Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc

Átírás

1 Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése kézirat Kun Ferenc Debreceni Egyetem Elméleti Fizikai Tanszék Debrecen 2001

2 2 Determinisztikus folyamatok

3 Tartalomjegyzék 1. Determinisztikus folyamatok 5 2. Tömegpont mozgása A dinamika alaptörvénye Feladatok Differenciálegyenletek és egyenlet rendszerek numerikus megoldása Euler-módszer Hibaanalízis Lokális és globális hiba Algoritmus stabilitása Feladatok További eljárások Másodrendű Runge-Kutta módszer Negyedrendű Runge-Kutta módszer Verlet-módszer Prediktor-Korrektor (jósló-korrigáló) módszer Az algoritmus pontosságáról Feladatok Rezgőmozgás Harmónikus rezgőmozgás Csillapodó rezgés Kényszerrezgés, rezonancia Feladatok Az anharmónikus rezgőmozgás Tömegpontrendszerek mechanikája Tömegpontrendszer mozgásegyenletei Gravitációs dinamika: a bolygók mozgása

4 Determinisztikus folyamatok A bolygómozgás törvényszerűségei Feladatok Nap-Föld-Jupiter rendszer vizsgálata Feladatok Ütközések Ütközések törvényszerűségei Feladatok Függelék Az anharm.exe program kezelése Az orbiter.exe program kezelése A collision.exe program használata

5 1. fejezet Determinisztikus folyamatok A determinisztikusnak nevezzük azokat a folyamatokat, amelyek időfejlődése determinisztikus, azaz ismerve a rendszer egy adott időpillanatbeli állapotát és a mozgásának törvényeit a rendszer állapota tetszőleges későbbi és korábbi időpillanatban meghatározható. Ilyen determinisztikus folyamatok a fizikában a klasszikus mechanika által vizsgált anyagi testek mozgásai. A Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése című tárgy keretében a klasszikus mechanikai mozgások kinematikájával és dinamikájával foglalkozunk. A kinematika csupán a mozgás leírásával foglalkozik, a mozgásokat önmagukban, keletkezésükre való tekintet nélkül vizsgálja, míg a dinamika az egyes mozgásformák keletkezésének okait kutatja. A klasszikus mechanikai mozgásokat Newton második törvényére épülő mozgásegyenletek megoldásával kapjuk. A determinisztikus mozgások mozgásegyenletei matematikai szerkezetüket tekintve közönséges differenciálegyenletek, illetve egyenlet rendszerek. A legegyszerűbb esetektől eltekintve, ezeket a differenciálegyenleteket nem tudjuk analitikus eszközökkel megoldani, ezért számítógépes modellezést végzünk, az egyenletek numerikus megoldását keresve. Anyagi testek mozgásainak tanulmányozása során az egyszerűbb rendszerektől haladunk a bonyolultabbak felé. Ha a test méretei elhanyagolhatóak a mozgása során fellépő méretekhez képest, akkor a test mozgása reprezentálható egyetlen pontjának mozgásával. Ilyenkor a kiterjedt testet anyagi pontnak, tömegpontnak tekintjük. A definícióból látható, hogy az, hogy egy testet tömegpontnak tekinthetünk-e az attól is függ, hogy az illető testnek milyen mozgását vizsgáljuk. Ha a Földnek a Nap közüli mozgását tanulmányozzuk, akkor a pálya méretei miatt a Föld reprezentálható egyetlen ponttal. Viszont ha a Föld forgására vagyunk kiváncsiak, akkor mint kiterjedt objektumot kell vizsgálnunk. A tömegpont tehát a valós testeknek egy absztrakciója, modellje. A tömegpont mozgásának leírása viszonylag egyszerű, mert nem kell foglalkoznunk az testek véges kiterjedése okozta 5

6 Determinisztikus folyamatok bonyadalmakkal. Vizsgálódásaink következő lépéseként több tömegpontból álló, úgynevezett tömegpont rendszerekkel fogunk foglalkozni. A tömegpont rendszerek speciális eseteként kapjuk majd a merev testeket. A kiterjedt merev test egy olyan tömegpont rendszer, amely pontjainak egymáshoz viszonyított távolsága a pontrendszer mozgása során állandó. A jegyzet végén pedig olyan testek mozgásait vizsgáljuk, amelyek deformálódhatnak is. 6

7 2. fejezet Tömegpont mozgása Elsőként a legegyszerűbb mechanikai rendszerrel, a tömegponttal foglalkozunk. A tömegpont mozgásának leírása azt jelenti, hogy a tömegpontnak egy masik testhez viszonyított helyét bármelyik időpilanatban meg tudjuk mondani. A továbbiakban ezt fogalmazzuk meg egy kicsit pontosabban. A tömegpont pillanatnyi helyét a térben az r helyvektorral jellemezzük, amelyet egy O referencia ponttól mérünk. A tömegpont az O referencia ponthoz képest nyugalomban van, ha az r helyvektor időben állandó, s mozog, ha r változik. A tömegpont mozgását ismerjük, ha ismerjük az r(t) függvényt, amelyet pályagörbének nevezzünk és feltételezzük, hogy sima függvény. A klasszikus mechanika célja az, hogy egy adott rendszerre, adott körülmények között meghatározzuk az r t függvénykapcsolatot. tömegpont r(t 1, t 2 ) PSfrag replacements r(t 1 ) r(t 2 ) pálya O referencia pont 2.1. ábra. A helyvektor és a pálya illusztrációja. További fontos alapfogalmak 7

8 tömegpont Elmozdulás: A t 1 < t 2 időpillanatpárhoz tartozó elmozdulás r(t 1, t 2 ) = r(t 2 ) r(t 1 ). (2.1) Sebesség: a tömegpont t pillanatbeli sebessége v(t) a pályafüggvény differenciálhányadosa v(t) = d r(t) ; v(t) = dt r(t). (2.2) Út: a t 1 < t 2 időpillanatok között megtett út s(t 1, t 2 ) az r(t) függvény r(t 1 ) és r(t 2 ) pontjai közé eső ívének hossza, azaz t2 d r(t) s(t 1, t 2 ) = dt, (2.3) dt s(t 1, t 2 ) = t 1 t2 t 1 v(t) dt (2.4) Az 2.4 egyenlet alapján látható, hogy a t 1 < t 2 időpillanatok között megtett út a sebességnagyság-idő függvény integrálja, azaz a v(t) görbe alatti terület. Példa: a) b) PSfrag replacements v(t) v(t) t 1 t 2 t t 1 t 2 t t 2.2. ábra. Sebességnagyság-idő függvények. Az a) ábrán a tömegpont állandó nagyságú sebességgel mozog, a b) ábrán viszont a t 1 t időintervallumban a sebesség lineárisan nőtt, majd beállt egy konstans értékre. Lendület: tömegpont lendülete Gyorsulás: a tömegpont gyorsulása Érdekesebb speciális esetek: p = m v. (2.5) a = d2 r(t) dt 2, azaz a = v(t) (2.6) 8

9 tömegpont A r(t) helyvektor párhuzamos a v(t) sebesség vektorral, akkor a pályagörbe az O referencia pontra illeszkedő r(t o ) irányú egyenes. Ha a v(t) sebesség vektor párhuzamos az a(t) gyorsul]ással, akkor a pályagörbe az r(t o ) pontra illeszkedő v(t o ) irányú egyenes. Gyorsításról (lassításról) beszélünk, ha a tömegpont sebességének nagysága nő (csökken). PSfrag replacements z e 3 O r m y x e 1 e ábra. koordinátarendszer definíciója. A mozgás leírására az O referencia ponthoz koordinátarendszert rögzítünk. Az O pontot origónak nevezzük, a koordinata tengelyeket pedig az O-hoz rögzített e α bázisvektorok jelölik ki. A koordinatarendszerünkben az r(t) vektort a x(t) r(t) = y(t) z(t) koordinátákkal jellemezzük, amelyek az idő függvényei. Ehhez hasonlóan a sebesség és gyorsulás komponensei v(t) = v x (t) = dx(t) dt v y (t) = dy(t) dt v z (t) = dz(t) dt, a(t) = 9 a x (t) = d2 x(t) dt 2 a y (t) = d2 y(t) dt 2 a z (t) = d2 z(t) dt 2.

10 tömegpont Mozgási energia: az m tömegű v sebességgel mozgó tömegpont mozgási energiája: 2.1. A dinamika alaptörvénye E mozg = 1 2 mv2. (2.7) A dinamika alaptörvénye szerint a tömegpont mozgását a környezete határozza meg úgy, hogy megadja a tömegpont lendületének változási gyorsaságát p = F, (2.8) ahol F = F ( r, v, t) ismertnek feltételezett függvény, amely a környezetnek a vizsgált testre kifejtett hatását jellemzi. Általános esetben F függhet a tömegpont r helyétől, v sebességétől és a t időtől. Behelyettesítve a lendület definícióját a következő alakra jutunk p = d p dt = d(m v) = m d v dt dt, (2.9) m d2 r dt = F. 2 (2.10) Az 2.10 egyenlet az r(t) függvényre másodrendű közönséges differenciálegyenlet m d2 r(t) dt 2 = F. (2.11) Ebből az egyenletből, ismerve a környezet hatását a vizsgált testre ( F ), meghatározható a test mozgása, azaz az r(t) függvény, ezért a 2.10 egyenletet mozgásegyenletnek nevezzük. Az egyenlet megoldásának egyértelmű meghatározásához kezdőfeltételek megadása szükséges. Másodrendű differenciálegyenletről lévén szó, meg kell adnunk egy t o időpillanatban a nulladik és az első derivált értékét, azaz a helyvektort r(t o ) és a sebességvektort v(t o ) a t o időpillanatban. Egy koordináta rendszerben a 2.11 mozgásegyenlet három darab differenciálegyenletre esik szét, amelyek csatolt differenciálegyenletrendszert is alkothatnak mẍ = F x (x, y, z, v x, v y, v z, t), (2.12) mÿ = F y (x, y, z, v x, v y, v z, t), (2.13) m z = F z (x, y, z, v x, v y, v z, t). 10

11 tömegpont PSfrag replacements A egyenletek csatolása azt jelenti, hogy az x koordinátára vonatkozó egyenletben szereplő F x erőkomponens nemcsak x-től, hanem az összes többi koordinátától és sebességkomponenstől függhet. Igy a három egyenletet általában nem lehet egymástól függetlenül megoldani. Az egyes konkrét fizikai esetek, rendszerek az F alakjában különböznek. A továbbiakban egyszerű, speciális eseteket vizsgálunk, egyszerű erő alakok mellett keressük a mozgásegyenlet megoldását. Példák: Az egyszerűség kedvéért egydimenziós, azaz egyenes mentén történő mozgásokat tekintünk. Ilyenkor a 2.13 egyenletrendszerből csak egyetlen egyenletünk marad. nem hat erő: F=0. O v o x x o 2.4. ábra. A referencia pont, a koordinátarendszer és a kezdőfeltételek illusztrációja. Az O referencia pontot a kezdősebesség által meghatározott egyenesen felvéve, s a koordinátarendszer x tengelyét v o -al párhuzamosan irányítva (lásd az 2.4 ábrát) az 2.13 egyenletrendszerből egyetlen egyenlet marad: mẍ = 0. (2.14) Az egyenlet megoldását kétszeri integrálással kapjuk ẋ(t) = C 1, (2.15) x(t) = C 1 t + C 2. (2.16) A megoldásfüggvényben szereplő konstansokat a kezdőfeltételekből lehet meghatározni. A t = 0 időpillanatban a kezdeti koordináta x o a kezdősebesség értéke pedig v o. Behelyettesítve a fenti egyenletekbe adódik C 1 = v o, C 2 = x o. Tehát azt kaptuk, hogy v(t) = v o és x(t) = x o + v o t, a tömegpont egyenesvonalú egyenletes mozgást végez. 11

12 tömegpont mozgás konstans erő hatása alatt: F = Fo és F o v o. A referencia pontot és a koordináta rendszert az előző feladathoz hasonlóan felvehetjük, így ismét egy egyváltozós problémával állunk szemben. A mozgásegyenlet most mẍ = F o (2.17) alakú. A mozgásegyenlet megoldását az előző esethez hasonlóan kétszeri integrálással kapjuk meg ẋ(t) = F o m t + C 1, (2.18) F o x(t) = 1 2 m t2 + C 1 t + C 2. (2.19) A C 1, C 2 konstansokat ismételten a kezdőfeltételekből határozhatjuk meg, C 1 = v o, C 2 = x o. x(t) és v(t) alakját a 2.5 és 2.8 ábra illusztrálja v(t) x(t) t t 2.5. ábra. A tömegpont sebessége az időnek lineáris fügvénye ábra. Az x(t) függvény egy parabola. fékező erő: F = αv. Az erő kifejezésében a negatív előjel azt fejezi ki, hogy az erő ellentétes irányú a sebességgel. A mozgásegyenlet a következő alakú lesz mẍ = αv = αẋ (2.20) Ez másodrendű egyenlet x-re, de bevezetve a sebességet, mint független változót, redukálható elsőrendű egyenletté dv dt = α v. (2.21) m 12

13 tömegpont Ez már egy egyszerű szétválasztható változójú differenciálegyenlet, amelynek megoldása dv v = α m dt + C. (2.22) Az integrálást elvégezve és a konstans értékét a kezdőfeltételekből meghatározva kapjuk ln v = α m t + C, v = v o e α m t. Látható, hogy a sebesség a fékező erő hatására a kezdeti v o értékről exponenciálisan csökken. A csökkenés gyorsaságát az α fékezési együttható és az m tömeg hányadosa határozza meg. A helykoordináta meghatározásához a sebesség idő függvényt integráljuk v = dx dt = v o e α m t, x(t) = v o m α α e x(t) = x o + v o m α m t + C, ( 1 e α m t). Az x(t) és v(t) függvényeket az ábra illusztrálja v(t) x(t) t t 2.7. ábra. A sebesség exponenciálisan tart nullához ábra. Az x(t) egy konstanshoz tart. 13

14 tömegpont 2.2. Feladatok 1. Határozzuk meg az 2.2 ábrán látható két sebesség-idő függvény esetén a t 1, t 2 időintervallumban megtett utat. 2. Egy tömegpont mozgása közben helyvektorának abszolút értéke állandó. Határozzuk meg, milyen szöget zár be a helyvektor a sebességvektorral! 3. v o sebességgel repül egy repülőgép. Rakétával akarjuk lelőni. A rakéta v r sebességgel képes haladni, és mindig úgy mozog, hogy sebességvektora a repülőgép felé mutat. Határozzuk meg, hogy a rakéta milyen pályán mozog a becsapódásig! 4. Villamos megállásakor a vezető folyamatosan csökkenti a szerelvényre ható húzóerőt. Tegyük fel, hogy az erő csökkenése időben lineáris, azaz F (t) = F o kt, ahol k egy konstans. Határozzuk meg a leállásig megtett utat! 5. Az előzőekben külön-külön vizsgáltuk egy test mozgását konstans erő és csak sebességtől függő fékező erő hatása alatt. Ha egy testre egyszerre hat egy konstans nagyságú erő és egy fékezőerő, mozgásegyenlete a következő: mẍ = F o αv. Elemezzük a mozgást! Mekkora sebességre gyorsulhat fel a test? 6. Erős szélben egy könnyen csúszó test a szél hatására mozgásba jön. A test mozgásegyenlete mẍ = α(v sz v) alakú, ahol v sz jelöli a szél sebességét, v pedig a vizsgált test sebessége. Oldjuk meg az egyenletet v o = 0 kezdőfeltétel esetén! Mekkora sebességre gyorsulhat fel a test? 7. Az eddigiek alapján vizsgáljuk a ferde hajitást levegőben! Milyen szög alatt kell levegőben rögzített v o sebességgel eldobni egy követ, hogy legmesszebb repüljön? 14

