DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)"

Átírás

1 DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) Dinamika Pontszám 1. A mechanikai mozgás fogalma (1) 2. Az anyagi pont pályája (1) 3. A mozgástörvény fogalma (1) 4. A pálya kísérő triédere (2) 5. Elmozdulásvektor és közepes sebesség értelmezése (2) 6. A sebességvektor értelmezése (1) 7. A gyorsulásvektor értelmezése (1) 8. A pályasebesség és pályagyorsulás értelmezése (2) 9. A gyorsulásvektor felbontása érintőirányú és normálirányú összetevőkre (2) 10. Az egyenletes mozgás fogalma (2) 11. Az egyenletesen gyorsuló mozgás fogalma (2) 12. A szabadságfok fogalma. Anyagi pont és merev test szabad mozgásának szabadságfoka (2) 13. Merev test sebességállapotának definiciója (2) 14. Merev test B pontjának sebessége az A pont sebességével és a merev test szögsebességével kifejezve (2) 15. Elemi mozgások osztályozása (4) 16. Merev test gyorsulásállapotának definiciója (2) 17. Merev test B pontjának gyorsulása az A pont gyorsulásával, illetve a merev test szögsebességével és szöggyorsulásával kifejezve (2) 18. A szállítósebesség illetve a szállítógyorsulás fogalma (2) 19. A Coriolis gyorsulás értelmezése (2) 20. Az anyagi pont abszolút sebessége a relatív KR mozgásának, valamint az anyagi pont relatív mozgásának ismeretében (2) 21. Az anyagi pont abszolút gyorsulása a relatív KR mozgásának, valamint az anyagi pont relatív mozgásának ismeretében (2) 22. Merev test abszolút szögsebessége a relatív KR mozgásának és a merev test relatív szögsebességének ismeretében (2) 23. Merev test abszolút szöggyorsulása a relatív KR mozgásának és a merev test relatív szögsebességének és szöggyorsulásának ismeretében (2) 24. Az impulzus vektorrendszer T tömegközéppontba redukált vektorkettőse anyagi pontrendszerre (3) 25. Az impulzus vektorrendszer T tömegközéppontba redukált vektorkettőse merev testre (3) 26. A merev test T tömegközéponthoz kötött tehetetlenségi tenzorának értelmezése (a tenzor invariáns alakja) (3) 27. A merev test T tömegközéponthoz kötött tehetetlenségi tenzorának mátrixa (3) 28. Steiner tétele a merev test T tömegközépponthoz és az A T ponthoz kötött tehetetlenségi tenzoraira (3) 29. Tehetetlenségi főtengelyek, főtehetetlenségi nyomatékok értelmezése (2) 30. A kinetikai vektorrendszer T tömegközéppontba redukált vektorkettőse anyagi pontrendszer esetére (3) 31. A kinetikai vektorrendszer T tömegközéppontba redukált vektorkettőse merev testre (3) 32. Az impulzus és kinetikai vektorrendszer kapcsolata (3) 33. Newton első törvénye (2) 34. Newton második törvénye (2) 35. A Newton féle második törvény relatív KR-ben érvényes matematikai alakja (2) 36. Newton harmadik törvénye (1) 37. Az inerciarendszer értelmezése (2)

2 2 38. A dinamika alaptétele, impulzus- és perdülettétel merev testre (3) 39. Anyagi pontra ható erők teljesítménye (1) 40. Anyagi pontrendszerre ható külső és belső erők teljesítménye (2) 41. Merev test belső erőinek teljesítménye (1) 42. Merev testre ható külső erők teljesítménye (3) 43. A mechanikai munka értelmezése (1) 44. Anyagi pontra ható erő munkája (2) 45. A konzervatív erőtér fogalma (2) 46. Anyagi pont kinetikai energiája (2) 47. Anyagi pontrendszer kinetikai energiája (2) 48. Merev test kinetikai energiája általános esetben (3) 49. Merev test kinetikai energiája síkmozgás esetén (3) 50. A munkatétel (2) 51. Mikor van a csapágyakban forgó merev test statikailag kiegyensúlyozva (2) 52. Mikor van a csapágyakban forgó merev test dinamikusan kiegyensúlyozva (2) 53. A közepes szögsebesség értelmezése (2) 54. Az egyenlőtlenségi fok értelmezése (2) 55. Az általános koordináták értelmezése (1) 56. Hogyan értelmezzük a β ij vektort (2) 57. A q i általános koordinátához tartozó általános erő értelmezése (2) 58. Hogyan számítjuk a q i általános koordinátához tartozó általános erőt, ha ismeretes a külső ER teljesítménye (2) 59. A Lagrange féle másodfajú mozgásegyenletek matematikai alakja (2) 60. A b ij vektor értelmezése (2) 61. A q j általános koordinátához tartozó általános erő merev testekből álló dinamikai rendszerre (3) 62. Az egyszabadságfokú rezgések mozgásegyenletének általános alakja (2) 63. Az általános csillapító erő számítása egyszabadságfokú rezgő rendszerre (2) 64. Az általános visszatérítő erő számítása egyszabadságfokú rezgő rendszerre (2) 65. Az általános gerjesztő erő számítása egyszabadságfokú rezgő rendszerre (2)

3 DINAMIKA A minimum teszt dinamika kérdéseinek megoldása 1. A mechanikai mozgás testek egymáshoz viszonyított helyváltoztatása. Hallgatólagos feltevés, hogy van olyan test amelyhez a mozgást viszonyitjuk. Az utóbbi testet vonatkoztatási rendszerként szokás tekinteni. 2. Az anyagi pont pályája az anyagi pont által mozgása során leírt tér- vagy síkgörbe a görbe speciális esetben egyenes is lehet. 3. A mozgástörvény az anyagi pont helyzetét megadó helyvektor mint az idő függvénye (a pálya egyenlete az idő mint paraméter függvényében): r = r(t). 4. A kísérő triédert a pálya adott pontbeli t érintő egységvektora, az ugyanitt vett n normális egységvektor és a b = t n binormális egységvektor határozza meg. A t, n, b vektorok jobbsodratú vektorhármast alkotnak. 5. Legyen t = t 2 t 1, ahol t 2 > t 1. A r elmozdulásvektort és v k közepes sebességet a r = r(t 2 ) r(t 1 ) és v k = r t képletek értelmezik. Szűkebb értelemben vett egyenletesen gyorsuló mozgásra 6. A sebességvektor: 7. A gyorsulásvektor: v k = v(t 2) + v(t 1 ) 2 v = ṙ = dr dt. a = v = dv dt = d2 r dt Ha adott az s ívkoordináta mint a t függvénye, akkor v = ṡ = ds és a t = v = dv dt dt = d2 s dt 2 a pályasebesség és pályagyorsulás. 9. A gyorsulásvektor felbontható érintőirányú és normális irányú összetevőkre: a t = vt, a = a t + a n,. a n = v2 ρ n. Itt a t és a n az a gyorsulásvektor érintő- és normális irányú összetevője, v a pályasebesség, ρ pedig a pálya görbületi sugara. 10. Egyenletes mozgásról beszélünk szűkebb értelemben, ha v = v o =állandó, vagyis a = 0 és r = r 0 + v 0 t; tágabb értelemben, ha v = v 0 =állandó, vagyis a t = 0 és s = s 0 + v 0 t. 11. Egyenletesen gyorsuló mozgásról beszélünk szűkebb értelemben, ha a =állandó, vagyis v = v 0 + at és r = r 0 + v 0 t + a t2 2 ; tágabb értelemben, ha a t =állandó, vagyis v = v 0 + a t t és s = s 0 + v 0 t + a t t A szabadságfok a mozgás leírásához szükséges független koordináták száma. Anyagi pont és merev test szabad mozgásának rendre 3 és 6 a szabadságfoka. 13. Merev test sebességállapota a testet alkotó pontok sebességeinek térbeli megoszlása adott időpillanatban. 3

4 4 14. A merev test A és B pontjának sebességei között a v B = v A + ω r AB összefüggés áll fenn, ahol ω a szögsebesség vektor. 15. Elemi mozgások osztályozása a szögsebesség vektorrendszer redukált vektorkettőse alapján: 1.a. ω = 0 v A = 0 Elemi nyugalom 1.b. ω = 0 v A 0 Elemi haladó mozgás 2.a. ω 0 ω v A = 0 Elemi forgó mozgás 2.b. ω 0 ω v A 0 Elemi csavarmozgás 16. Merev test gyorsulásállapota a testet alkotó pontok gyorsulásainak térbeli megoszlása adott időpillanatban. 17. A merev test A és B pontjának gyorsulásai között az a B = a A + ɛ r AB + ω (ω r AB ) összefüggés áll fenn, ahol ɛ a szöggyorsulás, ω pedig a szögsebesség. Síkmozgásra a képlet egyszerűsödik: a B = a A + ɛe z r AB ω 2 r AB. 18. A v sz szállítósebesség, illetve az a sz szállítógyorsulás a merev testnek tekintett mozgó relatív ξηζ KR azon pontjának sebessége, illetve gyorsulása, ahol a vizsgált anyagi pont tartózkodik: v sz = v 12 + ω 12 ρ, a sz = a 12 + ɛ 12 ρ + ω 12 (ω 12 ρ). Itt v 12 és a 12 a ξηζ KR origójának sebessége és gyorsulása, ω 12 és ɛ 12 a relatív ξηζ KR szögsebessége és szöggyorsulása, ρ pedig az anyagi pont helyvektora a relatív ξηζ KR-ben. 19. A Coriolis gyorsulást az a c = 2ω 12 β összefüggés értelmezi, ahol ω 12 a relatív ξηζ KR szögsebessége, β = ρ pedig a relatív sebesség. 20. Az anyagi pont v abszolút sebességét a v = v sz + β képlet adja meg, ahol v sz a szállítósebesség, β = ρ pedig a relatív ξηζ KR-ben megfigyelt (mért) relatív sebesség. 21. Az anyagi pont a abszolút gyorsulását az a = a sz + a c + α összefüggés adja meg. A képletben a sz a szállítógyorsulás, a c = 2ω 12 β a Coriolis gyorsulás, α = β pedig a relatív ξηζ KR-ben megfigyelt (mért) relatív gyorsulás. 22. A merev test ω 13 abszolút szögsebességét az ω 13 = ω 12 + ω 23 képlet adja meg, ahol ω 12 a relatív ξηζ KR szögsebessége (szállító szögsebesség), ω 23 pedig a merev test ξηζ KR-ben megfigyelt (mért) relatív szögsebessége. 23. A merev test ɛ 13 abszolút szöggyorsulását az ɛ 13 = ɛ 12 + ω 12 ω 23 + ɛ 23 képlet adja meg, ahol ɛ 12 a relatív ξηζ KR szöggyorsulása, ω 12 a relatív ξηζ KR szögsebessége (szállító szögsebesség), ɛ 23 pedig a merev test ξηζ KR-ben megfigyelt (mért) relatív szöggyorsulása. 24. Anyagi pontrendszerre az ábra jelöléseivel

5 5 az I = I i = m i v i = mv T és Π T = r i I i = r i (m i v i ) összefüggések adják az impulzus vektorrendszer I eredőjét és a T tömegközéppontra vett Π T nyomatékát, azaz a perdületet. A képletekben n az anyagi pontok száma, m = n m i a teljes tömeg, v T = r T az r T = n m ir i /m tömegközéppont sebessége. 25. Merev testre az ábra jelöléseivel az I = (m) v dm = mv T és Π T = (m) ρ v dm = J T ω összefüggések adják az impulzus vektorrendszer I eredőjét és a T tömegközéppontra vett Π T nyomatékát. A képletekben m a test tömege, J T a T tömegközéppontban vett tehetetlenségi tenzor, v T = ṙ T a tömegközéppont sebessége. 26. A merev test T tömegközéponthoz kötött J T tehetetlenségi tenzorának J T = [R 2 I R R] dm (m) az invariáns (KR független) alakja. Itt R a dm tömegelem T tömegközéppontra vonatkoztatott helyvektora, R az R vektor abszolút értéke, míg I az egységtenzor. Az értelmezésből következik, hogy a J T tenzor szimmetrikus.

6 6 27. A T tömegközéponttal egybeeső kezdőpontú ξηζ kartéziuszi koordinátarendszerben [J T ] = J ξ J ξη J ξζ J ηξ J η J ηζ J ζξ J ζη J ζ a merev test tömegközéponthoz kötött J T tehetetlenségi tenzorának mátrixa, ahol a J ξ, J η, J ζ tengelyre és a J ξη = J ηξ, J ξζ = J ζξ, J ηζ = J ζη síkpárra számított másodrendű nyomatékokat az alábbi képletek adják: J ξ = (m) ( η 2 + ζ 2) dm, J η = (m) ( ξ 2 + ζ 2) dm, J ζ = (m) ( ξ 2 + η 2) dm, J ξη = (m) ξη dm, J ηζ = (m) ηζdm, J ζξ = (m) ζξdm. 28. Legyen ξηζ az m tömegű merev test T tömegközéppontjához kötött kartéziuszi koordinátarendszer. Legyen továbbá xyz a merev test A T pontjához kötött kartéziuszi koordinátarendszer. A két KR megfelelő tengelyei párhuzamosak. Legyenek J ξ, J η, J ζ, J ξη, J ηζ, J ζξ illetve J x, J y, J z, J xy, J yz, J zy a vonatkozó másodrendű nyomatékok. A J x J xy J xz J yx J y J yz } _J zx J zy {{ J z } [J A ] = J ξ J ξη J ξζ J ηξ J η J ηζ } J ζξ J ζη {{ J ζ } [J T ] y2 T A + z2 T A x T A y SA x T A z T A y T A x T A x 2 T A + z2 T A y T A z T A z T A x SA z T A y SA x 2 T A + y2 T A }{{} [J AT ] egyenlet a Steiner tétel mátrix alakja. 29. Legyen J A a merev test A pontjában vett tehetetlenségi tenzor. Legyen továbbá az n és m egységvektor irányvektor az A pontban. Ha J n = J A n = J n n azaz minden m n -re fennáll, hogy J mn = m J n = 0, akkor az n irány tehetetlenségi főirány, az általa kijelölt n tengely tehetetlenségi főtengely, J n pedig a vonatkozó főtehetetlenségi nyomaték. 30. Anyagi pontrendszerre az ábra jelöléseivel +m a K = K i = m i a i = ma T, D T = r i K i = r i (m i a i ) összefüggések adják a kinetikai vektorrendszer K eredőjét és a T tömegközéppontra vett D T nyomatékát. A képletekben n az anyagi pontok száma, m = n m i a teljes tömeg, a T = v T = r T az r T = n m ir i /m tömegközéppont gyorsulása. Az egyéb jelölések a szokásosak. 31. Merev testre az ábra jelöléseivel

7 7 az K = (m) a dm = ma T, D T = (m) ρ a dm = J T ε + ω Π T összefüggések adják a kinetikai vektorrendszer K eredőjét és a T tömegközéppontra vett D T nyomatékát. A képletekben m a test teljes tömege, J T a T tömegközéppontban vett tehetetlenségi tenzor, Π T a tömegközéppontra vett perdület. 32. Jelölje K a kinetikai vektorrendszer eredőjét, és legyen D T illetve D A a T tömegközéppontra és az A pontra vett nyomaték. Az impulzus vektorrendszerre nézve I az eredő illetve Π T és Π A a vonatkozó nyomaték. Legyen m a merev test tömege, és jelölje v A illetve v T az A és T pontok sebességét. A test tömegközéppontjában vett vektorkettősökre az K = İ, D T = Π T összefüggések, a test A T pontjában pedig a K = İ, D A = Π A + mv A v T összefüggések állnak fenn. 33. Minden anyagi pont (test) megtartja nyugalmi állapotát, vagy egyenletes egyenesvonalú mozgását, amíg egy másik anyagi pont (test) ennek megváltoztatására nem kényszeríti. A törvény csak inerciarendszerekben érvényes. (A test szó a newtoni megfogalmazást tükrözi.) 34. Az anyagi pont gyorsulása egyenesen arányos az anyagi pontra ható erők eredőjével, azaz ma = F. Itt m az anyagi pont tömege, a az anyagi pont gyorsulása, míg F az anyagi pontra ható erők eredője. Az I = mv impulzusvektorral ma = d dt I = d mv = mdv dt dt a második törvény baloldala, a külső erők eredőjét pedig az F = F i. összeg adja, ahol F i az anyagi pontra ható i-ik erő. A törvény csak inerciarendszerben érvényes ha az F i -k kölcsönhatásból származó erők. A törvény magában foglalja az első törvényt hiszen F = 0 esetén a v = állandó (egyenletes egyenesvonalú mozgás) és a v = 0 (nyugalmi állapot) egyaránt megoldása az ma = 0 egyenletnek. 35. A ξηζ relatív koordinátarendszerben mα = F I + F sz + F c

8 8 a Newton féle második törvény matematikai alakja, ahol m az anyagi pont tömege, α az anyagi pont ξηζ KR-ben megfigyelt (mért) relatív gyorsulása, F I az anyagi pontra ható erők eredője az xyz abszolút KR-ben, míg F sz és F c rendre a szállítóerő és a Coriolis erő. Az utóbbi két erőt járulékos (nem kölcsönhatásból származó) erőnek nevezik: F sz = ma sz, F c = ma c. Itt a sz és a c a szállító- és Coriolis gyorsulás. 36. A hatásnak ellenhatás felel meg. Két anyagi pont esetén jelölje F 21 az első anyagi ponton a második által kifejtett erőt és legyen F 12 a második anyagi ponton az első által kifejtett erőt. A törvény szerint a két anyagi pontot összekötő egyenes a két erő közös hatásvonala és F 21 + F 12 = Az inerciarendszer olyan koordinátarendszer amelyben nincsenek járulékos erők a mozgást okozó erők között, vagyis érvényes a tehetetlenségi törvény. 38. A merev test kinetikai vektorrendszere egyenértékű a testre ható külső erőrendszerrel. Az első kritérium alapján a merev test T tömegközéppontjában az alábbi összefüggések állnak fenn: K = F, azaz ma T = F (impulzustétel); D T = M T, azaz J T ε + ω Π T = M T (perdülettétel). Itt a szokásos jelöléseket alkalmaztuk: m a test tömege, J T a tehetetlenségi tenzor a T pontban, [K, D T ] és [F, M T ] rendre a kinetikai vektorrendszer és a testre ható külső erőrendszer redukált vektorkettőse a T pontban, ω a merev test szögsebessége, a T a T pont gyorsulása, ε a merev test szöggyorsulása és Π T a T pontra vett perdület. 39. Jelölje F az anyagi pontra ható erők eredőjét és legyen v az anyagi pont sebessége. Az anyagi pontra ható erők teljesítményét a P = F v összefüggés értelmezi. 40. Jelölje F i az i-ik m i anyagi pontra (i = 1,..., n; n az anyagi pontok száma) ható külső erők eredőjét, és legyen F ji a j-ik anyagi pont által (j = 1,..., n) az i-ik anyagi ponton kifejtett ún. belső erő (F ii = 0). Legyen továbbá v i az i-ik anyagi pont sebessége. Az anyagi pontrendszerre ható külső és belső erők teljesítményét a P = F i v i + F ji v i } {{ } P k j=1 } {{ } P b képlet adja. Itt P k és P b rendre a külső és belső erők teljesítménye. 41. A merev test belső erőinek zérus a teljesítménye: P b = Legyen ω és v A a merev test szögsebessége és A pontjának sebessége. Legyen továbbá F a merev testen működő külső erők eredője, és jelölje M A a külső erők A pontra vett nyomatékát. A bevezetett jelölésekkel P = P k = F v A + ω M A a merev testen működő külső erők teljesítménye. 43. A W 12 mechanikai munka a külső és belső erők (ha vannak belső erők) teljesítményének idő szerinti integrálja a t 1, t 2 időintervallumban: W 12 = t2 t 1 P dt = t2 t 1 (P k + P b ) dt.

9 44. Az m tömegű anyagi pont az F = F(t); t [t 1, t 2 ] erő hatására mozog, a mozgástörvény r = r(t), a sebesség v = v(t). Az F erő munkáját a t2 t2 W 12 = P dt = F }{{} v dt = t 1 t 1 dr összefüggés adja. Ha az erő állandó, akkor innen r2 r 1 F dr W 12 = F (r 2 r 1 ) = F r. }{{} r Szavakban: állandó erő munkája az erő és támadáspontja elmozdulásvektorának skaláris szorzata. 45. Konzervatív az erőtér, ha az erőtér által valamely anyagi pontra kifejtett erő munkája független az anyagi pont pályájától. Ez esetben létezik egy olyan U(r) skalárfüggvény (más elnevezés szerint potenciálfüggvény vagy röviden potenciál), hogy az anyagi pontra kifejtett F erőre nézve fennáll az F = U összefüggés. A pálya egy szakaszának A kezdő és B végpontja között pedig W AB = U A U B a végzett munka. 46. Legyen v az m tömegű anyagi pont sebessége. Ekkor E = 1 2 mv2 az anyagi pont kinetikai (mozgási) energiája. 47. Legyen v i az n tömegből álló anyagi pontrendszer i-ik (i = 1,..., n) m i jelű anyagi pontjának a sebessége. Ekkor E = E i = 1 2 m iv 2 i az anyagi pontrendszer kinetikai energiája. 48. Legyen [ω; v A ] a merev test szögsebesség vektorrendszerének és [I, Π A ] a merev test impulzus vektorrendszerének a test A pontjába redukált vektorkettőse. Ezekkel a mennyiségekkel E = 1 2 [v A I + ω Π A ] a merev test kinetikai energiája. Ha A = T, akkor E = 1 [ mv 2 2 T + ω J T ω ] = 1 [ mv 2 2 T + J e ω 2] a kinetikai energia, ahol m a test tömege, v T a T tömegközéppont sebessége, J T a tehetetlenségi tenzor a T pontban, ω = ωe, e e = 1 és J e = e J T e. 49. Legyen ω = ω(t)e ζ az m tömegű, síkmozgást végző merev test szögsebessége az xy síkkal egybeeső ξη sík a mozgás síkja. Legyen továbbá J ζ a T tömegközépponton átmenő ζ tengelyre, és J z a P póluson átmenő és a ζ-vel párhuzamos z tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték. A T pont sebessége v T. A bevezetett jelölésekkel E = 1 [ mv 2 2 T + J ζ ω 2] = 1 2 J zω 2 ( Jz = J ζ + mr 2 ) T P a kinetikai energia, ahol r T P a P pólus T pontra vonatkoztatott helyvektora. 50. A munkatétel szerint [az anyagi pont]{a merev test} E kinetikai energiájának megváltozása a [t 1, t 2 ]; t 2 > t 1 időintervallumban megegyezik [az anyagi pontra ható külső erők]{a merev testre ható külső erőrendszer} által végzett W 12 munkával: E 2 E 1 = W 12. 9

10 A csapágyakban forgó merev test akkor van statikailag kiegyensúlyozva, ha zérus a testre ható külső erők eredője. Ennek az a feltétele, hogy a tömegközéppont a forgástengelyen legyen, ekkor ui. K = ma T = 0, következőleg zérus a külső erők összege. 52. A csapágyakban forgó merev test akkor van dinamikusan kiegyensúlyozva, ha statikailag ki van egyensúlyozva és emellett a testre ható külső erőrendszer nyomatéka ha nem zérus párhuzamos a forgástengellyel. Az utóbbi feltétel akkor teljesül, ha a forgástengely a J T tenzor tehetetlenségi főtengelye. 53. Jelölje rendre ω max és ω min a forgó gép szögsebességének maximumát és minimumát. A közepes szögsebességet az ω k = ω max + ω min 2 összefüggés értelmezi. 54. Jelöle rendre ω max és ω min a forgó gép szögsebességének maximumát és minimumát, ω k pedig a közepes szögsebességet. A járás egyenlőtlenségi fokát a δ = ω max ω min ω k összefüggés értelmezi. 55. A q 1,..., q s ún. általános koordináták s a vizsgált dinamikai rendszer szabadságfoka a mozgás leírásához szükséges koordináták. Az általános szó mint jelző arra utal, hogy ezek a koordináták nem szükségképpen hosszkoordináták. 56. Legyen a vizsgált dinamikai rendszer i ik pontjának r i = r i (q 1,..., q s ) a helyvektora (i = 1,..., N), ahol q 1,..., q s általános koordináták, s a szabadságfok. Értelmezés szerint Kimutatható, hogy β ij = r i q j, j = 1, 2,..., s. β ij = v i, j = 1, 2,..., s. q j Az utóbbi egyenlet alapján β ij t egységnyi koordinátasebességhez tartozó sebességnek nevezik. 57. Legyen s a vizsgált dinamikai rendszer szabadságfoka, és jelölje q 1,..., q s a vonatkozó általános koordinátákat. A dinamikai rendszerre ható külső erőket rendre F i jelöli, i = 1,..., N. Ha nincs a rendszeren nyomatéki teher például anyagi pontrendszer esetén akkor N Q j = F i β ij a q j általános koordinátához tartozó Q j általános erő értelmezése, ahol β ij az egységnyi koordinátasebességhez tartozó sebesség 58. Legyen s a vizsgált dinamikai rendszer szabadságfoka és jelölje q 1,..., q s a vonatkozó általános koordinátákat. Legyen továbbá P (q 1,... q s ; q 1,... q s ) a külső erők teljesítménye. A q j általános koordinátához tartozó Q j általános erő a Q j = P q j ; j = 1, 2,..., s képletből számítható. 59. Legyen E a vizsgált dinamikai rendszer mozgási energiája, s a szabadságfok, és jelölje q 1,..., q s a vonatkozó általános koordinátákat. Legyen továbbá Q j a q j általános koordinátához tartozó általános erő. Ezekkel a jelölésekkel d dt ( E q j ) E q j = Q j ; a Lagrange féle másodfajú mozgásegyenletek. j = 1, 2,..., s

11 60. Tegyük fel, hogy a vizsgált dinamikai rendszer N merev testből áll, s a szabadságfok, q 1,..., q s a vonatkozó általános koordináták, ω i (i = 1,..., N) az i-ik merev test szögsebessége. A b ij vektort a b ij = ω i ; j = 1, 2,..., s q j összefüggés adja. Ennek megfelelően b ij az egységnyi koordinátasebességhez tartozó szögsebességnek nevezhető. 61. Tegyük fel, hogy a vizsgált dinamikai rendszer N merev testből áll, s a szabadságfok, q 1,..., q s a vonatkozó általános koordináták, v T i az i-ik merev test tömegközéppontjának sebessége, β T ij = v T i, ω i az i-ik merev test szögsebessége, b ij = ω i. Az i-ik merev q j q j testre ható külső erők eredőjét F i, a T i tömegközéppontra vett nyomatékát pedig M T i jelöli. Ezekkel a jelölésekkel N Q j = (F i β T ij + M T i b ij ) ; j = 1, 2,..., s a q j általános koordinátához tartozó általános erő. 62. Egyszabadságfokú rezgő rendszer esetén ( ) d E E dt q q = Q r + Q c + Q g a mozgásegyenlet, ahol E a mozgási energia, q és q rendre az általános koordináta és az általános koordináta sebesség, Q r az általános csillapító erő, Q c az általános visszatérítő erő és Q g az általános gerjesztő erő. 63. Egyszabadságfokú rezgő rendszer esetén Q c = U q az általános visszatérítő erő, ahol U a vonatkozó potenciál (például rugóenergia). 64. Legyen az F r csillapító erő. Egyszabadságfokú rezgő rendszer esetén Q r = r(β e) 2 q a vonatkozó általános csillapító erő, ahol r a csillapítási tényező, e a csillapító erő irányát adó egységvektor β = v, v a csillapító erő támadáspontjának sebessége, q pedig az q általános koordináta sebesség. 65. Legyen F g gerjesztőerő. A vonatkozó általános erőt egyszabadságfokú rezgő rendszer esetén a Q g = F g β képlet adja, ahol β = v, v a gerjesztőerő támadáspontjának sebessége, q pedig az q általános koordináta sebesség. Legyen továbbá M g gerjesztő nyomaték. A vonatkozó általános erőt egyszabadságfokú rezgő rendszer esetén a Q g = M g b képlet adja, ahol b = ω, ω pedig azon merev test szögsebessége, amelyre a gerjesztés q működik. 11

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:

Részletesebben

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása.

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Dinamika A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Newton törvényei: I. Newton I. axiómája: Minden nyugalomban lévő test megtartja nyugalmi állapotát, minden mozgó test

Részletesebben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma

Részletesebben

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek.

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek. Mozgások dinamikai leírása A dinamika azzal foglalkozik, hogy mi a testek mozgásának oka, mitől mozognak úgy, ahogy mozognak? Ennek a kérdésnek a megválaszolása Isaac NEWTON (1642 1727) nevéhez fűződik.

Részletesebben

MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1 Cél:

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

Égi mechanika tesztkérdések. A hallgatók javaslatai 2008

Égi mechanika tesztkérdések. A hallgatók javaslatai 2008 Égi mechanika tesztkérdések A hallgatók javaslatai 2008 1 1 Albert hajnalka 1. A tömegközéppont körüli mozgást leíró m 1 s1 = k 2 m 1m 2 r,m s r 2 r 2 2 = k 2 m 1m 2 r r 2 r mozgásegyenletek ekvivalensek

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

A Maxwell - kerékről. Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!

A Maxwell - kerékről. Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1 A Maxwell - kerékről Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra forrása: [ 1 ] Itt azt láthatjuk, hogy egy r sugarú kis hengerre felerősítettek

Részletesebben

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása

Részletesebben

VILLAMOS FORGÓGÉPEK. Forgó mozgás létesítése

VILLAMOS FORGÓGÉPEK. Forgó mozgás létesítése SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM HTTP://UNI.SZE.HU VILLAMOS FORGÓGÉPEK Forgó mozgás létesítése Marcsa Dániel Villamos gépek és energetika 203/204 - őszi szemeszter Elektromechanikai átalakítás Villamos rendszer

Részletesebben

Digitális tananyag a fizika tanításához

Digitális tananyag a fizika tanításához Digitális tananyag a fizika tanításához Ismétlés Erőhatás a testek mechanikai kölcsönhatásának mértékét és irányát megadó vektormennyiség. jele: mértékegysége: 1 newton: erőhatás következménye: 1N 1kg

Részletesebben

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort!

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1 / 20 2. példa: Rajzoljuk fel az adott feszültségtenzorhoz tartozó kockát! 2 / 20 3. példa: Feszültségvektor számítása. Egy alkatrész egy

Részletesebben

A lengőfűrészelésről

A lengőfűrészelésről A lengőfűrészelésről Az [ 1 ] tankönyvben ezt írják a lengőfűrészről, működéséről, használatáról: A lengőfűrész árkolásra, csaprések készítésére alkalmazott, 150 00 mm átmérőjű, 3 4 mm vastag, sűrű fogazású

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29. A mechanika alapjai A pontszerű testek kinematikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29. 2 / 35 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? 3 /

Részletesebben

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek 1. Fogalmi alapok Mérlegegyenletek Utolsó módosítás: 2013. február 11. A transzportfolyamatokról általában 1 A természetben lezajló folyamatok leírására szolgáló összefoglaló elmélet, amely attól függetlenül

Részletesebben

Merev testek mechanikája. Szécsi László

Merev testek mechanikája. Szécsi László Merev testek mechanikája Szécsi László Animáció időfüggés a virtuális világmodellünkben bármely érték lehet időben változó legjellemzőbb: a modell transzformáció időfüggése mozgó tárgyak módszerek az időfüggés

Részletesebben

Gyakorló feladatok Feladatok, merev test dinamikája

Gyakorló feladatok Feladatok, merev test dinamikája Gyakorló feladatok Feladatok, merev test dinamikája 4.5.1. Feladat Határozza meg egy súlytalannak tekinthető súlypontját. 2 m hosszú rúd két végén lévő 2 kg és 3 kg tömegek Feltéve, hogy a súlypont a 2

Részletesebben

Navier-formula. Frissítve: Egyenes hajlítás

Navier-formula. Frissítve: Egyenes hajlítás Navier-formula Akkor beszélünk egyenes hajlításról, ha a nyomatékvektor egybeesik valamelyik fő-másodrendű nyomatéki tengellyel. A hajlítást mindig súlyponti koordinátarendszerben értelmezzük. Ez még a

Részletesebben

Elméleti kérdések és válaszok

Elméleti kérdések és válaszok Elméleti kérdések és válaszok Folyamatosan bővül 9. évfolyam Tartalom 1. Értelmezd a következő fogalmakat: megfigyelés, kísérlet, modell!... 3 2. Mit nevezünk koordináta rendszernek és mit vonatkoztatási

Részletesebben

Mondatkiegészítések megoldások

Mondatkiegészítések megoldások Mondatkiegészítések megoldások 2014. július 2. Az alábbi típusú mondatkiegészítések jelentik az elméleti feladatok egy részét. A tapasztalat szerint ezek megoldásához a tárgyi tudás mellett szükség van

Részletesebben

FIZIKA I. Mechanika, Hõtan.

FIZIKA I. Mechanika, Hõtan. Table of Contents FIZIKA I. Mechanika, Hõtan...1 Pontmechanikai alapok...3 Kinematika...5 Dinamika...18 Newton törvényei....19 A dinamika tételei...28 Impulzustétel...29 A munka, munkatétel...29 Perdületi

Részletesebben

A MECHANIKAI ENERGIA

A MECHANIKAI ENERGIA A MECHANIKAI ENERGIA. A mechanika munkatétele A mechanika munkatétele Newton második axiómájából következik. Newton második axiómája egyetlen tömegre (vagy tömegpontra): F d r ma m, (.) mely általános

Részletesebben

BEMUTATÓ FELADATOK (2) ÁLTALÁNOS GÉPTAN tárgyból

BEMUTATÓ FELADATOK (2) ÁLTALÁNOS GÉPTAN tárgyból BEMUTATÓ FELADATOK () 1/() Egy mozdony vízszintes 600 m-es pályaszakaszon 150 kn állandó húzóer t fejt ki. A vonat sebessége 36 km/h-ról 54 km/h-ra növekszik. A vonat tömege 1000 Mg. a.) Mekkora a mozgási

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény. Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...

Részletesebben

Fizika 1X, pótzh (2010/11 őszi félév) Teszt

Fizika 1X, pótzh (2010/11 őszi félév) Teszt Fizika X, pótzh (00/ őszi félév) Teszt A sebessé abszolút értékének időszerinti interálja meadja az elmozdulást. H Az átlayorsulás a sebesséváltozás és az eltelt idő hányadosa. I 3 A harmonikus rező mozást

Részletesebben

A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS-

A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS- A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS- Forgatónyomaték meghatározása G Á L A T A Egy erő forgatónyomatékkal hat egy pontra, ha az az erővel össze van kötve. Például

Részletesebben

MECHANIKA. Mechanika összefoglaló BalaTom 1

MECHANIKA. Mechanika összefoglaló BalaTom 1 MECHANIKA 1. Egyenes vonalú mozgások 1.1. Fizikai mennyiségek, mérés, mértékegységek 1.2. Helymeghatározás 1.3. Egyenes vonalú mozgás 1.4. Átlagsebesség, sebesség-idő grafikon, megtett út kiszámítása 1.5.

Részletesebben

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat)

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) I. Pontszerű test 1. Pontszerű test modellje. Pontszerű test egyensúlya 3. Pontszerű test mozgása a) Egyenes vonalú egyenletes

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Mechanika Készül jegyzet a Fizika 1M tárgyhoz

Mechanika Készül jegyzet a Fizika 1M tárgyhoz Mechanika Készül jegyzet a Fizika 1M tárgyhoz Szerzk: Farkas Henrik, Wittmann Marian és Márkus Ferenc A jegyzet csak most készül, ez nem végleges változat. Észrevételeket, hibajelzéseket köszönettel fogadunk:

Részletesebben

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Elméleti kérdések és válaszok

Elméleti kérdések és válaszok Elméleti kérdések és válaszok Folyamatosan bővül 9. évfolyam Tartalom 1. Értelmezd a következő fogalmakat: megfigyelés, kísérlet, modell!... 4 2. Mit nevezünk koordináta rendszernek és mit vonatkoztatási

Részletesebben

Alkalmazott fizika Babák, György

Alkalmazott fizika Babák, György Alkalmazott fizika Babák, György Alkalmazott fizika Babák, György Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Szent István Egyetem Copyright 2011, Szent István Egyetem. Minden jog fenntartva, Tartalom Bevezetés...

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék Széchenyi István Egyetem Szerkezetek dinamikája Alkalmazott Mechanika Tanszék Elméleti kérdések egyetemi mesterképzésben (MSc) résztvev járm mérnöki szakos hallgatók számára 1. Merev test impulzusának

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

A műszaki rezgéstan alapjai

A műszaki rezgéstan alapjai A műszaki rezgéstan alapjai Dr. Csernák Gábor - Dr. Stépán Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanikai Tanszék 2012 Előszó Ez a jegyzet elsősorban gépészmérnök hallgatóknak

Részletesebben

2.3 Newton törvények, mozgás lejtőn, pontrendszerek

2.3 Newton törvények, mozgás lejtőn, pontrendszerek Keresés (http://wwwtankonyvtarhu/hu) NVDA (http://wwwnvda-projectorg/) W3C (http://wwww3org/wai/intro/people-use-web/) A- (#) A (#) A+ (#) (#) English (/en/tartalom/tamop425/0027_fiz2/ch01s03html) Kapcsolat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

Termodinamika. Belső energia

Termodinamika. Belső energia Termodinamika Belső energia Egy rendszer belső energiáját az alkotó részecskék mozgási energiájának és a részecskék közötti kölcsönhatásból származó potenciális energiák teljes összegeként határozhatjuk

Részletesebben

NT-17105 Fizika 9. (Fedezd fel a világot!) Tanmenetjavaslat

NT-17105 Fizika 9. (Fedezd fel a világot!) Tanmenetjavaslat NT-17105 Fizika 9. (Fedezd fel a világot!) Tanmenetjavaslat A fizika tankönyvcsalád és a tankönyv célja A Fedezd fel a világot! című természettudományos tankönyvcsalád fizika sorozatának első köteteként

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

Körmozgás és forgómozgás (Vázlat)

Körmozgás és forgómozgás (Vázlat) Körmozgás és forgómozgás (Vázlat) I. Egyenletes körmozgás a) Mozgás leírását segítő fogalmak, mennyiségek b) Egyenletes körmozgás kinematikai leírása c) Egyenletes körmozgás dinamikai leírása II. Egyenletesen

Részletesebben

Fizika A2 Alapkérdések

Fizika A2 Alapkérdések Fizika A2 Alapkérdések Az elektromágnesség elméletében a vektorok és skalárok (számok) megkülönböztetése nagyon fontos. A következ szövegben a vektorokat a kézírásban is jól használható nyíllal jelöljük

Részletesebben

Tömegvonzás, bolygómozgás

Tömegvonzás, bolygómozgás Tömegvonzás, bolygómozgás Gravitációs erő tömegvonzás A gravitációs kölcsönhatásban csak vonzóerő van, taszító erő nincs. Bármely két test között van gravitációs vonzás. Ez az erő nagyobb, ha a két test

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár TARTÓK web-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STATIKA 19. TARTÓK FOGALMA: TARTÓK A tartók terhek biztonságos hordására és azoknak a támaszokra történő

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben

Mágneses erőtér. Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat. A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja

Mágneses erőtér. Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat. A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja Mágneses erőtér Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja Magnetosztatikai mező: nyugvó állandó mágnesek és egyenáramok időben

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása

A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása 3. FEJEZET A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása 3.1. Az alapkísérletek célja Hétköznapi megfigyelés, hogy ugyanazon szilárd test alakváltozásainak mértéke függ a testet

Részletesebben

Mechanika 150 + 90 kérdés és felelet Kiss László 2011.

Mechanika 150 + 90 kérdés és felelet Kiss László 2011. Mechanika 150 + 90 kérdés és felelet Kiss László 2011. 1 ELSŐ RÉSZ 1. Jellemezze a skaláris mennyiségeket! Az olyan mennyiségeket, amelyeket egy számérték és egy mértékegység meghatároz, skaláris mennyiségeknek

Részletesebben

Fizikai alapismeretek

Fizikai alapismeretek Fizikai alapismeretek jegyzet Írták: Farkas Henrik és Wittmann Marian BME Vegyészmérnöki Kar J6-947 (1990) Műegyetemi Kiadó 60947 (1993) A jegyzet BME nívódíjat kapott 1994-ben. Az internetes változatot

Részletesebben

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. 1 Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. Feladat Egy G gépkocsi állandó v 0 nagyságú sebességgel egyenes úton

Részletesebben

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra 1 A kvadratrixról A kvadratrix más néven triszektrix nevű síkgörbéről az [ 1 ] és [ 2 ] munkákban is olvashatunk. A keletkezéséről készített animáció itt tekinthető meg: http://hu.wikipedia.org/wiki/kvadratrix#mediaviewer/file:quadratrix_animation.gif

Részletesebben

7. Mágneses szuszceptibilitás mérése

7. Mágneses szuszceptibilitás mérése 7. Mágneses szuszceptibilitás mérése Klasszikus fizika laboratórium Mérési jegyzőkönyv Mérést végezte: Vitkóczi Fanni Mérés időpontja: 2012. 10. 25. I. A mérés célja: Egy mágneses térerősségmérő műszer

Részletesebben

Elektrotechnika. Ballagi Áron

Elektrotechnika. Ballagi Áron Elektrotechnika Ballagi Áron Mágneses tér Elektrotechnika x/2 Mágneses indukció kísérlet Állandó mágneses térben helyezzünk el egy l hosszúságú vezetőt, és bocsássunk a vezetőbe I áramot! Tapasztalat:

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki Tudományi Doktori Iskola hallgatói számára

Részletesebben

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése kézirat Kun Ferenc Debreceni Egyetem Elméleti Fizikai Tanszék Debrecen 2001 2 Determinisztikus folyamatok Tartalomjegyzék 1. Determinisztikus folyamatok

Részletesebben

Analízis II. gyakorlat

Analízis II. gyakorlat Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Ismétlés................................................... Integrálás...............................................

Részletesebben

0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika

0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika 0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika Mechanika (ismétlés) statika, kinematika Dinamika, energia Áramlástan Reológia Optika find x Teszt: 30 perc, 30 kérdés Matek alapfogalmak: Adattípusok: Természetes,

Részletesebben

A törési lécről és a törési lépcsőről

A törési lécről és a törési lépcsőről A törési lécről és a törési lépcsőről Ezek a fogalmak az erdészeti tanulmányok során jönnek elő, a fadöntés kapcsán. Magyarázatukhoz tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra forrása: [ 1 ] Itt azt írják, hogy a

Részletesebben

Használhatósági határállapotok. Alakváltozások ellenőrzése

Használhatósági határállapotok. Alakváltozások ellenőrzése 1.GYAKORLAT Használhatósági határállapotok A használhatósági határállapotokhoz tartozó teherkombinációk: Karakterisztikus (repedésmentesség igazolása) Gyakori (feszített szerkezetek repedés korlátozása)

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

1687: Newton, Principiamathematica

1687: Newton, Principiamathematica 1687: Newton, Principiamathematica Ismétlés 0. Statika súly -> erő: erők felbontása, összeadása merev test: -> erőrendszer redukciója erőcsavarra nyugalom feltételei, súlypont 1. Kinematika Pillanatnyi

Részletesebben

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK TANSZÉK HAJTÁSTECHNIKA

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK TANSZÉK HAJTÁSTECHNIKA UPESTI MŰSZKI ÉS GZSÁGTUOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEÉSMÉRNÖKI KR VSÚTI JÁRMŰVEK TNSZÉK HJTÁSTEHNIK TNSEGÉLET a gépészmérnöki szak hallgatói számára r. Szabó ndrás egyetemi docens UPEST 5 HJTÁSTEHNIK tantárgy

Részletesebben

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 9. évfolyam 2015. egyetemi docens

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 9. évfolyam 2015. egyetemi docens Tanulói munkafüzet FIZIKA 9. évfolyam 2015. Összeállította: Scitovszky Szilvia Lektorálta: Dr. Kornis János egyetemi docens Tartalomjegyzék 1. Az egyenletes mozgás vizsgálata... 3 2. Az egyenes vonalú

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

MŰSZAKI MECHANIKA II SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegyzéke a fogalmak felsorolása (2009/2010)

MŰSZAKI MECHANIKA II SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegyzéke a fogalmak felsorolása (2009/2010) MŰSZAKI MECHANIKA II SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegzéke a fogalmak felsorolása (2009/2010) Műszaki Mechanika II Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A másodrendű tenzor transzponáltjának

Részletesebben

A TANTÁRGY ADATLAPJA

A TANTÁRGY ADATLAPJA A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM 1.2 Kar FIZIKA 1.3 Intézet A MAGYAR TAGOZAT FIZIKA INTÉZETE 1.4 Szakterület FIZIKA / ALKALMAZOTT

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Geometriai alapok Felületek

Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Javítási útmutató Fizika felmérő 2015

Javítási útmutató Fizika felmérő 2015 Javítási útmutató Fizika felmérő 2015 A tesztkérdésre csak 2 vagy 0 pont adható. Ha a fehér négyzetben megadott választ a hallgató áthúzza és mellette egyértelműen megadja a módosított (jó) válaszát a

Részletesebben

Példa: Csúsztatófeszültség-eloszlás számítása I-szelvényben

Példa: Csúsztatófeszültség-eloszlás számítása I-szelvényben Példa: Csúsztatófeszültség-eloszlás számítása I-szelvényben Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. március 14. Határozzuk meg a nyírásból adódó csúsztatófeszültség

Részletesebben

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai Hidrosztatika A Hidrosztatika a nyugalomban lévő folyadékoknak a szilárd testekre, felületekre gyakorolt hatásával foglalkozik. Tárgyalja a nyugalomban lévő folyadékok nyomásviszonyait, vizsgálja a folyadékba

Részletesebben

Párhuzamos programozási feladatok

Párhuzamos programozási feladatok Párhuzamos programozási feladatok BMF NIK 2008. tavasz B. Wilkinson és M. Allen oktatási anyaga alapján készült Gravitációs N-test probléma Fizikai törvények alapján testek helyzetének, mozgásjellemzőinek

Részletesebben

Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára

Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára Ez a bemutató a tanszéki Fizika jegyzet kiegészítése Mechanika I. félév 1 Stabilitás Az úszás stabilitása indifferens a stabil, b labilis S súlypont Sf a kiszorított

Részletesebben

Dinamika, Newton törvények, erők

Dinamika, Newton törvények, erők Dinamika, Newton törvények, erők Newton I. törvénye: Minden test megtartja nyugalmi állapotát, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását (állandó sebességét), amíg a környezete ezt meg nem változtatja (amíg

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

Fizikai olimpiász. 52. évfolyam. 2010/2011-es tanév. B kategória

Fizikai olimpiász. 52. évfolyam. 2010/2011-es tanév. B kategória Fizikai olimpiász 52. évfolyam 2010/2011-es tanév B kategória A kerületi forduló feladatai (további információk a http://fpv.uniza.sk/fo honlapokon találhatók) 1. A Föld mágneses pajzsa Ivo Čáp A Napból

Részletesebben

TANTÁRGYI ADATLAP. Mechatronika/Mechatronikus mérnök Végzettség. 2.5 Félév 1. 2.6. Számonkérés módja

TANTÁRGYI ADATLAP. Mechatronika/Mechatronikus mérnök Végzettség. 2.5 Félév 1. 2.6. Számonkérés módja TANTÁRGYI ADATLAP 1. A tanulmányi program jellemzői 1.1 A felsőoktatási intézmény Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem 1.2 Kar Marosvásárhelyi Műszaki és Humán Tudományok Kar 1.3 Tanszék Gépészmérnöki

Részletesebben

Hely, idő, haladó mozgások (sebesség, gyorsulás)

Hely, idő, haladó mozgások (sebesség, gyorsulás) Hely, idő, haladó mozgások (sebesség, gyorsulás) Térben és időben élünk. A tér és idő végtelen, nincs kezdete és vége. Minden tárgy, esemény, vagy jelenség helyét és idejét a térben és időben valamihez

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

HIDRAULIKAI SZÁMÍTÁSOK AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETBEN ÉS AZ ENERGETIKÁBAN

HIDRAULIKAI SZÁMÍTÁSOK AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETBEN ÉS AZ ENERGETIKÁBAN HIDRAULIKAI SZÁMÍTÁSOK AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETBEN ÉS AZ ENERGETIKÁBAN 1 2 Dr. Garbai László HIDRAULIKAI SZÁMÍTÁSOK AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETBEN ÉS AZ ENERGETIKÁBAN AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Szerz : DR. HABIL. GARBAI

Részletesebben

Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet

Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet 2. előadás A rugalmas lemezelmélet alapfeltevései A lemez anyaga homogén, izotróp, lineárisan rugalmas (Hooke törvény); A terheletlen állapotban

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Néhány fontosabb folytonosidejű jel

Néhány fontosabb folytonosidejű jel Jelek és rendszerek MEMO_2 Néhány fontosabb folytonosidejű jel Ugrásfüggvény Bármely választással: Egységugrás vagy Heaviside-féle függvény Ideális kapcsoló. Signum függvény, előjel függvény. MEMO_2 1

Részletesebben