Az M A vektor tehát a három vektori szorzat előjelhelyes összege:

Átírás

1 1. feladat Határozza meg a T i támadáspontú F i erőrendszer nyomatékát az A pontra. T 1 ( 3, 0, 5 ) T 1 ( 0, 4, 5 ) T 1 ( 3, 4, 2 ) F 1 = 0 i j + 0 k F 2 = 0 i 100 j 400 k F 3 = 100 i 100 j k A ( 2, 2, 4 ) Definíció szerint: M A = M i + r i xf i ahol az r vektor az A pontból a T i támadáspontba mutató vektor. r 1 = +1 i 2 j + 1 k r 2 = 2 i + 2 j + 1 k r 3 = +1 i + 2 j 2 k M i = 0 mivel a rendszer nem tartalmaz koncentrált nyomatékot. r 1 xf 1 = = 300 i + 0 j k r 2 xf 2 = = 700 i 800 j k r 3 xf 3 = = 800 i 700 j 300 k Az M A vektor tehát a három vektori szorzat előjelhelyes összege: M A = 200 i 1500 j k dr. Galambosi Frigyes Oldal 1

2 2. feladat Határozzuk meg az alábbiakban megadott erőrendszer nyomatékát az A és B pontokra! F 1 = F 1 = 500 [N] F 2 = F 2 = 400 [N] F 1 = F 3 = 300 [N] M 1 = M 1 = 200 [Nm] a = 3 m b = 4 m c = 5 m Az erők vektoros alakja: F 1 = F 1 e 1 = i + 3 j + 0 k = 400 i j + 0 k F 2 = F 2 e 2 = 400 ( k ) = 0i + 0 j 400 k F 3 = F 3 e 3 = 300 (i ) = 300i + 0 j + 0 k A nyomaték vektoros alakja: M 1 = 0 i 200 j + 0 k Az A pontra számított nyomatékvektor meghatározása: Definíció szerint az A ponthoz tartozó nyomatékvektor: M A = M i + r i xf i ahol az r vektor az A pontból a T i támadáspontba mutató vektor. r 1 = +0 i 3 j + 5 k r 2 = +0 i + 0 j + 0 k r 3 = +0 i 3 j 0 k M i = M 1 = 0 i 200 j + 0 k r 1 xf 1 = = 1500 i 2000 j 1200 k r 2 xf 2 = = 0 i + 0 j + 0 k dr. Galambosi Frigyes Oldal 2

3 r 3 xf 3 = = 0 i + 0 j k Az M A vektor tehát a négy résznyomaték előjelhelyes összege: M A = 1500 i 2200 j 300 k Az B pontra számított nyomatékvektor meghatározása: Definíció szerint az A ponthoz tartozó nyomatékvektor: M B = M i + r i xf i ahol az r vektor az B pontból a T i támadáspontba mutató vektor. r 1 = +4 i + 0 j + 0 k r 2 = +4 i + 3 j + 0 k r 3 = +0 i + 0 j 5 k M i = M 1 = 0 i 200 j + 0 k r 1 xf 1 = = 0 i + 0 j k r 2 xf 2 = = 1200 i j + 0 k r 3 xf 3 = = 0 i 1500 j + 0 k Az M B vektor tehát a négy résznyomaték előjelhelyes összege: M B = 1200 i 100 j k Az B pontra számított nyomatékvektor meghatározása más módszerrel: Határozzuk meg az eredeti vektorrendszer eredő vektorkettősét az A pontra. Ebből az M A nyomatékvektort már előállítottuk. dr. Galambosi Frigyes Oldal 3

4 Az erő vektorkettős másik tagja: F A = F = F i =-100 i j 400 k Definíció szerint: M B = M i + r i xf i ahol M i = M A r i = r BA = 4 i + 3 j 5 k r BA xf A = = 300 i j k Ezekkel az értékekkel: M B = 1200 i 100 j k Ami természetesen megegyezik az előző számítás alapján kapott értékkel. dr. Galambosi Frigyes Oldal 4

5 3. feladat Határozzuk meg a megadott erőrendszer nyomatékét az A és B pontokat összekötő egyenesre! F 1 = F 2 = 400 M 1 = 800 [N] [N] [Nm] a = 4 m b = 5 m c = 3 m Az erők vektoros alakja: 5 i + 0 j 3 k F 1 = F 1 e 1 = = 1000 i + 0 j 600 k i 4 j 3 k F 2 = F 2 e 2 = 400 = 0 i 320 j k A nyomaték vektoros alakja: M 1 = 0 i + 0 j k Az A pontra számított nyomatékvektor meghatározása: Definíció szerint az A ponthoz tartozó nyomatékvektor: M A = M i + r i xf i ahol az r vektor az A pontból a T i támadáspontba mutató vektor. r 1 = +0 i + 4 j + 0 k r 2 = +5 i + 0 j + 0 k r 1 xf 1 = = 2400 i + 0 j 4000 k r 2 xf 2 = = 2400 i 1200 j 4800 k dr. Galambosi Frigyes Oldal 5

6 Ugyanezt az eredmény kapjuk akkor is, ha összevonjuk a két erőt és a helyvektort a közös támadáspontba irányítjuk. F 1 + F 2 = 1000 i 320 j 360 k r = 5 i + 4 j 3 k M A = M i + r i xf i M 1 = 0 i + 0 j k r 1 x(f 1 + F 2 ) = = 2400 i 1200 j 5600 k M A = 2400 i 1200 j 4800 k A t tengelyre számított nyomaték meghatározása: M t = M A e t e t = AB +5 i + 4 j + 0 k = AB = = 5 41 i + 4 j + 0k 41 M t = [ ] [ 0 ] = dr. Galambosi Frigyes Oldal 6

7 Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha a tengelyre számított nyomatékot a B pontra számított nyomatékvektorból képezzük. Ekkor megváltoznak az erőkhöz tartozó helyvektorok, hiszen most a B pontból indítjuk azokat. dr. Galambosi Frigyes Oldal 7

8 4. feladat Adott a P_1, P 2, P 3 pontokban ható F 1, F 2, F 3 erő. Határozzuk meg az erőrendszer origóba redukált vektorkettősét! Határozzuk meg a centrális egyenes egy pontját kijelölő helyvektort, valamint a főerőpárt! Az erő [N] -ban, a távolság [m] -ben adott. P 1 (4, 0, 5) P 1 (0, 3, 5) P 1 (4, 3, 0) F 1 = 4 i 3 j + 5 k F 2 = 6 i + 0 j + 0 k F 3 = 4 i + 3 j + 0 k Az eredő vektorkettős számítása: F 0 = F i = 2 i + 0 j + 5 k M 0 = M i + r i xf i r 1 = 4 i + 0 j + 5 k r 2 = +0 i + 3 j + 5 k r 3 = 4 i + 3 j + 0 k r 1 xf 1 = = 15 i + 0 j 12 k r 2 xf 2 = = 0 i 30 j + 18 k r 3 xf 3 = = 0 i + 0 j + 0 k M 0 = 15 i 30 j + 6 k [Nm] dr. Galambosi Frigyes Oldal 8

9 A centrális egyenes egy pontját kijelölő helyvektor meghatározása: a = F 0xM 0 F 0 2 F 0 2 = = F 0 xm 0 = = 150 i + 63 j 60 k a = 150 i + 63 j 60 k = 150 i + 63 j 60 k Főerőpár: M 1 = (F 0M 0 )F 0 F F 0 M 0 = [2 0 5] [ 30] = 60 6 M 1 = 60(2 i + 0 j + 5 k) = 120 i + 0 j k dr. Galambosi Frigyes Oldal 9

10 5. feladat Adott a P_1, P 2, P 3 pontokban ható F 1, F 2, F 3 erő. Határozzuk meg az A ponton átmenő a irányú tengelyre számított nyomatékot! P 1 (3, 3, 5) P 1 (0, 3, 3) P 1 (3, 0, 3) A(3, 3, 3) a = 1 3 i j k Az erő [N] -ban, a távolság [m] -ben adott. F 1 = 0 i + 3 j + 0 k F 2 = 0 i + 0 j + 4 k F 3 = 3 i + 0 j 4 k Számítsuk ki az erőrendszer nyomatékát az A pontra: M 0 = M i + r i xf i r 1 = 0 i + 0 j 3 k r 2 = 3 i + 0 j + 0 k r 3 = 0 i 3 j + 0 k r 1 xf 1 = = 9 i + 0 j + 0 k r 2 xf 2 = = 0 i + 12 j + 0 k r 3 xf 3 = = 12 i + 0 j + 9 k M A = 21 i + 12 j + 9 k [Nm] A tengely egységvektora e t = a 1 a = 3 i j k = 1 3 i j k 9 dr. Galambosi Frigyes Oldal 10

11 A tengelyre számított nyomaték: M t = M A e t = [ ] [ = 21[Nm] ] dr. Galambosi Frigyes Oldal 11

12 6. feladat Adott az F 1, F 2, F 3 erőrendszer az ábrán rajzoltak szerint. F 1 = 6 [N] F 2 = 5 2 [N] Az erő [N] -ban, a távolság [m] -ben adott. Határozzuk meg az erővektorokat: F 1 = F 1 e 1 = 6 ( j ) = 0i 6j + 0 k F 2 = F 2 e 2 = 5 2 F 3 = F 3 e 3 = 5 F 3 = 5 [N] 5 i + 4 j 3 k = 5 i + 4 j 3 k i + 4 j + 3 k = 0 i + 4 j + 3 k Az origóra redukált vektorkettős erő tagja: F 0 = F i = 5 i + 2 j + 0 k Az origóra redukált vektorkettős nyomatéki tagja: M 0 = M i + r i xf i Határozzuk meg az erőrendszer origóba redukált vektorkettősét! Határozzuk meg a centrális egyenes egy pontját kijelölő helyvektort, valamint a főerőpárt! r 1 = 5 i + 0 j + 3 k r 2 = +5 i + 4 j + 0 k r 3 = 0 i + 4 j + 3 k r 1 xf 1 = = 18 i + 0 j 30 k r 2 xf 2 = = 12 i + 15 j + 0 k dr. Galambosi Frigyes Oldal 12

13 r 3 xf 3 = = 0 i + 0 j + 0k M 0 = 6 i + 15 j 30 k [Nm] A centrális egyenes egy pontját kijelölő helyvektor a = F 0xM 0 F 0 2 F 0 2 = = F 0 xm 0 = = 60 i j + 63 k a = 60 i j + 63 k Főerőpár: M 1 = (F 0M 0 )F 0 F 0 2 = 60 i j + 63 k 6 F 0 M 0 = [5 2 0] [ 15 ] = M 1 = 60(5 i + 2 j + 0 k) = 300 i j + 0 k dr. Galambosi Frigyes Oldal 13

14 7. feladat Határozzuk meg az erőrendszer legegyszerűbb eredőjét! F 1 = 200 [kn] F 2 = 40 [kn] F 3 = 100 [kn] Határozzuk meg az eredő vektorkettős az origóra! Az erők vektoros alakja: F 1 = 0i + 0 j 200 k F 2 = 40i + 0 j + 0 k F 3 = 100 Az eredő vektorkettős erő komponense: F 0 = F i = 40 i + 60 j 280 k 0 i + 3 j 4 k = 0 i + 60 j 80 k Az eredő vektorkettős nyomatéki komponensének számítása: M 0 = M i + r i xf i r 1 = 0 i + 0 j + 0 k r 2 = 0 i + 3 j + 4 k r 3 = 2 i + 3 j + 0 k r 1 xf 1 = 0 i + 0 j + 0 k r 2 xf 2 = = 0 i j 120 k r 3 xf 3 = = 240 i j k M 0 = 240 i j + 0 k [knm] Az F 0 és M 0 vektorok merőlegességének ellenőrzése: 240 F 0 M 0 = [ ] [ 320 ] = A két vektor nem merőleges egymásra, tehát az eredő erőcsavar. dr. Galambosi Frigyes Oldal 14

15 A centrális egyenes egy pontját kijelölő vektor meghatározása: a = F 0xM 0 F 0 2 F 0 2 = = F 0 xm 0 = = i j k a = i j k ,072 i + 0,804 j + 0,325 k Főerőpár számítása: M 1 = (F 0M 0 )F 0 F 0 2 F 0 M 0 = 9600 M 1 = 9600(40 i + 60 j 280 k) ,593 i + 6,890 j 32,153 k dr. Galambosi Frigyes Oldal 15

16 8. feladat Határozzuk meg a megadott erőrendszer eredő vektorkettősét az origóra valamint a centrális egyenes egy pontját és az egyenes egységvektorát! F 1 = 400 [N] M 1 = 200 [Nm] F 2 = 300 [N] M 2 = 600 [Nm] Eredő erő meghatározása: F 1 = 0 i j + 0 k F 2 = 0 i + 0 j 300 k F 0 = F i = 0 i j 300 k Origóra számított nyomaték: M 0 = M i + r i xf i M 1 = 0 i 200 j + 0 k M 2 = 600 i + 0 j + 0 k M i = 600 i 200 j + 0 k r 1 = 0 i + 0 j + 5 k r 2 = 4 i + 0 j + 0 k r 1 xf 1 = = 2000 i + 0 j + 0 k r 2 xf 2 = = 0 i j + 0 k M 0 = 1400 i j + 0 k [knm] A centrális egyenes egy pontját kijelölő vektor meghatározása: a = F 0xM 0 F 0 2 dr. Galambosi Frigyes Oldal 16

17 F 0 2 = = F 0 xm 0 = = i j k a = i j k 1,2 i + 1,68 j + 2,24 k A centrális egyenes egységvektorának meghatározása: A centrális egyenes párhozamos az F 0 vektorral. e c = F 0 0 i j 300 k = == 0i + 4 F j 3 5 k dr. Galambosi Frigyes Oldal 17

18 9. feladat Határozzuk meg a megadott erőrendszerhez tartozó centrális egyenes és a koordinátatengelyek metszéspontjait! F 1 = 200 i j + 0 k F 2 = 100 i 400 j + 0 k [N] [N] M 1 = 400 [Nm] M 2 = 800 [Nm] Megoldás vektoros tárgyalásmóddal. Az eredő vektorkettős erő komponense: F 0 = F i = 100 i 100 j + 0 k Az eredő vektorkettős nyomatéki komponensének számítása: M 0 = M i + r i xf i M 1 = 0 i + 0 j k r 1 = 5 i + 6 j + 0 k M 2 = 0 i + 0 j 800 k r 2 = 8 i 3 j + 0 k r 1 xf 1 = = 0 i + 0 j k r 2 xf 2 = = 0 i + 0 j 3500 k M 0 = 0 i + 0 j 3600 k [knm] A centrális egyenes egy pontját kijelölő vektor meghatározása: a = F 0xM 0 F 0 2 F 0 2 = = dr. Galambosi Frigyes Oldal 18

19 F 0 xm 0 = = = i j + 0 k a = 18 i + 18 j + 0 k A centrális egyenes paraméteres egyenlete: r = a + tf 0 x i + y j = a x i + a y j + t 100 i t 100 j A vektoregyenletet átalakítjuk skalár egyenletrendszerré Ha x = 0, akkor y = 36 és ha y = 0, akkor x = 36. Megoldás skalár tárgyalásmóddal. x = a x + t 100 y = a y t 100 A tengelymetszeteket az alábbiak szerint kapjuk: Adjuk össze a fenti két skalár egyenletet: x + y = a x + a y illetve y = x+a x + a y A síkbeli feladatoknál, ahol az erők a síkban fekszenek, a kijelölt ponthoz tartozó nyomatékvektor biztosan merőleges a síkra. A koncentrált nyomatékok nyomatékvektorai is merőlegesek a síkra. A számításoknál az erővektorokat felbontjuk a két koordináta tengely irányával párhuzamos összetevőkre. Ekkor a nyomatékok abszolút értékének számítása lényegesen egyszerűsödik. A lapra tekintve (szembe nézve a z tengely pozitív irányával) az óramutató járásával ellentétes nyomatékot tekintjük pozitívnak. Az ellenkező irányú forgatás a negatív. A két koncentrált nyomaték egyike pozitívan 400 Nm, a másik negatívan -800 Nm forgat a z tengely körül. dr. Galambosi Frigyes Oldal 19

20 Az erőkomponensek közül a 300 N erő pozitívan forgat 5 m-es karon (+1500), a többi erő pedig negatívan ( = 4700). Az eredő nyomaték = 3600 [Nm]. Az eredeti erőrendszer helyettesíthető (vele egyenértékű) az origóhoz kötött eredő vektorkettőssel. Síkbeli feladatoknál az eredő egy eltolt hatásvonalú erő lesz, melynek nyomatéka megegyezik az origóra számított nyomatékkal. Technikailag a feladatot legegyszerűbb úgy megoldani, hogy az eredő erőt eltoljuk az y (x) tengelyhez és itt felbontjuk a koordináta tengelyekkel párhuzamos komponensekre. Ekkor a z tengely körül csak az egyik komponens forgat, hiszen a másik átmegy rajta. Tehát 100 y = 3600, amelyből y = 36 következik. Ugyan így járhatunk el a másik metszék számításánál is. dr. Galambosi Frigyes Oldal 20

21 10. feladat Határozzuk meg az origóhoz tartozó eredő vektorkettőst! F 1 = F 1 = 100 [N] F 2 = F 2 = [N] F 3 = F 3 = [N] M 1 = M 1 = 200 [Nm] Az erők vektoros alakja: F 1 = 0i + 0 j k F 2 = F 3 = i + 0 j 1 k = 300 i + 0 j 100 k 3 i + 2 j + 0 k = 600 i j + 0 k Az eredő vektorkettős erő komponense: F 0 = F i = 300 i j + 0 k Az eredő vektorkettős nyomatéki komponensének számítása: M 0 = M i + r i xf i M i = M 1 = 200 i + 0 j + 0 k r 1 = 3 i + 0 j + 0 k r 2 = 0 i + 2 j + 1 k r 1 xf 1 = = 0 i 300 j + 0 k r 2 x(f 1 + F 2 ) = = 600 i 300 j k M 0 = 400 i 600 j k dr. Galambosi Frigyes Oldal 21