15 3. fejezet Differenciálegyenletek és egyenlet rendszerek numerikus megoldása A klasszikus mechanikában a mozgást a Newton törvények alapján differenciálegyenletekkel, vagy egyenlet rendszerekkel irjuk le. A 2.11 mozgásegyenlet matematikai formáját tekintve egy közönséges, másodrendű differenciálegyenlet az r(t) pályafüggvényre. Az előző fejezetben láttuk, hogy a mozgásegyenletet csak a legegyszerűbb esetekben, az F ( r, v, t) legegyszerűbb alakjai mellett lehet analitikusan megoldani. A komplikált, de érdekes, esetleg a gyakorlat számára is fontos esetekben a mozgásegyenletet csak numerikusan tudjuk kezelni. Az egyetlen tömegpont mozgását leíró mozgásegyenlet általános alakja a következő m r = F ( r, v, t), (3.1) amelynek egyértelmű megoldásához meg kell adjuk a t 0 kezdeti időpillanathoz tartozó r o kezdeti hely és a v o kezdeti sebesség értékét. A numerikus eljárások ismertetéséhez, az egyszerűség kedvéért, egydimenziós, egyenes mentén történő mozgásokat tekintünk, azaz az mẍ = F (x, v, t) (3.2) egyenlet numerikus megoldásával foglalkozunk. A feladatunk tehát az, hogy ismert F (x, v, t) esetén határozzuk meg az x(t) függvényt. A tanultakat a fejezet végén általánosítjuk tetszőleges dimenziószámra. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldási eljárásai az úgynevezett véges differencia módszerre épülnek. Ezek alapgondolata, hogy az 15

16 Euler-módszer v v(t) v(t + t) PSfrag replacements t t + t t 3.1. ábra. Az Euler-módszer szemléltetése. Látható, hogy v(t) t egyenlő a téglalap területével. időt, mint független változót, diszkretizáljuk és a megoldásfüggvényt a csonkolt Taylor-sorával közelítjük Euler-módszer A legegyszerübb véges differencia módszer az Euler módszer. Ehhez tekintsük az 3.2 egyenlet x(t) megoldásfüggvényének Taylor-sorát: x(t + t) = x(t) + dx dt t + 1 t 2 d 2 x dt 2 t (3.3) t Az Euler-módszernél a Taylor sort az első deriváltat tartalmazó tag után csonkoljuk, azaz a x(t + t) = x(t) + v(t) t (3.4) közelítéssel élünk. Ez azt jelenti, hogy x-nek a t + t-ben felvett x(t + t) értékét x(t) és v(t) ismeretében közelítjük úgy, hogy a t intervallumon x(t)- t egyenessel helyettesítjük. Mivel x(t) a v(t) függvény idő szerinti integrálja, az Euler-módszer az 3.1 ábra alapján ekvivalens azzal, hogy v(t) integrálását téglalap módszerrel végezzük. 16

17 Euler-módszer Hasonló közelítéssel élünk a sebességre is, így tehát a numerikus megoldáshoz az iterálandó egyenletrendszer x(t + t) = x(t) + ẋ(t) t, (3.5) v(t + t) = v(t) + v(t) t, (3.6) alakú lesz. Vegyük észre, hogy a 3.5 iterációs egyenletek alakja általános, független magától a megoldandó differenciálegyenlettől. A megoldandó differenciálegyenlet konkrét alakja az a(t) = F (x(t),v(t),t) összefüggésen keresztül m a második iterációs egyenletben jelenik meg. Az egyenletek jobb oldalán csak t időpillanatbeli mennyiségek (x(t), v(t)) állnak, s ezek birtokában állítjuk elő a későbbi, t + t-beli értékeket. Az i-edik iterációs lépésben az iterálandó egyenletek tehát, amelyekkel akár már számítógépes programot is írhatunk: }{{} a(t) a i = F (x i, v i, t i ), m t i+1 = t i + t, x i+1 = x i + v i t, (3.7) v i+1 = v i + a i t. A megoldáshoz kezdőfeltételek megadása szükséges x(t o ), v(t o ). Példa: Tekintsük a rezgőmozgást leíró differenciálegyenletet: mẍ = Dx az x(t o = 0) = A és v(t o = 0) = 0 kezdőfeltételekkel. Az iterálandó egyenletrendszert úgy kapjuk, hogy a 3.7 egyenletrendszerben a i helyére a i = Dx i /m-et helyettesítünk. A 3.7 egyenletek alapján a megoldás programlistája a következő lehet D = 2 // rugoallando m = 1 // a tomegpont tomege x0 = 0.5 v0 = 0.0 x[0] = x0 // kezdeti koordinata v[0] = v0 // kezdeti sebesseg dt = 0.01 for (i = 0 <= N-1) // N iteracios lepest vegzunk 17

18 Hiba Euler-módszer { a[i] = -D*x[i]/m x[i+1] = x[i] + v[i]*dt v[i+1] = v[i] + a[i]*dt t = t + dt } A programmal kapott numerikus eredményeknek az analitikus megoldással történő összevetését a 3.2 ábra mutatja. A következőkben a numerikus meg analitikus megoldas Euler-modszer 800 x(t) ábra. Az analitikus és numerikus megoldás összehasonlítása. A két görbe eltérése, különbsége adja a módszer teljes hibáját. Jól megfigyelhető, hogy t növekedésével a hiba nő. t oldás hibáját probáljuk meg jellemezni Hibaanalízis A véges differenciák módszerével a differenciálegyenlet megoldását véges pontossággal állítjuk elő, a módszernek van hibája. Kétféle hibát különböztetünk meg: csonkolási hiba, 18

19 Hiba Euler-módszer kerekítési hiba. Csonkolási hiba A véges differencia módszereket a 3.3 általános Taylor sor csonkolásával kapunk. Mivel a Taylor sornak csak véges számú tagját vesszük figyelembe, eredményünk hibás lesz. A hiba értéke termeszetesen a Taylor sor elhagyott tagjainak összege, amelyet jellemezhetünk az első elhagyott, elnemtűnő tag értékeével. A véges differencia módszerek csonkolási hibája te (truncation error) a megoldás függvény Taylor sorában az első elhagyott, el nem tűnő tag értéke. Igy például az Euler módszer esetén a csonkolási hiba: te = 1 d 2 x(t) t 2. (3.8) 2 dt 2 A 3.8 egyenletből is látható, hogy egy adott véges differencia módszer esetén a csonkolási hiba a t lépésköz csökkentésével csökkenthető. Numerikus módszer rendje Egy véges differencia módszert n-ed rendűnek nevezünk, ha a csonkolási hibája t n+1 szerint változik. E szerint az Euler módszer első rendű. Fontos hangsúlyozni, hogy a csonkolási hiba értéke független attól, hogy a konkrét számításokat hogyan hajtjuk végre. Tehát ez nem kötődik a módszer számítógépes megvalósításához, ha az iterációs lépéseket papiron ceruzával számoljuk a csonkolási hiba épp annyi, mintha számítógépen számoltunk volna. Kerekítési hiba A kerekítési hiba re (rounding error) azon hibák együttese, amelyet a véges differencia algoritmus számítógépes implementációja okoz. A számítógépen a valós számok véges számú biten vannak ábrázolva, ezért minden velük végzett művelet véges pontosságú Lokális és globális hiba Tegyük fel, hogy az mẍ = F differenciálegyenletet akarjuk integrálni a [t 1, t 2 ] intervallumon. Az integráláshoz t lépésközt használunk. Ekkor az integrációs tartomány τ hossza τ = t 2 t 1 és az integráláshoz szükséges iterációs lépések száma M = τ/ t. A lokális hiba az egy iterációs lépésen belül fellépő hibák összessége, vagyis lte+lre, ahol lte a lokális csonkolási, és lre a lokális kerekítési hibákat jelölik. A globális hiba a teljes számolás (azaz a τ hosszú intervallumon M lépésben 19

20 Hiba Euler-módszer történő integrálás) alatt felhalmozódott hiba gte + gre, ahol gte és gre a globális csonkolási és kerekítési hibákat jelölik. Egy numerikus számolás végeredményének pontossága szempontjából a globális hiba a releváns. kerekítés gte+gre csonkolás PSfrag replacements t t 3.3. ábra. A gte+gre teljes hiba mint t függvénye. Az ábrán jeleztük, hogy az egyes t tartományokon melyik hibaforrás adja a teljes hiba domináns járulékát. Egy n-ed rendű módszer lokális csonkolási hibája általánosan az lte = kx (n+1) t n+1 (3.9) összefüggéssel adható meg, ahol x (n+1) az x(t) függvény n+1-edik deriváltját jelöli. M iterációs lépés alatt, t lépésközt használva, a globális csonkolási hiba gte = k M i=1 x (n+1) i t n+1 = k t n+1 M i=1 x (n+1) i (3.10) alakú. Az x (n+1) i deriváltak különbözőek lehetnek az egyes i iterációs lépésekben, de helyettesíthetjük őket átlagukkal gte = k t n+1 Mx (n+1). (3.11) Mivel a mozgásegyenletnek egy τ hosszú időintervallumon történő végigintegrálásához M = τ/ t számú iterációs lépés szükséges, az eközben fellépő 20

21 Hiba Euler-módszer globális csonkolási hiba gte = k t n+1 τ t x(n+1) = kτ t n x (n+1). (3.12) Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az n-ed rendű módszer globális csonkolási hibája t n-edik hatványával arányos gte t n, míg a lokális csonkolási hiba lte t n+1 volt. Az 3.12 egyenlet azt is megmutatja, hogy rögzített t esetén a hiba a végigintegrált időintervallum τ hosszának lineáris függvénye. Egy számolás teljes hibáját a csonkolási és a kerekítési hiba együttese határozza meg. Az eddigiekben láthattuk, hogy egy adott véges differencia módszernél a globális csonkolási hiba az integráláshoz használt t lépésköz határozza meg. Ezzel szemben a kerekítési hiba az elvégzett numerikus műveletek számától, azaz az iterációs lépések számától, függ. Az 3.3 ábra a gte + gre teljes hibának a t időlépéstől való függését illusztrálja. Az előzőek gte+gre ábra. Az Euler-módszer gte + gre teljes hibája mint t függvénye. t alapján, nagy t értékek esetén egy adott hosszúságú időintervallum végigintegrálásához szükséges műveletek száma kicsi, ezért a kerekítési hiba kicsi. A teljes hibát a csonkolási hiba határozza meg. t csökkentésével a csonkolási hiba csökken, ugyanakkor növekszik a kerekítési hiba, majd a kerekítési hiba válik dominánssá a teljes hibában. Van tehát egy optimális t lépésköz, amellyel a teljes hibát minimalizálni lehet. 21

22 Hiba Euler-módszer A 3.3 ábra sematikusan mutatja be a véges differencia módszerek hibájának t-től való függését. A hiba elemzését minden konrét módszer esetén el kell végezni, illetve az optimumot adó t értéke még magától a megoldandó differenciálegyenlettől is függhet. A példa kedvéért a 3.4 ábrán megmutatjuk, hogyan néz ki az Euler-módszerre gte + gre a t függvényében, ha egy tömegpontra csak a sebességgel arányos fékezőerő hat (lásd a 2.20 mozgásegyenletet). t értékét több, mint négy nagyságrenden keresztül változtattuk és a hiba értéke is több nagyságrenden keresztül változik, ezért mindkét tengelyen logaritmikus skálát használtunk. Az ábrából leolvasható, hogy t Megvizsgálhatjuk azt is, hogyan változik a teljes hiba, ha rögzítjük t értékét, s változtatjuk az integrációs intervallum τ hosszát. Ezt mutatja be a 3.5 ábra. Az ábrán látható lineáris függés összhangban van gte+gre ábra. Az Euler-módszer gte+gre teljes hibája mint τ függvénye rögzített t esetén. a teljes csonkolási hibára vonatkozó 3.12 általános eredménnyel! Algoritmus stabilitása Egy numerikus algoritmust stabilnak nevezünk, ha egyik iterációs lépésről a másikra nem erősíti a hibát. Az algoritmus instabil, ha a hibát erősíti. Az algoritmus felételesen stabil, ha kis t értékekre stabil, de t-t egy kritikus t c érték fölé növelve az algoritmus instabillá válik. 22

23 Hiba Euler-módszer Vizsgáljuk az előző alfejezetben bemutatott Euler-algoritmus stabilitási tulajdonságait! A példa kedvéért a rezgőmozgás 3.8 differenciálegyenletét tekintjük. Legyen a mozgásegyenlet egzakt megoldása x(t) és v(t), a numerikus eljárással kapott közelítő megoldásokat pedig jelöljük x, (t)-vel és v, (t)-vel. Az egyes függvények egy iterációs lépésbeli hibája az egzakt és a numerikus megoldások különbsége: e x (t) = x, (t) x(t), e v (t) = v, (t) v(t). Nézzük meg hogyan változik a hiba két egymást követő iterációs lépésben: e x (t + t) = x, (t + t) x(t + t) = x, (t) + ẋ, (t) t x(t) ẋ(t) t = x, (t) x(t) + (ẋ, (t) ẋ(t)) t = e x (t) + e v (t) t. Hasonlóan a sebesség hibájának időfejlődése: e v (t + t) = v, (t + t) v(t + t) = v, (t) v(t) + ( v, (t) v(t)) t ( = e v (t) + D ) [x, (t) x(t)] t. m Itt fölhasználtuk a konkrét példánkat a gyorsulás kiszámítására: a = F/m azaz a = ( D/m)x = ω 2 x, ahol bevezettük az ω = D/m jelölést. Tehát a végeredmény: e x (t + t) = e x (t) + e v (t) t, (3.13) ( e v (t + t) = e v (t) + D ) e x (t) t. m A 3.14 egyenletrendszer egy iterációs egyenletrendszer, amely a rezgőmozgás differenciálegyenletének Euler módszerrel történő integrálásakor fellépő csonkolási hiba időfejlődését írja le. Az egyenletrendszer együttható mátrixa A = 1 t ω 2 t 1 A hiba időfejlődését az A mátrix sajátértékei határozzák meg. Ha a 2 2- es valós elemű A mátrix két sajátértékének abszolútértéke egynél nagyobb, 23

24 Hiba Euler-módszer akkor az algoritmus a hibát erősíti, ha kisebb egynél, akkor nem erősít. Sajátértékek meghatározása: (1 λ) 2 + ω 2 t 2 = 0 λ 2 2λ ω 2 t 2 = 0 λ 1,2 = 2 ± 4ω 2 t 2 2 = 1 ± t ω 2 Látható, hogy t értékétől függetlenül λ > 1, ezért a bemutatott Euler algoritmus instabil. A feltételes stabilitás illusztrációjára módosítjuk az Euler módszert. Legyenek az iteráció egyenletei: x(t + t) = x(t) + [v + v t] t, v(t + t) = v(t) + v t. A vizsgált konkrét példa esetén az egyenleteink: Ekkor a stabilitási mátrix: x(t + t) = x(t)[1 ω 2 t 2 ] + v(t) t, v(t + t) = v(t) ω 2 x(t) t. A = 1 ω 2 t 2 t ω 2 t 1 Stabil megoldást kapunk, ha 2 < ω t < 2. 24

25 További módszerek Feladatok 1. A GENMOT program segítségével vizsgáljuk egy tömegpont mozgását, amelyre egy konstans F o erő hat! Kezdőfeltételként válasszuk az x(0) = x o és v o = 0 értékeket, majd legyen v o 0! Az Euler-módszert használva elemezzük numerikusan az x(t), v(t), v(x) függvényeket! 2. Legyen F = cv és elemezzük a tömegpont mozgását analitikusan, majd az Euler-módszerrel numerikusan. Elemezzük az x(t), v(t), a(t), és a v(x), a(x) függvényeket, vessük őket össze az analitikus eredményekkel! 3. Elemezzük az Euler-módszer hibáját! Adott t mellett integráljuk a mozgásegyenletet egy rögzített t értékig, és itt olvassuk le x(t ), v(t ) értékét a programból. Az integrálást ismételjük meg legalább öt különböző t értékkel, majd az egyes t-k mellett kapott x(t ), v(t ) a megfelelő egzakt megoldásokból kivonva határozzuk meg a módszer hibáját, mint t függvényét! Ábrázoljuk valamilyen programmal a hibát, mint t függvényét! 4. Vizsgáljuk a rezgőmozgást! Először nézzük meg az x(t) és v(t) függvényeket, majd a v(x) függvényt! Határozzuk meg analitikusan a v x síkon kapott görbe egyenletét! Az Euler-módszerrel integrálva a mozgásegyenletet, hogyan lehet észrevenni a v x síkon, hogy a módszer nem stabil? Indítsunk mozgásokat a legkülöbözőbb kezdőfeltételek mellett! 5. A GMRACE nevű programban egy versenyautóval kell megtennünk egy kört a versenypályán. Az autó gyorsulásának nagyságát és irányát tudjuk versenyzőként kontrolálni. Próbáljunk tenni egy kört az autóval! Hogyan lehet kanyarodni? Figyeljük milyen a gyorsulás és sebességvektor egymáshoz viszonyított iránya menet közben! 6. A fékezőerő esetén mérjük ki, hogyan változik az Euler módszer teljes hibája, ha rögzített t mellett növeljuk az integrációs időintervallum τ hosszát! A kapott eredményt vessük össze az analitikus eredményekkel! 7. Végezzük el analitikusan a módosított eljárás stabilitás vizsgálatát! Milyen intervallumon válasszuk t-t, hogy stabil eljárást kapjunk? 25

26 További módszerek 3.3. További eljárások Az előző fejezetben láttuk, hogy az Euler-módszer egy egyszerű, viszont pontatlan módszer, es ráadásul instabil is. Pontatlansága és instabilitása miatt gyakorlati számításokra alkalmatlan, de egyszerűsége réven az állatorvosi ló szerepét játsza, rajta keresztúl a véges differencia módszerek minden lényeges tulajdonsága bemutatható Másodrendű Runge-Kutta módszer v v(t) v(t + t) PSfrag replacements t t + t t 3.6. ábra. Integrálás trapéz módszerrel. Összevetve az ábrát az Eulermódszer 3.1 ábrájával látható, hogy itt pontosabb eredményt kapunk. A 3.6 ábra alapján látható, hogy jobb, pontosabb iterációs módszert kapunk, ha a v(t) görbe alatti területet nem téglalap módszerrel, hanem trapéz módszerrel kíséreljük meg kiszámítani. Ekkor a közelítő módszerünk egyenletei a következők: x(t + t) = x(t) + 1 [v(t) + v(t + t)] t, (3.14) 2 v(t + t) = v(t) + 1 [a(t) + a(t + t)], 2 a(t + t) = F (x(t + t), v(t + t), t + t). m A 3.15 egyenletszer még nem használható, mert az egyenletek jobb oldalán nemcsak a t időpillanatbeli mennyiségek, hanem már a t + t időpillanatbeli 26

27 További módszerek mennyiségek is szerepelnek, amelyeket nem ismerünk. A jobboldalon szereplő x(t + t), v(t + t) kiszámítására használjuk fel az előző fejezetben bemutatott Euler-módszert. Ekkor x(t + t) Euler = x(t) + v(t) t, v(t + t) Euler = v(t) + a(t) t, a(t + t) Euler = F (x(t + t) Euler, v(t + t) Euler, t + t). Behelyettesítve a fenti egyenleteket a 3.15 egyenletrendszerbe, már használható eljárást kapunk. x(t + t) = x(t) + 1 [ ] v(t) + v(t + t) Euler t, 2 (3.15) v(t + t) = v(t) + 1 [ ] a(t) + a(t + t) Euler t, 2 Az egyenletek jobb oldalán csak t-beli értékek állnak. Mivel az egyenletrendszer jobboldalán t a második hatványon szerepel, a megkonstruált eljárás másodrendű. A differenciálegyenlet ilymódon történő integrálását másodrendű Runge-Kutta módszernek nevezzük. Mivel a módszer másodrendű, pontosabb számolást biztosít, mint az Euler-módszer. Vegyük azonban észre, hogy ennek ára az, hogy a gyorsulást egy iterációs lépésben nem egyszer, hanem kétszer kell kiszámítani, ami effektíve kétszer több CPU időt igényel Negyedrendű Runge-Kutta módszer Az előbb bemutatott Runge-Kutta módszer pontosságát tovább javíthatjuk, ha x(t), v(t) kiszámításához a t + t intervallumon belülről is választunk segédpontokat, és a függvények ottani közelítő értékeit is felhasználjuk x(t + t), v(t + t) pontosabb meghatározására. A negyedrendű Runga-Kutta módszer x(t)-re vonatkozó iterációs egyenletei a következők: x(t + t) = x(t) (s 1 + 2s 2 + 2s 3 + s 4 ) t, ahol az egyes s i -k x(t) deriváltjai a t + t intervallum különböző pontjaiban: s 1 = v(t), s 2 = v(t t, x(t) s 1 t), s 3 = v(t t, x(t) s 2 t), s 4 = v(t + t, x(t) + s 3 t). 27

28 További módszerek Látható, hogy ez a módszer negyed rendű, tehát javítottuk a pontosságot, viszont enek ára az, hogy egyetlen iterációs lépésben nem egyszer, hanem négyszer kell kiszámítani a derivált értékét. Általánosan igaz az, hogy egy n-ed rendű Runga-Kutta módszerrel egy iterációs lépésben n-szer kell a deriváltat kiértékelni. Ezért a módszer lassú! Gyors számolás csak egészen egyszerű rendszerek esetén végezhető. A fizikában olyan módszereket próbálunk alkalmazni, amelyek a pontosságot növelik anélkül, hogy a deriváltat egy iterációs lépésben egynél többször kellene kiszámítani! Erre két lehetőség kínálkozik: használjunk koordináta és sebesség adatokat, amelyeket az előző iterációs lépésekben számítottunk ki (Verlet-módszer). a jelen pozíció birtokában jósoljuk jövőbeli koordináta és sebesség értékeket (Prediktor-Korrektor módszerek) Verlet-módszer Az x(t + t) Taylor sora harmad rendig bezáróan: x(t + t) = x(t) + dx t + 1 d 2 x dt t 2 dt 2 t d 3 x t 3! dt 3 t 3. (3.16) t Irjunk hasonló Taylor sort x(t t) kiszámítására x(t t) = x(t) dx t + 1 d 2 x dt t 2 dt 2 t 2 1 d 3 x t 3! dt 3 t 3. (3.17) t A két egyeneletet összeadva és átrendezve, közelítő összefüggést kapunk x(t+ t)-re: x(t + t) = 2x(t) x(t t) + d2 x(t) dt 2 t Ez az egyenlet definiálja a Verlet-módszert, melynek hibája t 4 -el arányos, ezért harmad rendű! Az 3.18 egyenlet nem tartalmaz információt a sebességről, benne csak a második derivált fordul elő, amit a kiindulási mozgásegyenletből kell behelyettesíteni. Tehát a módszer a gyorsulásból, illetve az erőből kiindulva, direktben a pozíciót szolgáltatja. Ha a sebességre kíváncsiak vagyunk, akkor ezt már a koordináta birtokában, a sebesség definíciója alapjan számíthatjuk ki: x(t + t) x(t t) v(t). 2 t A Verlet algoritmus, mint láttuk, egy kétlépéses módszer, mert x(t + t) értékét két iterációs lépésbeli információ felhasználásával határozza meg. 28

29 További módszerek Prediktor-Korrektor (jósló-korrigáló) módszer A Prediktor-Korrektor (jósló-korrigáló) módszerek egy iterációs lépésben három műveletet végeznek el: prediktor lépés: x(t) és v(t) birtokában megbecsüljük x(t + t) és v(t + t) értékét. kiértékelés: kiértékeljük a gyorsulást a t + t időpillanatban a becsült x(t + t) és v(t + t) értékeket felhasználva. korrektor lépés: korrigáljuk a becsült x(t + t) és v(t + t)-t felhasználva az előző és esetleg korábbi iterációs lépésekbeli koordináta és sebesség értékeket. Példaként tekintsük a harmadrendű Gear prediktor-korrektor módszert! 1. Becslés Ennél a módszernél a helykoordináta, a sebesség, a gyorsulás és a magasabb deriváltak becslését a következő egyenletek alapján végezzük x p (t + t) = x(t) + v(t) t a(t) t b(t) t3, v p (t + t) = v(t) + a(t) t b(t) t2, a p (t + t) = a(t) + b(t) t, b p (t + t) = b(t). 2. Kiértékelés A kiértékelés azt jelenti, hogy a becsült mennyiségek segítségével kiszámítjuk az egyes részecskékre ható erőt 3. Korrigálás F p = F (x p, v p ) a c (t + t) = F p m. A kiértékeléssel kapott a c (t + t) mennyiségre építve korrigáljuk a becsült értékeket. Ehhez kiszámítjuk a(t + t) = a c (t + t) a p (t + t), 29

30 További módszerek majd a korrekciót a következő egyenletek alapján végezzük x c (t + t) v c (t + t) a c (t + t) b c (t + t) = x p (t + t) v p (t + t) a p (t + t) b p (t + t) + c 0 c 1 c 2 c 3 a(t + t) Az egyenletekbe szereplő (c, c 1, c 2, c 3 ) együtthatók értékét úgy határozzuk meg, hogy a kívánt pontosságot érhessük el. Másodrendű differenciálegyenletek esetén értékük c 0 = 3/16, c 1 = 251/360, c 2 = 1, c 3 = 11/ Az algoritmus pontosságáról A fizikában használt véges differencia algoritmusok pontosságát gyakran jellemezzük úgy, hogy megnézzük, az algoritmus megőrzi-e megmaradó fizikai mennyiségek értékét. A legegyszerűbb ilyen teszt az energia vizsgálatán alapszik. A mechanikai rendszer teljes energiája E = 1 2 mv2 + E pot, a moygási és a potenciális, helyzeti, energia összege. Formálisan az E energia a kordinátának és a sebességnek egy összefüggése E = E(x(t), v(t)). Az energia állandósága azt jelenti, hogy a rendszer mozgása során változik x(t) és v(t), de a kettejükből alkotott kifejezés E = E(x(t), v(t)) értéke mindig állandó. A véges differencia algoritmusunkkal vizsgáljunk olyan rendszert, amelyben a teljes energia megmaradó fizikai mennyiség, azaz értéke a mozgás során állandó. Ekkor az M iterációs lépésben felgyülemlett teljes hibát jellemezhetjük azzal, hogy az algoritmus mennyire képes megőrizni az energia értékét: ge = M [E (0) E (k t)] 2, k=1 ahol E (0) jelöli a numerikusan számolt energia étékét az integrálás elején, majd E (k t) az numerikusan energia értéke az egyes k iterációs lépésekben. 30

31 Feladatok További módszerek 1. A GENMOT program segítségével, elemezzük a másodrendű és negyedrendű Runge-Kutta-módszer hibáját! Legyen F = cv. Adott t mellett integráljuk a mozgásegyenletet egy rögzített t értékig, és itt olvassuk le x(t ), v(t ) értékét a programból. Az integrálást ismételjük meg legalább öt különböző t értékkel, majd az egyes t-k mellett kapott x(t ), v(t ) a megfelelő egzakt megoldásokból kivonva határozzuk meg a módszer hibáját, mint t függvényét! Ábrázoljuk valamilyen programmal a hibát, mint t függvényét! 2. Az előző pontbeli számításokat elvégezve hasonlítsuk ösze a Runge- Kutta módszerre kapott eredményeket az Euler-módszer hibájával! Értelmezzük a látottakat! 3. Rögzített t mellett változtassuk az integrációs tartomány τ hosszát a másodrendű Runge-Kutta módszer esetén es mérjük ki gte + gre-t a τ függvényében! 4. A másodrendű Runge-Kutta módszerre próbálgatással határozzuk meg a kritikus t c értéket, ami alatt választva t-t stabil módszert kapunk! 31

32 32 További módszerek

33 4. fejezet Rezgőmozgás Az eddig tanultak alkalmazásaként a továbbiakban konkét fizikai rendszereket tekintünk, amelyek mozgását analitikus és numerikus eszközökkel elemezzük. Elsőként a rezgőmozgást végző tömegponttal foglalkozunk. A fejezetben lépésről lépésre haladva feltárjuk a harmónikus, a csillapodó majd a kényszerrezgés tulajdonságait. A fejezet végén röviden kitérünk az anharmónikus rezgésekre is Harmónikus rezgőmozgás Definíció: Az egyenes mentén mozgó tömegpont rezgőmozgást végez, ha pillanatnyi helyzetét a x(t) = A(t) sin (ωt + ϕ) (4.1) függvény írja le. x az egyenes valamely adott pontjától (neve egyensúlyi helyzet) mért helyzetjellemző, A(t) amplitúdó, φ(t) = ωt + ϕ fázisfüggvény, ω körfrekvencia, ϕ fázisállandó, vagy fázisszög. Ha A(t) = A o állandó, akkor a rezgőmozgást harmónikusnak nevezzük. Ha A(t) monoton csökkenő, akkor csillapodó rezgőmozgásról beszélünk. A T = 2π/ω mennyiséget rezgésidőnek nevezzük. Idő szerint differenciálva x(t)-t, a harmónikus rezgőmozgást végző tömegpont sebessége v(t) = A o ω cos (ωt + ϕ) (4.2) alakúnak adódik. Az (4.1,4.2) egyenletekből meghatározhatjuk a v sebességet, mint az x helykoordináta függvényét x 2 A 2 o + v2 = 1, (4.3) A 2 2 oω 33

34 Rezgőmozgás x 0 v t x 4.1. ábra. A harmónikus rezgőmozgást végző tömegpont x(t) függvénye két különböző kezdőfeltétel esetén, és a v(x) függvény az egyik esetre. ami a v x síkon egy ellipszist ír le, melynek féltengelyei A o és A o ω. Definíció: Kvázielasztikus erő: F = D r, ahol D > 0 állandó, r a tömegpont helyvektorát jelöli. Ha egy tömegpontra csak a kvázielasztikus erő hat, mozgásegyenlete m r = D r, m r + D r = 0 alakú. Csak az egydimenziós esettel foglakozunk, ezért a mozgásegyenletet a mẍ + Dx = 0 (4.4) formába írjuk. A továbbiakban a (4.4) mozgásegyenlet megoldását keressük valamilyen x o, v o kezdeti feltételek mellett. Az egyenlet egy közönséges, másodrendű, lineáris, konstans együtthatós, homogén differenciálegyenlet, amelynek analitikus megoldására létezik általánosan használható eljárás. Keressük 4.4 megoldását exponenciális alakban azaz x p (t) = Ae λt, (4.5) amit behelyettesítve kapjuk a differenciálegyenlet λ-ra vonatkozó karakterisztikus egyenletét mλ 2 + D = 0. (4.6) Mivel a karakterisztikus egyenlet másodfokú, λ-nak két lehetséges értéke van λ = ±iω o, ahol ω o = 34 D m.

35 Rezgőmozgás D: a rugó keménysége PSfrag replacements 4.2. ábra. A kvázielasztikus erő legegyszerűbb megvalósítása, ha egy testet csavarrugóra akasztunk. A rugó által a testre kifejtett erő a rugó l megnyúlásának F = D l alakú függvénye, ahol D jelöli a rugó keménységét. A differenciálegyenlet két partikuláris megoldása tehát x p 1(t) = A 1 e iωot, x p 2(t) = A 2 e iωot. Az általános megoldás a partikuláris megoldások lineáris kombinációjaként állítható elő x(t) = A 1 e iωot + A 2 e iωot, ahol az A 1, A 2 együtthatók értékét a kezdőfeltételekből határozhatjuk meg. Véve az egyenlet mindkét oldalát a t o = 0 helyen x o = A 1 + A 2. A tömegpont sebességét deriválással kapjuk majd fölhasználva a kezdőfeltételt v(t) = iω o A 1 e iωot iω o A 2 e iωot, v o = iω o (A 1 A 2 ) adódik. A kapott két egyenletből meghatározhatóak az A 1, A 2 együtthatók: A 1 = x o + vo iω o 2, A 2 = ro vo iω o, 2 35

36 Rezgőmozgás Csillapodó rezgés a megoldásfüggvény pedig x(t) = x o cos ω o t + v o ω o sin ω o t alakúnak adódik, amit összevetve az általános x(t) = A o sin (ω o t + ϕ) formával leolvasható az amplitúdó és a fázisszög értéke: A o = x 2 o + v2 o, ωo 2 tgϕ = ω ox o v o. A fentieket összegezve beláttuk, hogy ha egy tömegpontra csak a kvázielasztikus erő hat, akkor az harmónikus rezgőmozgást fog végezni. A kialakuló harmónikus rezgés körfrekvenciáját a D erőállandó és az m tömeg, az amplitúdót és a kezdő fázist pedig a kezdőfeltételek határozzák meg Csillapodó rezgés Eddig tömegpont mozgását vizsgáltuk a kvázielasztikus erő hatása alatt. Nézzük meg, mi történik, ha ezen kívül még egy F f = βv sebességgel arányos fékező erő is hat a tömegpontra, azaz ha egy testet rugóra akasztunk és valamilyen közegbe (levegőbe, vízbe) tesszük. Ekkor a mozgásegyenlet mẍ = Dx βẋ, mẍ + Dx + βẋ = 0 (4.7) lesz, amit a tömeggel végigosztva és bevezetve a 2κ = β/m jelölést, a következő alakra hozható ẍ + 2κẋ + ωo 2 x = 0. (4.8) Ez is másodrendű, lineáris, állandó együtthatós, homogén differenciálegyenlet, tehát megoldását az előző esetben ismertetett gondolatmenethez hasonlóan kapjuk. A megoldást az 4.5 exponenciális alakban keresve a karaketerisztikus egyenlet λ 2 + 2κλ + ωo 2 = 0 λ 1,2 = κ ± κ 2 ωo, 2 ahol κ = β 2m. λ 1,2 értéke, és így a megoldásfüggvény alakja erősen függ κ és ω o viszonyától. A lehetséges eseteket külön-külön tárgyaljuk. 36

37 Rezgőmozgás Csillapodó rezgés 4 3 ae - t 2 x 1 x 1 0 x 2 x 3 x t -ae - t 4.3. ábra. Csillapodó rezgés. Az (4.9) egyenlet olyan rezgőmozgást ír le, amelynek amplitúdója exponenciálisan csökken. x i jelöli az egymást követő maximumok értékét. κ < ω o : gyenge fékezés. Ekkor λ 1,2 = κ ± iω, ahol ω = ω 2 o κ2, két lineárisan független partikuláris megoldást kapunk: A 1 e λ 1t, A 2 e λ 2t és az általános megoldás x(t) = e κt (A 1 e iωt + A 2 e iωt ) alakúnak adódik. A megoldástól azt kívánjuk, hogy valós legyen, ami elérhető például úgy, hogy a konstansokat a következő alakban vesszük fel: A 1 = a 2 eiα, A 2 = a 2 e iα, vagyis A 1, A 2 helyett két új a, α konstanst vezetünk be a fenti definícióval. Igy x = ae κt cos (ωt + α) adódik, vagy α helyett α π/2-t írva x = ae κt sin (ωt + α). (4.9) Az (4.9) egyenlet olyan rezgőmozgást ír le, amelynek amplitúdója az idővel exponenciálisan csökken, ezért csillapított rezgőmozgásnak nevezzük, bár ez nem periódikus folyamat. Az (4.9) egyenletből leolvashatóak a csillapított rezgés tulajdonságai is: a körfrekvencia és a rezgésidő ω = ω 2 o κ2, T = 2π ω 2 o κ 2. Az ω tehát kisebb, mint a csillapítatlan rezgőmozgás ω o körfrekvenciája, a T 37

38 Rezgőmozgás Csillapodó rezgés rezgésidő pedig nagyobb T o -nál. Látható, hogy az x(t) függvény határértéke lim x(t) = 0, t azaz a fékezés hatására a mozgás aszimptótikusan leáll és a részecske a rugó feszitetlen helyénél nyugalomba kerül. Az 4.9 megoldásfüggvény viselkedését a 4.3 ábra illusztrálja. A csillapodó rezgőmozgás érdekes tulajdonsága, hogy bármely két egymásutáni, egyirányú maximális kitérés viszonya ugyanaz (lásd a 4.3 ábrát): x 1 x 3 = x 2 x 4 =... = x n x n+2, mert ha például az x n -hez tartozó idő t n, akkor (4.9) szerint x n = x(t n) x n+2 x(t n + T ) = eκt. (4.10) Ezért a K = e κt mennyiséget a csillapodás mértékének tekinthetjük és csillapodási hányadosnak nevezzük. Most rátérünk arra az esetre, amikor a karakterisztikus egyenlet gyökei valósak. x PSfrag replacements 0 t 4.4. ábra. Az aperiódikus határeset. Az x(t) függvény nem vált előjelet. Kis t értékekre növekszik, majd nagy t-kre exponenciálisan csökken. κ > ω o, erős fékezés. Ekkor λ 1,2 = κ ± κ 2 ω 2 o, vagyis a λ 1, λ 2 gyökök 38

39 Rezgőmozgás Kényszerrezgés valósak és negatívak, az általános megoldás pedig x(t) = A 1 e λ 1t + A 2 e λ 2t alakú lesz. Mivel mindkét λ valós, az x(t)-ben szereplő tagok az idővel exponenciálisan csökkenek és így a mozgás nem lesz rezgőmozgás. Közelebbről tekintsük a következő kezdőfeltételekkel jellemzett esetet: t = 0-nál legyen x = 0, tehát A 1 + A 2 = 0, valamint ẋ = v = v o, tehát A 1 λ 1 + A 2 λ 2 = v o. Ebből következik A 1 = A 2 = v o λ 1 λ 2 = v o 2 κ 2 ω 2 o, és innen x(t) = v o [e (κ κ 2 ω 2 o )t e (κ+ κ 2 ω 2 o )t ]. (4.11) 2 κ 2 ω 2 o A megoldás alakjából látható, hogy x értéke sosem lesz negatív. A 4.11 megoldás alakját a 4.4 ábra illusztrálja. A mozgás során t = 0-tól kezdve x növekszik, bizonyos t 1 időpillanatban eléri maximumát, majd t - re zérushoz tart. A maximum helye abból határozható meg, hogy ott a tömegpont megáll. Igy mozog például a rugóra akasztott test, amelyet valamilyen nagy viszkozitású folyadékba merítünk és egyik irányba kitérítünk. A kitérítést követően a test a másik oldalra már nem fog átmenni, hanem a feszitetlen helyen megáll. κ = ω o. Ebben az úgynevezett aperiódikus határesetben λ 1 = λ 2 = κ és így egy partikuláris megoldást kapunk: e κt. A differenciálegyeneletek elmélete alapján a másik partikuláris megoldás te κt és így az általános megoldás x(t) = e κt (A 1 + A 2 t). Ha ismét az előző kezdőfeltételeket használjuk könnyen belátható, hogy A 1 = 0, A 2 = v o és x(t) = v o te κt, ami az előző esethez hasonló függvényalakot ad, azaz aperiódikus mozgás, x kizárólag mindig egyirányú és t -re nullához tart. 39

40 Rezgőmozgás Kényszerrezgés 4.3. Kényszerrezgés, rezonancia Tegyük fel, hogy a tömegpontra a kvázielasztikus és a fékező erőn kívül még egy periódikus gerjesztő erő is hat: F = F o cos (ωt). Ez az eset legegyszerübben úgy valósítható meg, hogy egy testet csavarrugóra erősítünk, majd a rugó felső végét fel és le mozgatjuk. Igy az előzőekben megismert csillapított szabad rezgést kívülről befolyásoljuk, ezért ezt az esetet kényszerrezgésnek nevezzűk, ω-t pedig gerjesztési, vagy kényszerfrekvenciának hívjuk. A korábban bevezetett ω s = ω 2 o κ2 mennyiséget sajátfrekvenciának nevezzük. A probléma mozgásegyenlete mẍ = Dx βẋ + F o cos ωt, vagy a korábban bevezetett jelölésekkel ω o = D m, az egyenlet alakja a következő lesz κ = β 2m, f o = F o m mẍ + 2κẋ + ω 2 o x = f o cos ωt. (4.12) Ez az egyenlet abban különbözik a korábban látott (4.4,4.8) mozgásegyenletektől, hogy a jobb oldal nem nulla, hanem maga is t függvénye, tehát az ismeretlen függvényen és deriváltjain kívül más, ismert függvénye is van t-nek az egyenletben. Az ilyen differenciálegyenletet inhomogénnak nevezzük. Az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldását úgy kapjuk meg, hogy megkeressük egy partikuláris megoldását majd ehhez hozzáadjuk a megfelelő homogén egyenlet általános megoldását. A megoldás részleteit nem ismertetjük, hanem helyette megadjuk a megoldásfüggvény alakját, majd azt elemezzük. κ < ω o esetén az 4.12 egyenlet általános megoldása: x(t) = A cos (ωt ϕ) } {{ } periódikus + ae κt sin ( ωo 2 κ2 t + α), (4.13) } {{ } csillapodó ahol A = f o 2κω (ωo 2, és tgϕ = ω2 ) 2 + 4κ 2 ω2 ωo 2 (4.14) ω2 40

41 Rezgőmozgás Kényszerrezgés x ábra. A kényszerrezgés mozgásegyenletének (4.13) megoldása. Az ábra jól illusztrálja, hogy a csillapodó rész eltünésével periódikus mozgást kapunk t Az (4.13) általános megoldásból látható, hogy az anyagi pont mozgása két részből tevődik össze: egy ω körfrekvenciájú csillapítatlan és egy ω 2 o κ 2 körfrekvenciájú csillapított rezgőmozgásból. Az idő múlásával a csillapodó rész kihal és asszimptótikusan a gerjesztés és fékezés együttes hatásának eredményeként egy periódikus mozgás, harmónikus rezgőmozgás alakul ki, tehát a tömegpont a gerjesztő erő ω körfrekvenciájával csillapítatlan rezgést, kényszerrezgést végez. Ezt illuszrálja a 4.5 ábra. A kialakuló kényszerrezgés A < ábra. A kialakuló harmónikus rezgés (4.14) amplitudója mint az ω gerjesztő frekvencia függvénye két különböző κ fékezési együttható érték mellett A amplitúdója és a gerjesztő erő és a kényszerrezgés közötti fázistolás ϕ szöge a gerjesztő erő ω körfrekvenciájától függ. A (4.14) egyenlet szerint, amint a gerjesztő frekvencia 0-tól ω o -ig, majd innen -ig nő, a ϕ fáziskülönbség 0-tól π/2-ig, majd onnan π-ig nő, tehát a rezgés fázisban mindig elmarad a gerjesztő erőhöz képest. Az amplitudó kis ω-áktól indulva először nő, ω = ω o közelében maximumot ér el, majd ismét csökken. Tehát az amplitúdó akkor a legnagyobb, ha a gerjesztő frekvencia a rendszer sajátfrekvenciájának közelébe esik. Ez a jelenség a rezonancia, az A(ω) görbét pedig rezonan- 41

42 Rezgőmozgás Kényszerrezgés cia görbének nevezzük (lásd a 4.6 ábra). Látható, hogy a maximum annál erősebb, minél kisebb a rendszer κ csillapítása. Csillapítatlan rendszerre ω = ω o esetén az amplitúdó végtelenné válna. Ez a jelenség a rezonancia katasztrófa. A rezonanciának rendkívül nagy jelentősége van a gyakorlati életben. Egy épületben a vizvezetékben fellépő rezonancia miatt az épület súlyosan rongálódhat, a rezonancia az oka annak, hogy hidakon katonák nem mehetnek lépést tartva. 42

43 Rezgőmozgás Kényszerrezgés Feladatok 1. Lengő rendszereknél, például a mérlegnél, az x o egyensúlyi helyzet meghatározható három egymást követő fordulópont x 1, x 2, x 3 megfigyeléséből. (Az 4.4 ábrán x o értéke nulla.) Kiindulva a (4.10) egyenletből, fejezzük ki x o -t az x 1, x 2, x 3 segítségével. A kapott formulát régen gyakran használták mérlegelésnél. 2. Elemezzük a csillapodó rezgőmozgást numerikusan! Adott ω o mellett indítsunk mozgásokat változtatva a β fékezési együtthatót a mozgásegyenletben (azaz változtatva κ-t. Vegyük fel β-t úgy, hogy κ < ω o teljesüljön! Inditsunk egy mozgást valamilyen kezdőfeltétellel és figyeljük a csillapodó rezgés létrejöttét. Olvassuk le a fordulópontokban az x értékét majd ellenőrizzuk az (4.10) egyenlet teljesülését! Vegyük fel β-t úgy, hogy κ > ω o teljesüljön! Miben különbözik az így kialakuló mozgás az előző esettől? Értelmezzük a kapott x(t) görbét. Adott kezdőfeltételek mellett az x miért nem vált előjelet? Inditsunk mozgásokat úgy, hogy x legyen negatív, majd pozitív. Elemezzük az aperiódikus határesetet! 3. Csillapodó rezgőmozgás vizsgálatánál κ < ω o feltétel mellett inditsunk egy mozgást majd ábrázoljuk a tömegpont sebességét a helykoordináta függvényében! Értelmezzük a látottakat és hasonlítsuk össze a kapott görbét a csillapítatlan esetben kapottakkal! 4. Vizsgáljuk a csillapított és gerjesztett oszcillátor mozgását! Indítsunk mozgásokat különböző kezdőfeltételekkel változtatva a programban a csillapítás és gerjesztés értékét! Figyeljük a gerjesztett rezgőmozgás kialakulását! Elemezzük a mozgást a v x síkon is! 5. Az anharm.exe program segítségével vegyük fel a periodikusan gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor rezonanciagörbéjét két különbőző κ érték mellett. Számoljuk ki a maximumot és a félértékszélességet a különböző csillapítások mellett. Az analitikus megoldás alapján elemezzük a látottakat. 43