13. Trigonometria II.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "13. Trigonometria II."

Átírás

1 Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája Tetszőleges α szög koszinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor első koordinátája Az α szöget az e vektor irányszögének nevezzük Ez a szög 0 -nál nagyobb is lehet Szoktuk használni a forgásszög megnevezést is Ha az e vektort az óramutató járásával azonos irányban forgatjuk akkor α < 0 Az x a sin x függvény jellemzése: értelmezve van tetszőleges x valós számra (A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza)

2 értékkészlete: [ ; ] a függvény szerint periodikus azaz sin x sin( x+ ) zérushelyei x k ahol k tetszőleges egész szám maximuma maximumhelyei + k ahol k tetszőleges egész szám minimuma minimumhelyei + k ahol k tetszőleges egész szám páratlan függvény azaz sin( x) sin x (a függvény az origóra szimmetrikus) a függvény szigorúan monoton növekedő a szigorúan monoton csökkenő a + k + k intervallumon ahol k tetszőle- ges egész szám + k + k intervallumon Az x a cos x függvény jellemzése: értelmezve van tetszőleges x valós számra (A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza) értékkészlete: [ ; ] a függvény zérushelyei szerint periodikus azaz cos( x+ ) x + k ahol k tetszőleges egész szám maximuma maximumhelyei k ahol k tetszőleges egész szám minimuma minimumhelyei + k ahol k tetszőleges egész szám páros függvény azaz cos ( x) (a függvény az y-tengelyre szimmetrikus) + intervallumon szigorú- a függvény szigorúan monoton csökkenő a [ 0 k + k] an monoton növekedő a [ k + k] szám + intervallumon ahol k tetszőleges egész

3 Az sin x x a tg x (ahol 0 azaz x + k k Z ) tangens függvény jellemzése: értelmezési tartománya minden olyan x valós szám amelyre értékkészlete a valós számok halmaza tg x tg x+ a függvény szerint periodikus azaz ( ) x + k k Z zérushelyei x k ahol k tetszőleges egész szám szélsőértékei nincsenek így nem korlátos függvény páratlan függvény azaz tg( x) tg x (a függvény az origóra szimmetrikus) a függvény szigorúan monoton növekedő a + k + k intervallumon ahol k tetszőleges egész szám Az x a ctg x (ahol sin x 0 azaz x k k Z ) kotangens függvény jellemzése: sin x értelmezési tartománya minden olyan x valós szám amelyre értékkészlete a valós számok halmaza ctg x ctg x+ a függvény szerint periodikus azaz ( ) zérushelyei + k ahol k tetszőleges egész szám szélsőértékei nincsenek így nem korlátos függvény x k k Z

4 páratlan függvény azaz ctg( x) ctg x a függvény szigorúan monoton csökkenő a ] + k ; + k [ 0 intervallumon ahol k tetszőleges egész szám (a függvény az origóra szimmetrikus) Néhány összefüggés a szögfüggvények között Addíciós tételek: sin sin tg ( α + β) sinα cosβ + cosα sinβ cos( α + β) cosα cosβ sinα sinβ ( α β) sinα cosβ cosα sinβ cos( α β) cosα cosβ + sinα sinβ tgα + tgβ tgα tgβ ( α + β) tg( α β) tgα tgβ + tgα tgβ Kétszeres szög szögfüggvényei: sin α sinα cosα cos α cos α sin α Összegek szorzattá alakítása: α + β α β sinα + sinβ sin cos α β α + β sinα sinβ sin cos α + β α β cosα + cosβ cos cos α + β α β cosα cosβ sin sin

5 Szorzatok összeggé alakítása: sin α sinβ + [ cos( α β) cos( α β) ] cos α cosβ + [ cos( α β) + cos( α β) ] sin α cosβ + [ sin( α β) + sin( α β) ] A háromszög oldalai és szögei között két jól ismert összefüggés van Szinusztétel: A háromszög két oldalának aránya egyenlő az oldalakkal szemközti szögek szinuszainak arányával: a : b sinα : sinβ Koszinusztétel: A háromszög valamely oldalának négyzetét megkaphatjuk ha a másik két oldal négyzetösszegéből kivonjuk ugyanezen két oldal és az általuk bezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát: c a + b ab cosγ II Kidolgozott feladatok Pozitív vagy negatív szám sin 55? Megoldás: < 55< + és 0 sin > sin 55> sin + 5

6 Melyik nagyobb: sin vagy sin? Megoldás: sin sin( ) így az a kérdés sin( ) vagy sin a nagyobb? Mindkét szög az első síknegyedben van ahol a szinusz függvény szigorúan monoton növekszik Ezért azt kell vizsgálnunk hogy vagy a nagyobb? Tegyük fel hogy az első érték a nagyobb vizsgáljuk ezt > 0( ) > 59 > 80 > és ez igaz mert > > Tehát a feltevés igaz ezért sin a nagyobb 59 Mennyi a cos70 cos0 + cos80 cos 0 cos9 cos9 + cos8 cos kifejezés értéke? Megoldás: cos α sin( 90 α) és a cos( α β) cos0 cos0 -ra ismert addíciós tétel miatt cos70 cos0 + cos80 cos 0 cos70 cos0 + sin0 sin 70 cos cos9 cos9 + cos8 cos cos9 cos9 + sin 9 sin 9 cos ( 70 0 ) ( 9 9 ) Igazolja az alábbi egyenlőségeket! a) sin 5 + sin 5 sin 75 b) cos 0 cos 0 cos80 8 a) I Megoldás: sin 5 sin( 5 0 ) sin 5 cos0 cos5 sin 0 azaz sin 75 sin ( ) sin5 Továbbá sin 5 cos0 + cos 5 sin 0 + sin 5 és tehát + sin 75 Ezeket az értékeket helyettesítsük a sin 5 + sin 5 sin 75 kifejezésbe és látjuk hogy helyes az egyenlőség a) II Megoldás: sin 5 + sin5 sin cos sin 0 cos5 sin( 90 5 ) sin 75

7 b) A sin α sinα cosα azonosságot alkalmazzuk az átalakítások során ( sin 0 cos 0 ) cos 0 cos80 sin 0 cos 0 cos80 cos 0 cos 0 cos80 sin 0 sin 0 sin 0 cos 0 cos80 ( sin 0 cos 0 ) cos80 sin 80 cos80 így folytatva sin 0 sin 0 sin 0 sin 80 cos80 sin 80 cos80 sin0 sin 0 továbbá sin 0 8sin 0 8sin 0 8sin Igazolja az alábbi állításokat! a) sin 0 sin 50 cos0 b) + + > 5 sin 0 cos 0 Megoldás: a) sin α sinβ [ cos( α β) cos( α + β) ] miatt sin 0 sin 50 ( cos0 cos90 ) cos0 cos0 cos0 cos0 b) mivel sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 > > és > ezekből sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 sin 80 adódik a kívánt egyenlőtlenség Mutassa meg hogy az alábbi egyenleteknek nincs megoldása a valós számok körében! a) 5 sin x + 7 b) sin x + sin x+ sin x c) sin x sin 0 d) sin x sin( x+ ) e) sin x sin x+ 7

8 Megoldás: a) sin x és ezért 5sin x + 7 Az egyenlőtlenségben akkor lesz egyenlőség ha sin x és mindegyike teljesül ugyanarra az x számra ami nem lehetséges b) sinα ezért sin x + sin x+ sin x Egyenlőség csak úgy lehet ha x megoldása a sin x sin x és sin x egyenleteknek Az egyenletek megoldásai rendre k + + m + n ahol a k m n számok tetszőleges egész számok Ennek a három számhalmaznak nincs közös eleme az egyenleteknek nincs közös megoldása ezért az eredeti egyenletnek sincs c) sin x sin 0 azaz sin x sin 0 > és ez sosem teljesül x mert x d) sin sin( x+ ) 0 nulla sin ellentétes előjelű vagy mindkettő sin és ( x+) e) sin x miatt sin x sin x+ csak úgy lehet ha mindkét tényező vagy ha mindkét tényező ami nem teljesülhet 7 Oldja meg a sin x egyenletet! Megoldás: sin x ± Ha sin x akkor vagy x + k x + k 5 5 vagy x + k x + k ahol k Ζ Ha sin x akkor vagy x + k x + k 5 5 vagy x + k x + k ahol k Ζ 8 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x + 0 b) sin x + c) + sin x sin x+ 8

9 a) I Megoldás: sin x cos x A 0 megoldásai egyenletünknek nem megoldásai így oszthatunk -el nem veszítünk gyököt: tg x a megoldás sin x x + k ahol k Ζ a) II Megoldás: Emeljük négyzetre mindkét oldalt: sin x + + sin x 0 azaz + sin x 0 + sin x 0 sin x így x + k x + k k Ζ Ellenőrzés mutatja hogy ezek mind megoldások a négyzetre emeléssel most nem kaptunk hamis gyököt (Hiszen az a 0 és az a 0 egyenletek ekvivalensek) a) III Megoldás: Szorozzuk az egyenletet -vel: sin x + 0 azaz cos sin x + sin sin x+ 0 így x + k x + k ahol k Ζ b) I Megoldás: Emeljük négyzetre mindkét oldalt sin x + + sin x azaz sin x 0 Ha sin x 0 akkor x k k Ζ ; ha 0 akkor x + k k Ζ A négyzetre emelés általában bővíti az egyenlet megoldásainak halmazát emiatt a kapott megoldásokat ellenőrizni kell nézzük meg egy perióduson belül a lehetséges gyököket A gyökök egy része kiesik (a hamis gyökök a * * sin x + megoldásai) a megoldások x k k Ζ és x + k k Ζ b) II Megoldás: Szorozzuk az egyenletet -vel: sin x + azaz cos sin x + sin sin x+ így x k x k + + illetve x+ + k x + k ahol k Ζ c) sin x sin x+ cos x+ sin x ( sin x+ ) ( sin x+ ) sin x+ alakba Az a a( a ) 0 + miatt egyenletünk átírható a egyenlet gyökei a 0 és a A sin x + 0 egyenlet megoldása az a) feladat szerint: x + k ahol k Ζ A sin x + megoldásai a b) feladat szerint: x k x + k k Ζ A gyökök: x + k x k x + k k Ζ 9

10 9 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x sin x b) sin x sin x c) sin x d) tg x ctg x Megoldás: a) Ha sin α sinβ akkor α β + k vagy α + β + k ahol k Ζ k Ezért x x+ k azaz x k Ζ vagy x+ x + k azaz ( k+ ) x k Ζ 5 b) A sin( α) sinα azonossággal az előbbi típusú egyenlethez jutunk: a egyenlet helyett a x sin( x) sin x sin x k x x+ k azaz x k Ζ 5 ( k+ ) azaz x k Ζ c) sin x cos x így vagy vagy sin egyenletet vizsgáljuk Így vagy x x + k vagy + ( ) k x x + k azaz x + k Ζ 0 5 k x+ x k azaz x + k Ζ tg x ctg x ctg x tg + x d) ( ) így ( k ) + x + x+ k x k Ζ 0 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) tg x b) tg x + ctg x+ 0 Megoldás: a) Az egyenlet értelmezési tartományába az x 90 + k 80 k Z értékek tartoznak sin x innen cos x sin x azaz sin x sin x Rendezzük az egyenletet: sin x + sin x 0 Ennek a sin x -re másodfokú egyenletnek a gyökei: ( sin x ) ( sin x ) Az első érték kisebb -nél így annak az egyenletnek nincs megoldása A második egyenlet gyökei adják egyenletünk megoldásait: x x ahol k tetszőleges egész szám k k 0

11 b) Az egyenlet értelmezési tartományába az x 0 + k 90 k Z értékek tartoznak tg x Az a tg x helyettesítés után az egyenlet: a + a+ 0 En- tg x nek megoldásai: a a Ha tg x akkor x 57 + k 80 ; ha tg x akkor x ahol k tetszőleges egész szám k Oldja meg a sin x cosx sin x cos5x egyenletet! Megoldás: Használjuk a szorzatot összeggé alakító azonosságot: sin α cosβ [ sin( α + β) + sin( α β) ]; illetve a különbséget szorzattá alakító azonosságot: α β α + β sinα sinβ sin cos ( sin 5x sin x) ( sin 9x sin x) így sin 9x sin 5x 0 azaz sin x cos7x 0 k Ezért sin x 0 vagy cos 7x 0 Megoldás x k x + ahol k Ζ 7 Oldja meg az egyenlőtlenségeket a) sin x > b) sin x> c) sin x + sin x > 0 Megoldás: a) Tekintsük a trigonometrikus egységkört sin és sin sin α > pontosan akkor ha + k < α < + k

12 Ezért a sin x > egyenlőtlenség megoldása: k k k Z + ; + b) Ábrázoljuk a függvényeket és innen leolvasható a megoldás Megoldás: 5 + k ; + k k Z c) sin x + sin x > 0 innen az a sin x helyettesítés után az a + a > 0 egyenlőtlenséget kapjuk Az y a + a parabola felfelé nyitott zérushelyei a és a Így az a + a > 0 egyenlőtlenség megoldásai az a < illetve a > valós számok A sin x < egyenlőtlenségnek nincs megoldása 5 a sin x > megoldása k k k Z + ; + Az ABC derékszögű háromszög derékszögű C csúcsából induló szögharmadolók az átfogót a D és E pontban metszik és CE Mekkorák a háromszög hegyesszögei? CD

13 Megoldás A szögharmadolók 0 -os szögekre osztják a derékszöget CED α + 0 és CDE 0 α A CED háromszögben írjuk fel a szinusztételt: ( 0 + α) sin( α) sin 0 5 sinα cosα CE CD ( α) ( 0 + α) sin 0 sin tg α α 9 0 és így 90 α A háromszög hegyesszögei és A hegyesszögű ABC háromszög a és b oldalához tartozó magasságok hossza m a és és ezek egymással α szöget zárnak be Mutassa meg hogy ma + mb mamb cosα c sinα m b Megoldás Az ABC háromszög C csúcsánál levő szöge is α így m b a sinα m b a Írjuk fel a koszinusztételt: sinα mb ma ma mb c a + b ab cosα + cosα sin α sin α sin α azaz ma + mb mamb cosα c sinα

14 5 Az ABC háromszögben AC BC Az AC oldalon felvesszük a D és E pontokat úgy hogy AD DE EC legyen Számítsa ki a háromszög területét ha BD 8 5 és BE 0 Megoldás sin α értékét kell meghatározni t ABC AC BC sinα 9x sinα tehát x és x + 9x 00 A koszinusztétel miatt a BCE háromszögből cosα a BCD három- x x + 9x 75 szögből cosα x x + 9x 00 x + 9x 75 Az egyenlet megoldása x 8 5 így x x 55 8 cos α és sin α A háromszög területe t ABC 5 területegység 7 Egy háromszög oldalainak hossza: n + n+ n+ n ahol n -nél nagyobb egész szám Mutassa meg hogy a háromszögnek van 0 -os szöge Megoldás: Írjuk fel a koszinusztételt: ( + n+ ) ( n+ ) + ( n ) ( n+ ) ( n ) cosγ n Innen átalakítások után kapjuk: cosγ tehát γ 0

15 7 Egy háromszög oldalainak hossza egy olyan számtani sorozat három egymást követő eleme amelynek differenciája A háromszög területének mérőszáma kétszer akkora mint a kerület mérőszáma Mekkorák az oldalak? Megoldás A háromszög oldalai a a a+ A háromszög kerülete a ( a+ )( a ) sinα a A háromszög területe a innen sinα a a a+ + a a+ a cos Írjuk fel a koszinusztételt: ( ) ( ) ( )( ) α a + cosα ( a ) innen a a + Mivel sin α + cos α így + ebből rendezéssel: a ( a ) a 588a 0 a ( a 9) 0 Mivel a 0 ezért a 9 0 innen a A háromszög oldalainak hossza 5 egység III Ajánlott feladatok Melyik a nagyobb: sin sin vagy sin? sin Igazolja az alábbi egyenlőségeket! a) tg 5 + ctg5 b) sin 0 sin 70 cos50 Igazolja az alábbi állításokat! a) cos sin + b) ( ctg )( ctg ) Hozza egyszerűbb alakra a bal oldali oszlopban álló kifejezéseket Az eredményeket a jobb oldali oszlopban felsoroltuk csak más sorrendben Keresse meg az összetartozó párokat (A) sin x (a) sin x + y y (b) (B) ( ) ( ) (C) ( x+ y) sin( x y) sin (c) sin x 5

16 (D) (E) (F) (G) sin x tg x tg x ctg y tg y ctg x tg x ctg y tg y ctg x tg x+ ctg x (d) (e) (f) (g) sin x sin sin (H) (h) sin x sin y + sin x (I) sin x tg x+ (i) tg x tg y (J) ctg x+ sin x (j) tg x ctg y x y 5 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) ( x ) b) + sin x c) sin x sin x Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x sin x + 0 b) sin x + sin x 7 Oldja meg a sin x ( + ) + + egyenletet! 8 Oldja meg a sin 8x sin x egyenletet! 9 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x + 5 b) sin x Oldja meg a cosx cos5x cosx cos7x egyenletet! Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a) 0 b) sin x c) ctg x < Oldja meg a sin x + < egyenlőtlenséget Az ABCD négyzetbe írtuk az AEF egyenlő szárú háromszöget ahol E a BC oldalon F a DC oldalon nyugszik és AE AF Ha tg AFE akkor mennyi cos EAB? Mutassa meg ha ABCDEFGHI szabályos kilencszög akkor AF AB+ AC

17 5 Az ABC háromszögben AB 8 AC BAC < 0 és az A csúcsból induló szögfelező a szemközti oldalt a D pontban metszi Mekkora a CD szakasz? Egy 5 egység sugarú körbe írt háromszög két oldala 7 és 9 egység Mekkora a harmadik oldal? 7 Egy háromszög oldalainak hossza n n n+ ahol n egész szám és a háromszög legnagyobb szöge kétszerese a legkisebb szögének Mekkorák a háromszög oldalai? 8 Egységsugarú félkörbe téglalapot írtunk melynek két csúcsa az átmérőn két másik csúcsa a félköríven nyugszik Legfeljebb mekkora lehet a téglalap területe? 9 Az ABC szabályos háromszögben felvettük az M és N pontokat úgy hogy MAB MBA 0 NAB 0 NBA 0 Bizonyítsa be hogy MN párhuzamos BC-vel 0 Az ABC háromszög oldalai a b c területe t a ( b c) Határozza meg az a oldallal szemközti szög nagyságát Az ajánlott feladatok megoldásai Melyik a nagyobb: sin sin vagy sin? sin sin sin sin sin sin sin I Megoldás: mivel sin sin sin sin sin sin ( cos cos5 ) és sin sin ( cos cos5 ) miatt a tört ( cos cos5 ) ( cos cos5 ) cos cos sin sin sin < 0 sin sin sin sin sin sin sin sin Ezekből következik hogy a nagyobb sin a na- sin sin sin sin cos cos5 II Megoldás: : < így sin sin sin sin cos cos5 gyobb sin sin Igazolja az alábbi egyenlőségeket! a) tg 5 + ctg5 b) sin 0 sin 70 cos50 7

18 Megoldás: sin5 cos5 sin 5 + cos 5 a) tg5 + ctg5 + cos5 sin5 cos5 sin5 cos5 sin5 és sin α sinα cosα miatt: cos5 sin5 cos5 sin5 sin 0 b) α cos( 90 α) sin és sin α sinα cosα így sin 0 sin 0 sin 70 ( sin 0 cos 0 ) cos50 cos50 cos50 Igazolja az alábbi állításokat! a) cos sin + b) ( ctg )( ctg ) Megoldás: a) cos sin cos sin cos + sin cos és cos cos ( 0 5 ) + + cos cos ctg ctg sin sin b) ( )( ) sin cos sin cos sin sin ( ) sin( ) sin ( 5 ) sin( 5 ) sin sin sin sin sin sin sin sin sin ctgβ ctgα + Más megoldás Használjuk a ctg( α β) összefüggést ctgβ ctgα ctg ctg 5 + ctg ctg 5 ( ctg( 5 ))( ctg ) ( ctg ) ctg + ctg ctg ctg ctg ( ctg ) ctg ( ctg ) ( ctg ) 8

19 Hozza egyszerűbb alakra a bal oldali oszlopban álló kifejezéseket Az eredményeket a jobb oldali oszlopban felsoroltuk csak más sorrendben Keresse meg az összetartozó párokat (A) sin x (a) sin x + y y (b) (B) ( ) ( ) (C) ( x+ y) sin( x y) (D) (E) (F) (G) sin (c) sin x sin x tg x tg x ctg y tg y ctg x tg x ctg y tg y ctg x tg x+ ctg x (d) (e) (f) (g) sin x sin sin (H) (h) sin x sin y + sin x (I) sin x tg x+ (i) tg x tg y (J) ctg x+ sin x (j) tg x ctg y x y Megoldás: (A) (f) (B) (g) (C) (h) (D) (b) (E) (i) (F) (j) (G) (c) (H) (a) (I) (e) (J) (d) 5 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) ( x ) b) + sin x c) sin x sin x Megoldás: a) Ha 0 akkor x + k ahol k tetszőleges egész szám Ezek megoldásai az egyenletnek Ha cos 0 Ha cos > 0 x akkor x akkor ( x ) azaz ( ) x x vagy x A > 0 feltételt x teljesíti ezért ez is megoldása egyenletünknek Ha < 0 akkor ám az ( x ) egyenletnek nincs megoldása Az ( x ) egyenlet megoldásai x és x + k ahol k tetszőle- ges egész szám 9

20 b) + sin x miatt az egyenletnek akkor van megoldása ha + sin x és teljesül A megoldás: x k ahol k tetszőleges egész szám Másképp: + sin x + azaz cos x + 0 Ennek gyökei és ezek közül csak lehetséges a megoldás x k ahol k tetszőleges egész szám 0 sin x c) sin x miatt az egyenletnek akkor van megoldása ha az egyenlet mindkét oldala azaz ha sin x és sin x 0 egyszerre teljesül ami nem lehetséges Az egyenletnek nincs megoldása Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x sin x + 0 b) sin x + sin x Megoldás: a) Ha 0 lenne akkor az egyenlet miatt sin x 0 ami lehetetlen Ezért most 0 oszthatunk -el és így kapjuk a tg x tg x+ 0 másodfokú egyenletet Ennek gyökei tg x és tg x ahonnan x + k és x 07+ k ahol k Ζ b) Ha 0 lenne akkor az egyenlet miatt sin x ami lehetetlen Ezért most 0 oszthatunk -el azonban a kapott tg x+ tg x egyenlet most nem lesz tg x -re nézve másodfokú egyenlet Használjuk hogy ( sin + ) sin x sin x ( sin x+ ) x ezért egyenletünk előbb a + azaz a sin x + sin x 0 alakot ölti majd a -el való osztás után kapjuk a tg x + tg x 0 egyenletet Ennek gyökei: tg x és tg x ahonnan x 0 5+ k és x 850+ k ahol k Ζ 7 Oldja meg a sin x ( + ) + + Megoldás: Ha akkor egyenletet! sin x ám ennek nincs megoldása Ezért ha egyen- 0 Szorozzuk az egyenletet letünknek megoldása x akkor ( ) -el ( ) sin x sin x sin x + 0

21 Mivel Ezért sin x sin x és sin x + így sin x + sin x sin x és x ( cos ) 0 x cos azaz sin ( sin x ) 0 x és Mivel így 0 Ha 0 akkor sin x ± ám sin x sin x miatt csak sin x lehet ( ) 0 Így az egyenlet megoldása x k + ahol k Ζ 8 Oldja meg a sin 8x sin x egyenletet! Megoldás: sin x így az egyenlet sin 8x + 0 alakban írható Mivel sin 8x 0 0 így sin 8x + 0 csak úgy lehet ha sin 8x 0 és cos x 0 azaz sin 8x 0 és 0 A sin 8x 0 egyenlet k megoldásai: 8 x k így x k Ζ A 0 egyenlet megoldásai: 8 k x + k így x + k Ζ Olyan x szám lehet csak az egyenlet megoldása amelyre sin 8x 0 és 0 is teljesül így a megoldások: 8 k x + k Ζ 8 9 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x + 5 b) sin x + 5 Megoldás: a) sin x + mivel + így van olyan ϕ hegyesszög amelyre cos ϕ és sin ϕ (gondoljunk a sin ϕ + cos ϕ összefüggésre) Ez a szög 5 5 ϕ sin x + 5 sin x+ cosϕ sin x+ sinϕ sin( x+ ϕ) azaz sin ( +ϕ) ( ) ennek megoldása x x k 0 így x 87 + k 0 ahol k tetszőleges egész szám 5 b) + 5 így + Legyen ϕ olyan hegyesszög amelyre cos ϕ ez a szög ϕ 5

22 Osszuk az egyenletet -gyel és ezután alkalmazható az addíciós tétel: 5 sin x + cos ϕ sin x+ sinϕ vagyis sin ( x +ϕ) sin( x + 5 ) sin 9 5 tehát x k 0 x 8 + k 0 x 5 k x k 0 ahol k tetszőleges vagy + ( ) + 0 egész szám 0 Oldja meg a cosx cos5x cosx cos7x egyenletet! Megoldás: Használjuk a szorzatot összeggé alakító azonosságot: cos α cosβ [ cos( α + β) + cos( α β) ] Így ( cos9x+ ) ( cosx+ ) cos 9x cosx 0 α + β β α A cosα cosβ sin sin azonosság miatt egyenletünk a következő alakot ölti: sin x sin x 0 Ezért sin x 0 x k vagy sin x 0 x k ahol k Ζ Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a) 0 b) sin x c) ctg x < Megoldás: a) + k ; + k k Z 5 b) + k ; + k k Z c) + k; k k Z

23 Oldja meg a sin x + < egyenlőtlenséget Megoldás: Az sin x + cosx< azaz cos sin x+ sin < és az addíciós tétel miatt sin x + < 5 Ennek megoldása + k < x+ < + k így + k < x< + k azaz + k < x< + k ahol k tetszőleges egész szám Az ABCD négyzetbe írtuk az AEF egyenlő szárú háromszöget ahol E a BC oldalon F a DC oldalon nyugszik és AE AF Ha tg AFE akkor mennyi cos EAB? Megoldás: Az ábra az AC átlóra szimmetrikus így az A-nál lévő szög: α + így β α 5 ahol AFE α EAB β ( ) β cos β cos( α 5 ) ( cosα + sinα) Mivel tg α így sin α cosα és sin α + cos α miatt cos α innen sin α és cos β

24 Mutassa meg ha ABCDEFGHI szabályos kilencszög akkor AF AB+ AC Megoldás: Tudjuk hogy ha egy r sugarú körben az a hosszúságú húrhoz α kerületi 0 szög tartozik akkor a r sinα A szabályos kilencszög egy oldalához 0-9 os középponti szög és 0 -os kerületi szög tartozik Az AB húrhoz 0 -os az AC húrhoz 0 -os és az AF húrhoz 80 -os kerületi szög tartozik Ezek miatt az AF AB+ AC egyenlőség felírható a következő alakban: r sin80 r sin 0 + r sin 0 A sin80 sin 0 + sin 0 összefüggést kell α + β α β igazolnunk A sinα+ sinβ sin cos azonosság miatt sin 0 + sin 0 sin 0 cos0 cos0 és cos 0 sin80 így sin 0 + sin 0 sin80 5 Az ABC háromszögben AB 8 AC BAC < 0 és az A csúcsból induló szögfelező a szemközti oldalt a D pontban metszi Mekkora a CD szakasz? Megoldás: A koszinusz-tétel miatt: BC cos0 7 7 A szögfelező-tétel miatt CD DB így CD BC 7 8

25 Egy 5 egység sugarú körbe írt háromszög két oldala 7 és 9 egység Mekkora a harmadik oldal? Megoldás: Ha az r sugarú körbe írt háromszög a oldalával szemben α szög van akkor a r sinα Így 9 0 sinα 7 0 sinβ A háromszög oldalai a 9 b 7 és c a szemközti szögek rendre α β γ Ez a háromszög hegyesszögű mert Ha sin α 9 0 akkor cos α 7 > ; valamint ha sin β 7 0 akkor 5 cos β 0 9 sinγ sin sinα cosβ + cosα sinβ ( 80 ( α+ β) ) A c r sinγ összefüggés alapján: c Megjegyzés: Számolhatunk számológéppel is Ha sin α akkor α és 0 7 sin β miatt β ezért γ 80 ( α + β) 7 0 A c r sinγ összefüggést használva c Egy háromszög oldalainak hossza n n n+ ahol n egész szám és a háromszög legnagyobb szöge kétszerese a legkisebb szögének Mekkorák a háromszög oldalai? Megoldás: A háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van így ha a n n+ kisebb szög α akkor a szinusz-tétel szerint: azaz sinα sin α n n+ n+ és így cosα sinα sinα cosα n ( ) Most írjuk fel a koszinusztételt: ( ) n + ( n+ ) n( n+ ) cosα n+ n ( ) n + ( n+ ) n( n+ ) n innen ( n ) Ebből a műveletek és az összevonások elvégzése után n 5 Tehát a háromszög oldalai 5 és egység hosszúak 5

26 8 Egységsugarú félkörbe téglalapot írtunk melynek két csúcsa az átmérőn két másik csúcsa a félköríven nyugszik Legfeljebb mekkora lehet a téglalap területe? Megoldás: Az ábrán látható adatokkal felírhatjuk a téglalap területét t cosα sinα sin α Mivel sin α így a téglalap területe legfeljebb területegység A téglalap területe ezt az értéket felveszi ha α 5 (Ekkor a téglalap egyik oldala kétszerese a másik oldalának) 9 Az ABC szabályos háromszögben felvettük az M és N pontokat úgy hogy MAB MBA 0 NAB 0 NBA 0 Bizonyítsa be hogy MN párhuzamos BC-vel Megoldás Az M és az N pontok merőleges vetülete a BC oldalon P és Q Az MN párhuzamos BC-vel ha MP NQ BN a a A BAN háromszögben a szinusztétel miatt: sin 0 sin0 sin50 A BAM háromszögben a szinusztétel miatt: BM a a sin 0 sin00 sin80

27 Ekkor: NQ BN sin 0 a sin 0 sin 0 és sin 50 a sin 0 sin 0 MP BM sin 0 sin 80 sin 0 sin 0 MP NQ teljesül ha Ez igaz sin 50 sin80 mivel sin 0 sin80 sin 0 cos 0 sin 0 sin 50 0 Az ABC háromszög oldalai a b c területe t a ( b c) Határozza meg az a oldallal szemközti szög nagyságát Megoldás Az a oldallal szemközti szöget jelölje α bc sinα t a ( b c) a b + bc c azaz bc sinα bc a A koszinusztétel miatt: a b + c bc cosα azaz a b c bc cosα bc sinα Ezekből bc bc cosα sinα Osszunk bc-vel ( bc 0 ): cosα azaz sinα ( cosα) Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát: b c sin α cosα+ cos α Használjuk a sin α cos α azonosságot és rendezzük az egyenletet: 7 cos α cosα Az egyenlet gyökei: cos α 5 és cos α Az első gyök nem megoldása a feladatnak mert α cos α így α IV Ellenőrző feladatok Számolja ki cos 0 + cos 0 + cos00 + cos0 értékét számológép segítsége nélkül! Az a b c oldalú háromszög oldalaira fenn áll az + összefüggés Mutassa meg hogy a háromszögnek van 0 -os a + b b+ c a+ b+ c szöge Oldja meg a sin ( 0 + x) sin x egyenletet 7

28 Oldja meg a tg x + tg x 0 egyenlőtlenséget 5 Mekkora az ábrán látható ED szakasz? Egy egyenlő szárú háromszögben az alapon fekvő szög szinusza kétszerese a csúcsnál fekvő szög koszinuszának Mekkora a szárszög? Az ellenőrző feladatok megoldásai Számolja ki cos 0 + cos 0 + cos00 + cos0 értékét számológép segítsége nélkül! Megoldás: cos 0 + cos 0 + cos00 + cos0 cos 0 + cos 0 + cos00 + cos cos cos + cos00 + cos 0 cos80 cos0 + cos00 + cos 0 cos80 + cos00 + cos80 + ( cos80 ) + 8

29 Az a b c oldalú háromszög oldalaira fenn áll az + összefüggés Mutassa meg hogy a háromszögnek van 0 -os a + b b+ c a+ b+ c szöge Megoldás: A megadott feltétel átrendezett alakja: b a + c a c és ez a koszinusztétel szerint azt jelenti hogy a b oldallal szemközti β szögre cos β tehát β 0 Oldja meg a sin ( 0 + x) sin x egyenletet Megoldás: Az addíciós tétel miatt: sin 0 + cos 0 sin x sin x itt helyettesítsük az ismert szögfüggvényértékeket: sin x + Mivel 0 így oszthatunk vele és rendezés után: sin x sin tg x azaz x 0 + k 80 ahol k tetszőleges egész szám x azaz Oldja meg a tg x + tg x 0 egyenlőtlenséget Megoldás: Az egyenlet értelmezési tartományába az értékek tartoznak Az x + k k Z a tg x helyettesítés után az a + a 0 egyenlőtlenséget kapjuk Az y a + a parabola felfelé nyitott zérushelyei a 0 és a Így az a + a 0 egyenlőtlenség megoldásai az a illetve a 0 valós számok A tg x egyenlőtlenség megoldása + k < x + k a tg x 0 egyenlőtlenség megoldása 0 + k x< + k ahol k tetszőleges egész szám 9

30 5 Mekkora az ábrán látható ED szakasz? Megoldás: Az ABC háromszögben írjuk fel a koszinusz-tételt: cosγ ahol γ ACB DCE Innen cosγ A DCE háromszögben a koszinusz-tétel szerint DE + cos γ DE 7 Egy egyenlő szárú háromszögben az alapon fekvő szög szinusza kétszerese a csúcsnál fekvő szög koszinuszának Mekkora a szárszög? Megoldás Az alapon fekvő szögek nagysága α a szárszög sin α cosβ továbbá α + β 80 Ebből cosβ cos( 80 α) cos α sin α cos α sin α β Ekkor ezt az előbbi egyenletbe írva kapjuk a sin α sinα 0 egyenletet melynek gyökei ± + sinα Mivel α hegyesszög sinα α 57 7 és a szárszög 8 8 β

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes

8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes 8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Készítette: Darabos Noémi Ágnes Matematika A. évfolyam 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) I. Geometriai egyenlőtlenségek, szélsőérték feladatok 1. Mivel az [ ] f :0; π ; xa sin xfolytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni,

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók a szürke

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12. XXIV. NEMZETKÖZI MGYR MTEMTIKVERSENY Szabadka, 05. április 8-. IX. évfolyam. Egy -as négyzetháló négyzeteibe a bal felső mezőből indulva soronként sorra beirjuk az,,3,,400 pozitív egész számokat. Ezután

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

= 0. 1 pont. Összesen: 12 pont

= 0. 1 pont. Összesen: 12 pont 1. Egy számtani sorozat páros sorszámú, illetve páratlan sorszámú tagjai is számtani sorozatot alkotnak. Páratlan sorszámú tag összesen 11 darab van, páros sorszámú pedig 10. A feladat feltétele szerint:

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

Oktatási Hivatal. A döntő feladatainak megoldása. 1. Feladat Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk: ahol [ 2008;2008]

Oktatási Hivatal. A döntő feladatainak megoldása. 1. Feladat Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk: ahol [ 2008;2008] OKTV 7/8 A öntő felaatainak megolása. Felaat Egy kifejezést a következő képlettel efiniálunk: 3 x x 9x + 7 K = x 9 ahol [ 8;8] x és x Z. Mennyi a valószínűsége annak hogy K egész szám ha x eleget tesz

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás. Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Végeredmények, feladatok részletes megoldása

Végeredmények, feladatok részletes megoldása Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók,

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben