Ha ismert (A,b,c T ), akkor

Átírás

1 Az eddigiekben feltételeztük, hogy a rendszer állapotát mérni tudjuk. Az állapot ismerete szükséges az állapot-visszacsatolt szabályzó tervezéséhez. Ha nem ismerjük az x(t) állapotvektort, akkor egy olyan ˆx(t) (azonos dimenziójú) mennyiséget képzünk, mely asszimptotikusan közelíti az eredeti állapotot, tehát ˆx(t) x(t) miközben t

2 Ha ismert (A,b,c T ), akkor ˆx(t) = A ˆx(t) + bu(t), ŷ(t) = c T ˆx(t), ˆx(0) = ˆx 0, ahol az állapot-becslés hibája e(t)=x(t)- ˆx(t), t [0, ). Az állapotbecslés hibájának időbeli változását annak differenciálegyenlete adja meg: ė(t) = ẋ(t) ˆx(t)

3 ė(t) = ẋ(t) ˆx(t) = Ax(t) + bu(t) A ˆx(t) bu(t) = A(x(t) ˆx(t)) = Ae(t), ahol e(0) = ê 0 kezdeti értékkel egy homogén lineáris differenciálegyenlet adódik

4 Laplace-tartományban: s E(s) e 0 = AE(s) (si A)E(s) = e 0 E(s) = (si A) 1 e 0 L 1 {(si A) 1 e 0 } = e At e

5 Ha e 0 nem zérus, akkor az állapothiba lecseng, feltéve hogy az A mátrix stabil azaz, Re(λ i ) < 0 i i = 1..n ahol n = dim(x) és így e(t) 0 miközben t

6 Ha A instabil, illetve ha a tervező befolyásolni akarja az állapothiba lecsengését, akkor visszacsatolást kell alkalmazni; ˆx(t) = A ˆx(t) + bu(t) + l (y(t) ŷ(t)) }{{} a kimenet becslési hibája ahol l = [l n 1 l n 2... l 0 ] T, n dimenziós oszlopvektor (n sora van)

7 Ekkor az állapothiba ė(t) = ẋ(t) ˆx(t) = Ax(t) + bu(t) A ˆx(t) bu(t) l ( c T x(t) c T ˆx(t) ) = (A lc T )(x(t) ˆx(t)) = (A lc T )e(t), ha adott e(0) = ê 0 akkor e (A lct )t e 0. Így az A minden elemét módosítani tudom, és minden sajátértékét tetszőlegesen meg tudom választani

8 1. Állítás: λ i (A lc T ) tetszőlegesen megválasztható egy adott l megfigyelő-erősítés megválasztásával, akkor és csak akkor, ha (c T,A) megfigyelhető. Hasonlóan pl. az állapot visszacsatolás tervezéséhez, ahol a tervezés feltétele volt az (A, b) pár irányíthatósága. A megfigyelő tervezés és az állapot-visszacsatolt szabályzó tervezése duális fogalompárok, melyek egymást kiegészítik

9 Ha az (A, b) irányítható, hozzárendelhetünk egy ún. irányíthatósági állapottér reprezentációt, amely n=2 esetén: A c = a 1 a 0 1 0, b c = 1, c T c = 0 [b 1 b 0 ]

10 Ha a (c T,A) megfigyelhető, hozzárendelhetünk egy ún. megfigyelhetőségi alakot, amely n=2 esetén: A o = A T c = a 1 1, b o = ( ) c T T c = b 1, a 0 0 b 0 [ ] c T o = b T c =

11 A két felírási mód közöttt a dualitás teremt kapcsolatot. A két állapottér ekvivalens állapotterek, melynek bizonyítására írjuk fel az átviteli függvényeiket: G(s) = b 1s + b 0 = c T s 2 c (si A c ) 1 b c = c T o (si A o ) 1 b o + a 1 s + a 0 s 1 1 (si A o ) 1 = s + a 1 1 = ad j(si A o) s det(si A o ) = a 0 s + a 1 (s + a 1 )s + a 0 a

12 G(s) = [ ] 1 0 s 1 b 1 a 0 s + a 1 b 0 = s 2 + a 1 s + a 0 [ ] s 1 b 1 b 0 s 2 + a 1 s + a 0 = b 1s + b 0 s 2 + a 1 s + a 0 Mely átviteli függvény a (A o,b o,c T o ) reprezentáció átviteli függvénye, és azonos a korábbiakban bizonyított módon az irányíthatósági állapottérből képzett átviteli függvénnyel

13 A megfigyelő tervezés adott (A o,b o,c T o ) esetén, az állapot visszacsatolás tervezéséhez (pólusallokáció) hasonlóan az új karakterisztikus polinom ā 0, ā 1,..., ā n 1, együtthatóinak ismeretében l i = ā i a i (i = 0,...,(n 1)) megválasztásával lehetséges: Ā o = A o lc T = a n a n a l n 1 l n 2. l 0 [ ]

14 Az állapotmegfigyelővel ellátott körben a rendszer ẋ(t) = A o x(t) + b o u(t) y(t) = c T o x(t), és a megfigyelő, mint dinamikus rendszer ˆx(t) = A o ˆx(t) + b o u(t) + l(y(t) ŷ(t)) ŷ(t) = c T o ˆx(t) Ha a szabályozást állapot-visszacsatolással képezzük, abban a becsült állapotot kell felhasználni: u(t) = k T ˆx(t) + r(t)

15

16 Állapot-visszacsatolt szabályozási kör állapotmegfigyelővel

17 2. Állítás: A megfigyelővel és állapot-visszacsatolt szabályzóval ellátott zárt rendszer karakterisztikus polinomja det(si A z ) = det(si A + bk T ) }{{} állapot-visszacsatolás det(si A + lc T ) }{{} megfigyelő

18 Szeparációs elv: Az állapot-visszacsatolt szabályzó és a megfigyelő függetlenül tervezhető. Sztochasztikus rendszerek állapota becsülhető Kalman szűrővel, mely az állapotbecslés mellett a rendszerben felmerülő zajok szűrését is lehetővé teszi, az állapot hiba-kovarianciájának minimalizálásával

19 Példa: Tervezzünk állapotmegfigyelőt az inverz inga modellhez! M=1 kg, m=0,1 kg, l=0,5 m, és g=10 m/s 2 A megfigyelő pólusai p 1,2 = 10 és n=2. G(s) = 1 Ml s 2 g l b 0 = 1 Ml = 2 a 0 = g l = 20 a 1 = 0 = b 0 s 2 + a

20 Az inverz inga megfigyelhetőségi alakban felírt állapottér modellje: A o = Az új karakterisztikus polinom: 0 1,b o = 2,c T o = [ ] 1 0 a(s)=(s + 10) 2 =s s a 1 =20, a 0 =100, amiből következik, hogy az állapotmegfigyelő erősítési mátrixa: l 0 = ā 0 a 0 = 100 ( 20) = 120 l 1 = ā 1 a 1 = 20 (0) =