Feladatgy jtemény az Irányítástechnika II. c. tárgyhoz

Átírás

1 BME Közlekedéautomatikai Tanzék Feladatgy jtemény az Irányítátechnika II. c. tárgyhoz Özeállította: Dr. Bokor Józef egyetemi tanár Dr. Gápár Péter egyetemi tanár Bauer Péter tudományo munkatár Lupay Tamá tudományo munkatár Németh Baláz PhD hallgató Tettamanti Tamá tanáregéd 2

2 Tartalomjegyzék. Dinamiku rendzerek é irányítáuk: klaziku módzerek 3.. Egy ki matematika Laplace- é inverz Laplace-tranzformáció Polinomoztá Rendzerek vizgálata id - é operátortartományban Rendzerek vizgálata frekvenciatartományban Soro kompenzálá Robuztu tabilitá Bevezeté az állapottér-elméletbe Állapottér-reprezentációk tulajdonágai, kapcolata Póluallokáció

3 El zó A feladatgy jtemény a BME Közlekedémérnöki Karán oktatott Irányítátechnika II. tantárgy oktatái egédleteként a gyakorlati példák megoldáát é megértéét hivatott zolgálni. A gy jteményben található 63 darab feladat az elmúlt év zárthelyi dolgozatainak é vizgáinak zemelvénye. A példák végigkövetik a tantárgy elméleti tananyagát jó gyakorlái é ellen rzéi lehet éget biztoítva a különböz feladattípuokhoz. Megjegyzend ugyanakkor, hogy a kidolgozott feladatok megértééhez zükége a tananyag elméleti rézének megfelel imerete i. Külön közönet illeti meg Polgár Jáno MSc hallgatót a egédlet özeállítáában való rézvételéért, illetve Bauer Péter tudományo munkatárat a feladatgy jtemény lektorálááért. 2

4 . fejezet Dinamiku rendzerek é irányítáuk: klaziku módzerek.. Egy ki matematika Ebben a fejezetben a feladatgy jteményben található feladatok megoldáához zükége matematikai apparátu gyakorláára találunk feladatokat. A feladatok az egyoldala Laplace-tranzormáció (a továbbiakban jelz nélkül), az inverz Laplace-tranzformáció é a polinomoztá területére terjednek ki. Az el bbi két témakör rézleteebb kifejtée megtalálható [ A. függelékében. A mátrixzámítá néhány területére az említett m C. függeléke tér ki.... Laplace- é inverz Laplace-tranzformáció Adjuk meg a következ függvények Laplace-tranzformáltját (L-tranzformáltját)! A L-tranzformáció olyan integráltranzformáció, mely az id tartományi f(t) függvényhez az operátortartománybeli F () függvényt rendeli a következ képpen: F () f(t)e t dt, C.. f(t) e αt F () L{e αt } lim t [ e t(α+) (α + ) [ e t(α+) e t(α+) dt (α + ) (α + ) (α + ) α + t e αt e t dt e t(α+)..2 f(t) e αt F () L{ e αt ( } e αt ) ( e t dt e t e t(α+)) dt [ [ e t e t(α+) e t dt e t(α+) dt (α + ) [ ( ) [ ( ) e t lim e t e t(α+) lim e t(α+) t t (α + ) (α + ) [ t t [ (α + ) α + 3

5 ..3 f(t) e iωt F () L{e iωt } lim t [ e t( iω) ( iω) [ e t( iω) e t( iω) dt ( iω) ( iω) ( iω) iω t e iωt e t dt e t( iω) Határozzuk meg a következ függvények inverz Laplace-tranzformáltját(L -tranzformáltját)! Megjegyzé: F () b() alakú függvények eetén az inverz Laplace-tranzformált a Reiduum-tétel a() egítégével i kizámítható: [ n f(t) lim ( p i ) b() p i a() et, ahol a p i -k az a() polinom gyökei (azaz az a() egyenlet megoldáai)...4 F () i F (), f(t) lim p 5 ( + ), e t 5 lim 2 5 et 2 5 e 5 t 5..5 F () 2 (5 + ) F (), 4 ( + 5 ) ( + 5 ) p, p 2 5 ( f(t) lim, 4 ( + ) e t + lim + ), 4 ( ) e t e 5 t 2 ( e t) 5 4

6 ..6 F () ( ) + lim 2 ( ) p, p 2, p 3 2 [ [ ( + )( + 2) et + lim ( + ) ( + )( + 2) et f(t) lim [ ( + 2) ( + )( + 2) et 2 + ( + 2) e t ( 2 + ) e 2t 2 e t + 2 e 2t..2. Polinomoztá A következ feladatok a polinomoztá témakörébe tartoznak. A polinomoztá menete a következ : kizámítjuk az oztandó é az oztó legnagyobb kitev j tagjainak hányadoát. Ezzel az értékkel vizazorozzuk az oztót. Az így kapott eredményt kivonjuk az oztandóból. Ezután a kivoná utáni értéket tekintjük oztandónak, é ezen alkalmazzuk az el bb leírt lépéeket. Az oztá addig tart, amíg az oztandó legnagyobb kitev j tagjának fokzáma nagyobb vagy egyenl, mint az oztó legnagyobb kitev j hatványának fokzáma...7 (x 5 + x 4 x 3 2x ) : (x 2 + ). lépé: Az oztandó é az oztó legnagyobb kitev j tagjának hányadoa: x 3 (x 5 + x 4 x 3 2x ) : (x 2 + ) x 3 (x 5 + x 3 ) x 4 2x 3 2x (ez lez az új oztandó) 2. lépé: Az új oztandó é az oztó legnagyobb kitev j tagjának hányadoa: x 2 (x 4 2x 3 2x ) : (x 2 + ) x 2 (x 4 + x 2 ) 2x 3 x 2 2x (ez lez az új oztandó) 3. lépé: Az új oztandó é az oztó legnagyobb kitev j tagjának hányadoa: 2x ( 2x 3 x 2 2x ) : (x 2 + ) 2x ( 2x 3 2x) x 2 (ez lez az új oztandó) 4. lépé: Az új oztandó é az oztó legnagyobb kitev j tagjának hányadoa: 5

7 ( x 2 ) : (x 2 + ) ( x 2 ) A eredmény: x 3 + x 2 2x..8 (x 3 ) : (x ) (x 3 ) : (x ) x 2 + x + (x 3 x 2 ) x 2 (x 2 x) x (x ) Az eredmény: x 2 + x +..9 (x 4 2x 3 + 4x 2 6x + 8) : (x ) (x 4 2x 3 + 4x 2 6x + 8) : (x ) x 3 x 2 + 3x 3 (x 4 x 3 ) x 3 + 4x 2 6x + 8 ( x 3 + x 2 ) 3x 2 6x + 8 (3x 2 3x) 3x + 8 ( 3x + 3) 5 Az oztában maradék képz dött.az eredmény: x 3 x 2 + 3x x.. (x 5 2x 4 + x 3 + 7x 2 2x + ) : (x 2 2x + 2) (x 5 2x 4 + x 3 + 7x 2 2x + ) : (x 2 2x + 2) x 3 x + 5 (x 5 2x 4 + 2x 3 ) x 3 + 7x 2 2x + ( x 3 + 2x 2 2x) 5x 2 x + (5x 2 x + ) Az eredmény: x 3 x + 5 6

8 .. (2x 4 x 3 + 4x 2 + 3x + 2) : (x 2 + x + ) (2x 4 x 3 + 4x 2 + 3x + 2) : (x 2 + x + ) 2x 2 3x + 5 (2x 4 + 2x 3 + 2x 2 ) 3x 3 + 2x 2 + 3x + 2 ( 3x 3 3x 2 3x) 5x 2 + 6x + 2 (5x 2 + 5x + 5) x 3 Az oztában maradék képz dött.az eredmény: 2x 2 3x x 3 x 2 + x +.2. Rendzerek vizgálata id - é operátortartományban A következ feladatokban adott egy átviteli függvény. Adjuk meg a hozzá tartozó úly- ( w(t)) é átmeneti (v(t)) függvényt! A megoldát ábrázoljuk a jellegzete értékek felt ntetéével! A feladatokban az Y () G() U() özefüggét haználjuk! (A bemen jelek L-tranzformáltjai megtalálhatók [ 26. oldalán.).2. G() + G() + W () G() + p ( w(t) L {G() } L + lim + ) e t ( + ) e t Az eredményként kapott függvény A e t T alakú. V () G() ( + ) p, p 2 { v(t) L G() } L ( + ) lim ( + ) e t + 7

