Irányításelmélet és technika I.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Irányításelmélet és technika I."

Márta Hajduné
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Irányításelmélet és technika I Folytonos idejű rendszerek leírása az állapottérben Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almosveinhu 2010 május 7

2 Irányítható kanonikus alak A állapotegyenletek irányítható (controllability) kanonikus alakja a 1 a n 1 a n ẋ(t) = x(t) + 0 u(t) y(t) = [ b 1 b 2 b n ] x(t) Mindegyik állapotváltozó (x n kivételével) a hatásirányban következő állapotváltozó deriváltja Magyar A (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 május 2 / 16

3 Megfigyelhető kanonikus alak A állapotegyenletek megfigyelhető (observability) kanonikus alakja a b 1 ẋ(t) = a n x(t) + b n 1 u(t) a n 0 0 b n y(t) = [ ] x(t) Az x 1 állapot maga a kimenőjel, amely valamennyi állapotváltozóra vissza van csatolva Magyar A (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 május 3 / 16

4 Áttekintés 1 Ismétlés 1 Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással Kétlépcsős tervezési módszer állapotvisszacsatolással Magyar A (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 május 4 / 16

5 Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök Szabályozandó rendszer lineáris időinvariáns állapotegyenlete x(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) Az állapottér modellnek megfelelő blokkvázlat Az u-ról y-ra vonatkozó átviteli függvény P(s) = C(sI A) 1 B = B(s) det(si A) = B(s) A(s) Magyar A (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 május 5 / 16

6 Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök Lineáris állapotvisszacsatolás esetén a bemenet: u = K R r(t) + K x(t) Zárt rendszer lineáris időinvariáns állapotegyenlete x(t) = (A B K) x(t) + K R B r(t) y(t) = C x(t) Az állapottér modellnek megfelelő blokkvázlat Az u-ról y-ra vonatkozó átviteli függvény T ry (s) = Y (s) R(s) = C(sI A) 1 BK R 1 + K(sI A) 1 B Magyar A (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 május 6 / 16

7 Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök T ry (s) = Y (s) R(s) = C(sI A) 1 BK R 1 + K(sI A) 1 B A zárt rendszer pólusai tervezhetők K-val K R kalibrációs tényező, ennek segítségével lehet beállítani, hogy T ry erősítése 1 legyen (T ry (0) = 1-ből) K R = K A 1 B 1 C A 1 B Magyar A (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 május 7 / 16

8 Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással Alapelv: úgy kell megválasztani a K visszacsatoló vektort, hogy a zárt rendszer karakterisztikus polinomja az előírt R(s) legyen: R(s) = n (s s i ) = s n +r 1 s n 1 + +r n 1 s +r n = det(si A+B K) i=1 A feladat megoldható, ha a rendszer irányítható Irányíthatósági kanonikus alakot feltételezve a 1 a n 1 a n ẋ(t) = x(t) y(t) = [ b 1 b 2 b n ] x(t) = C C x u(t) = A C x B C u Magyar A (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 május 8 / 16

9 Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással A megoldandó tervezési egyenlet A C B C K C = a 1 a n 1 a n 1 r 1 r n 1 r n K C = A megoldás (irányítható kanonikus alakra!) K C = [ ] r 1 a 1 r 2 a 2,, r n a n A kalibrációs tényező értéke K R = a n + (r n a n ) = r n b n b n A zárt rendszer átvitelil függvénye T ry = K RB(s) R(s) Magyar A (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 május 9 / 16

10 Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással A megoldás nem irányíthatósági kanonikus alakban levő rendszer esetében bonyolultabb Bass-Gura algoritmussal K = K C T C = K C M C C M 1 C ahol T C = M C C M 1 az irányíthatósági kanonikus alakra hozó C transzformációs mátrix Ackermann módszerrel A kalibrációs tényező értéke K = B T C M 1 C R(A) K R = K A 1 B 1 C A 1 B Magyar A (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 május 10 / 16

11 Az állapotvisszacsatoláshoz szükség van a rendszer állapotának értékére, ami többnyire nem mérhető állapotbecslő, vagy megfigyelő Magyar A (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 május 11 / 16

12 Az állapotvisszacsatolás alakja u(t) = K R r(t) K ˆx Belátható, hogy a zárt rendszer átviteli függvénye megegyezik a megfigyelő nélküli visszacsatolt rendszerével K R P(s) T ry (s) 1 + K(sI A) 1 B = K RB(s) R(r) A megfigyelő akkor jó, ha az x = x ˆx állapothiba dinamikája stabil x = (A L C) x (ẋ = (A B K)x)!!! Előírt karakterisztikus polinom det(si A + L C) = F(s) = s n + f 1 s n f n 1 s + f n Magyar A (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 május 12 / 16

13 A megoldandó tervezési egyenlet A O L O C O = T a f a n L 0 O = f n a n f n 0 0 A megoldás, ami gerentálja az előírt pólusokat (megfigyelhető kanonikus alakra!) L O = [ ] T f 1 a 1 f 2 a 2,, f n a n Magyar A (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 május 13 / 16

14 A megoldás nem megfigyelhetőségi kanonikus alakban levő rendszer esetében bonyolultabb L = (T O ) 1 K C = M 1 O MO O L O ahol T O = (M O O ) 1 M O a megfigyelhetőségi kanonikus alakra hozó transzformációs mátrix Dualitás az állapotvisszacsatolás és a megfigyelő tervezési módszerek között: A A T, B C T, K L T, M C C (MO O )T A rendszer és az állapothiba együttes dinamikája [ ] [ ] [ ẋ A B K B K x = x 0 A L C x ] + [ KR B 0 ] r Karakterisztikus egyenlete: R(s) F(s) Magyar A (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 május 14 / 16

15 Kétlépcsős tervezési módszer állapotvisszacsatolással Kétlépcsős tervezési módszer állapotvisszacsatolással Állapotvisszacsatolás előnyei a módszer stabil és instabil rendszerekre is működik robusztus módszer (nem érzékeny a paraméterek pontos ismeretére) Állapotvisszacsatolás hátrányai a maradék hibát a kalibrációs tényezővel tudjuk kikűszöbölni zérusokat nem tudjuk megváltoztatni zavarelhárítás nem tervezhető közvetlenül Megoldás: további szabályozási lépcső, kaszkád integráló szabályozó Magyar A (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 május 15 / 16

16 Kétlépcsős tervezési módszer állapotvisszacsatolással Kétlépcsős tervezési módszer állapotvisszacsatolással Új állapotváltozó: δ(t) = r(τ) y(τ)dτ - a hibajel integrálja A zárt rendszer állapotegyenlete [ ] [ ] [ ẋ(t) ẋ A 0 x(t) (t) = = δ(t) C 0 δ(t) A bemenet: u(t) = [ K K R ] [ x(t) δ(t) ] [ B + 0 = ( A B K ) x (t) + V r(t) ] [ 0 u(t) + 1 ] r(t) ] t = K x (t) = K R e(τ)dτ K x(t) A tervezés egylépésben a kiegészített rendszerre, a korábban megismert módszerekkel (pl Ackermann) 0 Magyar A (Pannon Egyetem) Irányításelmélet 2010 május 16 / 16

Hasonló dokumentumok

Ha ismert (A,b,c T ), akkor

Ha ismert (A,b,c T ), akkor Az eddigiekben feltételeztük, hogy a rendszer állapotát mérni tudjuk. Az állapot ismerete szükséges az állapot-visszacsatolt szabályzó tervezéséhez. Ha nem ismerjük az x(t) állapotvektort, akkor egy olyan