Tartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Tartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás"

Rebeka Patakiné
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Tartalom Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás

2 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Általánosan egy lineáris, SISO dinamikus rendszer állapotdinamikai és megfigyelési egyenleteit a következő alakban írhatjuk: ẋ = Ax + bu y = c T x, Egy adott állapottér reprezentációt az (A,b,c T ) hármas fejez ki. Egy (A,b,c T ) állapottér reprezentáció dimenziójának az állapottér dimenzióját nevezzük: n = dim{x(t)}

3 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Az állapottérben adott rendszer blokkdiagramja:

4 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Az állapottér reprezentáció alapján a rendszer átviteli függvényét a LAPLACE-transzformáció alkalmazásával kapjuk meg: sx(s) x(0) = AX(s) + bu(s), ebből (si A)X(s) = bu(s) + x(0)

5 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Az állapot LAPLACE-transzformáltja: X(s) = (si A) 1 bu(s) + (si A) 1 x(0), ahol x(0) a kezdő állapot t = 0 időpontban. Az x(0) = 0 feltétel mellett Y (s) = c T X(s) = c T (si A) 1 bu(s) A G(s) átviteli függvény: G(s) = Y (s) U(s) = ct (si A) 1 b

6 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Összehasonlítva a G(s)= b(s) a(s) jelöléssel látható, hogy b(s)=c T adj(si-a)b (n-1)-edfokú polinom, ha A R n n, a(s)=det(si-a) n-edfokú polinom, ha A R n n. Az átviteli függvény pólusai tehát az a(s)=det(si-a)=0 karakterisztikus egyenlet gyökei

7 Állapottér reprezentációk tulajdonságai 1. Példa: Diagonál reprezentációknál, ha n = 2 akkor az A d mátrix A d = λ λ 2 alakú, amiből s λ det(si A d ) = s λ 2 tehát a rendszer pólusai λ 1 és λ 2. = (s λ 1)(s λ 2 ) = 0,

8 Állapottér reprezentációk tulajdonságai 2. Példa: Határozzuk meg az alábbi állapotegyenlet alapján a pólusokat! ẋ1 ẋ 2 = det(si A c ) = a 1 a s + a 1 a 0 1 s x 1 x u 0 = s2 + a 1 s + a 0 = 0, ami épp a G(s) átviteli függvény nevező polinomja. Ennek gyökei, tehát a rendszer pólusai λ 1 és λ

9 Állapottér reprezentációk tulajdonságai 1. Megjegyzés: Ha adott egy A R n n mátrix, akkor a det(si-a)=0 egyenlet gyökei az A mátrix sajátértékei. A stabilitáselméletből tanultak alapján a rendszer stabilis, ha pólusai a baloldali komplex félsíkon helyezkednek el. Ebből az állapottér reprezentációk stabilitására a következőt kapjuk:

10 Állapottér reprezentációk tulajdonságai 1. Állítás (Állapottér reprezentációk stabilitása): Az (A,b,c T ) reprezentáció stabilis, ha az A mátrix sajátértékei a baloldali komplex félsíkon találhatók. Egy állapottér reprezentációt az (A,b,c T ) mátrix hármassal jellemeztünk, ahol ha a rendszernek egy bemenő- és egy kimenőjele van, akkor a b és c T n- dimenziós vektorok, A pedig n n méretű mátrix, ahol n az állapottér dimenzióját jelöli

11 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Tegyük fel, hogy ismerjük a rendszer x(t) állapotát a t = t 0 időpontban. Ekkor a rendszer viselkedésével kapcsolatban a következő két kérdést vethetjük fel: 1. Állapot megfigyelhetőség: Adott (A,b,c T ). Mi a feltétele annak, hogy az x(t) állapotokat minden a t t 0 időpontra meghatározhassuk a rendszer jövőbeli bemeneti (u(t)) és kimeneti (y(t)) függvényeinek ismeretében?

12 Állapottér reprezentációk tulajdonságai 2. Állapot irányíthatóság: Adott (A,b,c T ), és x(t) a t = t 0 = 0 időpontban. Mi a feltétele annak, hogy találjunk olyan u(t), t t 0 irányítást, amely a rendszert véges T idő alatt az x(0) állapotból egy tetszőleges x(t ), x(t ) x(0) állapotba viszi?

13 Állapot megfigyelhetőség Az állapot megfigyelhetőség vizsgálatához induljunk ki az állapot egyenletekből és képezzük az állapotvektor valamint a kimenet magasabb rendű deriváltjait!

14 Állapot megfigyelhetőség ẋ = Ax + bu y = c T x ẏ = c T ẋ = c T (Ax + bu) = c T Ax + c T bu ÿ = c T ẍ = c T A(Ax + bu) + c T b u = = c T A 2 x + c T Abu + c T b u. y (n 1) = c T x (n 1) = = c T A n 1 x + c T A n 2 bu + c T A n 3 b u c T bu (n 2)

15 Állapot megfigyelhetőség Mátrixos jelölésekkel: ẋ = Ax + bu y ẏ. y (n 1) = c T c T A. c T A n 1 x c T b c T A (n 2) b c T b 0 u. u (n 1) u (n 2) y n (t) = O n (c T,A)x(t) + T n u n (t)

16 Állapot megfigyelhetőség Amennyiben y(t), u(t) ismert t t 0 időpontban, akkor az y n (t), u n (t) vektorokat is ismerjük. Az O n (c T,A), T n mátrixokat az ismert (A,b,c T ) mátrixokból képezhetjük

17 Állapot megfigyelhetőség A kérdés tehát az x(t) állapotvektor meghatározása minden t t 0 időpontra. Legyen t 0 0, ekkor az u(t) gerjesztőjel (és deriváltjai) zérusok, így u n (0) = 0. Ekkor a fenti egyenlet y n (0) = O n (c T,A)x(0) alakra egyszerűsödik

18 Állapot megfigyelhetőség Mivel O n (c T,A) R n n, az y n (0) ismeretében az x(0) állapot egyértelműen meghatározható, ha az O n (c T,A) teljes rangú, vagyis ha rang { O n (c T,A) } = n, tehát ha az O n (c T,A) mátrix rangja megegyezik az állapottér dimenziójával

19 Állapot megfigyelhetőség Ha egy tetszőleges t 0 0 esetén y n (t 0 ) 0, akkor O n (c T,A)x(t 0 ) = y n (t 0 ) T n u n (t 0 ). Az egyenlet jobboldala tetszőleges vektor, így x(t 0 )- ra csak akkor van egyértelmű megoldás, ha az O n (c T,A) mátrix teljes oszloprangú, azaz a képtere a teljes n- dimenziós állapottér

20 Állapot megfigyelhetőség Láttuk, hogy a fenti állapotmegfigyelhetőségi feltételek az x(t), t t 0 meghatározására csak a (c T,A) pártól függnek a belőlük képzett O n (c T,A) mátrix rangján keresztül

21 Állapot megfigyelhetőség 1. Definíció. Az O n (c T,A) mátrixot a rendszer megfigyelhetőségi mátrixának nevezzük. 2. Állítás (Kálmán-féle rangfeltétel): Egy (c T,A) pár megfigyelhető akkor és csak akkor, ha megfigyelhetőségi mátrixuk rangja megegyezik az állapottér dimenziójával, azaz rang { O n (c T,A) } = n

22 Állapot megfigyelhetőség 3. Példa: Vizsgáljuk az alábbi diagonális állapottér reprezentáció megfigyelhetőségét! ẋ = λ 1 0 x + r 1 u, dimx = 2 0 λ 2 r 2 [ ] y = 1 1 x. A megfigyelhetőségi mátrix: O 2 (c T,A) = ct c T A = 1 1 λ 1 λ

23 Állapot megfigyelhetőség A rangfeltételt a következőképp vizsgálhatjuk: rang { O 2 (c T,A) } = 2 akkor, ha det{o 2 (c T,A) 0. Mivel det { O 2 (c T,A) } = λ 2 λ 1, a rendszer állapot megfigyelhető akkor és csak akkor, ha λ 2 λ

24 Állapot irányíthatóság Az állapot megfigyelhetőséggel analóg módon, konstruktívan bizonyíthatjuk, hogy egy (A,b,c T ) rendszer állapot irányítható, azaz állapota egy tetszőleges x(0) kezdeti állapotból egy másik, x(t ) x(0) állapotba vihető véges T idő alatt, ha az ún. irányíthatósági mátrix [ ] C n (A,b) = b Ab... A n 1 b teljes rangú, ahol n az állapottér reprezentáció dimenziója

25 Állapot irányíthatóság 3. Állítás (Kálmán-féle rangfeltétel): Egy (A,b,c T ) állapottér reprezentáció irányítható akkor és csak akkor, ha rang{c n (A,b)} = n

26 Minimál reprezentáció 4. Állítás (Minimál reprezentáció): Egy rendszer (Ã, b, c T ) állapottér reprezentációja minimál reprezentáció, ha együttesen irányítható és megfigyelhető, azaz rang { C n (Ã, b )} = rang { O n ( c T,Ã )} = n

27 Minimál reprezentáció A minimál reprezentációkhoz tartozó állapotér dimenziója a legkisebb az összes olyan (A,b,c T ) állapottér reprezentációkat tekintve, amelyekre c T (si A) 1 b = c T ( si Ã ) b = b(s) a(s), ahol b(s)/a(s) a rendszer átviteli függvénye

28 Állapot irányíthatóság 4. Példa: Vizsgáljuk meg a diagonális állapottér reprezentáció irányíthatóságát az n = 2 esetre! Az irányíthatósági mátrix az alábbi lesz: C 2 (A d,b d ) = r 1 λ 1 r 1 r 2 λ 2 r

29 Állapot irányíthatóság A fenti irányíthatósági mátrix rangja éppen 2 ha nemszinguláris, azaz det{c 2 (A d,b d )} = r 1 r 2 λ 2 r 1 r 2 λ 1 = r 1 r 2 (λ 2 λ 1 ) 0, azaz rang{c 2 (A d,b d )} = 2 r 1 0,r 2 0 és λ 1 λ

30 Állapot irányíthatóság 5. Példa: Vizsgáljuk meg az irányítható állapottér reprezentáció irányíthatóságát! A c = a 1 a 0 1 0, b c = 1 0, Az irányíthatósági mátrix: C 2 (A c,b c ) = 1 a 1 0 1,

31 Állapot irányíthatóság így ez a reprezentáció mindig irányítható, azonban adódhat olyan eset, hogy nem megfigyelhető. 2. Megjegyzés: Általánosan igaz, hogy minden irányítható (A,b,c T ) állapottér reprezentáció az (A c,b c,c T c ) alakra hozható hasonlósági transzformációval

Hasonló dokumentumok

Bevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi

Tartalom Bevezetés az állapottér-elméletbe Irányítható alak Megfigyelhetőségi alak Diagonális alak Állapottér transzformáció 2018 1 A szabályozáselmélet klasszikus, BODE, NICHOLS, NYQUIST nevéhez kötődő,