4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+"

Átírás

1 4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy a sík tetszőleges, B, C, D pontjára B CD C DB D BC 0 teljesül? 4 dott a síkon az BCD téglalap és egy tetszőleges X pont Igazolja, hogy ekkor X XC XB XD 5 z BC háromszög BC, C, B oldalainak felezőpontja rendre D, E, F Bizonyítsa be, hogy a sík tetszőleges P pontjára PD BC PE C PF B 0 6 z O középpontú kör B és CD húrjai merőlegesek egymásra és metszéspontjuk M Bizonyítsa be, hogy O OB OC OD OM 7 Bizonyítsa be, ha az BC háromszögben B B C, akkor a háromszög egyenlő szárú 8 z BC háromszög egyenlő szárú, C BC, és az B alap felezőpontja D z E pontot a CB oldalon úgy vesszük fel, hogy DE BC, és a DE szakasz felezőpontja F Bizonyítsa be, hogy E CF

2 9 z BCD téglalap C átlóján úgy vettük fel a K pontot, hogy BK merőleges az átlóra M az K, N a CD felezőpontja Bizonyítsa be, hogy BM MN 0 z BCD konvex négyszögben az C, BD, B és CD szakaszok felezőpontjai M, N, P és Q Igazolja, hogy ha MN PQ, akkor D BC z BC hegyesszögű háromszög M magasságpontja a CC magasságvonalon úgy helyezkedik el, hogy CM : MC : ( C a magasság talppontja) Mekkora az FB, ha F a CC szakasz felezőpontja? OKTV 009/00; I kategória, forduló Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala OKTV 008/009; I kategória, forduló Mutassa meg, hogy az a, b, c oldalú háromszögben az a és b oldalakhoz tartozó súlyvonalak pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha a b 5c 4 z BCDEF hatszög B, BC, CD, DE, EF és F oldalainak felezőpontjai M, N, P, Q, R és Bizonyítsa be, hogy MQ P pontosan akkor, ha RN MQ P 5 z BCD rombusz hegyesszöge 45 Mutassa meg, hogy a rombusz beírt körének tetszőleges P pontjára teljesül: P PB PC PD B 5 OKTV 04/05; I kategória, forduló 6 Egy konvex BCD négyszög átlóinak metszéspontja O Bizonyítsa be, hogy az B BC CD D ( O BO CO DO ) összefüggés pontosan akkor áll fenn, ha az C és BD átlók merőlegesek, vagy ha egyiküknek a felezőpontja O KöMaL, 009 március, B465 7 Bizonyítsa be, hogy a kocka minden háromszögmetszete hegyesszögű

3 8 z BC szabályos háromszög egy belső pontja P Ebből a pontból merőlegeseket állítunk az oldalakra, ezek talppontjai X, Y és Z, és ezek a pontok rendre a BC, C, ill B oldalakra illeszkednek Mekkora lehet BX CY Z PX PY PZ értéke? 9 z BC háromszög B, BC, C oldalain felvesszük a D, E, F pontokat úgy, hogy D BE CF DB EC F Bizonyítsa be, hogy a DEF háromszög súlypontja egybeesik az BC háromszög súlypontjával 0 z BCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja M z C átlót hosszabbítsuk meg az -n túl MC hosszával, a BD átlót B-n túl MD hosszával, a kapott pontok E és F Bizonyítsa be, hogy EF párhuzamos a négyszög egyik középvonalával KöMaL, 00 szeptember, C044

