DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)"

Átírás

1 DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) Dinamika Pontszám 1. A mechanikai mozgás fogalma (1) 2. Az anyagi pont pályája (1) 3. A mozgástörvény fogalma (1) 4. A pálya kísérő triédere (2) 5. Elmozdulásvektor és közepes sebesség értelmezése (2) 6. A sebességvektor értelmezése (1) 7. A gyorsulásvektor értelmezése (1) 8. A pályasebesség és pályagyorsulás értelmezése (2) 9. A gyorsulásvektor felbontása érintőirányú és normálirányú összetevőkre (2) 10. Az egyenletes mozgás fogalma (2) 11. Az egyenletesen gyorsuló mozgás fogalma (2) 12. A szabadságfok fogalma. Anyagi pont és merev test szabad mozgásának szabadságfoka (2) 13. Merev test sebességállapotának definiciója (2) 14. Merev test B pontjának sebessége az A pont sebességével és a merev test szögsebességével kifejezve (2) 15. Elemi mozgások osztályozása (4) 16. Merev test gyorsulásállapotának definiciója (2) 17. Merev test B pontjának gyorsulása az A pont gyorsulásával, illetve a merev test szögsebességével és szöggyorsulásával kifejezve (2) 18. A szállítósebesség illetve a szállítógyorsulás fogalma (2) 19. A Coriolis gyorsulás értelmezése (2) 20. Az anyagi pont abszolút sebessége a relatív KR mozgásának, valamint az anyagi pont relatív mozgásának ismeretében (2) 21. Az anyagi pont abszolút gyorsulása a relatív KR mozgásának, valamint az anyagi pont relatív mozgásának ismeretében (2) 22. Merev test abszolút szögsebessége a relatív KR mozgásának és a merev test relatív szögsebességének ismeretében (2) 23. Merev test abszolút szöggyorsulása a relatív KR mozgásának és a merev test relatív szögsebességének és szöggyorsulásának ismeretében (2) 24. Az impulzus vektorrendszer T tömegközéppontba redukált vektorkettőse anyagi pontrendszerre (3) 25. Az impulzus vektorrendszer T tömegközéppontba redukált vektorkettőse merev testre (3) 26. A merev test T tömegközéponthoz kötött tehetetlenségi tenzorának értelmezése (a tenzor invariáns alakja) (3) 27. A merev test T tömegközéponthoz kötött tehetetlenségi tenzorának mátrixa (3) 28. Steiner tétele a merev test T tömegközépponthoz és az A T ponthoz kötött tehetetlenségi tenzoraira (3) 29. Tehetetlenségi főtengelyek, főtehetetlenségi nyomatékok értelmezése (2) 30. A kinetikai vektorrendszer T tömegközéppontba redukált vektorkettőse anyagi pontrendszer esetére (3) 31. A kinetikai vektorrendszer T tömegközéppontba redukált vektorkettőse merev testre (3) 32. Az impulzus és kinetikai vektorrendszer kapcsolata (3) 33. Newton első törvénye (2) 34. Newton második törvénye (2) 35. A Newton féle második törvény relatív KR-ben érvényes matematikai alakja (2) 36. Newton harmadik törvénye (1) 37. Az inerciarendszer értelmezése (2)

2 2 38. A dinamika alaptétele, impulzus- és perdülettétel merev testre (3) 39. Anyagi pontra ható erők teljesítménye (1) 40. Anyagi pontrendszerre ható külső és belső erők teljesítménye (2) 41. Merev test belső erőinek teljesítménye (1) 42. Merev testre ható külső erők teljesítménye (3) 43. A mechanikai munka értelmezése (1) 44. Anyagi pontra ható erő munkája (2) 45. A konzervatív erőtér fogalma (2) 46. Anyagi pont kinetikai energiája (2) 47. Anyagi pontrendszer kinetikai energiája (2) 48. Merev test kinetikai energiája általános esetben (3) 49. Merev test kinetikai energiája síkmozgás esetén (3) 50. A munkatétel (2) 51. Mikor van a csapágyakban forgó merev test statikailag kiegyensúlyozva (2) 52. Mikor van a csapágyakban forgó merev test dinamikusan kiegyensúlyozva (2) 53. A közepes szögsebesség értelmezése (2) 54. Az egyenlőtlenségi fok értelmezése (2) 55. Az általános koordináták értelmezése (1) 56. Hogyan értelmezzük a β ij vektort (2) 57. A q i általános koordinátához tartozó általános erő értelmezése (2) 58. Hogyan számítjuk a q i általános koordinátához tartozó általános erőt, ha ismeretes a külső ER teljesítménye (2) 59. A Lagrange féle másodfajú mozgásegyenletek matematikai alakja (2) 60. A b ij vektor értelmezése (2) 61. A q j általános koordinátához tartozó általános erő merev testekből álló dinamikai rendszerre (3) 62. Az egyszabadságfokú rezgések mozgásegyenletének általános alakja (2) 63. Az általános csillapító erő számítása egyszabadságfokú rezgő rendszerre (2) 64. Az általános visszatérítő erő számítása egyszabadságfokú rezgő rendszerre (2) 65. Az általános gerjesztő erő számítása egyszabadságfokú rezgő rendszerre (2)

3 DINAMIKA A minimum teszt dinamika kérdéseinek megoldása 1. A mechanikai mozgás testek egymáshoz viszonyított helyváltoztatása. Hallgatólagos feltevés, hogy van olyan test amelyhez a mozgást viszonyitjuk. Az utóbbi testet vonatkoztatási rendszerként szokás tekinteni. 2. Az anyagi pont pályája az anyagi pont által mozgása során leírt tér- vagy síkgörbe a görbe speciális esetben egyenes is lehet. 3. A mozgástörvény az anyagi pont helyzetét megadó helyvektor mint az idő függvénye (a pálya egyenlete az idő mint paraméter függvényében): r = r(t). 4. A kísérő triédert a pálya adott pontbeli t érintő egységvektora, az ugyanitt vett n normális egységvektor és a b = t n binormális egységvektor határozza meg. A t, n, b vektorok jobbsodratú vektorhármast alkotnak. 5. Legyen t = t 2 t 1, ahol t 2 > t 1. A r elmozdulásvektort és v k közepes sebességet a r = r(t 2 ) r(t 1 ) és v k = r t képletek értelmezik. Szűkebb értelemben vett egyenletesen gyorsuló mozgásra 6. A sebességvektor: 7. A gyorsulásvektor: v k = v(t 2) + v(t 1 ) 2 v = ṙ = dr dt. a = v = dv dt = d2 r dt Ha adott az s ívkoordináta mint a t függvénye, akkor v = ṡ = ds és a t = v = dv dt dt = d2 s dt 2 a pályasebesség és pályagyorsulás. 9. A gyorsulásvektor felbontható érintőirányú és normális irányú összetevőkre: a t = vt, a = a t + a n,. a n = v2 ρ n. Itt a t és a n az a gyorsulásvektor érintő- és normális irányú összetevője, v a pályasebesség, ρ pedig a pálya görbületi sugara. 10. Egyenletes mozgásról beszélünk szűkebb értelemben, ha v = v o =állandó, vagyis a = 0 és r = r 0 + v 0 t; tágabb értelemben, ha v = v 0 =állandó, vagyis a t = 0 és s = s 0 + v 0 t. 11. Egyenletesen gyorsuló mozgásról beszélünk szűkebb értelemben, ha a =állandó, vagyis v = v 0 + at és r = r 0 + v 0 t + a t2 2 ; tágabb értelemben, ha a t =állandó, vagyis v = v 0 + a t t és s = s 0 + v 0 t + a t t A szabadságfok a mozgás leírásához szükséges független koordináták száma. Anyagi pont és merev test szabad mozgásának rendre 3 és 6 a szabadságfoka. 13. Merev test sebességállapota a testet alkotó pontok sebességeinek térbeli megoszlása adott időpillanatban. 3

4 4 14. A merev test A és B pontjának sebességei között a v B = v A + ω r AB összefüggés áll fenn, ahol ω a szögsebesség vektor. 15. Elemi mozgások osztályozása a szögsebesség vektorrendszer redukált vektorkettőse alapján: 1.a. ω = 0 v A = 0 Elemi nyugalom 1.b. ω = 0 v A 0 Elemi haladó mozgás 2.a. ω 0 ω v A = 0 Elemi forgó mozgás 2.b. ω 0 ω v A 0 Elemi csavarmozgás 16. Merev test gyorsulásállapota a testet alkotó pontok gyorsulásainak térbeli megoszlása adott időpillanatban. 17. A merev test A és B pontjának gyorsulásai között az a B = a A + ɛ r AB + ω (ω r AB ) összefüggés áll fenn, ahol ɛ a szöggyorsulás, ω pedig a szögsebesség. Síkmozgásra a képlet egyszerűsödik: a B = a A + ɛe z r AB ω 2 r AB. 18. A v sz szállítósebesség, illetve az a sz szállítógyorsulás a merev testnek tekintett mozgó relatív ξηζ KR azon pontjának sebessége, illetve gyorsulása, ahol a vizsgált anyagi pont tartózkodik: v sz = v 12 + ω 12 ρ, a sz = a 12 + ɛ 12 ρ + ω 12 (ω 12 ρ). Itt v 12 és a 12 a ξηζ KR origójának sebessége és gyorsulása, ω 12 és ɛ 12 a relatív ξηζ KR szögsebessége és szöggyorsulása, ρ pedig az anyagi pont helyvektora a relatív ξηζ KR-ben. 19. A Coriolis gyorsulást az a c = 2ω 12 β összefüggés értelmezi, ahol ω 12 a relatív ξηζ KR szögsebessége, β = ρ pedig a relatív sebesség. 20. Az anyagi pont v abszolút sebességét a v = v sz + β képlet adja meg, ahol v sz a szállítósebesség, β = ρ pedig a relatív ξηζ KR-ben megfigyelt (mért) relatív sebesség. 21. Az anyagi pont a abszolút gyorsulását az a = a sz + a c + α összefüggés adja meg. A képletben a sz a szállítógyorsulás, a c = 2ω 12 β a Coriolis gyorsulás, α = β pedig a relatív ξηζ KR-ben megfigyelt (mért) relatív gyorsulás. 22. A merev test ω 13 abszolút szögsebességét az ω 13 = ω 12 + ω 23 képlet adja meg, ahol ω 12 a relatív ξηζ KR szögsebessége (szállító szögsebesség), ω 23 pedig a merev test ξηζ KR-ben megfigyelt (mért) relatív szögsebessége. 23. A merev test ɛ 13 abszolút szöggyorsulását az ɛ 13 = ɛ 12 + ω 12 ω 23 + ɛ 23 képlet adja meg, ahol ɛ 12 a relatív ξηζ KR szöggyorsulása, ω 12 a relatív ξηζ KR szögsebessége (szállító szögsebesség), ɛ 23 pedig a merev test ξηζ KR-ben megfigyelt (mért) relatív szöggyorsulása. 24. Anyagi pontrendszerre az ábra jelöléseivel

5 5 az I = I i = m i v i = mv T és Π T = r i I i = r i (m i v i ) összefüggések adják az impulzus vektorrendszer I eredőjét és a T tömegközéppontra vett Π T nyomatékát, azaz a perdületet. A képletekben n az anyagi pontok száma, m = n m i a teljes tömeg, v T = r T az r T = n m ir i /m tömegközéppont sebessége. 25. Merev testre az ábra jelöléseivel az I = (m) v dm = mv T és Π T = (m) ρ v dm = J T ω összefüggések adják az impulzus vektorrendszer I eredőjét és a T tömegközéppontra vett Π T nyomatékát. A képletekben m a test tömege, J T a T tömegközéppontban vett tehetetlenségi tenzor, v T = ṙ T a tömegközéppont sebessége. 26. A merev test T tömegközéponthoz kötött J T tehetetlenségi tenzorának J T = [R 2 I R R] dm (m) az invariáns (KR független) alakja. Itt R a dm tömegelem T tömegközéppontra vonatkoztatott helyvektora, R az R vektor abszolút értéke, míg I az egységtenzor. Az értelmezésből következik, hogy a J T tenzor szimmetrikus.

6 6 27. A T tömegközéponttal egybeeső kezdőpontú ξηζ kartéziuszi koordinátarendszerben [J T ] = J ξ J ξη J ξζ J ηξ J η J ηζ J ζξ J ζη J ζ a merev test tömegközéponthoz kötött J T tehetetlenségi tenzorának mátrixa, ahol a J ξ, J η, J ζ tengelyre és a J ξη = J ηξ, J ξζ = J ζξ, J ηζ = J ζη síkpárra számított másodrendű nyomatékokat az alábbi képletek adják: J ξ = (m) ( η 2 + ζ 2) dm, J η = (m) ( ξ 2 + ζ 2) dm, J ζ = (m) ( ξ 2 + η 2) dm, J ξη = (m) ξη dm, J ηζ = (m) ηζdm, J ζξ = (m) ζξdm. 28. Legyen ξηζ az m tömegű merev test T tömegközéppontjához kötött kartéziuszi koordinátarendszer. Legyen továbbá xyz a merev test A T pontjához kötött kartéziuszi koordinátarendszer. A két KR megfelelő tengelyei párhuzamosak. Legyenek J ξ, J η, J ζ, J ξη, J ηζ, J ζξ illetve J x, J y, J z, J xy, J yz, J zy a vonatkozó másodrendű nyomatékok. A J x J xy J xz J yx J y J yz } _J zx J zy {{ J z } [J A ] = J ξ J ξη J ξζ J ηξ J η J ηζ } J ζξ J ζη {{ J ζ } [J T ] y2 T A + z2 T A x T A y SA x T A z T A y T A x T A x 2 T A + z2 T A y T A z T A z T A x SA z T A y SA x 2 T A + y2 T A }{{} [J AT ] egyenlet a Steiner tétel mátrix alakja. 29. Legyen J A a merev test A pontjában vett tehetetlenségi tenzor. Legyen továbbá az n és m egységvektor irányvektor az A pontban. Ha J n = J A n = J n n azaz minden m n -re fennáll, hogy J mn = m J n = 0, akkor az n irány tehetetlenségi főirány, az általa kijelölt n tengely tehetetlenségi főtengely, J n pedig a vonatkozó főtehetetlenségi nyomaték. 30. Anyagi pontrendszerre az ábra jelöléseivel +m a K = K i = m i a i = ma T, D T = r i K i = r i (m i a i ) összefüggések adják a kinetikai vektorrendszer K eredőjét és a T tömegközéppontra vett D T nyomatékát. A képletekben n az anyagi pontok száma, m = n m i a teljes tömeg, a T = v T = r T az r T = n m ir i /m tömegközéppont gyorsulása. Az egyéb jelölések a szokásosak. 31. Merev testre az ábra jelöléseivel

7 7 az K = (m) a dm = ma T, D T = (m) ρ a dm = J T ε + ω Π T összefüggések adják a kinetikai vektorrendszer K eredőjét és a T tömegközéppontra vett D T nyomatékát. A képletekben m a test teljes tömege, J T a T tömegközéppontban vett tehetetlenségi tenzor, Π T a tömegközéppontra vett perdület. 32. Jelölje K a kinetikai vektorrendszer eredőjét, és legyen D T illetve D A a T tömegközéppontra és az A pontra vett nyomaték. Az impulzus vektorrendszerre nézve I az eredő illetve Π T és Π A a vonatkozó nyomaték. Legyen m a merev test tömege, és jelölje v A illetve v T az A és T pontok sebességét. A test tömegközéppontjában vett vektorkettősökre az K = İ, D T = Π T összefüggések, a test A T pontjában pedig a K = İ, D A = Π A + mv A v T összefüggések állnak fenn. 33. Minden anyagi pont (test) megtartja nyugalmi állapotát, vagy egyenletes egyenesvonalú mozgását, amíg egy másik anyagi pont (test) ennek megváltoztatására nem kényszeríti. A törvény csak inerciarendszerekben érvényes. (A test szó a newtoni megfogalmazást tükrözi.) 34. Az anyagi pont gyorsulása egyenesen arányos az anyagi pontra ható erők eredőjével, azaz ma = F. Itt m az anyagi pont tömege, a az anyagi pont gyorsulása, míg F az anyagi pontra ható erők eredője. Az I = mv impulzusvektorral ma = d dt I = d mv = mdv dt dt a második törvény baloldala, a külső erők eredőjét pedig az F = F i. összeg adja, ahol F i az anyagi pontra ható i-ik erő. A törvény csak inerciarendszerben érvényes ha az F i -k kölcsönhatásból származó erők. A törvény magában foglalja az első törvényt hiszen F = 0 esetén a v = állandó (egyenletes egyenesvonalú mozgás) és a v = 0 (nyugalmi állapot) egyaránt megoldása az ma = 0 egyenletnek. 35. A ξηζ relatív koordinátarendszerben mα = F I + F sz + F c

8 8 a Newton féle második törvény matematikai alakja, ahol m az anyagi pont tömege, α az anyagi pont ξηζ KR-ben megfigyelt (mért) relatív gyorsulása, F I az anyagi pontra ható erők eredője az xyz abszolút KR-ben, míg F sz és F c rendre a szállítóerő és a Coriolis erő. Az utóbbi két erőt járulékos (nem kölcsönhatásból származó) erőnek nevezik: F sz = ma sz, F c = ma c. Itt a sz és a c a szállító- és Coriolis gyorsulás. 36. A hatásnak ellenhatás felel meg. Két anyagi pont esetén jelölje F 21 az első anyagi ponton a második által kifejtett erőt és legyen F 12 a második anyagi ponton az első által kifejtett erőt. A törvény szerint a két anyagi pontot összekötő egyenes a két erő közös hatásvonala és F 21 + F 12 = Az inerciarendszer olyan koordinátarendszer amelyben nincsenek járulékos erők a mozgást okozó erők között, vagyis érvényes a tehetetlenségi törvény. 38. A merev test kinetikai vektorrendszere egyenértékű a testre ható külső erőrendszerrel. Az első kritérium alapján a merev test T tömegközéppontjában az alábbi összefüggések állnak fenn: K = F, azaz ma T = F (impulzustétel); D T = M T, azaz J T ε + ω Π T = M T (perdülettétel). Itt a szokásos jelöléseket alkalmaztuk: m a test tömege, J T a tehetetlenségi tenzor a T pontban, [K, D T ] és [F, M T ] rendre a kinetikai vektorrendszer és a testre ható külső erőrendszer redukált vektorkettőse a T pontban, ω a merev test szögsebessége, a T a T pont gyorsulása, ε a merev test szöggyorsulása és Π T a T pontra vett perdület. 39. Jelölje F az anyagi pontra ható erők eredőjét és legyen v az anyagi pont sebessége. Az anyagi pontra ható erők teljesítményét a P = F v összefüggés értelmezi. 40. Jelölje F i az i-ik m i anyagi pontra (i = 1,..., n; n az anyagi pontok száma) ható külső erők eredőjét, és legyen F ji a j-ik anyagi pont által (j = 1,..., n) az i-ik anyagi ponton kifejtett ún. belső erő (F ii = 0). Legyen továbbá v i az i-ik anyagi pont sebessége. Az anyagi pontrendszerre ható külső és belső erők teljesítményét a P = F i v i + F ji v i } {{ } P k j=1 } {{ } P b képlet adja. Itt P k és P b rendre a külső és belső erők teljesítménye. 41. A merev test belső erőinek zérus a teljesítménye: P b = Legyen ω és v A a merev test szögsebessége és A pontjának sebessége. Legyen továbbá F a merev testen működő külső erők eredője, és jelölje M A a külső erők A pontra vett nyomatékát. A bevezetett jelölésekkel P = P k = F v A + ω M A a merev testen működő külső erők teljesítménye. 43. A W 12 mechanikai munka a külső és belső erők (ha vannak belső erők) teljesítményének idő szerinti integrálja a t 1, t 2 időintervallumban: W 12 = t2 t 1 P dt = t2 t 1 (P k + P b ) dt.

9 44. Az m tömegű anyagi pont az F = F(t); t [t 1, t 2 ] erő hatására mozog, a mozgástörvény r = r(t), a sebesség v = v(t). Az F erő munkáját a t2 t2 W 12 = P dt = F }{{} v dt = t 1 t 1 dr összefüggés adja. Ha az erő állandó, akkor innen r2 r 1 F dr W 12 = F (r 2 r 1 ) = F r. }{{} r Szavakban: állandó erő munkája az erő és támadáspontja elmozdulásvektorának skaláris szorzata. 45. Konzervatív az erőtér, ha az erőtér által valamely anyagi pontra kifejtett erő munkája független az anyagi pont pályájától. Ez esetben létezik egy olyan U(r) skalárfüggvény (más elnevezés szerint potenciálfüggvény vagy röviden potenciál), hogy az anyagi pontra kifejtett F erőre nézve fennáll az F = U összefüggés. A pálya egy szakaszának A kezdő és B végpontja között pedig W AB = U A U B a végzett munka. 46. Legyen v az m tömegű anyagi pont sebessége. Ekkor E = 1 2 mv2 az anyagi pont kinetikai (mozgási) energiája. 47. Legyen v i az n tömegből álló anyagi pontrendszer i-ik (i = 1,..., n) m i jelű anyagi pontjának a sebessége. Ekkor E = E i = 1 2 m iv 2 i az anyagi pontrendszer kinetikai energiája. 48. Legyen [ω; v A ] a merev test szögsebesség vektorrendszerének és [I, Π A ] a merev test impulzus vektorrendszerének a test A pontjába redukált vektorkettőse. Ezekkel a mennyiségekkel E = 1 2 [v A I + ω Π A ] a merev test kinetikai energiája. Ha A = T, akkor E = 1 [ mv 2 2 T + ω J T ω ] = 1 [ mv 2 2 T + J e ω 2] a kinetikai energia, ahol m a test tömege, v T a T tömegközéppont sebessége, J T a tehetetlenségi tenzor a T pontban, ω = ωe, e e = 1 és J e = e J T e. 49. Legyen ω = ω(t)e ζ az m tömegű, síkmozgást végző merev test szögsebessége az xy síkkal egybeeső ξη sík a mozgás síkja. Legyen továbbá J ζ a T tömegközépponton átmenő ζ tengelyre, és J z a P póluson átmenő és a ζ-vel párhuzamos z tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték. A T pont sebessége v T. A bevezetett jelölésekkel E = 1 [ mv 2 2 T + J ζ ω 2] = 1 2 J zω 2 ( Jz = J ζ + mr 2 ) T P a kinetikai energia, ahol r T P a P pólus T pontra vonatkoztatott helyvektora. 50. A munkatétel szerint [az anyagi pont]{a merev test} E kinetikai energiájának megváltozása a [t 1, t 2 ]; t 2 > t 1 időintervallumban megegyezik [az anyagi pontra ható külső erők]{a merev testre ható külső erőrendszer} által végzett W 12 munkával: E 2 E 1 = W 12. 9

10 A csapágyakban forgó merev test akkor van statikailag kiegyensúlyozva, ha zérus a testre ható külső erők eredője. Ennek az a feltétele, hogy a tömegközéppont a forgástengelyen legyen, ekkor ui. K = ma T = 0, következőleg zérus a külső erők összege. 52. A csapágyakban forgó merev test akkor van dinamikusan kiegyensúlyozva, ha statikailag ki van egyensúlyozva és emellett a testre ható külső erőrendszer nyomatéka ha nem zérus párhuzamos a forgástengellyel. Az utóbbi feltétel akkor teljesül, ha a forgástengely a J T tenzor tehetetlenségi főtengelye. 53. Jelölje rendre ω max és ω min a forgó gép szögsebességének maximumát és minimumát. A közepes szögsebességet az ω k = ω max + ω min 2 összefüggés értelmezi. 54. Jelöle rendre ω max és ω min a forgó gép szögsebességének maximumát és minimumát, ω k pedig a közepes szögsebességet. A járás egyenlőtlenségi fokát a δ = ω max ω min ω k összefüggés értelmezi. 55. A q 1,..., q s ún. általános koordináták s a vizsgált dinamikai rendszer szabadságfoka a mozgás leírásához szükséges koordináták. Az általános szó mint jelző arra utal, hogy ezek a koordináták nem szükségképpen hosszkoordináták. 56. Legyen a vizsgált dinamikai rendszer i ik pontjának r i = r i (q 1,..., q s ) a helyvektora (i = 1,..., N), ahol q 1,..., q s általános koordináták, s a szabadságfok. Értelmezés szerint Kimutatható, hogy β ij = r i q j, j = 1, 2,..., s. β ij = v i, j = 1, 2,..., s. q j Az utóbbi egyenlet alapján β ij t egységnyi koordinátasebességhez tartozó sebességnek nevezik. 57. Legyen s a vizsgált dinamikai rendszer szabadságfoka, és jelölje q 1,..., q s a vonatkozó általános koordinátákat. A dinamikai rendszerre ható külső erőket rendre F i jelöli, i = 1,..., N. Ha nincs a rendszeren nyomatéki teher például anyagi pontrendszer esetén akkor N Q j = F i β ij a q j általános koordinátához tartozó Q j általános erő értelmezése, ahol β ij az egységnyi koordinátasebességhez tartozó sebesség 58. Legyen s a vizsgált dinamikai rendszer szabadságfoka és jelölje q 1,..., q s a vonatkozó általános koordinátákat. Legyen továbbá P (q 1,... q s ; q 1,... q s ) a külső erők teljesítménye. A q j általános koordinátához tartozó Q j általános erő a Q j = P q j ; j = 1, 2,..., s képletből számítható. 59. Legyen E a vizsgált dinamikai rendszer mozgási energiája, s a szabadságfok, és jelölje q 1,..., q s a vonatkozó általános koordinátákat. Legyen továbbá Q j a q j általános koordinátához tartozó általános erő. Ezekkel a jelölésekkel d dt ( E q j ) E q j = Q j ; a Lagrange féle másodfajú mozgásegyenletek. j = 1, 2,..., s

11 60. Tegyük fel, hogy a vizsgált dinamikai rendszer N merev testből áll, s a szabadságfok, q 1,..., q s a vonatkozó általános koordináták, ω i (i = 1,..., N) az i-ik merev test szögsebessége. A b ij vektort a b ij = ω i ; j = 1, 2,..., s q j összefüggés adja. Ennek megfelelően b ij az egységnyi koordinátasebességhez tartozó szögsebességnek nevezhető. 61. Tegyük fel, hogy a vizsgált dinamikai rendszer N merev testből áll, s a szabadságfok, q 1,..., q s a vonatkozó általános koordináták, v T i az i-ik merev test tömegközéppontjának sebessége, β T ij = v T i, ω i az i-ik merev test szögsebessége, b ij = ω i. Az i-ik merev q j q j testre ható külső erők eredőjét F i, a T i tömegközéppontra vett nyomatékát pedig M T i jelöli. Ezekkel a jelölésekkel N Q j = (F i β T ij + M T i b ij ) ; j = 1, 2,..., s a q j általános koordinátához tartozó általános erő. 62. Egyszabadságfokú rezgő rendszer esetén ( ) d E E dt q q = Q r + Q c + Q g a mozgásegyenlet, ahol E a mozgási energia, q és q rendre az általános koordináta és az általános koordináta sebesség, Q r az általános csillapító erő, Q c az általános visszatérítő erő és Q g az általános gerjesztő erő. 63. Egyszabadságfokú rezgő rendszer esetén Q c = U q az általános visszatérítő erő, ahol U a vonatkozó potenciál (például rugóenergia). 64. Legyen az F r csillapító erő. Egyszabadságfokú rezgő rendszer esetén Q r = r(β e) 2 q a vonatkozó általános csillapító erő, ahol r a csillapítási tényező, e a csillapító erő irányát adó egységvektor β = v, v a csillapító erő támadáspontjának sebessége, q pedig az q általános koordináta sebesség. 65. Legyen F g gerjesztőerő. A vonatkozó általános erőt egyszabadságfokú rezgő rendszer esetén a Q g = F g β képlet adja, ahol β = v, v a gerjesztőerő támadáspontjának sebessége, q pedig az q általános koordináta sebesség. Legyen továbbá M g gerjesztő nyomaték. A vonatkozó általános erőt egyszabadságfokú rezgő rendszer esetén a Q g = M g b képlet adja, ahol b = ω, ω pedig azon merev test szögsebessége, amelyre a gerjesztés q működik. 11

ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN

ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 3. GÉPEK MECHANIKAI FOLYAMATAI 1. Definiálja a térbeli pont helyvektorát! r helyvektor előáll ortogonális (a 3 tengely egymásra merőleges) koordinátarendszer koordinátairányú

Részletesebben

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg

Részletesebben

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton

Részletesebben

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel

Részletesebben

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül.

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül. 01.03.16. RADNAY László Tnársegéd Debreceni Egyetem Műszki Kr Építőmérnöki Tnszék E-mil: rdnylszlo@gmil.com Mobil: +36 0 416 59 14 Definíciók: Kinemtik: A mechnikánk z része, mely testek mozgását vizsgálj

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó

Részletesebben

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Szeretném felhívni figyelmüket a feltett korábbi vizsgapéldák és az azokhoz tartozó megoldások felhasználásával kapcsolatban néhány dologra.

Szeretném felhívni figyelmüket a feltett korábbi vizsgapéldák és az azokhoz tartozó megoldások felhasználásával kapcsolatban néhány dologra. Tisztelt Hallgatók! Szeretném felhívni figyelmüket a feltett korábbi vizsgapéldák és az azokhoz tartozó megoldások felhasználásával kapcsolatban néhány dologra. Az, hogy valaki egy korábbi vizsga megoldását

Részletesebben

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása.

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Dinamika A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Newton törvényei: I. Newton I. axiómája: Minden nyugalomban lévő test megtartja nyugalmi állapotát, minden mozgó test

Részletesebben

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel 1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora

Részletesebben

Irányításelmélet és technika I.

Irányításelmélet és technika I. Irányításelmélet és technika I. Mechanikai rendszerek dinamikus leírása Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010

Részletesebben

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia, Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus

Részletesebben

l 1 Adott: a 3 merev fogaskerékből álló, szabad rezgést végző rezgőrendszer. Adott továbbá

l 1 Adott: a 3 merev fogaskerékből álló, szabad rezgést végző rezgőrendszer. Adott továbbá SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETE ALKALAZOTT ECHANIKA TANSZÉK ECHANIKA-REZGÉSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Fehér Lajos tsz mérnök; Tarnai Gábor mérnök tanár; olnár Zoltán egy adj r Nagy Zoltán egy adj) Több szabadságfokú

Részletesebben

1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből

1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből 1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló

Részletesebben

Alkalmazott Mechanika Tanszék. Széchenyi István Egyetem

Alkalmazott Mechanika Tanszék. Széchenyi István Egyetem Széchenyi István Egyetem Szerkezetek dinamikája Alkalmazott Mechanika Tanszék Elméleti kérdések egyetemi mesterképzésben (MSc) résztvev járm mérnöki szakos hallgatók számára 2013. szeptember 6. 1. Folytonos

Részletesebben

Osztályozó, javító vizsga 9. évfolyam gimnázium. Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ

Osztályozó, javító vizsga 9. évfolyam gimnázium. Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ 1. Egy téglalap alakú háztömb egyik sarkából elindulva 80 m, 150 m, 80 m utat tettünk meg az egyes házoldalak mentén, míg a szomszédos sarokig értünk. Mekkora az elmozdulásunk?

Részletesebben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma

Részletesebben

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport MECHANIKA I. 1. Definiálja a helyvektort! 2. Mondja meg mit értünk vonatkoztatási rendszeren! 3. Fogalmazza meg kinematikailag, hogy mikor

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

DR. BUDO ÁGOSTON ' # i. akadémikus, Kossuth-díjas egyetemi tanár MECHANIKA. Kilencedik kiadás TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST

DR. BUDO ÁGOSTON ' # i. akadémikus, Kossuth-díjas egyetemi tanár MECHANIKA. Kilencedik kiadás TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST DR. BUDO ÁGOSTON ' # i akadémikus, Kossuth-díjas egyetemi tanár MECHANIKA Kilencedik kiadás TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST 1991 TARTALOMJEGYZÉK Bevezette 1.. A klasszikus mechanika feladata, érvényességi határai

Részletesebben

Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések

Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések 1. Melyek a rezgőmozgást jellemző fizikai mennyiségek?. Egy rezgés során mely helyzetekben maximális a sebesség, és mikor a gyorsulás? 3. Milyen

Részletesebben

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek.

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek. Mozgások dinamikai leírása A dinamika azzal foglalkozik, hogy mi a testek mozgásának oka, mitől mozognak úgy, ahogy mozognak? Ennek a kérdésnek a megválaszolása Isaac NEWTON (1642 1727) nevéhez fűződik.

Részletesebben

Mechanika I-II. Példatár

Mechanika I-II. Példatár Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Dr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT MECHANIKA

Dr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT MECHANIKA Dr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT MECHANIKA UNIVERSITAS-GYŐR Nonprofit Kft. Győr, 2010 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK ALKALMAZOTT

Részletesebben

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk

Részletesebben

Figyelem! Csak belső és saját használatra! Terjesztése és másolása TILOS!

Figyelem! Csak belső és saját használatra! Terjesztése és másolása TILOS! Figyelem! Csak belső és saját használatra! Terjesztése és másolása TILOS! 1. példa Vasúti kocsinak a 6. ábrán látható ütközőjébe épített tekercsrugóban 44,5 kn előfeszítő erő ébred. A rugó állandója 0,18

Részletesebben

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája Egészségügyi mérnökképzés MECHNIK I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert Igénybevételek térben I. z alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre

Részletesebben

MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1 Cél:

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

Vektoranalízis Vektor értékű függvények

Vektoranalízis Vektor értékű függvények Vektoranalízis VS Vektoranalízis Vektor értékű üggvények A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Vektoranalízis VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Speciális mozgásfajták

Speciális mozgásfajták DINAMIKA Klasszikus mechanika: a mozgások leírása I. Kinematika: hogyan mozog egy test út-idő függvény sebesség-idő függvény s f (t) v f (t) s Példa: a 2 2 t v a t gyorsulások a f (t) a állandó Speciális

Részletesebben

2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A

2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A Mechatronika alapjai 2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A elmozdulás erő nyomaték elmozdulás erő nyomaték Mechanizmusok Mechanizmus: általánosságban: A gép mechanikus elven működő részei Definíció: A

Részletesebben

Mérnöki alapok 2. előadás

Mérnöki alapok 2. előadás Mérnöki alapok. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Fizika mérnököknek I. levelező tagozat

Fizika mérnököknek I. levelező tagozat Fizika mérnököknek I. levelező tagozat Dr. Czirjákné Csete Mária Dr. Kovács Attila a.p.kovacs@physx.u-szeged.hu Követelmények Részvétel az előadáson: nem kötelező Vizsgára bocsáthatóság feltétele: elégtelentől

Részletesebben

Mérnöki alapok 2. előadás

Mérnöki alapok 2. előadás Mérnöki alapok. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Az R 3 tér geometriája. Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Az R 3 tér geometriája. Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális vektorok:

Részletesebben

Mérnöki alapok 1. előadás

Mérnöki alapok 1. előadás Mérnöki alapok 1. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

Égi mechanika tesztkérdések. A hallgatók javaslatai 2008

Égi mechanika tesztkérdések. A hallgatók javaslatai 2008 Égi mechanika tesztkérdések A hallgatók javaslatai 2008 1 1 Albert hajnalka 1. A tömegközéppont körüli mozgást leíró m 1 s1 = k 2 m 1m 2 r,m s r 2 r 2 2 = k 2 m 1m 2 r r 2 r mozgásegyenletek ekvivalensek

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

Fizika alapok. Az előadás témája

Fizika alapok. Az előadás témája Az előadás témája Körmozgás jellemzőinek értelmezése Általános megoldási módszer egyenletes körmozgásnál egy feladaton keresztül Testek mozgásának vizsgálata nem inerciarendszerhez képest Centripetális

Részletesebben

Elektromágneses hullámok

Elektromágneses hullámok Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses

Részletesebben

Munka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása

Munka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása Munka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása Munkavégzés történik ha: felemelek egy könyvet kihúzom az expandert A munka Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő

Részletesebben

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek 1. Fogalmi alapok Mérlegegyenletek Utolsó módosítás: 2013. február 11. A transzportfolyamatokról általában 1 A természetben lezajló folyamatok leírására szolgáló összefoglaló elmélet, amely attól függetlenül

Részletesebben

KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK

KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK web-lap : www.hild.gor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STATIKA 50. KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK A TARTÓK MÉRETEZÉSE SORÁN SZÁMOS ESETBEN SZÜKSÉGÜNK VAN OLYAN ADATOKRA,

Részletesebben

Digitális tananyag a fizika tanításához

Digitális tananyag a fizika tanításához Digitális tananyag a fizika tanításához Ismétlés Erőhatás a testek mechanikai kölcsönhatásának mértékét és irányát megadó vektormennyiség. jele: mértékegysége: 1 newton: erőhatás következménye: 1N 1kg

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően

Részletesebben

A lengőfűrészelésről

A lengőfűrészelésről A lengőfűrészelésről Az [ 1 ] tankönyvben ezt írják a lengőfűrészről, működéséről, használatáról: A lengőfűrész árkolásra, csaprések készítésére alkalmazott, 150 00 mm átmérőjű, 3 4 mm vastag, sűrű fogazású

Részletesebben

A Maxwell - kerékről. Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!

A Maxwell - kerékről. Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1 A Maxwell - kerékről Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra forrása: [ 1 ] Itt azt láthatjuk, hogy egy r sugarú kis hengerre felerősítettek

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29. A mechanika alapjai A pontszerű testek kinematikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29. 2 / 35 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? 3 /

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása

Részletesebben

VILLAMOS FORGÓGÉPEK. Forgó mozgás létesítése

VILLAMOS FORGÓGÉPEK. Forgó mozgás létesítése SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM HTTP://UNI.SZE.HU VILLAMOS FORGÓGÉPEK Forgó mozgás létesítése Marcsa Dániel Villamos gépek és energetika 203/204 - őszi szemeszter Elektromechanikai átalakítás Villamos rendszer

Részletesebben

Egy kinematikai feladat

Egy kinematikai feladat 1 Egy kinematikai feladat Valami geometriai dologról ötlött eszembe az alábbi feladat 1. ábra. 1. ábra Adott az a és b egyenes, melyek α szöget zárnak be egymással. A b egyenesre ráfektetünk egy d hosszúságú

Részletesebben

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort!

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1 / 20 2. példa: Rajzoljuk fel az adott feszültségtenzorhoz tartozó kockát! 2 / 20 3. példa: Feszültségvektor számítása. Egy alkatrész egy

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Fogaskerékhajtás tudnivalók, feladatok

Fogaskerékhajtás tudnivalók, feladatok Fogaskerékhajtás tudnivalók, feladatok Tudnivalók A fogaskerékhajtás egy hajtómű - féleség A hajtómű olyan itt mechanikus berendezés, amely erőket és mozgásokat továbbít: a hajtó tengelyről a hajtott tengelyre

Részletesebben

Robotika. Kinematika. Magyar Attila

Robotika. Kinematika. Magyar Attila Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc

Részletesebben

MUNKA- ÉS ENERGIATÉTELEK

MUNKA- ÉS ENERGIATÉTELEK MUNKA- ÉS ENERGIAÉELEK 1. előadás: Alapfogalmak; A virtuális elmozdulások tétele 2. előadás: Alapfogalmak; A virtuális erők tétele Elmozdulások számítása a virtuális erők tétele alapján 3. előadás: Az

Részletesebben

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 003 006 Tartalomjegyzék 1. fejezet tenzorszámítás elemei 1 1.1. Bevezető megjegyzések 1 1.. Függvények 1 1.3. másodrendű tenzor fogalmának geometriai

Részletesebben

Gyakorló feladatok Feladatok, merev test dinamikája

Gyakorló feladatok Feladatok, merev test dinamikája Gyakorló feladatok Feladatok, merev test dinamikája 4.5.1. Feladat Határozza meg egy súlytalannak tekinthető súlypontját. 2 m hosszú rúd két végén lévő 2 kg és 3 kg tömegek Feltéve, hogy a súlypont a 2

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor . Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z

Részletesebben

Merev testek mechanikája. Szécsi László

Merev testek mechanikája. Szécsi László Merev testek mechanikája Szécsi László Animáció időfüggés a virtuális világmodellünkben bármely érték lehet időben változó legjellemzőbb: a modell transzformáció időfüggése mozgó tárgyak módszerek az időfüggés

Részletesebben

Elméleti kérdések és válaszok

Elméleti kérdések és válaszok Elméleti kérdések és válaszok Folyamatosan bővül 9. évfolyam Tartalom 1. Értelmezd a következő fogalmakat: megfigyelés, kísérlet, modell!... 3 2. Mit nevezünk koordináta rendszernek és mit vonatkoztatási

Részletesebben

FIZIKA II. Az áram és a mágneses tér kapcsolata

FIZIKA II. Az áram és a mágneses tér kapcsolata Az áram és a mágneses tér kapcsolata Mágneses tér jellemzése: Mágneses térerősség: H (A/m) Mágneses indukció: B (T = Vs/m 2 ) B = μ 0 μ r H 2Seres.Istvan@gek.szie.hu Sztatikus terek Elektrosztatikus tér:

Részletesebben

Fizika 1 BME TE11AX01. Dr. Márkus Ferenc előadásai alapján. Készítette: Fülep Szabolcs

Fizika 1 BME TE11AX01. Dr. Márkus Ferenc előadásai alapján. Készítette: Fülep Szabolcs Fizika 1 BME TE11AX01 Dr. Márkus Ferenc előadásai alapján Készítette: Fülep Szabolcs Tartalom KINEMATIKA... 5 SÍKBELI ÉS TÉRBELI MOZGÁSOK... 5 SEBESSÉG... 6 Átlagsebesség... 6 Pillanatnyi sebesség... 6

Részletesebben

Speciális relativitás

Speciális relativitás Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 3. (b) Speciális relativitás Relativisztikus dinamika Utolsó módosítás: 2013 október 15. 1 A relativisztikus tömeg (1) A bevezetett Lorentz-transzformáció biztosítja

Részletesebben

6. A Lagrange-formalizmus

6. A Lagrange-formalizmus Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 6. rész 1 6. A Lagrange-formalizmus A Lagrange-formalizmus alkalmazásával bizonyos fizikai rendszerek mozgásegyenleteit írhatjuk fel egyszerű módon. Az alapvető

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Rezgés, Hullámok. Rezgés, oszcilláció. Harmonikus rezgő mozgás jellemzői

Rezgés, Hullámok. Rezgés, oszcilláció. Harmonikus rezgő mozgás jellemzői Rezgés, oszcilláció Rezgés, Hullámok Fogorvos képzés 2016/17 Szatmári Dávid (david.szatmari@aok.pte.hu) 2016.09.26. Bármilyen azonos időközönként ismétlődő mozgást, periodikus mozgásnak nevezünk. A rezgési

Részletesebben

A MECHANIKAI ENERGIA

A MECHANIKAI ENERGIA A MECHANIKAI ENERGIA. A mechanika munkatétele A mechanika munkatétele Newton második axiómájából következik. Newton második axiómája egyetlen tömegre (vagy tömegpontra): F d r ma m, (.) mely általános

Részletesebben

Mondatkiegészítések megoldások

Mondatkiegészítések megoldások Mondatkiegészítések megoldások 2014. július 2. Az alábbi típusú mondatkiegészítések jelentik az elméleti feladatok egy részét. A tapasztalat szerint ezek megoldásához a tárgyi tudás mellett szükség van

Részletesebben

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Égi mechanika tesztfeladatok 2006

Égi mechanika tesztfeladatok 2006 Égi mechanika tesztfeladatok 2006 1 2 Bartha Zsolt 1. Az n tömegpontból álló rendszer Lagrange-féle értelemben stabil, ha a tömegpontok közti összes r ij távolságoknak... a.) nincs felső határa. b.) véges

Részletesebben

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek 1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és

Részletesebben

BEMUTATÓ FELADATOK (2) ÁLTALÁNOS GÉPTAN tárgyból

BEMUTATÓ FELADATOK (2) ÁLTALÁNOS GÉPTAN tárgyból BEMUTATÓ FELADATOK () 1/() Egy mozdony vízszintes 600 m-es pályaszakaszon 150 kn állandó húzóer t fejt ki. A vonat sebessége 36 km/h-ról 54 km/h-ra növekszik. A vonat tömege 1000 Mg. a.) Mekkora a mozgási

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

11. A FÖLD FORGÁSA, AZ ÁLTALÁNOS PRECESSZIÓ

11. A FÖLD FORGÁSA, AZ ÁLTALÁNOS PRECESSZIÓ 11. A FÖLD FORGÁSA, AZ ÁLTALÁNOS PRECESSZIÓ A Föld saját tengelye körüli forgását az ω r forgási szögsebesség-vektora jellemzi, ezért a Föld forgásának leírásához ismernünk kell a szögsebesség-vektor térbeli

Részletesebben

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat)

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) I. Pontszerű test 1. Pontszerű test modellje. Pontszerű test egyensúlya 3. Pontszerű test mozgása a) Egyenes vonalú egyenletes

Részletesebben

Navier-formula. Frissítve: Egyenes hajlítás

Navier-formula. Frissítve: Egyenes hajlítás Navier-formula Akkor beszélünk egyenes hajlításról, ha a nyomatékvektor egybeesik valamelyik fő-másodrendű nyomatéki tengellyel. A hajlítást mindig súlyponti koordinátarendszerben értelmezzük. Ez még a

Részletesebben

1. MECHANIKA Periodikus mozgások: körmozgás, rezgések, lengések

1. MECHANIKA Periodikus mozgások: körmozgás, rezgések, lengések K1A labor 1. MECHANIKA Periodikus mozgások: körmozgás, rezgések, lengések A mérés célja A címben szereplő mozgásokat mindennapi tapasztalatainkból jól ismerjük, és korábbi tanulmányainkban is foglakoztunk

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

FIZIKA I. Mechanika, Hõtan.

FIZIKA I. Mechanika, Hõtan. Table of Contents FIZIKA I. Mechanika, Hõtan...1 Pontmechanikai alapok...3 Kinematika...5 Dinamika...18 Newton törvényei....19 A dinamika tételei...28 Impulzustétel...29 A munka, munkatétel...29 Perdületi

Részletesebben

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény. Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...

Részletesebben

MŐSZAKI MECHANIKA III.

MŐSZAKI MECHANIKA III. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MŐSZAKI MECHANIKA III KINEMATIKA ÉS KINETIKA Jegyzet a faipari-, ipari termék

Részletesebben

Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól

Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól Ellipsis.tex, February 9, 01 Az ellipszis Az ellipszis leírása Az ellipszis szerkesztése és tulajdonságai Az ellipszis kanonikus egyenlete A kör vetülete ellipszis Az ellipszis polárkoordinátás egyenlete

Részletesebben

9. évfolyam. Osztályozóvizsga tananyaga FIZIKA

9. évfolyam. Osztályozóvizsga tananyaga FIZIKA 9. évfolyam Osztályozóvizsga tananyaga A testek mozgása 1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás 2. Változó mozgás: gyorsulás fogalma, szabadon eső test mozgása 3. Bolygók mozgása: Kepler törvények A Newtoni

Részletesebben

Mechanikai rezgések = 1 (1)

Mechanikai rezgések = 1 (1) 1. Jellemző fizikai mennyiségek Mechanikai rezgések Mivel a harmonikus rezgőmozgást végző test leírható egy egyenletes körmozgást végző test vetületével, a rezgőmozgást jellemző mennyiségek megegyeznek

Részletesebben

Az R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész

Az R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész Az R forgató mátri [ ] - beli képleteinek levezetése: I rész Az [ ] forrás kötetében a ( 49 ), ( 50 ) képletek nyilván mint közismertek nem lettek levezetve Minthogy az ottani további számítások miatt

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató A hármas és háromszoros integrál Definició A fizikai meggondolások előzményeként jutunk el a hármas integrál következő értelmezéséhez. Legyen értelmezve

Részletesebben