A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29."

Átírás

1 A mechanika alapjai A pontszerű testek kinematikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

2 2 / 35

3 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? 3 / 35

4 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés 3 / 35

5 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés 3 / 35

6 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés A mechanika két fő ága: 3 / 35

7 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés A mechanika két fő ága: Kinematika: 3 / 35

8 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés A mechanika két fő ága: Kinematika: A tárgyak mozgásának leírása. 3 / 35

9 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés A mechanika két fő ága: Kinematika: A tárgyak mozgásának leírása. ( Hogyan mozognak a tárgyak? ) 3 / 35

10 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés A mechanika két fő ága: Kinematika: A tárgyak mozgásának leírása. ( Hogyan mozognak a tárgyak? ) Dinamika: 3 / 35

11 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés A mechanika két fő ága: Kinematika: A tárgyak mozgásának leírása. ( Hogyan mozognak a tárgyak? ) Dinamika: A mozgás okának vizsgálata. 3 / 35

12 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés A mechanika két fő ága: Kinematika: A tárgyak mozgásának leírása. ( Hogyan mozognak a tárgyak? ) Dinamika: A mozgás okának vizsgálata. ( Miért mozognak a tárgyak? ) 3 / 35

13 bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás 4 / 35

14 bonyolult mozgások bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult. 5 / 35

15 bonyolult mozgások bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult. Példa: egy járkáló ember kinematikája. Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást. 5 / 35

16 bonyolult mozgások bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult. Példa: egy járkáló ember kinematikája. Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást. Mindenképp egy pont mozgásának leírásával kell kezdeni. 5 / 35

17 bonyolult mozgások bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult. Példa: egy járkáló ember kinematikája. Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást. Mindenképp egy pont mozgásának leírásával kell kezdeni. Sőt! 5 / 35

18 bonyolult mozgások bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult. Példa: egy járkáló ember kinematikája. Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást. Mindenképp egy pont mozgásának leírásával kell kezdeni. Sőt! A gyakorlatban sokszor a test részletei nem lényegesek, csak a test egy pontjának mozgása: ekkor az egész testet tekinthetjük pontszerűnek. 5 / 35

19 pontszerű testek bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Pontszerű testnek nevezünk egy testet, ha méretei a mozgás pályájának méreteihez képest elhanyagolhatók és belső folyamatai nem befolyásolják középpontjának mozgását. 6 / 35

20 pontszerű testek bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Pontszerű testnek nevezünk egy testet, ha méretei a mozgás pályájának méreteihez képest elhanyagolhatók és belső folyamatai nem befolyásolják középpontjának mozgását. Természetesen tökéletesen pontszerű test (tömegpont) nincs, de sokszor jó közelítést jelent pontszerűvel közelíteni. 6 / 35

21 vonatkoztatási pont bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy viszonyítási pontnak nevezünk. (O pont) 7 / 35

22 vonatkoztatási pont bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy viszonyítási pontnak nevezünk. (O pont) Megadjuk a vonatkoztatási pontból a tömegpontba mutató úgynevezett helyvektort. (r vektor) 7 / 35

23 vonatkoztatási pont bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy viszonyítási pontnak nevezünk. (O pont) Megadjuk a vonatkoztatási pontból a tömegpontba mutató úgynevezett helyvektort. (r vektor) Ez egy időpontra vonatkozik. 7 / 35

24 vonatkoztatási pont bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy viszonyítási pontnak nevezünk. (O pont) Megadjuk a vonatkoztatási pontból a tömegpontba mutató úgynevezett helyvektort. (r vektor) Ez egy időpontra vonatkozik. Ha minden t időpontra megadjuk a test r(t) helyvektorát, akkor ezzel a tömegpont mozgását teljesen leírtuk. 7 / 35

25 helyvektor szemléltetése bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás r(t) O viszonyítási pont helyvektor Pontszerű test mozgása, viszonyítási pont 8 / 35

26 kinematikai alapfogalmak (ábra) bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás r(t ) 1 út r(t ) 2 elmozdulás pálya O Kinematikai alapfogalmak 9 / 35

27 kinematikai alapfogalmak (magyarázat) bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Elmozdulás: vektormennyiség r = r(t 2 ) r(t 1 ) 10 / 35

28 kinematikai alapfogalmak (magyarázat) bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Elmozdulás: vektormennyiség r = r(t 2 ) r(t 1 ) Út: skalár mennyiség A befutott pályadarab hossza. Szemléletes, de matematikailag bonyolult! s(t 1, t 2 ) = t2 t 1 r (t) dt 10 / 35

29 kinematikai alapfogalmak (magyarázat) bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Elmozdulás: vektormennyiség r = r(t 2 ) r(t 1 ) Út: skalár mennyiség A befutott pályadarab hossza. Szemléletes, de matematikailag bonyolult! s(t 1, t 2 ) = t2 t 1 r (t) dt Ez nem egyenes menti mozgások esetén általában összetett számolásokhoz vezet. (Az abszolútérték-jel miatt.) 10 / 35

30 ... bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Átlagsebesség: vektormennyiség v(t 1, t 2 ) = r(t 2) r(t 1 ) t 2 t 1 = r t 11 / 35

31 ... bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Átlagsebesség: vektormennyiség Átlagos sebességnagyság: v(t 1, t 2 ) = r(t 2) r(t 1 ) t 2 t 1 Az út és az idő hányadosa. skalár mennyiség s(t 1, t 2 ) t 2 t 1 = r t Nincs is külön jele, mert fizikailag nem hordoz gyakran használható információt. 11 / 35

32 ... bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Átlagsebesség: vektormennyiség Átlagos sebességnagyság: v(t 1, t 2 ) = r(t 2) r(t 1 ) t 2 t 1 Az út és az idő hányadosa. skalár mennyiség s(t 1, t 2 ) t 2 t 1 = r t Nincs is külön jele, mert fizikailag nem hordoz gyakran használható információt. A fogalmak pontos használata kötelező!!! Köznapi értelemben sokszor keverednek ezek, de ezt fizikában nem szabad. 11 / 35

33 komponensenkénti számolás bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Sokszor nehéz vektorokkal számolni. 12 / 35

34 komponensenkénti számolás bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Sokszor nehéz vektorokkal számolni. Ezért a gyakorlatban többnyire felveszünk egy koordináta-rendszert, melynek origója a viszonyítási pont és a vektorok komponenseivel, koordinátáival számolunk: r(t) helyett (x(t), y(t), z(t)) 12 / 35

35 komponensenkénti számolás bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Sokszor nehéz vektorokkal számolni. Ezért a gyakorlatban többnyire felveszünk egy koordináta-rendszert, melynek origója a viszonyítási pont és a vektorok komponenseivel, koordinátáival számolunk: r(t) helyett (x(t), y(t), z(t)) A koordináták ismeretében a vektor minden tulajdonsága ismert. Pl. a vektor hossza (abszolút értéke): r = r = x 2 + y 2 + z 2 12 / 35

36 komponensenkénti számolás bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Sokszor nehéz vektorokkal számolni. Ezért a gyakorlatban többnyire felveszünk egy koordináta-rendszert, melynek origója a viszonyítási pont és a vektorok komponenseivel, koordinátáival számolunk: r(t) helyett (x(t), y(t), z(t)) A koordináták ismeretében a vektor minden tulajdonsága ismert. Pl. a vektor hossza (abszolút értéke): r = r = x 2 + y 2 + z 2 Megjegyzés: Bizonyos esetekben nem derékszögű koordináta-rendszer használata a célszerű, de ilyennel mi nem fogunk találkozni. 12 / 35

37 alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon 13 / 35

38 alapötlet alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Az átlagsebesség ( r/ t) jelentése: átlagosan mekkora az elmozdulás egységnyi idő alatt. De hogy értelmezhető a pillanatnyi sebesség? 14 / 35

39 alapötlet alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Az átlagsebesség ( r/ t) jelentése: átlagosan mekkora az elmozdulás egységnyi idő alatt. De hogy értelmezhető a pillanatnyi sebesség? Nem írhatunk t = 0-t az átlagsebesség formulájába, mert 0 lenne a nevezőben. 14 / 35

40 alapötlet alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Az átlagsebesség ( r/ t) jelentése: átlagosan mekkora az elmozdulás egységnyi idő alatt. De hogy értelmezhető a pillanatnyi sebesség? Nem írhatunk t = 0-t az átlagsebesség formulájába, mert 0 lenne a nevezőben. Azonban ha egyre kisebb és kisebb t értékre számoljuk ki az átlagsebesség értékét, az egy jól meghatározott értéket közelít meg egyre jobban. Első, közelítő meghatározás: Pillanatnyi sebesség alatt egy olyan rövid idő átlagsebességét értjük, mely alatt a mozgás nem változik meg lényegesen. 14 / 35

41 egy egyszerű példa Mozogjon egy test az x tengely mentén: x(t) = 5 sin(3 t) (SI-egységekben) Mekkora a pillanatnyi sebessége t = 0,2-kor? Recept: számoljuk ki az átlagsebességet t és t + t között, majd nézzük meg, mi történik egyre kisebb t-re: v(t, t + t) = x(t + t) x(t) t = 5sin(3(t + t)) 5sin(t) t Esetünkben t = 0,2, így: v(0,2, 0,2 + t) = 5 t (sin(0,6 + 3 t) sin 0,6) Itt már csak t ismeretlen. 15 / 35

42 ... folytatás alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Számoljuk ki v-t egyre csökkenő t mellett: Figyelem! A sin függvény argumentumában nem volt fokjel, ezért radiánban kell számolni! t v 0,1 10,93 0,01 12,25 0,001 12,37 0, ,38 0, ,38 Megfigyelhető, hogy az értékek egy meghatározott számhoz közelítenek, nem 0-hoz vagy végtelenhez. Ez a szám a pillanatnyi sebesség értéke. A test tehát 12,38 m/s sebességgel mozog a kérdezett időpontban. (2 tizedesjegy pontosságig.) 16 / 35

43 matematikai eszközök Pontosabb meghatározás a matematikai ismeretek segítségével: alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon 17 / 35

44 matematikai eszközök alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Pontosabb meghatározás a matematikai ismeretek segítségével: Felismerhetjük, hogy: Az átlagsebesség a hely-idő függvény differenciahányadosa. v(t 1, t 2 ) = r(t 2) r(t 1 ) t 2 t 1 = r t 17 / 35

45 matematikai eszközök alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Pontosabb meghatározás a matematikai ismeretek segítségével: Felismerhetjük, hogy: Az átlagsebesség a hely-idő függvény differenciahányadosa. v(t 1, t 2 ) = r(t 2) r(t 1 ) t 2 t 1 a hely-idő függvény differenciálhányadosa. v = lim t 0 = r t r t = dr dt = r 17 / 35

46 matematikai eszközök alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Pontosabb meghatározás a matematikai ismeretek segítségével: Felismerhetjük, hogy: Az átlagsebesség a hely-idő függvény differenciahányadosa. v(t 1, t 2 ) = r(t 2) r(t 1 ) t 2 t 1 a hely-idő függvény differenciálhányadosa. v = lim t 0 = r t r t = dr dt = r (Ne ijedjünk meg: ez ugyanaz a deriválás, amit matematikából tanultunk. Kis eltérés: t a változó és vektort deriválunk, ami egyszerűen mindegyik komponensének deriválását jelenti.) 17 / 35

47 egy kis történeti kitérő alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon A mechanika tehát csak a differenciálszámítás segítségével érthetők meg. Ennek megfelelően ezek kifejlődése egymással párhuzamosan történt. 18 / 35

48 egy kis történeti kitérő alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon A mechanika tehát csak a differenciálszámítás segítségével érthetők meg. Ennek megfelelően ezek kifejlődése egymással párhuzamosan történt. Egyik jelentős tudós: Sir Isaac Newton ( ) Többek között a differenciálés integrálszámítás egyik fő megalapozója és a modern mechanika megalapozója. A nem véletlen: differenciálés integrálszámítás nélkül nem lehet megérteni a mechanikát. (És szinte semmilyen természeti folyamatot sem.) 18 / 35

49 szemléltetés grafikonon alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Egyenes menti mozgás (vagy egy mozgás egy komponense) jól szemléltethető grafikonon, és az alapfogalmak is jól megfigyelhetők itt: x(t) x(t 2 ) x(t 1 ) x x(t) m = x t t 1 t t 2 t 19 / 35

50 ... folytatás Amennyiben t 2 egyre jobban megközelíti t 1 -et, azaz t a 0-t, a szelők egyre inkább a grafikon érintőjéhez simulnak: alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon x(t) érintõ t 1 t 2 t A hely-idő grafikonhoz húzott szelő meredeksége tehát az átlagsebességet, az érintő meredeksége a pillanatnyi sebességet adja meg. 20 / 35

51 a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák 21 / 35

52 a gyorsulás fogalma a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák Az előzőekhez hasonlóan: Átlagos gyorsulás: a(t 1, t 2 ) = v(t 2) v(t 1 ) t 2 t 1 = v t 22 / 35

53 a gyorsulás fogalma a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák Az előzőekhez hasonlóan: Átlagos gyorsulás: Pillanatnyi gyorsulás: a(t 1, t 2 ) = v(t 2) v(t 1 ) t 2 t 1 a = dv dt = v = v t 22 / 35

54 a gyorsulás fogalma a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák Az előzőekhez hasonlóan: Átlagos gyorsulás: Pillanatnyi gyorsulás: a(t 1, t 2 ) = v(t 2) v(t 1 ) t 2 t 1 a = dv dt = v = v t Mivel a sebesség a hely idő szerinti deriváltja, a gyorsulás pedig a sebesség idő szerinti deriváltja, ezért a gyorsulás a helyből kétszeri deriválással kapható. 22 / 35

55 a gyorsulás fogalma a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák Az előzőekhez hasonlóan: Átlagos gyorsulás: Pillanatnyi gyorsulás: a(t 1, t 2 ) = v(t 2) v(t 1 ) t 2 t 1 a = dv dt = v = v t Mivel a sebesség a hely idő szerinti deriváltja, a gyorsulás pedig a sebesség idő szerinti deriváltja, ezért a gyorsulás a helyből kétszeri deriválással kapható. Ezért azt mondjuk, hogy a gyorsulás a hely idő szerinti második deriváltja, és a következő jelöléssel fejezzük ki: a = d2 r dt 2 = r 22 / 35

