3. Fékezett ingamozgás

Átírás

1 3. Fékezett ingamozgás A valóságban mindig jelen van valamilyen csillapítás. A gázban vagy folyadékban való mozgásnál, kis sebesség esetén a csillapítás arányos a sebességgel. Ha az vagy az ''+k sin =0, ''+k =0 egyenlethez hozzávesszük a csillapítást, akkor az inga mozgása lassul, a rezgések amplitúdója csökken. Ez az amplitúdócsökkenés az energiaveszteségek miatt következik be A fékezett lineáris matematikai inga A fékezett lineáris matematikai inga mozgását a következő differenciálegyenlet írja le: ami rendszer alakban: ''+ a '+ k = 0 '= y y'=-a y-k, (1) Clear@a, kd; csillapmatinga := 9y, a y k =; ahol a > 0 a csillapítási tényező és k a rugalmassági együttható. A rendszer teljes energiáját most is a: VmatA9_, y_=e = y + k ; függvény írja le. Legyen HtL a rendszer tetszőleges megoldása. Mivel Factor@ 88,y<< Vmat@8, y<d.csillapmatingad a y azaz az energia rendszer szerinti deriváltja [9] nempozitív, a V mat HHtL, yhtll függvény nemnövő, ami valamilyen stabilitást jelent. Ekkor a trajektóriák az

2 3. Fékezett ingamozgás 11 energia szintvonalait kívülről befelé metszik. Megjegyezzük, hogy a csökkenés mértéke nulla, ha y = 0. A Ljapunov elmélettel belátható, hogy az HtL = 0 megoldás aszimptotikusan stabilis [14], de mivel a rendszer lineáris, ezt egyszerűbben is beláthatjuk (lásd alább). Illusztrációként legyen a = 0., k = 1; H0L = 0 és yh0l =.4,.6,.8, 3 kezdeti értékek esetén a megoldásokat a következő ábra mutatja. A kitérés az idő függvényében, az energiaszintek, a vektormező és a trajektóriák : t 1. ábra Az egyenlet egyensúlyi helyzete (origó) eh = Solve@csillapmatinga 80, 0<, 8, y<d 88 0., y 0.<< aszimptotikus stabilitását a karakterisztikus gyökök segítségével vizsgálhatjuk. A (3.1) rendszer karakterisztikus egyenlete: melynek gyökei: Clear@a, kd; l + al+ k = 0, Chareq = SolveAλ + a λ + k 0, λe ::λ 1 a a 4 k >, :λ 1 a + a 4 k >> valósak, ha aêk. A gyökök kompleek az ellenkező esetben, és tisztán képzetesek, ha a = 0. Az a > 0 a sajtáértékek negatív valós részűek, tehát az egyensúlyi helyzet aszimptotikusan stabil, és a megoldások eponenciális sebességgel tartanak nullához. Ha aêk, akkor a megoldások általános alakja: thdampsold1at_e = EpandB

3 3. Fékezett ingamozgás == te, a k F 1 ::@td a a 4 k t C@1D + 1 a+ a 4 k t C@D>> Ha aêk = : thdampsoldat_e = == tff ::@td a t C@1D + a t t C@D>> Ha aêk <, és m = a - 4 k jelölést alkalmazva: thdampsold3at_e = + + == te ê. a 4 k µ ê. u_ CompleEpand@ u DF ::@td a t HC@1D + C@DL CosB t µ F HC@1D C@DL SinB t µ F >> A megoldás ebben az esetben oszcillál T = 4pêm lengésidővel. 3.. A fékezett nemlineáris matematikai inga A fékezett nemlineáris matematikai inga mozgása a következő differenciálegyenlettel írható le: melynek rendszer alakja: ''+ a '+ k sin = 0 '= y y'=-a y-k sin, () csillapfizinga = 9y, a y k Sin@D=; ahol a > 0. A rendszer V fiz H, yl energia függvénye, és annak deriváltja: VfizA9_, y_=e = y + k 0 Sin@uD u;

4 3. Fékezett ingamozgás 13 0 Factor@ 88,y<< Vfiz@8, y<d.csillapfizingad a y Az energia szintén nem nő a megoldások mentén, a csökkenés mértéke nulla, ha y=0. Tekintsük a következő ábrát, ahol a = 0., k = 1, = 0, y =1.4, 1.6, 1.8,.,3 közöttiek. A kitérés az idő függvényében, az energiaszintek, a vektormező és a trajektóriák : t. ábra Látható, hogy kis kezdeti értékek esetén a megoldások az alsó egyensúlyi helyzet körül mozognak, és ahhoz tartanak. Nagy kezdeti sebesség mellett a megoldások elérik a felső egyensúlyi helyzetet, sőt az inga át is fordul azon, de a csillapítás miatt véges átfordulás után lengeni kezd, és lefékeződik. Megmutatható, hogy csak véges számú átfordulás lehetséges. Ugyanis, tegyük fel, hogy az inga a t 1 pillanatban yht 1 L= y 1 sebességgel fordul át a felső egyensúlyi helyzeten. Ekkor V fiz HHt 1 L, yht 1 LL= k + y 1. Tegyük fel, hogy az inga ezután még egyszer feljut ide a t > t 1 pillanatban. Emiatt, a kettő közötti, t 1 + T pillanatban beközetkező alsó egyensúlyi helyzetig y(t) monoton növő, és yhtl > minh y 1, kl. Ezért 1, t 1 + T D szakaszon V 'HHtL, yhtll=-a y HtL<-a y 1, és VHHt 1 + TL, yht 1 + TLL<VHHt 1 L, yht 1 LL-a y 1 T = k + y 1 I 1 - a TM. Mivel yht 1 LØ0 esetén T Ø, ezért elegendően kicsi yht 1 L esetén a jobboldali második tag negatív, azaz az energia a kritikus k érték alá csökken. Hasonló érveléssel az is megmutatható, hogy az yht 1 L sebesség nem maradhat pozitív konstans felett. A (3.) egyenlet egyensúlyi helyzeteinek stabilitását a linearizálás módszerével vizsgáljuk. A módszer lényegét a következő néhány sorban ismertetjük [14] alapján. Adott egy '= fhl, (3)

5 3. Fékezett ingamozgás 14 alakú egyenlet, ahol e n, f : DÕ n Ø n folytonosan differenciálható, 0 e D, fh 0 L=0. Az egyenlet jobb oldalát Taylor-sorba fejtve 0 körül kapjuk, hogy: 1. TÉTEL '= fh 0 L+ f 'H 0 LH- 0 L+ 1 f ''H 0LH- 0 L + A magasabb rendű tagok elhagyásával kapjuk, hogy: '= f 'H 0 LH- 0 L. Az A= f 'H 0 L, és y= - 0 jelöléseket alkalmazva: y'= A y egyenletet kapjuk, ahol Ae nµn, mely (3.3) linearizált egyenlete. Az egyenlet alsó egyensúlyi helyzetei (=0,± p,..,y=0) aszimptotikusan stabilak, a felső egyensúlyi helyzetek (=p, ±3p,..., y=0) pedig instabilak. BIZONYÍTÁS Vizsgáljuk az egyensúlyi helyzetek stabilitását az első közelítés módszerével! Az egyenletrendszer jobb oldalának deriváltja: Clear@a, kd; var = 8, y<; csillapfizinga := 9y, a y k M = MatriForm@D@csillapfizinga, 88, y<<dd; Az alsó egyensúlyi helyzet körüli linearzálással kapott egyenletrendszer, aminek mátria M ê k a éppen a csillapított matematikai inga egyenlete, amiről már beláttuk, hogy az egyensúlyi helyzete aszimptotikusan stabilis. Most nézzük a felső egyensúlyi helyzetet! Ebben az esetben a mátri a következő alakú: M ê. π K a O

6 3. Fékezett ingamozgás 15 A mátri sajátértékei: Eigenvalues@D@csillapfizinga, 88, y<<dd ê. 8 π, y 0< : 1 a 4 + a, 1 a a > Mindkét gyök valós, egyik negatív, másik pedig pozitív, tehát a felső egyensúlyi helyzet instabil. Interaktív illusztráció A következő interaktív ábrán keresztül összehasonlítom a fékezett lineáris matematikai, illetve nemlineáris matematikai inga mozgását. Láttuk, hogy a mozgást a csillapítás nagymértékben befolyásolja. Érdemes az alábbi eseteket megfigyelni: Kicsi kezdeti értékek esetén ha VHH0L, yh0ll<< k a két inga sokáig együtt leng. Ha a kezdeti kitérést 0-nak választjuk (a csillapítás pl. legyen 0.1, a rugalmassági együttható pedig 1), a kezdeti sebességet pedig interaktívan változtatjuk, akkor láthatjuk, hogy elegendően nagy kezősebesség esetén a nemlineáris matematikai inga képes akár többszöri átfordulásra is felső egyensúlyi helyzetén. Ha a kezdeti energia elegendően közel van a kritikus k értékhez, akkor a fizika inga már nem képes átfordulni. á Javasolt beállítások: a = 0.1, k = 1, H0L=0, yh0l=.1. Ebben az esetben a nemlineáris matematikai inga energiája még éppen elegendő az egyszeri átforuláshoz.

7 3. Fékezett ingamozgás 16 Lineáris inga Nemlineáris inga t Csillapítás 0.1 Rugalmasságiegyüttható Hk L 1 Kezdeti kitérés Kezdeti sebesség Kicsinyítés 9 Idő 0.