4 z BC háromszög köré írt körének középpontja O, magasságpontja M Mutassa meg, hogy OM O OB OC z BC háromszög oldalai a, b, c, köré írt körének a sugara r, magasságpontja M, OM d 9r a b c d Mutassa meg, hogy ( ) z BC háromszög oldalai a, b, c, köré írt körének a sugara r Mutassa meg, hogy a háromszög pontosan akkor hegyes-, derék-, ill tompaszögű, ha a b c 8r > 0, 0, ill < 0 4 z BC háromszög C csúcsánál lévő szöge 0 háromszög magasságpontja M, a körülírt körének középpontja O, a kör CB ívének felezőpontja pedig F Bizonyítsa be, hogy MF FO KöMaL, 00 április, B464 5 z BCD húrnégyszög BC, BCD, CD, DB részháromszögeinek szerkesszük meg a magasságpontjait Bizonyítsa be, hogy ezek a magasságpontok az BCD négyszöggel egybevágó négyszöget alkotnak 6 z BC háromszög CC súlyvonala a köré írt kört másodszor a D pontban metszi Bizonyítsa be, hogy C CB CC CD 7 Legyenek egy háromszög csúcsai,,, a súlypontja Messék az,, egyenesek a háromszög köré írt kört másodszor a B, B, B pontokban Igazolja, hogy B B B OKTV 987; IV kategória, forduló 8 Egy háromszög szögei α, β, γ Mutassa meg, hogy 9 Egy háromszög szögei α, β, γ Mutassa meg, hogy cosα cosβ cosγ cos α cos β cos γ 0 Mennyi cosα 6cosβ cosγ minimuma, ha α, β, γ 0 és α β γ π? OKTV 008/009; III kategória, forduló 4

5 II Megoldások Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Megoldás: Használjuk a skaláris szorzás tulajdonságait v v z a b feltétel miatt a b 0, továbbá c b, így b c 0 Mivel az a és c vektorok által bezárt szög 60, így a c a c cos 60 Ezek alapján: v a b c ( a b c) a b c a b a c b c v 4 9, azaz Megjegyzés z a, b és c vektorok közötti szögek miatt a három vektor nem egy síkban fekszik Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? B D B BC CB CD DC Megoldás: ( ) ( ) ( D CB) ( B CD) 0 Válasszunk egy külső vonatkoztatási pontot Minden pontba a megfelelő kisbetűs vektor mutasson Ekkor: tehát B CD B CB négyszög paralelogramma D B D CB d a b c B CD b a d c,, ezért ( CB ) 0 D CB CD D CB D Tehát D BC, azaz az BCD konvex Igaz-e, hogy a sík tetszőleges, B, C, D pontjára B CD C DB D BC 0 teljesül? Megoldás: Válasszunk egy külső vonatkoztatási pontot Minden pontba a megfelelő kisbetűs vektor mutasson Ekkor: ( b a)( d c) ( c a)( b d) ( d a)( c b) B CD C DB D BC bd bc ad ac bc cd ab ad cd ac bc ab 0 Tehát igaz az állítás Megjegyzés következő állítást nyertük: Tetszőleges BCD négyszögben C BD B CD BC D Vezesse le ebből, hogy az BCD húrnégyszögben C BD B CD BC D (Lásd: Ptolemaiosz-tétel) 5

6 4 dott a síkon az BCD téglalap és egy tetszőleges X pont Igazolja, hogy ekkor X XC XB XD Megoldás: Bontsunk fel egy-egy vektort két vektor összegére: X XD D, XC XB BC Ekkor ( XD D) ( XB BC) XD XB XD BC D XB D BC ( ) X XC téglalap szemben lévő oldalai párhuzamosak és egyenlők, ezért: tehát BC D D, ( XD XB BC) D ( DX XB BC) D DC 0, XD BC D XB D BC D mert a téglalap szomszédos oldalai merőlegesek egymásra Ezt az () összefüggésben felhasználva megkapjuk a bizonyítandó állítást 5 z BC háromszög BC, C, B oldalainak felezőpontja rendre D, E, F Bizonyítsa be, hogy a sík tetszőleges P pontjára PD BC PE C PF B 0 Megoldás: PD BC PE C PF B PC P P PB ( PC PB) ( P PC) ( PB ) PB PC P ( PB P PC PB ) 0 PC P 6

7 6 z O középpontú kör B és CD húrjai merőlegesek egymásra és metszéspontjuk M Bizonyítsa be, hogy O OB OC OD OM Megoldás: Legyen E és F az B és CD húrok felezőpontja Tudjuk, hogy OF CD és B CD, tehát OEMF téglalap OE B, Ezért OM O OB OC OD OE OF, így OM O OB OC OD 7 Bizonyítsa be, ha az BC háromszögben B B C, akkor a háromszög egyenlő szárú Megoldás: Megmutatjuk, hogy B B C, azaz B B B C C BC z B oldal felezőpontját D-vel jelöljük, B ( B C) 0 B B C CD Ez azt jelenti, hogy CD merőleges az B oldalra, ahol D az B oldal felezőpontja Tehát a C csúcsból induló magasság felezi a szemközti oldalt, ezért a háromszög egyenlő szárú, így 7

8 8 z BC háromszög egyenlő szárú, C BC, és az B alap felezőpontja D z E pontot a CB oldalon úgy vesszük fel, hogy DE BC, és a DE szakasz felezőpontja F Bizonyítsa be, hogy E CF Megoldás: zt kell belátnunk, hogy CF E 0 CF CD DF, E B BE Ekkor CF E ( CD DF) ( B BE) CD B CD BE DF B DF BE 0 CD BE DF B 0 CD ( BD DE) DF DB CD BD CD DE DF DB 0 CD DE DF DB CD DE DE DB DE ( CD DB) DE CB 0 Ezért E CF 9 z BCD téglalap C átlóján úgy vettük fel a K pontot, hogy BK merőleges az átlóra M az K, N a CD felezőpontja Bizonyítsa be, hogy BM MN Megoldás: Felhasználjuk, hogy az NPC és az BK derékszögű háromszögek hasonlóak, a hasonlóság aránya : BM MN ( BK KM) ( MP PN) 0 BK BK K MP 0 BK BK BK 0 BK MP BK PN KM MP KM PN K MP z előző átalakítások során használtuk, hogy a hasonlóság miatt: azaz BK K KC PC K M MK, PC MK, így MP KC ; továbbá az BC háromszögben a magasságtételt 8

9 0 z BCD konvex négyszögben az C, BD, B és CD szakaszok felezőpontjai M, N, P és Q Igazolja, hogy ha MN PQ, akkor D BC Megoldás: B PQ CD D, azaz ( B BC CD) B CD D BC PQ D B CD D, így D BC PQ M C MN B feltétel szerint ( B BC), NB DB ( B D) MN ( M NB) B ( B BC) ( B D) ( D BC) MN PQ, azaz, és M NB B, így MN PQ, ( ) ( ) D BC D BC rendezés után az D BC 0 egyenlőséghez jutunk, azaz D BC Innen 9

10 z BC hegyesszögű háromszög M magasságpontja a CC magasságvonalon úgy helyezkedik el, hogy CM : MC : ( C a magasság talppontja) Mekkora az FB, ha F a CC szakasz felezőpontja? OKTV 009/00; I kategória, forduló Megoldás: ejthető, hogy FB 90 Ellenőrizzük a sejtést Vajon igaz-e, hogy F FB0? feltételekből M BC 0, azaz ( C CM) ( BC 4CM) C BC C 4CM CM BC CM 4C 0 M C BC 0 0 CM 4CM, tehát C BC C M 4C M 0 zámoljuk ki a kérdéses F FB szorzatot ( C CM) ( MC C B) F FB C MC C CB CM MC CM CB 0 C CB CM MC 0 C BC CM 4CM, és mint tudjuk, ez 0 Tehát a sejtésünk igaznak bizonyult, F FB 0, azaz FB 90 0

11 Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala OKTV 008/009; I kategória, forduló Megoldás: Válasszuk a kocka élét egységnek, ekkor a lapátló, a testátló egység z ábrán az, B, H csúcsokat választva egy megfelelő háromszöget kapunk B merőleges az DHE síkra, ezért annak minden egyenesére, tehát H-ra is Ezért az BH háromszög derékszögű háromszög oldalainak hossza: B, H, HB Lássuk be, hogy a BH háromszög két súlyvonala merőleges: R BQ, azaz R BQ 0 R ( B H), BQ B H ( B H) B H B B H H B H R BQ 0 0 0

12 Mutassa meg, hogy az a, b, c oldalú háromszögben az a és b oldalakhoz tartozó súlyvonalak pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha a b 5c Megoldás: háromszögben c b a, ennek négyzete c a b a b z ábrán látható két súlyvonal a b és b a két súlyvonal pontosan akkor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk nulla: 5 a b 0 a b b a a b, azaz a b 5a b 0 4 Tudjuk, hogy c a b a b, így 5c 5a 5b 0a b a b 4a 4b 0a b a b a b 5a b, ( ) ( ) azaz 5c a b pontosan akkor teljesül, ha a b 5a b 0, azaz a két súlyvonal merőleges egymásra

13 4 z BCDEF hatszög B, BC, CD, DE, EF és F oldalainak felezőpontjai M, N, P, Q, R és Bizonyítsa be, hogy MQ P pontosan akkor, ha RN MQ P Megoldás: RN RE ED DC CN, illetve RN RF F B BN djuk össze a két egyenlőséget, és vegyük figyelembe, hogy az ellentett vektorok összege nullvektor: RN ED DC F B Hasonlóan kapjuk, hogy MQ F FE BC CD és P CB B DE EF Összeadjuk a három egyenlőséget és csoportosítunk: ( RN MQ P) ( ED DE) ( DC CD) ( F F) ( B B) ( FE EF) ( BC ) 0 RN MQ P, RN ( MQ P), ennek négyzete CB Tehát 0 RN MQ P MQ P Ezért pontosan akkor teljesül, hogy MQ P, ha P 0 RN MQ, azaz MQ P Megjegyzés z RN MQ P 0 állítás egyszerűbben kijön, ha egy külső pontból induló helyvektorokat használunk (ha egy feladatban felezőpontok vannak, szinte mindig érdemes ezt használni) a b m, bc c d e n, p, d e f f a q, r, s b c e f d e a b f a c d RN n r, MQ q m, P s p Ezeket az egyenleteket összeadva: RN MQ P 0

14 5 z BCD rombusz hegyesszöge 45 Mutassa meg, hogy a rombusz beírt körének tetszőleges P pontjára teljesül: P PB PC PD B 5 OKTV 04/05; I kategória, forduló Megoldás: Irányítsunk vektorokat az O pontból a rombusz csúcsaiba és a P pontba az ábra szerint Legyen O a, OB b és OP p rombusz átlói felezik egymást, így OC O a, továbbá OD OB b P szakasz hosszának négyzete a ( a p) vektor önmagával vett skaláris szorzata, emiatt PB PC PD ( a p) ( b p) ( p a) ( p b) 4p a b P Pitagorasz-tétel miatt B a b Írjuk fel a rombusz területét kétféleképpen: T B D sin 45 B B sin 45, valamint T 4 (ez annak a négy háromszög területének összege, melyekre a rombuszt a B p két átlója bontja) Ezek miatt B p, B 4 p z eddigiek alapján P PB PC PD 4p a b B B B 5 4

15 6 Egy konvex BCD négyszög átlóinak metszéspontja O Bizonyítsa be, hogy az B BC CD D ( O BO CO DO ) összefüggés pontosan akkor áll fenn, ha az C és BD átlók merőlegesek, vagy ha egyiküknek a felezőpontja O KöMaL, 009 március, B465 Megoldás: Legyen O a, OB b, OC c, OD d skaláris szorzat segítségével a szóban forgó összefüggést ( b a) ( c b) ( d c) ( a d) ( a b c d ) alakban írhatjuk fel Ezt átrendezve kapjuk: a b b c c d d a 0, ami ekvivalens az ( a c) ( b d) 0 összefüggéssel Ez pedig azt jelenti, hogy vagy a c 0, vagyis a c, tehát O az C átló felezőpontja, vagy b d 0, tehát O a BD átló felezőpontja; vagy pedig az C átlóval párhuzamos a c 0 vektor merőleges a BD átlóval párhuzamos b d 0 vektorra, azaz a négyszög átlói merőlegesek egymásra 7 Bizonyítsa be, hogy a kocka minden háromszögmetszete hegyesszögű Megoldás: z elmetszett három él közös csúcsából a háromszögcsúcsokhoz vezető vektorok legyenek a, b, c Válasszuk ki a metszetháromszög tetszőleges szögét, az ezt közrezáró oldalvektorok legyenek b a és c a zt kell igazolnunk, hogy ezek skaláris szorzata pozitív: b a c a b c b a a c a a a a ( ) ( ) > 0, és ez valóban pozitív 5

