Szabályozás Irányítástechnika PE MIK MI BSc 1

Átírás

1 Szabályozás Irányítástechnika PE MIK MI BSc 1

2 Nyílt hatásláncú rendszerek Az irányító rendszer nem ellenőrzi a beavatkozás eredményét vezérlő rendszerek ahol w(s) bemenő változó / előírt érték y(s) kimenő változó / irányított kimenet G(s) irányított rendszer átviteli fv.-e Szabályozás/2

3 Nyílt hatásláncú rendszerek vezérlés hatáslánca anyag energia információ vezérlő berendezés beavatkozó szerv technológiai folyamat + zavarás érzékelő Szabályozás/3

4 Nyílt hatásláncú rendszerek Vezérlő rendszer leírása ( s) G( s) w( s) y = azaz az irányított kimenetet a bemenet értéke és az irányító rendszer tulajdonságai határozzák meg be nem tervezett zavarásokra, illetve a saját paramétereinek változásaira az irányító rendszer nem tud reagálni, azaz a rendszer csak a tervezési körülmények mellett működik megfelelően Szabályozás/4

5 Nyílt hatásláncú rendszerek vezérlés zavaró jellemző irányított jellemző néhány, előreismert zavarás kompenzálása ha nincs ismeretlen zavarás, akkor mindig az előírt értéken irányítási szervek pontosan ismerni kell minden elemet működési sajátosságok mindig stabil Szabályozás/5

6 Visszacsatolt rendszerek az irányító rendszer folyamatosan ellenőrzi a szabályzott kimenetet szabályzó rendszerek: ahol w(t) bemenő változó / előírt érték e(t) a hiba jel / szabályzási eltérés G c (s) szabályzó átviteli függvénye u(t) a beavatkozó jel G p (s) szabályzott szakasz átviteli fv.-e y(t) kimenő változó / szabályzott kimenet Szabályozás/6

7 Visszacsatolt rendszerek szabályozás hatáslánca G c (s) szabályzó berendezés beavatkozó jel beavatkozó szerv G p (s) módosított jellemző technológiai folyamat anyag energia információ + zavarás hiba jel előírt érték alapjel + - ellenőrző jel érzékelő szabályzott jellemző H(s) = 1 Szabályozás/7

8 Visszacsatolt rendszerek A visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye y( s) G ( ) c s Gp s Ge s = = w( s) 1+ Gc s Gp a kimenet meghatározása: azaz a kimenet itt is a bemenet értékétől és az irányított rendszer tulajdonságaitól függ, de a G(s)-beli zavarások hatása a nyitott rendszerhez képest kisebb, illetve G(s) alkalmas megválasztásával eltüntethető y ( s) G = 1+ G ( s) ( s) ( ) ( ) ( ) ( s) G = 1+ ( ) = G ( s) w( s) w s e ( s) G( s) Szabályozás/8

9 Visszacsatolt rendszerek visszacsatolt ágban megjelenhet az érzékelőt leíró tag: ekkor az eredő átviteli függvény: G e ( s) = y ( s) ( ) w s G = 1± G ( s) ( s) H ( s) Szabályozás/9

10 Visszacsatolt rendszerek a visszacsatolás hatására a rendszer elvileg kompenzálja a zavarásokból, paraméterváltozásokból fellépő eltérést, de a rendszer eredő erősítése csökken, 1-nél kisebb lesz állandósult állapotbeli hiba az egyes tagok késleltető hatása miatt, az információ késleltetve jut a rendszer tudomására, és így nem megfelelő a beavatkozás, ami instabilitáshoz vezethet Szabályozás/10

11 Visszacsatolt rendszerek szabályozás zavaró jellemző minden zavarás kompenzálása irányított jellemző van eltérés, ez működteti a rendszert irányítási szervek nem kell a pontos ismeret működési sajátosságok lehet instabil (labilis) is Szabályozás/11

12 Állandósult állapotbeli hiba a visszacsatolás alapvető célja a tényleges kimenet és az előírt kimenet közötti eltérés minimalizálása legyen a szabályzó kör a következő: a szabályzási eltérés: e ( t) = w( t) y( t) Szabályozás/12

13 Állandósult állapotbeli hiba az állandósult állapotbeli hiba: a szabályzó kör felépítése alapján e azaz e ss = lim e ( t) = lim s e( s) t s 0 ( s) = w( s) y( s) = w( s) G( s) e( s) e ss ( ) ( ) s s w s = lim s 0 1+ G tehát a hibát mind a bemenő jel, mind a rendszer típusa befolyásolja e ( s) w s = 1+ G ( ) ( s) Szabályozás/13

14 Állandósult állapotbeli hiba legyen a bemenet k amplitúdójú ugrásfüggvény: ekkor a hiba e ss ( t) = k ( t) w 1 k = lim s 0 1+ G ( s) ( s) w = k = 1+ lim G s 0 ahol K p az arányos hiba koefficiens vagy arányos hibaállandó: K p = k e e ss k s ( s) ss k = 1+ K p Szabályozás/14

15 Állandósult állapotbeli hiba ahhoz, hogy a hiba nulla legyen: K = ehhez az kell, hogy a G(s) nevezőjében legyen egy s tag szorzóként, azaz kell egy integrátor tag ha nincs, akkor adott megengedett eltéréshez meghatározható a K p érték ez, mint erősítés jelentkezik a visszacsatolt körben hiba: offszet p lim G s 0 ( s) = Szabályozás/15

16 Állandósult állapotbeli hiba legyen a bemenet sebességugrás függvény: w ekkor a hiba e ss ( t) = k' t k' = lim s 0 s + sg ( s) = ( s) 2 w = ahol K v a sebességi hiba koefficiens vagy sebességi hiba: v lim sg s 0 K = k k' e ss ( s) k' s = k K v Szabályozás/16

17 Állandósult állapotbeli hiba ténylegesen ez nem a sebességhez kapcsolódó hiba, hanem beállítási hiba, ami a sebességugrás bemenetből következik K v mértékegysége: (másodperc) -1 ahhoz, hogy az e ss hiba nulla legyen K v -nak végtelennek kell lennie, ehhez egy s 2 tag kell G(s) nevezőjébe egyébként adott megengedett hibához meghatározható a K v értéke Szabályozás/17

18 Állandósult állapotbeli hiba ha a bemenet gyorsulás függvény: w ekkor a hiba e = lim ( t) = k" t 2 / 2 k" ( s) 3 w = ahol K a a gyorsulási hiba koefficiens vagy gyorsulási hiba mértékegysége: (másodperc) -2 k" 0 2 s + s G( s) 2 lim s G ( s ) ss s 2 = s 0 k" s = k" K a Szabályozás/18

19 Állandósult állapotbeli hiba a három eset alapján megállapítható, hogy az állandósult állapotbeli hiba léte attól függ, hogy milyen α hatványú s tag szerepel a felnyitott kör átviteli függvényének nevezőjében: G ( s) = K s α ( s z ) ( ) 1 K s zm ( s p ) K ( s p ) 1 n a rendszereket α értéke alapján szokás 0-, 1-, 2- típusúnak nevezni, ami megfelel egyben az origóba eső pólusok számának is Szabályozás/19

20 Állandósult állapotbeli hiba állandósult állapotbeli hiba, ha a bemenet Rendszer típusa ugrás sebességugrás gyorsulás 0 típus véges végtelen végtelen 1 típus 0 véges végtelen 2 típus 0 0 véges Szabályozás/20

21 Szabályzók Összefoglalva: arányos tag segítségével gyorsíthatjuk a rendszer működését, de az állandósult állapotbeli hiba nem tüntethető el integráló tag segítségével maradéktalanul eltüntethető az állandósult állapotbeli hiba, de a lengésre való hajlam erősödik általában elegendő, ha az ugrás jel esetén nincs állandósult állapotbeli hiba cél: egy gyors, de lengésre nem hajlamos rendszer kialakítása megfelelő szabályzó Szabályozás/21

22 Arányos tag bemenet a hibajel, kimenete pedig ennek az erősítéssel szorzott értéke: hatására gyorsabb lesz a rendszer működése visszacsatolásban csökken az állandósult állapotbeli hiba növekszik a lengésre való hajlam Szabályozás/22

23 Arányos tag I/O modell: ( t) Ke( t) u = átviteli függvény: G ( s) = K frekvencia függvény: ( jω) K G = Szabályozás/23

24 Integráló tag bemenet a hibajel, kimenete pedig ennek az integrálja hatására a visszacsatolt körben eltűnik a maradó hiba, de még jobban növekszik a lengésre való hajlam: a felnyitott körnek pólusa lesz az origóban a visszacsatolt körben növekszik a nevező fokszáma Szabályozás/24

25 Integráló tag I/O modell: átviteli függvény: ( t) ( ) frekvencia függvény: u 1 = e τ dτ I 1 G( s) = s G I ( jω) = I 1 jω Szabályozás/25

26 Deriváló tag lengési hajlam csökkentése: deriváló tag beépítése bemenete a hibajel, kimenet a hibajel deriváltja D-tag hatása ha a hibajel állandó értékű, akkor a deriváló tag nem csinál semmit ha a hibajel nem nulla, akkor megelőző hatást fejt ki: megakadályozza a nagy túl- és alálendüléseket Szabályozás/26

27 Deriváló tag I/O modell: u ( t) = D de( t) dt átviteli függvény: G ( s) = s D frekvencia függvény: G ( jω) = jω D Szabályozás/27

28 Deriváló tag ha a hibajel növekszik, akkor a derivált és a jel előjele megegyezik, és a deriváló tag növeli a szabályzó jelét, sietteti a túllendülés bekövetkeztét Szabályozás/28

29 Deriváló tag ha a hibajel csökken, akkor a derivált és a jel előjele különbözik csökkenti a szabályzó kimenetét, lassítja a működést, kisebb lesz a túllendülés Szabályozás/29

30 PI-tag Arányos és integráló tagok párhuzamosan kapcsolva G P (s) e(s) + u(s) G I (s) + gyakorlati megvalósítás: 1 e(s) + 1 I s + K u(s) Szabályozás/30

31 Szabályozás/31 PI-tag I/O modell: átviteli függvény: frekvencia függvény: ( ) ( ) ( ) + = t I d e t e K t u 0 1 τ τ ( ) s s K s K G s I I I = + = ( ) ω ω ω ω j j K j K j G I I I = + =

32 PI-tag átmeneti függvény Szabályozás/32

33 PI-tag súlyfüggvény: sebesség-válaszfüggvény: Szabályozás/33

34 PI-tag Nyquist-diagram G ( jω) = K + I K jω K Bode diagram G( jω) = K jω + I 1 I jω 1/ I Szabályozás/34

35 PD-tag Arányos és deriváló tagok párhuzamosan kapcsolva I/O modell: átviteli függvény: u G ( t) = K e( t) + d ( s) = K( 1+ s) D de ( t) dt frekvencia függvény: G ( jω) = K( 1+ jω) D Szabályozás/35

36 PD-tag átmeneti függvény Szabályozás/36

37 PD-tag súlyfüggvény sebességugrás válaszfüggvény Szabályozás/37

38 PD-tag Nyquist-diagram Bode-diagram 2 D 20lg 1+ jω = 20lg 1+ ω ϕ D ( ω) = arctg ω D 2 Szabályozás/38

39 PID-tag ideális Arányos, integráló és deriváló tagok párhuzamos kapcsolása I/O modell: t 1 de u( t) = K e( t) + e( τ ) dτ + D I dt 0 ( t) Szabályozás/39

40 Szabályozás/40 PID-tag ideális átviteli függvény frekvenciafüggvény ahol ( ) + + = s s K s G D I 1 1 ( ) + + = ω ω ω j j K j G D I 1 1 ( ) = + + = ω ω ω j j j K I D I I 2 1 ( ) ( ) = ω ξ ω ω j j j K I D I D I 2 1 = = ξ

41 PID-tag ideális átmeneti függvény súlyfüggvény Szabályozás/41

42 PID-tag ideális sebességugrás válaszfüggvény Szabályozás/42

43 PID-tag ideális Nyquist-diagram Bode-diagram Szabályozás/43

44 PID-tag megvalósítható fizikailag megvalósítható PID-tagnál az ideális D- tag helyett egytárlós deriváló tagot alkalmazunk: Szabályozás/44

45 Szabályozás/45 PID-tag megvalósítható átviteli függvénye: ahol A az alsó F a felső törési körfrekvenciához tartozó időállandó: ( ) = s s s K G s K ' D I ( ) ( ) ( ) = = s s s s K K I K I K ' D I ( )( ) ( )s s s s K K I F A = K I F A + = + ( ) K ' D I F A + =

46 PID-tag megvalósítható átmeneti függvénye: Szabályozás/46

47 PID-tag megvalósítható súlyfüggvénye: Szabályozás/47

48 Szabályozás/48 PID-tag megvalósítható Bode-diagramja 1/ A 1/ F 1/ K 1/ K 1/ I ( )( ) ( )s s s s K K I F A = ( ) = s s s K s G K ' D I példában: I = 10.5, K = 0.5, A = 9.885, F = 1.115

49 Reális PI-tag Fáziskésleltető tag PI-tag gyakorlati megvalósítása elektronikai elemekkel feltesszük, hogy a tag üresjáratban dolgozik, azaz a kimenete terheletlen Szabályozás/49

50 Reális PI-tag Fáziskésleltető tag átviteli függvény G FK ( s) = U U K B ( s) 1+ SK s = ( s) 1+ s KK ahol késleltető tag = R C = SK KK = Q Q Q 1 ( R ) H + RQ CQ = Q ρ siettetési időállandója késleltetési időállandója KK > SK ρ = R Q R + Q R H ellenállásviszony Szabályozás/50

51 Reális PI-tag Fáziskésleltető tag átmeneti függvény PI-tag PI-tag FK-tag FK-tag Szabályozás/51

52 Reális PI-tag Fáziskésleltető tag súlyfüggvény FK-tag PI-tag sebességugrás válasz PI-tag FK-tag Szabályozás/52

53 Reális PI-tag Fáziskésleltető tag Nyquist-diagram G FK ( jω) 1+ = 1 + SK KK Bode-diagram jω jω SK / KK 1/ KK 1/ SK Szabályozás/53

54 Reális PD-tag Fázissiettető tag PD-tag gyakorlati megvalósítása elektronikai elemekkel C H R H U B R Q U K a tag csak elektronikus erősítő elé iktatható be, mert árammal nem terhelhető Szabályozás/54

55 Reális PD-tag Fázissiettető tag átviteli függvény G FK ( s) = U U K B ( s) 1+ SS s = AFS ( s) 1+ s KS ahol siettető tag = R C = KS SS H H H Q H RH RQ = CH = ρ R + R A FS RQ = = ρ < 1 R + R Q H Q siettetési időállandója késleltetési időállandója SS > KS átviteli tényező, erősítés Szabályozás/55

56 Reális PD-tag Fázissiettető tag átmeneti függvény FS-tag FS-tag P-tag P-tag Szabályozás/56

57 Reális PD-tag Fázissiettető tag súlyfüggvény sebességugrás válasz FS-tag P-tag Szabályozás/57

58 Reális PD-tag Fázissiettető tag Nyquist-diagram G FK ( jω) = A FS SS KS jω jω SS / KS Bode-diagram 1/ SS 1/ KS Szabályozás/58

59 Reális PID-tag Fáziskésleltető-siettető tag Fáziskésleltető-siettető (FKS) kapcsolás megvalósítása elektronikai elemekkel: C H R H C Q U B U K R Q Szabályozás/59

60 Reális PID-tag Fáziskésleltető-siettető tag átviteli függvény G FKS ( s) = U U K B ( s) ( s) = Q H s ( 1+ s)( 1+ s) 2 + Q ( + + ) s + 1 Q QH H H ahol = R C Q = RQCQ HQ = RH CQ H H H bevezetve a következő időállandókat: SA = SA SF SF Q Q H + = + H KA = KA KF KF Q Q + = + + H HQ H Szabályozás/60

61 Reális PID-tag Fáziskésleltető-siettető tag így az FKS-tag átviteli függvénye ahol G FKS ( s) = SA és KA az alsó törési körfrekvenciához tartozó siettetési és késleltetési időállandó SF és KF a felső törési körfrekvenciához tartozó siettetési és késleltetési időállandó KF < SF < SA < KA SA SF = KA KF ( SAs + 1)( SF s + 1) ( s + 1)( s + 1) KA KF Szabályozás/61

62 Reális PID-tag Fáziskésleltető-siettető tag átmeneti függvény rpid-tag FKS-tag Szabályozás/62

63 Reális PID-tag Fáziskésleltető-siettető tag súlyfüggvény végállapotok rpid-tag FKS-tag indulási időtartomány rpid-tag FKS-tag Szabályozás/63

64 Reális PID-tag Fáziskésleltető-siettető tag frekvenciatartomány Nyquist-diagram ω ω = 0 Bode-diagram 1/ KA 1/ SA 1/ SF 1/ KF Szabályozás/64

65 Példa Legyen a szabályozandó objektum átviteli függvénye a következő: G O ( s) = s s + 1 megállapítható, hogy az objektum erősítése 1 további paramétereinek megállapításához bontsuk fel s G O ( s) = s s s + 1 = 1 ( )( 2 s + 1 s s + 1) Szabályozás/65

66 Példa azaz a szabályozandó objektum felfogható egy elsőrendű (τ = 1) és egy másodrendű (ω = 1, ξ = 0.8) tag sorba kapcsolt eredőjeként pólusai: p 1 =-1 p 2,3 =-0.8± j0.6 G o ( s) = 1 ( )( 2 s + 1 s s + 1) Szabályozás/66

67 Példa átmeneti függvénye Szabályozás/67

68 Példa Az objektum frekvenciafüggvényei: Nyquist-diagram Szabályozás/68

69 Példa Bode-diagram 1/τ 1/ Szabályozás/69

70 Példa gyökhelygörbe Szabályozás/70

71 Példa csatoljuk vissza negatívan az objektumot ekkor az átviteli függvénye G e ( s) = G felbontva ( s) 1 = ( ) 3 s s s s + 2 O 2 1+ GO 1 1 G e ( s) = 3 2 s s s ( )( 2 s s s ) azaz K = 0.5, τ = 0.56, = 0.92, ξ = 0.46 Szabályozás/71

72 Példa átmeneti függvény nyílt zárt Szabályozás/72

73 Példa (frekvenciafüggvény!!!) Nyquist-diagram Bode-diagram Szabályozás/73

74 Példa szabályzás P-szabályzóval Szabályzás P-szabályzóval maradó szabályzási hiba mindig van maximális erősítés 5.5 a szakasz gyökhelygörbéje alapján növekvő erősítés gyorsabb felfutás növekvő lengés Szabályozás/74

75 Példa szabályzás P-szabályzóval átmeneti függvény K=5 K=1.5 Szabályozás/75

76 Példa szabályzás P-szabályzóval Bode diagram K=1 K=5 Szabályozás/76

77 Példa szabályzás PI-szabályzóval Szabályzás PI-szabályzóval P-tag csökkenti a maradó szabályzási hibát, de növeli a lengési hajlamot I-tag megszünteti a maradó szabályozási hibát, de kis integrálási időállandó esetén erősen növelheti a lengési hajlamot nagy integrálási időállandó viszont csökkenti a lengést, de (jelentősen) növelheti a beállási időt Szabályozás/77

78 Példa szabályzás PI-szabályzóval átmeneti függvény PI szabályzóval PI-szabályzóval I-tag kimenete P-szabályzóval Szabályozás/78

79 Példa szabályzás PI-szabályzóval átmeneti függvény PI szabályzóval ( I =10, K=2) PI-szabályzóval csak P-szabályzóval I-tag kimenete Szabályozás/79

80 Példa szabályzás PI-szabályzóval átmeneti függvény PI szabályzóval ( I =2, K=2) PI-szabályzóval csak P-szabályzóval I-tag kimenete Szabályozás/80

81 Példa szabályzás PI-szabályzóval Nyquist-diagram 20s + 2 G e ( s) = s + 26s + 26s + 10s Szabályozás/81

82 Példa szabályzás PI-szabályzóval Bode-diagram G e 1 ( s) = ( 20s + 2) 10s s s s + 1 Szabályozás/82

83 Példa szabályzás PI-szabályzóval gyökhelygörbe Szabályozás/83

84 Példa szabályzás PD-szabályzóval Szabályzás PD-szabályzóval P-tag csökkenti a maradó szabályzási hibát, gyorsítja a működést, de ugyanakkor növeli a lengési hajlamot D-tag csökkenti a lengési hajlamot és gyorsítja a rendszer működését Szabályozás/84

85 Példa szabályzás PD-szabályzóval átmeneti függvény PD szabályzóval P-szab. PD-szab. D-tag Szabályozás/85

86 Példa szabályzás PD-szabályzóval átmeneti függvény PD-szabályzóval csak P-szabályzóval PD-szabályzóval D-tag kimenete Szabályozás/86

87 Példa szabályzás PD-szabályzóval frekvenciafüggvények Nyquist-diagram G e ( s) = 0. 01s s 5. 01s s s + 1 Szabályozás/87

88 Példa szabályzás PD-szabályzóval Bode-diagram G e 1 ( s) = ( 5. 01s + 1) 0. 01s + 1 s s s + 1 Szabályozás/88

89 Példa szabályzás PD-szabályzóval gyökhelygörbe Szabályozás/89

90 Példa szabályzás PID-szabályzóval Szabályzás PID-szabályzóval P-tag csökkenti a maradó szabályzási hibát, gyorsítja a működést, de növeli a lengési hajlamot I-tag megszünteti a maradó szabályozási hibát, nagy integrálási időállandó esetén csökkenti a lengést, de (jelentősen) növelheti a beállási időt D-tag csökkenti a lengési hajlamot és gyorsítja a rendszer működését Szabályozás/90

91 Példa szabályzás PID-szabályzóval átmeneti függvény szabályzott kimenet I-tag kimenete D-tag kimenete Szabályozás/91

92 Példa szabályzás PID-szabályzóval frekvencia és gyökhelygörbe vizsgálatok Szabályozás/92

93 Példa szabályzás PID-szabályzóval Nyquist-diagram s s G e ( s) = s s s s + 2s Szabályozás/93

94 Példa szabályzás PID-szabályzóval Bode-diagram G e ( ) ( 2 s = s s + 1) 1 1 s 0. 02s + 2 s s s + 1 Szabályozás/94

95 Példa szabályzás PID-szabályzóval gyökhelygörbe Szabályozás/95

96 PID-szabályzó beállítása Ziegler-Nichols szabály K I D P K 0.5K kr 0 PI K 0.45K kr I 0.8 kr 0 PID K 0.6K kr I 0.5 kr D kr Szabályozás/96

97 Zavarkompenzáció cél: a zavaró jellemzőnek a szabályzott jellemzőre gyakorolt hatásának csökkentése megoldás: szabályzó rendszer kiegészítése vezérlő körrel a legnagyobb mértékű zavarást jelentő jellemzőt bevonjuk a szabályozásba ehhez mérjük ezt a jellemzőt is, és a jelet szuperponáljuk például a végrehajtó jelre Szabályozás/97

98 Zavarkompenzáció G c (s) w(s) q v1 q v2 y(s) c 1 c 2 A c Szabályozás/98

99 Arányszabályzás cél: két mennyiség arányának állandó értéken tartása megoldás: mindkét mennyiséget mérjük az arányt a szorzó tényezővel állítjuk be ez a jel lesz a szabályzó alapjele a pontos beállításhoz I-tag is kell Szabályozás/99

100 Arányszabályzás q v2 qv1 Szabályozás/100

101 Kaszkádszabályzás cél: a szabályzott jellemző előírt értéken történő tartása különböző időbeli lefutású zavarások mellett megoldás: két, egymásra épülő szabályzó kör kialakítása alsó szintű kör: a gyors lefolyású zavarás gyors kompenzálása, nem kell tökéletes beállítás felső szintű kör: a lassabb zavarások pontos kompenzálása (I-tag is kell) Szabályozás/101

102 Kaszkádszabályzás q v2 c 2 y 1 (s) Q G c1 (s) u 1 (s) q v1 c 1 c Szabályozás/102

103 Kaszkád-arányszabályzás cél: két mennyiség arányának állandó értéken tartása mellett a lassabb lefolyású zavarások kompenzálása megoldás: arányszabályzás kialakítása a legfontosabb és leggyorsabb zavarás hatásának kiküszöbölésére kaszkádkör kialakítása a lassabb zavarások kompenzálására Szabályozás/103

104 Kaszkád-arányszabályzás K w 1 (s) Q z(s) y 1 (s) Q G c1 (s) u 1 (s) u 2 (s) q v2 c 2 q v1 c 1 c A y 2 (s) G c2 (s) w 2 (s) Szabályozás/104