56 alkalmazás a fizikára Nem lesznek bonyolultabbak a dolgok, csak a jelölések mások, azaz nem feltétlen x lesz a változó jele. a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák 23 / 35

57 alkalmazás a fizikára Nem lesznek bonyolultabbak a dolgok, csak a jelölések mások, azaz nem feltétlen x lesz a változó jele. Egy test hely-idő függvénye: a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára x(t) = a 2 t2 + v 0 t + x 0 típushibák Adja meg a sebességét és a gyorsulását! 23 / 35

58 alkalmazás a fizikára Nem lesznek bonyolultabbak a dolgok, csak a jelölések mások, azaz nem feltétlen x lesz a változó jele. Egy test hely-idő függvénye: a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára x(t) = a 2 t2 + v 0 t + x 0 típushibák Adja meg a sebességét és a gyorsulását! Megoldás: A sebesség a hely idő szerinti deriváltja: v(t) = (x(t)) = dx dt = a 2 2t + v = at + v 0 pedig a sebesség deriváltja: a(t) = (v(t)) = a + 0 = a Ez tehát az egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás. 23 / 35

59 ... Egy test hely-idő függvénye: x(t) = 5 sin(3t). Adja meg a sebesség-idő függvényt! Mekkora lesz sebessége t = 0,2 s-kor? a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák 24 / 35

60 ... a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák Egy test hely-idő függvénye: x(t) = 5 sin(3t). Adja meg a sebesség-idő függvényt! Mekkora lesz sebessége t = 0,2 s-kor? Megoldás: v(t) = (x(t)) = 5(sin(3t)) = 5cos(3t)(3t) = = 5cos(3t) 3 = 15cos(3t) A kérdezett időpontban: v(0,2) = 15cos(0,6) = 12,380 m s Nahát! Ezt számoltuk ki korábban! Csak így sokkal gyorsabb és nemcsak egy időpontra kaptuk meg az eredményt. 24 / 35

61 ... Egy xy-síkban mozgó test koordinátái az idő függvényében: x(t) = 6t y(t) = 5 3t 5t 2 a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára Adja meg sebességének nagyságát az idő függvényében! típushibák 25 / 35

62 ... Egy xy-síkban mozgó test koordinátái az idő függvényében: x(t) = 6t y(t) = 5 3t 5t 2 a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára Adja meg sebességének nagyságát az idő függvényében! típushibák Megoldás: Külön-külön ki kell számolni a sebesség komponenseit: v x (t) = (x(t)) = (6t) = 6 v y (t) = (y(t)) = (5 3t 5t 2 ) = t A Pithagorasz-tétel szerint: v(t) = v 2 x (t) + v2 y (t) = ( 3 10t) 2 = = 100t t / 35

63 típushibák FIGYELEM! a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák 26 / 35

64 típushibák FIGYELEM! Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul alkalmazzák. a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák 26 / 35

65 típushibák a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák FIGYELEM! Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul alkalmazzák. Pl. egy tipikus rossz mondóka: A sebesség az út és az idő hányadosa: v = x/t 26 / 35

66 típushibák a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák FIGYELEM! Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul alkalmazzák. Pl. egy tipikus rossz mondóka: A sebesség az út és az idő hányadosa: v = x/t Egy csak és kizárólag az origóból induló egyenes vonalú egyenletes mozgásra igaz! általános alkalmazása téves! 26 / 35

67 típushibák a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák FIGYELEM! Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul alkalmazzák. Pl. egy tipikus rossz mondóka: A sebesség az út és az idő hányadosa: v = x/t Egy csak és kizárólag az origóból induló egyenes vonalú egyenletes mozgásra igaz! általános alkalmazása téves! Ugyanez pepitában: a sebesség és az idő hányadosa: a = v/t 26 / 35

68 típushibák a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák FIGYELEM! Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul alkalmazzák. Pl. egy tipikus rossz mondóka: A sebesség az út és az idő hányadosa: v = x/t Egy csak és kizárólag az origóból induló egyenes vonalú egyenletes mozgásra igaz! általános alkalmazása téves! Ugyanez pepitában: a sebesség és az idő hányadosa: a = v/t Ne is vesztegessük rá a szót: felejtsük el! 26 / 35

69 a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással 27 / 35

70 a fordított irány a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással Tudjuk már, hogy kell a hely-idő függvényből kiszámolni a sebesség-idő függvényt. Vajon visszakapható-e a hely a sebesség-idő függvény ismeretében? 28 / 35

71 a fordított irány a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással Tudjuk már, hogy kell a hely-idő függvényből kiszámolni a sebesség-idő függvényt. Vajon visszakapható-e a hely a sebesség-idő függvény ismeretében? Nyilvánvalóan: nem. Hisz ha nem tudjuk, honnan indult a test, pusztán sebességének ismerete nem adja meg, hova érkezett. (Pl.: egy autó az M1-esen 20 percig egyenletesen 90 km/h-val megy. Hol van most? Ez nem megválaszolható, ha nem tudjuk, honnan indult.) 28 / 35

72 a fordított irány a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással Tudjuk már, hogy kell a hely-idő függvényből kiszámolni a sebesség-idő függvényt. Vajon visszakapható-e a hely a sebesség-idő függvény ismeretében? Nyilvánvalóan: nem. Hisz ha nem tudjuk, honnan indult a test, pusztán sebességének ismerete nem adja meg, hova érkezett. (Pl.: egy autó az M1-esen 20 percig egyenletesen 90 km/h-val megy. Hol van most? Ez nem megválaszolható, ha nem tudjuk, honnan indult.) Matematikailag: a deriválást nem tudjuk fordítva csinálni, mivel végtelen sok hely-idő függvény deriváltja lehet ugyanaz a sebesség-idő függvény. Ennek oka: tetszőleges konstans függvény deriváltja 0. Pl.: (5t + 3) = (5t) = (5t + π 2 ) = = 5 Ami megmondható, az a hely megváltozása, azaz az elmozdulás. 28 / 35

73 ... matematikailag Ha a sebesség a hely-idő függvény deriváltja, akkor a sebesség-idő függvényből integrálással lehet megkapni a hely megváltozását: a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással r = t2 t 1 v(t)dt 29 / 35

74 ... matematikailag a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással Ha a sebesség a hely-idő függvény deriváltja, akkor a sebesség-idő függvényből integrálással lehet megkapni a hely megváltozását: r = t2 t 1 v(t)dt Maga a hely-idő függvény nem kapható meg, legalábbis egy integrációs állandó erejéig bizonytalan lesz: r(t) = v(t)dt + C Fizikailag ez annak felel meg, hogy ha egy test sebességét ismerjük, meg tudjuk mondani, mennyit mozdult el adott idő alatt, de ha nem tudjuk, honnan indult, azt sem tudjuk, hova jutott el. 29 / 35

75 ... matematikailag a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással Ha a sebesség a hely-idő függvény deriváltja, akkor a sebesség-idő függvényből integrálással lehet megkapni a hely megváltozását: r = t2 t 1 v(t)dt Maga a hely-idő függvény nem kapható meg, legalábbis egy integrációs állandó erejéig bizonytalan lesz: r(t) = v(t)dt + C Fizikailag ez annak felel meg, hogy ha egy test sebességét ismerjük, meg tudjuk mondani, mennyit mozdult el adott idő alatt, de ha nem tudjuk, honnan indult, azt sem tudjuk, hova jutott el. Másképpen: r(t 2 ) = t2 t 1 v(t)dt + r(t 1 ) 29 / 35

76 ... szemléletes jelentés v(t) a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással x t 1 t 2 t Tehát egyenes menti mozgásnál a sebesség-idő függvény grafikonja alatti terület adja meg az elmozdulást. 30 / 35

77 ... szemléletes jelentés v(t) a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással x t 1 t 2 t Tehát egyenes menti mozgásnál a sebesség-idő függvény grafikonja alatti terület adja meg az elmozdulást. De vigyázzunk az előjelekre! / 35

78 ... az előjelek v(t) a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással t 1 t 2 t A sebesség-idő függvény grafikonja alatti területek ábra szerinti előjeles összege az elmozdulást adja meg. 31 / 35

79 ... az előjelek v(t) a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással t 1 t 2 t A sebesség-idő függvény grafikonja alatti területek ábra szerinti előjeles összege az elmozdulást adja meg. 31 / 35

80 megjegyzések Ha a kezdőhelyzet ismert, akkor a végső hely kiszámolhatóvá válik az elmozdulásból. a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással 32 / 35

81 megjegyzések Ha a kezdőhelyzet ismert, akkor a végső hely kiszámolhatóvá válik az elmozdulásból. Ez természetesen egy komponensre vonatkozik. a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással 32 / 35

82 megjegyzések a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással Ha a kezdőhelyzet ismert, akkor a végső hely kiszámolhatóvá válik az elmozdulásból. Ez természetesen egy komponensre vonatkozik. Hasonló a a gyorsulás-idő függvény és a sebességváltozás között is: -idő függvény grafikonja alatti területek előjeles összege a sebesség változását adja meg. 32 / 35

83 példák Egy test gyorsulás-idő függvénye SI-egységekben a következő: a(t) = 3 2t. Tudjuk, hogy a test t 1 = 1-kor 5 m/s sebességgel mozgott. Mekkora a sebessége t 2 = 3-kor? a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással 33 / 35

84 példák Egy test gyorsulás-idő függvénye SI-egységekben a következő: a(t) = 3 2t. Tudjuk, hogy a test t 1 = 1-kor 5 m/s sebességgel mozgott. Mekkora a sebessége t 2 = 3-kor? a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással Megoldás: Készítsünk grafikont! a(t) 3 1 T 1 T t t ,5 1,5 t 33 / 35

85 ... A grafikon alatti terület két háromszögre bomlik: t 1 = 1 és t 0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a t tengely felett. a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással 34 / 35

86 ... a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés A grafikon alatti terület két háromszögre bomlik: t 1 = 1 és t 0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a t tengely felett. t 0 = 1,5 és t 3 = 3 között egy 3 magasságú háromszög a t tengely alatt.... az előjelek példák... ugyanez integrálással 34 / 35

87 ... a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással A grafikon alatti terület két háromszögre bomlik: t 1 = 1 és t 0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a t tengely felett. t 0 = 1,5 és t 3 = 3 között egy 3 magasságú háromszög a t tengely alatt. Ezek területei közül az elsőt pozitív, a másodikat negatív előjellel kell figyelembe venni. Így a sebességváltozás: v = T 1 T 2 = 0, ,5 3 2 = 2 34 / 35

88 ... a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással A grafikon alatti terület két háromszögre bomlik: t 1 = 1 és t 0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a t tengely felett. t 0 = 1,5 és t 3 = 3 között egy 3 magasságú háromszög a t tengely alatt. Ezek területei közül az elsőt pozitív, a másodikat negatív előjellel kell figyelembe venni. Így a sebességváltozás: v = T 1 T 2 = 0, ,5 3 2 = 2 Mivel v(t 1 ) = 5 m/s, ezért nyilván: v(t 2 ) = v(t 1 ) + v = 3 m/s. 34 / 35

89 ... ugyanez integrálással A korábbiakból tudjuk, hogy: v = t2 t 1 a(t)dt 35 / 35

90 ... ugyanez integrálással A korábbiakból tudjuk, hogy: v = t2 t 1 a(t)dt Esetünkben ez: v = 3 1 (3 2t)dt = [3t t 2] 3 1 = ( ) = 2 35 / 35

91 ... ugyanez integrálással A korábbiakból tudjuk, hogy: v = t2 t 1 a(t)dt Esetünkben ez: v = 3 1 (3 2t)dt = [3t t 2] 3 1 = ( ) = 2 Mivel v(t 1 ) = 5 m/s, ezért nyilván: v(t 2 ) = v(t 1 ) + v = 3 m/s. 35 / 35

92 ... ugyanez integrálással A korábbiakból tudjuk, hogy: v = t2 t 1 a(t)dt Esetünkben ez: v = 3 1 (3 2t)dt = [3t t 2] 3 1 = ( ) = 2 Mivel v(t 1 ) = 5 m/s, ezért nyilván: v(t 2 ) = v(t 1 ) + v = 3 m/s. Ez gépies, gyors és általánosabban használható módszer. 35 / 35

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó

Részletesebben

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton

Részletesebben

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA 1. A kinematika és a dinamika tárgya. Egyenes onalú egyenletes mozgás a) Kísérlet és a belőle leont köetkeztetés b) A mozgás jellemző grafikonjai

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1 Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados

Részletesebben

Speciális mozgásfajták

Speciális mozgásfajták DINAMIKA Klasszikus mechanika: a mozgások leírása I. Kinematika: hogyan mozog egy test út-idő függvény sebesség-idő függvény s f (t) v f (t) s Példa: a 2 2 t v a t gyorsulások a f (t) a állandó Speciális

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

Mérnöki alapok 1. előadás

Mérnöki alapok 1. előadás Mérnöki alapok 1. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia, Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg

Részletesebben

Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk

Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk meg, ahhoz viszonyítjuk. pl. A vonatban utazó ember

Részletesebben

Fizika alapok. Az előadás témája

Fizika alapok. Az előadás témája Az előadás témája Körmozgás jellemzőinek értelmezése Általános megoldási módszer egyenletes körmozgásnál egy feladaton keresztül Testek mozgásának vizsgálata nem inerciarendszerhez képest Centripetális

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen

Részletesebben

Fizika 1X, pótzh (2010/11 őszi félév) Teszt

Fizika 1X, pótzh (2010/11 őszi félév) Teszt Fizika X, pótzh (00/ őszi félév) Teszt A sebessé abszolút értékének időszerinti interálja meadja az elmozdulást. H Az átlayorsulás a sebesséváltozás és az eltelt idő hányadosa. I 3 A harmonikus rező mozást

Részletesebben

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása.

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Dinamika A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Newton törvényei: I. Newton I. axiómája: Minden nyugalomban lévő test megtartja nyugalmi állapotát, minden mozgó test

Részletesebben

0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika

0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika 0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika Mechanika (ismétlés) statika, kinematika Dinamika, energia Áramlástan Reológia Optika find x Teszt: 30 perc, 30 kérdés Matek alapfogalmak: Adattípusok: Természetes,

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása

Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Ebben a részben I egy tetszőleges, pozitív hosszúságú, intervallumot jelöl. Egyváltozós függvények differenciálszámítása

Részletesebben

Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai

Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai Bevezető Tudjuk, hogy a Maple könnyűszerrel képes végrehajtani a szimbólikus matematikai számításokat, ezért a Maple egy ideális program differenciál-

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek.