16 8 z BC szabályos háromszög egy belső pontja P Ebből a pontból merőlegeseket állítunk az oldalakra, ezek talppontjai X, Y és Z, és ezek a pontok rendre a BC, C, ill B oldalakra illeszkednek Mekkora lehet BX CY Z PX PY PZ értéke? Megoldás: Jelölje a háromszög oldalainak hosszát a háromszög területét kétféleképpen a összefüggést kapjuk, tehát PX PY PZ a 4 számolva a a ( PX PY PZ) a Másrészt a BX BC BP, a CY C CP, a Z B P, így ( BX CY Z) BC BP C CP B P BP C ( CB BP) B ( B ) ( BC C B) C CB B BC BP BP B BP BX CY Z a 0 C CB B B 0 C CB B B a a a a BX CY Z Eredményeinkből: PX PY PZ a, ahonnan 6

17 9 z BC háromszög B, BC, C oldalain felvesszük a D, E, F pontokat úgy, hogy D BE CF DB EC F Bizonyítsa be, hogy a DEF háromszög súlypontja egybeesik az BC háromszög súlypontjával Megoldás: Használjuk fel, hogy akkor és csak akkor súlypontja az BC háromszögnek, ha B C 0 (Hiszen, ha P PB PC 0, akkor egy tetszőleges O pontot választva ( O OP) ( OB OP) ( OC OP) 0 Mivel O OB OC, így OP, tehát P ) D k DB, BE k EC, CF k F, felírható, hogy ( D) ( B BE) ( C CF) B C k ( B BC ) 0 D E F C így a DEF háromszögnek is súlypontja 0 z BCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja M z C átlót hosszabbítsuk meg az -n túl MC hosszával, a BD átlót B-n túl MD hosszával, a kapott pontok E és F Bizonyítsa be, hogy EF párhuzamos a négyszög egyik középvonalával KöMaL, 00 szeptember, C044 Megoldás: z M pontból az, B, C, D csúcsokba mutató vektorok a, b, c, d Jelölje az D oldal felezőpontját P, a BC oldal felezőpontját Q, MP ( ad), MQ ( bc), így MP MQ ( a d b c) ( a c) ( b d) a d b c QP FE ME MF Ezekből FE QP, tehát FE QP 7

18 z BC háromszög köré írt körének középpontja O, magasságpontja M Mutassa meg, hogy OM O OB OC Megoldás: Jelölje P azt a pontot, amelyre O OB OC OP Belátjuk, hogy P M OP O OB OC és OB OC OB OC, hiszen ( OC) ( OB OC) OB OC r r 0 OB, ahol r az BC háromszög köré írt körének sugara OB OC OB OC, azaz OP O OB OC, vagyis P CB Célba értünk! z P egyenes merőleges a háromszög BC oldalára, tehát P illeszkedik az - ból induló magasságvonalra Ugyanígy láthatjuk, hogy P illeszkedik a B-ből induló magasságvonalra, illetve a C-ből induló magasságvonalra zaz P mindhárom magasságvonalon rajta van, tehát P a háromszög magasságpontja z BC háromszög oldalai a, b, c, köré írt körének a sugara r, magasságpontja M, OM d 9r a b c d Mutassa meg, hogy ( ) Megoldás: z előző feladatból tudjuk, ha az BC háromszög köré írt körének középpontja O, magasságpontja M, akkor OM O OB OC Mindkét oldalt szorozzuk meg önmagával: OM O OB OC ( O OB OB OC OC O) ( O OB OB OC OC O), azaz d r r r Ki kell számolnunk a zárójelben lévő skaláris szorzatokból álló összeget B OB O, így B OB O O OB, azaz c r r O OB, tehát O c OB r Hasonlóan kapjuk, hogy OB a OC r és OC b Ezekből d r r r ( O OB OB OC OC O) O r r ( r c ) ( r a ) ( r b ) 9r ( a b c ) Tehát d 9r ( a b c ) Megjegyzés: z állításból a b c 9r is következik, hiszen 0 d 8

19 z BC háromszög oldalai a, b, c, köré írt körének a sugara r Mutassa meg, hogy a háromszög pontosan akkor hegyes-, derék-, ill tompaszögű, ha a b c 8r > 0, 0, ill < 0 Megoldás: Hogyan tudjuk jellemezni azt, hogy egy háromszög hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű? Például azzal, hogy ezekben az esetekben a háromszög magasságpontja a háromszög köré írt körének belsejében van, a körön van, illetve a körön kívül helyezkedik el Hegyesszögű háromszög magasságvonalai a háromszög belsejében vannak, így a magasságpont is a háromszög belsejében van, emiatt a magasságpontja a háromszög köré írt körének belsejében van Derékszögű háromszög magasságpontja a háromszög derékszögű csúcsa, és ez a háromszög köré írt körön van Tompaszögű háromszög esetén nézzük a háromszög magasságvonalait tompaszögű csúcshoz tartozó magasságvonalat a másik két magasságvonal a háromszögön kívül (a csúcs fölött ) metszi, így a magasságpont a körön kívül van Ha a háromszög hegyesszögű, akkor a magasságpont a kör belsejében van, így d 9r a b c < r, vagyis 0< a b c 8r < r, azaz ( ) Ha a háromszög derékszögű, akkor a magasságpont a körön, azaz d r, ezért 9r ( a b c ) r, vagyis a b c 8r 0 Ha a háromszög tompaszögű, akkor a magasságpont a körön kívül helyezkedik el, így d > r, azaz 9r ( a b c ) > r, vagyis a b c 8r < 0 9

20 4 z BC háromszög C csúcsánál lévő szöge 0 háromszög magasságpontja M, a körülírt körének középpontja O, a kör CB ívének felezőpontja pedig F Bizonyítsa be, hogy MF FO KöMaL, 00 április, B464 Megoldás: Korábbi feladatból már tudjuk, ha az BC háromszög köré írt körének középpontja O, magasságpontja M, akkor OM O OB OC Vegyük észre, hogy az OBF négyszög rombusz OB 0, és a kerületi és középponti szögek közötti kapcsolat miatt FB 0 z OB és az FB egyenlő szárú háromszögek szárszöge egyenlő, és a háromszögek alapja közös, így a két háromszög egybevágó, az OBF négyszög rombusz OF O OB, és OM OF FM OM, ezekből ( O OB) FM Mivel OM O OB OC, így FM OC, ezért FM OC Továbbá OC OF, tehát FM OF 0

21 5 z BCD húrnégyszög BC, BCD, CD, DB részháromszögeinek szerkesszük meg a magasságpontjait Bizonyítsa be, hogy ezek a magasságpontok az BCD négyszöggel egybevágó négyszöget alkotnak Megoldás: húrnégyszög köré írt körének középpontja legyen O z O pontból az, B, C, D csúcsokba mutató vektorok a, b, c, d Felhasználjuk azt, hogy egy háromszög köré írt körének közepéből a csúcsokba mutató vektorok összege a magasságpontba mutat z O pontból az BC, BCD, CD, DB háromszögek magasságpontjaiba mutató vektorok OM a b c, OM b c d, OM c d a, OM d a b z eredeti négyszög és a magasságpontok által meghatározott négyszög oldalvektorai megegyeznek, például: B b a és M M OM OM ( b c d) ( c d a) b a Ebből következik, hogy a két négyszög oldalai és szögei páronként megegyeznek, tehát egybevágóak 4 6 z BC háromszög CC súlyvonala a köré írt kört másodszor a D pontban metszi Bizonyítsa be, hogy C CB CC CD Megoldás: C CC C, ennek négyzete C CC C CC C

22 CB BC CC, ám BC C, így CB C CC, azaz CB CC C, ezért CB CC C CC C Ezek összege C CB CC C CC C CC C CC C CC C ( ) Már csak azt kell belátnunk, hogy CC C CC CD és ez a szelőszakaszok szorzatára ismert összefüggés miatt igaz:, BC CC C D, mi- vel C BC C, azaz C CC ( CD CC) C 7 Legyenek egy háromszög csúcsai,,, a súlypontja Messék az,, egyenesek a háromszög köré írt kört másodszor a B, B, B pontokban Igazolja, hogy B B B OKTV 987; IV kategória, forduló Megoldás: Jelölje a köré írt kör közepét O, sugarát r Keressünk összefüggést az i és B i szakaszok között szelőszakaszok szorzatára vonatkozó összefüggés szerint az B ( i,, ) szorzatok egyenlők, és ezek a szorzatok egyenlők az ( r O)( r O) használhatjuk az i i szorzattal is zükségünk lesz az O szakaszra is, és ehhez O O kapcsolatot i i

23 Mivel O O O r és O O i i, O O O i i i, így ( ) O O O O O r De 0, így azt kapjuk, hogy O r Nyilván O O, másrészt az ponton áthaladó szelők szakaszainak szorzata megegyezik, tehát ( )( ) i i B O r O r O r O r, innen ( ) O r B i i Ezért ( ) O r B B B ( ) kapott ( ) B B B összefüggésben a jobb oldal becslésére használjuk fel a harmonikus, a számtani és a négyzetes közép közötti összefüggést: c b a c b a c b a B B B 9

24 8 Egy háromszög szögei α, β, γ Mutassa meg, hogy cosα cosβ cosγ Megoldás: háromszög O középpontú, r sugarú beírt köre az oldalakat a P, Q, R pontokban érinti ( OP OQ OR ) 0, azaz OQ OR ( OP OQ OQ OR OR OP) 0 r OP, ( cos( 80 α) cos( 80 β) cos( 80 )) 0 r r r γ ( cosα cosβ cosγ) 0 r r, cosα cosβ cosγ, 9 Egy háromszög szögei α, β, γ Mutassa meg, hogy cos α cos β cos γ Megoldás: z BC háromszög szögei α, β, γ, körül írt körének középpontja O, sugara R kerületi és középponti szögek közti kapcsolat miatt a kör középpontjából a csúcsokba mutató vektorok egymással α, β, γ szögeket zárnak be ( O OB OC ) 0, azaz OB OC ( O OB OB OC OC O) 0 O, ( cos cos cos ) R R R R α β γ 0, R ( cos α cos β cos γ) 0 cos α cos β cos γ R, 4

25 0 Mennyi cosα 6cosβ cosγ minimuma, ha α, β, γ 0 és α β γ π? OKTV 008/009; III kategória, forduló Megoldás: Tekintsük az ábrát ( O OB OC ) 0, azaz OB OC ( O OB OB OC OC O) 0 O, ( cos cosβ cos ) 0 ( cosα 6cosβ cos ) 0, α γ, 4 γ cosα 6cosβ cosγ 7 Tehát cosα 6cosβ cosγ értéke legalább 7 Ezzel beláttuk, hogy a kifejezés értéke legalább 7 Most belátjuk, hogy ezt a minimumot el is tudjuk érni nagyobb együtthatójú szögeket válasszuk úgy meg, hogy a koszinuszuk a lehető legkisebb legyen: α 0, β γ π ; ekkor cos0 6cosπ cosπ ( 6) ( ) 7 zt kaptuk, hogy cosα 6cosβ cosγ minimuma 7 5

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Az 1. forduló feladatainak megoldása

Az 1. forduló feladatainak megoldása Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban

Részletesebben

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató OktatásiHivatal A 014/01. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató 1. feladat: Adja meg az összes olyan (x,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk 11 elemi geometriafeladat 10. és DG Matektábor 2016. október 6. Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2016. január 11. 1.1. Feladat. (V:266,.L. 1/2000) z háromszögben m(â) = 30 és m( ) = 45. z és oldalakon vegyük fel az és pontokat úgy, hogy 3 = és 2 =. Számítsd ki az

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

8. Geometria = =

8. Geometria = = 8. Geometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy négyzet átlójának hossza 4 + 2. Mennyi a négyzet oldalhossza? (A) 1 + 2 2 (B) 4 + 2 (C) 2 2 + 2 (D) 2 + 2 (E) 2 2 + 1 Egy a oldalú négyzet átlója a 2. Ezt

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül

Részletesebben

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Részletesebben

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú. Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

Geometriai feladatok, 9. évfolyam

Geometriai feladatok, 9. évfolyam Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

Egybevágóság szerkesztések

Egybevágóság szerkesztések Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes

Részletesebben

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A

Részletesebben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )

Részletesebben

Középpontos hasonlóság szerkesztések

Középpontos hasonlóság szerkesztések Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I. Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás. Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

1.Háromszög szerkesztése három oldalból

1.Háromszög szerkesztése három oldalból 1 Szerkessz háromszöget, ha három oldala: a=3 cm b=4 cm c=5 cm 1.Háromszög szerkesztése három oldalból (Ugye tudod, hogy az a oldallal szemben A csúcs, b oldallal szemben B stb. van!) (homorú, hegyes,

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12. XXIV. NEMZETKÖZI MGYR MTEMTIKVERSENY Szabadka, 05. április 8-. IX. évfolyam. Egy -as négyzetháló négyzeteibe a bal felső mezőből indulva soronként sorra beirjuk az,,3,,400 pozitív egész számokat. Ezután

Részletesebben

(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)

(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde) 2. házi feladat 1.feladat a b)c d)e f) = a b)[c d) e f)] = = a b)[ecdf) fcde)] = abe)cdf) abf)cde) 2.feladat a) Legyen a két adott pontunk helyzete A = 0, 0), B = 1, 0), továbbá legyen a távolságok aránya

Részletesebben

Bartha Gábor feladatjavaslatai az Arany Dániel Matematika Versenyre

Bartha Gábor feladatjavaslatai az Arany Dániel Matematika Versenyre Bartha Gábor feladatjavaslatai az Arany Dániel Matematika Versenyre Kérem, hogy a megoldásokat elektronikus (lehetőleg doc vagy docx) formában is küldjétek el a következő e- mail címre: balgaati@gmail.com

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

XXIII. Vályi Gyula Emlékverseny május 13. V. osztály

XXIII. Vályi Gyula Emlékverseny május 13. V. osztály XXIII. Vályi Gyula Emlékverseny Marosvásárhely 207. május 3. V. osztály. Sári néni a piacon 00 db háromféle tojást vásárolt 00 RON értékben. Tudva azt, hogy a tyúktojás ára 50 bani, a libatojás 5 RON és

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz

Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz 1. gyakorlat (2012. február 6.), Síkizometriák 1.1. gyakorlat. Milyen síkizometria két (a) egymással párhuzamos (b) egymást α szögben metsz egyenesre vett tengelyes

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria...........................

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

1. Feladatlap - VEKTORALGEBRA. Műveletek vektorokkal. AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés

1. Feladatlap - VEKTORALGEBRA. Műveletek vektorokkal. AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés 1 Feladatlap - VEKTORALGEBRA Műveletek vektorokkal 1 Adott egy ABCD tetraéder Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC + DA + CD 2 Adott az ABCD tetraéder Igazoljuk,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20. 1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás 5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z 146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben