A differenciálgeometria alapjai: görbeelmélet

Átírás

1 A differenciálgeometria alapjai: görbeelmélet Előadávázlat Kovác Zoltán előadáaihoz december 4.. Differenciálá A differenciálá fogalmára több zituációban i zükégünk lez R R, R R 2, R R 3, R 2 R 2, R 2 R, R 3 R 3 típuú leképezéeknél, ezért vázlatoan áttekintjük a többváltozó, vektorértékű függvények differenciálááról tanultakat. Legyen U R n nemüre nyílt halmaz, tekintünk egy f : U R m leképezét. Legyen x U. Ha létezik olyan ϕ LR n, R m lineári leképezé, hogy fx + h fx ϕh lim h 0 h = 0, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható az x pontban, é azt írjuk, hogy f x = ϕ. Meg lehet mutatni, hogy ϕ ha létezik, akkor egyértelmű. f-et differenciálhatónak mondjuk U-n, ha annak minden pontjában differenciálható. f diffeomorfizmua U-nak egy V R n nyílt halmazra, ha bijektív é az inverze i differenciálható. f x = ϕ-nek R n é R m kanoniku báziára vonatkozó mátrixát az f leképezé x-beli Jacobimátrixának nevezzük. Jelöljük f komponenfüggvényeit f,..., f m -el. Meg lehet mutatni, hogy f akkor é caki akkor differenciálható egy x pontban, ha komponenfüggvényeinek mindegyike differenciálható x-ben, ekkor f Jacobi mátrixa: fj J f x = x M m n j =... m, i =... n. x i A zámítáok orán okzor praktikuan cak a Jacobi mátrixot írjuk ki. Példa. Legyen ϕ LR n, R m. Ekkor x R n -re ϕ differenciálható, é ϕ x = ϕ. Valóban: ϕx + h ϕx ϕh = ϕx + ϕh ϕx ϕh = 0, tehát a vizgált határértékben a zámláló zéru.

2 Példa. Legyen F : R n R n izometria, a catolt leképezée a ϕ τ R n ortogonáli leképezé. Azaz x R n -re F x = ϕx + x 0 teljeül valamely rögzített x 0 vektorra. Ekkor x R n -re F differenciálható, é F x = ϕ. Valóban: F x + h F x ϕh = ϕx + h + x 0 ϕx + x 0 ϕh = a zámláló imét nulla. = ϕx + ϕh + x 0 ϕx x 0 ϕh = 0, Példa. Legyen az f : R R függvény differenciálható az x pontban. Az f x τ R deriváltfüggvény Jacobi-mátrixa -e, azaz egy zám: f x ; a lineári leképezé pedig ezzel a zámmal való zorzát jelent. Ezért f x helyett i f x-et írunk ez egybevág a való-való függvények differenciáláának zokáo definíciójával: az ilyen függvény deriváltja egy pontban egy zám. Általánoabban, ha f : R R n, differenciálható, akkor f x LR; R n = R n. Az izomorfizmut az f x f x hozzárendelé adja meg. A továbbiakban f x-t é f x-t nem fogjuk megkülönböztetni. A differenciálgeometriai tanulmányainkban a differenciálá egyik legtöbbet haznált tulajdonága a lánczabály lez: Tegyük fel, hogy E egy R n -beli nyílt halmaz, f : E R m, f differenciálható x E-ben; g egy fe-t tartalmazó nyílt halmazt R k -ba képez, é g differenciálható fx-ben. Ekkor az F = g f : E R k leképezé i differenciálható x-ben é F x = g fx f x. A lánczabály alkalmazáával könnyen igazolhatunk egy fonto özefüggét, nevezeteen, hogy való diffeomorfizmu deriváltja ohaem lehet zéru. Legyen f : R R diffeomorfizmu. Ekkor f f = id. Deriváljuk ezt az özefüggét valamely x pontban! A lánczabályt alkalmazva é felhaználva, hogy az identitának, mint lineári tranzformációnak a deriváltja önmaga: f fx f x = id. A leképezéek helyen felvett értékével ld. az előző példát: f fx f x =. Innen leolvaható, hogy az f x 0. Mot induljunk ki a f f = id özefüggéből: f f x f x = id. Ha a lineári leképezéeket beazonoítjuk az helyen felvett értékükkel: f f x f x =, azaz az inverz függvény deriváltjára azt kapjuk, hogy f x = f f x. 2

3 2. Parametrizált görbék Megállapodunk abban, hogy a való-való függvények differenciálhatóága a továbbiakban akárhányzori differenciálhatóágot jelent, továbbá az f : [a, b] R n leképezé differenciálhatóága alatt azt értjük, hogy létezik olyan f : a, b R n differenciálható leképezé, hogy [a, b] a, b é f [a,b] = f. Definíció. Legyen I R eetleg elfajuló, de nem egypontú intervallum, n = 2 3. Egy c: I R n differenciálható leképezét parametrizált görbének nevezünk, ha t I-re c t 0 regularitái feltétel. I-t paramétertartománynak nevezzük. n = 2 eetén íkgörbéről, n = 3 eetén térgörbéről bezélünk. Általáno értelemben íkgörbéről bezélünk akkor i, ha im c-t R 3 egy íkja kétdimenzió lineári okaága tartalmazza. Példa. Legyen c: [0, 2π] R 2, t ct = R co t, R in t R > 0. Ekkor im c az origó középpontú R ugarú kör. A regularitái feltétel nyilván teljeül: Példa. c t = R in t, R co t, c t = R 0. c: [0, 2π] R 3, t ct = R co t, R in t, a t R, a > 0. c t = R 2 + a 2 nevezzük. 0, azaz a regularitái feltétel teljeül. im c-t hengere cavarvonalnak z y x. ábra. A hengere cavarvonal, a paramétertartomány az ábrán [0, 6π]. Az ábrán zaggatott vonallal berajzoltuk a görbe vetületét az xy íkra, amely egy kör. Definíció. Legyen c: I R n parametrizált görbe. A v : I R, t vt = c t 3

4 leképezét pályaebeég-függvénynek vagy pályamenti ebeégnek, míg a c : I R n, t c t leképezét ebeég-vektormezőnek nevezzük. c t a görbe t paraméterértékű ponthoz tartozó ebeégvektora, míg ct + Lc t a t paraméterértékű ponthoz tartozó érintőegyene. y c t ct ct + Lc t x 2. ábra. Sebeégvektor, érintő egyene. A c: I R n parametrizált görbét termézete paraméterezéűnek, vagy ívhoz paraméterezéűnek mondjuk, ha t I : vt =. Legyen mot I = [a, b]. Λc = b a vτ dτ a görbe ívhoza, a σ : [a, b] R, σt = függvény pedig a görbe ívhoz-függvénye. t a vτ dτ. Tétel. Legyen c: I R n parametrizált görbe, Ĩ R, I é Ĩ való intervallumok. Ha ϕ: Ĩ I diffeomorfizmu é c = c ϕ, akkor c i parametrizált görbe. Bizonyítá: A regularitái feltételt kell ellenőrizni c-re. A lánczabályt alkalmazva: c t = c ϕt ϕ t. Mivel c regulári, ezért a zorzat elő tényezője, mivel ϕ diffeomorfizmu, ezért a zorzat máodik tényezője egyetlen paraméterértékre em nulla. 4

5 Definíció. Legyenek c: I R n é c: Ĩ Rn parametrizált görbék. Ha létezik olyan ϕ: Ĩ I diffeomorfizmu, hogy c = c ϕ, akkor c-t é c-t ekvivalen görbéknek nevezzük, ϕ-t pedig paramétertranzformációnak. Ha ráadául t Ĩ-re ϕ t > 0 i teljeül, akkor irányítátartó vagy orientációtartó paramétertranzformációról bezélünk. Megjegyzé. Ha c é c ekvivalen parametrizált görbék, akkor im c = im c. 2. Tétel. A parametrizált görbék ekvivalenciája ekvivalenciareláció. 3. Tétel. Ekvivalen görbék ívhoza megegyezik. Bizonyítá: Az elő tétel jelöléeivel. Legyen ϕ: [a, b] [ϕa, ϕb] zigorúan monoton növekedő. Ekkor b a c τ dτ = b a c ϕτ ϕ τ dτ = a változó helyetteítéére vonatkozó tétel zerint. b a c ϕτ ϕ τ dτ = ϕb ϕa c µ dµ 4. Tétel. Minden parametrizált görbe ekvivalen egy termézete paraméterezéű görbével. Azaz az ívhoz mindig bevezethető paraméternek. Bizonyítá: Legyen c: [a, b] R n parametrizált görbe, σ : [a, b] R, σt = t a vτ dτ az ívhozfüggvény. σ t = vt > 0, tehát a σ függvény zigorúan monoton növekedő, azaz invertálható, tehát diffeomorfizmu. Az inverze: σ : [0, Λc] [a, b]. Legyen c = c σ : [0, Λc] R n. Számítuk ki c pályaebeég-függvényét, azaz a ṽt = c σ t = c σ t σ t = σ t c σ t = σ t vσ t függvényt. Alkalmazva az inverz függvény differenciálááról tanultakat: ṽt = σ σ t vσ t = vσ t vσ t =. Ezen ekvivalenciareláció ekvivalenciaoztályait i görbéknek pontoabban nem parametrizált görbéknek zoká nevezni. 5

6 Példa. Az ívhoz bevezetée paraméternek hengere cavarvonalon. Legyen Az ívhoz függvény: c: [0, 2π] R 3, t ct = R co t, R in t, a t, R, a > 0. t σt = Az ívhozfüggvény inverze: t 0 σ : [0, 2π] R, R2 + a 2 dτ = R 2 + a 2 [ τ ] t 0 = R 2 + a 2 t. σ [0, 2π R 2 + a 2 ] [0, 2π], R2 + a 2. A tétel bizonyítáa zerint a c = c σ függvény lez a probléma megoldáa, tehát: c = R co c: [0, 2π R 2 + a 2 ] R 3, R2 + a 2, R in R2 + a 2, a Ellenőrizzük, hogy a pályaebeégfüggvény tényleg a kontan függvény! Példa. Vezeük be az ívhozat paraméternek a körön!. R2 + a 2 3. Síkgörbék Frenet apparátua 5. Tétel. Legyen c: I R 2 parametrizált íkgörbe. Ekkor egyértelműen léteznek olyan differenciálható leképezéek, hogy t I-re: T, N : I R 2 i T t, Nt pozitív ortonormált bázi R 2 -ben; ii Lc t = L T t ; iii T t a c t-nek pozitív kalárzoroa. Bizonyítá: Legyen T t = c t/vt. Ekkor T t nyilván egyégvektor, továbbá az iii, így az ii feltétel i teljeül. Legyen J : R 2 R 2, x, y y, x, az R 2 pozitív irányú π/2 mértékű elforgatáa. J lineári tranzformáció, tehát differenciálható. Legyen N = J T. N differenciálható, mert differenciálható leképezéek kompozíciója. Így i i teljeül. Az egyértelműég onnan következik, hogy T t-t ortonormált báziá pontoan kétféleképpen lehet kiegézíteni, nevezeteen ±π/2 zögű elforgatáokkal, a π/2 zögű elforgatá pedig negatív bázit ad. 6

7 y T t ct Nt x 3. ábra. A kíérő kettő-él. Definíció. Az előző tétel jelöléeivel. T -t érintő egyégvektormezőnek, T t-t érintő egyégvektornak, N-t normál egyégvektormezőnek, Nt-t a t paraméterértékű ponthoz tartozó normáli vektornak nevezzük. A T, N párt a görbe kíérő kettő-élének nevezzük. 6. Tétel. Legyen c: I R 2 parametrizált íkgörbe. Ekkor ω : I R differenciálható függvény, hogy T = ω N N = ω T. Bizonyítá: Írjuk fel T é N Fourier előállítáát minden pontban: T = T, T T + T, N N N = N, T T + N, N N. Deriválva a T, T = özefüggét: 2 T, T = 0; haonlóan 2 N, N = 0. Mot a T, N = 0 özefüggét deriválva: T, N + T, N = 0. Tehát ω = T, N = N, T adódik. Definíció. Legyen c: I R 2 parametrizált íkgörbe. A függvényt a c íkgörbe görbületének nevezzük. κ : I R, κ = T, N v 7

8 Következmény. Frenet formulák, vagy deriváció formulák T = κ v N N = κ v T. Speciálian, termézete paraméterezéű íkgörbékre: T = κ N N = κ T. Példa. A körvonal görbülete. Legyen c: [0, 2π] R 2, t ct = R co t, R in t. Ekkor: c t = R in t, co t, vt = R, T t = in t, co t, Nt = co t, in t, T t = co t, in t. Innen láthatjuk, hogy T = N, tehát az elő Frenet formula zerint c görbületi függvénye kontan, κ = /R. Megjegyezzük, hogy nemnulla kontan görbületű íkgörbe cak körvonal lehet kéőbb bizonyítjuk i. 7. Tétel. A görbület kizámítáa. A korábbi feltételek mellett. κ = c, N v 2. Bizonyítá: A görbületet definiáló formulát átalakítjuk a deriváció formula egítégével: Ez utóbbi ort N-el kalárian zorozva: c = v T c = v T + v T c = v T + κ v 2 N. c, N = κ v 2 adódik, mert T N. Innen leolvaható a bizonyítandó formula. Példa. Tekintük a c: [0, 2π] R 2, t t, in t zinuzgörbét. Számítuk ki a görbületi függvényét! Az előbbiek alapján: azaz c: t t, in t, c : t, co t, vt = + co 2 t, T = c : t 0, in t; κt = c t, Nt v 2 t = in t v 3 8 v, co t, N = J T = co t v v, v in t = + co 2 t. 3/2

9 8. Tétel. Legyen c: I R 2 parametrizált íkgörbe, melynek görbületi függvénye κ. Legyen továbbá ϕ: Ĩ I paramétetranzformáció, c = c ϕ: Ĩ R2. c görbületi függvényét jelölje κ. Ekkor κ = gn ϕ κ ϕ. Tehát íkgörbe görbülete irányítátartó paramétertranzformációval zemben invarián. Bizonyítá: A görbület alábbi kifejezéét haználjuk: Tehát: Ezerint c = c ϕ κ = T, N v = c, N v 2 = c, J c v 3. c = c ϕ ϕ, J c = ϕ J c ϕ, ṽ = ϕ v ϕ c = c ϕ ϕ 2 + c ϕ ϕ. κ = ϕ 2 c ϕ + ϕ c ϕ, ϕ J c ϕ = mivel c ϕ J c ϕ ṽ 3 = ϕ 3 c ϕ, J c ϕ = ϕ 3 v ϕ = gn ϕ κ ϕ. 9. Tétel. Legyen c: I R 2 parametrizált íkgörbe, melynek görbületi függvénye κ. Legyen továbbá F : R 2 R 2 izometria, a catolt ortogonáli leképezée f τ R 2, továbbá c = F c: I R 2. c görbületi függvényét jelölje κ. Ekkor κ = det f κ. Tehát íkgörbe görbülete irányítátartó izometriával zemben invarián. Bizonyítá: Könnyen ellenőrizhető, hogy J f = det f f J. Továbbá a lánczabályt alkalmazva: c = F c c = F c c = f c, T = f c c = f c c = f c. ṽ, Ñ = J f c, ṽ A görbületet kizámítva, felhaználva, hogy f ortogonáli tranzformáció, tehát a normát é a kalári zorzatot megtartja: κ = c, J f c ṽ 3 = f c, det f f J c f c 3 = det f c, J c c 3 = det f κ. 0. Tétel. Legyen c: [a, b] R 2 termézete paraméterezéű parametrizált íkgörbe. Ha valamilyen [a, b]-re c 0, akkor -nek van olyan I [a, b] környezete, hogy, 2, 3 I-re c, c 2, c 3 nem egy egyenere illezkednek. Ha i i =, 2, 3, akkor a c i pontokra illezkedő kör tart egy / c = / κ ugarú, c-re illezkedő körre. Ezt a kört a görbe c ponthoz tartozó imúlókörének nevezzük. Bizonyítá: Az előadávázlat jelenlegi változata nem tartalmazza. 9

10 4. A íkgörbe meghatározáa a görbületből Definíció. Legyen c: [a, b] R 2 parametrizált íkgörbe, az érintő-vektormező T : [a, b] R 2, továbbá µ: R R 2, t µt = co t, in t. Ekkor minden olyan θ : [a, b] R differenciálható függvényt, melyre T = µ θ, a chajlázögfüggvényének nevezzük.. Tétel. A definíció jelöléeivel. θ = κ v, ahol v a pályaebeég. Bizonyítá: T = µ θ = θ µ θ = θ J µ θ = θ N. A Frenet formulák alapján: T = κ v N, ahonnan az állítá leolvaható. 2. Tétel. A görbeelmélet alaptétele íkban, létezé. Legyen κ : I R adott differenciálható függvény. Ekkor létezik olyan c: I R 2 termézete paraméterezéű parametrizált íkgörbe, mely görbületi függvénye éppen κ. Bizonyítá: A korábbi jelöléekkel, jelölje c a kereett görbét, θ a hajlázög-függvényt. A v = feltételezé mellett θ = κ, ahonnan θ = κ + θ 0. A c = µ θ differenciálegyenlet megoldáa c = x, y-re: x = co θ + x 0, y = in θ + y 0, ahol θ 0, x 0, y 0 tetzőlege kontanok. Egyzerű behelyetteítéel ellenőrizhetjük, hogy c termézete paraméterezéű é görbületi függvénye κ. 3. Tétel. Legyen a c íkgörbe görbületi függvénye κ. κ = 0 az eetleg elfajuló egyene zakazokat jellemzi. Bizonyítá: Az egyene zakaz lineári előállítáából látzik, hogy görbülete nulla. Megfordítva, mivel a görbület abzolút értéke paramétertranzformációval zemben invarián, ezért feltehetjük, hogy c termézete paraméterezéű. Alkalmazzuk az előző tételt! κ = 0 = θ = θ 0, ct = co θ 0 t + x 0, in θ 0 t + y 0, ahol θ 0, x 0, y 0 kontanok. Ez valóban egy egyene paramétere előállítáa. 4. Tétel. A kontan, nemnulla görbületű íkgörbék a körívek. Bizonyítá: Feltehetjük, hogy a c íkgörbe termézete paraméterezéű. Legyen κ = /R. Az integráció kontanokat az egyzerűég kedvéért mindenütt nullának válaztva θt = /R t, t t t t xt = co dt = R in ; yt = in dt = R co. R R R R 0

11 5. Tétel. A görbeelmélet alaptétele íkban, egyértelműég. Legyenek c, c 2 : [a, b] R 2 termézete paraméterezéű parametrizált íkgörbék, melyek görbületi függvényei megegyeznek. Ekkor létezik olyan F : R 2 R 2 irányítátartó izometria, hogy c 2 = F c. Bizonyítá: Jelölje T i, N i a c i görbe kíérő kettő-élét. Egyértelműen létezik olyan ϕ SO2 elforgatá, mely a T a, N a bázit a T 2 a, N 2 a báziba vizi. Jelölje τ : R 2 R 2 azt az eltolát, mely ϕc a-t c 2 a-ba vizi. Legyen F = τ ϕ. Belátjuk, hogy F c = c 2. Definiáljuk a következő differenciálható függvényt: d: [a, b] R, dt = T 2 t ϕt t 2 + N 2 t ϕn t 2. d-t deriválva é a Frenet-formulákat felhaználva: 2 d = T 2 ϕ T, T 2 ϕ T + N 2 ϕ N, N 2 ϕ N = = κn 2 κ ϕ N, T 2 ϕ T + κt 2 + κ ϕ T, N 2 ϕ N = = κ N 2, ϕ T κ ϕ N, T 2 + κ T 2, ϕ N + κ ϕ T, N 2 = 0. Ez azt jelenti, hogy d kontan. Mivel da = 0, ezért d = 0. Innen következik, hogy ϕ T = T 2, azaz F c c 2 = 0. F c c 2 tehát kontan. Mivel F c c 2 a = 0, ezért F c = c 2 5. Térgörbék Frenet apparátua Definíció. A c: I R 3 parametrizált térgörbét biregulárinak nevezzük, ha t I-re c t, c t lineárian független vektorok. Ekkor a ct+l c t, c t íkot kétdimenzió lineári okaágot a c görbe ct pontbeli imulóíkjának nevezzük. Emlékeztetünk arra a lineári algebrából, hogy két bázit akkor nevezünk azono irányítáúnak, ha a bázicere mátrixa pozitív determinánú. 6. Tétel. Legyen c: I R 3 parametrizált biregulári térgörbe. Ekkor egyértelműen léteznek olyan T, F, B : I R 3 differenciálható függvények, hogy t I-re: i T t, F t, Bt pozitív ortonormált bázi; ii L T t = L c t, L T t, F t = L c t, c t ; iii T t a ct pozitív kalárzoroa, T t, F t é c t, c t irányítáa megegyezik közö íkjukban.

12 Bizonyítá: T, F -et c, c -ből a Gram Schmidt eljáráal lehet megkontruálni: azaz T = c v, F = c, T T + c, F = F F. A kontrukció pontonként érvénye, a fenti tranzformáció formulák garantálják T, F a differenciálhatóágát. A jelöléeket egyzerűítve: T = a c a > 0, F = a 2 c + a 22 c a 22 > 0. A c, c T, F bázicere mátrixának determinána pozitív: a a det 2 = a 0 a a 22 > 0, 22 tehát a két bázi azono irányítáú. Végezetül legyen B = T F vektoriáli zorzat. Az egyértelműéget a Gram Schmidt eljárá garantálja. Az eljárá két vektor ortogonalizáláa eetén két ortonormált bázit adna, de az egyik nem azono irányítáú a c, c bázial. A megtalált két vektort pozitív báziá kiegézíteni egyértelműen lehet. Definíció. Az előző tétel jelöléeivel. T, F, B-t a c biregulári térgörbe érintő egyégvektormezőjének, főnormáli vektormezőjének, binormáli vektormezőjének nevezzük, együtteen a görbe kíérő háromélmezőjének. B z T y F x 4. ábra. A kíérő háromél. Az ábrán az adott pontbeli kíérő háromél vektorait a görbepontból, mint kezdőpontból kiindulva reprezentáltuk. 7. Tétel. Termézete paraméterezé eetén T = c v, B = c c c c, F = B T. F = c c. 2

13 Bizonyítá: Az elő három formula eetében nyilván elegendő cak a B-re vonatkozó állítát belátni. B é c c egyaránt merőlegeek a imulóíkra, cak azt kell bizonyítani, hogy egymá pozitív kalárzoroai. A Gram - Schmidt eljárá kontrukcióját haználva: B = T F = a c a 2 c + a 22 c = = a a 22 c c, é a a 22 > 0. A negyedik formulára áttérve, termézete paraméterezé eetén c, c =, amely relációt deriválva: c, c + c, c = 0 2 c, c = 0, azaz ívhozparaméterezé eetén c c, amiből következik az állítá. 8. Tétel. Deriváció formulák. T = ω F F = ω T + ω 2 B B = ω 2 F Bizonyítá: Írjuk fel T, F, B Fourier előállítáait a T, F, B báziban: T = T, T T + T, F F + T, B B, F = F, T T + F, F F + F, B B, B = B, T T + B, F F + B, B B. Legyen X é Y X a T, F, B bármelyike. Ekkor deriváláal adódik, hogy X, X = = X, X = 0, X, Y = 0 = X, Y + X, Y = 0. Márézt T Lc = T Lc, c = T, B = 0, B, T = 0. Tehát ω = T, F, ω 2 = F, B a kívánt formulákat adja. Definíció. A c: I R 3 biregulári térgörbe κ : I R görbületi- é τ : I R torziófüggvényét az alábbiak zerint definiáljuk: Következmény. Frenet formulák. κ = T, F v, τ = F, B. v T = κvf, F = κvt + τvb, B = τvf. 3

14 9. Tétel. Egy c: I R 3 biregulári parametrizált görbe akkor é caki akkor íkgörbe, ha torziófüggvénye zéru. Bizonyítá: A harmadik Frenet formula alapján τ = 0 ekvivalen azzal, hogy B kontan. Legyen f : I R, t ft = B 0, ct c 0, ahol B 0, c 0 valamely rögzített paraméterértékhez tartoznak. Mindkét oldal deriválva: f t = B 0, c t = Bt, c t = 0, tehát a görbe benne van a c 0 -hoz tartozó érintőíkban. 6. A görbület é a torzió tulajdonágai, a görbeelmélet alaptétele 20. Tétel. Parametrizált térgörbe görbületi függvénye mindig pozitív értékű. Bizonyítá: T, F -et a Gram - Schmidt eljáráal az alábbiak zerint kontruáltuk meg: Ennek alapján: T = a c é a > 0, = T = a c + a c ; F = a 2 c + a 22 c é a 22 > 0. c é F merőlegeégét kétzer i haználva. T, F = a c + a c, F = = a c, F = = a a 22 F a 2 c, F = = a a 22 > 0, 2. Tétel. Ha a c: I R 3 biregulári térgörbe termézete paraméterezéű, akkor a κ görbületi é τ torziófüggvényére: κ = c, τ = c, c, c κ 2. Bizonyítá: A termézete paraméterezé miatt: T = c. Az elő Frenet formula alapján: T = c = κf = c = κ F = κ hizen F = é κ > 0. A máik formulát zintén a Frenet formulákat haználva lehet ellenőrizni, ettől mot eltekintünk. 4

15 Példa. A hengere cavarvonal görbülete é torziója. Legyen a hengere cavarvonal paramétere előállítáa: c: [0, 2π] R 3, t ct = R co R2 + a, R in 2 R2 + a, a R, a > 0. 2 R2 + a 2 Mint korábban már láttuk, ekkor c termézete paraméterezéű. F = T = c = T = T T = B = T F = R in R2 + a 2 R co R 2 + a 2 κ = T R = R 2 + a. 2 co B = R2 + a 2, in a in R2 + a 2 a co R 2 + a 2 R2 + a 2, R co, R in R2 + a2 R2 + a, 0, 2, a co R2 + a2 R2 + a 2, a in R2 + a, a 2 R2 + a, 0 2 R2 + a, R, 2 R2 + a, 0. 2 A Frenet formulákból tudjuk, hogy ívhoz paraméterezé eetén B = τf, tehát az előbbi képletekből a torzió leolvaható: a τ = R 2 + a Tétel. A biregulári térgörbék görbülete izometriával é paramétertranzformációval zemben invarián. A biregulári térgörbék torziója irányítátartó izometriával é tetzőlege paramétertranzformációval zemben invarián, míg irányítáváltó izometriánál előjelet vált. Bizonyítá: Az alábbi könnyen ellenőrizhető kizámítái zabályokba behelyetteítve, a íkgörbéknél megimert módon: κ = c c c 3, τ = c, c, c c c 2. A görbület é torziófüggvény jelentőége, hogy paramétertranzformációtól é izometriától eltekintve egyértelműen meghatározzák a parametrizált térgörbét. 23. Tétel. A görbeelmélet alaptétele. Unicitá. Tegyük fel, hogy c, c 2 : I R 3 termézete paraméterezéű biregulári térgörbék, továbbá görbület é torziófüggvényük megegyezik. Ekkor létezik olyan ϕ: R 3 R 3 irányítátartó izometria, mely egyiket a máikba vizi, azaz c 2 = ϕ c. Egziztencia. Tetzőlegeen adott κ : [a, b] R pozitív, differenciálható é τ : [a, b] R differenciálható függvényekhez létezik olyan c: [a, b] R 3 termézete paraméterezéű biregulári térgörbe, melynek görbületi é torziófüggvénye éppen κ é τ. 5

16 Bizonyítá: Egziztencia. A bizonyítá technikailag özetett ld. előadá!, de az ötlete nagyon egyzerű: ha a görbület é a torzió imert, akkor a Frenet formulák a kíérő háromélre pontoabban a 9 komponenfüggvényre egy 9 egyenletből álló közönége differenciálegyenlet-rendzert alkotnak, amelyre alkalmazhatjuk az analíziből imert egziztencia é unicitátételt megfelelő kezdeti feltételek eetén. Miután T -t meghatároztuk, c = T egy újabb közönége differenciálegyenletrendzer c három komponenfüggvényére, mely integráláal megoldható. Az kell még ellenőrizni, hogy az így kapott görbe kielégíti az öze feltételt. Unicitá. Jelölje T, F, B ill. T 2, F 2, B 2 a megfelelő kíérő 3-éleket. A lineári kiterjezté tétele miatt létezik olyan ϕ LR 3 ; R 3 pozitív ortogonáli tranzformáció, hogy ϕt a = T 2 a, ϕf a = F 2 a, ϕb a = B 2 a. Létezik továbbá olyan ν : R 3 R 3 tranzláció, hogy νϕc a = c 2 a. Azt állítjuk, hogy Φ = ν ϕ a kereett izometria. Definiáljuk a d: I R függvényt a következőképpen: 2d = ϕ T T ϕ F F ϕ B B 2 2. Egyzerű, de kié hozadalma zámoláal a Frenet formulákat alkalmazva látható, hogy d = 0. Ez azt jelenti, hogy d kontan függvény, [a, b]-re d = da = 0. Innen az következik, hogy: ϕ T = T 2, ϕ F = F 2, ϕ B = B 2. Az elő relációt haználva: ϕ c = c 2 = Φ c = c 2, azaz a Φ c c 2 leképezé kontan: [a, b] : Φ c c 2 = Φ c c 2 0 = Φ c 0 c 2 0 = 0, amivel az állítát igazoltuk. 24. Tétel. A kontan görbületű é torziójú biregulári parametrizált térgörbék képhalmaza kör vagy hengere cavarvonal. Bizonyítá: Mivel a paramétrertranzformáció a képhalmazt nem változtatja meg, feltehető, hogy termézete paraméterezéű biregulári térgörbékről bezélünk. Legyen előzör a torziófüggvény zéru. κ = /R > 0. A c: I R 3, c = R co R, R in R, 0 parametrizált görbe görbülete /R, a görbe termézete paraméterzéű é im c körvonal. Ha valamely c: I R 3 zéru torziójú biregulári parametrizált görbe görbülete zintén /R, akkor ez a görbe már a görbeelmélet alaptétele zerint egybevágó c-vel. Azaz im c é im c egybevágó körvonalak. 6

17 Ha a torziófüggvény nem zéru felhaználva a hengere cavarvonal görbületére é torziójára korábban kapott eredményt, ugyanezt a gondolatmenetet alkalmazhatjuk, de mot c hengere cavarvonal lez. Tehát adott kontan görbülethez é kontan torzióhoz kontruálunk egy termézete parametrizáláú hengere cavarvonalat, melynek görbülete é torziója éppen ez a két zám azaz a megfelelő értékre beállítjuk a henger ugarát é az emelkedé ebeégét, minden má ugyanilyen görbületű é torziójú, termézete paraméterezéű biregulári parametrizált térgörbe ettől már cak izometriában különbözik ábra. Tervezzünk görbét! Az ábrán egy olyan görbe látható, melyre előírtuk, hogy menjen át az origón, a görbülete az origótól mért ívhozal arányo legyen azaz annál jobban görbüljön, minél mezebb vagyunk az origótól, a torzió pedig kontan legyen. κt = 0 t, τ = 2. A görbét az előbb leírt eljárának megfelelően meghatároztuk. A zámítát numeriku módzerekkel a Maple program végezte. 7. Síkgörbék globáli kérdéei Az előadávázlat ezen réze még nem elérhető. 7