9 + lim ( + ) ( + Az eredményként kapott függvény A ( e t T ) alakú. ) e t + e t e t. Súlyfüggvény Átmeneti függvény w(t).5 v(t) T T t t.2.2. G() G() + 5 W () G() + 5 p 5 w(t) L {G() } L ( + lim + ) ( ) e t e 5 5 ( ) V () G() + p, p { v(t) L G() } L + L ( 5 + ) 5 5 t 8

10 lim ( + ) e t + 5 lim 5 ( + ) ( 5 + ) e t 5 5 e 5 5 ( e t) 5 5 t Súlyfüggvény 5 Átmeneti függvény w(t).5 v(t) T T t t.2.3 G() 5 + 3, , 7 + Megjegyzé: a máodfokú nevez polinom máodfokú tagjának együtthatóját célzer -re válaztani, ugyani a máodfokú kifejezé gyöktényez alakjában ekkor -el kell zorozni az ( p i ) tagokat. Így + 6 G() 2 + 5, alakú. W () G() ( 2 + 5, 4 + 2) p, 4, p 2 5 { } [ + 6 w(t) L {G() } L lim ( +, 4) + 5, 4 + 2,4 ( +, 4)( + 5) et + [ lim ( + 5) 5 ( +, 4)( + 5), et e,4t , , 4 e 5t v(t) L {, 435 e,4t + 9, 565 e 5t V () G() ( 2 + 5, 4 + 2) p, p 2, 4, p 3 5 G() } L { + 6 ( 2 + 5, 4 + 2) } lim [ + 6 ( +, 4)( + 5) et + 9

11 + lim,4 3 + [ ( +, 4) [ + 6 ( +, 4)( + 5) + 6 et + lim ( + 5) 5 ( +, 4)( + 5) et (, 4) + 6, 4 (, 4 + 5) ( 5) + 6 e,4t + 5 ( 5 +, 4) e 5t 3, 8 e,4t, 92 e 5t Súlyfüggvény 3 Átmeneti függvény w(t) 5 v(t) t t.2.4 G() lim 5 W () G() p, p 2 5 { } [ w(t) L {G() } L 2 lim ( + ) [ ( + 5) ( + )( + 5) et ( + )( + 5) et e t e 5t, 5 e t + 5, 5 e 5t Súlyfüggvény 4 3 w(t) t

12 v(t) L { + lim V () G() ( ) p, p 2, p 3 5 [ G() ( + ) } { } L ( ) [ ( + )( + 5) et + lim 5 lim [ ( + 5) ( + )( + 5) et ( + )( + 5) et e t ( 4) e 5t e t, e 5t +.9 Átmeneti függvény v(t) t A továbbiakban az.2 é.3 fejezetben analóg villamo áramköröket é mechanikai özeállítáokat vizgálunk. A következ kben néhány általáno érvény megállapítát tezünk a fejezetek feladataira vonatkozóan. Analóg villamo áramkörök vizgálata eetén az átviteli függvénybe az operátoro impedanciákat kell behelyetteíteni: R helyére R kerül, C helyére C kerül, L helyére pedig L kerül. A példákban pazív é aktív négypóluok vielkedéét vizgáljuk. A pazív négypóluokban cak pazív elemek (ellenállá, kondenzátor, induktivitá) találhatók, míg az aktívakban m veleti er ít i zerepel. Pazív négypóluok eetén az átviteli függvényt a következ képpen lehet felírni: G() Z ki Z be, ahol Z ki a kimeneti impedancia (az az impedancia, amit a négypólu kimeneti oldaláról betekintve látunk), Z be pedig a bemeneti impedancia (az az impedancia, amit a négypólu bemeneti oldaláról betekintve látunk). Az elmondottakat ábra i zemlélteti. Aktív négypóluok eetén az átviteli függvényt a következ képpen kell felírni: G() Z v Z be, ahol Z v a vizacatolái impedancia (az az impedancia, ami a vizacatoló ágban van), Z be

13 pedig a bemeneti impedancia (az az impedancia, ami a négypólu bemenetén van). Az elmondottakat ábra i zemlélteti. Mechanikai rendzerekre vonatkozó megjegyzéek:. Ha az átviteli függvény nevez je máodfokú, akkor hozzuk a függvényt olyan alakra, hogy ezen máodfokú tag együtthatója legyen. 2. A feladatokban vázolt rendzerekben található cillapítókamrák vielkedéére a Rayleigh-féle dizipáció igaz. Így az egyenletekben zinte ugyanazt kell felírni, mint a rugók eetében, de a cillapítá nem a távolágtól, hanem annak id zerinti deriváltjától, a ebeégt l függ. 3. A feladatokban er egyenúlyi egyenleteket írunk fel. Mindenütt adott egy y elmozdulá kimenet, erre a kimenetre írjuk fel az er egyenúlyt Newton II. axiómája zerint (F m a m ÿ, ahol m a tömeget, a, ill. ÿ a gyorulát jelöli). 4. Megállapodá zerint az id tartományi változókat kibet vel, az operátortartománybelieket pedig nagybet vel jelöljük. 5. [2 é a mérnöki gyakorlat zerint a rugóban ébred er F y, ahol a rugómerevég, y pedig a rugó hozváltozáa. A mértékegyég: [ N m. A rugómerevég reciproka a rugóállandó, melyet c-vel jelölünk; [c m N. Mindezek ellenére a következ feladatokban a rugómerevég c-vel van jelölve, mivel C a Laplace-operátor..2.5 Adott az alábbi négypólu. Határozzuk meg a rendzer úly- é átmeneti függvényét! R kω, R 2 5kΩ, C 2µF, w(t)?, v(t)? G() Z ki Z be R 2 R 2 + R C R 2 + R 2 R C R C + C R R 2 C + R 2 R R 2 C + R + R 2 R 2 + R 2 R R C + 5(, 2 + ) 6(, 67 + ) R 2 R R 2 C + R + R 2 R C + A L -tranzformációt cak akkor lehet elvégezni, ha a zámláló fokzáma kiebb, mint a nevez é. Az ilyen alakú függvény el állítáa például polinomoztáal történhet. 2

14 5 G() W () G() p 6 { w(t) L {G() } L } { } L {} L [ δ(t) lim ( + 6) et δ(t) e 6t V () G() ( + 6) p, p 2 6 { v(t) L G() } { } { } L L ( + 6) (t) + lim 6 [ { lim [ ( + 6) e 3 ( + 6) et ( + 6) et 5 3 t + } Súlyfüggvény Átmeneti függvény w(t) 5 v(t) ,7 t T,7 t x 3 3

15 .2.6 Adjuk meg a rendzer átviteli függvényét! mÿ c(u y) + k( u ẏ) mÿ + cy + kẏ cu + k u Térjünk át operátortartományba. m 2 Y + ky + cy ku + cu (m 2 + k + c)y (k + c)u G Y () U() k + c m 2 + k + c.2.7 Adjuk meg a rendzer átviteli függvényét! c 3 N m, c 2 2 N m,, k N m A rendzer vielkedée egy egyenlettel nem írható le, ezért bevezetjük a z imeretlent az ábrán látható módon. kż c 2 (y z) c (u y) c 2 (y z) kz c 2 Y c 2 Z c U c Y c 2 Y c 2 Z Z c 2Y k + c 2 c2 2Y c U c Y c 2 Y k + c 2 (kc + c c 2 )U (kc + c c 2 + kc 2 + c 2 2 c 2 2)Y G() Y () U() kc + c c k(c + c 2 ) + c c

16 .2.8. Számítuk ki é ábrázoljuk a rendzer úly- é átmeneti függvényét! k 5 N m, c 2 N m, c 2 3 N m c 2 y c (u y) + k( u ẏ) c 2 Y c U c Y + ku ky (c + c 2 + k)y (c + k)u G() Y () U() c + k c + c 2 + k W () G() + p 3 w(t) L {G() } L {} L 5 + δ(t) lim ( + ) ( ) e t δ(t) 3 5 e t delta(t) Súlyfüggvény w(t) T t 5

17 (t) ( + ) ( + ) ( V () G() p, p 2 { v(t) L G() } { } 3 L L ( 5 + ) 3 3 lim 5 ) e t ( e t + lim + ) e t Átmeneti függvény.9.8 v(t) T t.2.9 Határozzuk meg az alábbi rendzer átviteli, úly- é átmeneti függvényét! c 4 N m, k N m, k 2 2 N m Bevezetjük a z egédváltozót. 6

18 G() Y () U() cz k (ẏ ż) k (ẏ ż) k 2 ( u ẏ) cz k Y k Z k Y k Z k 2 U k 2 Y Z k Y c + k k Y k Y k k + c k 2U k 2 Y ( ) Y k + k 2 k2 2 k 2 U k + c k 2 k + k 2 (k ) 2 c + k k k 2 + ck 2 k k 2 + c(k + k 2 ) W () G() k k ck 2 k ck + k k ck 2 k p 6 { w(t) L {G() } L 2 } { } 2 L {} L [ 2 δ(t) lim ( + 6) et δ(t) 2 e 6t Súlyfüggvény delta(t) w(t) T, t 7

19 (t) V () G() ( + 6) p, p 2 6 v(t) L { { lim [ G() 2 ( + 6) et } { } { } 2 L L ( + 6) [ } 2 + lim ( + 6) 6 ( + 6) et e 6t Átmeneti függvény v(t) T,67 t.2. Az alábbi adatok imeretében határozzuk meg c értékét, é írjuk fel a rendzer átviteli, úly- é átmeneti függvényét! c 2 3 N m, k 35N, v(t ), 6 m c 2 y c (u y) + k( u ẏ) c 2 Y c U c Y + ku ky G() Y () U() k + c k + c + c 2 A feladat megoldáához az egyik határértéktételt haználjuk. Lád [ 258. oldal Általánoan: A feladatra vonatkoztatva: lim y(t) lim Y () t ( lim v(t) lim t G() ) 8

20 35 + c lim v(t) lim G() lim t 35 + c + 3 c c + 3, 6 adott c 4, 5 N m , 5 G() , 5 3, , 5 +, 24 W () G() +, 24 p, 24 { } { } w(t) L {G() } L, 86, 86 L {} L +, 24 +, 24 [, 86 δ(t) lim ( +, 24),24 ( +, 24) et δ(t), 86 e,24t Súlyfüggvény delta(t) w(t) T4, t V () G() ( +, 24) p, p 2, 24 { v(t) L G() } { } { } { } L, 86, 86 L L ( +, 24) ( +, 24) (t) { lim [, 86 ( +, 24) et + lim,24 [ ( +, 24), 86 ( +, 24) et (t) (, 4, 4 e,24t ), 599 +, 4 e,24t } 9

21 Átmeneti függvény v(t) T4, t.2. Mekkora k értéke, ha ξ, 2? Határozzuk meg a rendzer úly- é átmeneti függvényét! c 2 N m, c 2 3 N m, m 2kg mÿ c (u y) + k( u ẏ) c 2 y m 2 Y c U c Y + ku ky c 2 Y G() Y () U() k + c m 2 + k + c + c 2 k + c c + c 2 c + c 2 m c + c A nevez T T ξ + alakú. T 2 m T 2 c + c 2 2T ξ k k 24 N c + c 2 m, 2 +, G() 2 +, 2 +, 25 W () G() k c + c , 2 +, 25, 27, 2, 93 { } w(t) L {G() } L, 2 +, ( +, 27)( +, 93) [, 2 +, lim ( +, 27),27 ( +, 27)( +, 93) et + [, 2 +, + lim ( +, 93),93 ( +, 27)( +, 93) et, 34 e,27t +, 54 e,93t 2

22 .2 Súlyfüggvény.8.6 w(t) t v(t) L { + lim,27 [ V () G() ( 2 +, 2 +, 25) p, p 2, 27, p 3, 93 G() ( +, 27) } { } L, 2 +, ( 2 +, 2 +, 25), 2 +, ( +, 27)( +, 93) et + lim,93 lim [ [ ( +, 93), 2 +, ( +, 27)( +, 93) et +, 2 +, ( +, 27)( +, 93) et,, 27, 93 +, 27, 2 +,, 27 (, 27 +, 93), 93, 2 +, e,27t +, 93 (, 93 +, 27) e,93t, 4 +, 256 e,27t, 656 e,93t.9 Átmeneti függvény v(t) t 2

23 .2.2 Határozzuk meg k értékét, ha az y é y 2 pontok egyégugrá bemenet eetén 2 múlva kerülnek egymá mellé! c 2 N m, c 2 3 N m, c 2 3 N m, c 22 2 N m G G G 2 v(t) L { ( A bal oldalra: c 2 y c (u y ) + k( u ẏ ) c 2 Y c U c Y + ku ky G () Y () U() k + c k + c + c 2 A jobb oldalra: c 22 y 2 c 2 (u y 2 ) c 22 Y 2 c 2 U c 2 Y 2 G 2 () Y 2() U() c 2 c 2 + c 22 A rendzer kimenete: y y y 2 k + c k + c + c 2 ) V () G() c 2 2k 5 c 2 + c 22 5k k + 5 k + 5, 2 5 k k 2 L 5 2 ( k + 5 ) lim 5 k ( k + 5 ) e t + k ( + 5 ) 2 5 k ( k + 5 ) e t e 5 k t k G() } + lim 5 k v(t) y(t) e 5 k 2 Mivel a kiírá zerint egymá mellé kerülnek, így a két pont elmozduláának különbége. k 9, N m 22

24 .3. Rendzerek vizgálata frekvenciatartományban A további feladatok megoldáa el tt célzer áttanulmányozni a [3 dokumentumot az alaptagok tulajdonágairól. Jelen feladatgy jteményben az ábrákon a(z) (alap)tagok ponto Bodediagramjai zerepelnek. A feladatok megoldáa orán elegend a töréponto közelítét felrajzolni. Ehhez adnak támpontot az ábrákon bejelölt meredekég- é törépontértékek. Megjegyzé: - Bode-diagram felrajzoláához az átviteli függvényt alaptagok zorzatára bontjuk fel. - Nyquit-diagram felrajzoláához az átviteli függvényt alaptagok özegére bontjuk fel..3. Határozzuk meg az alábbi négypólu átviteli függvényét! Rajzoljuk fel a Nyquit- é Bode-diagramot! G() Z ki Z be R 4MΩ, C, 5µF C RC + C A kapott átviteli függvény egy TP-tag átviteli függvénye. RC Nyquit diagram ω ω Im ω Re 23

25 Bode Diagram Magnitude (db) db/dek 45 5,5 Phae (deg) fok/dek Frequency (rad/ec).3.2 Adjuk meg az alábbi négypólu átviteli függvényét, Nyquit- é Bode-diagramját! R Ω, R 2, Ω, C F, L H Megjegyzé: A diagramok felrajzoláa el tt az átviteli függvény alaptagjait mindig id állandó alakra kell hozni. G() Z ki Z be R 2 C R 2 + C R 2 C R R L R + L C R 2 R 2 C + R 2 R 2 C + + R L R + L, +, + + +,,

26 Nyquit diagram ω ω Im ω Re Bode Diagram 2 Magnitude (db) db/dek 5 6 7, Phae (deg) fok/dek Frequency (rad/ec) 25

27 .3.3 Rajzoljuk fel az alábbi négypólu Nyquit- é Bode-diagramját! R 7kΩ, R 2 3kΩ, C µf G() Z ki Z be R 2 R 2 + R C R 2 R R 2 + R 2 + C R C + C R R 2 C + R 2 R R 2 C + R + R 2 R 2 R R C R 2 R R 2 C + R + R 2 R C + G(iω) 2iω + 3 2iω +, 2iω, 2iω + +, 3, 2iω + Az átviteli függvényb l egy TD é egy TP-tag átviteli függvényének özegét kaptuk. felrajzoláához ki kell zámítani az ω arok-körfrekvenciához tartozó értéket i. A diagram TD: TP: G(iω ) A d 2T + i Ad, 5 +, 5i 2T G(iω ) A 2 i A, 5, 5i Nyquit diagram ω TP+TD TD TP ω.3.2 Im. ω ω ω ω ω ω. ω Re 26

28 2 + 3 G() 2 +, 3 (, 7 + ), 2 + TP PD TP Bode Diagram 2 4 Magnitude (db) lg,3 +2 db/dek ,86 476,9 3 Phae (deg) 2 fok/dek +45 fok/dek 45 fok/dek Frequency (rad/ec).3.4 Határozzuk meg R é R 2 értékét az alábbi kapcolában! Határozzuk meg a rendzer tatiku körer ítéét (t) bemen jelre é a rendzer G(iω) frekvenciafüggvényét! Ábrázoljuk a tag Nyquit- é Bode-diagramját! R 2 R 2, L 4H, T 2 27

29 G() Z v Z be R R 2 R + R 2 L + R R 2 R + R 2 L R + T L R R L T 2Ω, R 2 2 R 4Ω lim G() lim G() R 2 R + R 2 R 2 A 2 R + R G(iω) 3 2iω + Nyquit diagram ω ω.5..5 Im ω Re 28

30 Bode Diagram Magnitude (db) db/dek 45 5,5 Phae (deg) fok/dek Frequency (rad/ec).3.5 Határozzuk meg az alábbi négypólu átviteli függvényét! Mekkora C értéke, ha a kapcolá id állandója? Ábrázoljuk a rendzer Nyquit- é Bode-diagramját! 75 R 5kΩ, R 2 kω G() Z R v 2 C Z be R R 2 C R 2 + C R R 2 C R 2 C + C R R 2 R R 2 C + R 2 4 C + A rendzer egy TP taggal modellezhet, melynek átviteli függvénye: G() G() T 4 C 75 C, 3µF 2, A T + 29

31 ω Nyquit diagram ω Im ω Re Bode Diagram Magnitude (db) db/dek Phae (deg) fok/dek Frequency (rad/ec).3.6 Határozzuk meg R 2, C, C 2 értékét, ha v(t ) 5, v(t ) 2 é T 3! Írjuk fel a négypólu átviteli függvényét, frekvenciafüggvényét! Rajzoljuk fel a Nyquit- é Bode-diagramokat! R MΩ 3

32 G() Z R 2 v C 2 Z be R C R 2 C 2 R 2 + C 2 R C R + C v(t) L { R 2 R 2 C 2 + R R 2 C + R 2 R 2 (R C + ) R R R 2 C 2 + R R R C + TP PD TP G() V () G() } { L R2 R } R C + (R 2 C 2 + ) R (R 2 C 2 + ) p, p 2 R 2 C [ 2 v(t) lim R2 R C + R (R 2 C 2 + ) et + + lim R 2 C 2 ( + R 2 C 2 ) R2 R C + ( R R 2 C 2 + R ( 2 C + R ) 2 e R 2 C t 2 R C 2 R v(t ) C C 2 5 v(t ) R 2 R 2 R 2 2 R 2MΩ T R 2 C 2 3 C 2, 5µF C 5 C 2 7, 5µF R 2 C 2 ) e t 7, 5 + G() , 5iω + G(iω) 2 3iω + G() G() 2 (7, 5 + ) 3 + Megjegyzé: a feladat a határértéktétellel i megoldható: lim v(t) lim V () lim G() C 5 t C 2 lim v(t) lim G() R 2 2 t R R 2 2MΩ R 2 C 2 3 C 2, 5µF C 7, 5µF R 2 C 2 + 3

33 2.5 2 Nyquit diagram ω TD+TP TD TP.5 ω Im.5 ω ω ω ω ω ω.5 ω Re Bode Diagram 4 3 Magnitude (db) db/dek 8 2 lg ,33,33 25 Phae (deg) 2 5 fok/dek +45 fok/dek 45 fok/dek Frequency (rad/ec) 32

34 .3.7 Rajzoljuk fel a rendzer Bode-diagramját! m 2kg, k 2 N m, c 6 N m, c 2 4 N m mÿ c 2 (u y) kẏ c y m 2 Y c 2 U c 2 Y ky c Y G() Y () U() c 2 2 m 2 + k + c + c ( + )( + 5) 2 + ( ) TP TP 5 + TP Bode Diagram 2 lg,4 2 2 db/dek Magnitude (db) db/dek 2 5 Phae (deg) fok/dek 9fok/dek fok/dek Frequency (rad/ec).3.8 Adott az alábbi mechanikai elrendezé. Határozzuk meg a G() átviteli függvényt! Mekkora k cillapítá eetén lez a rendzer az aperiodiku határhelyzetben? Növeljük meg az aperiodiku határhelyzethez tartozó cillapító értékét,5-zereére! Rajzoljuk fel a tag Bode-diagramját az új cillapítáal! c 5 N m, c 2 N m, m 4kg A rendzer aperiodiku határhelyzetben van, ha ξ. 33

35 mÿ c 2 (u y) kẏ c y m 2 Y c 2 (U Y ) ky c Y G() Y () U() c 2 m 2 + k + c + c 2 T 2 m c + c A nevez T ξT + alakú. c 2 c + c 2 m c + c 2, 27 T, 52 k 2ξT c + c 2 k 2ξT (c + c 2 ) 2, , 6 N m G() , k, 5 k, 5 5, 6 23, 5 N m G () , k c + c , p 5, 72, p 2, 7328 G (), 667, 957 +, TP TP TP Bode Diagram 2 lg, db/dek Magnitude (db) db/dek 2,73 5,2 Phae (deg) fok/dek 9 fok/dek fok/dek 8 2 Frequency (rad/ec)

36 .4. Soro kompenzálá Fonto megjegyzé: Jelen feladatgy jteményben a diagramokon az alaptagok ponto Bode-diagramja zerepel. A feladatok papíron történ megoldáakor cak az azimptotákat kell felrajzolni.emiatt az eltolá nagyága nagy valózín éggel el fog térni az itt közöltekt l. A legfontoabb a feladatok megoldáában a helye elv alkalmazáa. (Nagy eltéré akkor keletkezik, ha az adott fázitartalékhoz tartozó amplitudó diagrammetzék a törépont közelében van.).4. Alakítuk át az alábbi átviteli függvényt alaptagok zorzatára, majd ábrázoljuk a Bode-diagramot! G() 5, , TI TP TP Bode Diagram 5 2 db/dek Magnitude (db) 5 4 db/dek db/dek telje TI TP TP 45 9 Phae (deg) fok/dek fok/dek 45 fok/dek Frequency (rad/ec) 35

37 .4.2 Tervezzünk oro arányo kompenzátort lin-log papíron a következ rendzerre! r e u y 5 - A G() 5 G() ϕ t A eetén G H () G() , TI TP TP 5 Bode Diagram 2 db/dek 4 db/dek Magnitude (db) 5 6 db/dek fok 45 fok/dek Phae (deg) 8 9 fok/dek fok/dek Frequency (rad/ec) X 7, 5 (lefelé kell tolni) 2 lg A X 2 lg A 7, 5 A, 42 36

38 A oro arányo kompenzátor er ítée, Tervezzünk jelkövetét é 3 -o fázitartalékot biztoító oro kompenzátort a következ rendzerre! r e u y AI G() A jelköveté cak akkor valóul meg, ha a felnyitott hurok integráló tulajdonágú, vagy a nem integráló típuú rendzert integráló tulajdonágú zabályozóval látjuk el. A példában adott rendzer nem integráló. El zör bizonyítjuk, hogy arányo kompenzátort alkalmazva nem teljeül a jelköveté. Y () G() C() + G() C() R() A eetén G() G H () A A eetén: A R() A Határértéktétel: lim y(t) lim G() t u(t) (t) eetén U(), Y () G() lim 5A A R() G z() R() 5A 2 + 5A R() G z() lim 5A 2 + 5A A R, A Így ebben az eetben nem teljeülhet a jelköveté. Integráló tulajdonágú kontrollert alkalmazva: Y () G() C() + G() C() R() C A I eetén: AI 5A I AI A I 37

39 lim G H () G() C() 5A I A I R() R() Ebben az eetben teljeül a jelköveté. A fázitartalék biztoítáa: AI 5 ( ) A I A eetre a feladat megoldáa az.4.2-eel egyezik meg. Megjegyzé: integráló kompenzátor alkalmazáa eetén a C() nevez jében lév -et hozzáírjuk a felnyitott hurok átviteli függvényéhez, é ezt tekintjük a továbbiakban G()-nek, így a feladatot vizavezettük oro arányo kompenzátor kereéére. G() A I eetén G H () G() , TI TP TP 5 Bode Diagram 2 db/dek 4 db/dek Magnitude (db) 5 6 db/dek fok 45 fok/dek Phae (deg) 8 9 fok/dek fok/dek Frequency (rad/ec) X 7, 5 (lefelé kell tolni) 2 lg A I X 2 lg A I 7, 5 A I, 42 38

40 A oro arányo kompenzátor er ítée, Minimum 3 -o fázitartalék biztoítáához melyik kompenzátort kell haználni az alább megadott rendzerre? r e u, y - A 2 +,2+, (+) G() G(), ( + )( 2 +, 2 +, ) A feladatot általánoan oldjuk meg. A kompenzátort alkalmazva:, ( + )( 2 +, 2 +, ) A, A 2, TI TP TP TP Bode Diagram Magnitude (db) db/dek 6 db/dek 8 db/dek / 5 fok Phae (deg) fok/dek 35 fok/dek 45 fok/dek Frequency (rad/ec) 39

41 X 44 (lefelé kell tolni) 2 lg A X 2 lg A 44 A, 63 Az A 2 kompenzátort kell haználni, cak ezzel biztoítható az adott fázitartalék..4.5 Tervezzünk 3 -o fázitartalékot biztoító oro integráló kompenzátort az ábrán látható rendzerre! r e u 2 y A - I,2+,,+ G H (), 2A I A I eetben: G H (), 2 G H (), 2, 2 +, +, 2 +, 2 +, + TI TP TP, + X 28, 6 (felfelé kell tolni) 2 lg A X 2 lg A 28, 6 A 26, 92 4

42 Bode Diagram 5 4 db/dek 2 db/dek Magnitude (db) 5 6 db/dek fok/dek Phae (deg) fok/dek 45 fok/dek 27 2 Frequency (rad/ec) Tervezzünk oro integráló kompenzátort, amely biztoítja a ϕ t 3 -o fázitartalékot! Mekkora a T z zabályozái id? Határozzuk meg y( ) értékét, ha r 2! Mekkora állandóult állapotban az e zabályozái eltéré? r e A I u 6,25 y ,2,+ G H () A I p, 5, p 2, 6, 25 2( +, 5)( +, ) G H (), 25, 2, +, 25A I (2 + )( + )(, + ) A I eetben: 2 + +, + TI TP TP TP 4

43 Bode Diagram 5 Magnitude (db) 5 5 2dB/dek 4dB/dek 6dB/dek / /2 5 fok 45 fok/dek Phae (deg) fok/dek 45 fok/dek Frequency (rad/ec) X 7, 4 (lefelé kell tolni) 2 lg A X 2 lg A 7, 4 A, 35 A vágái körfrekvencia: ω c, Ebb l a zabályozái id : π T z 3π ω c ω c 28, 56 T z 85, 68 A zabályozott rendzer integráló tulajdonágú, így a jelköveté biztoított, azaz e Tudjuk, hogy ha t, akkor é r 2. lim, 2, +, 2, így e r, 2y A kimenet az állandóult állapotban: y 42

44 .4.7 Tervezzünk oro integráló kompenzátort, amely biztoítja a ϕ t 3 -o fázitartalékot! Mekkora a T z zabályozái id? Határozzuk meg y( ) értékét, ha r 2! Mekkora állandóult állapotban az e zabályozái eltéré? r e A u y I, G H () A I 2 5 ( +, 25), 4 + 4, A I eetben: G H (), 2 ( +, 25), 4 +, 75 + TI PD TP TP 5 Bode Diagram 4 db/dek 6 db/dek Magnitude (db) 5 2 db/dek 4 db/dek 9,3 2,5 4 Phae (deg) fok/dek 9 fok/dek 45 fok/dek fok/dek +45 fok/dek Frequency (rad/ec) 43

45 X 29, 5 (felfelé kell tolni) 2 lg A X 2 lg A 29, 5 A 29, 85 A vágái körfrekvencia: ω c 2, 5 Ebb l a zabályozái id : π ω c T z 3π ω c, 26 < T z < 3, 77 Ez a rendzer i integráló tulajdonágú, így e. e r 2y Felhaználva, hogy r 2, y.4.8 Tervezzünk oro arányo kompenzátort a megadott rendzerre, amely ϕ t 45 -o fázitartalékot biztoít! Határozzuk meg az állandóult állapotbeli hibát (e ), ha r 2! r e u 5,84 y - A, , ,362+ G H () A G H () 3, , 84, , , A eetben, , TP TP TP TP 44

46 Bode Diagram 5 2 db/dek Magnitude (db) 5 4 db/dek 6 db/dek 5 3,63 3, fok/dek Phae (deg) fok 9 fok/dek 35 fok/dek 9 fok/dek 45 fok/dek 27 2 Frequency (rad/ec) 2 3 X, (lefelé kell tolni) 2 lg A X 2 lg A, A, 28 Az állandóult állapotot mutatja a következ ábra: y, 28 5, 84 e 4, 427e e r 2y r 8, 854e 9, 854e 2 e, 23 45

47 .4.9 Tervezzünk olyan oro integráló kompenzátort az alábbi rendzerhez, mely biztoítja a 45 -o fázitartalékot! Határozzuk meg a T z zabályozái id t é y értékét, ha r8! r e A u 5 y - I A bel ki kör átviteli függvénye: Ḡ() G H () A I 5 + A I eetén: G H () TI TP TP Bode Diagram 5 2 db/dek 4 db/dek Magnitude (db) 5 6 db/dek fok 45 fok/dek Phae (deg) fok/dek 45 fok/dek 27 2 Frequency (rad/ec)

48 X (felfelé kell tolni) 2 lg A X 2 lg A A, 2 ω c, 3 π T z 3π ω c ω c 2, 42 T z 7, 25 A rendzer integráló tulajdonágú, így e e r 2y y 4.5. Robuztu tabilitá.5. Adjuk meg az additív é multiplikatív hibafüggvényeket, ábrázoljuk i ket! G() A T T +, G N () A T +, A, T A () G() G N () additív hiba: G() G N () + A () ( + ) TD TP TP M () G() G N () G N () multiplikatív hiba: G() G N () ( + M ()) ( + ) TD + TP 47

49 Bode Diagram db/dek delta A delta M 2 2 db/dek Magnitude (db) db/dek Frequency (rad/ec) 2 Megjegyzé: a A d tag amplitudó diagramja ugyanúgy -nél metzi a db-e tengelyt +2 db A d dek meredekéggel, mint az A d -é, de fáziforgatáa +27 minden frekvencián..5.2 Állapítuk meg, hogy a C arányo oro kompenzátor robuztuan tabilizál-e! C mely értékeire lez a zabályozó robuztuan 9 tabil? T N (), ( + ) G N 9 + d M A multiplikatív robuztuági tezt:, 362( + ), + d M (ω) > G HN (iω) + G HN (iω), + d M (), 362( + ), 362 (, + ) + G HN() + G HN () C()G N() + C()G N () TP PD TP, ( + ) , ( + ) 9 + ( + ) 5 + TP PD TP 48

50 Bode Diagram /dm TN 5 2dB/dek Magnitude (db) dB/dek A d M (ω) > robuztuan. 5 2 Frequency (rad/ec) 2 G HN (iω) + G HN (iω) egyenl tlenég nem teljeül, így a C 9 kompenzátor nem tabilizál A C értékének meghatározáához az d M () é a T N() függvények határértékeit kell megvizgálnunk. A határértéket vagy a -ban, vagy -ben vizgáljuk. Ahhoz, hogy a zabályozó robuztuan tabilizáljon, az d M () > T N() feltételnek teljeülnie kell. A feltétel teljeül, ha az függvény abzolut d M () minimuma nagyobb, mint a T N () függvény abzolut maximuma. A határértékét azerint kell -ban illetve -ben vizgálnunk, hogy merre van az d M () minimuma ill. T N() maximuma. Ugyanez az elv az additív robuztuági tezt eetén i. lim d M () lim, +, 362( + ) lim, 362, + ( + ), 363, ( + ) C lim T N () lim 9 +, ( + ) + C 9 + C, 363 > 9 + C C <, 54 C 9 C + A fenti eetben teljeül a robuztu tabilitá a konzervatív feltétel zerint multiplikatív hiba eetén. 49

51 .5.3 Állapítuk meg, hogy robuztuan tabilizál-e a C 2, 5 oro arányo kompenzátor? Mekkora legyen C értéke, hogy robuztu tabilitái tezt teljeüljön? G N () 2 d A () 3 +, + Az additív robuztuági tezt: d A (ω) > C(iω) + G HN (iω), + (, + ) d A () PD TI C() + G HN () C() + C()G N () 2, , 5 6 (3 + ) 2 + TP PD TP Bode Diagram 25 /da C/(+GHN) 2 5 Magnitude (db) db/dek 2 db/dek 5 Az d A (ω) > robuztuan. /3 2 2 Frequency (rad/ec) 2 C(iω) feltétel nem teljeül, így a C 2, 5 oro kompenzátor nem tabilizál + G HN (iω) lim lim d A () lim, +, C() + G HN () lim, > C C + C C A fenti eetben teljeül a robuztu tabilitá a konzervatív feltétel zerint additív hiba eetén. 5

52 .5.4 M, eetén robuztuan tabil-e az alábbi rendzer? M mely értékeire lez robuztuan tabil? G N () 8 M (, 2 + ) C 2 d M () + 4, 2 + A multiplikatív robuztuági tezt: d M (ω) > G HN (iω) + G HN (iω) Az M, értéket felhaználva:, 2 + d M (), (, 2 + ) (, 2 + ), 2 + TP PD TP T N () C()G N ( + C()G N () Bode Diagram 2 2 db/dek /dm TN Magnitude (db) db/dek 4 5 Az d M (ω) > tabilizál Frequency (rad/ec) 3 4 G HN (iω) feltétel teljeül, így M, eetén a C 2 oro kompenzátor robuztuan + G HN (iω) lim lim T 6 N () lim d M () lim, 2 + M (, 2 + ), M, M > 6 2 M <, 25 A fenti eetben teljeül a robuztu tabilitá a konzervatív feltétel zerint multiplikatív hiba eetén. 5

53 .5.5 Mely C értékekre lez robuztuan tabil a rendzer? G N () 3 d M () d A () +, +, + Multiplikatív hibára: A multiplikatív robuztuági tezt: d M (ω) >, + (, + ) d M () PD G HN (iω) + G HN (iω) TI T N () C()G N ( + C()G N () 3C + + 3C + 3C + + 3C 3C + + 3C A feladatban a ponto Bode amplitudó diagramok nem imertek, azonban az alakjuk meghatározható, é a határértékek kizámítáához ennyi i elég. TP TP lim T N () lim lim d M () lim 3C + + 3C, + 3C + 3C,, > 3C + 3C 27 > C A fenti eetben teljeül a robuztu tabilitá a konzervatív feltétel zerint multiplikatív hibára. C() + C()G N () C Additív hibára: Az additív robuztuági tezt: + 3C + d A (ω) >, + (, + ) d A () C + C + + 3C PD C(iω) + G HN (iω) TI C ( ) + 3C + + 3C + TP PD TP 52

54 lim lim d A () lim, +, C() + C()G N () lim, > C C + C + + 3C C A fenti eetben teljeül a robuztu tabilitá a konzervatív feltétel zerint additív hibára..5.6 Adott egy névlege rendzer G N, valamint imert a multiplikatív hiba nagyága:, 2 +, , 5 M, 5 2 Írjuk fel a G() való rendzer átviteli függvényét! Vizgáljuk meg, hogy +, 5 + a C 2 oro arányo kompenzátor robuztuan tabilizálja-e a zárt kört! Adjuk meg azon kompenzátorok halmazát, melyek robuztuan tabilizálnak! G() G N ()( + M ()) (, 2 + +, ) 252 +, 5, 5 2 +, 5 +, 2 +, 52 +, 5 + +, , 5, 5 2 +, 5 +, 2 +, 3 2 +, 55 +, 5 2 +, 5 +, 3 2 +, 55 +, 3 +, 2 2 +, 2 +, 5 2 +, 5 +, 3 2 +, 55 +, 3 +, , 25 + A multiplikatív robuztuági tezt: d M (ω) > G HN (iω) + G HN (iω) d M (), 52 +, 5 +, 25 2 ( + ) (, 5 + ) +, 5, 5, 5 + PD PD TI TP G HN () + G HN () C()G 2 N() + C()G N (), , 2 + 2, TP 53

55 Bode Diagram 3 /dm TN 2 2 db/dek db/dek 2 db/dek Magnitude (db) db/dek Frequency (rad/ec) 2 3 Az d M (ω) > robuztuan. G HN (iω) + G HN (iω) feltétel nem teljeül, így a C 2 oro kompenzátor nem tabilizál lim C()G N () + C()G N () C, C C()G N () + C()G N () lim lim C, C C + C d M () lim, 5 2 +, 5 +, 25 2, 2 +, 5 C + C <, 2 C <, 25 A fenti eetben teljeül a robuztu tabilitá. 54

56 2. fejezet Bevezeté az állapottér-elméletbe 2.. Állapottér-reprezentációk tulajdonágai, kapcolata A fejezetben zerepl feladatok megoldáa el tt célzer áttanulmányozni [ 4. é 5. fejezetét, melyben példákat i találunk az állapotváltozók megválaztáára. 2.. Állapítuk meg, hogy egy 2 dimenzió diagonáli állapottér-reprezentációval adott rendzer mikor irányítható, é mikor meggyelhet! [ λ ẋ x + λ 2 y [ x + u [ r r 2 a) Az irányíthatóág vizgálata C 2 [ b d A d b d [ [ [ λ r λ r A d b d λ 2 r 2 λ 2 r 2 [ r λ C 2 r r 2 λ 2 r 2 rangc 2 2, ha detc 2, azaz a mátrix nem zingulári detc 2 r λ r r 2 r 2 λ 2 (λ 2 λ )r r 2 rangc 2 2 ha r r 2 λ λ 2 b) A meggyelhet ég vizgálata [ c T O 2 c T A c T A [ [ λ [ λ λ λ 2 2 [ O 2 λ λ 2 rango 2 2, ha deto 2, azaz ha a mátrix nem zingulári deto 2 λ λ 2 λ 2 λ A rendzer akkor é cak akkor meggyelhet, ha λ λ 2 55

57 2..2 Adott egy rendzer az alábbi állapottér-reprezentációval. A b c T [ 2 4 a) Állapítuk meg, hogy a rendzer minimál reprezentáció-e? A rendzer minimál reprezentáció, ha egyzerre irányítható é meggyelhet. Az irányíthatóági mátrix 3-dimenzió mátrixokra: C 3 [ b Ab A 2 b Ab A 2 b C telje rangú 4 8 A meggyelhet égi mátrix 3-dimenzió mátrixokra: O 3 c T A c T A 2 c T A [ [ 2 4 c T A 2 [ [ 2 4 O 3 telje rangú c T Az állapottér-reprezentáció irányítható é meggyelhet, ezért minimál reprezentáció. b) Írjuk fel a rendzer átviteli függvényét! G() c T (I A) b (I A) G() [

58 c) Állítuk el az irányíthatóági alakot, é ábrázoljuk a blokkdiagramját! A tranzformáció mátrix: T c [C 3 (A, b) τ(a) A C 3 mátrixot már meghatároztuk az a) pontban. 4 3 τ(a) T c A c T c ATc 2 4 b c T c b c T c c T Tc [ [ Megjegyzé: a blokkémát könnyebb felrajzolni, ha a mátrixo formából el állítjuk az egyenleteket x ẋ x 2 + u x 3 y [ ẋ 4x + 3x 2 + 5x 3 + u ẋ 2 x ẋ 3 x 2 y x 3 x x 2 x 3 d) Állítuk el a diagonáli alakot, é ábrázoljuk a blokkdiagramját! 57

59 A tranzformáció mátrix: T d [C 3 (A, b) τ(a) P 3 A tranzformáció mátrix el két elemét már meghatároztuk az el z pontokban. λ 2 λ 2 2 λ 2 3, 29 2 (, 87) 2 ( 4, 42) 2, 66, 76 9, 54 P 3 λ λ 2 λ 3, 29, 87 4, 42, 29, 87 4, , 66, 76 9, 54 T d 4 4, 29, 87 4, 42, 29, 87 4, , 66, 24 8, 54, 39, 43, 8, 6, 4, 3, 2, 5, 29 A d T d AT d, 87 4, 42, 8 b d T d b, 3, 5 c T d c T T d [ Megjegyzé: a c T d vektor tartalmazhat --eket i, mert az a fonto, hogy r i b i c i legyen, ahol b i a b vektor, c i a c vektor i-edik eleme, r i pedig a p i póluhoz tartozó reziduum Adott az alábbi állapottér-reprezentáció. [ A 2 3 [ b c T [ a) Állítuk el az irányíthatóági alakot! 58

60 A tranzformáció mátrix: T c [C 2 (A, b) τ(a) C 2 [ b Ab [ [ [ Ab [ C 2 3 det(i A) a 2, a 3, a 2 [ 3 τ(a) ([ [ ) [ 3 T c 3 [ [ [ [ A c T c ATc [ [ [ b c T c b c T c c T Tc [ [ [ b) Állítuk el a diagonáli alakot! T d [C 2 (A, b) τ(a) P 2 Figyeljük meg, hogy az áttéré mátrixában az el két tag az irányíthatóági alak áttéréi mátrixa! Felhaználjuk az a) feladatban kizámolt mátrixot. λ,2 3 ± λ, λ [ 2 P ([ [ ) [ 2 T d 2 [ [ [ [ A d T d AT 2 d [ [ [ b d T d b 2 c T d [ [ [ Adjuk meg az alábbi átviteli függvénnyel adott rendzer irányíthatóági é meggyelhet égi állapottérreprezentációit! 4 G() 2 6 Az irányíthatóági állapottér-reprezentáció 2 dimenzió eetben: [ [ [ [ẋ a a x + u ẋ 2 x 2 59

61 y [ [ x b b x 2 a 2, a, a 6 [ [ 6 A c b c c T c [ 4 [ [ A o A T c b 6 o (c T c ) T c T 4 o b T c [ 2..5 Határozzuk meg az alábbi átviteli függvénnyel adott rendzer irányíthatóági állapottér-reprezentációját az x ξ, x 2 ξ egédváltozók felhaználáával! A feladat megoldáa el tt tanulmányozzuk [ 27. oldalán kezd d levezetét! G() G() b() a() Y () U() Y () b() U() : ξ() a() U() a() ξ() 2 ξ() + 6ξ() + 5ξ() Y () b() ξ() 8ξ() + 4ξ() Áttérünk id tartományba: u(t) ξ(t) + 6 ξ(t) + 5ξ(t) y(t) 8 ξ(t) + 4ξ(t) A feladatkiírában zerepelt, hogy az állapotáltozókat hogyan válazuk meg. [ẋ ẋ 2 x ξ, x 2 ξ u(t) ẋ + 6x + 5x 2 y(t) 8x + 4x 2 ẋ 6x 5x 2 + u ẋ 2 x y 8x + 4x 2 Mátrixo formába írva: [ [ 6 5 x + x 2 y [ 8 4 [ x x 2 [ u 2..6 Tranzformáljuk az alábbi állapottér-reprezentációt irányíthatóági alakba! A [ 4 5 [ b 2 T c [C 2 (A, b) τ(a) C 2 [ A Ab c T [ 3 2, 5 6

62 [ 4 Ab 5 [ 2 [ 4 9 [ 4 C det(i A) A c T c AT c c T c a 2, a 9, a 2 [ 9 τ ([ [ ) [ T c [ [ [ [ [ [ 9 5 b c T c b 2 2 c T Tc [ 3 2, 5 [ 5 [ 8 37, [ Adott az alábbi állapottér-reprezentációval jellemzett rendzer. Tranzformáljuk diagonáli alakba! Írjuk fel a tranzformáció mátrixát é a reprezentáció mátrixát! A [ 6 b [ c T [ 2 2 Megjegyzé: ugye ézrevettük, hogy a rendzer irányíthatóági alakban adott? Irányíthatóági alakban adott rendzernél C 2 (A, b) τ(a) I 2 é emiatt T d P2 det(i A) λ 3 λ 2 2 [ 3 2 P 2 T d P2 [ [ [ [ b d T d b [ [ 2 5 [ 3 5 c T d c T T d [ 2 2 [ 3 2 [ 8 2 A d T d AT d 5 [ 3 2 Termézeteen a megzokott lépéekkel i el lehet álltani a tranzformáció mátrixát, de úgy hozabb. T d [C 2 (A, b) τ(a) P 2 det(i A) a 2, a a 6 6

63 Megjegyzé: a é a értéke az A c mátrixból közvetlenül i leolvaható. 2 6 λ 3 λ 2 2 C 2 [ b Ab [ [ τ(a) [ 3 2 P 2 ([ [ [ ) 3 2 T d [ Adott az alábbi villamo elrendezé. Határozzuk meg a rendzer átviteli függvényét! Írjuk fel a rendzer irányítható állapottér-reprezentációját, ha ẋ 2 x! Rajzoljuk fel az irányíthatóági állapottérhez tartozó blokkémát! R 3Ω, C 2µF, L 2H R + G() C RC L + R + LC 2 + RC C b + b Az átviteli függvény 2 alakú. + a + a [ [ [ [ẋ 5 25 x + u ẋ 2 x 2 y [

64 2..9 Határozzuk meg az alábbi mechanikai rendzer átviteli függvényét! Írjuk fel a rendzer diagonáli állapottér-reprezentációját, ábrázoljuk a hozzá tartozó blokkémát! c 2 N m, c 2 8 N m, k N m, m kg mÿ c y + c 2 (u y) + k( u ẏ) m 2 Y c Y + c 2 (U Y ) + k(u Y ) k + c 2 m 2 + k + c + c 2 k m + c 2 m G() 2 + k m + c + c 2 m λ, λ 2 Az átviteli függvény felírható a reziduumok egítégével, lád [ 29. oldal: G() r + r 2, ahol λ λ 2 b() r i lim ( λ i ) λ i ( λ i ) r lim ( + ) + 8 ( + )( + ) 3 r 2 lim ( + ) + 8 ( + )( + ) 34 3 G() Y () U() 34 Y (S) 3 + U() U() X () + X 2 () [ [ [ẋ x + ẋ 2 x 3 u 2 y [ [ x x 2 i

65 2.. Írjuk fel a blokkémával reprezentált állapottér mátrixait! Írjuk fel a T haonlóági tranzformáció mátrixát, mely el állítja a diagonáli állapottér-reprezentációt, majd végezzük el a tranzformációt! ẋ 5x 6x 2 + u ẋ x y 2x + 5x 2 A 5 6 [ 2 b c T [ T d [C 2 (A, b) τ(a) P 2 C 2 [ b Ab Ab 5 6 [ C det(i A) [ 5 τ(a) [ 4 P 2 64

66 T d [ 5 [ [ A d T d AT 4 d b d T d b [ 3 c T d c T T d Adott egy rendzer dierenciálegyenlet-rendzere, valamint a meggyeléi egyenlet. Határozzuk meg az átviteli függvényt! Írjuk fel a rendzer állapottér-reprezentációját, vizgáljuk meg, hogy irányítható-e? ẋ 2x + 3x 2 x 3 ẋ 2 x + x 3 ẋ 3 2x + 3x 2 + x 3 + u y 2x 2 3 A b c T [ G() c T (I A) b (I A) adj(i A) det(i A) adj 2 3 T ( ) 3 ( ) (3 3) 3 ( + 2)( ) ( + 2) ( + 2) 3 G() [ 2 adj(i A) det(i A) C 3 [ b Ab A 2 b 2 3 Ab A 2 b C 3 2 det C 3 4 ( ) 4 irányítható 65

67 2..2 Adott az alábbi blokkéma. Írjuk fel a rendzer diagonáli állapottét-reprezentáció alakját! Minimáli-e az állapottér reprezentáció? Stabil-e az állapottér-reprezentáció? Határozzuk meg a G() átviteli függvényt! 5 2 A d 4 b d 2 c T d [ Ab 5 2 C 3 [ b A 2 b Ab A 2 b C det C rang C 3 3 Irányítható O 3 c T A c T A 2 c T A [ 5 4 [ 5 4 c T A 2 [ [ 25 6 c T 66

68 G() i O rang O 3 3 Meggyelhet Minimáli, mert rang C 3 rang O 3 Ezzel ekvivalen, hogy: deto 3 8 p 5, p 2 4, p 3 Intabil, mert Re p 2 > r i 2 λ i Póluallokáció [ oldalán i találunk két póluallokáció példát Adott az alábbi állapottér-reprezentáció. Állapítuk meg, hogy minimáli-e! Tervezzük meg az állapot-vizacatolá mátrixát, mely a rendzer póluait a [ pontokba helyezi! 2 A 3 b, 5 c T [ 5 2 Mivel diagonáli állapottér-alakról van zó, é a c T vektor -kat tartalmaz, ezért nem minimáli. Bizonyítá a hagyományo módon: C 3 [ b Ab A 2 b 2 2 Ab 3, 5, A 2 b 3, 5 4, C 3, 5, 5 4, detc 3, 5, 5 4, 5 7 Irányítható. 2 5 O 3 c T A c T A 2 c T A [ 2 3 [ 2 5 c T A 2 [ [ 4 5 c T 67

69 O det O 3 2 Nem meggyelhet. 4 A rendzer nem meggyelhet, így nem minimáli. Vizont irányítható, így állapot-vizacatolá tervezhet rá. Az eredeti rendzer karakteriztiku polinomja + 2 det(i A) a 3 a 2 6 a a 3 α() ( + 2)( + 3)( + 5) A vizacatolt rendzer karakteriztiku polinomja α 3 α 2 α 3 α 3 a() Az irányíthatóági alak tranzormáció mátrixa 2 4 6,, 8, 89 T c (C 3 (A, b) τ(a)), 5, 5 4, 5 6, 6, 6, 8 2 5, 3, 2, 4 Az állapot-vizacatolá irányíthatóági állapottérben k T c [ α 2 a 2 α a α a [ 6 32 Az állapot-vizacatolá az eredeti állapottérben k T kc T T c [ 6 32,, 8, 89, 6, 6, 8 [, , 3, 2, Tervezzünk állapot-vizacatolát az alábbi rendzerre [ 2 3 el írt póluokkal! A [ 4 2 [ b 2. Az irányíthatóág ellen rzée C 2 [ b Ab [ 9 2 det C irányítható 2. Az eredeti rendzer karakteriztiku polinomja det(i A) a 2 a a 9 3. A vizacatolt rendzer karakteriztiku polinomja α() ( + 2)( + 3) α 2 α 5 α 6 4. Az irányíthatóági alak tranzformáció mátrixa ([ [ ) T c (C 2 (A, b) τ(a)) 9 [

70 5. Az állapot-vizacatolá irányíthatóági állapottérben k T c [ α a α a [ Az állapot-vizacatolá az eredeti állapottérben k T kc T T c [ 5 5 [ [ Adott az alábbi állapottér-reprezentáció. Tervezzünk olyan k T állapot-vizacatolát, mely a p [ 2 3 helyekre allokálja a rendzer póluait! Határozzuk meg azt a T tranzformációt, mely az (A, b, c T )-ból el állítja az (A c, b c, c T c ) irányíthatóági állapottér-reprezentációt! 2 A 3 2 b c T [ 2. Az irányíthatóág ellen rzée C 3 [ b Ab A 2 b det C 3 3 A rendzer irányítható 2. Az eredeti rendzer karakterzitiku polinomja det(i A) [( + 3)( ) 2 + (2)( + ) a 3, a 2 2, a 7, a 3. A vizacatolt rendzer karakteriztiku polinomja α() ( + )( + 2)( + 3) α 3, α 2 6, α, α 6 4. Az irányíthatóági alak tranzformáció mátrixa T c (C 3 (A, b) τ(a)) Az állapot-vizacatolá irányíthatóági állapottérben k T c [ α 2 a 2 α a α a [ Az állapot-vizacatolá az eredeti állapottérben k T kc T T c [ [ Adott az alábbi állapottér-reprezentáció. Tervezzünk olyan k T állapot-vizacatolát, mely a p [ 3 4 helyekre allokálja a póluokat! Rajzoljuk fel a zárt rendzer irányíthatóági állapottérreprezentációját! Vezeük le a zárt rendzer karakteriztiku polinomját a zárt rendzer állapotmátrixának egítégével! Megjegyzé: a rendzer irányíthatóági alakban adott. 2 5 A b c T [ 69

71 . Az irányíthatóág ellen rzée Az irányíthatóági állapottér-alak önmagában garantálja, hogy a rendzer irányítható, így az irányíthatóágot nem kell ellen rizni. 2. Az eredeti rendzer karakterzitiku polinomja 2 5 det(i A) a 3, a 2 2, a 5, a 3. A vizacatolt rendzer karakteriztiku polinomja α() ( + )( + 3)( + 4) α 3, α 2 8, α 9, α 2 4. Az irányíthatóági alak tranzformáció mátrixa T c I 5. Az állapot-vizacatolá irányíthatóági állapottérben k T c [ α 2 a 2 α a α a [ 24 A zárt rendzer karakteriztiku polinomja: det(i A + bk T ) Vezeük le egédváltozóval az inverz inga irányíthatóági állapottér-reprezentációját (x ẋ 2 ), ha imerjük az átviteli függvényét: G() Tervezzünk olyan kt állapot-vizacatolát, mely a p [ 2 helyekre allokálja a rendzer póluait. Rajzoljuk fel a zárt vizacatolt rendzer blokkémáját! Határozzuk meg a zárt vizacatolt rendzer átviteli függvényét! 7

72 G() b() a() Y () U() ξ() U() a() Y () b() Y () b() ξ() 2ξ() U() a() ξ() ( 2 4)ξ() y(t) 2ξ(t) u(t) ξ(t) 4ξ(t) x ξ(t), x 2 ξ(t) ẋ 4x 2 + u A c [ 4 ẋ 2 x y 2x 2 [ b c c T [ 2. Az irányíthatóág ellen rzée Az irányíthatóági állapottér-alak önmagában garantálja, hogy a rendzer irányítható, így az irányíthatóágot nem kell ellen rizni. 2. Az eredeti rendzer karakteriztiku polinomja det(i A) a() 2 4 a 2, a, a 4 3. A vizacatolt rendzer karakteriztiku polinomja α() ( + )( + 2) α 2, α 3, α 2 4. Az irányíthatóági alak tranzformáció mátrixa T c I 5. Az állapot-vizacatolá irányíthatóági álapottérben k T c [ α a α a [ 3 6 Ḡ() 2 ( + )( + 2) 7

73 72

74 Irodalomjegyzék [ Gápár Péter Bokor Józef. Irányítátechnika járm dinamikai alkalmazáokkal. Typotex Elektroniku Kiadó Kft, 28. [2 Zobory Itván Horváth Károly, Simonyi Alfréd. Mérnöki zika. M egyetemi Kiadó, 25. [3 Bauer Péter Lupay Tamá. Alaptagok Nyquit- é Bode-diagramjai