Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1
|
|
- Nándor Rácz
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Stabilitás
2 Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2
3 Stabilitás defiíciók BIBO stabilitás külső stabilitás a bemetek kimeetek viszoyára tesz megkötést aszimptotikus stabilitás a kimeetek határértékére tesz megkötést Stabilitás/3
4 BIBO stabilitás BIBO stabilitás defiíciója Egy redszert BIBO stabilak evezük, ha korlátos bemeet, azaz u(t) < M, valamely - < t 0 t < időitervallum eseté, a kimeete is korlátos: y(t) < M 2, a t 0 t < időitervallumo (ahol M, M 2 <, és t 0 a kezdőidőpot). Stabilitás/4
5 Tétel: BIBO stabilitás Egy redszer akkor és csak akkor BIBO stabil, ha 0 h ( t) dt < M < azaz a súlyfüggvéy abszolút itegrálja korlátos. Stabilitás/5
6 Aszimptotikus (ulla bemeeti) stabilitás Legye -ed redű lieáris, időivariás redszer bemeete zérus, a kimeete pedig a kezdeti értékek miatt y(t). Ekkor y(t) a következő módo fejezhető ki: ahol g k (t) jelöli az y (k) (t 0 ) kezdeti értékek miatti, a ulla bemeetre adott válasz (k+)-dik kompoesét és y k 0 ( ) ( ) ( k t g t y ) ( t ) y k ( k ) ( t ) 0 k d y dt 0 ( t) k t 0 Stabilitás/6
7 Aszimptotikus (ulla bemeeti) stabilitás Aszimptotikus stabilitás defiíciója Egy lieáris időivariás redszert tetszőleges, em mide esetbe zérus kezdeti feltételek eseté ulla bemeeti stabilitásúak evezzük, ha megválasztható egy M korlát M(y(t 0 ), y () (t 0 ),, y (-) (t 0 )) > 0, úgy, hogy és y(t) M <, t t 0 lim y t ( t) 0 Stabilitás/7
8 Aszimptotikus (ulla bemeeti) stabilitás Másképpe: Ha egy redszerbe kostas ulla bemeet és adott, legalább egy esetbe emzérus kezdeti feltételek eseté a kimeet ullához tart tetszőlegese agy idő eltelte utá, akkor ezt a redszert ulla bemeeti stabilitásúak (vagy aszimptotikusa stabilak) evezzük. Egyébkét a redszer istabil. Stabilitás/8
9 Stabilitás/9 Aszimptotikus (ulla bemeeti) stabilitás a stabilitás feltétele mivel a kezdeti feltételek végesek y(t 0 ), y () (t 0 ),, y (-) (t 0 ) < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k t y t g t y t g t y ( ) < 0 0 k k t t, t g
10 Stabilitás Általáos feltétel Iduljuk ki a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( m t + a y t + + a y t b u ) ( t) + b u( t) y 0 m + 0 ihomogé differeciálegyelet megoldás: homogé általáos megoldása + ihomogé partikuláris megoldása Stabilitás/0
11 Stabilitás Általáos feltétel homogé egyelet: egyelet bal oldala ullával egyelővé téve a y ( ) ( ( t) + a y ) ( t) + + a y( t) 0 0 bal oldalo kimeet és deriváltjai eek megoldása a magára hagyott redszer válasza ulla bemeeti stabilitás ihomogé megoldás: új egyesúlyi állapot jellemzőiek meghatározása Stabilitás/
