, 5, 5) és B(6, 2,z), a C csúcsnál lévő szög γ = 120. Számítsuk ki a C csúcspont koordinátáit. (Mindkét megoldást adjuk meg.) 4) A térben adva van egy olyan OABC tetraéder, amelynél az OA, OB és OC élek páronként merőlegesek egymásra. Az O csúccsal szemközti ABC lap területét jelölje t O, az A csúccsal szemközti OBC lap területét jelölje t A, a B csúccsal szemközti OCA lap területét jelölje t B, végül a C csúccsal szemközti OAB lap területét jelölje t C. Vektorok alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy fennáll a összefüggés. t 2 O = t 2 A + t 2 B + t 2 C 5) A síkban adva van két egymást metsző egyenes e és f, amelyek nem merőlegesek egymásra. Emellett adva van még egy h (h > 0) pozitív valós szám. Tekintsük a síkban a H = { P σ d(e,p) 2 + d(f,p) 2 = h 2 } alakzatot. Koordinátageometriai eszközökkel igazoljuk, hogy ez a H alakzat egy ellipszis. A feladatok pontértéke sorrendben: 10p + 10p + 10p + 10p + 10p. A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell elérni a két dolgozatból. Az összpontszám alapján az alábbiak szerint határozzuk meg a gyakorlati jegyet pont elégséges(2), pont közepes(3), pont jó(4), pont jeles(5)

Analitikus geometria c. gyakorlat

Analitikus geometria c. gyakorlat matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I. Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+ 4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Geometria 1, normálszint

Geometria 1, normálszint Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20. 1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd

Részletesebben

Elemi matematika 3 c. gyakorlat

Elemi matematika 3 c. gyakorlat 1. feladatsor (Szintetikus síkgeometriai feladatok.) 1) Adva van egy sokszög, amelynek hatszor annyi átlója van, mint oldala. Határozzuk meg a sokszög oldalszámát. ) Igazoljuk, hogy egy háromszög súlyvonalainak

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás 5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz

Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz 1. gyakorlat (2012. február 6.), Síkizometriák 1.1. gyakorlat. Milyen síkizometria két (a) egymással párhuzamos (b) egymást α szögben metsz egyenesre vett tengelyes

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Feladatgyűjtemény Geometria I. kurzushoz

Feladatgyűjtemény Geometria I. kurzushoz Feladatgyűjtemény Geometria I. kurzushoz Vígh Viktor 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés 1.1. gyakorlat. Bizonyítsuk be, hogy ha három sík közül bármely kettő egy egyenesben metszi egymást, és

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2

2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2 1. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó feladatok) Ha egy feladatban síkbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor azok egy derékszög koordinátarendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és ortonormált alapvektorai

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú. Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben

1. Feladatlap - VEKTORALGEBRA. Műveletek vektorokkal. AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés

1. Feladatlap - VEKTORALGEBRA. Műveletek vektorokkal. AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés 1 Feladatlap - VEKTORALGEBRA Műveletek vektorokkal 1 Adott egy ABCD tetraéder Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC + DA + CD 2 Adott az ABCD tetraéder Igazoljuk,

Részletesebben

Matematika 7. osztály

Matematika 7. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hatévfolyamos képzés Matematika 7. osztály VI. rész: Elemi geometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék VI.

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben