13. Trigonometria II.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "13. Trigonometria II."

Átírás

1 Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája Tetszőleges α szög koszinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor első koordinátája Az α szöget az e vektor irányszögének nevezzük Ez a szög 0 -nál nagyobb is lehet Szoktuk használni a forgásszög megnevezést is Ha az e vektort az óramutató járásával azonos irányban forgatjuk akkor α < 0 Az x a sin x függvény jellemzése: értelmezve van tetszőleges x valós számra (A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza)

2 értékkészlete: [ ; ] a függvény szerint periodikus azaz sin x sin( x+ ) zérushelyei x k ahol k tetszőleges egész szám maximuma maximumhelyei + k ahol k tetszőleges egész szám minimuma minimumhelyei + k ahol k tetszőleges egész szám páratlan függvény azaz sin( x) sin x (a függvény az origóra szimmetrikus) a függvény szigorúan monoton növekedő a szigorúan monoton csökkenő a + k + k intervallumon ahol k tetszőle- ges egész szám + k + k intervallumon Az x a cos x függvény jellemzése: értelmezve van tetszőleges x valós számra (A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza) értékkészlete: [ ; ] a függvény zérushelyei szerint periodikus azaz cos( x+ ) x + k ahol k tetszőleges egész szám maximuma maximumhelyei k ahol k tetszőleges egész szám minimuma minimumhelyei + k ahol k tetszőleges egész szám páros függvény azaz cos ( x) (a függvény az y-tengelyre szimmetrikus) + intervallumon szigorú- a függvény szigorúan monoton csökkenő a [ 0 k + k] an monoton növekedő a [ k + k] szám + intervallumon ahol k tetszőleges egész

3 Az sin x x a tg x (ahol 0 azaz x + k k Z ) tangens függvény jellemzése: értelmezési tartománya minden olyan x valós szám amelyre értékkészlete a valós számok halmaza tg x tg x+ a függvény szerint periodikus azaz ( ) x + k k Z zérushelyei x k ahol k tetszőleges egész szám szélsőértékei nincsenek így nem korlátos függvény páratlan függvény azaz tg( x) tg x (a függvény az origóra szimmetrikus) a függvény szigorúan monoton növekedő a + k + k intervallumon ahol k tetszőleges egész szám Az x a ctg x (ahol sin x 0 azaz x k k Z ) kotangens függvény jellemzése: sin x értelmezési tartománya minden olyan x valós szám amelyre értékkészlete a valós számok halmaza ctg x ctg x+ a függvény szerint periodikus azaz ( ) zérushelyei + k ahol k tetszőleges egész szám szélsőértékei nincsenek így nem korlátos függvény x k k Z

4 páratlan függvény azaz ctg( x) ctg x a függvény szigorúan monoton csökkenő a ] + k ; + k [ 0 intervallumon ahol k tetszőleges egész szám (a függvény az origóra szimmetrikus) Néhány összefüggés a szögfüggvények között Addíciós tételek: sin sin tg ( α + β) sinα cosβ + cosα sinβ cos( α + β) cosα cosβ sinα sinβ ( α β) sinα cosβ cosα sinβ cos( α β) cosα cosβ + sinα sinβ tgα + tgβ tgα tgβ ( α + β) tg( α β) tgα tgβ + tgα tgβ Kétszeres szög szögfüggvényei: sin α sinα cosα cos α cos α sin α Összegek szorzattá alakítása: α + β α β sinα + sinβ sin cos α β α + β sinα sinβ sin cos α + β α β cosα + cosβ cos cos α + β α β cosα cosβ sin sin

5 Szorzatok összeggé alakítása: sin α sinβ + [ cos( α β) cos( α β) ] cos α cosβ + [ cos( α β) + cos( α β) ] sin α cosβ + [ sin( α β) + sin( α β) ] A háromszög oldalai és szögei között két jól ismert összefüggés van Szinusztétel: A háromszög két oldalának aránya egyenlő az oldalakkal szemközti szögek szinuszainak arányával: a : b sinα : sinβ Koszinusztétel: A háromszög valamely oldalának négyzetét megkaphatjuk ha a másik két oldal négyzetösszegéből kivonjuk ugyanezen két oldal és az általuk bezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát: c a + b ab cosγ II Kidolgozott feladatok Pozitív vagy negatív szám sin 55? Megoldás: < 55< + és 0 sin > sin 55> sin + 5

6 Melyik nagyobb: sin vagy sin? Megoldás: sin sin( ) így az a kérdés sin( ) vagy sin a nagyobb? Mindkét szög az első síknegyedben van ahol a szinusz függvény szigorúan monoton növekszik Ezért azt kell vizsgálnunk hogy vagy a nagyobb? Tegyük fel hogy az első érték a nagyobb vizsgáljuk ezt > 0( ) > 59 > 80 > és ez igaz mert > > Tehát a feltevés igaz ezért sin a nagyobb 59 Mennyi a cos70 cos0 + cos80 cos 0 cos9 cos9 + cos8 cos kifejezés értéke? Megoldás: cos α sin( 90 α) és a cos( α β) cos0 cos0 -ra ismert addíciós tétel miatt cos70 cos0 + cos80 cos 0 cos70 cos0 + sin0 sin 70 cos cos9 cos9 + cos8 cos cos9 cos9 + sin 9 sin 9 cos ( 70 0 ) ( 9 9 ) Igazolja az alábbi egyenlőségeket! a) sin 5 + sin 5 sin 75 b) cos 0 cos 0 cos80 8 a) I Megoldás: sin 5 sin( 5 0 ) sin 5 cos0 cos5 sin 0 azaz sin 75 sin ( ) sin5 Továbbá sin 5 cos0 + cos 5 sin 0 + sin 5 és tehát + sin 75 Ezeket az értékeket helyettesítsük a sin 5 + sin 5 sin 75 kifejezésbe és látjuk hogy helyes az egyenlőség a) II Megoldás: sin 5 + sin5 sin cos sin 0 cos5 sin( 90 5 ) sin 75

7 b) A sin α sinα cosα azonosságot alkalmazzuk az átalakítások során ( sin 0 cos 0 ) cos 0 cos80 sin 0 cos 0 cos80 cos 0 cos 0 cos80 sin 0 sin 0 sin 0 cos 0 cos80 ( sin 0 cos 0 ) cos80 sin 80 cos80 így folytatva sin 0 sin 0 sin 0 sin 80 cos80 sin 80 cos80 sin0 sin 0 továbbá sin 0 8sin 0 8sin 0 8sin Igazolja az alábbi állításokat! a) sin 0 sin 50 cos0 b) + + > 5 sin 0 cos 0 Megoldás: a) sin α sinβ [ cos( α β) cos( α + β) ] miatt sin 0 sin 50 ( cos0 cos90 ) cos0 cos0 cos0 cos0 b) mivel sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 > > és > ezekből sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 sin 80 adódik a kívánt egyenlőtlenség Mutassa meg hogy az alábbi egyenleteknek nincs megoldása a valós számok körében! a) 5 sin x + 7 b) sin x + sin x+ sin x c) sin x sin 0 d) sin x sin( x+ ) e) sin x sin x+ 7

8 Megoldás: a) sin x és ezért 5sin x + 7 Az egyenlőtlenségben akkor lesz egyenlőség ha sin x és mindegyike teljesül ugyanarra az x számra ami nem lehetséges b) sinα ezért sin x + sin x+ sin x Egyenlőség csak úgy lehet ha x megoldása a sin x sin x és sin x egyenleteknek Az egyenletek megoldásai rendre k + + m + n ahol a k m n számok tetszőleges egész számok Ennek a három számhalmaznak nincs közös eleme az egyenleteknek nincs közös megoldása ezért az eredeti egyenletnek sincs c) sin x sin 0 azaz sin x sin 0 > és ez sosem teljesül x mert x d) sin sin( x+ ) 0 nulla sin ellentétes előjelű vagy mindkettő sin és ( x+) e) sin x miatt sin x sin x+ csak úgy lehet ha mindkét tényező vagy ha mindkét tényező ami nem teljesülhet 7 Oldja meg a sin x egyenletet! Megoldás: sin x ± Ha sin x akkor vagy x + k x + k 5 5 vagy x + k x + k ahol k Ζ Ha sin x akkor vagy x + k x + k 5 5 vagy x + k x + k ahol k Ζ 8 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x + 0 b) sin x + c) + sin x sin x+ 8

9 a) I Megoldás: sin x cos x A 0 megoldásai egyenletünknek nem megoldásai így oszthatunk -el nem veszítünk gyököt: tg x a megoldás sin x x + k ahol k Ζ a) II Megoldás: Emeljük négyzetre mindkét oldalt: sin x + + sin x 0 azaz + sin x 0 + sin x 0 sin x így x + k x + k k Ζ Ellenőrzés mutatja hogy ezek mind megoldások a négyzetre emeléssel most nem kaptunk hamis gyököt (Hiszen az a 0 és az a 0 egyenletek ekvivalensek) a) III Megoldás: Szorozzuk az egyenletet -vel: sin x + 0 azaz cos sin x + sin sin x+ 0 így x + k x + k ahol k Ζ b) I Megoldás: Emeljük négyzetre mindkét oldalt sin x + + sin x azaz sin x 0 Ha sin x 0 akkor x k k Ζ ; ha 0 akkor x + k k Ζ A négyzetre emelés általában bővíti az egyenlet megoldásainak halmazát emiatt a kapott megoldásokat ellenőrizni kell nézzük meg egy perióduson belül a lehetséges gyököket A gyökök egy része kiesik (a hamis gyökök a * * sin x + megoldásai) a megoldások x k k Ζ és x + k k Ζ b) II Megoldás: Szorozzuk az egyenletet -vel: sin x + azaz cos sin x + sin sin x+ így x k x k + + illetve x+ + k x + k ahol k Ζ c) sin x sin x+ cos x+ sin x ( sin x+ ) ( sin x+ ) sin x+ alakba Az a a( a ) 0 + miatt egyenletünk átírható a egyenlet gyökei a 0 és a A sin x + 0 egyenlet megoldása az a) feladat szerint: x + k ahol k Ζ A sin x + megoldásai a b) feladat szerint: x k x + k k Ζ A gyökök: x + k x k x + k k Ζ 9

10 9 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x sin x b) sin x sin x c) sin x d) tg x ctg x Megoldás: a) Ha sin α sinβ akkor α β + k vagy α + β + k ahol k Ζ k Ezért x x+ k azaz x k Ζ vagy x+ x + k azaz ( k+ ) x k Ζ 5 b) A sin( α) sinα azonossággal az előbbi típusú egyenlethez jutunk: a egyenlet helyett a x sin( x) sin x sin x k x x+ k azaz x k Ζ 5 ( k+ ) azaz x k Ζ c) sin x cos x így vagy vagy sin egyenletet vizsgáljuk Így vagy x x + k vagy + ( ) k x x + k azaz x + k Ζ 0 5 k x+ x k azaz x + k Ζ tg x ctg x ctg x tg + x d) ( ) így ( k ) + x + x+ k x k Ζ 0 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) tg x b) tg x + ctg x+ 0 Megoldás: a) Az egyenlet értelmezési tartományába az x 90 + k 80 k Z értékek tartoznak sin x innen cos x sin x azaz sin x sin x Rendezzük az egyenletet: sin x + sin x 0 Ennek a sin x -re másodfokú egyenletnek a gyökei: ( sin x ) ( sin x ) Az első érték kisebb -nél így annak az egyenletnek nincs megoldása A második egyenlet gyökei adják egyenletünk megoldásait: x x ahol k tetszőleges egész szám k k 0

11 b) Az egyenlet értelmezési tartományába az x 0 + k 90 k Z értékek tartoznak tg x Az a tg x helyettesítés után az egyenlet: a + a+ 0 En- tg x nek megoldásai: a a Ha tg x akkor x 57 + k 80 ; ha tg x akkor x ahol k tetszőleges egész szám k Oldja meg a sin x cosx sin x cos5x egyenletet! Megoldás: Használjuk a szorzatot összeggé alakító azonosságot: sin α cosβ [ sin( α + β) + sin( α β) ]; illetve a különbséget szorzattá alakító azonosságot: α β α + β sinα sinβ sin cos ( sin 5x sin x) ( sin 9x sin x) így sin 9x sin 5x 0 azaz sin x cos7x 0 k Ezért sin x 0 vagy cos 7x 0 Megoldás x k x + ahol k Ζ 7 Oldja meg az egyenlőtlenségeket a) sin x > b) sin x> c) sin x + sin x > 0 Megoldás: a) Tekintsük a trigonometrikus egységkört sin és sin sin α > pontosan akkor ha + k < α < + k

12 Ezért a sin x > egyenlőtlenség megoldása: k k k Z + ; + b) Ábrázoljuk a függvényeket és innen leolvasható a megoldás Megoldás: 5 + k ; + k k Z c) sin x + sin x > 0 innen az a sin x helyettesítés után az a + a > 0 egyenlőtlenséget kapjuk Az y a + a parabola felfelé nyitott zérushelyei a és a Így az a + a > 0 egyenlőtlenség megoldásai az a < illetve a > valós számok A sin x < egyenlőtlenségnek nincs megoldása 5 a sin x > megoldása k k k Z + ; + Az ABC derékszögű háromszög derékszögű C csúcsából induló szögharmadolók az átfogót a D és E pontban metszik és CE Mekkorák a háromszög hegyesszögei? CD

13 Megoldás A szögharmadolók 0 -os szögekre osztják a derékszöget CED α + 0 és CDE 0 α A CED háromszögben írjuk fel a szinusztételt: ( 0 + α) sin( α) sin 0 5 sinα cosα CE CD ( α) ( 0 + α) sin 0 sin tg α α 9 0 és így 90 α A háromszög hegyesszögei és A hegyesszögű ABC háromszög a és b oldalához tartozó magasságok hossza m a és és ezek egymással α szöget zárnak be Mutassa meg hogy ma + mb mamb cosα c sinα m b Megoldás Az ABC háromszög C csúcsánál levő szöge is α így m b a sinα m b a Írjuk fel a koszinusztételt: sinα mb ma ma mb c a + b ab cosα + cosα sin α sin α sin α azaz ma + mb mamb cosα c sinα

14 5 Az ABC háromszögben AC BC Az AC oldalon felvesszük a D és E pontokat úgy hogy AD DE EC legyen Számítsa ki a háromszög területét ha BD 8 5 és BE 0 Megoldás sin α értékét kell meghatározni t ABC AC BC sinα 9x sinα tehát x és x + 9x 00 A koszinusztétel miatt a BCE háromszögből cosα a BCD három- x x + 9x 75 szögből cosα x x + 9x 00 x + 9x 75 Az egyenlet megoldása x 8 5 így x x 55 8 cos α és sin α A háromszög területe t ABC 5 területegység 7 Egy háromszög oldalainak hossza: n + n+ n+ n ahol n -nél nagyobb egész szám Mutassa meg hogy a háromszögnek van 0 -os szöge Megoldás: Írjuk fel a koszinusztételt: ( + n+ ) ( n+ ) + ( n ) ( n+ ) ( n ) cosγ n Innen átalakítások után kapjuk: cosγ tehát γ 0

15 7 Egy háromszög oldalainak hossza egy olyan számtani sorozat három egymást követő eleme amelynek differenciája A háromszög területének mérőszáma kétszer akkora mint a kerület mérőszáma Mekkorák az oldalak? Megoldás A háromszög oldalai a a a+ A háromszög kerülete a ( a+ )( a ) sinα a A háromszög területe a innen sinα a a a+ + a a+ a cos Írjuk fel a koszinusztételt: ( ) ( ) ( )( ) α a + cosα ( a ) innen a a + Mivel sin α + cos α így + ebből rendezéssel: a ( a ) a 588a 0 a ( a 9) 0 Mivel a 0 ezért a 9 0 innen a A háromszög oldalainak hossza 5 egység III Ajánlott feladatok Melyik a nagyobb: sin sin vagy sin? sin Igazolja az alábbi egyenlőségeket! a) tg 5 + ctg5 b) sin 0 sin 70 cos50 Igazolja az alábbi állításokat! a) cos sin + b) ( ctg )( ctg ) Hozza egyszerűbb alakra a bal oldali oszlopban álló kifejezéseket Az eredményeket a jobb oldali oszlopban felsoroltuk csak más sorrendben Keresse meg az összetartozó párokat (A) sin x (a) sin x + y y (b) (B) ( ) ( ) (C) ( x+ y) sin( x y) sin (c) sin x 5

16 (D) (E) (F) (G) sin x tg x tg x ctg y tg y ctg x tg x ctg y tg y ctg x tg x+ ctg x (d) (e) (f) (g) sin x sin sin (H) (h) sin x sin y + sin x (I) sin x tg x+ (i) tg x tg y (J) ctg x+ sin x (j) tg x ctg y x y 5 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) ( x ) b) + sin x c) sin x sin x Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x sin x + 0 b) sin x + sin x 7 Oldja meg a sin x ( + ) + + egyenletet! 8 Oldja meg a sin 8x sin x egyenletet! 9 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x + 5 b) sin x Oldja meg a cosx cos5x cosx cos7x egyenletet! Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a) 0 b) sin x c) ctg x < Oldja meg a sin x + < egyenlőtlenséget Az ABCD négyzetbe írtuk az AEF egyenlő szárú háromszöget ahol E a BC oldalon F a DC oldalon nyugszik és AE AF Ha tg AFE akkor mennyi cos EAB? Mutassa meg ha ABCDEFGHI szabályos kilencszög akkor AF AB+ AC

17 5 Az ABC háromszögben AB 8 AC BAC < 0 és az A csúcsból induló szögfelező a szemközti oldalt a D pontban metszi Mekkora a CD szakasz? Egy 5 egység sugarú körbe írt háromszög két oldala 7 és 9 egység Mekkora a harmadik oldal? 7 Egy háromszög oldalainak hossza n n n+ ahol n egész szám és a háromszög legnagyobb szöge kétszerese a legkisebb szögének Mekkorák a háromszög oldalai? 8 Egységsugarú félkörbe téglalapot írtunk melynek két csúcsa az átmérőn két másik csúcsa a félköríven nyugszik Legfeljebb mekkora lehet a téglalap területe? 9 Az ABC szabályos háromszögben felvettük az M és N pontokat úgy hogy MAB MBA 0 NAB 0 NBA 0 Bizonyítsa be hogy MN párhuzamos BC-vel 0 Az ABC háromszög oldalai a b c területe t a ( b c) Határozza meg az a oldallal szemközti szög nagyságát Az ajánlott feladatok megoldásai Melyik a nagyobb: sin sin vagy sin? sin sin sin sin sin sin sin I Megoldás: mivel sin sin sin sin sin sin ( cos cos5 ) és sin sin ( cos cos5 ) miatt a tört ( cos cos5 ) ( cos cos5 ) cos cos sin sin sin < 0 sin sin sin sin sin sin sin sin Ezekből következik hogy a nagyobb sin a na- sin sin sin sin cos cos5 II Megoldás: : < így sin sin sin sin cos cos5 gyobb sin sin Igazolja az alábbi egyenlőségeket! a) tg 5 + ctg5 b) sin 0 sin 70 cos50 7

18 Megoldás: sin5 cos5 sin 5 + cos 5 a) tg5 + ctg5 + cos5 sin5 cos5 sin5 cos5 sin5 és sin α sinα cosα miatt: cos5 sin5 cos5 sin5 sin 0 b) α cos( 90 α) sin és sin α sinα cosα így sin 0 sin 0 sin 70 ( sin 0 cos 0 ) cos50 cos50 cos50 Igazolja az alábbi állításokat! a) cos sin + b) ( ctg )( ctg ) Megoldás: a) cos sin cos sin cos + sin cos és cos cos ( 0 5 ) + + cos cos ctg ctg sin sin b) ( )( ) sin cos sin cos sin sin ( ) sin( ) sin ( 5 ) sin( 5 ) sin sin sin sin sin sin sin sin sin ctgβ ctgα + Más megoldás Használjuk a ctg( α β) összefüggést ctgβ ctgα ctg ctg 5 + ctg ctg 5 ( ctg( 5 ))( ctg ) ( ctg ) ctg + ctg ctg ctg ctg ( ctg ) ctg ( ctg ) ( ctg ) 8

19 Hozza egyszerűbb alakra a bal oldali oszlopban álló kifejezéseket Az eredményeket a jobb oldali oszlopban felsoroltuk csak más sorrendben Keresse meg az összetartozó párokat (A) sin x (a) sin x + y y (b) (B) ( ) ( ) (C) ( x+ y) sin( x y) (D) (E) (F) (G) sin (c) sin x sin x tg x tg x ctg y tg y ctg x tg x ctg y tg y ctg x tg x+ ctg x (d) (e) (f) (g) sin x sin sin (H) (h) sin x sin y + sin x (I) sin x tg x+ (i) tg x tg y (J) ctg x+ sin x (j) tg x ctg y x y Megoldás: (A) (f) (B) (g) (C) (h) (D) (b) (E) (i) (F) (j) (G) (c) (H) (a) (I) (e) (J) (d) 5 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) ( x ) b) + sin x c) sin x sin x Megoldás: a) Ha 0 akkor x + k ahol k tetszőleges egész szám Ezek megoldásai az egyenletnek Ha cos 0 Ha cos > 0 x akkor x akkor ( x ) azaz ( ) x x vagy x A > 0 feltételt x teljesíti ezért ez is megoldása egyenletünknek Ha < 0 akkor ám az ( x ) egyenletnek nincs megoldása Az ( x ) egyenlet megoldásai x és x + k ahol k tetszőle- ges egész szám 9

20 b) + sin x miatt az egyenletnek akkor van megoldása ha + sin x és teljesül A megoldás: x k ahol k tetszőleges egész szám Másképp: + sin x + azaz cos x + 0 Ennek gyökei és ezek közül csak lehetséges a megoldás x k ahol k tetszőleges egész szám 0 sin x c) sin x miatt az egyenletnek akkor van megoldása ha az egyenlet mindkét oldala azaz ha sin x és sin x 0 egyszerre teljesül ami nem lehetséges Az egyenletnek nincs megoldása Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x sin x + 0 b) sin x + sin x Megoldás: a) Ha 0 lenne akkor az egyenlet miatt sin x 0 ami lehetetlen Ezért most 0 oszthatunk -el és így kapjuk a tg x tg x+ 0 másodfokú egyenletet Ennek gyökei tg x és tg x ahonnan x + k és x 07+ k ahol k Ζ b) Ha 0 lenne akkor az egyenlet miatt sin x ami lehetetlen Ezért most 0 oszthatunk -el azonban a kapott tg x+ tg x egyenlet most nem lesz tg x -re nézve másodfokú egyenlet Használjuk hogy ( sin + ) sin x sin x ( sin x+ ) x ezért egyenletünk előbb a + azaz a sin x + sin x 0 alakot ölti majd a -el való osztás után kapjuk a tg x + tg x 0 egyenletet Ennek gyökei: tg x és tg x ahonnan x 0 5+ k és x 850+ k ahol k Ζ 7 Oldja meg a sin x ( + ) + + Megoldás: Ha akkor egyenletet! sin x ám ennek nincs megoldása Ezért ha egyen- 0 Szorozzuk az egyenletet letünknek megoldása x akkor ( ) -el ( ) sin x sin x sin x + 0

21 Mivel Ezért sin x sin x és sin x + így sin x + sin x sin x és x ( cos ) 0 x cos azaz sin ( sin x ) 0 x és Mivel így 0 Ha 0 akkor sin x ± ám sin x sin x miatt csak sin x lehet ( ) 0 Így az egyenlet megoldása x k + ahol k Ζ 8 Oldja meg a sin 8x sin x egyenletet! Megoldás: sin x így az egyenlet sin 8x + 0 alakban írható Mivel sin 8x 0 0 így sin 8x + 0 csak úgy lehet ha sin 8x 0 és cos x 0 azaz sin 8x 0 és 0 A sin 8x 0 egyenlet k megoldásai: 8 x k így x k Ζ A 0 egyenlet megoldásai: 8 k x + k így x + k Ζ Olyan x szám lehet csak az egyenlet megoldása amelyre sin 8x 0 és 0 is teljesül így a megoldások: 8 k x + k Ζ 8 9 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x + 5 b) sin x + 5 Megoldás: a) sin x + mivel + így van olyan ϕ hegyesszög amelyre cos ϕ és sin ϕ (gondoljunk a sin ϕ + cos ϕ összefüggésre) Ez a szög 5 5 ϕ sin x + 5 sin x+ cosϕ sin x+ sinϕ sin( x+ ϕ) azaz sin ( +ϕ) ( ) ennek megoldása x x k 0 így x 87 + k 0 ahol k tetszőleges egész szám 5 b) + 5 így + Legyen ϕ olyan hegyesszög amelyre cos ϕ ez a szög ϕ 5

22 Osszuk az egyenletet -gyel és ezután alkalmazható az addíciós tétel: 5 sin x + cos ϕ sin x+ sinϕ vagyis sin ( x +ϕ) sin( x + 5 ) sin 9 5 tehát x k 0 x 8 + k 0 x 5 k x k 0 ahol k tetszőleges vagy + ( ) + 0 egész szám 0 Oldja meg a cosx cos5x cosx cos7x egyenletet! Megoldás: Használjuk a szorzatot összeggé alakító azonosságot: cos α cosβ [ cos( α + β) + cos( α β) ] Így ( cos9x+ ) ( cosx+ ) cos 9x cosx 0 α + β β α A cosα cosβ sin sin azonosság miatt egyenletünk a következő alakot ölti: sin x sin x 0 Ezért sin x 0 x k vagy sin x 0 x k ahol k Ζ Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a) 0 b) sin x c) ctg x < Megoldás: a) + k ; + k k Z 5 b) + k ; + k k Z c) + k; k k Z

23 Oldja meg a sin x + < egyenlőtlenséget Megoldás: Az sin x + cosx< azaz cos sin x+ sin < és az addíciós tétel miatt sin x + < 5 Ennek megoldása + k < x+ < + k így + k < x< + k azaz + k < x< + k ahol k tetszőleges egész szám Az ABCD négyzetbe írtuk az AEF egyenlő szárú háromszöget ahol E a BC oldalon F a DC oldalon nyugszik és AE AF Ha tg AFE akkor mennyi cos EAB? Megoldás: Az ábra az AC átlóra szimmetrikus így az A-nál lévő szög: α + így β α 5 ahol AFE α EAB β ( ) β cos β cos( α 5 ) ( cosα + sinα) Mivel tg α így sin α cosα és sin α + cos α miatt cos α innen sin α és cos β

24 Mutassa meg ha ABCDEFGHI szabályos kilencszög akkor AF AB+ AC Megoldás: Tudjuk hogy ha egy r sugarú körben az a hosszúságú húrhoz α kerületi 0 szög tartozik akkor a r sinα A szabályos kilencszög egy oldalához 0-9 os középponti szög és 0 -os kerületi szög tartozik Az AB húrhoz 0 -os az AC húrhoz 0 -os és az AF húrhoz 80 -os kerületi szög tartozik Ezek miatt az AF AB+ AC egyenlőség felírható a következő alakban: r sin80 r sin 0 + r sin 0 A sin80 sin 0 + sin 0 összefüggést kell α + β α β igazolnunk A sinα+ sinβ sin cos azonosság miatt sin 0 + sin 0 sin 0 cos0 cos0 és cos 0 sin80 így sin 0 + sin 0 sin80 5 Az ABC háromszögben AB 8 AC BAC < 0 és az A csúcsból induló szögfelező a szemközti oldalt a D pontban metszi Mekkora a CD szakasz? Megoldás: A koszinusz-tétel miatt: BC cos0 7 7 A szögfelező-tétel miatt CD DB így CD BC 7 8

25 Egy 5 egység sugarú körbe írt háromszög két oldala 7 és 9 egység Mekkora a harmadik oldal? Megoldás: Ha az r sugarú körbe írt háromszög a oldalával szemben α szög van akkor a r sinα Így 9 0 sinα 7 0 sinβ A háromszög oldalai a 9 b 7 és c a szemközti szögek rendre α β γ Ez a háromszög hegyesszögű mert Ha sin α 9 0 akkor cos α 7 > ; valamint ha sin β 7 0 akkor 5 cos β 0 9 sinγ sin sinα cosβ + cosα sinβ ( 80 ( α+ β) ) A c r sinγ összefüggés alapján: c Megjegyzés: Számolhatunk számológéppel is Ha sin α akkor α és 0 7 sin β miatt β ezért γ 80 ( α + β) 7 0 A c r sinγ összefüggést használva c Egy háromszög oldalainak hossza n n n+ ahol n egész szám és a háromszög legnagyobb szöge kétszerese a legkisebb szögének Mekkorák a háromszög oldalai? Megoldás: A háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van így ha a n n+ kisebb szög α akkor a szinusz-tétel szerint: azaz sinα sin α n n+ n+ és így cosα sinα sinα cosα n ( ) Most írjuk fel a koszinusztételt: ( ) n + ( n+ ) n( n+ ) cosα n+ n ( ) n + ( n+ ) n( n+ ) n innen ( n ) Ebből a műveletek és az összevonások elvégzése után n 5 Tehát a háromszög oldalai 5 és egység hosszúak 5

26 8 Egységsugarú félkörbe téglalapot írtunk melynek két csúcsa az átmérőn két másik csúcsa a félköríven nyugszik Legfeljebb mekkora lehet a téglalap területe? Megoldás: Az ábrán látható adatokkal felírhatjuk a téglalap területét t cosα sinα sin α Mivel sin α így a téglalap területe legfeljebb területegység A téglalap területe ezt az értéket felveszi ha α 5 (Ekkor a téglalap egyik oldala kétszerese a másik oldalának) 9 Az ABC szabályos háromszögben felvettük az M és N pontokat úgy hogy MAB MBA 0 NAB 0 NBA 0 Bizonyítsa be hogy MN párhuzamos BC-vel Megoldás Az M és az N pontok merőleges vetülete a BC oldalon P és Q Az MN párhuzamos BC-vel ha MP NQ BN a a A BAN háromszögben a szinusztétel miatt: sin 0 sin0 sin50 A BAM háromszögben a szinusztétel miatt: BM a a sin 0 sin00 sin80

27 Ekkor: NQ BN sin 0 a sin 0 sin 0 és sin 50 a sin 0 sin 0 MP BM sin 0 sin 80 sin 0 sin 0 MP NQ teljesül ha Ez igaz sin 50 sin80 mivel sin 0 sin80 sin 0 cos 0 sin 0 sin 50 0 Az ABC háromszög oldalai a b c területe t a ( b c) Határozza meg az a oldallal szemközti szög nagyságát Megoldás Az a oldallal szemközti szöget jelölje α bc sinα t a ( b c) a b + bc c azaz bc sinα bc a A koszinusztétel miatt: a b + c bc cosα azaz a b c bc cosα bc sinα Ezekből bc bc cosα sinα Osszunk bc-vel ( bc 0 ): cosα azaz sinα ( cosα) Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát: b c sin α cosα+ cos α Használjuk a sin α cos α azonosságot és rendezzük az egyenletet: 7 cos α cosα Az egyenlet gyökei: cos α 5 és cos α Az első gyök nem megoldása a feladatnak mert α cos α így α IV Ellenőrző feladatok Számolja ki cos 0 + cos 0 + cos00 + cos0 értékét számológép segítsége nélkül! Az a b c oldalú háromszög oldalaira fenn áll az + összefüggés Mutassa meg hogy a háromszögnek van 0 -os a + b b+ c a+ b+ c szöge Oldja meg a sin ( 0 + x) sin x egyenletet 7

28 Oldja meg a tg x + tg x 0 egyenlőtlenséget 5 Mekkora az ábrán látható ED szakasz? Egy egyenlő szárú háromszögben az alapon fekvő szög szinusza kétszerese a csúcsnál fekvő szög koszinuszának Mekkora a szárszög? Az ellenőrző feladatok megoldásai Számolja ki cos 0 + cos 0 + cos00 + cos0 értékét számológép segítsége nélkül! Megoldás: cos 0 + cos 0 + cos00 + cos0 cos 0 + cos 0 + cos00 + cos cos cos + cos00 + cos 0 cos80 cos0 + cos00 + cos 0 cos80 + cos00 + cos80 + ( cos80 ) + 8

29 Az a b c oldalú háromszög oldalaira fenn áll az + összefüggés Mutassa meg hogy a háromszögnek van 0 -os a + b b+ c a+ b+ c szöge Megoldás: A megadott feltétel átrendezett alakja: b a + c a c és ez a koszinusztétel szerint azt jelenti hogy a b oldallal szemközti β szögre cos β tehát β 0 Oldja meg a sin ( 0 + x) sin x egyenletet Megoldás: Az addíciós tétel miatt: sin 0 + cos 0 sin x sin x itt helyettesítsük az ismert szögfüggvényértékeket: sin x + Mivel 0 így oszthatunk vele és rendezés után: sin x sin tg x azaz x 0 + k 80 ahol k tetszőleges egész szám x azaz Oldja meg a tg x + tg x 0 egyenlőtlenséget Megoldás: Az egyenlet értelmezési tartományába az értékek tartoznak Az x + k k Z a tg x helyettesítés után az a + a 0 egyenlőtlenséget kapjuk Az y a + a parabola felfelé nyitott zérushelyei a 0 és a Így az a + a 0 egyenlőtlenség megoldásai az a illetve a 0 valós számok A tg x egyenlőtlenség megoldása + k < x + k a tg x 0 egyenlőtlenség megoldása 0 + k x< + k ahol k tetszőleges egész szám 9

30 5 Mekkora az ábrán látható ED szakasz? Megoldás: Az ABC háromszögben írjuk fel a koszinusz-tételt: cosγ ahol γ ACB DCE Innen cosγ A DCE háromszögben a koszinusz-tétel szerint DE + cos γ DE 7 Egy egyenlő szárú háromszögben az alapon fekvő szög szinusza kétszerese a csúcsnál fekvő szög koszinuszának Mekkora a szárszög? Megoldás Az alapon fekvő szögek nagysága α a szárszög sin α cosβ továbbá α + β 80 Ebből cosβ cos( 80 α) cos α sin α cos α sin α β Ekkor ezt az előbbi egyenletbe írva kapjuk a sin α sinα 0 egyenletet melynek gyökei ± + sinα Mivel α hegyesszög sinα α 57 7 és a szárszög 8 8 β

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) I. Geometriai egyenlőtlenségek, szélsőérték feladatok 1. Mivel az [ ] f :0; π ; xa sin xfolytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni,

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

Végeredmények, feladatok részletes megoldása

Végeredmények, feladatok részletes megoldása Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Nagy Ilona 2013.06.01.

Nagy Ilona 2013.06.01. Bevezető matematika példatár Kádasné Dr. V. Nagy Éva Nagy Ilona 0.06.0. Tartalomjegyzék Bevezető. Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel................. A logaritmus fogalma; arány-

Részletesebben

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93 . Mennyi az alábbi művelet eredménye? 4 + 4 : 5 : 5 + 8 07 9 A ) B ) C ) D ) E ) 9 9 9 9 9. Egy digitális órát (amely 4 órás üzemmódban működik) pontosan beállítottunk. Kiderült azonban, hogy egy nap átlagosan

Részletesebben

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT. Egy atlétika csapat alapozást tart. Robbanékonyságukat és állóképességüket 0 méteres síkfutással fejlesztik.

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Szóbeli érettségi gyakorló feladatok

Szóbeli érettségi gyakorló feladatok Szóbeli érettségi gyakorló feladatok Elméleti kérdések. Definiálja egy szám n-edik gyökét! Mondja ki az n-edik gyökre vonatkozó azonosságokat!. Definiálja a logaritmus fogalmát! Mondja ki a logaritmusra

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 062 É RETTSÉGI VIZSGA 2006 október 25 MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

1. Trigonometria. 1.1. Bevezetés

1. Trigonometria. 1.1. Bevezetés . Trigonometria.. Bevezetés Elöljáróban csak annyit: A szögekkel ideje lenne megtanulni rendesen számolni. Láttuk: Két vektor, vagy ha úgy tetszik, két erő összege igen kényes arra, hogy az összegzendők

Részletesebben

A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát. I.

A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát. I. Orosz Gyula, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Orosz Gyula; dátum: 005. november A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó Gyakorló

Részletesebben