Laplace-transzformáció és alkalmazása

Átírás

1 Eötvö Loránd Tudományegyetem Termézettudományi Kar Laplace-tranzformáció é alkalmazáa Szakdolgozat Ki Ezter Matematika BSc., Elemz zakirány Témavezet : Bátkai Andrá, Egyetemi docen Alkalmazott Analízi é Számítámatematikai Tanzék Budapet 22

2 Tartalomjegyzék. Bevezeté 2 2. Laplace-tranzformáció Deníció é alkalmazáa Fontoabb alkalmazái zabályok Deriválhatóág é integrálhatóág A generátor függvény deriváláa Laplace-tranzformált deriváláa A generátor függvény primitív függvényének tranzformáltja Laplace tranzformált integráláa Inverz Laplace-tranzformáció Parciáli törtekre bontá módzere Közönége dierenciálegyenletek é egyenletrendzerek Példák dierenciálegyenletekre Dierenciálegyenletrendzerek Integrálegyenletek

3 . fejezet Bevezeté A dolgozat a Laplace-tranzformációval é annak alkalmazáával foglalkozik. El zör röviden imertetném Laplace életét é munkáágát, majd a tranzformáció deníciója é annak alkalmazáa következik néhány függvényre. Ezek után a tranzformáltra vonatkozó tulajdonágokat vezük orra. A következ fejezetben a Laplace-tranzformált é a generátor függvény alakuláát nézzük meg deriválára é integrálára vonatkozóan. Ezek után a tranzformáció inverzét é a parciáli törtekre bontá módzerét tárgyaljuk. A dolgozat tranzformáció legfontoabb alkalmazáával, a közönége dierenciálegyenletek é egyenletrendzerek valamint az integrálegyenletek tárgyaláával zárul. Ahol láthatjuk hogy a tranzformáció a dierenciálegyenletek é egyenletrendzerekb l algebrailag könnyebben megoldhatót hoz létre. Laplace élete é munkáága Szülei zegényparaztok voltak. Beaumont-ban zületett. A beaumont-i katonai ikolának bejáró növendéke volt, ahol felt nt kit n emlékez képeégével. Tanulmányainak elvégzée után ugyanennek az ikolának lett tanára. Képeégeinek azonban a ki vidéki ikola nem biztoított elég lehet éget, é ezért Párizba ment. Ajánlóleveleivel D'Alembertnél jelentkezett. A híre enciklopédita azonban nem fogadta Laplace-t. Ekkor Laplace ajátkez leg írt levélben kerete fel. A levél elolvaáa után Laplace el tt megnyílt D'Alembert ajtaja, hizen ez az írá a mechanikai elvekr l zóló remek értekezé volt. Pár nap múlva Laplace-t az École Militaire matematika tanárává nevezték ki. Ett l kezdve gyoran haladt el re. 24 éve korában már az akadémia levelez tagja, majd a királyi tüzérég növendékeinek examinátora (vizgáztatója) lett. 8 után majdnem minden európai tudományo akadémia tagjául válaztotta. 794-ben az École Normale Supérieure analízi tanára lett, nem okkal ké bb pedig a Mértékügyi Hivatal tagja é elnöke. 82-ben jelent meg a Théorie analitique de probalitité (A valózín ég analitikai elmélete) cím m ve, amely a valózín égzámítát a matematika önálló ágaként 2

4 tárgyalja. Ebben a m ben jelent meg a valózín ég klaziku modellje, amely akkor alkalmazható, ha vége ok elemi eemény van, é azok bekövetkezée egyformán valózín. A newtoni mechanika alapjain az égi mechanika kifejl dée L. Euler, J. L. D'Alembert, J. L. Lagrange é P. S. Laplace tevékenyége nyomán indult meg. Különöen jelent Laplace munkáága, mely az égi mechanika valamennyi területére kiterjedt. Nagy özefoglaló m ve a "Traité de Mécanique Célete" (I.-IV. kötet , V. kötet 825) az égi mechanika problémáinak el rendzere tárgyaláát adja. Joggal tekintik Laplace-t az égi mechanika megalapítójának (az égi mechanika elnevezé i t le zármazik). 3

5 2. fejezet Laplace-tranzformáció Ebben a fejezetben a Laplace-tranzformáltat fogom deniálni é ennek alapján néhány függvénynek kizámolom a trazfolmáltját. 2.. Deníció é alkalmazáa 2.. Deníció. Az f : [, [ C, t f(t) függvény Laplace-tranzformáltja az F () = f(t) e t dt függvény, melynek értelmezéi tartománya a ], [ intervallum azon pontjaiból áll, ahol a fenti impropriu integrál konvergen. Jelölé: L[f(t)] = F () Deníció alapján zámítuk ki néhány függvény Laplace-tranzformáltját! Az értelmezéi tartományt a továbbiakban nem jelöljük külön.. f(t) = Alkalmazva a deníciót a következ t kapjuk. [ e F () = e t t dt = ] = + =. Tehát L[] = é az integrál linearitáa miatt tetz lege c R eetén L[c] = c. 2. f(t) = t A parciáli integrálát alkalmazom a következ megoldáakor. F () = t e t dt = ] [t e t e t dt = 4 e t = [ ] e t = = 2

6 Tehát L[t] = 2, illetve bármely c R eetén L[c t] = c f(t) = t n, n N +, n 2. Ennek meghatározáához telje indukciót haználok. Kizámolom n = 2 é n = 3 eetet i. a) El zör legyen n = 2. Ekkor parciálian integrálunk majd felhaználjuk a 2. feladatban kapott eredményt, így F () = = + 2 t 2 e t dt = ] [t 2 e t 2t e t dt = t e t dt = 2 L[t] = 2 2 = 2 3 = L[t2 ]. b) Ha n = 3, akkor F () = = + 3 t 3 e t dt = ] [t 3 e t 3t 2 e t dt = t 2 e t dt = 3 L[t2 ] = = 3! 4 = L[t3 ]. c) Telje indukcióval megkapható bármely n-re megkaphatjuk L[t n ] képletét. L[t n ] = t n e t dt = [t n e t ] n t n e t dt = = n tn e t dt = n t n e t dt = = n ] ([t n e t ) (n )t n 2 e t dt = = n ( ) n tn 2 e t dt = n n t n 2 e t dt = = n n ] ([t n 2 e t ) (n 2)t n 3 e t dt = 5

7 = n n n 2 ( tn 3 e t dt) = n n n 2 t n 3 e t dt =... = n n n t 3 e t dt = n n n L[t3 ] = = n n n ! 4 = n! n+ = L[tn ]. A fontoabb exponenciáli é trigonometriku függvények trazformáltja közetkezik.. f(t) = e at Ekkor F () = [ e (a )t a e at e t dt = ] e (a )t dt = = a = a. Ez alapján L[e at ] = + a. 2. Legyen f(t)=t e at, ahol a tetz lege való vagy komplex állandó. Imét a parciáli integrálát alkalmazzuk az f = t é a g = e at e t kioztáal. 3. f(t) = t n e at n=-re már láttuk F () = t e at e t dt = [ ] e ( a)t = t ( a) [ ] e ( a)t ( = = ( + a) 2 L[t e at ] = t e ( a)t dt = e ( a)t ( a) dt = ) = ( a) 2 ( a) 2. ( a) 2. 6

8 n=2 eetben a következ képpen alakul F () = [ t a e ( a)t ( a) t 2 e at e t dt = ] 2 t t 2 e ( a)t dt = e ( a)t ( a) dt = t e at e t dt = 2 a ( a) = 2 2 ( a). 3 Folytatható az eljárá n 3 eetén i. Telje indukcióval pedig megkaphatjuk L[t n e at ] képletét. Az indukció orán parciáli integrálát hajtunk végre. Tehát L[t n e at ] = t n e at e t dt = t n e ( a)t = ] [t n e ( a)t ( a) n e ( a)t n t ( a) dt = n ( a) tn e ( a)t dt = n a t n e ( a)t dt = n ([ ] a t n e ( a)t ( a) (n ) t n 2 ) e ( a)t ( a) dt = n ( ) a n ( a) tn 2 e ( a)t dt = n a n a t n 2 e ( a)t dt = n a n ([ ] a t n 2 e ( a)t ( a) (n 2)t n 3 ) e ( a)t ( a) dt = n a n ( a n 2 ( a) ) t n 3 e ( a)t dt = n a n a n 2 a t n 3 e ( a)t dt =... = 7

9 n a n a... 3 a t 2 e ( a)t dt = n a n a n 2 a... 3 a L[t2 e at ] = n a n a n 2 a... 3 a 2! ( a) 3 = n! ( a) n+ = L[tn e at ]. 4. f(t) = co(at) Ebben az eetben haználjuk az Euler formulát (e iφ = co φ+i in φ, e iφ = co φ i in φ). A két egyenl éget kivonva egymából é rendezve kapjuk, hogy a co(at) = eiat +e iat.ez 2 alapján a tranzformált a következ képpen alakul. F () = co(at) e t dt = e (ia )t + e ( ia )t = = 2 = ( 2 ) ia = ia 2 e (ia )t e iat + e iat e t dt = e ( ia )t ( ia ) (ia ) a 2 2 = 2 2 = 2 a 2 2 = a Végül a hiperboliku függvényekre mutatunk néhány példát. 5. f(t) = coh(at), a C tetz lege, z = at. A coh z = ez +e z 2 a 4.példára hivatkozva, így kapjuk F () = e at + e at 2 e t dt = 2 e at e t + e at e t dt = 2 L[eat ] L[e at ]. Az exponenciáli függvényeknél már láttuk e ±at tranzformálját,ez alapján az eredmény ( 2 a + ) = + a 2 a. 2 8

10 6. f(t) = inh(at) Itt i felhaználjuk az Euler-formulát,így inh z = ez e z, 2 tehát F () = 2 (e at e t e at e t ) = 2 [ ] = + a a 2 a f(t) = t inh(at) 2 F () = t e at e t 2 t inh(at) e t dt = t eat e at 2 e t dt = te at e t = 2 ( a) 2 2 ( + a) = 2a 2 ( 2 a 2 ). 2 Az alábbi táblázatban özegy jtöttem a fontoabb függvények Laplace-tranzformáltját. f(t) L[t]. 2. t 2 3. t t n n! n+ 5. e at a 6. ln(t) (C + ln()) 7. co(at) 2 +a 2 8. in(at) a 2 +a 2 9. co 2 (at) 2 +2a 2. in 2 (at) ( 2 +4a 2 ) 2(a 2 ) ( 2 +4a 2 ). t co(at) 2 a 2 ( 2 +a 2 ) 2 2. t in(at) 2a ( 2 +a 2 ) 2 in(at) 3. arctan( a) t 4. coh(at) 2 a 2 5. inh(at) a 2 a 2 6. coh 2 at 2 2a 2 ( 2 4a 2 ) 7. inh 2 at 2a 2 ( 2 4a 2 ) 9

11 2.2. Fontoabb alkalmazái zabályok A következ pontban 5 fonto alkalmazái tulajdonágát zemléltetem a tranzformáltnak.. Linearitá Adott f(t), amelynek Laplace tranzformáltja L[f(t)] = F () akkor L[K f(t)] = K L[f(t)] = K F (), valamely K való vagy komplex zámra. Ugyani a kontan kiemelhet ége miatt L[Kf(t)] = K f(t)e t dt = K f(t)e t = K L[f(t)]. Adott f (t), f 2 (t), amelyeknek Laplace tranzformáltja F (), F 2 (), akkor L[f (t) + f 2 (t)] = L[f (t)] + L[f 2 (t)] = F () + F 2 (). Ugyani az integrál additivitáa é diztributívitáa miatt L[f (t) + f 2 (t)] = (f (t) + f 2 (t))e t dt = f (t)e t dt = L[f (t)] + L[f 2 (t)] = F () + F 2 (). Mindkét törvényzer ég azzal igazolható hogy a Laplace-tranzformált tulajdonképpen határozott integrál. 2. Eltolái tétel Adott f(t), amelynek Laplace tranzformáltja L[f(t)]=F(), ekkor f(t τ) eetén a Laplace tranzformált eredménye a t τ = z,t = z + τ,dt = dz helyetteítéel L[f(t τ)] = f(t τ)e t dt = f(z)e (z+τ) dz = f(z)e z e τ dz = e τ f(z)e z dz = e τ F (). 3. Cillapítái tétel Mot megvizgáljuk az el z kérdé fordítottját. Ha F az f függvény tranzformáltja, akkor az F ( + a) függvény mely generátorfüggvényhez tartozik? Mivel F () = f(t)e t dt

12 ezért F ( + a) = f(t)e (+a)t dt = f(t)e at e t = L[f(t)e at ]. Tehát a Laplace-tranzformált eltoláa a generátorfüggvény e at exponenciáli tényez vel való zorzáával egyenérték. A cillapítái tétel egítégével zámítuk ki a következ függvény tranzformáltját! f(t) = e at coh(bt) Korábban már láttuk hogy L[coh(bt)] = 2 2 b 2 Ebb l következ en + a helyetteítéel adódik: 4. Haonlóági tétel L[e at coh(bt)] = ( + a)2 ( + a) 2 b 2 Adott f(t), amelynek Laplace tranzformáltja L[f(t)] = F () ekkor f(at) eetén a Laplace tranzformáció eredménye: Legyen at = z, ekkor t = z a é dt = dz így, a L[f(at)] = f(at)e t dt = f(z)e z a a dz = a f(z)e a z dz = a F ( a ). Haonlóági tétellel zámoljuk ki a L[ln(at)]-t! Laplace-tranzformáltakat tartalmazó táblázatból tudjuk hogy: L[ln t] = (C + ln ), ahol C egy állandó. Innen a haonlóági tétellel adódik: L[ln at] = a Számoljuk ki a L[(at) 2 coh(at)]-t! ( ( C + ln )) = ( C + ln ). a a a Szintén a táblázatból tudjuk, hogy L[t 2 coh(t)] = 2(2 + 3) ( 2 ) 3.

13 Ahonnan a haonlóági tétellel adódik L[(at) 2 coh(bt)] = a (( 2 ) 2 a a) + 3 (( 2 ) 3 = a) ( 2 2 a a ) + 3 a 2 ( ) 3 = a 2 2 (2 + 3a 2 ). ( 2 a 2 ) 3 2 a 2 5. Konvolúció Az f (t) é f 2 (t) függvények konvolúcióját a g(t) = t f (t)f 2 (t τ)dτ özefüggéel értelmezzük. Mot tekintük a g(t) Laplace-tranzformáltját. Ceréljük meg az integrálá orrendjét, é vezeük be a t = t τ változót: = G() = = e t dt f (t)dτ e t f (τ)dτ t t f (t)f 2 (t τ)dτ = e t f 2 (t τ)dt = e t f 2 (t )dt = F ()F 2 (). Így a konvolúció tranzformáltja egyzer en az egye tranzformáltak zorzata. 2

14 3. fejezet Deriválhatóág é integrálhatóág 3.. A generátor függvény deriváláa Eddig a deníció alapján határoztuk meg egy függvény Laplace-tranzformáltját. A mot következ rézben a gyakorlati zempontból fonto eljárát fogalmazunk meg. Melynek egítégével könnyebben el állítható a tranzformált. El zör egy függvény deriváltjának Laplace-tranzformáltjával foglalkozunk. A deníció alapján adódik L[f (t)] = f() + f (t)e t dt = ahol F az f függvény Laplace-tranzformáltja. Tehát [ f(t) e t ] f(t)( )e t dt = f(t)e t dt = L[f(t)] f() = F () f(), L[f (t)] = L[f(t)] f(). Ennek a formulának az imételt alkalmazáával el állíthatjuk magaabb rend deriváltak tranzformáltját i L[f (t)] = L[f (t)] f () = (L[f(t)] f()) f () = 2 L[f(t)] f() f (). Így ha tovább folytatjuk adódik az n-edrend deriváltakra vonatkozó formula L[f (n)(t) ] = n L[f(t)] n f() n 2 f... f (n ) (). 3

15 A következ példákon kereztül illuztrálnám ezt a zabályt..f(t) = t Akkor L[f (t)] = 2 f() =. 2.f(t) = co(at) A táblázatból láthatjuk hogy akkor L[co(at)] = 2 + a 2 3.f(t) = co 2 at L[f (t)] = L[ a in(at)] = L[co(at)] f() = 2 + a 2 f(). ekkor f (t) = 2 co(at)( in(at))a = a2 in(at) co(at) = a in 2(at) tehát L[f 2a (t)] = al[in 2at] = a = L[f(t)] f() = L[f(t)], 2 + 4a2 4.f(t) = in 2 at Mivel L[f(t)] = ) ( 2a2 = 2 + 4a 2 + 4a 2 2a 2 = 2 + 2a a 2 ( 2 + 4a 2 ). ezért f (t) = 2 in(at) co(at) a = a2 in(at) co(at) = a in 2a, tehát L[a in 2a] = a L[in 2a] = a 2a 2 + 4a 2, L[f(t)] = a 2a a 2 = 2a 2 ( 2 + 4a 2 ). 4

16 3.2. Laplace-tranzformált deriváláa Az alábbi eredmény azt mondja, hogy a Laplace-tranzformált -zerinti deriváltját kizámíthatjuk úgy,hogy a deriválá é az impropriu integrál orrendjét felcerélhetjük, azaz el zör zerint deriváljuk az e t f(t) kifejezét, majd a kapott eredménynek bezük az impropriu integrálját. Ezért: így d d F () = d d f(t) e t dt = f(t)( t) e t = f(t) d d e t dt = t f(t) e t dt d F () = L[t f(t)]. d Általánoan n-edrend deriváltra a következ t kapjuk vagyi d n dn F () = dn d n f(t) e t = ( t) n f(t) e t dt = ( ) n t n f(t) e t dt = ( ) n L[t n f(t)], d n d n F () = ( )n L[t n f(t)]. A következ rézben az el z ekhez haonlóan néhány feladaton kereztül mutatnám be az egye függvények tranzformáltjának deriváláát..legyen f(t) = t in(at). Felhaználva L[in(at)] = kapjuk, hogy a 2 +a 2 = F (), valamint alkalmazva d F () = L[t f(t)] formulát d L[t in(at)] = d ( d a 2 + a = a 2 ) = 2 ( 2 + a 2 ) 2 2a ( 2 + a 2 ) Legyen f(t) = t 2 coh(at) Korábbról tudjuk a hiperboliku függvény tranzformáltját F () = L[coh(at)] = 2 a 2. 5

17 Erre alkalmazzuk a képletet így, 3. Legyen f(t) = t n e at. d 2 d 2 F () = ( )2 L[t 2 coh(at)] ( ) L[t 2 coh(at)] = d2 = d ( ) ( 2 a 2 ) 2 = d 2 2 a 2 d ( 2 a 2 ) 2 = d ( ) 2 a 2 = 2(2 + 3a 2 ) d ( 2 a 2 ) 2 ( 2 a 2 ). 3 Induljunk ki az e at Laplace tranzformáltjából L[e at ] = = F (). Alkalmazzuk erre az F-re a dn d n F () = ( ) n L[t n f(t)] formulát. L[t n e at ] = ( ) n dn d n a = ( ) dn n d n ( a) 2 = ( ) dn 2 ( )( 2) =... = n! n dn 2 ( a) 3 ( ) n ( )n ( a) = n! n+ ( a), n+ ahol Re( a) > A generátor függvény primitív függvényének tranzformáltja A deriváltra vonatkozó formula alkamazáával könnyen levezethetünk egy özefüggét,egy f függvény integrálfüggvényének Laplace tranzformáltjára vonatkozóan. Legyen φ(t) = Ekkor d φ(t) = f(t) özefüggé miatt egyrézt dt Márézt a deriváltra vonatkozó zabály zerint t f(t)dt [ ] d L dt φ(t) = L[f(t)]. [ ] d L dt φ(t) = L[φ(t)] φ() = L[φ(t)], 6

18 hizen φ() = f(t)dt =. Átrendezve az egyenletet, kapjuk a kereett özefüggét [ t ] L f(t)dt = F () L[f(t)] =, ahol F zoká zerint f Laplace tranzformáltja. Laplace tranzformált -el való oztáával egyenérték. Ezerint a generátorfüggvény integráláa a. Számítuk ki a φ(t) = t t in(at)dt függvény Laplace tranzformáltját! Az el z megállapítá alapján az integrandunak a Laplace-tranzformáltját kell oztani -el, így L[φ(t)] = L[t in(at)] = 2a ( 2 + a 2 ) = 2a 2 ( 2 + a 2 ) Számítuk ki φ(t) = t t2 e t dt függvény tranzformáltját. Induljunk ki abból hogy imerjük a t n e at tranzformáltját, mot ezt az n = 2, a = helyetteítéel kapjuk: L[φ(t)] = L[t2 e t ] = 2! ( ( )) 3 = 2 + 2a 2 2 ( 2 + 4a 2 ) Laplace tranzformált integráláa A Laplace tranzformáltnak az integrálfüggvényét ha megvizgáljuk hazno özefüggét kapunk. Ehhez állítuk el t f(t) t L[f(t)] = = függvény tranzformáltját ahol felhaználtuk a d ( e t ) = e t özefüggét. d t f(t) e t dt = f(t)dt e t dt = t ( ) f(t)e t dt d = F ()d,. Számítuk ki az f(t) = in(at) függvény tranzformáltját! t Az el bb levezetett özefüggét alkalmazva 7

19 [ ] in(at) a L = L[in(at)]d = t 2 + a d = 2 = [ ( ( )) ] a ( a )2 + d = arctan a = a a [ ( )] = arctan = π ( ) ( ) a a 2 arctan = arctan. a 2. Számítuk ki az f(t) = in2 at t függvény tranzformáltját. Itt felhaználjuk hogy L[in 2 at] = L[f(t)] = 2a2, amit már kizámoltunk korábban. Innen következik ( 2 +4a 2 ) L[in 2 at]d = Az integrál kizámítáához parciáli törtekre bontunk ennek primitív függvénye ahonnan 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) = a, 2 2 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) d. ( 2 2 )d = a ln 4 ln a 2 = 4 ln a 2 [ ] in 2 at L = t 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) d = [ ln a 2 = 4 ln + 4a2 2. ] = 8

20 4. fejezet Inverz Laplace-tranzformáció 4.. Deníció. Legyen az F egy, komplex zám független változójú függvény, é létezzen egy f(t) egyváltozó való zám értek függvény,amelyre teljeül,hogy L[f(t)] = F. Az f(t) függvényt az F függvény inverz Laplace tranzformáltjának nevezzük. Az inverz Laplace trazformált jelölée: L [F ] = f(t). A gyakorlati alkalmazá zempontjából egyik legfontoabb tulajdonágot az alábbi állítában adjuk meg. Állítá: Ha létezik f (t)=l [F ]; f 2 (t) = L [F 2 ] ;... ; f k (t) = L [F k ] inverz Laplace tranzformált függvények, é c ;c 2 ;... ; c k tetz lege adott való vagy komplex zámok akkor L [c F + c 2 F c k F k ] = = c L [F ] + c 2 L [F 2 ] c k L [F k ] = = c f (t) + c 2 f 2 (t) c k f k (t) azaz az inverz Laplace tranzformáció lineári tulajdonágú. Fonto még a konvolúció tételként imert állítá Állítá: Egy imeretlen f(t) függvény F Laplace tranzformáltja legyen zorzat alakú: F = F F 2,de legyenek imertek az f (t) é f 2 (t) függvények, mint a tényez k inverz Laplace-tranzformáltjai: f (t) = L [F ] é f 2 (t) = L [F 2 ] Ekkor f(t) = L [F ] = L [F F 2 ] = Alkalmazom a fent megfogalmazottakat néhány függvényre. t f (x)f 2 (t x)dx.. Számítuk ki az F () =

21 függvény inverz Laplace-tranzformáltját! A tört nevez jét telje négyzetté alakítjuk F () = = 3 ( + 2) ( + 2) 7 = ( + 2) = ( + 2) ( + 2) ezért az inverz Laplace-tranzormált linearitáát,a cillapitái tételt é a kozinuz é zinuz függvényekre vonatkozó azonoágokat alkalmazva: [ ] L [F ()] = 3L [ ] 3 ( + 2) L = 3e 2t co(3t) 7 ( + 2) e 2t in(3t). 2. Számítuk ki az függvény inverz Laplace-tranzformáltját! tehát = F () = ( 2)( + 3) = A 2 + B = A( + 3) + B( 2) = A + 3A + B 2B A + B = 2 A = 2 B 3A 2B = 9 3( 2 B) 2B = 9 6 3B 2B = 9 6 5B = 9 5B = 25 B = 5 A = = 3 F () = Inverz Laplace-tranzformáció linearitáát alkalmazva [ ] [ ] L [F ()] = 3L 5L = 3e 2t 5e 3t

22 4.. Parciáli törtekre bontá módzere Ez a módzer a ké bbiekben i fonto lez. Ebben a rézben általánoan zeretném imertetni majd egy egyzer példán bemutatni. Legyen f(x) = p(x) alakú, ahol p(x) egy m-edfokú, q(x) pedig n-ed fokú polinom. A nevez nek q(x) cak egyzere, való gyökei vannak. Ekkor q(x) felírható gyöktényez alakban. Ekkor pedig p(x) q(x) felírható: p(x) q(x) = p(x) (x x )(x x 2 )... (x x n ) = A x x + A 2 x x A n x x n alakban. Itt az A, A 2,..., A n zámokat az egyenl együtthatók módzerével kapjuk meg. Tehát p(x) q(x) = p(x) (x x )(x x 2 )... (x x n ) = A x x + A 2 x x A n x x n azonoágban a jobb oldalt közö nevez re hozzuk, majd az így kapott zámláló együtthatóit özevetjük p(x) megfelel együtthatóival, így egy egyenletrendzert kapunk A i -kre, amelyet megoldva megkapjuk a kívánt együtthatókat. PÉLDA. Legyen F () = A nevez zorzattá alakítáa után kapjuk, ebb l F () = 9 2 ( 2)( + 3) = A 2 + B = A( + 3) + B( 2) = A + 3A + B 2B ahonnan A + B = 2 A = 2 B 3A 2B = 9 2

23 Behelyetteítem A-t a máodik egyenletbe 3( 2 B) 2B = 9 6 3B 2B = 9 5B = 25 B = 5 B-t behelyetteítve az el egyenletbe A = 2 ( 5) = 3 így F () = =

24 5. fejezet Közönége dierenciálegyenletek é egyenletrendzerek A Laplace tranzformáció egyik legfontoabb alkalmazáa az álladó együttható lineári dierenciálegyenletek é dierenciálegyenletrendzerek megoldáa. Ehhez tekintünk egy máodrend dierenciálegyenletet ax + bx + cx = f(t) ahol a, b, c adott kontanok, x = x(t) az imeretlen függvény,f zintén adott függvény. A megoldái módzer lényege abban áll, hogy képezzük az egyenlet mindkét oldalának Laplacetranzformáltját. Ha bevezetjük az imeretlen t x(t) függvény tranzformáltjának jelöléére az X() jelet, é felhaználjuk a korábban bizonyított L[x (t)] = X() x() L[x (t)] = 2 X() x() x () özefüggéeket,akkor a tranzformáció eredménye az a( 2 X() x() x ()) + b(x() x()) + cx() = F () algebrai egyenlet. A tranzformáció elvégzée után tehát az imeretlen x függvény tranzformáltjára egy közönége algebrai egyenletet kapunk. 23

25 5.. Példák dierenciálegyenletekre. Tekintük az kezdeti érték feladatot. x 4x =, x() =, x () = Vegyük az egyenlet mindkét oldalának Laplace-tranzformáltját L[x ] 4L[x] =. Haználva az X() = L[x] jelölét valamint a máodik derivált Laplace-tranzformáltjára vonatkozó azonoágot, kapjuk A kezdeti értéket haználva 2 X() x() x () 4X() = azaz ( 2 4)X() = Bontuk parciáli törtekre X()-t, X() = = amib l átzorozva kapjuk, hogy ( + 2)( 2) = A B 2 = A( 2) + B( + 2) A + B = A = B 2A + 2B = ( B) + B = 2B = B = 2 A = 2 = 2 24

26 ezért 2 4 = Inverz Laplace-tranzformáltat haználva megkapjuk a kezdeti érték feladat megoldáát 2. Tekintük az [ ] [ x(t) = L [X()] = L = L ] = e 2t + 2 e2t. x (t) + 4x (t) + 3x(t) = x() = x () = Vegyük az egyenlet mindkét oldalának Laplace-tranzformáltját ekkor 2 X() x() x () + 4X() x() + 3X() = X() = = A nevez t zozattá alakítjuk é haználjuk a parciáli törtekre bontá módzerét: átzorozva kapjuk X() = ( + )( + 3) = A + B + + C + 3 = A( 2 + 4) + 3) + B 2 + 3B + C 2 + C ebb l A + B + C = 4A + 3B + C = 3A = A = 3 A-t behelyetteítve a máik két egyenletbe { 3 + B + C = B + C = 25

27 Kivonjuk egymából a két egyenletet 2B = B = 2 így C = C = 6 X() = Inverz Laplace-tranzformáltat haználva megkapjuk az egyenlet megoldáát: x(t) = L [X()] = L [ ] = 3 (t) 2 e t + 6 e 3t Dierenciálegyenletrendzerek Dierenciálegyenletek eetén felhaználva az az el z ekben megkapott özefüggéeket, algebrai lineári egyenletrendzert kapunk az imeretlenfüggvények tranzformáltjára vonatkozólag. Az egyenletrendzer megoldáa után imét a vizatranzformálá a feladat.. Számítuk ki a következ egyenletrendzert! x = 3x 2y + e t y = x + 6y e t x() = 2 y() = vegyük mindkét egyenlet mindkét oldalának Laplace-tranzformáltját: { X() x() = 3X() 2Y () + Y () y() = X() + 6Y () a kezdeti feltételeket haználva: ( 3)X() + 2Y () = 2 + X() + ( 6)Y () = az egyenletrendzert rendezve kapjuk: 26

28 é így parciáli törtekre bontva X()-t: { X() = Y () = ( 4)( 5)( ) 2 5+ ( 4)( 5)( ) ( 4)( 5)( ) = A 4 + B 5 + C = A( ) + B( ) + C( ) = A 2 A6 + 5A + B 2 5B + 4B + C 2 9C + 2C A + B + C = 2 A = 2 B C 6A 5B 9C = 6(2 B C) 5B 9C = B = + 3C 5A + 4B + 2C = 6 5( 4C) + 4( + 3C) + 2C = C = 6 C = 4 B = + 3( 4 ) = 4 A = 2 4 ( 4 ) = 2 [ 2 x(t) = L ] 4 x(t) = 2e 4t + 4 e5t 4 et majd imét a parciáli törtekre bontá módzerével megkapjuk y(t) i: A + B + C = A = B C 6A 5B 9C = 5 6( B C) 5B 9C = 5 B = + 3C 5A + 4B + 2C = 5( 4C) + 4( + 3C) + 2C = 4 + 2C = C = 4 B = + 3C = 4 ( A = ) 4 4 = 27

29 2. Legyen: x = 7x + y + 5 x() = y = 2x 5y 37 y() = [ y(t) = L ] 4 y(t) = e 4t 4 e5t + 4 et. Mindkét egyenletnek vezük a Laplace-tranzformáltját. Ekkor: { X() = 7X() + Y () + 5 Y () = 2X() 5Y () Az el egyenletet megzorozzuk + 5-tel majd özeadjuk a két egyenletet így megkapjuk az X()-t: Parciáli törtekre bontjuk X()-t: X() = { X()( + 7) Y () 5 = /( + 5) p Y ()( + 5) + 2X() 37 = p 2 { X()( + 5)( + 7) Y ()( + 5) = Y ()( + 5) + 2X() 37 2 = X()( ) X() = ( ) = ( ) = A + B + C + D = A(( )) + B( ) + C( 2 ) + D A + C = C = 2A + B + D = 5 D = 6 37A + 2B = 25 37A 2 = 25 A = 37B = 37 B = [ x(t) = L + ] + 6 = t e 6t co(t). 2 ( + 6)

30 Majd az egyenletrendzerb l megkapjuk az Y()-t ha az el egyenletet megzorozzuk 2-vel a máodikat pedig + 7-tel é kivonjuk egymából: { 2X()( + 7) 2Y () p = Y ()( + 5)( + 7) + 2( + 7)X() = Y ()( ) Y () = Parciáli törtekre bontjuk Y()-t: Megkaptuk hogy: ( ) p = = = A + B + C + D = A(( )) + B( ) + C( 2 ) + D = A 3 + A2 2 + A37) + B 2 + B2 + 37B + C( 2 ) + D 2 A + C = C = 2A + B + D = 2 7 = D D = 5 37A + 2B = 47 37A + 84 = 47 A = 37B = 259 B = Vezük az el z egyenlet inverz Laplace-tranzformáltját: [ y(t) = L ] y(t) = 7t + e 6t co(t) + e 6t in(t). 29

31 5.3. Integrálegyenletek Néhány eetben el fordulnak olyan integrálegyenletek,amelyekben az imeretlen függvény egy konvolúcióban zerepel. A g(x) = f(x) + λ b a k(x y)g(y)dy egyenlet, ahol f(x) é k(x) megadott függvények é a λ adott állandó. Ha az el z egyenletben a x = x a, y = y a változó cerével a következ t kapjuk x g(x ) = f(x ) + λ k(x y )g(y )dy Az általáno megoldái módzer: alkalmazzuk a Laplace tranzformációt az egyenletre, G() = F () + λk()g() algebrai egyenletre jutunk, amelyb l következik, hogy Az egyenlet átírható a G() = F () λk(). alakra. G() = F () + λk() λk() F (). Tekintük az = e t g(t)dt egyenletet. A Laplace tranzformáltja a következ innen 2 = G() G() = 2 = 2, g(t) = t. 3

32 2. Tekintük a egyenletet. Ekkor g(x) = x (x y)g(y)dy G() = 2 G(), ami a következ megoldát adja: G() = + 2 g(x) = cox. 3

33 Irodalomjegyzék [] Hanka Lázló, Zalay Mikló Komplex függvénytan M zaki könyvkiadó(2) [2] Brain Davie Integráltranzformációk é alkalmazáaik M zaki könyvkiadó(983) [3] Simon L. Péter, Tóth Jáno Dierenciálegyenletek, Typotex (25) 32

34 Laplace tranzformáció 27. márciu 9.. Bevezeté Definíció: Legyen f : [, [ R. Az F () = f (t) e t dt függvényt az f függvény Laplace-tranzformáltjának nevezzük, ha a fenti impropriu integrál valamilyen R zámokra konvergen. Megjegyzéek: A Laplace-tranzformáció tehát egy olyan leképezé, amely függvényhez függvényt rendel: f F. A Laplace-tranzformáció definíciójában f általában komplex változó fügvény é i komplex zám. Mi azonban a cak való zámokra zorítkozunk. A definícióban zereplő impropriu integrált Laplace-integrálnak nevezzük. Az f függvényt generátorfüggvénynek nevezzük. Azt i zoká mondani, hogy az f függvény az F inverz Laplace-tranzformáltja. A generátorfüggvényt a definícióban cak nemnegatív zámokra értelmeztük. Szokták negatív zámokra i értelmezni, azonban ilyenkor f a negatív helyek mindegyikén -t vez fel. Jelöléek: A Laplace-tranzformáltra: F ()= f ()=L [ f (t) ] = L [ f ] Az inverz Laplace-tranzformáltra: f (t)=l [F]=L [F ()] A kapcolatukra: f F, illetve F f. Tétel: A Laplace-integrál konvergenciájával kapcolatban cak az alábbi három eet valamelyike fordulhat elő: Minden R eetén konvergen.

35 Egyetlen R eetén em konvergen. Létezik olyan a R zám, hogy <a eetén a Laplace-integrál divergen, >a eetén pedig konvergen. Tétel: Ha létezik olyan K R + éα R, hogy f (t) Ke αt, akkor az f (t) e t dt Laplace-integrál > α eetén konvergen. Tétel: Ha az f függvénynek létezik Laplace-tranzformáltja é c R, akkor a c f függvénynek i létezik Laplace-tranzformáltja é L [ c f ] = cl [ f ] Tétel: Legyenek f é f 2 olyan függvények, amelyek Laplace-tranzformáltja létezik. Ekkor létezik f + f 2 Laplace-tranzformáltja i é: L [ f + f 2 ] = L [ f ] + L [ f2 ] Tétel: Legyenek f é f 2 olyan függvények, amelyek Laplace-tranzformáltja létezik. Ha c, c 2 R, akkor létezik c f + c 2 f 2 Laplace-tranzformáltja i é: L [ c f + c 2 f 2 ] = c L [ f ] + c2 L [ f 2 ] Megjegyzé: Az utóbbi tételnek az előző kettő peciáli eete. A két peciáli eet együtteen ekvivalen az utoló tétellel, amely biztoan igaz, ha az előző kettő igaz. 2. Néhány konkrét függvény Laplace-tranzformáltja 2.. Az egyégugrá függvény Laplace-tranzformáltja Definíció: Az :R R, (t)= függvényt egyégugrá függvénynek nevezzük. L [ ]= e t dt= [ e t { ha t< ha t ] ( = lim e ω + ) = ω ha > 2.2. Az exponenciáli függvény Laplace-tranzformáltja L [ e at] = e at e t dt= Példa: e 3t 3 e (a )t dt= [ e (a )t a ] ( e (a )ω = lim ω a ) = a a ha >a

36 2.3. A hiperboliku függvények Laplace-tranzformáltja [ ] e at e at L [h (at)]=l = ( [ ] L e at L [ e at]) = ( a ) = +a Példa: h 2t [ ] e at + e at L [ch (at)]=l = ( [ ] L e at + L [ e at]) = ( a + ) = +a Példa: ch 5t 2 25 ha ha a 2 a 2 > a 2 a A trigonometriku függvények Laplace-tranzformáltja > a L [in (at)]= = lim ω ( in (at) e t v=in(at), u =e t dt= in (aω) e ω [ ] in (at) e t + a co (at) e t dt= v=co(at), u =e t ) [ a (at) e t + co ] a2 2 in (at) e t dt= = a 2 lim (co (aω) ω e ω ) a2 L [in (at)] ha > 2 Tehát a következő egyenlethez jutottunk: Ebből rendezéel adódik: L [in (at)]= a 2 a2 L [in (at)]= L [in (at)] ha > 2 a 2 + a 2 ha >

37 Az előző gondolatmenethez haonlóan: L [co (at)]= = lim ω ( co (at) e t v=co(at), u =e t dt= co (aω) e ω Példa: 2 in 3t 3 co 5t 2 [ ] co (at) e t a in (at) e t dt= v=in(at), u =e t + ) [ a (at) e t + in = ] a2 2 L [co (at)]= a2 L [co (at)] ha > 2 L [co (at)]= ha > 2 + a 2 co (at) e t dt= a2 + L [co (at)] ha > = A hatványfüggvény Laplace-tranzformáltja Előzör vezeünk le egy a hatványfüggvény Laplace-tranzformáltjára vonatkozó rekurzív özefüggét (n pozitív egéz zám): L [t n ]= t n e t dt= v=t n, u =e t [ tn e t ] + n t n e t dt= ( = lim ωn e ω + )+ n ω L[ t n ] = n L[ t n ] Tudjuk, hogy L [ t ] = L [ ]=, tehát L [t]= L [ ]= 2, L[ t 2] = 2 L [t]= 2 3, L [ t 3] = 3 L[ t 2] = 6 4, L[ t 4] = 4 L[ t 3] = 24 5, tb. Ebből arra a ejtére jutunk, hogy L [t n ]= n! n+. Ez telje indukcióval könnyen igazolható i, hizen: L [ t n+] = n+ L [t n ]= n+ n! n+=(n+)!, n+2 tehát ha egy n termézete zámra helye a megejtett képlet, akkor helye n+-re, azaz a következő termézete zámra i. Példa: t 3 3t 2 + 7t+9 3! 2!! 4 3 t3+ 7 t2+ 9 = t 3+ t 2+

38 3. Néhány zámítái zabály 3.. Exponenciáli függvénnyel zorzott függvény Laplace-tranzformáltja Tegyük fel, hogy imerjük az f függvény Laplace-tranzformáltját: f (t) F (). Ekkor az f (t) e at zorzat Laplace-tranzformáltja i könnyen felírható: Bizonyítá: f (t) e at F ( a). L [ f (t) e at] = f (t) e at e t dt= f (t) e ( a)t dt=f ( a) Példák: e 2t in 3t 3 ( 2) = e t co 4t ( ) = e 3t h 2t 2 ( 3) 2 4 = e 2t ch 2t +2 (+2) 2 4 = e 5t t 8 8! ( 5) 9

39 3.2. Hatványfüggvénnyel zorzott függvény Laplace-tranzfor máltja Tegyük fel, hogy imerjük az f függvény Laplace-tranzformáltját: f (t) F (). Ekkor az f (t) t n zorzat Laplace-tranzformáltja i meghatározható: f (t) t n ( ) n dn F () d n. Bizonyítá: Előzör az n = peciáli eetre bizonyítjuk az özefüggét. Induljunk ki a Laplace-tranzformáció definíciójából: f (t) e t dt=f () Deriváljuk ennek mindkét oldalá az változó zerint: t f (t) e t dt= df () d Ezt -gyel zorozva a bizonyítani kívánt özefüggéhez jutunk: t f (t) e t dt= df () d Az általáno eet telje indukcióval bizonyítható. Tegyük fel, hogy n-re már igazoltuk az állítát. Ekkor n+-re: L [ t n+ f (t) ] = L [ t t n f (t) ] = d d L[ t n f (t) ] = d d ( )n dn F () d n = Tehát ha az állítá n-re igaz, akkor n+-re i teljeül. Példa: t in 2t d 2 = 2 2 d ( 2 + 4) = 4 2 ( 2 + 4) 2 = ( ) n+ d n+ F () d n+

40 3.3. Függvény integráljának Laplace-tranzformáltja Legyen f (t) F (). Ekkor a g (t)= F (). Bizonyítá: L [ g (t) ] = t f (x) dx e t t v= f (x) dx, u =e t dt= t f (x) dx függvény laplace-tranzformáltja ( t = lim ω f (x) dx ( ω ) e t f (x) dx ) e ω + + f (t) e t dt= + F () = F () 3.4. Függvény deriváltjainak Laplace-tranzformáltja Ha f (t) F ()= f (), akkor f (t) f () f (). Bizonyítá: Imét parciáli integrálát alkalmazunk: L [ f (t) ] = f (t) e t dt= [ f (t) e ] t + u = f (t), v=e t Az f függvény máodik deriváltjának Laplace-tranzformáltja: f (t) 2 f () f () f () Bizonyítá: f (t) e t dt= f ()+ f () L [ f (t) ] = L [ f (t) ] f ()= ( f () f () ) f ()= 2 f () f () f () Az f függvény n-edik deriváltjának Laplace-tranzformáltja: f (n) (t) n f () n f () n 2 f ()... f (n ) () Bizonyítá: (Telje indukcióval.) Az állítá n = -re é n = 2-re igaz. Tegyük fel, hogy n-re i igaz. Ekkor n+-re: L [ f (n+) (t) ] = L [ f (n) (t) ] f (n) ()= = ( n f () n f () n 2 f ()... f (n ) () ) f (n) ()= = n+ f () n f () n f ()... f (n ) () f (n) () Tehát ha az állítá igaz n-re, akkor n+-re i igaz.

41 3.5. Eltolái tétel függvény Laplace- Legyen f (t) F (). Ekkor a g (t)= tranzformáltja L [ g (t) ] = e a F () { ha x<a f (t a) ha x a Bizonyítá: a L [ g (t) ] = g (t) e t dt= dt+ f (t a) e t dt= f (t a) e t dt a a Alkalmazzunk u = t a helyetteítét: L [ g (t) ] = f (t a) e t dt= f (u) e (u+a) du=e a f (u) e u du=e a F () a 4. Inverz Laplace-tranzformáció Hogyan állítuk elő a generátorfüggvényt, ha adott a Laplace-tranzformáltja? Ha a Laplace-tranzformált valamilyen egyzerű racionáli törtfüggvény, akkor gyakran a Laplace-tranzformáció megfordítáával (táblázat egítégével) célt érünk. Példák: e8t = in 2t 2 2 4= 3 3! 4 3 t = ( 3) = 3 ( 3) ( 3) e 3t co 2t+e 3t in 2t Ha a vizatranzformálandó kifejezé bonyolultabb racionáli tört, akkor előzör réztörtekre bontát alkalmazunk é a tagokat egyenként tranzformáljuk viza.