13. Trigonometria II.

Átírás

1 Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája Tetszőleges α szög koszinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor első koordinátája Az α szöget az e vektor irányszögének nevezzük Ez a szög 0 -nál nagyobb is lehet Szoktuk használni a forgásszög megnevezést is Ha az e vektort az óramutató járásával azonos irányban forgatjuk akkor α < 0 Az x a sin x függvény jellemzése: értelmezve van tetszőleges x valós számra (A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza)

2 értékkészlete: [ ; ] a függvény szerint periodikus azaz sin x sin( x+ ) zérushelyei x k ahol k tetszőleges egész szám maximuma maximumhelyei + k ahol k tetszőleges egész szám minimuma minimumhelyei + k ahol k tetszőleges egész szám páratlan függvény azaz sin( x) sin x (a függvény az origóra szimmetrikus) a függvény szigorúan monoton növekedő a szigorúan monoton csökkenő a + k + k intervallumon ahol k tetszőle- ges egész szám + k + k intervallumon Az x a cos x függvény jellemzése: értelmezve van tetszőleges x valós számra (A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza) értékkészlete: [ ; ] a függvény zérushelyei szerint periodikus azaz cos( x+ ) x + k ahol k tetszőleges egész szám maximuma maximumhelyei k ahol k tetszőleges egész szám minimuma minimumhelyei + k ahol k tetszőleges egész szám páros függvény azaz cos ( x) (a függvény az y-tengelyre szimmetrikus) + intervallumon szigorú- a függvény szigorúan monoton csökkenő a [ 0 k + k] an monoton növekedő a [ k + k] szám + intervallumon ahol k tetszőleges egész

3 Az sin x x a tg x (ahol 0 azaz x + k k Z ) tangens függvény jellemzése: értelmezési tartománya minden olyan x valós szám amelyre értékkészlete a valós számok halmaza tg x tg x+ a függvény szerint periodikus azaz ( ) x + k k Z zérushelyei x k ahol k tetszőleges egész szám szélsőértékei nincsenek így nem korlátos függvény páratlan függvény azaz tg( x) tg x (a függvény az origóra szimmetrikus) a függvény szigorúan monoton növekedő a + k + k intervallumon ahol k tetszőleges egész szám Az x a ctg x (ahol sin x 0 azaz x k k Z ) kotangens függvény jellemzése: sin x értelmezési tartománya minden olyan x valós szám amelyre értékkészlete a valós számok halmaza ctg x ctg x+ a függvény szerint periodikus azaz ( ) zérushelyei + k ahol k tetszőleges egész szám szélsőértékei nincsenek így nem korlátos függvény x k k Z

4 páratlan függvény azaz ctg( x) ctg x a függvény szigorúan monoton csökkenő a ] + k ; + k [ 0 intervallumon ahol k tetszőleges egész szám (a függvény az origóra szimmetrikus) Néhány összefüggés a szögfüggvények között Addíciós tételek: sin sin tg ( α + β) sinα cosβ + cosα sinβ cos( α + β) cosα cosβ sinα sinβ ( α β) sinα cosβ cosα sinβ cos( α β) cosα cosβ + sinα sinβ tgα + tgβ tgα tgβ ( α + β) tg( α β) tgα tgβ + tgα tgβ Kétszeres szög szögfüggvényei: sin α sinα cosα cos α cos α sin α Összegek szorzattá alakítása: α + β α β sinα + sinβ sin cos α β α + β sinα sinβ sin cos α + β α β cosα + cosβ cos cos α + β α β cosα cosβ sin sin

5 Szorzatok összeggé alakítása: sin α sinβ + [ cos( α β) cos( α β) ] cos α cosβ + [ cos( α β) + cos( α β) ] sin α cosβ + [ sin( α β) + sin( α β) ] A háromszög oldalai és szögei között két jól ismert összefüggés van Szinusztétel: A háromszög két oldalának aránya egyenlő az oldalakkal szemközti szögek szinuszainak arányával: a : b sinα : sinβ Koszinusztétel: A háromszög valamely oldalának négyzetét megkaphatjuk ha a másik két oldal négyzetösszegéből kivonjuk ugyanezen két oldal és az általuk bezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát: c a + b ab cosγ II Kidolgozott feladatok Pozitív vagy negatív szám sin 55? Megoldás: < 55< + és 0 sin > sin 55> sin + 5

6 Melyik nagyobb: sin vagy sin? Megoldás: sin sin( ) így az a kérdés sin( ) vagy sin a nagyobb? Mindkét szög az első síknegyedben van ahol a szinusz függvény szigorúan monoton növekszik Ezért azt kell vizsgálnunk hogy vagy a nagyobb? Tegyük fel hogy az első érték a nagyobb vizsgáljuk ezt > 0( ) > 59 > 80 > és ez igaz mert > > Tehát a feltevés igaz ezért sin a nagyobb 59 Mennyi a cos70 cos0 + cos80 cos 0 cos9 cos9 + cos8 cos kifejezés értéke? Megoldás: cos α sin( 90 α) és a cos( α β) cos0 cos0 -ra ismert addíciós tétel miatt cos70 cos0 + cos80 cos 0 cos70 cos0 + sin0 sin 70 cos cos9 cos9 + cos8 cos cos9 cos9 + sin 9 sin 9 cos ( 70 0 ) ( 9 9 ) Igazolja az alábbi egyenlőségeket! a) sin 5 + sin 5 sin 75 b) cos 0 cos 0 cos80 8 a) I Megoldás: sin 5 sin( 5 0 ) sin 5 cos0 cos5 sin 0 azaz sin 75 sin ( ) sin5 Továbbá sin 5 cos0 + cos 5 sin 0 + sin 5 és tehát + sin 75 Ezeket az értékeket helyettesítsük a sin 5 + sin 5 sin 75 kifejezésbe és látjuk hogy helyes az egyenlőség a) II Megoldás: sin 5 + sin5 sin cos sin 0 cos5 sin( 90 5 ) sin 75

7 b) A sin α sinα cosα azonosságot alkalmazzuk az átalakítások során ( sin 0 cos 0 ) cos 0 cos80 sin 0 cos 0 cos80 cos 0 cos 0 cos80 sin 0 sin 0 sin 0 cos 0 cos80 ( sin 0 cos 0 ) cos80 sin 80 cos80 így folytatva sin 0 sin 0 sin 0 sin 80 cos80 sin 80 cos80 sin0 sin 0 továbbá sin 0 8sin 0 8sin 0 8sin Igazolja az alábbi állításokat! a) sin 0 sin 50 cos0 b) + + > 5 sin 0 cos 0 Megoldás: a) sin α sinβ [ cos( α β) cos( α + β) ] miatt sin 0 sin 50 ( cos0 cos90 ) cos0 cos0 cos0 cos0 b) mivel sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 > > és > ezekből sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 sin 80 adódik a kívánt egyenlőtlenség Mutassa meg hogy az alábbi egyenleteknek nincs megoldása a valós számok körében! a) 5 sin x + 7 b) sin x + sin x+ sin x c) sin x sin 0 d) sin x sin( x+ ) e) sin x sin x+ 7

8 Megoldás: a) sin x és ezért 5sin x + 7 Az egyenlőtlenségben akkor lesz egyenlőség ha sin x és mindegyike teljesül ugyanarra az x számra ami nem lehetséges b) sinα ezért sin x + sin x+ sin x Egyenlőség csak úgy lehet ha x megoldása a sin x sin x és sin x egyenleteknek Az egyenletek megoldásai rendre k + + m + n ahol a k m n számok tetszőleges egész számok Ennek a három számhalmaznak nincs közös eleme az egyenleteknek nincs közös megoldása ezért az eredeti egyenletnek sincs c) sin x sin 0 azaz sin x sin 0 > és ez sosem teljesül x mert x d) sin sin( x+ ) 0 nulla sin ellentétes előjelű vagy mindkettő sin és ( x+) e) sin x miatt sin x sin x+ csak úgy lehet ha mindkét tényező vagy ha mindkét tényező ami nem teljesülhet 7 Oldja meg a sin x egyenletet! Megoldás: sin x ± Ha sin x akkor vagy x + k x + k 5 5 vagy x + k x + k ahol k Ζ Ha sin x akkor vagy x + k x + k 5 5 vagy x + k x + k ahol k Ζ 8 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x + 0 b) sin x + c) + sin x sin x+ 8

9 a) I Megoldás: sin x cos x A 0 megoldásai egyenletünknek nem megoldásai így oszthatunk -el nem veszítünk gyököt: tg x a megoldás sin x x + k ahol k Ζ a) II Megoldás: Emeljük négyzetre mindkét oldalt: sin x + + sin x 0 azaz + sin x 0 + sin x 0 sin x így x + k x + k k Ζ Ellenőrzés mutatja hogy ezek mind megoldások a négyzetre emeléssel most nem kaptunk hamis gyököt (Hiszen az a 0 és az a 0 egyenletek ekvivalensek) a) III Megoldás: Szorozzuk az egyenletet -vel: sin x + 0 azaz cos sin x + sin sin x+ 0 így x + k x + k ahol k Ζ b) I Megoldás: Emeljük négyzetre mindkét oldalt sin x + + sin x azaz sin x 0 Ha sin x 0 akkor x k k Ζ ; ha 0 akkor x + k k Ζ A négyzetre emelés általában bővíti az egyenlet megoldásainak halmazát emiatt a kapott megoldásokat ellenőrizni kell nézzük meg egy perióduson belül a lehetséges gyököket A gyökök egy része kiesik (a hamis gyökök a * * sin x + megoldásai) a megoldások x k k Ζ és x + k k Ζ b) II Megoldás: Szorozzuk az egyenletet -vel: sin x + azaz cos sin x + sin sin x+ így x k x k + + illetve x+ + k x + k ahol k Ζ c) sin x sin x+ cos x+ sin x ( sin x+ ) ( sin x+ ) sin x+ alakba Az a a( a ) 0 + miatt egyenletünk átírható a egyenlet gyökei a 0 és a A sin x + 0 egyenlet megoldása az a) feladat szerint: x + k ahol k Ζ A sin x + megoldásai a b) feladat szerint: x k x + k k Ζ A gyökök: x + k x k x + k k Ζ 9

10 9 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x sin x b) sin x sin x c) sin x d) tg x ctg x Megoldás: a) Ha sin α sinβ akkor α β + k vagy α + β + k ahol k Ζ k Ezért x x+ k azaz x k Ζ vagy x+ x + k azaz ( k+ ) x k Ζ 5 b) A sin( α) sinα azonossággal az előbbi típusú egyenlethez jutunk: a egyenlet helyett a x sin( x) sin x sin x k x x+ k azaz x k Ζ 5 ( k+ ) azaz x k Ζ c) sin x cos x így vagy vagy sin egyenletet vizsgáljuk Így vagy x x + k vagy + ( ) k x x + k azaz x + k Ζ 0 5 k x+ x k azaz x + k Ζ tg x ctg x ctg x tg + x d) ( ) így ( k ) + x + x+ k x k Ζ 0 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) tg x b) tg x + ctg x+ 0 Megoldás: a) Az egyenlet értelmezési tartományába az x 90 + k 80 k Z értékek tartoznak sin x innen cos x sin x azaz sin x sin x Rendezzük az egyenletet: sin x + sin x 0 Ennek a sin x -re másodfokú egyenletnek a gyökei: ( sin x ) ( sin x ) Az első érték kisebb -nél így annak az egyenletnek nincs megoldása A második egyenlet gyökei adják egyenletünk megoldásait: x x ahol k tetszőleges egész szám k k 0

11 b) Az egyenlet értelmezési tartományába az x 0 + k 90 k Z értékek tartoznak tg x Az a tg x helyettesítés után az egyenlet: a + a+ 0 En- tg x nek megoldásai: a a Ha tg x akkor x 57 + k 80 ; ha tg x akkor x ahol k tetszőleges egész szám k Oldja meg a sin x cosx sin x cos5x egyenletet! Megoldás: Használjuk a szorzatot összeggé alakító azonosságot: sin α cosβ [ sin( α + β) + sin( α β) ]; illetve a különbséget szorzattá alakító azonosságot: α β α + β sinα sinβ sin cos ( sin 5x sin x) ( sin 9x sin x) így sin 9x sin 5x 0 azaz sin x cos7x 0 k Ezért sin x 0 vagy cos 7x 0 Megoldás x k x + ahol k Ζ 7 Oldja meg az egyenlőtlenségeket a) sin x > b) sin x> c) sin x + sin x > 0 Megoldás: a) Tekintsük a trigonometrikus egységkört sin és sin sin α > pontosan akkor ha + k < α < + k

12 Ezért a sin x > egyenlőtlenség megoldása: k k k Z + ; + b) Ábrázoljuk a függvényeket és innen leolvasható a megoldás Megoldás: 5 + k ; + k k Z c) sin x + sin x > 0 innen az a sin x helyettesítés után az a + a > 0 egyenlőtlenséget kapjuk Az y a + a parabola felfelé nyitott zérushelyei a és a Így az a + a > 0 egyenlőtlenség megoldásai az a < illetve a > valós számok A sin x < egyenlőtlenségnek nincs megoldása 5 a sin x > megoldása k k k Z + ; + Az ABC derékszögű háromszög derékszögű C csúcsából induló szögharmadolók az átfogót a D és E pontban metszik és CE Mekkorák a háromszög hegyesszögei? CD

13 Megoldás A szögharmadolók 0 -os szögekre osztják a derékszöget CED α + 0 és CDE 0 α A CED háromszögben írjuk fel a szinusztételt: ( 0 + α) sin( α) sin 0 5 sinα cosα CE CD ( α) ( 0 + α) sin 0 sin tg α α 9 0 és így 90 α A háromszög hegyesszögei és A hegyesszögű ABC háromszög a és b oldalához tartozó magasságok hossza m a és és ezek egymással α szöget zárnak be Mutassa meg hogy ma + mb mamb cosα c sinα m b Megoldás Az ABC háromszög C csúcsánál levő szöge is α így m b a sinα m b a Írjuk fel a koszinusztételt: sinα mb ma ma mb c a + b ab cosα + cosα sin α sin α sin α azaz ma + mb mamb cosα c sinα

14 5 Az ABC háromszögben AC BC Az AC oldalon felvesszük a D és E pontokat úgy hogy AD DE EC legyen Számítsa ki a háromszög területét ha BD 8 5 és BE 0 Megoldás sin α értékét kell meghatározni t ABC AC BC sinα 9x sinα tehát x és x + 9x 00 A koszinusztétel miatt a BCE háromszögből cosα a BCD három- x x + 9x 75 szögből cosα x x + 9x 00 x + 9x 75 Az egyenlet megoldása x 8 5 így x x 55 8 cos α és sin α A háromszög területe t ABC 5 területegység 7 Egy háromszög oldalainak hossza: n + n+ n+ n ahol n -nél nagyobb egész szám Mutassa meg hogy a háromszögnek van 0 -os szöge Megoldás: Írjuk fel a koszinusztételt: ( + n+ ) ( n+ ) + ( n ) ( n+ ) ( n ) cosγ n Innen átalakítások után kapjuk: cosγ tehát γ 0

15 7 Egy háromszög oldalainak hossza egy olyan számtani sorozat három egymást követő eleme amelynek differenciája A háromszög területének mérőszáma kétszer akkora mint a kerület mérőszáma Mekkorák az oldalak? Megoldás A háromszög oldalai a a a+ A háromszög kerülete a ( a+ )( a ) sinα a A háromszög területe a innen sinα a a a+ + a a+ a cos Írjuk fel a koszinusztételt: ( ) ( ) ( )( ) α a + cosα ( a ) innen a a + Mivel sin α + cos α így + ebből rendezéssel: a ( a ) a 588a 0 a ( a 9) 0 Mivel a 0 ezért a 9 0 innen a A háromszög oldalainak hossza 5 egység III Ajánlott feladatok Melyik a nagyobb: sin sin vagy sin? sin Igazolja az alábbi egyenlőségeket! a) tg 5 + ctg5 b) sin 0 sin 70 cos50 Igazolja az alábbi állításokat! a) cos sin + b) ( ctg )( ctg ) Hozza egyszerűbb alakra a bal oldali oszlopban álló kifejezéseket Az eredményeket a jobb oldali oszlopban felsoroltuk csak más sorrendben Keresse meg az összetartozó párokat (A) sin x (a) sin x + y y (b) (B) ( ) ( ) (C) ( x+ y) sin( x y) sin (c) sin x 5

16 (D) (E) (F) (G) sin x tg x tg x ctg y tg y ctg x tg x ctg y tg y ctg x tg x+ ctg x (d) (e) (f) (g) sin x sin sin (H) (h) sin x sin y + sin x (I) sin x tg x+ (i) tg x tg y (J) ctg x+ sin x (j) tg x ctg y x y 5 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) ( x ) b) + sin x c) sin x sin x Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x sin x + 0 b) sin x + sin x 7 Oldja meg a sin x ( + ) + + egyenletet! 8 Oldja meg a sin 8x sin x egyenletet! 9 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x + 5 b) sin x Oldja meg a cosx cos5x cosx cos7x egyenletet! Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a) 0 b) sin x c) ctg x < Oldja meg a sin x + < egyenlőtlenséget Az ABCD négyzetbe írtuk az AEF egyenlő szárú háromszöget ahol E a BC oldalon F a DC oldalon nyugszik és AE AF Ha tg AFE akkor mennyi cos EAB? Mutassa meg ha ABCDEFGHI szabályos kilencszög akkor AF AB+ AC

17 5 Az ABC háromszögben AB 8 AC BAC < 0 és az A csúcsból induló szögfelező a szemközti oldalt a D pontban metszi Mekkora a CD szakasz? Egy 5 egység sugarú körbe írt háromszög két oldala 7 és 9 egység Mekkora a harmadik oldal? 7 Egy háromszög oldalainak hossza n n n+ ahol n egész szám és a háromszög legnagyobb szöge kétszerese a legkisebb szögének Mekkorák a háromszög oldalai? 8 Egységsugarú félkörbe téglalapot írtunk melynek két csúcsa az átmérőn két másik csúcsa a félköríven nyugszik Legfeljebb mekkora lehet a téglalap területe? 9 Az ABC szabályos háromszögben felvettük az M és N pontokat úgy hogy MAB MBA 0 NAB 0 NBA 0 Bizonyítsa be hogy MN párhuzamos BC-vel 0 Az ABC háromszög oldalai a b c területe t a ( b c) Határozza meg az a oldallal szemközti szög nagyságát Az ajánlott feladatok megoldásai Melyik a nagyobb: sin sin vagy sin? sin sin sin sin sin sin sin I Megoldás: mivel sin sin sin sin sin sin ( cos cos5 ) és sin sin ( cos cos5 ) miatt a tört ( cos cos5 ) ( cos cos5 ) cos cos sin sin sin < 0 sin sin sin sin sin sin sin sin Ezekből következik hogy a nagyobb sin a na- sin sin sin sin cos cos5 II Megoldás: : < így sin sin sin sin cos cos5 gyobb sin sin Igazolja az alábbi egyenlőségeket! a) tg 5 + ctg5 b) sin 0 sin 70 cos50 7

18 Megoldás: sin5 cos5 sin 5 + cos 5 a) tg5 + ctg5 + cos5 sin5 cos5 sin5 cos5 sin5 és sin α sinα cosα miatt: cos5 sin5 cos5 sin5 sin 0 b) α cos( 90 α) sin és sin α sinα cosα így sin 0 sin 0 sin 70 ( sin 0 cos 0 ) cos50 cos50 cos50 Igazolja az alábbi állításokat! a) cos sin + b) ( ctg )( ctg ) Megoldás: a) cos sin cos sin cos + sin cos és cos cos ( 0 5 ) + + cos cos ctg ctg sin sin b) ( )( ) sin cos sin cos sin sin ( ) sin( ) sin ( 5 ) sin( 5 ) sin sin sin sin sin sin sin sin sin ctgβ ctgα + Más megoldás Használjuk a ctg( α β) összefüggést ctgβ ctgα ctg ctg 5 + ctg ctg 5 ( ctg( 5 ))( ctg ) ( ctg ) ctg + ctg ctg ctg ctg ( ctg ) ctg ( ctg ) ( ctg ) 8

19 Hozza egyszerűbb alakra a bal oldali oszlopban álló kifejezéseket Az eredményeket a jobb oldali oszlopban felsoroltuk csak más sorrendben Keresse meg az összetartozó párokat (A) sin x (a) sin x + y y (b) (B) ( ) ( ) (C) ( x+ y) sin( x y) (D) (E) (F) (G) sin (c) sin x sin x tg x tg x ctg y tg y ctg x tg x ctg y tg y ctg x tg x+ ctg x (d) (e) (f) (g) sin x sin sin (H) (h) sin x sin y + sin x (I) sin x tg x+ (i) tg x tg y (J) ctg x+ sin x (j) tg x ctg y x y Megoldás: (A) (f) (B) (g) (C) (h) (D) (b) (E) (i) (F) (j) (G) (c) (H) (a) (I) (e) (J) (d) 5 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) ( x ) b) + sin x c) sin x sin x Megoldás: a) Ha 0 akkor x + k ahol k tetszőleges egész szám Ezek megoldásai az egyenletnek Ha cos 0 Ha cos > 0 x akkor x akkor ( x ) azaz ( ) x x vagy x A > 0 feltételt x teljesíti ezért ez is megoldása egyenletünknek Ha < 0 akkor ám az ( x ) egyenletnek nincs megoldása Az ( x ) egyenlet megoldásai x és x + k ahol k tetszőle- ges egész szám 9

20 b) + sin x miatt az egyenletnek akkor van megoldása ha + sin x és teljesül A megoldás: x k ahol k tetszőleges egész szám Másképp: + sin x + azaz cos x + 0 Ennek gyökei és ezek közül csak lehetséges a megoldás x k ahol k tetszőleges egész szám 0 sin x c) sin x miatt az egyenletnek akkor van megoldása ha az egyenlet mindkét oldala azaz ha sin x és sin x 0 egyszerre teljesül ami nem lehetséges Az egyenletnek nincs megoldása Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x sin x + 0 b) sin x + sin x Megoldás: a) Ha 0 lenne akkor az egyenlet miatt sin x 0 ami lehetetlen Ezért most 0 oszthatunk -el és így kapjuk a tg x tg x+ 0 másodfokú egyenletet Ennek gyökei tg x és tg x ahonnan x + k és x 07+ k ahol k Ζ b) Ha 0 lenne akkor az egyenlet miatt sin x ami lehetetlen Ezért most 0 oszthatunk -el azonban a kapott tg x+ tg x egyenlet most nem lesz tg x -re nézve másodfokú egyenlet Használjuk hogy ( sin + ) sin x sin x ( sin x+ ) x ezért egyenletünk előbb a + azaz a sin x + sin x 0 alakot ölti majd a -el való osztás után kapjuk a tg x + tg x 0 egyenletet Ennek gyökei: tg x és tg x ahonnan x 0 5+ k és x 850+ k ahol k Ζ 7 Oldja meg a sin x ( + ) + + Megoldás: Ha akkor egyenletet! sin x ám ennek nincs megoldása Ezért ha egyen- 0 Szorozzuk az egyenletet letünknek megoldása x akkor ( ) -el ( ) sin x sin x sin x + 0

21 Mivel Ezért sin x sin x és sin x + így sin x + sin x sin x és x ( cos ) 0 x cos azaz sin ( sin x ) 0 x és Mivel így 0 Ha 0 akkor sin x ± ám sin x sin x miatt csak sin x lehet ( ) 0 Így az egyenlet megoldása x k + ahol k Ζ 8 Oldja meg a sin 8x sin x egyenletet! Megoldás: sin x így az egyenlet sin 8x + 0 alakban írható Mivel sin 8x 0 0 így sin 8x + 0 csak úgy lehet ha sin 8x 0 és cos x 0 azaz sin 8x 0 és 0 A sin 8x 0 egyenlet k megoldásai: 8 x k így x k Ζ A 0 egyenlet megoldásai: 8 k x + k így x + k Ζ Olyan x szám lehet csak az egyenlet megoldása amelyre sin 8x 0 és 0 is teljesül így a megoldások: 8 k x + k Ζ 8 9 Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x + 5 b) sin x + 5 Megoldás: a) sin x + mivel + így van olyan ϕ hegyesszög amelyre cos ϕ és sin ϕ (gondoljunk a sin ϕ + cos ϕ összefüggésre) Ez a szög 5 5 ϕ sin x + 5 sin x+ cosϕ sin x+ sinϕ sin( x+ ϕ) azaz sin ( +ϕ) ( ) ennek megoldása x x k 0 így x 87 + k 0 ahol k tetszőleges egész szám 5 b) + 5 így + Legyen ϕ olyan hegyesszög amelyre cos ϕ ez a szög ϕ 5

22 Osszuk az egyenletet -gyel és ezután alkalmazható az addíciós tétel: 5 sin x + cos ϕ sin x+ sinϕ vagyis sin ( x +ϕ) sin( x + 5 ) sin 9 5 tehát x k 0 x 8 + k 0 x 5 k x k 0 ahol k tetszőleges vagy + ( ) + 0 egész szám 0 Oldja meg a cosx cos5x cosx cos7x egyenletet! Megoldás: Használjuk a szorzatot összeggé alakító azonosságot: cos α cosβ [ cos( α + β) + cos( α β) ] Így ( cos9x+ ) ( cosx+ ) cos 9x cosx 0 α + β β α A cosα cosβ sin sin azonosság miatt egyenletünk a következő alakot ölti: sin x sin x 0 Ezért sin x 0 x k vagy sin x 0 x k ahol k Ζ Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a) 0 b) sin x c) ctg x < Megoldás: a) + k ; + k k Z 5 b) + k ; + k k Z c) + k; k k Z

23 Oldja meg a sin x + < egyenlőtlenséget Megoldás: Az sin x + cosx< azaz cos sin x+ sin < és az addíciós tétel miatt sin x + < 5 Ennek megoldása + k < x+ < + k így + k < x< + k azaz + k < x< + k ahol k tetszőleges egész szám Az ABCD négyzetbe írtuk az AEF egyenlő szárú háromszöget ahol E a BC oldalon F a DC oldalon nyugszik és AE AF Ha tg AFE akkor mennyi cos EAB? Megoldás: Az ábra az AC átlóra szimmetrikus így az A-nál lévő szög: α + így β α 5 ahol AFE α EAB β ( ) β cos β cos( α 5 ) ( cosα + sinα) Mivel tg α így sin α cosα és sin α + cos α miatt cos α innen sin α és cos β

24 Mutassa meg ha ABCDEFGHI szabályos kilencszög akkor AF AB+ AC Megoldás: Tudjuk hogy ha egy r sugarú körben az a hosszúságú húrhoz α kerületi 0 szög tartozik akkor a r sinα A szabályos kilencszög egy oldalához 0-9 os középponti szög és 0 -os kerületi szög tartozik Az AB húrhoz 0 -os az AC húrhoz 0 -os és az AF húrhoz 80 -os kerületi szög tartozik Ezek miatt az AF AB+ AC egyenlőség felírható a következő alakban: r sin80 r sin 0 + r sin 0 A sin80 sin 0 + sin 0 összefüggést kell α + β α β igazolnunk A sinα+ sinβ sin cos azonosság miatt sin 0 + sin 0 sin 0 cos0 cos0 és cos 0 sin80 így sin 0 + sin 0 sin80 5 Az ABC háromszögben AB 8 AC BAC < 0 és az A csúcsból induló szögfelező a szemközti oldalt a D pontban metszi Mekkora a CD szakasz? Megoldás: A koszinusz-tétel miatt: BC cos0 7 7 A szögfelező-tétel miatt CD DB így CD BC 7 8

25 Egy 5 egység sugarú körbe írt háromszög két oldala 7 és 9 egység Mekkora a harmadik oldal? Megoldás: Ha az r sugarú körbe írt háromszög a oldalával szemben α szög van akkor a r sinα Így 9 0 sinα 7 0 sinβ A háromszög oldalai a 9 b 7 és c a szemközti szögek rendre α β γ Ez a háromszög hegyesszögű mert Ha sin α 9 0 akkor cos α 7 > ; valamint ha sin β 7 0 akkor 5 cos β 0 9 sinγ sin sinα cosβ + cosα sinβ ( 80 ( α+ β) ) A c r sinγ összefüggés alapján: c Megjegyzés: Számolhatunk számológéppel is Ha sin α akkor α és 0 7 sin β miatt β ezért γ 80 ( α + β) 7 0 A c r sinγ összefüggést használva c Egy háromszög oldalainak hossza n n n+ ahol n egész szám és a háromszög legnagyobb szöge kétszerese a legkisebb szögének Mekkorák a háromszög oldalai? Megoldás: A háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van így ha a n n+ kisebb szög α akkor a szinusz-tétel szerint: azaz sinα sin α n n+ n+ és így cosα sinα sinα cosα n ( ) Most írjuk fel a koszinusztételt: ( ) n + ( n+ ) n( n+ ) cosα n+ n ( ) n + ( n+ ) n( n+ ) n innen ( n ) Ebből a műveletek és az összevonások elvégzése után n 5 Tehát a háromszög oldalai 5 és egység hosszúak 5

26 8 Egységsugarú félkörbe téglalapot írtunk melynek két csúcsa az átmérőn két másik csúcsa a félköríven nyugszik Legfeljebb mekkora lehet a téglalap területe? Megoldás: Az ábrán látható adatokkal felírhatjuk a téglalap területét t cosα sinα sin α Mivel sin α így a téglalap területe legfeljebb területegység A téglalap területe ezt az értéket felveszi ha α 5 (Ekkor a téglalap egyik oldala kétszerese a másik oldalának) 9 Az ABC szabályos háromszögben felvettük az M és N pontokat úgy hogy MAB MBA 0 NAB 0 NBA 0 Bizonyítsa be hogy MN párhuzamos BC-vel Megoldás Az M és az N pontok merőleges vetülete a BC oldalon P és Q Az MN párhuzamos BC-vel ha MP NQ BN a a A BAN háromszögben a szinusztétel miatt: sin 0 sin0 sin50 A BAM háromszögben a szinusztétel miatt: BM a a sin 0 sin00 sin80

27 Ekkor: NQ BN sin 0 a sin 0 sin 0 és sin 50 a sin 0 sin 0 MP BM sin 0 sin 80 sin 0 sin 0 MP NQ teljesül ha Ez igaz sin 50 sin80 mivel sin 0 sin80 sin 0 cos 0 sin 0 sin 50 0 Az ABC háromszög oldalai a b c területe t a ( b c) Határozza meg az a oldallal szemközti szög nagyságát Megoldás Az a oldallal szemközti szöget jelölje α bc sinα t a ( b c) a b + bc c azaz bc sinα bc a A koszinusztétel miatt: a b + c bc cosα azaz a b c bc cosα bc sinα Ezekből bc bc cosα sinα Osszunk bc-vel ( bc 0 ): cosα azaz sinα ( cosα) Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát: b c sin α cosα+ cos α Használjuk a sin α cos α azonosságot és rendezzük az egyenletet: 7 cos α cosα Az egyenlet gyökei: cos α 5 és cos α Az első gyök nem megoldása a feladatnak mert α cos α így α IV Ellenőrző feladatok Számolja ki cos 0 + cos 0 + cos00 + cos0 értékét számológép segítsége nélkül! Az a b c oldalú háromszög oldalaira fenn áll az + összefüggés Mutassa meg hogy a háromszögnek van 0 -os a + b b+ c a+ b+ c szöge Oldja meg a sin ( 0 + x) sin x egyenletet 7

28 Oldja meg a tg x + tg x 0 egyenlőtlenséget 5 Mekkora az ábrán látható ED szakasz? Egy egyenlő szárú háromszögben az alapon fekvő szög szinusza kétszerese a csúcsnál fekvő szög koszinuszának Mekkora a szárszög? Az ellenőrző feladatok megoldásai Számolja ki cos 0 + cos 0 + cos00 + cos0 értékét számológép segítsége nélkül! Megoldás: cos 0 + cos 0 + cos00 + cos0 cos 0 + cos 0 + cos00 + cos cos cos + cos00 + cos 0 cos80 cos0 + cos00 + cos 0 cos80 + cos00 + cos80 + ( cos80 ) + 8

29 Az a b c oldalú háromszög oldalaira fenn áll az + összefüggés Mutassa meg hogy a háromszögnek van 0 -os a + b b+ c a+ b+ c szöge Megoldás: A megadott feltétel átrendezett alakja: b a + c a c és ez a koszinusztétel szerint azt jelenti hogy a b oldallal szemközti β szögre cos β tehát β 0 Oldja meg a sin ( 0 + x) sin x egyenletet Megoldás: Az addíciós tétel miatt: sin 0 + cos 0 sin x sin x itt helyettesítsük az ismert szögfüggvényértékeket: sin x + Mivel 0 így oszthatunk vele és rendezés után: sin x sin tg x azaz x 0 + k 80 ahol k tetszőleges egész szám x azaz Oldja meg a tg x + tg x 0 egyenlőtlenséget Megoldás: Az egyenlet értelmezési tartományába az értékek tartoznak Az x + k k Z a tg x helyettesítés után az a + a 0 egyenlőtlenséget kapjuk Az y a + a parabola felfelé nyitott zérushelyei a 0 és a Így az a + a 0 egyenlőtlenség megoldásai az a illetve a 0 valós számok A tg x egyenlőtlenség megoldása + k < x + k a tg x 0 egyenlőtlenség megoldása 0 + k x< + k ahol k tetszőleges egész szám 9

30 5 Mekkora az ábrán látható ED szakasz? Megoldás: Az ABC háromszögben írjuk fel a koszinusz-tételt: cosγ ahol γ ACB DCE Innen cosγ A DCE háromszögben a koszinusz-tétel szerint DE + cos γ DE 7 Egy egyenlő szárú háromszögben az alapon fekvő szög szinusza kétszerese a csúcsnál fekvő szög koszinuszának Mekkora a szárszög? Megoldás Az alapon fekvő szögek nagysága α a szárszög sin α cosβ továbbá α + β 80 Ebből cosβ cos( 80 α) cos α sin α cos α sin α β Ekkor ezt az előbbi egyenletbe írva kapjuk a sin α sinα 0 egyenletet melynek gyökei ± + sinα Mivel α hegyesszög sinα α 57 7 és a szárszög 8 8 β