Differenciálegyenletek a mindennapokban

Átírás

1 Differenciálegyenletek a mindennapokban Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Kutatók éjszakája Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

2 Pénz, pénz, pénz Valaki T 0 forintot (például 1 forintot) p%-os éves kamatra elhelyez a bankban. Mennyi pénze lesz egy év múlva? L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

3 Pénz, pénz, pénz Valaki T 0 forintot (például 1 forintot) p%-os éves kamatra elhelyez a bankban. Mennyi pénze lesz egy év múlva? T 0 (1 + p 100 ) L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

4 Pénz, pénz, pénz Valaki T 0 forintot (például 1 forintot) p%-os éves kamatra elhelyez a bankban. Mennyi pénze lesz egy év múlva? T 0 (1 + p 100 ) Amennyiben havonta tőkésítik a kamatot, úgy egy év alatt több pénz gyűlik össze, hiszen L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

5 Pénz, pénz, pénz Valaki T 0 forintot (például 1 forintot) p%-os éves kamatra elhelyez a bankban. Mennyi pénze lesz egy év múlva? T 0 (1 + p 100 ) Amennyiben havonta tőkésítik a kamatot, úgy egy év alatt több pénz gyűlik össze, hiszen 1. hónap végén: T 0 (1 + q 12 ), q = p/100; L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

6 Pénz, pénz, pénz Valaki T 0 forintot (például 1 forintot) p%-os éves kamatra elhelyez a bankban. Mennyi pénze lesz egy év múlva? T 0 (1 + p 100 ) Amennyiben havonta tőkésítik a kamatot, úgy egy év alatt több pénz gyűlik össze, hiszen 1. hónap végén: T 0 (1 + q 12 ), q = p/100; 2. hónap végén: T 0 (1 + q 12 )2 ; L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

7 Pénz, pénz, pénz Valaki T 0 forintot (például 1 forintot) p%-os éves kamatra elhelyez a bankban. Mennyi pénze lesz egy év múlva? T 0 (1 + p 100 ) Amennyiben havonta tőkésítik a kamatot, úgy egy év alatt több pénz gyűlik össze, hiszen 1. hónap végén: T 0 (1 + q 12 ), q = p/100; 2. hónap végén: T 0 (1 + q 12 )2 ;. 12. hónap végén: T 0 (1 + q 12 )12. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

8 Pénz, pénz, pénz Valaki T 0 forintot (például 1 forintot) p%-os éves kamatra elhelyez a bankban. Mennyi pénze lesz egy év múlva? T 0 (1 + p 100 ) Amennyiben havonta tőkésítik a kamatot, úgy egy év alatt több pénz gyűlik össze, hiszen 1. hónap végén: T 0 (1 + q 12 ), q = p/100; 2. hónap végén: T 0 (1 + q 12 )2 ;. 12. hónap végén: T 0 (1 + q 12 )12. Például T 0 = 1, p = 7 esetén az első esetben az számlán lévő összeg 1, 07, míg a második esetben 1, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

9 Vágyálom Osszuk az egy évet n egyenlő részre és írjuk jóvá ezen időszakonként a kamatot, mert ekkor L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

10 Vágyálom Osszuk az egy évet n egyenlő részre és írjuk jóvá ezen időszakonként a kamatot, mert ekkor L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

11 Vágyálom Osszuk az egy évet n egyenlő részre és írjuk jóvá ezen időszakonként a kamatot, mert ekkor Az év végén, azaz az n. időszak végén a pénzösszeg: T 0 (1 + q n )n. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

12 Még, még még! L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

13 Még, még még! Minden határon túl sűrítjük azon idők számát, amikor kamatjóváírás történik, azaz n T 0 (1 + q n )n? L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

14 A valóság L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

15 A valóság L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

16 A valóság lim (1 + 1 n n )n = e L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

17 A valóság lim (1 + 1 n n )n = e L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

18 A változás sebessége Folytonos tőkésítés mellett T (t): a tőke nagysága a t. időpillanatban L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

19 A változás sebessége Folytonos tőkésítés mellett T (t): a tőke nagysága a t. időpillanatban T = T (t + h) T (t), t = h L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

20 A változás sebessége Folytonos tőkésítés mellett T (t): a tőke nagysága a t. időpillanatban T = T (t + h) T (t), t = h A tőke nagyságának változási sebessége: lim h 0 T (t + h) T (t) h L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

21 A változás sebessége Folytonos tőkésítés mellett T (t): a tőke nagysága a t. időpillanatban T = T (t + h) T (t), t = h A tőke nagyságának változási sebessége: lim h 0 T (t + h) T (t) h Derivált sebesség L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

22 A változás sebessége Folytonos tőkésítés mellett T (t): a tőke nagysága a t. időpillanatban T = T (t + h) T (t), t = h A tőke nagyságának változási sebessége: lim h 0 T (t + h) T (t) h Derivált sebesség T (t) = dt (t) dt L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

23 A változás sebessége Folytonos tőkésítés mellett T (t): a tőke nagysága a t. időpillanatban T = T (t + h) T (t), t = h A tőke nagyságának változási sebessége: lim h 0 T (t + h) T (t) h Derivált sebesség T (t) = kezdeti érték feladatot: dt (t) dt így a feladatunk megoldani az alábbi L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

24 A változás sebessége Folytonos tőkésítés mellett T (t): a tőke nagysága a t. időpillanatban T = T (t + h) T (t), t = h A tőke nagyságának változási sebessége: lim h 0 T (t + h) T (t) h Derivált sebesség T (t) = kezdeti érték feladatot: dt (t) dt így a feladatunk megoldani az alábbi T = p T, T (0) = T 0 L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

25 A változás sebessége Folytonos tőkésítés mellett T (t): a tőke nagysága a t. időpillanatban T = T (t + h) T (t), t = h A tőke nagyságának változási sebessége: lim h 0 T (t + h) T (t) h Derivált sebesség T (t) = kezdeti érték feladatot: dt (t) dt így a feladatunk megoldani az alábbi T = p T, T (0) = T 0 Megoldás: T (t) = T 0 e pt. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

26 Forró nyomon Egy nyári napon valaki talált egy holttestet. A helyszínen rögzített adatok szerint: L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

27 Forró nyomon Egy nyári napon valaki talált egy holttestet. A helyszínen rögzített adatok szerint: T h = 25 C - a holttest hőmérséklete T k = 23 C - a levegő hőmérséklete Vajon mióta halott az illető? L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

28 Forró nyomon Egy nyári napon valaki talált egy holttestet. A helyszínen rögzített adatok szerint: T h = 25 C - a holttest hőmérséklete T k = 23 C - a levegő hőmérséklete Vajon mióta halott az illető? L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

29 A nyomozás Bones: A hulla 4 óra alatt hül 36 C-ról 30 C-ra." L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

30 A nyomozás Bones: A hulla 4 óra alatt hül 36 C-ról 30 C-ra." Both: Newton lehülési törvénye:t arányos a (T T k ) értékkel." L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

31 A nyomozás Bones: A hulla 4 óra alatt hül 36 C-ról 30 C-ra." Both: Newton lehülési törvénye:t arányos a (T T k ) értékkel." Azaz: T = λ(t T k ). L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

32 A nyomozás Bones: A hulla 4 óra alatt hül 36 C-ról 30 C-ra." Both: Newton lehülési törvénye:t arányos a (T T k ) értékkel." Azaz: T = λ(t T k ). Ennek megoldása: T (t) = T k + ce λt. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

33 A nyomozás Bones: A hulla 4 óra alatt hül 36 C-ról 30 C-ra." Both: Newton lehülési törvénye:t arányos a (T T k ) értékkel." Azaz: T = λ(t T k ). Ennek megoldása: T (t) = T k + ce λt. A kezdeti értékek figyelembevételével: t = 0 (a halál beálta) T h = 36 C c = 13. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

34 A nyomozás Bones: A hulla 4 óra alatt hül 36 C-ról 30 C-ra." Both: Newton lehülési törvénye:t arányos a (T T k ) értékkel." Azaz: T = λ(t T k ). Ennek megoldása: T (t) = T k + ce λt. A kezdeti értékek figyelembevételével: t = 0 (a halál beálta) T h = 36 C c = óra múlva T h = 30 C e λ = 4 7/13 = 0, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

35 A nyomozás Bones: A hulla 4 óra alatt hül 36 C-ról 30 C-ra." Both: Newton lehülési törvénye:t arányos a (T T k ) értékkel." Azaz: T = λ(t T k ). Ennek megoldása: T (t) = T k + ce λt. A kezdeti értékek figyelembevételével: t = 0 (a halál beálta) T h = 36 C c = óra múlva T h = 30 C e λ = 4 7/13 = 0, Tehát a test hőmérséklete az idő függvényeként: T (t) = 23 C + 13 (0, 8566) t. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

36 A nyomozás Bones: A hulla 4 óra alatt hül 36 C-ról 30 C-ra." Both: Newton lehülési törvénye:t arányos a (T T k ) értékkel." Azaz: T = λ(t T k ). Ennek megoldása: T (t) = T k + ce λt. A kezdeti értékek figyelembevételével: t = 0 (a halál beálta) T h = 36 C c = óra múlva T h = 30 C e λ = 4 7/13 = 0, Tehát a test hőmérséklete az idő függvényeként: T (t) = 23 C + 13 (0, 8566) t. Jelenleg T h = 25 C, ezért kb. t = 12, 09 órával ezelőtt hunyt el. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

37 Egy furcsa pár Anna és Béla egy furcsa pár. Béla nehéz természetű: amikor Anna szereti őt, akkor ő kezdi kevésbé szeretni Annát. Anna normális: ha Béla szereti őt, akkor ő is egyre jobban kedveli, ugyanakkor barátságtalanná válik, ha Béla nem szereti. Milyen jövőt jósolunk kettejük kapcsolatának? L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

38 Jósoljunk t = 0 találkozásuk pillanata a(t) Anna Béla iránti szeretete a t. időpillanatban b(t) Béla Anna iránti szeretete a t. időpillanatban L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

39 Jósoljunk t = 0 találkozásuk pillanata a(t) Anna Béla iránti szeretete a t. időpillanatban b(t) Béla Anna iránti szeretete a t. időpillanatban a és b is legalább kétszer differenciálható függvények L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

40 Jósoljunk t = 0 találkozásuk pillanata a(t) Anna Béla iránti szeretete a t. időpillanatban b(t) Béla Anna iránti szeretete a t. időpillanatban a és b is legalább kétszer differenciálható függvények a (t) b(t)-vel arányos, azaz a = A b, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

41 Jósoljunk t = 0 találkozásuk pillanata a(t) Anna Béla iránti szeretete a t. időpillanatban b(t) Béla Anna iránti szeretete a t. időpillanatban a és b is legalább kétszer differenciálható függvények a (t) b(t)-vel arányos, azaz a = A b, b (t) a(t)-vel arányos, azaz b = B a, ahol A, B konstansok, legyen mindkettő 1. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

42 Jósoljunk t = 0 találkozásuk pillanata a(t) Anna Béla iránti szeretete a t. időpillanatban b(t) Béla Anna iránti szeretete a t. időpillanatban a és b is legalább kétszer differenciálható függvények a (t) b(t)-vel arányos, azaz a = A b, b (t) a(t)-vel arányos, azaz b = B a, ahol A, B konstansok, legyen mindkettő 1. Kezdeti érték feltételek: a(0) = a 0, b(0) = b 0 L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

43 A megoldandó egyenletrendszer: a = b b = a a(0) = a 0 b(0) = b 0 L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

44 A megoldandó egyenletrendszer: a = b b = a a(0) = a 0 b(0) = b 0 Ennek megoldása: a(t) = a 0 cos t + b 0 sin t L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

45 A megoldandó egyenletrendszer: a = b b = a a(0) = a 0 b(0) = b 0 Ennek megoldása: a(t) = a 0 cos t + b 0 sin t b(t) = b 0 cos t a 0 sin t L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

46 A megoldandó egyenletrendszer: a = b b = a a(0) = a 0 b(0) = b 0 Ennek megoldása: a(t) = a 0 cos t + b 0 sin t b(t) = b 0 cos t a 0 sin t a 0 = b 0 = 1/ 2 esetén a(t) = sin(t + π 4 ), b(t) = cos(t + π 4 ) L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

47 A megoldandó egyenletrendszer: a = b b = a a(0) = a 0 b(0) = b 0 Ennek megoldása: a(t) = a 0 cos t + b 0 sin t b(t) = b 0 cos t a 0 sin t a 0 = b 0 = 1/ 2 esetén a(t) = sin(t + π 4 ), b(t) = cos(t + π 4 ) L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

48 a = 2a + b b = a a(0) = a 0 b(0) = b 0 L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

49 a = 2a + b b = a a(0) = a 0 b(0) = b 0 a 0 = b 0 = 1 választással a megoldások: a(t) = (1 + 2t)e t, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

50 a = 2a + b b = a a(0) = a 0 b(0) = b 0 a 0 = b 0 = 1 választással a megoldások: a(t) = (1 + 2t)e t, illetve b(t) = (1 2t)e t L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

51 a = 2a + b b = a a(0) = a 0 b(0) = b 0 a 0 = b 0 = 1 választással a megoldások: a(t) = (1 + 2t)e t, illetve b(t) = (1 2t)e t L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

52 a = 2a + b b = a a(0) = a 0 b(0) = b 0 a 0 = b 0 = 1 választással a megoldások: a(t) = (1 + 2t)e t, illetve b(t) = (1 2t)e t Ez a kapcsolat nem működőképes. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

53 Newton Másodrendű differenciálegyenlet L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

54 Newton Másodrendű differenciálegyenlet fizika L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

55 Newton Másodrendű differenciálegyenlet fizika Newton II. axiómája F = m a L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

56 Newton Másodrendű differenciálegyenlet fizika Newton II. axiómája F = m a a = dv dt = d 2 s dt 2 F = ms L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

57 Newton Másodrendű differenciálegyenlet fizika Newton II. axiómája F = m a Egy szép példa a = dv dt = d 2 s dt 2 F = ms L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

58 Matematikai inga Mozgásegyenlet: ϕ + g l sin ϕ = 0 L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

59 Matematikai inga Mozgásegyenlet: ϕ + g l sin ϕ = 0 g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

60 Matematikai inga Mozgásegyenlet: ϕ + g l sin ϕ = 0 g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. Amennyiben a közegellenállás fékezi (súrlódás), és annak nagysága a sebességgel arányos. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

61 Matematikai inga Mozgásegyenlet: ϕ + g l sin ϕ = 0 g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. Amennyiben a közegellenállás fékezi (súrlódás), és annak nagysága a sebességgel arányos. A mozgásegyenlet: ml ϕ = mg sin ϕ kl ϕ L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

62 Matematikai inga Mozgásegyenlet: ϕ + g l sin ϕ = 0 g - gravitációs állandó, l - az inga hossza. Amennyiben a közegellenállás fékezi (súrlódás), és annak nagysága a sebességgel arányos. A mozgásegyenlet: ml ϕ = mg sin ϕ kl ϕ pendulum/index.html L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

63 Búcsú Az inga mindennapjaink sokrétűen használt tárgya: L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15

64 Búcsú Az inga mindennapjaink sokrétűen használt tárgya: Köszönöm a figyelmet! L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 15