12 Stabilitás Általáos feltétel A homogé egyelet általáos megoldása: y ahol p, p 2,, p a homogé egyeletek megfelelő karakterisztikus egyelet gyökei, c i kostasok stabilitás: p t p t p t ( ) t ce c2e ce lim y t ( t) 0 teljesül: ha ezek a gyökök egatív valósak, vagy egatív valós részű komplex gyökpárok: k Re{p i } < 0, p i, i,, c k e p k t Stabilitás/2
13 Stabilitás Általáos feltétel a homogé egyelet y(t) megoldása tulajdoképpe a redszer súlyfüggvéye (hisze Y(s) G(s) U(s) így, ha u(t) δ(t) akkor Y(s) G(s) y(t) h(t) ) azaz a stabilitás lim h t ( t) 0 Stabilitás/3
14 Stabilitás Általáos feltétel Operátor tartomáyba Átviteli függvéy G ahol a p, p 2,, p gyökök a evező poliomjáak gyökei, azaz a pólusok, és megfelelek a homogé differeciál- egyelethez tartozó karakterisztikus egyelet gyökeiek Így a redszer stabilitáshoz ezekek a gyökökek az előjelét kell elleőrizi komplex sík baloldali félsíkjára esek-e ( s) Y U ( s) ( s) b a m s s m + + b + + a 0 0 b a 0 0 ( s z ) ( s zm ) ( s p ) ( s p ) Stabilitás/4
15 Stabilitás Általáos feltétel Ihomogé egyelet a ( ) ( ( t) + a y ) ( t) + + a y( t) b u( t) y 0 0 legye u(t) (t) ugrásjel ekkor a megoldás általáos alakja ( t) ( t) ( p t p t p t ) 2 + c e + c e + c e y + ahol b 0 /a 0 a redszer erősítése 2 így stabil redszer eseté lim y t ( t) Stabilitás/5
16 Stabilitás defiíciók összehasolítása BIBO stabilitás: korlátos bemeetre korlátos válasz Aszimptotikus stabilitás: ulla bemeet és em zérus kezdeti feltételek eseté ullához tartó kimeet ugrás jel bemeetre az erősítés által meghatározott végértékhez tartó válasz Aszimptotikusa stabil redszer BIBO stabil is BIBO stabil redszer em feltétleül aszimptotikusa stabil Stabilitás/6
17 Példák 20 G p, p 2, p 3 ( s) ( s + )( s + 2)( s + 3) G2( s) p, p 2 ( s )( s + 2s + ) 2, 3 G 3 ( s) 20 ( s + ) ( )( 2 s + 2 s + 4) p, p, ± j G 4 ( s) 20 p, 5, p 0, p ( s + 0, 5)( s 0, 2s) 0 2 2, Stabilitás/7
18 Stabilitásvizsgálati módszerek szükségességük fajtáik algebrai: Routh-Hurwitz módszer frekveciatartomáy: Nyquist-kritérium Bode-kritérium geometriai: gyökhelygörbe módszer Stabilitás/8
19 Routh-Hurwitz kritérium módszercsalád cél: az eredő átviteli függvéy karakterisztikus egyelete alapjá a stabilitás meghatározása legye az eredő átviteli függvéy: G G e ( s) + G az ehhez tartozó karakterisztikus egyelet: illetve poliom alakba: ( s) ( s) H ( s) ( s) G( s) H ( s) + ( s) a s + a s + + as + a0 Stabilitás/9
20 Stabilitás/20 Routh-Hurwitz kritérium A stabilitás szükséges és elégséges feltétele: Mide együttható legye pozitív a i > 0, i,, A H Hurwitz-determiás valameyi főátlóra támaszkodó aldetermiása legye pozitív: 2 3 i > 0, i,, a a a a a a a a a a a M O M M M
21 Nyquist-kritérium a hurokátviteli függvéye alapuló geometria kritérium elv: a felyitott kör helygörbéjéből következtetük a zárt redszer stabilitási viszoyaira kiidulás Stabilitás/2
22 Nyquist-kritérium Az átviteli függvéy: G ( s) G + G o( s) ( s) G ( s) A karakterisztikus egyelet: +G e (s)0 melyből a pólusokat megkapjuk o m Go + G ( s) ( s) e Áttérve frekveciatartomáyba +G e (jω)0 Stabilitás/22
23 Nyquist-kritérium Az +G e (jω)0 összefüggés fizikai értelme: va-e a zárt redszerek csillapítatla sziuszos rezgésű álladósult megoldása ω 0 : G e (jω 0 ) - ha ige: akkor ezzel az ω 0 frekveciával gerjesztve a zárt redszert csillapítatla rezgéseket kapuk Stabilitás/23
24 Nyquist-kritérium a kritérium: Ha a felyitott kör G e (jω 0 ) amplitúdófázis görbéje miközbe frekvecia 0 ω < tartomáyo változik éppe áthalad a komplex számsík - potjá, akkor a redszer a stabilitás határá va - Im Re Stabilitás/24
25 Nyquist-kritérium magyarázat Iduljuk ki a visszacsatolt körből: B legye w 0 vágjuk fel a kört a B- potok között legye a felyitott kör Nyquist-diagramja olya, hogy átmegy a - poto Stabilitás/25
26 Nyquist-kritérium gerjesszük a redszert a B potba ω 0 frekveciájú sziuszos y b jellel e w-y b B y b y k G e ey b a külöbségképző utá e -y b a poto pedig ismét y b jeleik meg: G e (jω 0 ) G e (jω 0 ) G e (jω 0 ) - Stabilitás/26
27 Nyquist-kritérium összekötés utá is fe marad ez a jel, a gerjesztés megszűése eseté is valós redszer egységugrás gerjesztés Stabilitás/27
28 Nyquist-kritérium stabilitás kritérium Ha a felyitott kör Nyquist göbéje a valós tegelyt a - pottól jobbra metszi, akkor a zárt kör stabil; pot a - potba metszi, akkor a zárt kör a stabilitás határá va; a - pottól balra metszi, akkor a zárt kör istabil. Stabilitás/28
29 Nyquist-kritérium Im - Re Stabilitás/29
30 Nyquist-kritérium fázis tartalék: ϕ t π - ϕ ha ϕ < π, ϕ t > 0 a redszer stabil Im ha ϕ π, ϕ t 0 a redszer stabilitás határá ha ϕ > π, ϕ t < 0 a redszer istabil - t Re általába ϕ t > π/6 legye Stabilitás/30
31 Nyquist-kritérium erősítési tartalék κ az origó és a metszéspot közötti távolság Im ha κ < a redszer stabil ha κ a redszer stabilitás határá ha κ > a redszer istabil - Re Stabilitás/3
32 Bode-kritérium Bode diagram: a frekvecia függvéyébe az amplitúdóviszoy és fázisszög ábrázolása Nyquist diagram egység sugarú kör Bode diagram 0 db tegely Bode kritérium alapja: az amplitúdógörbe és a 0 db tegely metszés potjához milye fázis szög érték tartozik Stabilitás/32
33 Bode-kritérium Stabilitás/33
34 Bode-kritérium Stabilitási kritérium: Ha az amplitúdógörbe és a 0 db-es tegely metszéspotjához tartozó ϕ fázisszög agyobb -80 o -ál, akkor a redszer stabil; egyelő -80 o -kal, akkor a redszer a stabilitás határá va; ha kisebb -80 o -ál, akkor istabil. Stabilitás/34
35 Bode-kritérium Fázistartalék A [db] ϕ t { erősítési tartalék κ [db] fizikai értelmezés -90 o -80 o -270 o t Stabilitás/35
36 Gyökhelygörbe módszer célja: stabilitásvizsgálat miőségi jellemzők hozzávetőleges meghatározása Evas, 948 alkalmazható SISO és MIMO redszerekre Def.: A gyökhelygörbe a zárt redszer pólusaiak mértai helye a komplex síko, miközbe a redszer valamely paraméterét zérus és végtele között változtatjuk. Stabilitás/36
37 Gyökhelygörbe kiidulás legye G o ( s) ( s + z )( s + z2 ) ( s + zm ) ( s + p )( s + p ) ( s + p ) 2 ahol - erősítés, -z,, -z m zérushelyek, -p,, -p - pólusok Stabilitás/37
38 Stabilitás/38 Gyökhelygörbe a visszacsatolt kör eredő átviteli függvéye: a karakterisztikus egyelet: azaz a gyökhelygörbe most a karakterisztikus egyelet gyökeiek mértai helye a komplex síko, midő az erősítést 0 és között változtatjuk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m o o z s z s k p s p s z s z s s G s G s G ( ) ( ) ( ) ( ) m z s z s p s p s
39 Gyökhelygörbe a karakterisztikus egyeletet átalakítva: azaz G o (s) - ( s + z ) ( s + zm ) ( s + p ) ( s + p ) miutá általáos esetbe a gyökök komplexek, és a komplex számok felírhatók z A e jϕ alakba, így - e ±jlπ ahol l, 3, 5, vagy - ±l 80 o Stabilitás/39
40 Gyökhelygörbe Összefoglalva: A gyökhelygörbe bármely potjáak két feltételt kell kielégíteie: a valós és a képzetes részekek a egyelet midkét oldalá külö-külö meg kell egyeziük szögfeltétel ( s + z ) ( s + z ) m ( s + p ) ( s + p ) abszolútérték feltétel Stabilitás/40
41 Gyökhelygörbe legye a k-dik zérushely: s + z k C k e jγ k C k γ k legye a i-dik pólus: s + p i D i e jδ i D i δ i ekkor a szögfeltétel: m m k i ± l k i γ + + γ δ δ γ δ 80 azaz egy s pot akkor és csak akkor tartozik a gyökhelygörbéhez, ha a zérushelyekből kiiduló és az s-be mutató vektorok szögéek összegéből levova a pólusokból kiiduló és az s-be mutató vektorok szögeiek összegét, akkor ±l 80 o -t kapuk. o Stabilitás/4
42 Stabilitás/42 Gyökhelygörbe az abszolútérték feltétel: azaz egy s pot akkor és csak akkor tartozik a gyökhelygörbéhez, ha a zérushelyekből az s-be mutató vektorok abszolút értékeiek szorzatát elosztva a pólusokból az s-be mutató vektorok abszolút értékeiek szorzatával az erősítés reciprokát kapjuk meg. D C p s p s p s z s z s z s i i k m k m Π Π
43 Gyökhelygörbe a gyökhelygörbe előállítása karakterisztikus egyelet megoldásával grafikus úto próbálgatással szerkesztési módszerek számítógépes programok tulajdoságok alapjá közelítve Stabilitás/43
44 Gyökhelygörbe a gyökhelygörbe tulajdoságai. A gyökhelygörbéek ayi ága va, ameyi a zárt redszer pólusaiak a száma. 2. A gyökhelygörbe midig szimmetrikus a valós tegelyre ézve. Stabilitás/44
45 Gyökhelygörbe 3. Legye a pólusok száma, m a zérushelyek száma a felyitott körbe ha > m, akkor a gyökhelygörbe a felyitott kör pólusaiból idul ki, és m számú ág a felyitott kör zérushelyeibe, - m számú ág a végtelebe tart; ha m, akkor a gyökhelygörbe teljese a végesbe va; ha < m, akkor m - számú ág a végteleből idul ki (em reális eset). Stabilitás/45
46 Gyökhelygörbe 4. A valós tegelye akkor és csak akkor lehetek gyökhelygörbe szakaszok, ha a vizsgált pottól jobbra a pólusok és a zérushelyek együttes száma páratla. 5. A gyökhelygörbe aszimptótáiak iráyát az o ± l 80 α m összefüggés adja meg. Stabilitás/46
47 Gyökhelygörbe - példák példák csoportosítása evező fokszáma (, 2, 3) számláló fokszáma m (m 0, ) vizsgált kör az eredő átviteli függvéy: G G ( s) e + ( s) G( s) Stabilitás/47
48 Gyökhelygörbe - példák legye, m 0 ha G s ( s) G ( s) e s + Im Re Stabilitás/48
49 Gyökhelygörbe - példák ha G e τs + τs + + ( s) G ( s) Stabilitás/49
50 Gyökhelygörbe - példák legye, m G ( s) ( Ts + ) τs + G e ( s) ( Ts + ) ( τ + T ) s + + ha τ > T Stabilitás/50
51 Gyökhelygörbe - példák legye 2, m 0 és ξ > G ( s) Ge ( s) 2 2 τ τ 2s + 2 ( τ s + )( τ s + ) τ ( τ + ) s + + Stabilitás/5
52 Gyökhelygörbe - példák legye 2, m 0 és 0 < ξ < G ( s) G ( s) T 2 s 2 + 2ξTs + e T 2 s 2 + 2ξTs + + Im Re Stabilitás/52
53 Gyökhelygörbe - példák legye 2, m és ξ > G ( s) ( Ts + ) ( τ s + )( τ s + ) ( s) Ge 2 2 τ τ 2s + τ 2 ( Ts + ) ( τ + + T ) s + + ha τ > T > τ 2 Stabilitás/53
54 Gyökhelygörbe - példák ha τ > τ 2 > T Stabilitás/54
55 Gyökhelygörbe - példák legye 2, m és 0 < ξ < G ( s) 2 τ s 2 ( Ts + ) + 2ξτs + G e ( s) τ 2 s 2 + ( Ts + ) ( 2ξτ + T ) s + + Stabilitás/55
56 Gyökhelygörbe - példák legye 3, m 0 G ( s) ( τ s + )( τ s + )( τ s ) ha τ > τ 2 > τ 3 Stabilitás/56
57 Gyökhelygörbe - példák G ( s) ( 2 2 T s + 2ξTs + )( τs + ) Stabilitás/57
58 Gyökhelygörbe - példák legye 3, m G ( s) ( Ts + ) ( τ s + )( τ s + )( τ s ) ha τ > τ 2 > τ 3 > T Stabilitás/58
Folytonos idejű rendszerek stabilitása
Folytoos idejű redszerek stabilitása Összeállította: dr. Gerzso Miklós egyetemi doces PTE MIK Műszaki Iformatika Taszék 205.2.06. Itelliges redszerek I. PTE MIK Mérök iformatikus BSc szak Stabilitás egyszerűsített
RészletesebbenStabilitás. Input / output rendszerek
Stabilitá Iput / output redzerek 006.09.4. Stabilitá - bevezeté egyzerűített zemlélet példa zavará utá a magára hagyott redzer vizatér a yugalmi állapotába kvázitacioáriu állapotba kerül végtelebe tart
RészletesebbenL-transzformáltja: G(s) = L{g(t)}.
Tartalom 1. Stabilitáselmélet stabilitás feltételei inverz inga egyszerűsített modellje 2. Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium 2018 1 Stabilitáselmélet
RészletesebbenSZABÁLYOZÁSI KÖRÖK 2.
Irányítástechnika (BMEGERIA35I) SZABÁLYOZÁSI KÖRÖK 2. 2010/11/1. félév Dr. Aradi Petra Zárt szabályozási körrel szemben támasztott követelmények tulajdonság időtartományban frekvenciatartományban pontosság
RészletesebbenIdeiglenes példatár az Intelligens rendszerek I. kurzus 1. zárthelyi dolgozatához
Ideiglenes példatár az Intelligens rendszerek I. kurzus 1. zárthelyi dolgozatához Gerzson Miklós 2015. december 8. 2 Tartalomjegyzék Bevezetés 5 1. Kötelező kérdések 7 1.1. Kötelező kérdések a Kalman-féle
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
RészletesebbenLineáris rendszerek stabilitása
Lineáris rendszerek stabilitása A gyakrlat célja A dlgzatban a lineáris rendszerek stabilitásának fgalmát vezetjük be majd megvizsgáljuk a stabilitás vizsgálati módszereket. Elméleti bevezető Egy LTI rendszer
RészletesebbenIrányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján
Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Irányítástechnika jellemzőinek Rendszerek stabilitása és minőségi jellemzői. Soros kompenzátor. Irányítástechnika Budapest, 29 2 Az
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
RészletesebbenSzabályozás Irányítástechnika PE MIK MI BSc 1
Szabályozás 2008.03.29. Irányítástechnika PE MIK MI BSc 1 Nyílt hatásláncú rendszerek Az irányító rendszer nem ellenőrzi a beavatkozás eredményét vezérlő rendszerek ahol w(s) bemenő változó / előírt érték
RészletesebbenTartalom. Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák
Tartalom Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák 215 1 Tervezési célok Szabályozó tervezés célja Stabilitás biztosítása
Részletesebben1. Sajátérték és sajátvektor
1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenSegédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból
Segédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból 1 Átviteli tényező számítása: Lineáris rendszer: Pl1.: Egy villanymotor 100V-os bemenő jelre 1000 fordulat/perc kimenő jelet ad.
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenIrányítástechnika Elıadás. Zárt szabályozási körök stabilitása
Irányítástechnika 2 7. Elıadás Zárt szabályozási körök stabilitása Irodalom - Csáki Frigyes, Bars Ruth: Automatika.1974 - Mórocz István: Irányítástechnika I. Analóg szabályozástechnika. 1996 - Benjamin
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenHatárértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.
Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenRENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
Részletesebben1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?
1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
RészletesebbenKvantummechanika gyakorlo feladatok 1 - Megoldások. 1. feladat: Az eltolás operátorának megtalálásával teljesen analóg módon fejtsük Taylor-sorba
Kvatummechaika gyakorlo felaatok - Megolások felaat: z eltolás operátoráak megtalálásával teljese aalóg móo fejtsük Taylor-sorba a hullámfüggvéyt a változójába: ψr θ ϕ + ϕ ψr θ ϕ + ψr θ ϕ ϕ + ψr θ ϕ ϕ
RészletesebbenÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS
ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS Dr. Soumelidis Alexandros 2019.03.13. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenKétváltozós függvények
Kétváltozós függvéek Tartalomjegzék Többváltozós függvéek... Kétváltozós függvéek... Nevezetes felületek... 3 Forgásfelületek... 3 Kétváltozós függvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós függvéek... 6
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenIrányítástechnika (BMEGERIA35I) SOROS KOMPENZÁCIÓ. 2010/11/1. félév. Dr. Aradi Petra
Irányítástechnika (BMEGERIA35I) SOROS KOMPENZÁCIÓ 010/11/1. félév Dr. Aradi Petra Soros kompenzáció Hogyan válasszunk szabályozót? xz xa xr YR Y R YZ YSZSZ xs T H s Y R =? 010.11.1. ASZ 1 1 s 1 s e Y SZ
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
Részletesebben6 A teljesítményelektronikai kapcsolások modellezése
6 A teljesítméyelektroikai kapcsolások modellezése A teljesítméyelektroikai beredezések vagy már ömagukba egy bizoyos szabályzott redszert alkotak, vagy egy agyobb szabályozott redszer részét képezik.
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
Részletesebben17/1. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram.
7/. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram. A szinuszos áramú hálózatok vizsgálatánál gyakran alkalmazunk különbözı komplex átviteli függvényeket. Végezzük ezt a hálózat valamilyen
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
Részletesebben(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.
. feladatsor () Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott téglalapoko: ( (x + y) dx dy, ahol T : x, y 3. ( T T x si y dx dy, ahol T : x, 2 y 3. (2) Határozzuk meg a következő területi
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenOptika. sin. A beeső fénysugár, a beesési merőleges és a visszavert, illetve a megtört fénysugár egy síkban van.
Optika Mi a féy? Látható elektromágeses sugárzás. Geometriai optika (modell) Féysugár: ige vékoy párhuzamos féyyaláb Ezt a modellt haszálva az optikai jeleségek széles köréek magyarázata egyszerű geometriai
RészletesebbenIrányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján
Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Rendszer és irányításelmélet Rendszerek idő és frekvencia tartományi vizsgálata Irányítástechnika Budapest, 29 2 Az előadás felépítése
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenKalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenNÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.
. feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenIntegrálás sokaságokon
Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
Részletesebbenforgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden
Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg
RészletesebbenFourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
Részletesebbenképzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal
5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenSzámítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox
Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges
RészletesebbenAlaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai
C Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai C.1. Bevezetés - Átviteli függvény, frekvenciafüggvény Dinamikus rendszerek leírásának egyik módja az átviteli függvények segítségével történik. Az átviteli függvényeket
RészletesebbenAndai Attila: november 13.
Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenAz egységugrás függvény a 0 időpillanatot követően 10 nagyságú jelet ad, valamint K=2. Vizsgáljuk meg a kimenetet:
II Gyakorlat A gyakorlat célja, hogy megismerkedjük az egyszerű szabályozási kör stabilitásának vizsgálati módszerét, valamint a PID szabályzó beállításának egy lehetséges módját. Tekintsük az alábbi háromtárolós
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenAlaptagok Nyquist és Bode diagramjai
Alaptagok Nyquist és Bode diagramjai Luspay Tamás, Bauer Péter BME Közlekedésautomatikai Tanszék 212. január 1. 1. Bevezetés - Átviteli függvény, frekvenciafüggvény Dinamikus rendszerek leírásának egyik
RészletesebbenA. függelék Laplace-transzformáció és alkalmazásai
A. függelék Laplace-traszformáció és alkalmazásai Tételezzük fel hogy az f(t),t [, ) egy olya függvéy, amely az alábbi tulajdoságokkal redelkezik: f(t) dt
RészletesebbenDIFFERENCIÁL EGYENLETRENDSZEREK DR. BENYÓ ZOLTÁN
DIFFERENCIÁL EGYENLETRENDSZEREK DR. ENYÓ ZOLTÁN be Redzer folyaat t differeciáló ódzer: Feltételezük egy értéket é ebből képezzük az elő, áodik, az -edik deriváltat. Itegráló ódzer z -edik deriváltból
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
Részletesebben6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai
6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.
RészletesebbenGépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)
Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 5. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenIrányítástechnika II. Nem hivatalos vizsga beugró kérdéssor kidolgozás
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Kar Irányítástechnika II. Nem hivatalos vizsga beugró kérdéssor kidolgozás Jelen gyűjtő munkát készítette Fölföldi Konrád,
RészletesebbenKoordinátageometria összefoglalás. d x x y y
Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenTartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)
Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenKétváltozós függvények
Kétváltozós üggvéek Tartalomjegzék Többváltozós üggvéek... Kétváltozós üggvéek... Nevezetes elületek... 3 Forgáselületek... 3 Kétváltozós üggvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós üggvéek... 6 A parciális
RészletesebbenMinta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe
RészletesebbenIrányítástechnika II. előadásvázlat
Irányítástechnika II. előadásvázlat Dr. Bokor József egyetemi tanár, az MTA rendes tagja BME Közlekedés- és Járműirányítási Tanszék 2018 1 Tartalom Irányítástechnika II. féléves tárgytematika Az irányításelmélet
RészletesebbenMAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA
1 MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA Tuzso Zoltá Akár a régebbi, akár az alteratív XI. osztályos algebra taköyveket lapozva, akár példatárakba vagy matematikai verseyeke gyakra találkozuk egyél magasabb
Részletesebben1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,
Részletesebben