Laplace transzformáció

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Laplace transzformáció"

Erzsébet Bakosné
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Laplace tranzformáció 27. márciu Bevezeté Definíció: Legyen f :, R. Az F ) = f t) e t dt függvényt az f függvény Laplace-tranzformáltjának nevezzük, ha a fenti impropriu integrál valamilyen R zámokra konvergen. Megjegyzéek: A Laplace-tranzformáció tehát egy olyan leképezé, amely függvényhez függvényt rendel: f F. A Laplace-tranzformáció definíciójában f általában komplex változó fügvény é i komplex zám. Mi azonban a cak való zámokra zorítkozunk. A definícióban zereplő impropriu integrált Laplace-integrálnak nevezzük. Az f függvényt generátorfüggvénynek nevezzük. Azt i zoká mondani, hogy az f függvény az F inverz Laplace-tranzformáltja. A generátorfüggvényt a definícióban cak nemnegatív zámokra értelmeztük. Szokták negatív zámokra i értelmezni, azonban ilyenkor f a negatív helyek mindegyikén -t vez fel. Jelöléek: A Laplace-tranzformáltra: F )= f )=L f t) ] = L f ] Az inverz Laplace-tranzformáltra: f t)=l 1 F]=L 1 F )] A kapcolatukra: f F, illetve F f. Tétel: A Laplace-integrál konvergenciájával kapcolatban cak az alábbi három eet valamelyike fordulhat elő: Minden R eetén konvergen. 1

2 Egyetlen R eetén em konvergen. Létezik olyan a R zám, hogy <a eetén a Laplace-integrál divergen, >a eetén pedig konvergen. Tétel: Ha létezik olyan K R + éα R, hogy f t) Ke αt, akkor az f t) e t dt Laplace-integrál > α eetén konvergen. Tétel: Ha az f függvénynek létezik Laplace-tranzformáltja é c R, akkor a c f függvénynek i létezik Laplace-tranzformáltja é L c f ] = cl f ] Tétel: Legyenek f 1 é f 2 olyan függvények, amelyek Laplace-tranzformáltja létezik. Ekkor létezik f 1 + f 2 Laplace-tranzformáltja i é: L f 1 + f 2 ] = L f1 ] + L f2 ] Tétel: Legyenek f 1 é f 2 olyan függvények, amelyek Laplace-tranzformáltja létezik. Ha c 1, c 2 R, akkor létezik c 1 f 1 + c 2 f 2 Laplace-tranzformáltja i é: L c 1 f 1 + c 2 f 2 ] = c1 L f 1 ] + c2 L f 2 ] Megjegyzé: Az utóbbi tételnek az előző kettő peciáli eete. A két peciáli eet együtteen ekvivalen az utoló tétellel, amely biztoan igaz, ha az előző kettő igaz. 2. Néhány konkrét függvény Laplace-tranzformáltja 2.1. Az egyégugrá függvény Laplace-tranzformáltja Definíció: Az 1:R R, 1 t)= függvényt egyégugrá függvénynek nevezzük. L 1]= e t dt= et { ha t< 1 ha t = lim eω + 1 ) = 1 ω ha > 2.2. Az exponenciáli függvény Laplace-tranzformáltja L e at] = e at e t dt= Példa: e 3t 1 3 e a)t dt= e a)t a e a)ω = lim ω a 1 ) = 1 a a ha >a

3 2.3. A hiperboliku függvények Laplace-tranzformáltja ] e at e at L h at)]=l = 1 ] L e at L e at]) = a 1 ) = +a Példa: h 2t ] e at + e at L ch at)]=l = 1 ] L e at + L e at]) = a + 1 ) = +a Példa: ch 5t 2 25 ha ha a 2 a 2 > a 2 a A trigonometriku függvények Laplace-tranzformáltja > a L in at)]= = lim ω in at) e t v=inat), u =e t dt= in aω) eω in at) et + a co at) e t dt= v=coat), u =e t ) a at) et + co a2 2 in at) e t dt= = a 2 lim co aω) ω eω 1) a2 L in at)] ha > 2 Tehát a következő egyenlethez jutottunk: Ebből rendezéel adódik: L in at)]= a 2 a2 L in at)]= L in at)] ha > 2 a 2 + a 2 ha >

4 Az előző gondolatmenethez haonlóan: L co at)]= = lim ω co at) e t v=coat), u =e t dt= co aω) eω Példa: 2 in 3t3 co 5t 2 co at) et a in at) e t dt= v=inat), u =e t + 1 ) a at) et + in = 1 a2 2 L co at)]= 1 a2 L co at)] ha > 2 L co at)]= ha > 2 + a 2 co at) e t dt= a2 + L co at)] ha > = A hatványfüggvény Laplace-tranzformáltja Előzör vezeünk le egy a hatványfüggvény Laplace-tranzformáltjára vonatkozó rekurzív özefüggét n pozitív egéz zám): L t n ]= t n e t dt= v=t n, u =e t tn e t + n t n1 e t dt= = lim ωn e ω + )+ n ω L t n1] = n L t n1] Tudjuk, hogy L t ] = L 1]= 1, tehát L t]= 1 L 1]= 1 2, L t 2] = 2 L t]= 2 3, L t 3] = 3 L t 2] = 6 4, L t 4] = 4 L t 3] = 24 5, tb. Ebből arra a ejtére jutunk, hogy L t n ]= n! n+1. Ez telje indukcióval könnyen igazolható i, hizen: L t n+1] = n+1 L t n ]= n+1 n! n+1=n+1)!, n+2 tehát ha egy n termézete zámra helye a megejtett képlet, akkor helye n+1-re, azaz a következő termézete zámra i. Példa: t 3 3t 2 + 7t+9 3! 2! 1! t3+ 7 t2+ 9 = t 3+ t 2+

5 3. Néhány zámítái zabály 3.1. Exponenciáli függvénnyel zorzott függvény Laplace-tranzformáltja Tegyük fel, hogy imerjük az f függvény Laplace-tranzformáltját: f t) F ). Ekkor az f t) e at zorzat Laplace-tranzformáltja i könnyen felírható: Bizonyítá: f t) e at F a). L f t) e at] = f t) e at e t dt= f t) e a)t dt=f a) Példák: e 2t in 3t 3 2) = e t co 4t 1 1) = e 3t h 2t 2 3) 2 4 = e 2t ch 2t +2 +2) 2 4 = e 5t t 8 8! 5) 9

6 3.2. Hatványfüggvénnyel zorzott függvény Laplace-tranzfor máltja Tegyük fel, hogy imerjük az f függvény Laplace-tranzformáltját: f t) F ). Ekkor az f t) t n zorzat Laplace-tranzformáltja i meghatározható: f t) t n 1) n dn F ) d n. Bizonyítá: Előzör az n = 1 peciáli eetre bizonyítjuk az özefüggét. Induljunk ki a Laplace-tranzformáció definíciójából: f t) e t dt=f ) Deriváljuk ennek mindkét oldalá az változó zerint: t f t) e t dt= df ) d Ezt1-gyel zorozva a bizonyítani kívánt özefüggéhez jutunk: t f t) e t dt= df ) d Az általáno eet telje indukcióval bizonyítható. Tegyük fel, hogy n-re már igazoltuk az állítát. Ekkor n+1-re: L t n+1 f t) ] = L t t n f t) ] = d d L t n f t) ] = d d 1)n dn F ) d n = Tehát ha az állítá n-re igaz, akkor n+1-re i teljeül. Példa: t in 2t d 2 =2 2 d ) = ) 2 = 1) n+1 d n+1 F ) d n+1

7 3.3. Függvény integráljának Laplace-tranzformáltja Legyen f t) F ). Ekkor a g t)= F ). Bizonyítá: L g t) ] = t f x) dx et t v= f x) dx, u =e t dt= t f x) dx függvény laplace-tranzformáltja t = lim ω f x) dx ω ) e t f x) dx ) e ω f t) e t dt= + F ) = F ) 3.4. Függvény deriváltjainak Laplace-tranzformáltja Ha f t) F )= f ), akkor f t) f ) f ). Bizonyítá: Imét parciáli integrálát alkalmazunk: L f t) ] = f t) e t dt= f t) e ] t + u = f t), v=e t Az f függvény máodik deriváltjának Laplace-tranzformáltja: f t) 2 f ) f ) f ) Bizonyítá: f t) e t dt= f )+ f ) L f t) ] = L f t) ] f )= f ) f ) ) f )= 2 f ) f ) f ) Az f függvény n-edik deriváltjának Laplace-tranzformáltja: f n) t) n f ) n1 f ) n2 f )... f n1) ) Bizonyítá: Telje indukcióval.) Az állítá n = 1-re é n = 2-re igaz. Tegyük fel, hogy n-re i igaz. Ekkor n+1-re: L f n+1) t) ] = L f n) t) ] f n) )= = n f ) n1 f ) n2 f )... f n1) ) ) f n) )= = n+1 f ) n f ) n1 f )... f n1) ) f n) ) Tehát ha az állítá igaz n-re, akkor n+1-re i igaz.

8 3.5. Eltolái tétel függvény Laplace- Legyen f t) F ). Ekkor a g t)= tranzformáltja L g t) ] = e a F ) { ha x<a f ta) ha x a Bizonyítá: a L g t) ] = g t) e t dt= dt+ f ta) e t dt= f ta) e t dt a a Alkalmazzunk u = t a helyetteítét: L g t) ] = f ta) e t dt= f u) e u+a) du=e a f u) e u du=e a F ) a 4. Inverz Laplace-tranzformáció Hogyan állítuk elő a generátorfüggvényt, ha adott a Laplace-tranzformáltja? Ha a Laplace-tranzformált valamilyen egyzerű racionáli törtfüggvény, akkor gyakran a Laplace-tranzformáció megfordítáával táblázat egítégével) célt érünk. Példák: 1 e8t = in 2t = 3 3! t = 1 3) = 3 3) ) e 3t co 2t+e 3t in 2t Ha a vizatranzformálandó kifejezé bonyolultabb racionáli tört, akkor előzör réztörtekre bontát alkalmazunk é a tagokat egyenként tranzformáljuk viza.

Hasonló dokumentumok

Laplace-transzformáció és alkalmazása

Laplace-transzformáció és alkalmazása Eötvö Loránd Tudományegyetem Termézettudományi Kar Laplace-tranzformáció é alkalmazáa Szakdolgozat Ki Ezter Matematika BSc., Elemz zakirány Témavezet : Bátkai Andrá, Egyetemi docen Alkalmazott Analízi