Eötvös Lóránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. A Laplace-transzformáció és alkalmazásai. Szakdolgozat. Laczkó Éva
|
|
- Alexandra Hegedüs
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvö Lóránd Tudományegyetem Termézettudományi Kar A Laplace-tranzformáció é alkalmazáai Szakdolgozat Laczkó Éva Matematika BSc - Matematikai elemz zakirány Témavezet : Bátkai Andrá, Egyetemi docen Alkalmazott Analízi é Számítámatematikai Tanzék 2
2 Tartalomjegyzék. Bevezeté 4 2. Laplace élete 5 3. A Laplace-tranzformáció Deníció é példák Néhány elemi tulajdonág Egyzer alkalmazáok Dierenciálhatóág é integrálhatóág További tulajdonágok Parciáli törtekre bontá módzere Közönége dierenciálegyenletek El - é máodrend dierenciálegyenletek Magaabbrend» dierenci» legyenletek Dierenciálegyenlet-rendzerek Özegzé 39 2
3 "Világo, hogy a Termézet rendzerének motani állapota a megel z pillanatban fennállott állapot következménye, é ha elképzelünk egy olyan Intelligenciát, amely át tudja tekinteni az Univerzumban található valamennyi létez közötti vizonyokat egy adott pillanatban, úgy ez az Intelligencia képe lenne arra, hogy meghatározza e létez k helyét, mozgáát é általában hatáaikat bármely korábbi vagy kéöbbi pillanatban." (Pierre-Simon de Laplace) 3
4 . fejezet Bevezeté A dolgozat a Laplace-tranzformáció imertetéével, tulajdonágaival illetve azok alkalmazáaival foglalkozik. El zör Laplace életér l é munkáágáról említek pár zót, majd deniálom a Laplace-tranzformáció fogalmát elemi tulajdonágaival. Ezután néhány függvényre(generátorfüggvényre) alkalmazom a deníciót é kizámolom a integrál egítégével a Laplace-tranzformáltjukat. A Dierenciálhatóág é integrálhatóág cím fejezetben megvizgálom a tranzformáció generátorfüggvényének (f(t)) illetve a tranzformált (F ()) dierenciálhatóágát é integrálhatóágát. Ezután további nem elemi tulajdonágokra nézek példákat, majd imertetem a parciáli törtekre bontá módzerét. Végül a közönége dierenciálegyenletekre (el -, máodrend é magaabbrend dierenciálegyenletekre) vezetek le példákat, legvégül egy zikai példával bemutatom a dierenciálegyenlet-rendzerek megoldáához alkalmazható Laplace-tranzformációt. 4
5 2. fejezet Laplace élete Pierre-Simon de Laplace 749. márciu 23-án a normandiai Beaumonten-Auge-n zületett. Apja, Pierre Laplace, almabor kereked, anyja, Marie-Anne Sochon, egy jómódú calád mez gazdaági földterület tulajdonoa, Tourgéville, de züleit zegényparaztoknak vallotta. A helyi katonai ikola bejáró diákja volt, ahol hamar kit nt a kíváló emlékez képeégével. Tanulmányai után ugyanitt tanított. Párizba utazáának oka, hogy az adottágainak nem nyújtott eleget a vidéki ikola. D'Alembertnél jelentkezett ajánlóleveleivel, bár a híre enciklopédita nem fogadta Laplace-t. Ekkor kézzel írt levélben kerete fel D'Alembertet, aki a levél olvaáa után Laplace elött kitárta kapuit, ugyani ez az írá a mechanikai elvekr l zólt. Nagyzer értekezé volt, hizen pár nappal ké bb 5
6 Laplace az École Militaire matematika tanára lett. Ezután gyoran haladt a tudományo karrierje, hizen 24 éveen az akadémia levelez tagja, majd a királyi tüzérég növendékeinek vizgáztatója. 794-ben az École Normale Supérieure analízi tanára, majd a Mértékügyi Hivatal tagja é elnöke. Laplace, a matematiku 776-ben új módzert dolgozott ki Lagrange-zal a közönége dierenciálegyenletek megoldáára való vizavezetére. A máodrend parciáli dierenciálegyenletek között nevezeteé vált a 2 y t 2 a2 2 y x 2, a húrrezgé dierenciálegyenlete. Melyet 77-ben Eulernek ikerült kanoniku alakra hoznia y f(x + at) + ϕ(x at). Laplace ezt a módzert felhaználva megadta a máodrend lineári parciáli dierenciálegyenlet megoldáát: 2 z x + A 2 z 2 x y + B 2 z y + C z 2 x + D z + Ez + F. y 779-ben vezette be a határozott integrál fogalmát, ezért okan cak úgy hívják, hogy "Franciaorzág Newtona". Laplace munkáága a XIX. zázad elején új fordulatot adott a valózín égzámítának. 774-t l e tárgyban gy jtögetett tanulmányok 82-re özeálltak a Théorie analytique de probabilité (A valózín ég analitikai elmélete) cím m vében. 2 évvel ké bb az Eai philoophique de probabilité (A valózín ég lozóai ezéje) cím alkotá i megjelent. Laplace i az el k közt imerte fel, hogy az e x2 dx valózín égi görbe alatti terület pont a π. A normálelzoláal kapcolatban cak Gau nevét zoká említeni, pedig t le függetlenül Laplace i felfedezte. 6
7 Laplace, a ziku A zikai matematika zámára kiemelked en fonto volt a gravitáció é az elektromo er terek potenciáljának megimerééhez a dierenciálegyenlet. Laplace 787-ben bizonyította be, hogy egy er tér V potenciálfüggvénye kielégíti az alábbi dierenciálegyenletet: V 2 V x V y V z 2 A Laplace-féle V dierenciálegyenlet megoldáa a zikában okféle alkalmazára lelt, vagyi zámo kit n matematikut é zikut foglalkoztatott. Laplace, a cillagáz A Mécanique Célete (égi mechanika) el kötetében az el általáno törvényeket fogalmazza meg, mint például, hogy mi az egyenúly a mozgá é a halmazállapot között, míg a máodik könyv az egyeteme gravitáció törvényér l, é a naprendzerbeli úlypontok mozgáairól zól. A legfontoabb matematikai megközelíté itt a felállított dierenciálegyenletek é azok megoldáa, melyek leírják a létrejöv mozgáokat. A máodik kötet foglalkozik a bolygók mechanikai alkalmazáainak tanulmányozáával. 8 után majdnem minden európai tudományo akadémia tagja. A javára kell írni, hogy a atal tudóokat mindig zinte barátággal egítette, valamint tudótárai becülték é tiztelték. Rövid betegekedé után 87 éveen 827. márciu 5-én Párizban hunyt el. Utoló mondata: "Amit tudunk, az vajmi kevé, amit nem tudunk, az roppant ok!" 7
8 3. fejezet A Laplace-tranzformáció 3.. Deníció é példák A Laplace-tranzformáció az f(t) a t intervallumon értelmezett komplex változó függvényhez hozzárendeli a F () komplex változó függvényt: F () : f(t)e t dt, ahol C é való réze pozitív (azaz Re() > ). Az így el állított komplex változótól függ F függvényt nevezzük az f való változó függvény Laplace-tranzformáltjának. Az f függvényt eredeti függvénynek vagy generátorfüggvénynek nevezik. Szimboliku jelölé: L[f] F Néhány elemi tulajdonág A Laplace-tranzformáció alkalmazáa orán egyzer bb, de fonto tulajdonág a linearitá.. L[c f(t)] c L[f(t)] A c való kontan kiemelhet : L[c f(t)] c f(t)e t dt c f(t)e t dt c L[f(t)] 8
9 2. L[f (t) + f 2 (t)] L[f (t)] + L[f 2 (t)] Az integrál additívitáa é diztributívitáa miatt: L[f (t) + f 2 (t)] (f (t)e t + f 2 (t)e t )dt (f (t) + f 2 (t))e t dt f (t)e t dt + L[f (t)] + L[f 2 (t)] f 2 (t)e t dt 3.3. Egyzer alkalmazáok A deníció zerint zámítuk ki néhány függvény Laplace-tranzformáltját!. Legyen f(t). Ekkor F () e t dt [ e e t t dt ] t + Vagyi L[], ahol Re() >. A linearitá miatt bármilyen c R kontan eetén L[c] c. 2. Legyen f(t) t n, ahol n N, n 2. Az el állítához el zör parciálian kell integrálnunk, majd felhaználjuk az el z példa eredményét. Ha n, vagyi f(t) t, ekkor parciálian integrálva ( f g f g f g ) F () t e t dt [t e t Vagyi L[t] 2 Re() >. ] t e t dt + [ e t 2 ] t é tetz lege c R eetén L[c t] c 2, ahol 9 2
10 Ha n 2, azaz f(t) t 2, akkor F () t 2 e t dt [t 2 e t ahol Re() >. 2 t e t dt 2 ] t L[t2 ], 2t e t dt t e t dt 2 L[t] Ha n 3,vagyi f(t) t 3, akkor (parciálian integrálva) ] F () t 3 e t dt [t 3 e t 3t 2 e t dt ahol Re() >. 3 t2 e t dt + 3 t t 2 e t dt 3 L[t2 ] ! 4 L[t3 ], Bármilyen n eetén telje indukcióval adódik a Laplace-tranzformált, de mot nézzük meg rézleteen: L[t n ] t n e t dt [t n e t ] t n t n e t dt n tn e t dt n t n e t dt n ] ) ([t n e t (n )t n 2 e t t dt n ( ) n tn 2 e t dt n n t n 2 e t dt n n ] ) ([t n 2 e t (n 2)t n 3 e t t dt n n ( ) n 2 tn 3 e t dt n n n 2 t n 3 e t dt...
11 n n n n n n L[t3 ] n n ahol Re() >. 3. Legyen f(t) e at. t 3 e t dt n 2 n (n ) (n 2) !... 4 n! n+ L[tn ], ! 4 Ekkor F () e at e t dt Tehát L[e a ], ahol Re() >. a [ e e ( a)t ( a)t dt ( a) ] t a 4. Legyen f(t) t n e at, ahol a C, é n N + Ha n, azaz f(t) t e at, ahol a tetz lege való vagy komplex állandó. Itt i parciálian integrálunk: [ t F () ] e ( a)t ( a) 2 t t e at e t dt t e ( a)t dt [ e ( a)t e ( a)t dt ( a) ( a) 2 Tehát L[t e at ] ( a) 2, ahol Re( a) >. Ha n 2, vagyi f(t) t 2 e at, akkor parciálian kell integrálni: F () [ t 2 e ( a)t ( a) t 2 e at e t dt ] t 2t ] t 2 e ( a)t dt e ( a)t ( a) dt t ( a) 2
12 + 2 ( a) 2 ( a) t e ( a)t dt t e ( a)t dt 2 a t e at e t dt 2 a L[t eat ] 2 a ( a) 2 2 ( a) 2! 3 ( a) L[t2 e at ], 3 ahol Re( a) >. Telje indukcióval igazolható n 3, mot rézleteen nézzük meg: L[t n e at ] t n e at e t dt [ ] t n e ( a)t ( a) t n n a t n e ( a)t dt e ( a)t n t n ( a) dt ( a) tn e ( a)t dt n t a n e ( a)t dt ([ ] t n e ( a)t ) (n )t n 2 e ( a)t ( a) t ( a) dt ( ) n ( a) tn 2 e ( a)t dt n a n a n a t n 2 e ( a)t dt n a n ([ ] a t n 2 e ( a)t ) (n 2)t n 3 e ( a)t ( a) t ( a) dt n a n ( ) a n 2 ( a) tn 3 e ( a)t dt n a n a n 2 a n a n a n 2 a... 3 a t n 3 e ( a)t dt... t 2 e ( a)t dt n a n a n 2 a... 3 a L[t2 e at ] n a n a n 2 a... 3 a 2! ( a) 3 2
13 n (n ) (n 2) ! ( a) ( a) ( a)... ( a) ( a) 3 ahol Re( a) >. n! ( a) n+ L[tn e at ], 5. A trigonometriku függvények Laplace-tranzformáltjai: Legyen f(t) in at, ahol a tetz lege való vagy komplex zám. Itt a kétzeri parciáli integrálá helyett egy okkal könnyebb zámoláal i megkapjuk a tranzformáltat. Ha a in függvényt exponenciáliokkal fejezzük ki. in at eiat e iat 2. Vagyi F () in at e t dt e iat e iat 2 e t dt 2 (eiat e iat ) e t dt ( e iat e t e iat e t) dt e iat e t dt 2 e ( ia)t dt 2 ( e iat e iat) e t dt e iat e t dt e (+ia)t dt [ ] e ( ia)t 2 [ ] e (+ia)t ( ia) t 2 ( + ia) t 2 ia 2 + ia ( 2 ia ) + ia ( ) + ia ( ia) 2 ( ) + ia + ia 2 + a a 2 ahol Re( 2 + a 2 ) >. 2 2ia 2 + a 2 ia 2 + a 2, 3
14 Legyen f(t) co at, a való vagy komplex zám. Az el z ekhez haonlóan felhaználjuk a co at eiat +e iat 2 kifejezét. F () co at e t dt e iat + e iat 2 e t dt 2 (eiat + e iat ) e t dt ( e iat e t + e iat e t) dt e iat e t dt + 2 e ( ia)t dt + 2 ( e iat + e iat) e t dt e iat e t dt e (+ia)t dt [ ] e ( ia)t 2 + [ ] e (+ia)t ( ia) t 2 ( + ia) t 2 ia ia ( 2 ia + ) + ia ( ) + ia + ( ia) 2 ( ) + ia + ia 2 + a a 2 ahol Re( 2 + a 2 ) > a a 2, 6. A hiperboliku függvények Laplace-tranzformáltjai: f(t) coh at, ahol tetz lege a C (vagy a R) Mivel coh z ez +e z, ezért 2 F () coh at e t dt e at + e at 2 e t dt 2 (e at + e at) e t dt 2 4 ( e at + e at) e t dt
15 2 2 2 (e at e t + e at e t )dt e at e t dt + 2 e ( a)t dt + 2 e at e t dt e (+a)t dt [ ] e ( a)t 2 + [ ] e (+a)t ( a) t 2 ( + a) t 2 a a ( 2 a + ) + a ( ) + a + a 2 2 a a 2 2 a 2 Vagyi L[coh at] 2 a 2, ahol Re( 2 a 2 ) >. Haonlóan m ködik a f(t) inh at függvényre i, cak itt a inh z ez e z helyetteítét kell haználni. Így L[inh at] 2 ( ) 2 a +a a özefüggét kapjuk, ahol Re( 2 a 2 ) >. 2 a Dierenciálhatóág é integrálhatóág A generátorfüggvény deriváláa Eddig a denícióból zámoltuk ki a függvények Laplace-tranzformáltjait. A továbbiakban olyan eljárát vagy tételt fogunk alkalmazni, amellyel okzor könnyebb el állítani a függvények Laplace-tranzformáltját, mint a denícióból. El zör a függvény deriváltjának Laplace-tranzformáltjával foglalkozunk, amely a denícióból következik: L[f (t)] f() + f (t)e t dt [ f(t)e t] f(t)( )e t dt t f(t)e t dt L[f(t)] f() F () f(), 5
16 ahol F az f függvény Laplace-tranzformáltja. Vagyi f (t) függvény Laplacetranzformáltja: L[f (t)] L[f(t)] f(), ahol Re() >. A magaabbrend deriváltak Laplace-tranzformáltjait i el tudjuk állítani az el z felhaználáával. L[f (t)] f () + f (t)e t dt [ f (t)e t] f (t)( )e t dt t f (t)e t dt f () + L[f (t)] f () + ( L[f(t)] f()) f () + 2 L[f(t)] f() 2 L[f(t)] f() f (), ahol Re() >. Telje indukcióval igazolható a generátorfüggvény n-edik deriváltjának a Laplacetranzformáltja, ahol n N. L[f (n) (t)] n L[f(t)] n f() n 2 f ()... f (n 2) () f (n ) (), ahol Re() >. Ezt lehet máképp i írni: n L[f (n) (t)] n L[f(t)] n k f (k ) () k Ezeket a formulákat a dierenciálegyenletek é dierenciál-egyenletrendzerek megoldáai orán alkalmazhatjuk. 6
17 Példák. Az f(t) t függvényt már korábban kizámoltuk a denícióból, akkor L[t] 2 alakot kaptuk, ahol Re() >. Mot az el bb mutatott módzert alkalmazzuk, amihez zükég van a függvény deriváltjára. f (t) (t). A L[f (t)] L[f(t)] f() formulába kell cak behelyetteíteni. Vagyi L[] L[t], ahol Re() > Nézzük az f(t) co at függvényt! Korábban már meghatároztuk a Laplace-tranzformáltját: ahol Re( 2 + a 2 ) > L[co at] 2 + a 2, Valamint zükég van még a függvény deriváltjára: f (t) (co at) a in at Ezekután már cak be kell helyetteítenünk a L[f (t)] L[f(t)] f() képletbe. L[ a in at] L[co at] co(a ) L[co at] co 2 + a a 2 2 ( 2 + a 2 ) 2 + a a a 2 a2 2 + a 2 A linearitá miatt: a L[in at] L[in at] a ahol Re( 2 + a 2 ) >. a2 2 + a 2 / : ( a) a a 2 a 2 a ( 2 + a 2 ) a 2 + a 2, 7
18 3. Számítuk ki az f(t) in 2 at függvény Laplace-tranzformáltját! Szükég van a függvény deriváltjára: f (t) (in 2 at) 2 in atco at a a2 in at co at a in 2at L[f (t)] L[a in 2at] a L[in 2at] a f() in 2 a in 2 2 2a 2 + 4a 2 2a a 2 L[f (t)] L[f(t)] f() 2a a 2 L[f(t)] 2a a 2 L[f(t)] 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) L[f(t)] / : Vagyi L[in 2 at] 2a 2 ( 2 +4a 2 ), ahol Re(2 + 4a 2 ) >. A Laplace-tranzformált deriváláa Mot a Laplace-tranzformált deriváltját vizgáljuk meg. A deriválá é integrálá felcerélhet a tranzformált deriváláakor, ha a teljeülnek a zükége feltételek a Laplace-tranzformált létezééhez. d d F () d d f(t) e t dt f(t) d d e t dt t f(t)e t dt L[t f(t)] Vagyi d F () L[t f(t)], ahol Re() >. d f(t) ( t)e t dt d 2 d2 F () d2 d 2 f(t) e t dt 8 f(t) d2 d 2 e t dt
19 f(t) ( t) 2 e t dt ( ) 2 t 2 f(t)e t dt L[t 2 f(t)] Vagyi d2 d 2 F () L[t 2 f(t)], ahol Re() >. Tekintük tetz lege n N + eetén az n-edrend deriváltat: d n dn F () dn d n f(t) ( t) n e t dt ( ) n f(t) e t dt Vagyi dn d n F () ( ) n L[t n f(t)], ahol Re() >. Példák. Nézzük az f(t) t co at függvényt! f(t) dn d n e t dt t n f(t)e t dt ( ) n L[t n f(t)] Korábbról már tudjuk, hogy L[co at] 2 +a 2 az fenti módzert, vagyi helyetteítünk be a formulába. ( ) d L[t co at] / : ( ) d 2 + a 2 F (). Alkalmazzuk d F () L[t co at] d L[t co at] d ( ) ( ) 2 + a 2 2 d 2 + a 2 ( 2 + a 2 ) 2 ( ) ( ) 2 + a a a 2 ( 2 + a 2 ) 2 ( 2 + a 2 ) 2 ( 2 + a 2 ), 2 ahol Re( 2 + a 2 ) >. 2. Számítuk ki az f(t) t 2 inh at függvény tranzformáltját! Tudjuk az F () L[inh at] a 2 a 2 tranzformáltat. Mot a d2 F () ( ) 2 L[t 2 f(t)] formulát alkalmazzuk. d 2 ( ) d 2 a ( ) 2 L[t 2 inh at] d 2 2 a 2 9
20 Mivel ( ) 2, ezért: L[t 2 inh at] d2 d 2 d d ( 2a ( 2 a 2 ) 2 ) ( a 2 a 2 ) d ( ) ( 2 a 2 ) a (2) d ( 2 a 2 ) 2 2a (2 a 2 ) 2 2a(2 ( 2 a 2 ) 2) ( 2 a 2 ) 4 2a (2 a 2 ) 2 6a 2 ( 2 a 2 ) ( 2 a 2 ) 4 (2 a 2 ) [ 2a( 2 a 2 ) + 6a 2 ] ( 2 a 2 ) ( 2 a 2 ) 3 2a2 + 2a 3 + 6a 2 ( 2 a 2 ) 3 ahol Re( 2 a 2 ) >. 2a3 + 4a 2 ( 2 a 2 ) 3 2a(a ) ( 2 a 2 ) 3, 3. Tetz lege n pozitív egéz eetén nézzük az f(t) t n e at függvényt! Az el z fejezetben az e at Laplace-tranzformáltját már kizámoltuk. F () L[e at ] a Ebben a feladatban az n-edik deriváltra vonatkozó formulát alkalmazzuk: d n d n F () ( ) n L[t n f(t)] ( ) d n ( ) n L[t n e at ] / : ( ) n d n a L[t n e at ] ( ) dn n d n ( ( ) dn 2 ( )( 2) n d n 2 ( a) 3 ahol Re( a) >. ( a ) ) ( ) dn n d n ( ) n dn 3 d n 3 ( ) n! n ( )n ( a) n! n+ ( a), n+ 2 ( ) ( ) ( a) 2 ( ) ( )( 2)( 3)... ( a) 4
21 A generátorfüggvény integrálfüggvénye Egy f függvény primitív függvényének Laplace-tranzformáltjára levezethet egy özefüggé a deriváltakra vonatkozó formula alkalmazáával. Legyen ϕ(t) t f()d a primitív függvény. Tehát ϕ (t) f(t) özefüggéb l adódik a következ formula: L [ϕ (t)] L[f(t)] A deriváltakra vonatkozó módzer alapján: Mivel ϕ() f(t)dt L [ϕ (t)] L[ϕ(t)] ϕ() L[ϕ(t)] L [ϕ (t)] L[ϕ(t)] [ t ] L[f(t)] L f()d / : [ t ] L f()d F () L[f(t)] ahol F az f függvény Laplace-tranzformáltja. Tehát az F tranzformált -el való oztáa azono az f generátorfüggvény integráláával. Példák. Határozzuk meg a ϕ(t) t co ad függvény Laplace-tranzformáltját! Az el bb bemutatott módzer alapján: L[ϕ(t)] L[ co a] L[ co a] 2 a 2 ( 2 + a 2 ) 2 2 a 2 ( 2 + a 2 ) 2, ahol Re( ) >. 2
22 2. Határozzuk meg a ϕ(t) t 3 e d függvény Laplace-tranzformáltját! Korábbi példák zerint: L[ϕ(t)] L[3 e ] L[3 e ] 3! ( ) 4 6 ( ) 4, ahol Re() > é Re( ) >. 3. Határozzuk meg a ϕ(t) t in2 ad függvény Laplace-tranzformáltját! Haonlóan az el z ekhez: L[ϕ(t)] L[in2 a] ahol Re( 2 + 4a 2 ) >. L[in2 a] 2 + 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) 2 + 2a 2 2 ( 2 + 4a 2 ), A Laplace-tranzformált integráláa A Laplace-tranzformált integrálfüggvényének vizgálatakor i egy érdeke formulát kapunk. [ ] f(t) f(t) L e t dt f(t)dt e t dt t t ( ) f(t) e t dt d F ()d, ahol a d d Példák ( ) e t e t özefüggét haználtuk fel. t. Határozzuk meg az f(t) in at t függvény tranzformáltját! Felhaználva az el bbi módzert: [ ] in at L L[in at]dt t 22 a 2 + a 2 d
23 a ahol Re() >. ( 2 d a) + a [ ( arctan a)] π ( 2 arctan a [ ( ( ] ( 2 d a) + a arctan a a)) ) arctan ( a ), 2. Határozzuk meg az f(t) in2 at t feladatból már imerjük: L[in 2 at] L[f(t)] L[in 2 at] L[in 2 at]dt függvény tranzformáltját! Korábbi 2a2 ( 2 +4a 2 ) 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) d Parciáli törtekre kell bontanunk (a módzert ké bb mutatjuk be) 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) a a 2 ( 2 ) 4 2 d 2 + 4a 2 2 ln 4 ln 2 + 4a ln 4 ln 2 + 4a 2 4 ln 2 4 ln 2 + 4a 2 4 ln a 2 [ ] in 2 at 2a 2 L t ( 2 + 4a 2 ) d [ ln a 2 [ ] 4 ln ln a 2 4 ln + 4a2 2, ahol Re() >. ] 23
24 3.5. További tulajdonágok. Eltolá Legyen adott f függvény, ahol a pozitív való zám. { f(t a), ha t a, g(t) :, ha t < a. Vagyi az f függvény a való x tengely mentén való eltoláa a-val jobbra. Nézzük meg g Laplace-tranzformáltját! L[g(t)] g(t) e t dt f(x) e (x+a) dx e a a g(t) e t dt a f(x) e x e a dx f(x) e x dx e a L[f(t)], f(t a) e t dt ahol x t a, t x+a, dt dx helyetteítéeket alkalmaztuk. Vagyi a kapott özefüggé, azaz L[f(t a)] e a L[f(t)] az eltolái tétel. Példák Számítuk ki az alábbi függvények Laplace-tranzformáltját! g : { (t 3) 2, ha t 3;, ha t < 3. Ekkor f(t) t 2 é a 3, valamint már korábban kizámolt a L[t 2 ] 2! 3 tranzformált felhaználáával: L[g(t)] e 2 L[f(t)] e 2 2! 3, ahol Re() >. g : { e b(t a), ha t a;, ha t < a. Itt f(t) e bt, tranzformáltja: L[e bt ] +b. Tehát L[g(t)] e a L[e bt ] e a, ahol Re( + b) >. +b 24
25 2. Cillapítái tétel Az F ( + a) függvénynek mi a generátorfüggvénye, ha F az f függvény Laplace-tranzformáltja? Az F () f(t) e t dt özefüggéb l következik, hogy F ( + a) f(t) e t e at dt f(t) e (+a)t dt f(t) e t at dt f(t) e at e t dt L[f(t) e at ] A kapott özefüggét, azaz F (+a) L[f(t) e at ] cillapítái tételnek nevezzük, vagy a Laplace-tranzformáltra vonatkozó eltolái tételnek. Példák Számítuk ki az alábbi függvények tranzformáltjait a cillapítái tétel felhaználáával! Legyen f(t) e at coh bt. Korábbról már tudjuk, hogy L[coh bt], Re( 2 b 2 ) >. 2 b 2 Az + a helyetteítéel a következ adódik: L[e at coh bt] ahol Re(( + a) 2 b 2 ) >. + a ( + a) 2 b 2, Legyen f(t) tn inh at. n! Átalakítá után: f(t) tn n! eat e at 2 e at 2n! eat t n 2n! e at t n t n 2n! t n e at 2n! Korábban már beláttuk, hogy L[t n ] n!. Mot a linearitá n+ miatt a, illetve + a helyetteítéekkel a következ t 25
26 kapjuk: 2 L[f(t)] 2n! n! ( a) n+ 2n! n! ( + a) n+ ( a) n+ 2 ( + a) n+ 2( a) n+ 2( + a) n+ ahol Re( 2 a 2 ) >. ( + a)n+ ( a) n+ 2( 2 a 2 ) n+, 3. Haonlóági tétel Adott az f generátorfüggvény é az F Laplace-tranzformáltja. Ezek alkalmazáával egyzer en át lehet térni egy má argumentumú függvényre, vagyi a haonlóági tétel egítégével. F () L[f(t)] f(t) e t dt, ahol a t helyett α t-t írunk, α pozitív kontan. Özeégében ez egy helyetteítée integrálá, ahol a τ α t, t τ α jelöléel az alábbi kifejezé adódik: L[f(αt)] α f(αt) e t dt Vagyi L[f(αt)] α F ( α). Példa Korábbi imereteink alapján: f(τ) e τ α α dτ f(τ) e τ ( ) α dτ α F α L[t in t] ( 2 + ) 2 ( 2 + ) 26
27 Mot a haonlóági tételb l: L[t in at] a ( a ) ( 2 ( ) a 2 ) + a 2 2 +a 2 a 2 a 2 a 2 ( 2 +a 2 ) a a 4 2 ( 2 + a 2 ) a 3 2 ( 2 + a 2 ), a 4 ahol Re( 2 + a 2 ) > Parciáli törtekre bontá módzere A racionáli törtfüggvényeket a parciáli törtekre bontá módzerével a legegyzer bb megoldani. Az adott racionáli törtfüggvényt polinomok é réztörtek özegére bontjuk. Példák Számítuk ki a következ F függvények inverz Laplace-tranzformáltját a parciáli törtekre bontá módzerével!. F (), ahol Re() >. ( 2 +) A parciáli törtekre bontá után: mivel F () ( 2 +). ( 2 + ) 2 +, Korábbról vizakereve: L [ ] [, illetve L +] co t, ezért [ ] 2 L co t ( 2 + ) 2. F () 2 2 (+2) 3 (3.6..), ahol Re() >. Parciáli törtekre bontá után: F () ( + 2) ( + 2) 3, 27
28 mivel (+2) 2 (+2) [ 3 Korábbi példákból: L (+2)2 4(+2)+2 (+2) 3 (+a) n ] t n e at. Vagyi (+2) (+2) 3. [ ] L [F ()] L ( + 2) ( + 2) 3 L [ + 2 ] L [ 4 ( + 2) 2 ] + L [ ] 2 ( + 2) 3 t e 2t 4 t 2 e 2t + 2 t 3 e 2t (3.6.2.) ábra ábra 28
29 4. fejezet Közönége dierenciálegyenletek Az állandó együttható lineári dierenciálegyenletek é dierenciálegyenletrendzerek megoldáa a Laplace-tranzformáció egyik legfontoabb alkalmazáa. 4.. El - é máodrend dierenciálegyenletek El rend egyenletek { aẏ(t) + by(t) f(t) y() y, ahol a, b adott kontanok, f(t) zintén adott függvény é y(t) az imeretlen függvény, t >. A dierenciálhatóág fejezet alatt már láttuk, hogy L[ẏ(t)] L[y(t)] y(). Vagyi aẏ(t) + by(t) f(t) a ( L[y(t)] y()) + b L[y(t)] L[f(t)] a L[y(t)] a y() + b L[y(t)] L[f(t)] a L[y(t)] a y + b L[y(t)] L[f(t)] (a + b) L[y(t)] a y L[f(t)] (a + b) L[y(t)] ay L[f(t)] 29
30 (a + b) L[y(t)] L[f(t)] + ay L[y(t)] L[f(t)] + ay (a + b) máképp írva: azaz ahol a [L[y(t)] y()] + bl[y(t)] L[f(t)], { L[y(t)] G()[ay() + L[f(t)]], G() [a + b]. Példa Adjuk meg a következ dierenciálegyenlet megoldáát Laplace-tranzformált egítégével! { ẏ(t) + y(t) e t y() Mivel L[e t ] é L[ẏ(t)] L[y(t)] y(), ezért ẏ(t) + y(t) e t L[y(t)] y() + L[y(t)] ( + ) L[y(t)] y() ( + ) L[y(t)] / + ( + ) L[y(t)] + / : ( + ) L[y(t)] + + L[y(t)] ( )( + ) + + 3
31 Korábbi imereteink alapján: L[y(t)] L[y(t)] inh t + e t et e t + e t et e t 2 2 et e t + 2e t 2 et + e t 2 coh t (4...) + 2e t ábra Máodrend egyenletek Nézzük az alábbi kezdetiérték-problémát! aÿ(t) + bẏ(t) + cy(t) f(t) y() y ẏ() v, ahol t >, a, b, c adott kontanok, f(t) zintén adott függvény é y(t) az imeretlen függvény. Egy korábbi fejezetb l már tudjuk, hogy L[ẏ(t)] L[y(t)] y(), 3
32 illetve L[ÿ(t)] 2 L[y(t)] y() ẏ(). Vagyi aÿ(t) + bẏ(t) + cy(t) f(t) a ( 2 L[y(t)] y() ẏ() ) + b ( L[y(t)] y()) + c L[y(t)] L[f(t)] a 2 L[y(t)] a y() a ẏ() +b L[y(t)] b y() +c L[y(t)] L[f(t)] ( a 2 + b + c ) L[y(t)] a + b y() a ẏ() L[f(t)] ( a 2 + b + c ) L[y(t)] (a + b) y a v L[f(t)] ( a 2 + b + c ) L[y(t)] (a + b) y av L[f(t)] / + av ( a 2 + b + c ) L[y(t)] (a + b) y L[f(t)] + av / + (a + b) y ( a 2 + b + c ) L[y(t)] L[f(t)] + av + (a + b) y / : ( a 2 + b + c ) L[y(t)] L[y(t)] L[f(t)] + av + (a + b) y (a 2 + b + c) L[f(t)] (a 2 + b + c) + av (a 2 + b + c) + (a + b) y (a 2 + b + c) Máképp: a[ 2 L[y(t)] y() ẏ()] + b[l[y(t)] y()]cl[y(t)] L[f(t)], ahol { L[y(t)] G()[(a + b)y() + ẏ() + L[f(t)]], G() [ 2 + b + c] 32
33 Példa Adjuk meg a következ dierenciálegyenlet megoldáát Laplace-tranzformáció egítégével! ÿ(t) ẏ(t) + 25y(t) e 3t ẏ() y() /25 Mivel már tudjuk, hogy L[e 3t ] +3 é L[ẏ(t)] L[y(t)] y(), illetve L[ÿ(t)] 2 L[y(t)] y() ẏ(). Ezért behelyetteítünk: ÿ(t) ẏ(t) + 25y(t) e 3t 2 L[y(t)] y() ẏ() ( L[y(t)] y()) + 25 L[y(t)] L[y(t)] y() ẏ() L[y(t)] + y() + 25 L[y(t)] + 3 ( ) L[y(t)] ( ) y() ẏ() + 3 ( ) L[y(t)] ( ) ( ) L[y(t)] ( ) 25 / + ( ) ( 5) 2 L[y(t)] ( ) / : ( 5)2 25 L[y(t)] ( + 3)( 5) 2 + ( ) 25 ( 5) 2 Alkalmazzuk a parciáli törtekre bontá módzerét: Egyrézt ( + 3) ( 5) 2 a b 5 + c ( 5) 2 25
34 a( 5) 2 + b( + 3)( 5) + c( + 3) a( ) + b( ) + c + 3c a 2 a + 25a + b 2 2b 5b + c + 3c (a + b) 2 + ( a 2b + c) + 25a 5b + 3c a + b a 2b + c 25a 5b + 3c Az egyenletrendzer megoldáai: a 64, b 64, c 8 ( + 3) ( 5) ( 5) 2 Márézt ( + 3) ( 5) ( ) ( 5) 2 d 5 + e ( 5) 2 d( 5) + e ( 5) 2 d 5d + e { d 5d + e Vagyi a megoldáok: d 5, illetve e 5 Végeredmény: L[y(t)] 64 ( ) ( 5) ( 5) 2 ( ) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 2 L[y(t)] 64 e 3t 64 e5t + 8 te5t + 5 e 5t 5 te 5t (4..2.) 34
35 4..2. ábra 4.2. Magaabbrend dierenciálegyenletek Az n-edrend dierenciálegyenlet i haonlóan m ködik. a n y (n) (t) + a n y (n ) (t) a y (t) + a y(t) f(t), ahol t >. Tehát a következ képletet alkalmazhatjuk az f(t) tranzformációjának a kizámítáára: n L[f n (t)] n L[f(t)] n k f (k ) () k Vagyi picit máképp: ] n k L[f(t)] a k [ k L[y(t)] k l y (l) () + a L[y(t)] F () k l Ha L[y(t)] Y () G() [H() + F ()], ahol H() a kezdeti feltételeket tartalmazó polinom, akkor [ n ] G() a k p k, k 35
36 n H() y (l) () l n kl+ a k p k l Ekkor a formálian megadott n-edrend dierenciálegyenlet a következ képpen néz ki: { y(t) L [G()H()] + t g(t τ)f(t)dτ, g(t) L [G()]. Példa Ha y (4) + 4y(t) in t, y (3) () y (2) () y () y(), akkor az el z ek zerint Akkor Y () G() 2 +, G() Y () A megoldá: i 4( i) + i 4( + i) + 3 5i 32( i) i 32( + i) 3 + 5i 32( + ) 3 5i 32( + + i) y(t) 2 in t + 6 et (3 co t + 5 in t) 6 e t (3 co t 5 in t) (4.2..) 36
37 4.2.. ábra 4.3. Dierenciálegyenlet-rendzerek A Laplace-tranzformáció hatékony eljárá az állandó együtthatójú dierenciálegyenletek megoldáára. Ez az eljárá hatáoabb a dierenciálegyenletrendzerek megoldáára é némi zámolá után látható a megzokott módzerekkel özehaonlítva a különbég. Példa Tekintünk két elhanyagolható tömeg é k rugóállandójú rugót, melyek két m tömeg tetet tartanak egymára akaztva. Az aló tömeg egy lineári cillapítáú zerkezethez van kapcolva, amely a ebeéggel arányo ellenállát fejt ki. Ha a fel é az aló tömeg függ lege irányú kimozduláát rendre y (t) é y 2 (t) jelöli,ahol a lefelé irányuló elmozdulát vezük pozitívnak, akkor a mozgáegyenletek a következ ek: { mÿ (t) + ky (t) k(y 2 (t) y (t)), mÿ 2 (t) + kẏ 2 (t) k(y 2 (t) y (t)) 37
38 El zör nézzük az el egyenletet: m ( 2 L[y (t)] y () ẏ () ) + kl[y (t)] k(l[y 2 (t)] L[y (t)]) m 2 L[y (t)] my () mẏ () + kl[y (t)] kl[y 2 (t)] kl[y (t)] m 2 L[y (t)] my () mẏ () kl[y 2 (t)] Mot a máodik egyenletet: m ( 2 L[y 2 (t]) y 2 () ẏ 2 () ) +k (L[y 2 (t)] y 2 ()) k(l[y 2 (t)] L[y (t)]) m 2 L[y 2 (t]) my 2 () mẏ 2 ()+kl[y 2 (t)] ky 2 () kl[y 2 (t)] kl[y (t)] m 2 L[y 2 (t]) my 2 () mẏ 2 ()+kl[y 2 (t)] ky 2 () kl[y 2 (t)] kl[y (t)] { m 2 L[y (t)] kl[y 2 (t)] my () + mẏ () (m 2 + k k)l[y 2 (t]) kl[y (t)] (m + k)y 2 () + mẏ 2 () Leoztunk m-mel: { 2 L[y (t)] k m L[y 2(t)] y () + ẏ (), ( 2 + k m k m )L[y 2(t]) k m L[y (t)] ( + k m )y 2() + ẏ 2 () Ha ω 2 k m é γ c m, akkor { ( 2 + 2ω 2 )L[y (t)] ω 2 L[y 2 (t)] y () + ẏ (), ( 2 + γ ω 2 )L[y 2 (t]) ω 2 L[y (t)] ( + γ)y 2 () + ẏ 2 () { ( 2 + 2ω 2 )L[y (t)] ω 2 L[y 2 (t)] y () + ẏ (), ω 2 L[y (t)] + ( 2 + γ ω 2 )L[y 2 (t]) ( + γ)y 2 () + ẏ 2 () 38
39 Az imeretlenek kiküzöböléével: L[y (t)] G()H (), L[y 2 (t)] G()H 2 (), G() [( 2 + 2ω 2) ( 2 + γ ω 2) ω 4], H () [ 2 + γ ω 2 ][y () + ẏ ()] + ω 2 [( + γ)y 2 () + ẏ 2 ()], H 2 () ω 2 [y () + ẏ ()] + [ 2 + 2ω 2 ][( + γ)y 2 () + ẏ 2 ()]. Innen a megoldá, mint egy negyedfokú egyenlet eetén: de talán mot könynyebb, ha feltezük a cillapítái tényez kici, vagyi G() ( 2 + Γ + Ω 2 ) ( 2 + Γ 2 + Ω 2 2), Ω 2 2 ω2 (3 + 5) 2, 62ω 2, Ω ω2 (3 5), 38ω 2, Γ 2 γ( /qrt5), 27γ, Γ 2 2 γ( + /qrt5), 72γ. 39
40 5. fejezet Özegzé A dolgozatban kizámolt Laplace-tranzformáltakat illetve azok inverzeit özegy jtöttem az alábbi özegz táblázatba. Özegz táblázat f(t) L[f(t)]. 2. t 2 3. t 2 2! 3 4. t 3 3! 4 5. t n n! n+ 6. e at a 7. t e at ( a) 2 8. t 2 e at 2! ( a) 3 at n! 9. t n e ( a) n+ ia. in at 2 +a 2. co at 2 +a 2 2. coh at 2 a 2 a 3. inh at 2 a 2 4. in 2 2a at 2 ( 2 +4a 2 ) 5. t co at 2 a 2 ( 2 +a 2 ) 2 6. t 2 inh at 2a(a ) ( 2 a 2 ) 3 4
41 Özegz táblázat f(t) L[f(t)] in at 7. arctan ( ) a t in 8. 2 at ln t 4 + 4a (t 3) 2 e 2 2! b(t a) e a 2. e +b 2. e at +a coh bt 3 (+a) 2 b 2 t 22. n inh at (+a) n+ ( a) n+ n! 2( 2 a 2 ) n+ a 23. t in t 3 2 ( 2 +a 2 ) 24. co t ( 2 +) 5. t co at 2 a 2 ( 2 +a 2 ) 2 6. t 2 inh at 2a(a ) ( 2 a 2 ) 3 4
42 Irodalomjegyzék [] Hanka Lázló-Zalay Mikló: Komplex függvénytan M zaki Könyvkiadó, Budapet (23) [2] Brian Davie: Integráltranzformációk é alkalmazáaik M zaki Könyvkiadó, Budapet (983) [3] Bátkai Andrá: Analízi III. ELTE kézirat [4] Sain Márton: Matematikatörténeti ABC Tankönyvkiadó, Budapet (974) 42
Laplace-transzformáció és alkalmazása
Eötvö Loránd Tudományegyetem Termézettudományi Kar Laplace-tranzformáció é alkalmazáa Szakdolgozat Ki Ezter Matematika BSc., Elemz zakirány Témavezet : Bátkai Andrá, Egyetemi docen Alkalmazott Analízi
RészletesebbenLaplace-transzformáció és alkalmazása
Eötvö Loránd Tudományegyetem Termézettudományi Kar Laplace-tranzformáció é alkalmazáa Szakdolgozat Ki Ezter Matematika BSc., Elemz zakirány Témavezet : Bátkai Andrá, Egyetemi docen Alkalmazott Analízi
RészletesebbenLaplace transzformáció
Laplace tranzformáció 27. márciu 19. 1. Bevezeté Definíció: Legyen f :, R. Az F ) = f t) e t dt függvényt az f függvény Laplace-tranzformáltjának nevezzük, ha a fenti impropriu integrál valamilyen R zámokra
Részletesebben1.1. A Laplace-transzformált és fontosabb tulajdonságai
. A Laplace-tranzformált. A Laplace-tranzformált.. A Laplace-tranzformált é fontoabb tulajdonágai Jelölje R a való zámok é C a komplex zámok halmazát. Legyen g : [a,b] C adott komplex értékű függvény.
RészletesebbenMatematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz
Matematika M. zárthelyi megoldáok, 07 tavaz A coport Pontozá: 0 + + 6 + 50 pont. Számíta ki az alábbi adatokhoz legkiebb négyzete értelemben legjobban illezkedő legfeljebb máodfokú polinomot! x i 3 0 y
RészletesebbenFrekvenciatartomány Irányítástechnika PE MI BSc 1
Frekvenciatartomány ny 008.03.4. Irányítátechnika PE MI BSc Frekvenciatartomány bevezetéének indoka: általában időtartománybeli válaz kell alkalmazott teztelek i ezt indokolák információ rendzerek eetében
RészletesebbenIrányítástechnika 3. előadás
Irányítátechnika 3. előadá Dr. Kovác Levente 203. 04. 6. 203.04.6. Tartalom Laplace tranzformáció, fontoabb jelek Laplace tranzformáltja Stabilitá alaptétele Bode diagram, Bode-féle tabilitá kritérium
RészletesebbenGÉPÉSZETI ALAPISMERETEK
Gépézeti alapimeretek középzint 2 ÉRETTSÉGI VIZSGA 204. máju 20. GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fonto tudnivalók
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenAz átviteli (transzfer) függvény, átviteli karakterisztika, Bode diagrammok
Elektronka. Bode dagramok, éldák /9 Az átvtel (tranzfer) függvény, átvtel karakterztka, Bode dagrammok.) Tku feladat: Számítuk k adott lezáráok mellett egy lneár hálózat (oerátor tartomány) u j T tranzfer
RészletesebbenA 2006/2007. tanévi Országos középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai és azok megoldásai f i z i k á b ó l. I.
006/007. tanévi Orzágo középikolai Tanulmányi Vereny máodik fordulójának feladatai é azok megoldáai f i z i k á b ó l I. kategória. feladat. Egy m maga 30 hajlázögű lejtő lapjának elő é máodik fele különböző
RészletesebbenFeladatgy jtemény az Irányítástechnika II. c. tárgyhoz
BME Közlekedéautomatikai Tanzék Feladatgy jtemény az Irányítátechnika II. c. tárgyhoz Özeállította: Dr. Bokor Józef egyetemi tanár Dr. Gápár Péter egyetemi tanár Bauer Péter tudományo munkatár Lupay Tamá
RészletesebbenMaradékos osztás nagy számokkal
Maradéko oztá nagy zámokkal Uray M. Jáno, 01 1 Bevezeté Célunk a nagy termézete zámokkal való zámolá. A nagy itt azt jelenti, hogy nagyobb, mint amivel a zámítógép közvetlenül zámolni tud. A termézete
RészletesebbenFIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Fizika emelt zint 08 É RETTSÉGI VIZSGA 0. október 7. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utaítáai zerint,
RészletesebbenÉrzékelők és beavatkozók
Érzékelők é beavatkozók DC motorok 2. réz egyetemi docen - 1 - A DC motor dinamiku leíráa Villamo egyenlet: R r L r i r v r v e v r a forgóréz kapocfezültége i r a forgóréz árama R r a forgóréz villamo
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
RészletesebbenTetszőleges mozgások
Tetzőlege mozgáok Egy turita 5 / ebeéggel megy órát, Miel nagyon zép elyre ér lelaít é 3 / ebeéggel alad egy fél óráig. Cino fiukat/lányokat (Nem kíánt törlendő!) lát meg a táolban, ezért beleúz é 8 /
RészletesebbenMindennapjaink. A költő is munkára
A munka zót okzor haználjuk, okféle jelentée van. Mi i lehet ezeknek az egymától nagyon különböző dolgoknak a közö lényege? É mi köze ezeknek a fizikához? A költő i munkára nevel 1.1. A munka az emberi
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem MTK Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék Tartók statikája I. Dr. Papp Ferenc RÚDAK CSAVARÁSA
Széchenyi Itván Egyetem MTK Szerkezetépítéi é Geotechnikai Tanzék Tartók tatikája I. 1. Prizmatiku rúdelem cavaráa r. Papp Ferenc RÚAK CSAVARÁSA Egyene tengelyű é állandó kereztmetzetű (prizmatiku) rúdelem
Részletesebben2006/2007. tanév. Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny I. forduló november 10. MEGOLDÁSOK
006/007. tanév Szakác Jenő Megyei Fizika Vereny I. forduló 006. noveber 0. MEGOLDÁSOK Szakác Jenő Megyei Fizika Vereny I. forduló 006..0. Megoldáok /0. h = 0 = 0 a = 45 b = 4 = 0 = 600 kg/ g = 98 / a)
RészletesebbenJeges Zoltán. The mystery of mathematical modelling
Jege Z.: A MATEMATIKAI MODELLEZÉS... ETO: 51 CONFERENCE PAPER Jege Zoltán Újvidéki Egyetem, Magyar Tannyelvű Tanítóképző Kar, Szabadka Óbudai Egyetem, Budapet zjege@live.com A matematikai modellezé rejtélyei
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 3. félév. 1. konferencia A Laplace-transzformáció
Figyelem! A feladato megoldáa legyen átteinthető é rézlete, de férjen el az arra zánt helyen! Ha valamelyi feladat megoldáához útmutatát talál, aor övee azt értelemzerűen a feladatcoport többi feladatában
RészletesebbenA differenciálgeometria alapjai: görbeelmélet
A differenciálgeometria alapjai: görbeelmélet Előadávázlat Kovác Zoltán előadáaihoz 2003. december 4.. Differenciálá A differenciálá fogalmára több zituációban i zükégünk lez R R, R R 2, R R 3, R 2 R 2,
RészletesebbenTARTÓSZERKEZETEK II.-III.
TRTÓSZERKEZETEK II.-III. VSBETOSZERKEZETEK 29.3.7. VSBETO KERESZTMETSZET YOMÁSI TEHERBÍRÁSÁK SZÁMÍTÁS kereztmetzet teherbíráa megelelı ha nyomott km. eetén: Rd hol a normálerı tervezéi értéke (mértékadó
RészletesebbenKidolgozott minta feladatok kinematikából
Kidolgozott minta feladatok kinematikából EGYENESVONALÚ EGYNLETES MOZGÁS 1. Egy gépkoci útjának az elő felét, a máik felét ebeéggel tette meg. Mekkora volt az átlagebeége? I. Saját zavainkkal megfogalmazva:
RészletesebbenHatvani István fizikaverseny forduló megoldások. 1. kategória
Hatvani Itván fizikavereny 07-8.. kategória.3.. A kockából cak cm x cm x 6 cm e függőlege ozlopokat vehetek el. Ezt n =,,,35 eetben tehetem meg, így N = n 6 db kockát vehetek el egyzerre úgy, hogy a nyomá
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenGyengesavak disszociációs állandójának meghatározása potenciometriás titrálással
Gyengeavak izociáció állanójának meghatározáa potenciometriá titráláal 1. Bevezeté a) A titrálái görbe egyenlete Egy egybáziú A gyengeavat titrálva NaO mérőolattal a titrálá bármely pontjában teljeül az
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenObudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Részletesebben2015.06.25. Villámvédelem 3. #5. Elszigetelt villámvédelem tervezése, s biztonsági távolság számítása. Tervezési alapok (norma szerint villámv.
Magyar Mérnöki Kamara ELEKTROTECHNIKAI TAGOZAT Kötelező zakmai továbbképzé 2015 Villámvédelem #5. Elzigetelt villámvédelem tervezée, biztonági távolág zámítáa Villámvédelem 1 Tervezéi alapok (norma zerint
RészletesebbenSzámítógép-vezérelt szabályozás- és irányításelmélet
Számítógép-vezérelt szabályozás- és irányításelmélet 2. gyakorlat Feladattípusok két függvény konvolúciója ÿ + aẏ + by = e at, y(), ẏ() típusú kezdetiérték feladatok megoldása (Laplace transzformációval)
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenRugalmas megtámasztású merev test támaszreakcióinak meghatározása III. rész
ugala egtáaztáú erev tet táazreakcióinak eghatározáa III réz Bevezeté Az előző két rézen olyan típuú feladatokkal foglalkoztunk, az aktív külő erők é a rugala egtáaztó eleek által a erev tetre kifetett
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
RészletesebbenHajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
Részletesebben= 450 kg. b) A hó 4500 N erővel nyomja a tetőt. c) A víz tömege m víz = m = 450 kg, V víz = 450 dm 3 = 0,45 m 3. = 0,009 m = 9 mm = 1 14
. kategória... Adatok: h = 5 cm = 0,5 m, A = 50 m, ρ = 60 kg m 3 a) kg A hó tömege m = ρ V = ρ A h m = 0,5 m 50 m 60 3 = 450 kg. b) A hó 4500 N erővel nyomja a tetőt. c) A víz tömege m víz = m = 450 kg,
RészletesebbenEgyedi cölöp süllyedésszámítása
14. zámú mérnöki kézikönyv Friítve: 2016. áprili Egyedi cölöp üllyedézámítáa Program: Cölöp Fájl: Demo_manual_14.gpi Ennek a mérnöki kézikönyvnek tárgya egy egyedi cölöp GEO5 cölöp programmal való üllyedézámítáának
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ
BABE -BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 9. július. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL FONTOS MEGJEGYZÉS: ) Az A. részben megjelen feleletválasztós feladatok esetén
RészletesebbenTartalom Fogalmak Törvények Képletek Lexikon 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Fizikkönyv ifj Zátonyi Sándor, 16 Trtlom Foglmk Törvények Képletek Lexikon Mozgá lejtőn Láttuk, hogy tetek lejtőn gyoruló mozgát végeznek A következőkben vizgáljuk meg rézleteen ezt mozgát! Egyene lejtőre
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenSzakács Jenő Megyei Fizika Verseny, az I. forduló feladatainak megoldása 1
Szakác enő Megyei Fizika Vereny, az I. forduló feladatainak megoldáa. t perc, az A fiú ebeége, a B fiú ebeége, b 6 a buz ebeége. t? A rajz alapján: t + t + b t t t + t + 6 t t 7 t t t 7t 4 perc. Így A
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenHidraulikatömítések minősítése a kenőanyag rétegvastagságának mérése alapján
JELLEGZETES ÜZEMFENNTATÁSI OBJEKTUMOK ÉS SZAKTEÜLETEK 5.33 Hidraulikatömítéek minőítée a kenőanyag rétegvatagágának mérée alapján Tárgyzavak: tömíté; tömítőrendzer; hidraulika; kenőanyag; méré. A jó tömíté
RészletesebbenA hullámegyenlet megoldása magasabb dimenziókban
A hullámegyenlet megoldása magasabb dimenziókban Orbán Ágnes Fábián Gábor Kolozsi Zoltán 2009. október 29. A hullámegyenlet Hullámegyenletnek nevezzük a következ lineáris parciális dierenciálegyenletet:
RészletesebbenGyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Kísérlettervezés témakör
Gyakorló feladatok a Kíérletek tervezée é értékelée c. tárgyól Kíérlettervezé témakör. példa Nitrálái kíérleteken a kitermelét az alái faktorok függvényéen vizgálták:. a alétromav-adagolá idee [h]. a reagáltatá
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
Részletesebben1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!
Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)
RészletesebbenTartalomjegyzék. dr. Lublóy László főiskolai docens. Nyomott oszlop vasalásának tervezése
dr. Lulóy Lázló főikolai docen yomott ozlop vaaláának tervezée oldalzám: 7. 1. Tartalomjegyzék 1. Központoan nyomott ozlop... 1.1. Vaalá tervezée egyzerűített zámítáal... 1..Vaalá tervezée két irányan....
RészletesebbenDinamika. F = 8 N m 1 = 2 kg m 2 = 3 kg
Dinamika 1. Vízzinte irányú 8 N nagyágú erővel hatunk az m 1 2 kg tömegű tetre, amely egy fonállal az m 2 3 kg tömegű tethez van kötve, az ábrán látható elrendezében. Mekkora erő fezíti a fonalat, ha a
RészletesebbenLagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
Részletesebben( ) abszolút érték függvényét!
Modulzáró példák. Folytono lineári rendzerek leíráa az idő-, az operátor- é a frekvenciatartományban. Egy lineári rendzer frekvenciafüggvényének fázimenete: (")= # 90 # 5". Írja fel a rendzer átviteli
RészletesebbenKurzusinformáció. Analízis II, PMB1106
Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás
RészletesebbenELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK LENGÉSTANBÓL: A rugóállandó a rugómerevség reciproka. (Egyik végén befogott tartóra: , a rugómerevség mértékegysége:
ELLENŐRZŐ ÉRDÉSE LENGÉSNBÓL: Átaáno kérdéek: Mik a engőrendzer eemei?: engőrendzer eemei: a tömeg(ek), a rugó(k), ietve a ciapítá(ok). Mi a rugóáandó?: rugóáandó a rugó egyégnyi terheé aatti aakvátozáát
RészletesebbenA kör harmadik pontjának meghatározásához egy könnyen kiszámítható pontot keressünk
7. Átviteli ellemzők fogalma é ábrázoláa! A kondenzátor kapacitív reaktanciáa: Z Tehát az áramkör ellemzői a rákapcolt zinuzo el frekvenciáától függenek, ha az áramkör energiatároló elemet, i tartalmaz.
RészletesebbenA 32. Mikola Sándor Fizikaverseny feladatainak megoldása Döntı - Gimnázium 10. osztály Pécs 2013. 1 pont
A Mikola Sándor Fizikavereny feladatainak egoldáa Döntı - Gináziu oztály Péc feladat: a) Az elı eetben a koci é a ágne azono a lauláát a dinaika alaegyenlete felhaználáával záolhatjuk: Ma Dy Dy a 6 M ont
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
Részletesebben7. feladatsor: Laplace-transzformáció (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyésmérnöki, Biomérnöki, Környeetmérnöki sakok, 017/18 ős 7. feladatsor: Laplace-transformáció (megoldás) 1. A definíció alapján sámoljuk ki a követkeő függvények Laplace-transformáltját.
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenRENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 17.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenTanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor
Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenFeladatok matematikából 3. rész
Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenDIFFERENCIÁL EGYENLETRENDSZEREK DR. BENYÓ ZOLTÁN
DIFFERENCIÁL EGYENLETRENDSZEREK DR. ENYÓ ZOLTÁN be Redzer folyaat t differeciáló ódzer: Feltételezük egy értéket é ebből képezzük az elő, áodik, az -edik deriváltat. Itegráló ódzer z -edik deriváltból
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenNumerikus integrálás
Közelítő és szimbolikus számítások 11. gyakorlat Numerikus integrálás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Határozatlan integrál
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika Aa Analízis BMETE90AX00 Az exp és ln függvények H607, EIC 209-04-24 Wettl
RészletesebbenA pontszerű test mozgásának kinematikai leírása
Fizikakönyv ifj. Zátonyi Sándor, 07. 07. 3. Tartalo Fogalak Törvények Képletek Lexikon Fogalak A pontzerű tet ozgáának kineatikai leíráa Pontzerű tet. Vonatkoztatái rendzer. Pálya pontzerű tet A pontzerű
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebben