A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája"

Átírás

1 A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v / 26

2 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26

3 Bevezetés alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. megértéséhez szükségesek voltak mindazok, amit a kinematikából eddig megtanultunk. 3 / 26

4 Bevezetés alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. megértéséhez szükségesek voltak mindazok, amit a kinematikából eddig megtanultunk. alapit Isaac Newton fedezte fel az 1600-as évek végén. Természetesen alapozott sokak munkájára, de nála állt össze egy rendszerré a mechanika. 3 / 26

5 Bevezetés alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. megértéséhez szükségesek voltak mindazok, amit a kinematikából eddig megtanultunk. alapit Isaac Newton fedezte fel az 1600-as évek végén. Természetesen alapozott sokak munkájára, de nála állt össze egy rendszerré a mechanika. A mechanika alapi azóta is a Newton-k, melyeket a következőkben tárgyalunk. (Newton nem pontosan ebben a formában mondta ki őket, de mindezek benn vannak műveiben.) 3 / 26

6 Newton I. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. 4 / 26

7 Newton I. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Megjegyzések: Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. 4 / 26

8 Newton I. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Megjegyzések: Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel. 4 / 26

9 Newton I. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Megjegyzések: Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel. Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer! 4 / 26

10 Newton I. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Megjegyzések: Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel. Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer! Sok rossz megfogalmazása létezik Newton I. törvényének! Általában elfelejtik megjegyezni, hogy ez csak bizonyos rendszerekben teljesül. 4 / 26

11 Newton I. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Megjegyzések: Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel. Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer! Sok rossz megfogalmazása létezik Newton I. törvényének! Általában elfelejtik megjegyezni, hogy ez csak bizonyos rendszerekben teljesül. Newton többi csak inerciarendszerben teljesül! 4 / 26

12 Newton II. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Minden testhez található egy olyan állandó m mennyiség, amit a test tömegének nevezünk, és a többi test hatása a vizsgált testre jellemezhető egy F úgynevezett erőfüggvénnyel, ami csak a test tömegétől, helyétől sebességétől és az időponttól függ, úgy, hogy ahol a a test gyorsulása. F = m a 5 / 26

13 Newton II. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Minden testhez található egy olyan állandó m mennyiség, amit a test tömegének nevezünk, és a többi test hatása a vizsgált testre jellemezhető egy F úgynevezett erőfüggvénnyel, ami csak a test tömegétől, helyétől sebességétől és az időponttól függ, úgy, hogy ahol a a test gyorsulása. F = m a Newton szerint tehát a testek tömege állandó, független a test mozgásától és attól, milyen kölcsönhatásban vesz részt a test. 5 / 26

14 Newton II. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Minden testhez található egy olyan állandó m mennyiség, amit a test tömegének nevezünk, és a többi test hatása a vizsgált testre jellemezhető egy F úgynevezett erőfüggvénnyel, ami csak a test tömegétől, helyétől sebességétől és az időponttól függ, úgy, hogy ahol a a test gyorsulása. F = m a Newton szerint tehát a testek tömege állandó, független a test mozgásától és attól, milyen kölcsönhatásban vesz részt a test. Másik elrejtett feltételezés, hogy a kölcsönhatások előre meghatározott módon mennek végbe, azaz az erő mindig ugyanaz, ha azonos körülmények közt megismétlek egy kísérletet. 5 / 26

15 ... alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények. 6 / 26

16 ... alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények. (Deriválás nélkül még a pillanatnyi sebesség is homályos fogalom volt, nemhogy a gyorsulás... ) 6 / 26

17 ... alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények. (Deriválás nélkül még a pillanatnyi sebesség is homályos fogalom volt, nemhogy a gyorsulás... ) Newton II. törvényének jelentősége: Ha egy kölcsönhatás erőtörvényét egyszer megállapítom, és egy test tömegét lemérem, akkor Newton II. alapján megkapom a gyorsulást. Ebből a kinematika módszereivel a teljes mozgás visszakapható. 6 / 26

18 ... alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények. (Deriválás nélkül még a pillanatnyi sebesség is homályos fogalom volt, nemhogy a gyorsulás... ) Newton II. törvényének jelentősége: Ha egy kölcsönhatás erőtörvényét egyszer megállapítom, és egy test tömegét lemérem, akkor Newton II. alapján megkapom a gyorsulást. Ebből a kinematika módszereivel a teljes mozgás visszakapható. Sok, korábban megmagyarázhatatlan dologra derült fény. (Bolygók mozgása, lövedék röppálya, gépek tervezési kérdései, stb.) 6 / 26

19 Newton III. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Ha csak két test van egymással kölcsönhatásban, akkor ha az egyikre F 1 erő hat, akkor a másikra ható erő F 2 = F 1. 7 / 26

20 Newton III. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Ha csak két test van egymással kölcsönhatásban, akkor ha az egyikre F 1 erő hat, akkor a másikra ható erő F 2 = F 1. Szokás ezt hatás-ellenhatás törvényének is nevezni. F 1 replacements F 2 = F 1 Sfrag 7 / 26

21 Newton IV. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Ha egy testre több másik is hat egyszerre, akkor a test úgy mozog, mintha olyan kölcsönhatásban szerepelne, melynek ereje a különkülön kölcsönhatások erőinek vektori összege. 8 / 26

22 Newton IV. alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Ha egy testre több másik is hat egyszerre, akkor a test úgy mozog, mintha olyan kölcsönhatásban szerepelne, melynek ereje a különkülön kölcsönhatások erőinek vektori összege. Az erők tehát egymástól függetlenül hatnak, hatásuk egyszerű matematikai művelettel összegezhető. F + F 1 2 F 1 F 2 8 / 26

23 ... alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Több kölcsönhatás esetére Newton II. törvényét szokás az alábbi alakok valamelyikében felírni: F 1 + F F n = m a n F i = F eredő = ma i=1 9 / 26

24 alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma 10 / 26

25 2 kölcsönható test esete alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Vizsgáljunk két testet, amik erőt fejtenek ki egymásra, de más test nem hat erre a kettőre, azaz a két test zárt rendszert alkot. 11 / 26

26 2 kölcsönható test esete alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Vizsgáljunk két testet, amik erőt fejtenek ki egymásra, de más test nem hat erre a kettőre, azaz a két test zárt rendszert alkot. Newton III. szerint a rájuk ható erők: F 1 = F 2 11 / 26

27 2 kölcsönható test esete alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Vizsgáljunk két testet, amik erőt fejtenek ki egymásra, de más test nem hat erre a kettőre, azaz a két test zárt rendszert alkot. Newton III. szerint a rájuk ható erők: Egy igen kicsi t-re: F 1 = F 2 F 1 = m 1 v 1 t 11 / 26

28 2 kölcsönható test esete alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Vizsgáljunk két testet, amik erőt fejtenek ki egymásra, de más test nem hat erre a kettőre, azaz a két test zárt rendszert alkot. Newton III. szerint a rájuk ható erők: Egy igen kicsi t-re: F 1 = F 2 F 1 = m 1 v 1 t Hasonló összefüggés igaz a második testre is. Ezért: m 1 v 1 t = m 2 v 2 t 11 / 26

29 2 kölcsönható test esete alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Vizsgáljunk két testet, amik erőt fejtenek ki egymásra, de más test nem hat erre a kettőre, azaz a két test zárt rendszert alkot. Newton III. szerint a rájuk ható erők: Egy igen kicsi t-re: F 1 = F 2 F 1 = m 1 v 1 t Hasonló összefüggés igaz a második testre is. Ezért: m 1 v 1 t = m 2 v 2 t Innét: m 1 v 1 + m 2 v 2 = 0 11 / 26

30 ... alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Mivel a tömegek állandóak, ezért nyilvánvalóan (m 1 v 1 ) + (m 2 v 2 ) = 0 (m 1 v 1 + m 2 v 2 ) = 0 12 / 26

31 ... alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Mivel a tömegek állandóak, ezért nyilvánvalóan (m 1 v 1 ) + (m 2 v 2 ) = 0 (m 1 v 1 + m 2 v 2 ) = 0 azaz m 1 v 1 + m 2 v 2 = állandó 12 / 26

32 ... alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Mivel a tömegek állandóak, ezért nyilvánvalóan (m 1 v 1 ) + (m 2 v 2 ) = 0 (m 1 v 1 + m 2 v 2 ) = 0 azaz m 1 v 1 + m 2 v 2 = állandó Az mv mennyiségek összege tehát állandó, ezért ez fontos mennyiség lehet, hisz minden körülmények közt megmarad. 12 / 26

33 a lendület fogalma alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Célszerű tehát elnevezni valaminek a tömeg és a sebesség szorzatát: Egy m tömegű, v sebességű test lendületének (vagy impulzusának) nevezzük a p = mv mennyiséget. 13 / 26

34 a lendület fogalma alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Célszerű tehát elnevezni valaminek a tömeg és a sebesség szorzatát: Egy m tömegű, v sebességű test lendületének (vagy impulzusának) nevezzük a p = mv mennyiséget. Nemcsak 2, hanem n testre is bizonyítható, hogyha zárt rendszert alkotnak, összlendületük állandó: n i=1 m i v i = n p i = áll. i=1 13 / 26

35 a lendület fogalma alapi 2 kölcsönható test esete a lendület fogalma Célszerű tehát elnevezni valaminek a tömeg és a sebesség szorzatát: Egy m tömegű, v sebességű test lendületének (vagy impulzusának) nevezzük a p = mv mennyiséget. Nemcsak 2, hanem n testre is bizonyítható, hogyha zárt rendszert alkotnak, összlendületük állandó: n m i v i = n p i = áll. i=1 i=1 Könnyen bebizonyítható, hogy a lendület idő szerinti deriváltja az erő: dp dt = F 13 / 26

36 alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 14 / 26

37 a munka alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test r elmozdulása során a rá ható erő folytonosan F, akkor ez alatt az erő testen végzett munkája: W = F r 15 / 26

38 a munka alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test r elmozdulása során a rá ható erő folytonosan F, akkor ez alatt az erő testen végzett munkája: W = F r Itt a F r szorzat a vektorok skaláris szorzatát jelöli. 15 / 26

39 a munka alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test r elmozdulása során a rá ható erő folytonosan F, akkor ez alatt az erő testen végzett munkája: W = F r Itt a F r szorzat a vektorok skaláris szorzatát jelöli. A munka ilyen értelmezése mellett az alábbi alapvető dolgokat érdemes megjegyezni: W = 0, ha F és r merőlegesek. Tehát ha az erő és az elmozdulás merőlegesek egymásra, nincs munkavégzés. 15 / 26

40 a munka alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test r elmozdulása során a rá ható erő folytonosan F, akkor ez alatt az erő testen végzett munkája: W = F r Itt a F r szorzat a vektorok skaláris szorzatát jelöli. A munka ilyen értelmezése mellett az alábbi alapvető dolgokat érdemes megjegyezni: W = 0, ha F és r merőlegesek. Tehát ha az erő és az elmozdulás merőlegesek egymásra, nincs munkavégzés. W < 0, ha F és r szöge tompaszög. Ezt úgy is szokták mondani, hogy a test végez munkát azon a testen, ami hat rá. 15 / 26

41 a munkavégzés másik alakja alapi Az előző formula csak akkor használható, ha az erő állandó. a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 16 / 26

42 a munkavégzés másik alakja alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Az előző formula csak akkor használható, ha az erő állandó. A pillanatnyi sebesség bevezetéséhez hasonlóan itt is elmondható, hogy kellően rövid idő alatt a mozgás paraméterei állandónak vehetők. 16 / 26

43 a munkavégzés másik alakja alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Az előző formula csak akkor használható, ha az erő állandó. A pillanatnyi sebesség bevezetéséhez hasonlóan itt is elmondható, hogy kellően rövid idő alatt a mozgás paraméterei állandónak vehetők. Ilyenkor a helyett formálisan d-t írunk. Azaz a munkavégzés egy kis elemi idő alatt: dw = F dr 16 / 26

44 a munkavégzés másik alakja alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Az előző formula csak akkor használható, ha az erő állandó. A pillanatnyi sebesség bevezetéséhez hasonlóan itt is elmondható, hogy kellően rövid idő alatt a mozgás paraméterei állandónak vehetők. Ilyenkor a helyett formálisan d-t írunk. Azaz a munkavégzés egy kis elemi idő alatt: dw = F dr (Most nem törődünk a nagyon precíz matematikai megfogalmazással.) 16 / 26

45 a mozgási energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munka előző definícióját osszuk el formálisan egy elemi időintervallum hosszával: dw dt = F dr dt 17 / 26

46 a mozgási energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munka előző definícióját osszuk el formálisan egy elemi időintervallum hosszával: dw dt = F dr dt Vegyük észre a bal oldalon a sebesség felbukkanását: dw dt = F v 17 / 26

47 a mozgási energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munka előző definícióját osszuk el formálisan egy elemi időintervallum hosszával: dw dt = F dr dt Vegyük észre a bal oldalon a sebesség felbukkanását: dw dt = F v Newton II. szerint F = m a = m (dv/dr), ezért: dw dt = m dv dt v illetve a rövidebb alakot használva a deriválásra: W = m v v 17 / 26

48 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt: ( 1 2 v2 ) = 1 2 (vv) = 1 2 (v v + vv ) = v v 18 / 26

49 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt: ( ) 1 2 v2 = 1 2 (vv) = 1 2 (v v + vv ) = v v Ezt beírva az előző összefüggésbe: W = m v v = 1 2 m ( v 2) 18 / 26

50 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt: ( ) 1 2 v2 = 1 2 (vv) = 1 2 (v v + vv ) = v v Ezt beírva az előző összefüggésbe: W = m v v = 1 2 m ( v 2) Kihasználva, hogy a tömeg és az 1/2-es szorzó állandó: W = ( ) 1 2 mv2 18 / 26

51 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt: ( ) 1 2 v2 = 1 2 (vv) = 1 2 (v v + vv ) = v v Ezt beírva az előző összefüggésbe: W = m v v = 1 2 m ( v 2) Kihasználva, hogy a tömeg és az 1/2-es szorzó állandó: W = ( ) 1 2 mv2 Bármilyen mozgás esetén tehát a munka időegység alatti megváltozása megegyezik az (1/2)mv 2 mennyiség változásával. 18 / 26

52 a mozgási energia definíciója alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munka és az (1/2)mv 2 mennyiség tehát egyforma módon változik, de utóbbit pontról pontra meg lehet határozni, a munkát viszont csak a pálya és az a mentén ható erők folytonos nyomon követésével. 19 / 26

53 a mozgási energia definíciója alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munka és az (1/2)mv 2 mennyiség tehát egyforma módon változik, de utóbbit pontról pontra meg lehet határozni, a munkát viszont csak a pálya és az a mentén ható erők folytonos nyomon követésével. Ezért az E m = (1/2)mv 2 mennyiség megérdemli, hogy nevet kapjon: mozgási energia. 19 / 26

54 a munkatétel alapi Mivel a fentiek szerint minden időpontban W = E m, ezért a munka és a mozgási energia csak egy hozzáadható állandóval (W 0 ) térhet el egymástól: a munka a munkavégzés másik alakja W = E m + W 0 definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 20 / 26

55 a munkatétel alapi Mivel a fentiek szerint minden időpontban W = E m, ezért a munka és a mozgási energia csak egy hozzáadható állandóval (W 0 ) térhet el egymástól: a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák W = E m + W 0 Kellemetlen, hogy az ismeretlen W 0 állandó felbukkant. Ezért ezt az összefüggést írjuk fel két időpont között és vonjuk ki egymásból: W (t 2 ) W (t 1 ) = E m (t 2 ) E m (t 1 ) 20 / 26

56 a munkatétel alapi Mivel a fentiek szerint minden időpontban W = E m, ezért a munka és a mozgási energia csak egy hozzáadható állandóval (W 0 ) térhet el egymástól: a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák W = E m + W 0 Kellemetlen, hogy az ismeretlen W 0 állandó felbukkant. Ezért ezt az összefüggést írjuk fel két időpont között és vonjuk ki egymásból: W (t 2 ) W (t 1 ) = E m (t 2 ) E m (t 1 ) W (t 2 ) W (t 1 ) nyilván a testen a t 1 és t 2 közt végzett munka. Beírva a mozgási energia formuláját a munkatételt kapjuk: W 2,1 = 1 2 mv mv / 26

57 a potenciális energia alapi A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 21 / 26

58 a potenciális energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) 21 / 26

59 a potenciális energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, csak a kezdő- és végponttól függ. 21 / 26

60 a potenciális energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, csak a kezdő- és végponttól függ. Egy erőt potenciállal rendelkezőnek nevezünk, ha az általa végzett munka csak a kezdő- és végponttól függ. 21 / 26

61 a potenciális energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, csak a kezdő- és végponttól függ. Egy erőt potenciállal rendelkezőnek nevezünk, ha az általa végzett munka csak a kezdő- és végponttól függ. Ilyen pl. a gravitációs erő, a nyugvó töltésekből származó erő, a rugalmas alakváltozásokkor fellépő erők. 21 / 26

62 a potenciális energia alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, csak a kezdő- és végponttól függ. Egy erőt potenciállal rendelkezőnek nevezünk, ha az általa végzett munka csak a kezdő- és végponttól függ. Ilyen pl. a gravitációs erő, a nyugvó töltésekből származó erő, a rugalmas alakváltozásokkor fellépő erők. Nem ilyen a súrlódási és közegellenállási erő. 21 / 26

63 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A potenciál szokásos jele a V. Akkor van tehát egy erőnek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy: W 2,1 = V (r 1 ) V (r 2 ) 22 / 26

64 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A potenciál szokásos jele a V. Akkor van tehát egy erőnek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy: W 2,1 = V (r 1 ) V (r 2 ) Ezt a munkatétellel összevetve könnyen bebizonyítható, hogy potenciálos erő esetén tetszőleges két pont közt: V (r 1 ) mv2 1 = V (r 2) mv / 26

65 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A potenciál szokásos jele a V. Akkor van tehát egy erőnek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy: W 2,1 = V (r 1 ) V (r 2 ) Ezt a munkatétellel összevetve könnyen bebizonyítható, hogy potenciálos erő esetén tetszőleges két pont közt: V (r 1 ) mv2 1 = V (r 2) mv2 2 azaz a potenciál és a mozgási energia összege állandó. Ezért V -t szokás potenciális energiának is nevezni. 22 / 26

66 ... alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák A potenciál szokásos jele a V. Akkor van tehát egy erőnek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy: W 2,1 = V (r 1 ) V (r 2 ) Ezt a munkatétellel összevetve könnyen bebizonyítható, hogy potenciálos erő esetén tetszőleges két pont közt: V (r 1 ) mv2 1 = V (r 2) mv2 2 azaz a potenciál és a mozgási energia összege állandó. Ezért V -t szokás potenciális energiának is nevezni. Fontos újra megjegyezni, hogy nem minden erő rendelkezik potenciális energiával, így a mozgási- és potenciális energiák összege nem mindig állandó. 22 / 26

67 a potenciál és az erő kapcsolata alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható erő könnyen kiszámolható komponensenként: F x = dv dx, F y = dv dy, F z = dv dz 23 / 26

68 a potenciál és az erő kapcsolata alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható erő könnyen kiszámolható komponensenként: F x = dv dx, F y = dv dy, F z = dv dz Ez az egyenlet lehetővé teszi a potenciál ismeretében az erő kiszámítását. 23 / 26

69 a potenciál és az erő kapcsolata alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható erő könnyen kiszámolható komponensenként: F x = dv dx, F y = dv dy, F z = dv dz Ez az egyenlet lehetővé teszi a potenciál ismeretében az erő kiszámítását. Sajnos, a fordított irány bonyolultabb, tehát egy tetszőleges F (r) erőfüggvény esetén eldönteni, van-e potenciálja és ha igen, az mi: magasabb matematikai ismereteket igényel. 23 / 26

70 a potenciál és az erő kapcsolata alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható erő könnyen kiszámolható komponensenként: F x = dv dx, F y = dv dy, F z = dv dz Ez az egyenlet lehetővé teszi a potenciál ismeretében az erő kiszámítását. Sajnos, a fordított irány bonyolultabb, tehát egy tetszőleges F (r) erőfüggvény esetén eldönteni, van-e potenciálja és ha igen, az mi: magasabb matematikai ismereteket igényel. Egyszerűbb esetekben azonban találgatással is jó eredményt érhetünk el. 23 / 26

71 példák alapi 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 24 / 26

72 példák alapi 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 24 / 26

73 példák alapi 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák F z = d(mgz) dz = mg 24 / 26

74 példák alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. F z = d(mgz) dz = mg A testre tehát z irányban mg nagyságú erő hat. a munkatétel a potenciális energia példák 24 / 26

75 példák alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. F z = d(mgz) dz = mg A testre tehát z irányban mg nagyságú erő hat. Ez a Föld felszín közelében a gravitációs erőtér esete. 2. Mozogjon a test csak az x tengely mentén és legyen V (x) = (1/2)Dx / 26

76 példák alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. F z = d(mgz) dz = mg A testre tehát z irányban mg nagyságú erő hat. Ez a Föld felszín közelében a gravitációs erőtér esete. 2. Mozogjon a test csak az x tengely mentén és legyen V (x) = (1/2)Dx 2. F x = Dx 24 / 26

77 példák alapi a munka a munkavégzés másik alakja definíciója a munkatétel a potenciális energia példák 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. F z = d(mgz) dz = mg A testre tehát z irányban mg nagyságú erő hat. Ez a Föld felszín közelében a gravitációs erőtér esete. 2. Mozogjon a test csak az x tengely mentén és legyen V (x) = (1/2)Dx 2. Ez a rugón rezgő test esete. F x = Dx 24 / 26

78 alapi a newtoni mechanika 25 / 26

79 a newtoni mechanika alapi nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) a newtoni mechanika 26 / 26

80 a newtoni mechanika alapi nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. a newtoni mechanika 26 / 26

81 a newtoni mechanika alapi a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fő csoportok: A fény sebességével összemérhető sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) 26 / 26

82 a newtoni mechanika alapi a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fő csoportok: A fény sebességével összemérhető sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) Rendkívül nagy tömegű testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.) 26 / 26

83 a newtoni mechanika alapi a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fő csoportok: A fény sebességével összemérhető sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) Rendkívül nagy tömegű testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.) Az anyag elemi részeinek méretén lezajló folyamatok. (Kvantummechanika.) 26 / 26

84 a newtoni mechanika alapi a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fő csoportok: A fény sebességével összemérhető sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) Rendkívül nagy tömegű testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.) Az anyag elemi részeinek méretén lezajló folyamatok. (Kvantummechanika.) Ezekkel később röviden találkozni fogunk. 26 / 26

85 a newtoni mechanika alapi a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fő csoportok: A fény sebességével összemérhető sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) Rendkívül nagy tömegű testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.) Az anyag elemi részeinek méretén lezajló folyamatok. (Kvantummechanika.) Ezekkel később röviden találkozni fogunk. A mindennapokban a newtoni mechanika pontatlansága kimérhetetlenül kicsi, ezért többnyire bátran alkalmazhatjuk. 26 / 26

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29. A mechanika alapjai A pontszerű testek kinematikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29. 2 / 35 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? 3 /

Részletesebben

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek.

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek. Mozgások dinamikai leírása A dinamika azzal foglalkozik, hogy mi a testek mozgásának oka, mitől mozognak úgy, ahogy mozognak? Ennek a kérdésnek a megválaszolása Isaac NEWTON (1642 1727) nevéhez fűződik.

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

Osztályozó, javító vizsga 9. évfolyam gimnázium. Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ

Osztályozó, javító vizsga 9. évfolyam gimnázium. Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ 1. Egy téglalap alakú háztömb egyik sarkából elindulva 80 m, 150 m, 80 m utat tettünk meg az egyes házoldalak mentén, míg a szomszédos sarokig értünk. Mekkora az elmozdulásunk?

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Munka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása

Munka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása Munka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása Munkavégzés történik ha: felemelek egy könyvet kihúzom az expandert A munka Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő

Részletesebben

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása.

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Dinamika A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Newton törvényei: I. Newton I. axiómája: Minden nyugalomban lévő test megtartja nyugalmi állapotát, minden mozgó test

Részletesebben

Speciális mozgásfajták

Speciális mozgásfajták DINAMIKA Klasszikus mechanika: a mozgások leírása I. Kinematika: hogyan mozog egy test út-idő függvény sebesség-idő függvény s f (t) v f (t) s Példa: a 2 2 t v a t gyorsulások a f (t) a állandó Speciális

Részletesebben

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel 1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora

Részletesebben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma

Részletesebben

Irányításelmélet és technika I.

Irányításelmélet és technika I. Irányításelmélet és technika I. Mechanikai rendszerek dinamikus leírása Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010

Részletesebben

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó

Részletesebben

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Az inga mozgásának matematikai modellezése

Az inga mozgásának matematikai modellezése Az inga mozgásának matematikai modellezése Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Természet és Matematika Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08.

Részletesebben

Speciális relativitás

Speciális relativitás Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 3. (b) Speciális relativitás Relativisztikus dinamika Utolsó módosítás: 2013 október 15. 1 A relativisztikus tömeg (1) A bevezetett Lorentz-transzformáció biztosítja

Részletesebben

Mérnöki alapok 1. előadás

Mérnöki alapok 1. előadás Mérnöki alapok 1. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia, Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus

Részletesebben

Rezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz?

Rezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz? Rezgés tesztek 1. Egy rezgés kitérés-idő függvénye a következő: y = 0,42m. sin(15,7/s. t + 4,71) Mekkora a rezgés frekvenciája? a) 2,5 Hz b) 5 Hz c) 1,5 Hz d) 15,7 Hz 2. Egy rezgés sebesség-idő függvénye

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport MECHANIKA I. 1. Definiálja a helyvektort! 2. Mondja meg mit értünk vonatkoztatási rendszeren! 3. Fogalmazza meg kinematikailag, hogy mikor

Részletesebben

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03 Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő

Részletesebben

Égi mechanika tesztkérdések. A hallgatók javaslatai 2008

Égi mechanika tesztkérdések. A hallgatók javaslatai 2008 Égi mechanika tesztkérdések A hallgatók javaslatai 2008 1 1 Albert hajnalka 1. A tömegközéppont körüli mozgást leíró m 1 s1 = k 2 m 1m 2 r,m s r 2 r 2 2 = k 2 m 1m 2 r r 2 r mozgásegyenletek ekvivalensek

Részletesebben

A MECHANIKAI ENERGIA

A MECHANIKAI ENERGIA A MECHANIKAI ENERGIA. A mechanika munkatétele A mechanika munkatétele Newton második axiómájából következik. Newton második axiómája egyetlen tömegre (vagy tömegpontra): F d r ma m, (.) mely általános

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Kvantumszimulátorok. Szirmai Gergely MTA SZFKI. Graphics: Harald Ritsch / Rainer Blatt, IQOQI

Kvantumszimulátorok. Szirmai Gergely MTA SZFKI. Graphics: Harald Ritsch / Rainer Blatt, IQOQI Kvantumszimulátorok Szirmai Gergely MTA SZFKI Graphics: Harald Ritsch / Rainer Blatt, IQOQI A kvantummechanika körülvesz tranzisztor számítógép, mobiltelefon A kvantummechanika körülvesz tranzisztor számítógép,

Részletesebben

Mérnöki alapok 2. előadás

Mérnöki alapok 2. előadás Mérnöki alapok. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Fizika alapok. Az előadás témája

Fizika alapok. Az előadás témája Az előadás témája Körmozgás jellemzőinek értelmezése Általános megoldási módszer egyenletes körmozgásnál egy feladaton keresztül Testek mozgásának vizsgálata nem inerciarendszerhez képest Centripetális

Részletesebben

Termodinamika. Belső energia

Termodinamika. Belső energia Termodinamika Belső energia Egy rendszer belső energiáját az alkotó részecskék mozgási energiájának és a részecskék közötti kölcsönhatásból származó potenciális energiák teljes összegeként határozhatjuk

Részletesebben

Fizika példák a döntőben

Fizika példák a döntőben Fizika példák a döntőben F. 1. Legyen két villamosmegálló közötti távolság 500 m, a villamos gyorsulása pedig 0,5 m/s! A villamos 0 s időtartamig gyorsuljon, majd állandó sebességgel megy, végül szintén

Részletesebben

Figyelem! Csak belső és saját használatra! Terjesztése és másolása TILOS!

Figyelem! Csak belső és saját használatra! Terjesztése és másolása TILOS! Figyelem! Csak belső és saját használatra! Terjesztése és másolása TILOS! 1. példa Vasúti kocsinak a 6. ábrán látható ütközőjébe épített tekercsrugóban 44,5 kn előfeszítő erő ébred. A rugó állandója 0,18

Részletesebben

Reológia Mérési technikák

Reológia Mérési technikák Reológia Mérési technikák Reológia Testek (és folyadékok) külső erőhatásra bekövetkező deformációját, mozgását írja le. A deformációt irreverzibilisnek nevezzük, ha a az erőhatás megszűnése után a test

Részletesebben

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek 1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és

Részletesebben

V e r s e n y f e l h í v á s

V e r s e n y f e l h í v á s A természettudományos oktatás módszertanának és eszközrendszerének megújítása a Sárospataki Református Kollégium Gimnáziumában TÁMOP-3.1.3-11/2-2012-0021 V e r s e n y f e l h í v á s A Sárospataki Református

Részletesebben

A modern fizika születése

A modern fizika születése MODERN FIZIKA A modern fizika születése Eddig: Olyan törvényekkel ismerkedtünk meg melyekhez tapasztalatokat a mindennapi életből is szerezhettünk. Klasszikus fizika: mechanika, hőtan, elektromosságtan,

Részletesebben

MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1 Cél:

Részletesebben

Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk

Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk meg, ahhoz viszonyítjuk. pl. A vonatban utazó ember

Részletesebben

Tömegvonzás, bolygómozgás

Tömegvonzás, bolygómozgás Tömegvonzás, bolygómozgás Gravitációs erő tömegvonzás A gravitációs kölcsönhatásban csak vonzóerő van, taszító erő nincs. Bármely két test között van gravitációs vonzás. Ez az erő nagyobb, ha a két test

Részletesebben

A lengőfűrészelésről

A lengőfűrészelésről A lengőfűrészelésről Az [ 1 ] tankönyvben ezt írják a lengőfűrészről, működéséről, használatáról: A lengőfűrész árkolásra, csaprések készítésére alkalmazott, 150 00 mm átmérőjű, 3 4 mm vastag, sűrű fogazású

Részletesebben

0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika

0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika 0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika Mechanika (ismétlés) statika, kinematika Dinamika, energia Áramlástan Reológia Optika find x Teszt: 30 perc, 30 kérdés Matek alapfogalmak: Adattípusok: Természetes,

Részletesebben

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA 1. A kinematika és a dinamika tárgya. Egyenes onalú egyenletes mozgás a) Kísérlet és a belőle leont köetkeztetés b) A mozgás jellemző grafikonjai

Részletesebben

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS

Részletesebben

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül.

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül. 01.03.16. RADNAY László Tnársegéd Debreceni Egyetem Műszki Kr Építőmérnöki Tnszék E-mil: rdnylszlo@gmil.com Mobil: +36 0 416 59 14 Definíciók: Kinemtik: A mechnikánk z része, mely testek mozgását vizsgálj

Részletesebben

Folyadékok és gázok mechanikája

Folyadékok és gázok mechanikája Folyadékok és gázok mechanikája Hidrosztatikai nyomás A folyadékok és gázok közös tulajdonsága, hogy alakjukat szabadon változtatják. Hidrosztatika: nyugvó folyadékok mechanikája Nyomás: Egy pontban a

Részletesebben

Termodinamika (Hőtan)

Termodinamika (Hőtan) Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

2.3 Newton törvények, mozgás lejtőn, pontrendszerek

2.3 Newton törvények, mozgás lejtőn, pontrendszerek Keresés (http://wwwtankonyvtarhu/hu) NVDA (http://wwwnvda-projectorg/) W3C (http://wwww3org/wai/intro/people-use-web/) A- (#) A (#) A+ (#) (#) English (/en/tartalom/tamop425/0027_fiz2/ch01s03html) Kapcsolat

Részletesebben

Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések

Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések 1. Melyek a rezgőmozgást jellemző fizikai mennyiségek?. Egy rezgés során mely helyzetekben maximális a sebesség, és mikor a gyorsulás? 3. Milyen

Részletesebben

Fizika 1X, pótzh (2010/11 őszi félév) Teszt

Fizika 1X, pótzh (2010/11 őszi félév) Teszt Fizika X, pótzh (00/ őszi félév) Teszt A sebessé abszolút értékének időszerinti interálja meadja az elmozdulást. H Az átlayorsulás a sebesséváltozás és az eltelt idő hányadosa. I 3 A harmonikus rező mozást

Részletesebben

A fluxióelmélet. Az eredeti összefüggés y=5x 2

A fluxióelmélet. Az eredeti összefüggés y=5x 2 A fluxióelmélet Nézzük miről is szól valójában ez a fluxióelmélet. Newton elméletének első zseniális meglátása az, hogy vegyük alapul az időt, mint változót és minden mást ennek függvényében írjunk le.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Alkalmazott fizika Babák, György

Alkalmazott fizika Babák, György Alkalmazott fizika Babák, György Alkalmazott fizika Babák, György Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Szent István Egyetem Copyright 2011, Szent István Egyetem. Minden jog fenntartva, Tartalom Bevezetés...

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

9. évfolyam. Osztályozóvizsga tananyaga FIZIKA

9. évfolyam. Osztályozóvizsga tananyaga FIZIKA 9. évfolyam Osztályozóvizsga tananyaga A testek mozgása 1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás 2. Változó mozgás: gyorsulás fogalma, szabadon eső test mozgása 3. Bolygók mozgása: Kepler törvények A Newtoni

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)

DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) Dinamika Pontszám 1. A mechanikai mozgás fogalma (1) 2. Az anyagi pont pályája (1) 3. A mozgástörvény

Részletesebben

Elektromágneses hullámok

Elektromágneses hullámok Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses

Részletesebben

6. A Lagrange-formalizmus

6. A Lagrange-formalizmus Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 6. rész 1 6. A Lagrange-formalizmus A Lagrange-formalizmus alkalmazásával bizonyos fizikai rendszerek mozgásegyenleteit írhatjuk fel egyszerű módon. Az alapvető

Részletesebben

Mechanika I-II. Példatár

Mechanika I-II. Példatár Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását

Részletesebben

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek 1. Fogalmi alapok Mérlegegyenletek Utolsó módosítás: 2013. február 11. A transzportfolyamatokról általában 1 A természetben lezajló folyamatok leírására szolgáló összefoglaló elmélet, amely attól függetlenül

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tanmenetek és szakmódszertani felvetések. 1. Szakmódszertani felvetések, javaslatok! 2. Fizika tanmenet 9. osztály (heti 2 óra)

Tartalomjegyzék. Tanmenetek és szakmódszertani felvetések. 1. Szakmódszertani felvetések, javaslatok! 2. Fizika tanmenet 9. osztály (heti 2 óra) Tartalomjegyzék ek és szakmódszertani felvetések 1. Szakmódszertani felvetések, javaslatok! 2 2. Fizika tanmenet 9. osztály (heti 2 óra) 5 3. Fizika tanmenet 9. osztály (heti 1,5 óra) 18 1 Bevezetô szakmódszertani

Részletesebben

Termodinamikai bevezető

Termodinamikai bevezető Termodinamikai bevezető Alapfogalmak Termodinamikai rendszer: Az univerzumnak az a részhalmaza, amit egy termodinamikai vizsgálat során vizsgálunk. Termodinamikai környezet: Az univerzumnak a rendszeren

Részletesebben

MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM

MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM AZ OSZÁG VEZETŐ EGYETEMI-FŐISKOLAI ELŐKÉSZÍTŐ SZEVEZETE MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PÓBAÉETTSÉGI FELADATSOHOZ. ÉVFOLYAM I. ÉSZ (ÖSSZESEN 3 PONT) 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 D D C D C D D D B

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Prekoncepciók és téveszmék mint a fizikatanítás megnehezítői. Juhász András Ált isk. tanártovábbképzés 2014, okt. KPSZTI

Prekoncepciók és téveszmék mint a fizikatanítás megnehezítői. Juhász András Ált isk. tanártovábbképzés 2014, okt. KPSZTI Prekoncepciók és téveszmék mint a fizikatanítás megnehezítői Juhász András Ált isk. tanártovábbképzés 2014, okt. KPSZTI Prof. Freund Tamás agykutató a tanulásról: (http://fiztan.phd.elte.hu/letolt/konfkotet2011.pdf

Részletesebben

Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára

Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára Ez a bemutató a tanszéki Fizika jegyzet kiegészítése Mechanika I. félév 1 Stabilitás Az úszás stabilitása indifferens a stabil, b labilis S súlypont Sf a kiszorított

Részletesebben

Elméleti kérdések és válaszok

Elméleti kérdések és válaszok Elméleti kérdések és válaszok Folyamatosan bővül 9. évfolyam Tartalom 1. Értelmezd a következő fogalmakat: megfigyelés, kísérlet, modell!... 4 2. Mit nevezünk koordináta rendszernek és mit vonatkoztatási

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Elméleti kérdések és válaszok

Elméleti kérdések és válaszok Elméleti kérdések és válaszok Folyamatosan bővül 9. évfolyam Tartalom 1. Értelmezd a következő fogalmakat: megfigyelés, kísérlet, modell!... 3 2. Mit nevezünk koordináta rendszernek és mit vonatkoztatási

Részletesebben

Ha vasalják a szinusz-görbét

Ha vasalják a szinusz-görbét A dolgozat szerzőjének neve: Szabó Szilárd, Lorenzovici Zsombor Intézmény megnevezése: Bolyai Farkas Elméleti Líceum Témavezető tanár neve: Szász Ágota Beosztása: Fizika Ha vasalják a szinusz-görbét Tartalomjegyzék

Részletesebben

FIZIKA VIZSGATEMATIKA

FIZIKA VIZSGATEMATIKA FIZIKA VIZSGATEMATIKA osztályozó vizsga írásbeli szóbeli időtartam 60p 10p arány az értékelésnél 60% 40% A vizsga értékelése jeles (5) 80%-tól jó (4) 65%-tól közepes (3) 50%-tól elégséges (2) 35%-tól Ha

Részletesebben

ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN

ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 3. GÉPEK MECHANIKAI FOLYAMATAI 1. Definiálja a térbeli pont helyvektorát! r helyvektor előáll ortogonális (a 3 tengely egymásra merőleges) koordinátarendszer koordinátairányú

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

1. Az előző előadás anyaga

1. Az előző előadás anyaga . Az előző előadás anyaga Egy fiú áll az A pontban és azt látja, hogy a barátnője fuldoklik a B pontban egy tóban. Milyen plyán kell a fiúnak mozognia, hogy a leggyorsabban a barátnőjéhez érjen, ha a parton

Részletesebben

Mérések állítható hajlásszögű lejtőn

Mérések állítható hajlásszögű lejtőn A mérés célkitűzései: A lejtőn lévő testek egyensúlyának vizsgálata, erők komponensekre bontása. Eszközszükséglet: állítható hajlásszögű lejtő különböző fahasábok kiskocsi erőmérő 20 g-os súlyok 1. ábra

Részletesebben

TestLine - 7. Fizika Témazáró Erő, munka, forgatónyomaték Minta feladatsor

TestLine - 7. Fizika Témazáró Erő, munka, forgatónyomaték Minta feladatsor gészítsd ki a mondatot! egyenes vonalú egyensúlyban erő hatások mozgást 1. 2:57 Normál Ha a testet érő... kiegyenlítik egymást, azt mondjuk, hogy a test... van. z egyensúlyban lévő test vagy nyugalomban

Részletesebben

Egy kinematikai feladat

Egy kinematikai feladat 1 Egy kinematikai feladat Valami geometriai dologról ötlött eszembe az alábbi feladat 1. ábra. 1. ábra Adott az a és b egyenes, melyek α szöget zárnak be egymással. A b egyenesre ráfektetünk egy d hosszúságú

Részletesebben

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett

Részletesebben

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai Hidrosztatika A Hidrosztatika a nyugalomban lévő folyadékoknak a szilárd testekre, felületekre gyakorolt hatásával foglalkozik. Tárgyalja a nyugalomban lévő folyadékok nyomásviszonyait, vizsgálja a folyadékba

Részletesebben

A mérés célkitűzései: A matematikai inga lengésidejének kísérleti vizsgálata, a nehézségi gyorsulás meghatározása.

A mérés célkitűzései: A matematikai inga lengésidejének kísérleti vizsgálata, a nehézségi gyorsulás meghatározása. A mérés célkitűzései: A matematikai inga lengésidejének kísérleti vizsgálata, a nehézségi gyorsulás meghatározása. Eszközszükséglet: Bunsen állvány lombik fogóval 50 g-os vasból készült súlyok fonál mérőszalag,

Részletesebben

Fizika 1i (keresztfélév) vizsgakérdések kidolgozása

Fizika 1i (keresztfélév) vizsgakérdések kidolgozása Fizika 1i (keresztfélév) vizsgakérdések kidolgozása Készítette: Hornich Gergely, 2013.12.31. Kiegészítette: Mosonyi Máté (10., 32. feladatok), 2015.01.21. (Talapa Viktor 2013.01.15.-i feladatgyűjteménye

Részletesebben

Fizikai alapismeretek

Fizikai alapismeretek Fizikai alapismeretek jegyzet Írták: Farkas Henrik és Wittmann Marian BME Vegyészmérnöki Kar J6-947 (1990) Műegyetemi Kiadó 60947 (1993) A jegyzet BME nívódíjat kapott 1994-ben. Az internetes változatot

Részletesebben

A kvantummechanika általános formalizmusa

A kvantummechanika általános formalizmusa A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.

Részletesebben

A gravitáció összetett erőtér

A gravitáció összetett erőtér A gravitáció összetett erőtér /Az indukált gravitációs erőtér című írás (hu.scribd.com/doc/95337681/indukaltgravitacios-terer) 19. fejezetének bizonyítása az alábbiakban./ A gravitációs erőtér felbontható

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

NEM A MEGADOTT FORMÁBAN ELKÉSZÍTETT DOLGOZATRA 0 PONTOT ADUNK!

NEM A MEGADOTT FORMÁBAN ELKÉSZÍTETT DOLGOZATRA 0 PONTOT ADUNK! Villamosmérnök alapszak Fizika 1 NÉV: Csintalan Jakab 2011 tavasz Dátum: Neptuntalan kód: ROSSZ1 NagyZH Jelölje a helyes választ a táblázat megfelelő helyére írt X-el. Kérdésenként csak egy válasz helyes.

Részletesebben

Különféle erőhatások és erőtörvényeik (vázlat)

Különféle erőhatások és erőtörvényeik (vázlat) Különféle erőhatások és erőtörvényeik (vázlat) 1. Erőhatás és erőtörvény fogalma. Erőtörvények a) Rugalmas erő b) Súrlódási erő Tapadási súrlódási erő Csúszási súrlódási erő Gördülési súrlódási erő c)

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

Az úszás biomechanikája

Az úszás biomechanikája Az úszás biomechanikája Alapvető összetevők Izomerő Kondíció állóképesség Mozgáskoordináció kivitelezés + Nem levegő, mint közeg + Izmok nem gravitációval szembeni mozgása + Levegővétel Az úszóra ható

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése: Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben