DIFFERENCIÁL EGYENLETRENDSZEREK DR. BENYÓ ZOLTÁN

Átírás

1 DIFFERENCIÁL EGYENLETRENDSZEREK DR. ENYÓ ZOLTÁN

2 be Redzer folyaat t

3 differeciáló ódzer: Feltételezük egy értéket é ebből képezzük az elő, áodik, az -edik deriváltat. Itegráló ódzer z -edik deriváltból idulok ki é ebb l z -edik deriváltból idulok ki é ebből képze az --edik, -2.ik deriváltat az értékéig.

4 ódzerek vizgálata Za fellépééél.

5 differeciáló ódzerek zakieelő tuladoága va. za deriváltát, a gradieét vezi, tehát kieeli a zat. z itegráló ódzer zaelyoó, zaeliító hatáa va, a görbe alatti területet vezi. Műzerek, real-tie ziulátorok tervezééél foto, hogy kerülük a differeciálá űveletét ahol cak lehet, ert a külő, belő zaok agy zavart okozhatak a űködébe.

6 z -ed redű tagra kell redezi a differeciál egyeletet be... [... ] be való ideű egoldá a következő:

7 valóágba a differeciáló ódzer ayira zao, hogy e vezet egoldához. C, C,..., C kezdeti feltételeket orba be kell vezeti az itegrálokba, hogy praktiku egoldát kapuk.. Példa.... T 2 2ξT t *t... T 2 *t [ 2ξT ]

8 . Példa. Kelvi Thoo-féle vizavezetéi elv iertetée Feltételezzük, hogy a T 2 & iert, valóába e, é ez a feltételezé i ellőzhető, hiz a kopoeeiből fogo előállítai. Kezdeti feltételek:, &

9 egoldá külöboző ξ értékekél. ξ> ha a beeete t va akkor a kieet értékéhez fog tartai ξ az aperiodiku határeet, a leggyorabb aperiódiku beálláa ξ< ebbe az eetbe túllövé keletkezik ξ 2 aplítúdóval fog álladó legébe kerüli a redzer

10 2. Példa Két kieet-két beeetű ele ziuzo rezgéi beeeteiek cro-efect kerezt-kapcolatvizgálata. 2&& 4& y& && y 2y& 5& y it cot &, y.5, y& Kezdeti feltételek: Átredezve a legagaabb redű deriváltakra az egyeletet: 2&& it && y cot [ 4& y& ] [ 5& 2y& y]

11 beeetekre a it, -cot függvéyeket az előbb látható ódo állíto elő ahol a cillapító ág hiáyzik ξ

12 lgebrai hurkok kiküzöbölée következő differeciál egyeletekbe a áodik derivált okozta algebrai hurok va. 5 2 y y y t y & && && & && && β α 5 2 : Redezve 5 y y y y t y y y & && && & && && & && && β α β

13

14 & y& Előzőekbe az algebrai hurkot úgy kerültük ki, hogy özegzők helyett itegrátorokat alkalaztuk. Továbbiakba láuk egy áik ódzert. z elő egyeletből kifeezzük az -t, a áodikból az -t, é behelyetteítük az ellekező egyeletbe. & & & t α&& y 2& && y β && 5y& y && αβ && α y 2& t && y β t αβ && y β 2& β 5y& y

15 Redezve a Kelvi-Thoo vizavezetéi elv értelébe: && αβ t 2& α 5y& y && y αβ [ ] [ 5y& y β t 2& ]

16 Következteté: Kiküzöböltük az algebrai hurkot. Ha kereztkapcolat va, é ebbe agaabb deriváltak i zerepelek, akkor algebrai hurkok keletkezhetek, ait eliiáli kell.

17 Átviteli függvéy zabályozátechikába differeciál egyeletek helyett átviteli függvéyekkel dolgozuk. be Y ki

18 Átviteli függvéy: Tetzőlege beeő elre adott korláto, kieő el kieő é beeő el Laplace trazforáltáak háyadoa Két orba kötött hálózati ele eredő átviteli függvéyét úgy kapuk eg, hogy a tag átviteli függvéyét úgy kapuk eg, hogy a tag átviteli függvéyét özeaduk., > i be ki Y L L

19 Nyquit é ode diagra Y be ki Re I I Re ϕ ϕ Y Y arctg e Y Y Y Y be ki L L

20

21 ode diagra a 2lgY IY ϕ arctg ReY

22 Tetzőlege beeőel eeté: ki t dt korláto Defiiálható: α α { be t } be { t } ki ki Defiíció zerit: Y ki be L L

23 Kelvi-Thoo vizavezetéi elv alapá: Differeciálához a következő képletet hazáluk T D /T T D " differeciálá" T T vt t

24 Segédváltozó ódzer Segédváltozó: S be S S ki Y L L ki be L L

25 Közvetle prograozá N eeté Y be ki L L be L [ ] [ ] [ ] ki be ki be ki be be ki L

26 Általáo átviteli függvéy idig előállítható itegrátor, é 2 időkéé élküli aráyo tag egfelelő özekapcoláával. Átviteli függvéyél célzerű a gyöktéyező alakot eghagyi, é rézekre botva végezzük el a prograozát.

27 Átviteli függvéyel leírt redzerek leképezée Példa: ki y S be ki Y be Segédváltozó ódzer egédváltozó ki Y * * be be d dt d 4 t d 3 t 4.. dt 4 dt 3 be

28 Átviteli függvéyel leírt redzerek leképezée ki d dt d 3 t d 2 t dt 4 2 dt 3 dt 2 t dt ki Kelvi Thoo 4 be - [ t ] k i t

29 2. Direkt prograozá ódzer ki Y be / 4 Y Kieeti el: ki [ be -4 ki ] 2 [4 be -2 ki ] 3 [2 be - ki ] 4 [ be - ki ]

30 Példa T T2&& T T2 & t * t Eek a egoldáa Kelvi-Thoo elv alapá:

31 Ha a direkt ódzert alkalazzuk: T Így a tele egoldá direkt prograozáal: Ez a egoldá telee ekvivale a Kelvi-Thoo féle egoldáal, de láthatóa okkal egyzerűbb, így célzerűbb a direkt prograozát hazáli.