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek. Mozgások dinamikai leírása A dinamika azzal foglalkozik, hogy mi a testek mozgásának oka, mitől mozognak úgy, ahogy mozognak? Ennek a kérdésnek a megválaszolása Isaac NEWTON (1642 1727) nevéhez fűződik.

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

Mechanika I-II. Példatár

Mechanika I-II. Példatár Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Hely, idő, haladó mozgások (sebesség, gyorsulás)

Hely, idő, haladó mozgások (sebesség, gyorsulás) Hely, idő, haladó mozgások (sebesség, gyorsulás) Térben és időben élünk. A tér és idő végtelen, nincs kezdete és vége. Minden tárgy, esemény, vagy jelenség helyét és idejét a térben és időben valamihez

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

NT-17105 Fizika 9. (Fedezd fel a világot!) Tanmenetjavaslat

NT-17105 Fizika 9. (Fedezd fel a világot!) Tanmenetjavaslat NT-17105 Fizika 9. (Fedezd fel a világot!) Tanmenetjavaslat A fizika tankönyvcsalád és a tankönyv célja A Fedezd fel a világot! című természettudományos tankönyvcsalád fizika sorozatának első köteteként

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül.

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül. 01.03.16. RADNAY László Tnársegéd Debreceni Egyetem Műszki Kr Építőmérnöki Tnszék E-mil: rdnylszlo@gmil.com Mobil: +36 0 416 59 14 Definíciók: Kinemtik: A mechnikánk z része, mely testek mozgását vizsgálj

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 12 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot. 3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek

Részletesebben

Egy kinematikai feladat

Egy kinematikai feladat 1 Egy kinematikai feladat Valami geometriai dologról ötlött eszembe az alábbi feladat 1. ábra. 1. ábra Adott az a és b egyenes, melyek α szöget zárnak be egymással. A b egyenesre ráfektetünk egy d hosszúságú

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Koordinátarendszerek

Koordinátarendszerek Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli

Részletesebben

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése kézirat Kun Ferenc Debreceni Egyetem Elméleti Fizikai Tanszék Debrecen 2001 2 Determinisztikus folyamatok Tartalomjegyzék 1. Determinisztikus folyamatok

Részletesebben

Differenciálegyenletek a mindennapokban

Differenciálegyenletek a mindennapokban Differenciálegyenletek a mindennapokban Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Kutatók éjszakája Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 1 / 15 Pénz, pénz,

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Rezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz?

Rezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz? Rezgés tesztek 1. Egy rezgés kitérés-idő függvénye a következő: y = 0,42m. sin(15,7/s. t + 4,71) Mekkora a rezgés frekvenciája? a) 2,5 Hz b) 5 Hz c) 1,5 Hz d) 15,7 Hz 2. Egy rezgés sebesség-idő függvénye

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Mérnöki alapok 2. előadás

Mérnöki alapok 2. előadás Mérnöki alapok. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tanmenetek és szakmódszertani felvetések. 1. Szakmódszertani felvetések, javaslatok! 2. Fizika tanmenet 9. osztály (heti 2 óra)

Tartalomjegyzék. Tanmenetek és szakmódszertani felvetések. 1. Szakmódszertani felvetések, javaslatok! 2. Fizika tanmenet 9. osztály (heti 2 óra) Tartalomjegyzék ek és szakmódszertani felvetések 1. Szakmódszertani felvetések, javaslatok! 2 2. Fizika tanmenet 9. osztály (heti 2 óra) 5 3. Fizika tanmenet 9. osztály (heti 1,5 óra) 18 1 Bevezetô szakmódszertani

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1 Cél:

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

Osztályozó, javító vizsga 9. évfolyam gimnázium. Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ

Osztályozó, javító vizsga 9. évfolyam gimnázium. Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ 1. Egy téglalap alakú háztömb egyik sarkából elindulva 80 m, 150 m, 80 m utat tettünk meg az egyes házoldalak mentén, míg a szomszédos sarokig értünk. Mekkora az elmozdulásunk?

Részletesebben

FEJEZETEK A FIZIKÁBÓL

FEJEZETEK A FIZIKÁBÓL TÁMOP-4.1.1.F-13/1-013-0010 FEJEZETEK A FIZIKÁBÓL (Tömegpont mechanikájának alapjai) Kiemelt tématerületek a hallgatói felkészülés támogatására Összeállította: Dr. Majár János Gépészmérnöki és Informatikai

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN

ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 3. GÉPEK MECHANIKAI FOLYAMATAI 1. Definiálja a térbeli pont helyvektorát! r helyvektor előáll ortogonális (a 3 tengely egymásra merőleges) koordinátarendszer koordinátairányú

Részletesebben

Mérnöki alapok 10. előadás

Mérnöki alapok 10. előadás Mérnöki alapok 10. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334.

Részletesebben

A fizikai mennyiség, a mérés

A fizikai mennyiség, a mérés KINEMATIKA A fizikai mennyiség, a mérés A fizikai mennyiség fogalma Egy fizikai törvény általában matematikai összefüggést állapít meg különböző fizikai mennyiségek között. Ehhez elengedhetetlenül szükséges

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

20. Integrálszámítás

20. Integrálszámítás 20. Integrálszámítás I. Elméleti összefoglaló Az előző fejezetben sokszögek és a kör részeinek területével foglalkoztunk. Ebben a fejezetben olyan korlátos síkidomok területét is meghatározzuk, amelyeket

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

A mérés célkitűzései: A matematikai inga lengésidejének kísérleti vizsgálata, a nehézségi gyorsulás meghatározása.

A mérés célkitűzései: A matematikai inga lengésidejének kísérleti vizsgálata, a nehézségi gyorsulás meghatározása. A mérés célkitűzései: A matematikai inga lengésidejének kísérleti vizsgálata, a nehézségi gyorsulás meghatározása. Eszközszükséglet: Bunsen állvány lombik fogóval 50 g-os vasból készült súlyok fonál mérőszalag,

Részletesebben

Prekoncepciók és téveszmék mint a fizikatanítás megnehezítői. Juhász András Ált isk. tanártovábbképzés 2014, okt. KPSZTI

Prekoncepciók és téveszmék mint a fizikatanítás megnehezítői. Juhász András Ált isk. tanártovábbképzés 2014, okt. KPSZTI Prekoncepciók és téveszmék mint a fizikatanítás megnehezítői Juhász András Ált isk. tanártovábbképzés 2014, okt. KPSZTI Prof. Freund Tamás agykutató a tanulásról: (http://fiztan.phd.elte.hu/letolt/konfkotet2011.pdf

Részletesebben

MATLAB. 6. gyakorlat. Integrálás folytatás, gyakorlás

MATLAB. 6. gyakorlat. Integrálás folytatás, gyakorlás MATLAB 6. gyakorlat Integrálás folytatás, gyakorlás Menetrend Kis ZH Példák integrálásra Kérdések, gyakorlás pdf Kis ZH Numerikus integrálás (ismétlés) A deriváláshoz hasonlóan lehet vektorértékek és megadott

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Concursul Preolimpic de Fizică România - Ungaria - Moldova Ediţia a XVI-a, Zalău Proba experimentală, 3 iunie 2013

Concursul Preolimpic de Fizică România - Ungaria - Moldova Ediţia a XVI-a, Zalău Proba experimentală, 3 iunie 2013 Concursul Preolimpic de Fizică România - Ungaria - Moldova Ediţia a XVI-a, Zalău Proba experimentală, 3 iunie 2013 2. Kísérleti feladat (10 pont) B rész. Rúdmágnes mozgásának vizsgálata fémcsőben (6 pont)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport MECHANIKA I. 1. Definiálja a helyvektort! 2. Mondja meg mit értünk vonatkoztatási rendszeren! 3. Fogalmazza meg kinematikailag, hogy mikor

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Fizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK január 30.

Fizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK január 30. Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK 2017. január 30. Tapasztalatok az erővel kapcsolatban: elhajított kő, kilőtt nyílvessző, ásás, favágás Aristoteles: az erő a mozgás fenntartója Galilei: a mozgás

Részletesebben

Robotika. Kinematika. Magyar Attila

Robotika. Kinematika. Magyar Attila Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc

Részletesebben

1. A vállalat. 1.1 Termelés

1. A vállalat. 1.1 Termelés II. RÉSZ 69 1. A vállalat Korábbi fejezetekben már szóba került az, hogy különböző gazdasági szereplők tevékenykednek. Ezek közül az előző részben azt vizsgáltuk meg, hogy egy fogyasztó hogyan hozza meg

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 19. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint,

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően

Részletesebben

Középkori matematika

Középkori matematika Fizikatörténet Középkori matematika Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0 Bevezetés Láttuk korábban: A természettudomány forradalmát a középkor társadalmi, technikai és tudományos eredményei készítik

Részletesebben

A tankönyv tárgya a klasszikus mechanika jelenségek, tapasztalatok, kísérletek

A tankönyv tárgya a klasszikus mechanika jelenségek, tapasztalatok, kísérletek Kísérleti fizika 1. Vankó Péter 2013 Előszó Ez a könyv elsősorban a BME elsőéves fizikus hallgatói számára készült, a Kísérleti fizika 1. előadás anyagát dolgozza fel. Néhol részletesebb, mint az előadott

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

I. Gondolkodási műveletek

I. Gondolkodási műveletek I. Gondolkodási műveletek 1. Halmazok 1.1. A halmaz mint alapfogalom A halmaz és annak eleme a matematikában alapfogalmak, azaz nem definiáljuk őket. Akkor mondhatjuk, hogy adott tulajdonságú dolgok együttese,

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben